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Matemática II
ÍNDICE Unidad I: LÍMITES Y CONTINUIDAD 1. 2. 3. 4. 5.
Límites Límites infinitos infinitos ..................... ................................. ....................... ...................... ....................... ....................... ...................... ............... ....11 Límites Límites al infinito infinito ..................... ................................. ....................... ...................... ....................... ....................... ...................... ............. ..22 Asíntotas.................. Asíntotas............................. ....................... ....................... ...................... ....................... ....................... ....................... ................. .....33 3.1 Asíntota Asíntota vertical vertical........... ..................... ....................... ....................... ..................... ........................ ....................... .............. ....33 3.2 Asíntota Asíntota horizontal horizontal ..................... .................................. ....................... ..................... ....................... .......................4 ...........4 Continuidad............. Continuidad....................... ....................... ....................... ..................... ....................... ....................... ...................... ...................4 ........4 Regla de L’hospital.............. L’hospital......................... ....................... ....................... ..................... ....................... ....................... ..................6 ........6
Unidad II: LA DERIVADA COMO TASA DE VARIACIÓN (O RAZÓN DE CAMBIO) 1. 2. 3. 4.
Introducción............. Introducción........................ ....................... ....................... ...................... ....................... ....................... ...................... ................. ......99 Tasa de variación variación media............................. media.......................................... ....................... ..................... ........................ .................. .....99 La derivada derivada como medida del cambio .................... ............................... ....................... ....................... ................. ...... 13 La derivada derivada en el estudio estudio del movimiento... movimiento.............. ...................... ....................... ....................... .................. ....... 13
Unidad III: INCREMENTOS Y DIFERENCIALES 1.
Introducción............. Introducción........................ ....................... ....................... ...................... ....................... ....................... ...................... ............... .... 25
Unidad IV: MÁXIMOS Y MÍNIMOS 1. 2. 3.
Introducción............. Introducción........................ ....................... ....................... ...................... ....................... ....................... ...................... ............... .... 29 Resumen Resumen de las técnicas técnicas para hallar hallar máximos y mínimos mínimos ..................... ............................... ............ 32 Miscelánea Miscelánea ..................... ............................... ....................... ....................... ....................... ....................... ..................... ..................... ..........35 35
Unidad V: CÁLCULO DE ÁREAS 1. 2. 3.
Introducción............. Introducción........................ ....................... ....................... ...................... ....................... ....................... ...................... ............... .... 45 Parábolas Parábolas con vértice vértice en el origen........... origen ...................... ....................... ....................... ..................... .................... ..........45 45 Ecuación Ecuación estándar estándar de la parábola parábola ..................... ............................... ....................... ....................... ...................... ............49 49
Unidad VI: LONGITUD DE ARCO 1. 2.
Introducción............. Introducción........................ ....................... ....................... ...................... ....................... ....................... ...................... ............... .... 49 Área de una superficie superficie de revolución revolución ..................... .................................. ....................... ..................... ................. ...... 51
1
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Unidad VII: VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN 1. 2. 3.
Introducción............. Introducción........................ ....................... ....................... ...................... ....................... ....................... ...................... ............... .... 57 Centro de gravedad gravedad de una lámina lámina ..................... ............................... ....................... ....................... .................... ..........59 59 Trabajo........................... Trabajo........................................ ....................... ..................... ....................... ....................... ...................... ................... ........ 61
Unidad VIII:ESTADÍSTICA 1.
2.
3.
Introducción............. Introducción........................ ....................... ....................... ...................... ....................... ....................... ...................... ............... .... 65 1.1 Población Población y Muestra Muestra ..................... ................................. ....................... ...................... ....................... ................... ....... 65 1.2 Estadística........... Estadística...................... ....................... ....................... ...................... ....................... ....................... .................... .........65 65 1.3 Ciclo Metodológico Metodológico de un trabajo trabajo estadístico estadístico ...................... .................................. ................. ..... 66 1.4 Variables Variables.......... .................... ..................... ....................... ....................... ....................... ....................... ...................... ............. .. 66 Estadística Estadística descriptiva descriptiva ...................... .................................. ....................... ..................... ....................... ....................... .............. .... 67 2.1 Recopilaci Recopilación ón ..................... ................................. ....................... ...................... ....................... ....................... .................. ....... 67 2.2 Clasificac Clasificación ión ..................... ................................. ....................... ...................... ....................... ....................... .................. ....... 67 2.3 Presentaci Presentación ón de datos ...................... .................................. ....................... ...................... ....................... ............... ... 67 2.4 Descripció Descripciónn de datos........... datos ...................... ....................... ....................... ...................... ....................... ................. ..... 80 2.4.1 Media ( ) .................... ............................... ....................... ....................... ....................... ....................... ...........81 81 2.4.1. 2.4.1. Mediana Mediana ....................... ................................... ....................... ...................... ....................... ................... ....... 83 2.4.2. 2.4.2. Moda ( ) ..................... .................................. ....................... ..................... ....................... ....................... ...........88 88 2.4.2 Cuartiles Cuartiles (Qi) ...................... .................................. ....................... ...................... ....................... ............... ... 90 2.4.3. 2.4.3. Deciles Deciles ( Di ).......................... )....................................... ....................... ..................... ....................... ............92 92 2.4.3 Medidas Medidas de Dispersión Dispersión .................... ............................... ....................... ....................... ............... .... 94 Análisis Análisis de datos bivariados bivariados ..................... ................................. ....................... ...................... ....................... ................. ..... 103
Unidad IX: PROBABILIDAD PROBABILIDAD 1. 2. 3. 4.
Experiencia Experiencia aleatoria aleatoria y espacio espacio muestral muestral ...................... .................................. ....................... .................... ......... 107 Sucesos Sucesos o evento eventoss ..................... ................................. ....................... ...................... ....................... ....................... .................. ....... 108 2.1 sucesos sucesos incompatible incompatibless ...................... .................................. ....................... ...................... ....................... .............. 108 Aplicación Aplicación frecuenc frecuencial ial ..................... ............................... ....................... ....................... ....................... ........................ .............. ... 110 Probabilidad Probabilidad ..................... ............................... ....................... ....................... ....................... ....................... ..................... ................. ...... 110 4.1 Probabilidad Probabilidad uniforme uniforme ...................... .................................. ....................... ...................... ....................... .............. 112 4.2 Probabilidad Probabilidad de experienc experiencias ias compuestas.............. compuestas......................... ....................... ................. ..... 113
Unidad X: DISTRIBUCIÓN NORMAL 1. 2. 3. 4.
Introducción............. Introducción........................ ....................... ....................... ...................... ....................... ....................... ...................... ............. .. 123 Estandarizac Estandarización ión de la variable variable aleatoria............... aleatoria.......................... ....................... ....................... .................. ....... 124 Aplicacione Aplicaciones: s: Límites Límites de control........... control...................... ....................... ....................... ..................... ...................... ............ 128 Bloque I ..................... ................................. ....................... ...................... ....................... ....................... ..................... ...................... ............ 130
Unidad XI: SELECCIÓN DE LA MUESTRA 1.
Introducción............. Introducción........................ ....................... ....................... ...................... ....................... ....................... ...................... ............. .. 133 2
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2. 3. 4.
5.
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1.1 Definicio Definiciones nes básicas básicas ..................... ................................. ....................... ...................... ....................... ................. ..... 133 Procedimien Procedimientos tos de muestreo muestreo........... ...................... ....................... ....................... ...................... ....................... ............... ... 133 Muestras Muestras no probabilísti probabilísticas cas.......... .................... ..................... ....................... ....................... ....................... ................... ....... 134 3.1 Muestreo Muestreo de juicio.......... juicio.................... ..................... ....................... ....................... ....................... ..................... ......... 134 3.2 Muestreo Muestreo por cuotas cuotas ...................... .................................. ....................... ...................... ....................... ............... ... 134 Muestras Muestras probabilístic probabilísticas......... as.................... ..................... ....................... ....................... ....................... ....................... ............ .. 134 4.1 Muestreo Muestreo aleatorio aleatorio simple............................ simple........................................ ....................... ...................... ............. .. 135 4.2 Muestreo Muestreo sistemático.... sistemático............... ...................... ....................... ....................... ..................... ...................... ............ 135 4.3 Muestreo Muestreo estratifica estratificado do ...................... .................................. ....................... ...................... ....................... .............. 135 4.4 Muestreo Muestreo por conglomerad conglomeradoo .................... ............................... ....................... ....................... ................. ...... 135 Ejercicios Ejercicios de muestreo muestreo ..................... ............................... ....................... ....................... ....................... ....................... ............ .. 136
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Unidad I
LÍMITES Y Y CONTINUID AD
1.
LÍMI LÍMITE TES S INFI INFINI NITO TOS S Si una funció nción n f(x) f(x) crec rece o decr decre ece ilim ilimit itad adam ame ente nte cuand uando o la variab riable le independiente x tiende a x0, se dice que la función tiene un límite infinito en x = x0, lo cual se representa en una de las siguientes formas: 1.
lim f(x) , si f(x) crece indefinidamente cuando x tiende a x 0 por la
x x 0
derecha. 2.
lim f(x) , si f(x) crece indefinidamente cuando x tiende a x0 por la
x x0
izquierda. 3.
lim f(x) ,si f(x) decrece indefinidamente cuando x tiende a x 0 por la
x x 0
derecha. 4.
lim f(x) , si f(x) decrece indefinidamente cuando x tiende a x 0 por la
x x0
izquierda.
Teorema Si n es cualquier entero positivo, entonces: 1 a. lim n x 0 x b.
es impa impar r si n es lim n es par par si n es x 0 x 1
Teorema Si a y c es una constante, lim f ( x ) 0 y lim g( x ) c, c 0 , entonces: x a
x a
g(x) . f(x) x a
si c > 0 y f(x) 0 a través de valores positivos de f(x), lim
1
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g(x) . f(x) x a
si c > 0 y f(x) 0 a través de valores negativos de f(x), lim
g(x) f(x) x a
si c < 0 y f(x) 0 a través de valores positivos de f(x),. lim
g(x) . x a f(x)
si c < 0 y f(x) 0 a través de valores negativos de f(x), lim
Ejercicios Evaluar los siguientes límites. 1.
2.
3.
4.
5.
6.
2.
lim
x 2
x2 x2 4 3 x2 x
lim
x 0
3x 2x 2 x 1 lim
lim
x 4
lim
2 x 2 x
x 4
2
5 3x x2 3 x 4
x 2 2x 3 lim x3 x 3
LÍMI LÍMITES TES AL INFI INFINIT NITO O Sea una función f(x), si cuando la variable independiente x tiende a o la función se aproxima a un valor real L, se dice que L es el límite al infinito de la función función f(x), esto es:
2
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lim f ( x ) L
x
lim f ( x ) L
x
Teorema Si n es cualquier entero positivo y k es una constante arbitraria diferente de cero, entonces: a.
b.
k
lim
x
x
0
n
k
lim
x
xn
0
Ejercicios 1.
2.
3.
3.
lim
( x 1)2
x x
lim
x
lim
2
4.
1
x2 1 x 2 10 5. lim x 2 x 1 x
1000x x2 1
2x 2 x 3
x x
3
3x 1 x 2x 3 lim
6.
8x 5
lim
x
x
( x a) a)( x b) b)
ASÍ ASÍNTO NTOTAS Una Una asín asínto tota ta es una una rect recta a a la cual cual se apro aproxi xima ma una una curv curva a inde indefi fini nida dame ment nte. e. Obtener y graficar las asíntotas, tanto horizontales como verticales, es de gran ayuda para esbozar la grafica de una función.
3.1 3.1
ASÍN ASÍNTOT TOTA A VERT VERTIC ICAL AL Una asíntota vertical es una recta paralela al eje Y. La recta x = a es una asíntota vertical de la grafica de una función f(x) si satisface por lo menos una de las siguientes condiciones: lim f(x)
x a
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lim f(x)
x a
lim f(x)
x a
lim f(x)
x a
3.2 3.2
ASÍN ASÍNTOT TOTA A HORI HORIZO ZONT NTAL AL Una asíntota horizontal es una recta paralela al eje X. La recta y = b es una una asín asínto tota ta hori horizo zont ntal al de la graf grafic ica a de una una func funció ión n f(x) f(x) si cumpl cumple e al menos una de las siguientes condiciones: lim f ( x ) b
x
lim f ( x ) b
x
4.
CONTI ONTINU NUID IDA AD Una función f(x) es continua en x = a si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes: f(a) existe. lim f(x) existe.
x a
(x ) f (a (a) . lim f (x
x a
Una función que no es continua en un punto, se dice que es discontinua en dicho punto, presentándose un “hueco” o un “salto” en el grafico de la función en el punto punto donde donde es discon discontin tinua. ua. La discon discontin tinuid uidad ad es removi removible ble cuand cuando o f(a) f(a) no existe existe pero pero lim f(x) si exis existe te,, o cuan cuando do f (a) lim f ( x ) . En esto estoss caso casoss la x a
x a
disc discon onti tinu nuid idad ad desa desapa pare rece ce cuan cuando do se rede redefi fine ne f(a) f(a) de tal tal mane manera ra que que f (a) lim f ( x ) . x a
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La disc discon onti tinu nuid idad ad se llam llama a esen esenci cial al o no remo removi vibl ble e cuan cuando do no es posi posibl ble e deshacerse de dicha discontinuidad y esto sucede básicamente cuando lim f(x) x a
no existe. existe.
Teoremas La función polinómica es continua en todo punto. Una función racional es continua en todo punto de su dominio. Las funciones seno y coseno son continuas en todo punto.
Ejercicios 1.
Analizar Analizar la continuidad continuidad de las siguiente siguientess funciones funciones en x = 2. a.
f ( x ) 4x2 2x 12 12
b.
3x 2 f(x) x2
c.
f ( x)
d.
4x 8 f(x) x 2 2
e.
2.
x3
3 x 4 2
f(x)
si x 2 si x 2 si x 2 si x 2
Enco Encont ntra rarr los los valo valore ress de a y b para para que que las las func funcio ione ness indi indica cada dass sean sean continuas en todo su dominio.
a.
x 2 si x 2 f ( x ) ax b si 2 x 2 2x 5 si x 2
b.
2x 1 si x 3 f ( x ) ax b si 3 x 5 2 x 2 si x 5
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c.
3 x 6a si x 3 f ( x ) 3ax 7b si 3 x 3 x 12b si x 3
Esbo Esboza zarr las las graf grafic icas as de las las sigu siguie ient ntes es func funcio ione nes, s, indi indica cand ndo o domi domini nio, o, interceptos con los ejes coordenados y asíntotas horizontales y verticales.
3.
5.
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x2
a.
f(x)
b.
f(x)
3x 1 x
c.
f(x)
x 1 x 1
d.
x2 4 f(x) x2
e.
f(x)
x2 4
5 3x 2x 1
REGL REGLA A DE L’HO L’HOSP SPIT ITAL AL La regla de L’Hospital permite calcular límites del cociente de dos funciones cuya 0 forma inicial es indeterminada, es decir son de la forma o . 0
Teoremas f'(x) existe, entonces g'(x) x a
Si lim f ( x ) 0 , lim g( x) x) 0 y lim x a
x a
f ( x) f '( '( x ) lim . x a g( x ) x a g '( x ) lim
f'(x) existe, entonces x g'(x)
Si lim f ( x ) 0 , lim g( x) x) 0 y lim x
x
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f ( x) f '( x ) lim . g ( x ) g ' ( x ) x x lim
f'(x) existe, entonces g'(x) x a
Si lim f(x) , lim g(x) y lim x a
x a
f ( x) f '( '( x ) lim . x a g( x ) x a g '( x ) lim
Nota Estos teoremas se pueden aplicar una o más veces según sea necesario para obtener obtener el límite buscado. buscado.
Ejercicios Calcular Calcular los siguientes siguientes límites usando la regla de L’Hospital. L’Hospital. x tan(x) (x) x 0 x sen(x)
1. lim
sen(x) 1 x 0 cos(x)
2. lim
x 2 se n( x 2 )
3. lim
xsen sen2 (x)
x 0
4. lim x x
1 ) x 1 L n ( x ) x 1
5. lim (
6. lim
2x 2 1 cos(x)
x 0
8.
1 x 2 cos( x )
x 0
7. lim
x
x2 x
x2
cos(x) sen(x) x / 2 1 sen lim
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9. lim
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sen sen(x 1)
x 1 x
10.
2
3x 2
ex e x 2x lim x 0 x sen(x)
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