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UNIDAD 2

ESFUERZOS NORMALES Y CORTANTES Resistencia de Materiales

Índice • Introducción • Objetivos Generales • Objetivos específicos 1. Fuerzas y máquinas simples 1.1. Cálculo de fuerzas y reacciones 2. Equilibrio de cuerpos rígidos en 2 dimensiones 2.1. Cargas y apoyos en 2 dimensiones 3. Equilibrio de cuerpos rígidos en 3 dimensiones 3.1. Cargas y apoyos en 3 dimensiones 4. Diagramas de fuerzas cortantes y momento flector • Bibliografía

Introducción (a la unidad) • En la unidad se estudian conceptos de estática: fuerzas y equilibrio del sólido rígido para poder analizar casos de equilibrio en dos y tres dimensiones. Así mismo se calculan las fuerzas cortantes y momentos flectores en vigas y se representan en diagramas.

Objetivos Generales (a la unidad) • Formular las distribuciones de fuerza cortante y momento flexionante en elementos de máquinas.

Objetivos específicos (a la unidad) • Aplicar adecuadamente los principios de la estática a elementos que soportan fuerzas • Determinar las reacciones en los apoyos y aplica las condiciones de equilibrio de elementos de máquinas.

1. Fuerzas y máquinas simples • Representación vectorial de una fuerza 5 Kg.

0

1. Fuerzas y máquinas simples Suma por triangulación

1. Fuerzas y máquinas simples Suma por método del trapecio a. Suma: B

R = A + B

B A b. Resta:

A A B B A

R = A -B

1. Fuerzas y máquinas simples Suma analítica • R = A + B – 2AB Cos (180 - q) • Cos (180 - q) = - cos q • R = A + B + 2AB Cos q 2

2

2

2

2

2

1. Fuerzas y máquinas simples • Descomposición en componentes rectangulares

Fuente : Beer, 2010 𝐹=

𝐹𝑥 2

+

𝐹𝑦 2

𝐹𝑦 𝜃 = arctan 𝐹𝑥

1.1 Cálculo de fuerzas y reacciones • Equilibrio en el plano (2 dimensiones):  Fx = 0  Fy = 0

Fuente : Beer, 2010

1.1 Cálculo de fuerzas y reacciones • Equilibrio en el espacio (3 dimensiones): En forma Vectorial: SF=0

Es decir:  Fx = 0  Fy = 0

 Fz = 0 Fuente : Beer, 2010

1.1 Cálculo de fuerzas y reacciones • Vector de dirección AB en función de la geometría:

AB = dx i + dy j + dz k • Vector Unitario de Dirección AB:

𝐴𝐵 𝜇𝐴𝐵 = 𝐴𝐵 𝐴𝐵 = 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 + 𝑑𝑧 2

• Fuerza F en forma vectorial: 𝐹 = 𝐹 . 𝜇𝐴𝐵

Ejercicio 1 Calcular la fuerza resultante y la dirección del movimiento con respecto al eje horizontal. Si la masa es de 10 kg, calcular su aceleración en m/s2. Resp. Fr = 52 Kgf ϴ = 5° a la derecha bajo la horizontal. Si no hay otra fuerza el bloque se acelerará hasta 51 m/s2.

40 kg-f

60°

85°

30 kg-f

14

Ejercicio 2 La esfera peso 600 kg-f. Determinar la tensión en la cuerda y la reacción en el apoyo.

Resp. Tcuerda = 319.3 Kgf Resfera = 410.4 Kgf;

50°

30°

15

Ejercicio 3 El elemento CB de la prensa mostrada ejerce sobre el bloque una fuerza P dirigida a lo largo de la línea CB. Si se sabe que la componente horizontal de P tiene una magnitud de 1200 N, determinar: (1) La magnitud de la fuerza P y su componente vertical. (2) La fuerza en la barra AC . (3) El valor de la fuerza de aplicación Q. (4)A que tipo de esfuerzo están sometidas las barras.

Fuente : Beer, 2010 16

Ejercicio 4 La conexión soldada se encuentra en equilibrio sometida a la acción de cuatro fuerzas. Si FA= 8kN y FB= 16kN, determinar la magnitud y dirección de las otras fuerzas. Resp. FD = 4.8 KN FC = 6.4 KN


Ejercicio 5 Determine la magnitud de la tensión en el cable AC y en el cable CB, que se encuentra inclinado 5° con respecto a la vertical. Considere que μ = 30°.

Resp. TCA = 8.46 KN FCB = 0.85 KN


Ejercicio 6 Un imán transporta “P” Kgf de bolas de acero y está soportado por dos cables AB y BC. Si AB hace un ángulo = 30° y BC un ángulo = 50°. Determine “P” y la tensión en AB si la tensión en BC es 4500 Kg-f.

Fuente : Beer, 2010

19

Ejercicio 7 Determine la magnitud de la tensión T en cada caso si la caja pesa 300 Kg. Desprecie el peso del cable y las poleas.


Ejercicio 8 Uno de los tirantes de una torre esta anclado en el perno A y su tensión es de 2500 N, determinar los componentes en x, y, z y los ángulos que definen la dirección de la fuerza que se ejerce sobre el perno en A. Resp. FAB = (- 1059.98 N, -794.98 N, 2119.98 N) ϴx = 115° ϴy = 108.5° ϴz = 32°

Fuente : Beer, 2010

21

Ejercicio 17 Ejercicio 9 Los tres cables de acero de igual diámetro soportan las cargas P = 1200 N y Q = 1000 N, como se ve en la figura. Determine la fuerza interna en cada cable. Resp. FAB = 721.2 N FAC = 1352.3 N FAD = 886.6 N

Fuente : Beer, 2010

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Ejercicio 10 Determinar las tensiones en los cables AB, AC y AD que sostienen la caja de 1600 lb


2. Equilibrio de cuerpos rígidos en 2 dimen. El momento de una fuerza F respecto a un punto O: es la tendencia al giro que genera la fuerza F respecto al punto O. Se calcula con el producto vectorial de dos vectores, el vector de posición r que multiplica al vector Fuerza F: Mo = r x F

(1)

El vector momento Mo es otro vector, perpendicular al plano definido por los vectores r y F. El sentido del vector momento se puede encontrar con la regla de la mano derecha.

2. Equilibrio de cuerpos rígidos en 2 dimen. • Momento de una fuerza

• Donde:

Mx = yFz - zFy My = zFx - xFz Mz = xFy - yFx

2. Equilibrio de cuerpos rígidos en 2 dimen. • Momento de par de fuerzas (Cupla)

2. Equilibrio de cuerpos rígidos en 2 dimen. • Para los casos de 2 dimensiones (en el plano), las ecuaciones de equilibrio se reducen a:

Fuente : Beer, 2010

2.1. Cargas y apoyos en 2 dimensiones • Reacciones en apoyos en el plano

Fuente : Beer, 2010

Fuente : Beer, 2010

Ejercicio 11 La barra de la figura pesa 30 kg-f. Determinar la tensión en la cuerda ubicada en el centro de la barra y la reacción en el apoyo Resp. TBC = 42.4 Kgf Ax = 30 Kgf; Ay =0

30

Ejercicio 12 Se tiene una barra de 4 m de longitud que pesa 50 kg-f y soporta una carga de 200 kg-f. Determinar la tensión en la cuerda y la reacción en el apoyo.

Resp. Tcuerda = 254.3 Kgf Ax = 239 Kgf Ay = 163 Kgf A = 175.3 Kgf ϴ = 34.3° sobre la horizontal.


Ejercicio 13 Determinar los módulos y direcciones de las reacciones en los apoyos de la estructura mostrada. 2600 N

4m

3800 N

7200 N 3 4

2m

Resp. Cx = 3160 N Cy = 4510 N Ay = 3610 N

B

C

A 2m

12 m

2m

32

Ejercicio 14 La barra ABC debido a Q ejerce una fuerza P en BD dirigida a lo largo de BD. Sabiendo que P debe tener una componente vertical de 240 N, determinar: las reacciones en C, el valor de Q y el valor de P. Considere que AB = BC. Resp. Cx = 286 N Cy = 120 N Q = 120 N P = 373.4 N


Ejercicio 15 Determinar las reacciones en A y B cuando β=50°.

Resp. Ax = 64.3 N Ay = 127.7 N A = 143 N ϴ = 63.3° respecto de X B = 204.3 N


Ejercicio 16 Un cargador manual (carretilla) levanta 2 barriles de aceite cada uno de 50 kg. Como se observa en la figura, si α = 30° determine el sentido y la magnitud de la fuerza P.


Ejercicio 17 Para el sistema planteado en la viga determine, las reacciones en el apoyo empotrado

Resp. Ax = 0 Ay = 170 lb M = 1040 lb x pulg., anti horario


Ejercicio 18 La palmera de la figura pesa 1000 lb y está inclinada 60°. El peso de la palmera puede ser reemplazado por dos fuerzas puntuales P1 y P2 y el diámetro de la palmera en su base es 14 pulg y en la punta es 7 pulgadas. Determine las reacciones en la base (fuerzas y torque).

Resp. Ax = 866 lb Ay = 500 lb MA = 6900 lb x ft., anti horario Fuente : Beer, 2010 37

Ejercicio 19 Se muestra el corte de un tanque esférico. A que presión p (bares) debe abrir la válvula mostrada


Ejercicio 20 Se tiene un motor de 5HP y 1800 rpm que acciona una amoladora de 30 cm de diámetro a 2400 rpm. Si D1=150 mm Determinar el diámetro de la polea movida, la torsión en el eje del motor y la fuerza tangencial con la que trabaja la amoladora.


Ejercicio 21

Determinar el valor del peso G en Newton que puede ser levantado por el sistema mostrado. Si la manivela gira a razón de 100 rpm determinar la velocidad del winche, la potencia de entrada y la velocidad con la que sube la carga G.


Ejercicio 22 Una grúa fija tiene una ma sa de 1000 kg y se usa para levantar una caja de 2400 kg. La grúa se mantiene en su lugar por me dio de un perno en A y un balancín en B. El centro de gravedad de la grúa está ubicado en G. Determine las componentes de las reacciones en A y B.

Fuente : Beer, 2010

3. Equilibrio de cuerpos en 3 dimensiones • Momento de una fuerza

• Donde:

Mx = yFz - zFy My = zFx - xFz Mz = xFy - yFx

3. Equilibrio de cuerpos en 3 dimensiones • Momento de par de fuerzas (Cupla)

3. Equilibrio de cuerpos en 3 dimensiones • Equilibrio en el espacio (3 dimensiones): En forma Vectorial: SF=0 SM=0

Es decir:  Fx = 0  Fy = 0  Fz = 0

 Mx = 0  My = 0  Mz = 0 Fuente : Beer, 2010

3.1. Cargas y apoyos en 3 dimensiones • Reacciones en apoyos en el espacio

Fuente : Beer, 2010

3.1. Cargas y apoyos en 3 dimensiones • Reacciones en apoyos en el espacio

Fuente : Beer, 2010

Ejercicio 23 Dos bandas de transmisión pasan sobre discos soldados a un eje que se sostiene mediante cojinetes en B y D. Si el disco en A tiene un radio de 2,5in y el disco en C tiene un radio de 2in y fajas con tensiones T y 1.3T. Si se conoce que el sistema gira con una velocidad angular constante, determíne: • La tensión T. • Las reacciones en B y D. Supóngase que el cojinete en D no ejerce ninguna fuerza de empuje axial e ignórese el peso del eje y de los discos.

Fuente : Beer, 2010

Ejercicio 24 Un anuncio de densidad uniforme de 5 x 8 ft pesa 270 lb y está apoyado por una rótula en A y por dos cables. Determine la tensión en cada cable y la reacción en A. Rpta: TBD 101.3 lb; TEC 315 lb A=(338 lb)i + (101.2 lb)j - (22.5 lb)k

Fuente : Beer, 2010

Ejercicio 25 Una tapa uniforme me de un tubo que tiene un radio r = 240 mm y una masa de 30 kg se mantiene en una posición horizontal por medio del cable CD. Suponga que el cojinete en B no ejerce ninguna fuerza axial, determine la tensión en el cable y las reacciones en A y B. Rpta: T = 343 N A =(49.0 N)i + (73.5 N)j + (98.0 N)k B = (245 N)i + (73.5 N)j

Fuente : Beer, 2010

Ejercicio 26 Una abertura en el piso está cubierta por una hoja de madera de 1x1.2 m con 18 kg de masa. La hoja tiene bisagras en A y B y se mantiene en la posición mostrada, un poco arriba del piso, mediante un pequeño bloque en C. Determine la componente vertical de la reacción en A, en B y en C.

Fuente : Beer, 2010

Ejercicio 27 Una palanca de 200 mm y una polea de 240 mm se sueldan al eje BE que a su vez se sostiene mediante cojinetes en C y D. Si se aplica una carga vertical de 720 N en A cuando la palanca está en posición horizontal, determine a) la tensión en la cuerda y b) las reacciones en C y D. Suponga que el cojinete en D no ejerce ninguna fuerza de empuje axial.

Fuente : Beer, 2010

Ejercicio 28 Un brazo de 10 ft está sometido a una fuerza de 840 lb como se muestra en la figura. Determine la tensión en cada cable y la reacción en el apoyo de rótula en A.

Fuente : Beer, 2010

Ejercicio 29 Una

Fuente : Beer, 2010

4. Diagrama de fuerzas cortantes (DFC) y Diagrama de momento flector (DMF)

Fuente : Beer, 2010

4. Diagrama de fuerzas cortantes (DFC) y Diagrama de momento flector (DMF) Nomenclatura y convención de signos: V: fuerza cortante M: momento flector

Fuente : Beer, 2010

4. DFC y DMF • Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga mostrada:

Fuente : Beer, 2010

4. DFC y DMF

• Haciendo cortes:

Fuente : Beer, 2010

Ejercicio 29 • Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga mostrada: Solución

Fuente : Beer, 2010

4. DFC y DFF • Relación entre carga y fuerza cortante

Fuente : Beer, 2010

4. DFC y DFF • Relación entre fuerza cortante y momento flector

Fuente : Beer, 2010

4. DFC y DMF • Utilizando relaciones (método gráfico)

Fuente : Beer, 2010


Fuente : Beer, 2010


Fuente : Beer, 2010


Fuente : Beer, 2010

Ejercicio 33 • Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga mostrada:

Fuente : Beer, 2010


Fuente : Beer, 2010


Fuente : Beer, 2010


Fuente : Beer, 2010

Ejercicio 37 • Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga mostrada, apoyada en el suelo:

Fuente : Beer, 2010

Ejercicio 38 • Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga mostrada, apoyada en el suelo:

Fuente : Beer, 2010

Si quieres conocer mas visita: • http://www.fisicalab.com/ejercicios_tema/aplicacionesleyes-newton/intermedio • http://genesis.uag.mx/edmedia/material/fisica/leyesnewton1 .htm • http://www.matematicasfisicaquimica.com/fisica-quimicabachillerato/43-fisica-y-quimica-1o-bachillerato/744ejercicios-resueltos-aplicacion-leyes-newton-dinamicafisica-quimica.html

Bibliografía • Beer, Ferdinand P., 2010. Mecánica vectorial para ingenieros: estática. México D.F. McGraw-Hill. (620.103/B45/2010) • Beer, Ferdinand P., 2013. Mecánica de materiales. México D.F. McGraw-Hill. (620.1/B35/E)

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