Recetario de Bases Dulces 1er SemDescripción completa
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UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD CATOLICA CATOLICA DE LA SANTISIMA SANTISIMA CONCEPCION CONCEPCION FACULTAD ACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO TAMENTO DE MATEMATICA Y FISICA APLICADAS
Pauta auta Test 1B ´ lculo III IN1009C Calculo a IN1009C
Problema 1. Considerar
la funci´on on f : D
⊂ R −→ R, definida por: √ 25 − x f (x) = x−3 2
(a) Determinar Determinar el dominio dominio de f (x). (b) Determinar Determinar la regi´ on on en la cual f (x) es contin continua. ua. Justifique Justifique su respuesta. respuesta. Soluci´ on. on.
(a). La funci´on on est´a definida en todo n´umero umero excepto cuando x = 3 o cuando 25 o x < 5. Por tanto, el dominio de f es [ 5, 3) (3, 5].
−
−
∪
2
−x
< 0, esto es, cuando x > 5
(10 puntos)
(b). Como lim + f (x) = 0 = f ( 5)
x→−5
−
y
lim f (x) = 0 = f (5),
x→5
−
f es continua por la derecha en -5 y es continua por la izquierda en 5. Adem´as, f es continua en los intervalos semiabiertos ( 5, 3) y (3, 5). En consecuencia, f es continua en [ 5, 3) (3, 5]. (10 puntos)
−
−
1
∪
Problema 2. Considerar
el conjunto A , definido por:
A = (x, y)
2
∈ R
: x 2
−y
2
< 0
∪ {(x, y) : x ∈ N ∧ y = 0}.
(a) Graficar el conjunto A . (b) Determinar el conjunto de puntos de acumulaci´ on. (c) Determinar el conjunto de puntos de adherencia. (d) Determinar el conjunto de puntos interiores. ¿El conjunto es abierto? (e) Determinar el conjunto de puntos frontera. (f) ¿El conjunto es acotado? Justifique su respuesta. Soluci´ on.
(a) Ver figura.
(15 puntos)
(b) Puntos de acumulaci´ on: A = (x, y)
2
: x 2
2
− y ≤ 0} ¯ = {(x, y ) ∈ R : x − y ≤ 0 } ∪ {(x, y ) : x ∈ N ∧ y = 0} (c) Puntos de adherencia: A (d) Interior: A = {(x, y ) ∈ R : x − y < 0 }. El conjunto no es abierto pues A = A (e) Frontera: F r(A) = {(x, y) ∈ R : x − y = 0} ∪ {(x, y) : x ∈ N ∧ y = 0}
(5 puntos)
(f) El conjunto no es acotado ya que no existe una bola abierta que contenga al conjunto.
