Pauta Test 1 2017

UNIVERSIDAD CATÓLICA DE LA SANTÍSIMA CONCEPCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA-FACULTAD DE EDUCACIÓN Pedagogía Media en Matemática Departamento de Matemática y Física Aplicadas Pauta Test 1 EDO, IN0034C, Primer Semestre 2017.

1. a) (15pts).

Determine la ecuación diferencial cuya solución general está

dada por:

2

y  = e  =  e cx ; c 2 R b) (15pts).  Resuelva  ahora la ecuación diferencial obtenida y veri…que

que su solución general es efectivamente la dada en  a)  a ): SOLUCIÓN: a)  Despejando  c  se tiene que: ln y x2

c =

(5pts)

Derivando con respecto a x, se sigue por la derivada de un cuociente y por la regla de la cadena, que: x2  1y y 0 (ln y )2x

0= x x2 y  2xy ln xy ln y  = 0 y = 2xyx ln y y = 2y xln  y :::::::::::::::::::::( :::::::::::::::::::::(10pts) 4

0

0

2

0

b)  Es una ED de variables separables. Luego: dy y ln y dy y ln y

R 

= x2 dx = x2 dx + dx + k::::::  k::::::((5pts)

R 

En el lado izquierdo se usa el cambio de variables  u =  u  = ln y  =) du = du  = y1 dy. Luego: ln(ln y) = 2 ln x + k  + k 2 ln x+k ln y  = e  =  e ln y  = e  =  e 2 ln x ek ln y  = cx  =  cx2 y  = e  =  e cx ::::::::::::::::::::( ::::::::::::::::::::(10pts) 2

1

2. (30pts):  Determine la solución del siguiente PVI: 2

0

2x2 )y = y(y2  x2 ) + x3 y(1) = 0

 x(y



SOLUCIÓN:   Despejando  y y simpli…cando por  x 3 se sigue que: 0

( xy )3  xy  + 1 y 3  x2 y + x3 y = =   :::::::::(5pts) xy 2  2x3 ( xy )2  2 0

Es una ED homogénea. Cambio de variable: z = z + xz . Luego: 0

3

y x

=) y = xz =) y = 0

z + xz = z z z +1 2 z z +1 xz = z 2  z xz = zz+12 z 2  dz = x1 dx z +1 2 z  dz = ln x + k::::::::(10pts) z +1 0

 2

3

0



 2



0

2

2





R 

2



En la integral de la izquierda usamos el cambio de variables  u = z + 1 =) du = dz y  z  = u  1. Luego: (u1)2 2

R  R  R (u

du = ln x + c du = ln x + c 2 )du = ln x + c  2u  ln u = ln x + c::::::::::(5pts)

u u 2u1 u 1   u 2

u2

2

Volviendo a las variables originales: 1 2  2(z + 1)  ln(z + 1) = ln x + c 2 (z + 1) 1 y 2 (  + 1)  2( xy  + 1)  ln( xy  + 1) = ln x + c::::::(5pts) 2 x

es la solución general en forma implícita. Aplicando la condición inicial y(1) = 0, se tiene que: 1 (0 + 1)2  2 1  2 = c 2 c = 23

2(0 + 1)  ln(0 + 1) = ln 1 + c

Luego, la solución del PVI , en forma implícita, está dada por: 1 y y y 3 (  + 1)2  2(  + 1)  ln(  + 1) = ln x  ::::::(5pts) 2 x x x 2 MC=  20 de Abril, 2017.

2