Teorijska mehanika

c ´ i z ˇ d a H c ´ i v o z e l E . S 0 1 0 2 c 

A J I Z R E a V n k i

Teorijska mehanika Sunˇcica Elezovi´ ov ić-Hadˇzić 16. april 2012

A a h e N m D a k A s j i R r o e T

2





Sadrˇ za j I

Disk Diskre retn tnii sist sistem emii

7

1 Osnov Osnovne ne posta postavke vke 1.1 Uvod od . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Po Postu stulat latii sile sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 O iner inercij cijaln alnim im sistem sistemima ima . . . . . . . . . . . . . . c ´ 1.4 Diferencijalne jednaˇcine cine kretanja kretanja . . . . . . . . . i z ˇ d 2 a Osnovne Osnovne teoreme teoreme mehanik mehanike e 2.1 Teorema kinetiˇcke cke energije . . . . . . . . . . . . . H zanja ukupne ukupn e mehaniˇcke cke energije c 2.1.1 Zakon odrˇzanja ´ i 2.2 Teorema eorema impuls impulsaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . v o 2.2.1 Zakon odrˇzanja zanja impulsa . . . . . . . . . . z e 2.3 Teorema eorema momenta momenta impulsa impulsa . . . . . . . . . . . . . l E 2.3.1 Zakon odrˇzanja zanja momenta impulsa impulsa . . . . . . 3 S Metod Metod nezavisnih nezavisnih genera generalisa lisanih nih koordina koordinata ta 0 3.1 3.1 Veze eze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 3.2 Nezavisne Nezavisne generalisa generalisane ne koordinate koordinate . . . . . . . . . 2 3.2.1 Kinetiˇcka cka energija . . . . . . . . . . . . . . c  3.2.2 Rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

9 9 10 11 12

. . . . . .

17 17 17 18 19 19 21

. . . .

23 23 24 25 26

4 Dalamber-Lagranˇ Dalamber-Lagr anˇ zev zev princip 4.1 Moguća ca i virtuelna pomeranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 4.2 Reak Reakci cije je . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Dalamber-Lagranˇzev zev princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29 29 29 30

5 Lagranˇ Lag ranˇzeve zeve jednaˇ jed naˇcine cin e 5.1 Izvodenje Lagranˇ L agranˇzevih zevih jednaˇ je dnaˇcina cina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Standardni Standa rdni oblik obli k Lagranˇzevih zevih jednaˇcina cina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Osobine Lagranˇzevih zevih jednaˇ jedn aˇcina cina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31 31 33 34

6 Specija Specijalni lni proble problemi mi 6.1 Jednodimenz Jednodimenzionaln ionalnii sistemi sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 6.1.1 Linarn Linarnii harmo harmonij nijski ski oscila oscilator tor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Matematiˇcko cko klatno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Jednodimenz Jednodimenzionaln ionalnii konzerv konzervativn ativnii sistemi sistemi sa stacionarni stacionarnim m vezama vezama .

41 41 41 42 44

. . . .

. . . . . .


3

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

4

ˇ SADR ZAJ

6.2 Male Male oscila oscilacij cijee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Leˇzen-Dirihleova zen-Dirihleova teorema . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 6.2.2 Normal Normalne ne frek frekve vence nce i koord koordina inate te . . . . . . . . . . . 6.3 Centra Centralno lno kretan kretanje je . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Zakoni odrˇzanja zanja i jednaˇcine cine kretanja . . . . . . . . 6.3.2 Lagranˇzev zev formalizam formalizam i Bineov obrazac obrazac . . . . . . . 6.3.3 Kretanje u polju privlaˇcne cne Keplerove Keplerove sile . . . . . . 6.4 Proble Problem m dva dva tela tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 6.5 Rase Raseja janj njaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 6.6 Krut Krutoo telo telo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. 6.6.11 Ojle Ojlero rovi vi uglo uglovi vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ 6.6. 6.6.22 Ojle Ojlero rov va i Salova teorema . . . . . . . . . . . . . . 6.6. 6.6.33 Ugao Ugaona na brzi brzina na . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kinetiˇcka cka energija i tenzor inercije inercije c 6.6.4 Moment impulsa, kinetiˇ ´ i 6.6.5 Rotaci Rotacija ja oko oko fiksi fiksiran ranee ose ose . . . . . . . . . . . . . . z 6.6.5 ˇ 6.6.6 Koriol Korioliso isov va teorem teoremaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . d 6.6.6 a 6.6.7 Ojlerove Ojlerove jednaˇ jednaˇcine cine za kruto telo . . . . . . . . . . . H Analitiˇ cki cki metod u dinamici dinamici krutog krutog tela . . . . . . - 6.6.8 Analitiˇ 6.6 .9 Kretanje Kret anje teˇske ske simetr si metriˇ iˇcne cne ˇcigre cigr e . . . . . . . . . . . . c 6.6.9 ´

i v 7 o Hamiltono Hamiltonov v formalizam formalizam z 7.1 Hamiltonove Hamiltonove jednaˇ jednaˇcine cine . . . . e l 7.2 Fiziˇcki cki smisao hamiltonijana hamiltonijana . E 7.3 Integ Integral ralii kretan kretanja ja . . . . . . . . Generalisa 7.4 Generalisano no potencijalne potencijalne sile S 8 0 Princi Princip p najmanje najmanjeg g dejstv dejstva a 1 8.1 Varijacioni arijaci oni raˇcun cun . . . . . . . 0 8.2 Hamilt Hamiltono onov v princi princip p . . . . . . 2 8.3 Hamilt Hamiltono onovi vi sistem sistemii . . . . . . c 

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . krutog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tela . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46 48 51 54 54 57 57 60 63 68 68 69 70 75 80 82 85 86 88

. . . .

93 93 97 97 10 1

J I Z R E a k i V a n

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

A e h N m a D k s j A o r i

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 9

9 Reˇ senja senja zadataka zad ataka 113 9.1 Osnovne postavke postavke klasiˇ cne cne mehanike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 9.2 Dalamber-Lagranˇzev zev princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 9.3 Lagranˇ Lag ranˇzeve zeve jednaˇcine cin e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

II

Mehan Mehanik ika a nep neprek rekidn idnih ih siste sistema ma

10 Opisivanje kretanja 10.1 Hipoteza Hipoteza kontin kontinuuma uuma . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Lagranˇzev zev i Ojlerov O jlerov metod meto d . . . . . . . . . . . 10.3 Supstancij Supstancijalni alni izvod izvod . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Jednaˇcina cina kontinuiteta . . . . . . . . . . . . . 10.5 Tenzor brzine br zine deformacije defo rmacije i vektor vrtloˇznosti znosti

e T

. . . . .

. . . . .

. . . . .

131 . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

133 1 33 13 4 13 6 13 7 1 41

ˇ SADR ZAJ

5

11 Sile u fizici neprekidnih sredina 149 11.1 Zapreminske i povrˇsinske sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 11.2 Osnovni dinamiˇcki zakon za kontinuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 12 Fluidi 12.1 Viskozni fluidi . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Navije-Stoksovi fluidi . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 Navije-Stoksova jednaˇcina . . . . . . 12.3 Idealan fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1 Ojlerova jednaˇcina . . . . . . . . . . 12.3.2 Bernulijev i Koˇsi–Lagranˇzev integral

J I Z R E a k i V a n . . . . . .

157 157 157 158 162 162 163

13 Elastiˇ cno telo 13.1 Vektor pomeranja i tenzor deformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c ´ 13.2 Generalisani Hukov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i z ˇ 13.3 Osnovna jednaˇcina dinamike za elastiˇcno telo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

169 169 169 171

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

d 14 a Reˇ senja zadataka H 14.1 Opisivanje kretanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Sile u fizici neprekidnih sistema . . . . . . . . . . . c ´ i 14.3 Fluidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v o 14.4 Elastiˇcno telo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . z e l ESpecijalna teorija relativnosti III . S 15 Postulati specijalne teorije relativnosti 15.1 Istorijski uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 1 15.1.1 Majkelson-Morlijev eksperiment . . . . . . . 0 15.2 Postulati specijalne teorije relativnosti . . . . . . . 2 15.2.1 Direktne posledice Ajnˇstajnovih postulata . c 15.3 Lorencove transformacije . . . . . . . . . . . . . . . 

A e h N m a D k s j A o r i

. . . . . .

. . . .

. . . . . 15.3.1 Izvodenje Lorencovih transformacija . . . . . . 15.3.2 Posledice Lorencovih transformacija . . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

173 173 175 177 180

183

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

16 Tenzorski raˇ cun u specijalnoj teoriji relativnosti 16.1 Prostor Minkovskog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.1 Svetlosni konus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.2 Razni oblici pisanja Lorencovih transformacija . . . 16.2 Tenzori u prostoru Minkovskog . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.1 Definicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.2 Veza izmedu kontra- i kovarijantnih 4-vektora . . . 16.2.3 Skalarni proizvod 4-vektora . . . . . . . . . . . . . 16.2.4 4-tenzori viˇseg ranga . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3 Osnovne tenzorske veliˇcine u specijalnoj teoriji relativnosti 16.4 Rimanovi prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e T

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

185 185 185 188 188 189 190 190

. . . . . . . . . .

195 195 195 197 197 197 198 199 199 200 200

6

ˇ SADR ZAJ

17 Dinamika ˇ cestice u specijalnoj teoriji relativnosti 17.1 Kovarijantna formulacija zakona . . . . . . . . . . . . . 17.1.1 Osnovni zakon dinamike u kovarijantnoj formi . 17.1.2 Relativistiˇcki impuls  p ˇcestice . . . . . . . . . . 17.1.3 Relativistiˇcka kinetiˇcka energija . . . . . . . . . 17.1.4 Energija mirovanja . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.5 4-vektor impulsa - energija i impuls ujedinjeni . 17.1.6 Sudari ˇcestica - Komptonov efekat . . . . . . . 17.2 Analitiˇcki formalizam u specijalnoj teoriji relativnosti .


. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .



. . . . . . . .

203 203 203 204 204 205 205 208 208



Deo I

Diskretni sistemi


7





Glava 1

Osnovne postavke klasiˇ cne nerelativistiˇ cke mehanike c Uvod ´ i 1.1 z ˇ

d cka (ili ˇ cestica). Jednostavno Osnovni model koji koristimo u mehanici je materijalna taˇ a H reˇ ceno, - materijalna taˇcka je geometrijska taˇcka ko joj pridruˇzujemo masu. Da li neko telo moˇze da c se ´ tretira kao materijalna taˇcka ili ne, zavisi od toga kakav fenomen posmatramo. Generalno, fiziˇcko i v telo aproksimiramo modelom materijalne taˇcke, tj. njegova unutraˇsnja struktura i dimenzije mogu o da z se zanemare, pri kretanjima u toku kojih se ono kre´ ce u oblasti ˇcija je zapremina mnogo veća e od l njegove sopstvene zapremine. E Kretanje ˇcestice posmatra se u odnosu na neki referentni sistem. U referentnom sistemu . definiˇ Ssemo koordinatni sistem. Najjednostavniji koordinatni sistem je Dekartov pravougli sistem ,

A a h e N m D a k A s j i R r

ali 0 se osim njega ˇcesto koriste i drugi, krivolinijski koordinatni sistemi: cilindriˇcni, sferni itd. Osnovna veliˇcina koju pridruˇzujemo ˇcestici je njen vektor poloˇzaja r(t). Zavisnost vektora 1 0 poloˇ zaja ˇcestice od vremena t, tj. izraz r = r(t), zvaćemo konaˇ cna jednaˇ cina kretanja . Brzina 2 ˇ cestice c se definiˇse kao izvod njenog vektora poloˇzaja po vremenu, tj.



v =

d r dt

≡ r˙ ,

o e T

Slika 1.1: Dekartov koordinatni sistem, vektor poloˇzaja ˇcestice r, vektor brzine ˇcestice v . Vektor brzine tangentan je na trajektoriju ˇcestice (roze linija)

9

10

GLAVA 1.

OSNOVNE POSTAVKE


Slika 1.2: Postulati sile

c ´ i z ˇ d a ubrzanje a d v H =  a v˙ ¨ r . d t c ´ i Impuls cestice mase m, koja se kreće brzinom v definiˇse se kao v ˇ o z e p = m  v. l E  pri ˇcemu vaˇzi Ako .se impuls p ˇ zemo da na ˇcesticu deluje sila F ,  cestice menja u toku vremena kaˇ S d p  0 =F, (1.1) 1 dt 0 2 ˇsto c predstavlja osnovni dinamiˇ cki zakon (II Njutnov zakon ). Ako je masa m konstantna,

≡ ≡

A a h e N m D a k A s j i R r  jednaˇcina se svodi na poznati izraz prethodna

ma = F .

(1.2)

 u inercijalnim sistemima potiˇce samo od interakcije Izraz ma ćemo zvati dinamiˇcka sila , a sila F medu ˇcesticama (tzv. prava sila ). U daljem toku izlaganja ćemo pretpostavljati da radimo u iner ćemo uvek podrazumevati cijalnim sistemima (osim ako se posebno ne naglasi suprotno), tj. pod F pravu silu, ˇcije su osnovne osobine ustanovljene tzv. postulatima sile.

1.2

o e T

Postulati sile

Iskustvo pokazuje da sila u inercijalnim sitemima zadovoljava slede´ ce osobine: 1. Zakon inercije : u inercijalnim sistemima ˇcestica (stalne mase) ostaje u stanju mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog kretanja ako ne interaguje ni sa kakvim drugim ˇcesticama, tj. ako na nju ne deluje nikakva sila (I Njutnov zakon ).

1.3.

11

O INERCIJALNIM SISTEMIMA

2. Sila interakcije izmedu dve ˇcestice, ˇcije su mase, vektori poloˇzaja i brzine redom jednaki m 1 , r1 , v1 i m 2 , r2 , v2 , zavisi samo od relativnog radijus vektora i relativne brzine ˇcestica. Znaˇci,  21 oznaˇcimo silu kojom ˇcestica 2 deluje na ˇcesticu 1, onda je ako sa F  21 = F  21 (r1 F

− r , v − v ) . 2

1

2

(1.3)


ˇ 3. Staviˇ se, sila interakcije izmedu dve ˇcestice je kolinearna sa relativnim vektorom poloˇzaja ˇcestica i ima oblik  21 = f (r1 r2 , v1 v2 ) r1 r2 , (1.4) F r1 r2 pri ˇcemu vaˇze principi

−

− | −− |

• superpozicije , tj. ukupna sila F  kojom ˇcestice 1 i 2 deluju na neku treću ˇcesticu, jednaka 3

 3 = F  13 +  je vektorskom zbiru sila kojom ˇcestice 1 i 2 pojedinaˇcno deluju na nju, tj. F F 23 ;

• akcije i reakcije , tj.

sile kojom dve ˇcestice uzajamno deluju jedna na drugu, jednake su po intenzitetu i pravcu, a suprotnog su smera:

c ´ i  21 = F  12 z (1.5) F ˇ d a (III Njutnov zakon ). H c ´ i v O inercijalnim sistemima 1.3 o z e Sve do zasnivanja specijalne teorije relativnosti, smatralo se da postoji apsolutni referentni l sistem E koji miruje, a svi sistemi, koji se kreću konstantnom brzinom u odnosu na njega nazivani . su inercijalnim sistemima. Danas se zna da postojanje apsolutno miruju´ ceg sistema nije moguće S utvrditi, pa se koristi tzv. Ajnˇstajnova definicija : inercijalni sistem je referentni sistem u kome 0 telo koje ne interaguje sa drugim telima ostaje u stanju mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog 1 0 kretanja. 2 Za naˇse potrebe za sada je dovoljno pretpostaviti da postoji barem jedan inercijalni sistem, a c 

−


svaki drugi koji se u odnosu na njega kreće konstantnom brzinom je takode inercijalan.

Galilejeve transformacije opisuju kako se menjaju koordinate nekog fiziˇckog dogada ja pri prelasku iz jednog u drugi inercijalni sistem. U nerelativistiˇckoj fizici smatra se da je vreme apsolutno, tj. da je vremenski interval izmedu dva dogadaja isti u svim inercijalnim sistemima. Posmatrajmo dva inercijalna sistema S i S  , u kojima smo koordinatne sisteme (Dekartove) izabrali tako da se u poˇcetnom trenutku poklapaju, dok im u daljem kretanju ose ostaju paralelne, a sistem S’ se u odnosu na S kreće duˇz zajedniˇcke x–ose, brzinom konstantnog intenziteta u. Sa slike 1.3 se onda jasno vidi da Galilejeve transformacije imaju oblik

o e T

x = x

y  = y ,

− ut ,

z  = z ,

(1.6)

pri ˇcemu je, zbog apsolutnosti vremena:

t = t .

(1.7)

Oˇcigledna posledica Galilejevih transformacija je da je vektor relativnog poloˇzaja izmedu dve taˇcke isti u svim inercijalnim sistemima, tj. r1

 1

 2

− r = r − r 2

,

(1.8)

12

GLAVA 1.

u 

S   y

S  y

OSNOVNE POSTAVKE

             r  r y = y              ut x x, x


Slika 1.3: Galilejeve transformacije

kao i da se relativna brzina ne menja pri prelasku iz jednog u drugi inercijalni sistem (poˇsto je vreme apsolutno), tj. (1.9) v1 v2 = v1 v2 . c ´

−

−

i z ˇ Takode d se lako proverava da je i ubrzanje ˇcestice isto u svim inercijalnim sistemima a (1.10) a = a . H c ´ i Ako sada uoˇcimo sistem od dve ˇcestice, onda osnovni dinamiˇcki zakon za ˇcesticu 1 u sistemu S ima v 1 o oblik z  21 (r1 r2 , v1 v2 ) , e (1.11) m1a1 = F l E zbog Galilejevih transformacija, vaˇzi odakle, . S  21 (r1 r2 , v1 v2 ) , (1.12) m1a1 = F 0 1 0 ˇsto znaˇci da osnovni dinamiˇcki zakon u ovom sluˇcaju ima isti oblik u svim inercijalnim sistemima, 2 pri c ˇcemu smo iskoristili i iskustvom potvrdenu ˇcinjenicu da je masa ˇcestice ista u svim inercijalnim 

−

−

−

−

A a h e N m D a k A s j  i R r sistemima.

1.4

Diferencijalne jednaˇ cine kretanja za sistem ˇ cestica

Posmatrajmo sistem od N ˇcestica, koje interaguju medusobno, ali ne i sa okolnim telima. Takav sistem zovemo izolovan sistem ˇcestica. Sila koja deluje na ν –tu ˇcesticu jednaka je zbiru svih sila kojima ostale ˇcestice iz sistema deluju na nju, tj.

o e T

N

 ν = F

 µν , F

pri cˇemu je

 µµ = 0 , F

(1.13)

µ=1

za svako µ, tj. ˇcestice ne interaguju same sa sobom. Poˇsto je, po postulatima sile

1

 µν = F  µν (rµ F

− r , v − v ) , ν

µ

ν

Ovde pretpostavljamo da ˇcestice interaguju samo medusobno, a ne i sa nekim drugim telima.

(1.14)

1.4.

ˇ DIFERENCIJALNE JEDNACINE KRETANJA

13


Slika 1.4: Izolovan sistem ˇcestica

c sila koja deluje na ν –tu ˇcesticu je funkcija vektora poloˇzaja i brzina svih ˇcestica sistema, ´ ukupna i z tj. ˇ d  ν = F  ν (r1 , (1.15) F , rN , v1 , , vN ) . a

···

···

H Posmatrajmo sada neizolovan sistem , koji se sastoji od n ˇcestica. Ako taj sistem ,,dopunimo” do c ´ i izolovanog sistema, koji sadrˇzi ukupno N ˇcestica, silu koja deluje na proizvoljnu ˇcesticu iz uoˇcenog v neizolovanog sistema, moˇzemo da napiˇsemo u obliku o z e l  ν = F  ν (r1 , , rn , rn+1 , F , rN (t), v1 , , vn , vn+1 (t), , vN (t)) E  ν ∗ (r1 , . = F (1.16) , rn , v1 , , vn , t) , S 0  ν od vektora poloˇzaja i brzina ˇcestica kojima smo sistem ,,dogde smo eksplicitnu zavisnost sile F 1  ν ∗ . punili” 0 do izolovanog, zamenili eksplicitnom zavisnoˇsću od vremena, ˇcime je dobijena funkcija F 2 zakljuˇcujemo da eksplicitna zavisnost sile od vremena ukazuje na neizolovanost sistema. Odatle c  Ako napiˇsemo osnovnu jednaˇcinu dinamike za svaku ˇcesticu neizolovanog sistema, dobijamo

A a h e N m D a k A s j i R r ··· ···

··· ···

···

···

sistem vektorskih jednaˇcina

 1∗ (r1 , m1a1 = F

·· ·

 n∗ (r1 , mnan = F

··· , r , v , ··· , v , t) n

1

n

(1.17)

··· , r , v , ··· , v , t) , n

1

n

odnosno, uzimajući u obzir definicije brzine i ubrzanja

o e T

 1∗ (r1 , m1r¨1 = F

···

 n∗ (r1 , mnr¨n = F

··· , r , ˙r , · ·· , ˙r , t) , n

1

n

(1.18)

··· , r , ˙r , · ·· , ˙r , t) . n

1

n

Ako poznajemo sve sile koje deluju na ˇcestice, ovaj sistem predstavlja sistem od n obiˇcnih diferencijalnih vektorskih jednaˇcina drugog reda, u kome su nepoznate funkcije vektori poloˇzaja svih n ˇcestica sistema, a nezavisno promenljiva vreme t. Ove jednaˇcine predstavljaju diferencijalne

14

GLAVA 1.

OSNOVNE POSTAVKE


Slika 1.5: Neizolovan sistem ˇcestica (unutar pune zatvorene linije), dopunjen do izolovanog (sve unutar isprekidane zatvorene linije).

c ´ i z ˇ d a jednaˇ cine kretanja i, ako su poznati poˇcetni uslovi , tj. poloˇzaji i brzine ˇcestica u poˇcetnom H trenutku, u principu je moguće naći konaˇcne jednaˇcine kretanja r1 (t), , rn (t). c ´ i Iz Galilejevih transformacija (odnosno njihovih posledica (1.8), (1.9) i (1.10)) sledi da difer v o jednaˇcine kretanja zadrˇzavaju isti oblik u svim inercijalnim sistemima, ˇsto znaˇci da su encijalne z zakoni e mehanike isti u svim inercijalnim sistemima . Ovaj stav poznat je kao Galilejev princip l . Takode, iz ˇcinjenice da su u njima izvodi nepoznatih funkcija r(t) najviˇseg, tj. drurelativnosti E gog .reda, izraˇzeni eksplicitno u funkciji svih ostalih veliˇcina, sledi da ove jednaˇcine za proizvoljne S poˇ cetne uslove imaju jednoznaˇcno reˇsenje (pod dosta ˇsirokim opˇstim uslovima, koji su u mehanici po 0 pravilu zadovoljeni). Ovo je posledica jedne matematiˇcke teoreme, a fiziˇcki to znaˇci da sile koje 1 deluju 0 na sistem i kinematiˇcko stanje sistema (tj. poloˇzaji i brzine ˇcestica) u bilo kom trenutku 2 cno odreduju kretanje tog sistema , ˇsto predstavlja sadrˇzaj tzv. mehaniˇ ckog principa jednoznaˇ c kauzalnosti  .

· ··

A a h e N m D a k A s j i R r ZADACI

Zadatak 1.4.1. Projektil mase m kreće se kroz atmosferu pod delovanjem gravitacione sile mg.  ∗ proporcionalna brzini projektila Osim gravitacione sile na projektil deluje i sila otpora vazduha F  ∗ = γmv ). v , sa koeficijentom proporcionalnosti γ m (F (i) Uzimajući da je poˇcetak koordinatnog sistema postavljen u taˇcku iz koje je projektil izbaˇcen, da je osa z izabrana tako da je g = gez , a da je poˇcetna brzina projektila v (t = 0) = v 1ex + v3ez , pokazati da se jednaˇcina trajektorije projektila moˇze napisati u obliku:

−

o e T

−

− 

γv 3 + g g z = x + 2 ln 1 γv 1 γ

γ x v1

.

Razvija jući logaritam u prethodnom izrazu u red, naći aproksimativnu jednaˇcinu trajektorije pro jektila u sredini u kojoj je sila otpora mala, do ˇclana linearnog po γ . (Primetiti da je za to u razvoju

1.4.

ˇ DIFERENCIJALNE JEDNACINE KRETANJA

15

logaritma potrebno ići do ˇclana proporcionalnog trećem stepenu γ .) Pokazati da je u tom sluˇcaju domet (u ravni z = 0) jednak 2v1 v3 8γv 1 v32 D = . 3g2 g

−


(ii) Na osnovu izraza izvedenog u prethodnom delu zadatka pokazati da ugao α (u odnosu na ravan z = 0), pod kojim treba izbaciti projektil da bi domet D pri zadatom intenzitetu v 0 poˇcetne brzine bio maksimalan, zadovoljava jednaˇcinu cos2α =

√ 2γv 3g

0

.

(Uputstvo: u ˇclanu koji sadrˇzi γ uzeti vrednost nulte aproksimacije za ugao.) (iii) Proceniti optimalni ugao α i domet D za projektil izbaˇcen poˇcetnom brzinom v0 = 100 m/s, ako je poznato da u sluˇcaju kada se taj projektil ispusti bez poˇcetne brzine sa velike visine njegova brzina dostiˇze graniˇcnu vrednost v G = 500 m/s.



16

GLAVA 1.




OSNOVNE POSTAVKE

A J I Z  R E  V a k i n  A a h e N  m  D  a k A s j i R e o r Glava 2

Osnovne teoreme mehanike 2.1

Teorema kinetiˇ cke energije

c ´ Posmatrajmo proizvoljan fiziˇcki sistem, koji se sastoji od N ˇcestica. Interesuje nas za koliko se i z njegova ukupna kinetiˇcka energija T u toku infinitezimalno kratkog vremenskog intervala ˇ promeni d dt. a Poˇsto je N H 1 = T mν vν 2 , c ´ 2 i ν =1 v o odgovaraju´ ca promena kinetiˇcke energije jednaka je z e N l dT = mν vν dvν , E . ν =1 S gde je dvν promena brzine ν -te ˇcestice do koje je doˇslo za vreme dt. Kako je dvν = aν dt, izraz za 0 dT moˇ 1 ze da se prepiˇse kao N 0 2 dT = mν vν aν dt , c ν =1 

·

·

a poˇsto je drν = vν dt, konaˇcno se dobija N

dT =

N

ν =1

N

Izraz

ν =1

 ν drν . F

mν aν drν =

·

ν =1

·

(2.1)

 ν drν je, po definiciji, ukupni rad izvrˇsen na ˇcesticama sistema za vreme dt. Odavde je F

·

jasno da je promena ∆T ukupne kinetiˇcke energije sistema, do koje dode za proizvoljno vreme ∆t, jednaka ukupnom radu ∆A izvrˇsenom na sistemu za to vreme. Ovaj stav je poznat kao teorema kinetiˇcke energije.

T

2.1.1

Zakon odrˇ zanja ukupne mehaniˇ cke energije

 ν koje mogu da se izraze preko skalarne funkcije U (r1 , Sile F  ν = F

−grad U = ν

 −

·· · , r , t) kao n

∂U ∂U ∂U ex + ey + ez ∂x ν ∂y ν ∂z ν 17



(2.2)

18

GLAVA 2.

OSNOVNE TEOREME MEHANIKE

nazivaju se potencijalne sile , a funkcija U potencijalna energija sistema. Ako U ne zavisi eksplicitno od vremena, kaˇzemo da su odgovarajuće sile konzervativne . (Primeri: gravitaciona sila, sila elastiˇcnosti opruge itd.) Ukupna mehaniˇcka energija E sistema se definiˇse kao zbir njegove kinetiˇcke T i potencijalne energije U : E = T + U . Ako su sve sile koje deluju na sistem konzervativne, onda je ukupni rad izvrˇsen na sistemu za vreme dt jednak N



N

 ν drν = F

ν =1

·

 − ν =1

N

gradν U drν =

·

A J I Z R E a V n k i

  − ν =1



∂U ∂U ∂U dxν + dyν + dz ν = ∂x ν ∂y ν ∂z ν

−dU ,

ˇsto znaˇci da rad koji izvrˇse konzervativne sile zavisi samo od poˇ cetnih i krajnjih poloˇzaja ˇcestica na koje te sile deluju, a ne i od puta, tj. naˇcina na koji su se ˇcestice premestile iz poˇcetnih u krajnje poloˇzaje . Poˇsto je prema teoremi kinetiˇcke energije (2.1) taj rad upravo jednak promeni kinetiˇcke energije, sledi da je

c ´ i dT = dU d(T + U ) = dE = 0 (2.3) E = const , z ˇ d tj. a vaˇzi zakon odrˇ zanja energije : ako su sve sile koje deluju na ˇcestice sistema konzervativne, onda se ukupna mehaniˇcka energija sistema odrˇzava u toku kretanja . Jasno je da zakon odrˇzanja H energije c vaˇzi i ako osim konzervativnih sila deluju i tzv. giroskopske sile, tj. sile koje ne vrˇse rad ´ i  kojom magnetno polje B  deluje na ˇcesticu naelektrisanja q , koja se (npr. v Lorencova sila qv B, o kre´ ce brzinom v ). z e Ako potencijalna energija U eksplicitno zavisi od vremena, onda je l E N N . ∂U ∂U ∂U ∂ U  ν drν + ∂ U dt = dT + ∂ U dt , dU = dxν + dyν + dz ν + dt = F S ∂x ν ∂y ν ∂z ν ∂t ∂t ∂t ν =1 0 ν =1 1 pa 0 je jasno da zakon odrˇzanja energije u tom sluˇcaju ne vaˇ zi. 2 c 

−

⇒

⇒

×

A a h e N m  D a k A s   j i R r 

2.2



−

·

−

Teorema impulsa

Ukupni impuls  p proizvoljnog sistema od N ˇcestica jednak je N

p = 

mν vν ,

ν =1

a brzina njegove promene je

o e T

d p = dt

N

dvν = mν dt ν =1

N

 ν , F

ν =1

gde smo iskoristili osnovni dinamiˇcki zakon (1.1) za ˇcesticu. Silu ko ja deluje na ν –tu ˇcesticu moˇzemo  ν spolj (koja postoji da razloˇzimo na silu koja potiˇce od ˇcestica unutar sistema i na spoljaˇsnju silu F ako sistem nije izolovan): N

 ν = F

 µ=1

 µν + F  ν spolj , F

19

2.3. TEOREMA MOMENTA IMPULSA

tako da je d p = dt

  N

N

ν =1

N

 µν + F

 ν spolj F

µ=1

N

=

 µν + F  spolj . F

µ,ν =1

Ukupna unutraˇsnja sila jednaka je nuli, poˇsto je N

 

N

N

A J I Z  R E a V n k i N

N

 µν = 1  µν + 1  µν = 1  µν + 1  νµ = 1  µν + F  νµ ) = 0 , (F F F F F F 2 µ,ν =1 2 µ,ν =1 2 µ,ν =1 2 ν,µ=1 2 µ,ν =1 µ,ν =1













gde smo prvo u drugoj dvostrukoj sumi promenili mesta nemim indeksima µ i ν , a zatim iskoristili zakon akcije i reakcije. Znaˇci, brzina promene ukupnog impulsa sistema jednaka je ukupnoj spoljaˇsnoj sili koja deluje na sistem , tj. d p  spolj , = F (2.4) dt ˇsto predstavlja teoremu impulsa. Vektor poloˇzaja centra mase rc je po definiciji jednak

c ´ i N z ˇ d mν rν N a 1 ν =1 H = rc = N mν rν , m ν =1 c ´ i mν v ν =1 o z e gde je m = N l ν =1 mν ukupna masa sistema, pa je E N N . drc 1 = vc = mν vν p =  mν vν = mvc . S dt m ν =1 ν =1 0 1 Ako dobijeni izraz za impuls zamenimo u (2.4) zakljuˇcujemo da je 0 2  spolj , mac = F c 

 



A a h e N m D a k A s j i R r 

(2.5)

⇒

(2.6)

ˇsto znaˇci da se centar mase sistema kre´ ce kao ˇcestica mase jednake ukupnoj masi sistema, na koju deluje sila jednaka ukupnoj spoljaˇsnjoj sili koja deluje na sistem .

2.2.1

Zakon odrˇ zanja impulsa

Iz teoreme impulsa (2.4) direktno sledi zakon odrˇ zanja impulsa: ako je ukupna spoljaˇsnja sila koja deluje na sistem jednaka nuli, impuls sistema se ne menja u toku vremena .

2.3

o e T

Teorema momenta impulsa

 odnosu na neku taˇcku O (tzv. pol ) definiˇse se kao Moment proizvoljne vektorske veliˇcine A u  gde je r vektor poloˇzaja taˇcke u kojoj posmatramo A.  Moment impulsa vektorski proizvod r A, M (O) ˇcestice u odnosu na pol O je onda

−→

×

−M →

(O)

= r

× mv ,

(2.7)

20

GLAVA 2.

 (O) : a moment sile K

 (O) = r K


× F .

(2.8)

Ukupni moment impulsa sistema od N ˇcestica u odnosu na koordinatni poˇcetak inercijalnog sistema u kome posmatramo sistem jednak je

A J I Z    R    E  a    V  k  i   n  A a    h   e N     m D  a k A s j i R r −M →=

N



rν

ν =1

× m v , ν ν

pa je brzina njegove promene

−→ dM dt

N

N

drν dt

 ×    

=

ν =1

mν vν +

rν

ν =1

×m

ν

dvν = dt

=0

N

N



rν

ν =1

× m a

ν ν



=

rν

ν =1

× F  . ν

(2.9)

Ako silu koja deluje na ν -tu ˇcesticu razloˇzimo na njenu unutraˇsnju i spoljaˇsnju komponentu, sliˇcno c ´ i kao pri izvodenju teoreme impulsa, zakljuˇcujemo da je ukupni moment unutraˇsnjih sila jednak nuli. z ˇ Naime, d

a H c ´ i v o z e l E . S 0 1 0 2 c 

N

N

rν

ν =1

×

 ν unutr F

N

=

rν

ν =1

1 = 2

×

N

N

N

 µν = F

µ=1

ν =1 µ=1

µν

ν =1 µ=1

N

rν

× F 

rν

×

 µν + 1 F 2

N

N

rν

ν =1 µ=1

× F 

µν

ν ↔µ

1 = 2

N

N

rν

ν =1 µ=1

×

 µν + 1 F 2

N

N

rµ

µ=1 ν =1

× F 

νµ

akcija−reakcija

1 = 2

N

N

rν

ν =1 µ=1

× F  − µν

1 2

N

N

rµ

µ=1 ν =1

× F 

µν

N

1 = (rν 2 ν,µ=1

o e T

− r ) × F  µ

µν

= 0,

gde smo u poslednjem redu iskoristili postulat sile po kome je sila interakcije izmedu dve ˇcestice kolinearna sa njihovim relativnim vektorom poloˇzaja. Konaˇcno, iz (2.9) onda sledi

−→

dM = dt

N

 ν =1

rν

× F 

spolj ν

 spolj , = K

(2.10)

tj. brzina promene momenta impulsa sistema jednaka je ukupnom momentu svih spoljaˇsnjih sila koje deluju na sistem , ˇsto predstavlja teoremu momenta impulsa.

21

2.3. TEOREMA MOMENTA IMPULSA

2.3.1

Zakon odrˇ zanja momenta impulsa

Ako je ukupni moment svih spoljaˇsnjih sila jednak nuli, onda je

−→

dM = 0, dt


pa je ukupni moment impulsa sistema stalan u toku vremena .

ZADACI



22

GLAVA 2.





Glava 3


Metod nezavisnih generalisanih koordinata c ´ i 3.1 z Veze ˇ

d a Ako pri kretanju sistema postoje izvesna ograniˇcenja na poloˇzaje i brzine ˇcestica, kaˇ zemo da H sistem - vrˇsi prinudno kretanje. U suprotnom, tj. ako nema takvih ograniˇcenja, kaˇze se da je c ´ sistem i slobodan ili da vrˇsi slobodno kretanje. Pomenuta ograniˇcenja se nazivaju veze i ona se v pomoću povrˇsina, poluga, osovina ili drugih mehanizama. Matematiˇcki se veze izraˇzavaju realizuju o z relacijama izmedu koordinata i brzina ˇcestica, i vremena. Ovde će biti razmatrani samo sluˇcajevi e l su te relacije izraˇzene jednaˇcinama koje sadrˇze samo koordinate ˇcestica i vreme. Takve veze kada E se holonomne. U zavisnosti od toga da li eksplicitno zavise od vremena ili ne, one se nazivaju . nazivaju nestacionarne odnosno stacionarne , redom. S 0 1 3.1.1. Na slici 3.1 prikazan je sistem koji se sastoji od jedne ˇcestice, ˇcije je kretanje Primer 0 ceno uslovom da se ona u svakom trenutku nalazi u uskoj cevi koja rotira konstantnom ograniˇ 2 ugaonom brzinom ω oko z ose i stalno je u Oxy ravni. Ako za odredivanje poloˇzaja ˇcestice izaberemo c 


cilindriˇcne koordinate (ρ,ϕ,z ), onda su u svakom trenutku zadovoljeni uslovi: z = 0, ϕ = ωt + ϕ0 , gde je ϕ0 ugao koji je cev zaklapala sa x osom u trenutku t = 0. Ove dve jednaˇcine predstavlja ju

o e T

Slika 3.1: U tankoj cevi koja u Oxy ravni rotira oko z ose (konstantnom ugaonom brzinom ω) nalazi se ˇcestica. 23

24

GLAVA 3.

METOD NEZAVISNIH GENERALISANIH KOORDINATA

veze i jasno je da se radi o holonomnim vezama, pri ˇcemu je prva stacionarna, a druga nestacionarna.

3.2

Nezavisne generalisane koordinate


Posmatrajmo sistem od N ˇcestica, ˇciji su poloˇzaji ograniˇceni sa k holonomnih veza. Skup od zadatih k holonomnih jednaˇcina veza f 1 (x1 , y1 , z 1 , f k (x1 , y1 , z 1 ,

· ·· , x

N , yN , z N , t)

· ··

= 0,

.. . , xN , yN , z N , t) = 0 ,

(3.1)

moˇze da se shvati kao sistem algebarskih jednaˇcina po k, proizvoljno izabranih, Dekartovih koordinata ˇcestica. Reˇsavanjem tog sistema, izabranih k koordinata moˇze da se izrazi preko preostalih n = 3N k koordinata. Broj n naziva se broj stepeni slobode i predstavlja minimalan broj veliˇcina potrebnih da se potpuno opiˇse poloˇzaj svih ˇcestica, odnosno konfiguracija sistema. Uko c ´ i liko simetrija problema to nameće, umesto Dekartovih koordinata mogu da se izaberu neke druge, z ˇ tzv. generalisane koordinate, ali je i u tom sluˇcaju od prvobitnih 3N koordinata moguće izabrati d a 3N k nezavisnih generalisanih koordinata koje u svakom trenutku jednoznaˇcno odreduju n = H konfiguraciju sistema. Nezavisne generalisane koordinate ćemo oznaˇcavati sa q i , i = 1, ,n i u c ´ daljem i toku izlaganja ćemo ih kratko zvati generalisane koordinate (kada ne postoji mogućnost v a njihove izvode po vremenu q ˙ = dq – generalisane brzine. Generalisane koordinate, zabune), dt o z potpuno opisuju poloˇzaj sistema ˇcestica, ali ne moraju biti vezane za po jedinaˇcne ˇcestice. dakle, e l Npr. ako posmatramo sistem od 2 ˇcestice, koje se kreću duˇz x–ose, za generalisane koordinate E moˇzemo izabrati x–koordinatu centra mase tog sistema i rastojanje izmedu ˇcestica. . Formalno, postupak odredjivanja nezavisnih generalisanih koordinata se izvodi na sledeći naˇcin. S Prepostavimo da smo sa prvobitnih 3N Dekartovih koordinata preˇsli na 3N nekih drugih, pogod 0 1 nijih, koordinata koje ćemo oznaˇciti sa q 1 , q 2 , q 3N , tako da vaˇzi

−

−

···

A a h e N m D a k A s j i R r 0 2 xi = x i (q 1 , c 

·· ·

3N ) ,

yi = y i (q 1 ,

··· , q

3N ) ,

·· · , q

z i = z i (q 1 ,

3N ) ,

i = 1,

· ·· , q

··· , N .

(3.2)

U jednaˇcinama veza (3.1) Dekartove koordinate sada mogu da se izraze preko generalisanih koordinata q i , ˇcime se dobija sistem od k algebarskih jednaˇcina u kojima figuriˇse 3N generalisanih koordinata. Od tih 3N generalisanih koordinata izaberemo n = 3N k nezavisnih generalisanih koordinata: q 1 , , q n , a sve ostale q n+1 , q n+2 , , q 3N izrazimo preko njih. Konaˇcno, pomoću jednaˇcina (3.2), sve Dekartove koordinate mogu da se izraze preko nezavisnih generalisanih koordinata q 1 , , q n , tako da se vektor poloˇzaja rν proizvoljne ˇcestice sistema izraˇzava u funkciji nezavisnih generalisanih koordinata i vremena t kao

···

−

···

···

rν = x ν (q 1 ,

··· , q , t)e + y (q , · ·· , q , t)e + z (q , ··· , q , t)e

o e T n

x

ν

1

n

y

ν

1

n

z

= rν (q 1 ,

·· · , q , t) . n

(3.3)

Vreme t se eksplicitno javlja u ovom izrazu ako ono postoji i u jednaˇcinama veza (3.1), tj. u sluˇcaju nestacionarnih veza, ili ako relacije izmedu Dekartovih i generalisanih koordinata (3.2) eksplicitno sadrˇze vreme. Poloˇzaj svake ˇcestice je, dakle, potpuno odreden u svakom trenutku, ako su poznate zavisnosti nezavisnih generalisanih koordinata od vremena q i (t). Brzina ˇcestice je onda drν = vν = dt

n

 i=1

∂rν ∂rν = vν (q 1 , q ˙i + ∂q i ∂t

··· , q , q ˙ , ··· , q ˙ , t) , n

1

n

(3.4)

25

3.2. NEZAVISNE GENERALISANE KOORDINATE

tj. predstavlja funkciju generalisanih koordinata q i , generalisanih brzina q ˙i i vremena t.

Primer 3.2.1. Kao ˇsto je pokazano, u primeru 3.1.1 postoje dve veze, pa, poˇsto se sistem sastoji od jedne ˇcestice, broj stepeni slobode je n = 3 1 2 = 1. Za jedinu generalisanu koordinatu ovde je na jprirodnije izabrati cilindriˇcnu koordinatu ρ, tj. rastojanje ˇcestice od z ose. Koriˇsćenjem jednaˇcina veza: z = 0 i ϕ = ωt + ϕ0 , radijus-vektor ˇcestice onda moˇze da se napiˇse u obliku:

· −

A J I Z R      E      a V k i       n a  A  h e N m  D a k  A s j i R e o r    r = ρeρ = ρ(cos ϕ ex + sin ϕ ey ) = ρ[cos(ωt + ϕ0 )ex + sin(ωt + ϕ0 )ey ] = r (ρ, t) ,

(3.5)

a brzina je jednaka:

∂r ∂r ˙ρ + = ρ[cos(ωt + ϕ ˙ ex + sin(ωt + ϕ0 )ey ] + ρω[ sin(ωt + ϕ0 )ex + cos(ωt + ϕ0 )ey ] 0 ) ∂ρ ∂t = v (ρ, ρ, ˙ t) . (3.6)

v =

c ´

i 3.2.1 z ˇ

−

Kinetiˇ cka energija

d a Kinetiˇcka energija se na sledeći naˇcin izraˇzava u funkciji generalisanih koordinata i brzina : H 2 N N n c ´ i 1 1 ∂ r ∂ r ν ν T = mν vν 2 = mν q ˙i + v 2 2 ∂q i ∂t o ν =1 ν =1 i=1 z N n n e l 1 ∂rν ∂rν ∂rν ∂rν = ˙ + ˙ + m q q ν i j E 2 ∂q i ∂t ∂q j ∂t . ν =1 i=1 j=1 S N n n 2 1 ∂ r ∂ r ∂ r ∂ r ∂ r ν ν ν ν ν 0 = mν q ˙i ˙q j + 2 q ˙i + 1 2 ∂q ∂q ∂t ∂q ∂t i j i ν =1 i,j=1 i=1 0 2 n n 1 c = Aij (q 1 , , q n , t)q ˙i ˙q j + Bi (q 1 , , q n , t)q ˙i + C (q 1 , , q n , t) , (3.7) 

·

·

2 i,j=1

·

· ··

···

i=1

···

gde su

N

Aij (q 1 , Bi (q 1 ,

T

C (q 1 ,

··· , q , t)

=

··· , q , t)

=

n

n

··· , q , t) n

mν

∂rν ∂rν , ∂q i ∂q j

·

(3.8)

mν

∂rν ∂rν , ∂q i ∂t

(3.9)

(3.10)

ν =1 N

ν =1 N

=

ν =1

·

1 ∂rν mν 2 ∂t

2

.

Znaˇci, kinetiˇcka energija je kvadratna funkcija generalisanih brzina, a u sluˇcaju kada rν ne zavisi eksplicitno od vremena ni za jedno ν , ona će sigurno biti i homogena kvadratna funkcija generalisanih brzina, poˇsto su tada svi koeficijenti B i i C jednaki nuli.

26

GLAVA 3.


Primer 3.2.2. Kinetiˇcka energija ˇcestice (mase m) iz primera 3.1.1 je na osnovu formule 3.7 jednaka 1 ˙ (ρ, t) , T = A(ρ, t)ρ˙2 + B(ρ, t)ρ + C 2

A J I Z   R E a V n k i    a      A  h e N m D  a k A s j i R r gde su, prema gore izvedenim formulama, koeficijenti A, B i C jednaki A(ρ, t) = m

 ∂r ∂ρ

2

∂r ∂r =0, B(ρ, t) = m ∂ρ ∂t

= m ,

·



1 ∂r C (ρ, t) = m 2 ∂t

2

= mρ2 ω 2 ,

pa je

1 T = m(ρ˙2 + ρ2 ω 2 ) . 2 Kinetiˇcka energija je ovde (ˇsto je ˇcesto sluˇcaj) brˇze mogla da se dobije zamenom opˇsteg izraza za kvadrat brzine u cilindriˇcnim koordinatama u definicioni izraz za kinetiˇcku energiju, u kome se onda iskoriste jednaˇcine veza:

c ´ i 1 2 1 1 z ˇ 2 2 2 2 = = ˙ + ρ ˙ + ˙ ) = T m v m( ρ ϕ z m(ρ˙2 + ρ2 ω 2 ) . d 2 2 2 a =0 =ω H U ´ ovom nehomogena kvadratna funkcija generalisane brzine zato ˇsto c i primeru kinetiˇcka energija je ∂r postoji v nestacionarna veza. Iako je ∂t = 0, linearni ˇclan u kinetiˇckoj energiji ne postoji zato ˇsto su o ∂r i ∂r medusobno ortogonalni. vektori z ∂t ∂ρ e l E 3.2.2 Rad . S  ν pomere Izraˇcunajmo sada ukupni rad pri kretanju u toku kojeg se ˇcestice pod delovanjem sila F 0 za 1 drν : 0 2 N N n n N N ∂ r ∂ r ∂ r ν ν ν c  ν drν =  ν  ν  ν ∂rν dt . (3.11) dq i + dt = dq i + F F F F 



ν =1

·

ν =1

·

i=1

∂q i

∂t

i=1

ν =1

· ∂q

i

ν =1

·

∂t

Suma koja u prvom sabirku u poslednjem izrazu stoji uz d q i naziva se generalisanom silom, koja odgovara generalisanoj koordinati q i , i oznaˇcićemo je sa Q i , tako da je N

Qi =

 o e T

 ν ∂rν . F ∂q i ν =1

·

(3.12)

Primer 3.2.3. U sluˇcaju slobodnog kretanja sistema od N ˇcestica za nezavisne generalisane koordinate moˇzemo da uzmemo Dekartove koordinate ˇcestica: xν , yν , z ν , ν = 1, N . Tada je ukupni elementarni rad: N

ν =1

N

 ν drν = F

·



(F ν,x dxν + F ν,y dyν + F ν,z dz ν ) ,

ν =1

pa je jasno da se generalisane sile u ovom sluˇcaju poklapaju sa odgovarajućim Dekartovim komponentama sila koje deluju na ˇcestice.

27

3.2. NEZAVISNE GENERALISANE KOORDINATE

Primer 3.2.4. Ako za generalisane koordinate u sluˇcaju jedne ˇcestice koja se slobodno kreće izaberemo cilindriˇcne koordinate i ako na ˇcesticu deluje sila  = F ρeρ + F ϕeϕ + F zez , F za elementarni rad dobijamo izraz


 dr = (F ρeρ + F ϕeϕ + F z ez ) (dρeρ + ρ dϕ F eϕ + dzez ) = F ρ dρ + F ϕ ρ dϕ + F z dz ,

·

·

odakle se vidi da su generalisane sile Qρ = F ρ ,


Qϕ = F ϕ ρ ,

Qz = F z .


28

GLAVA 3.





A J I Z R E    a V n k i

Glava 4

Dalamber-Lagranˇ zev princip 4.1

Mogu´ ca i virtuelna pomeranja

c ´ i z ˇ Infinitezimalno pomeranje drν ˇcestice ν nazivamo mogućim ako je ono u skladu sa vezama. d Virtuelno pomeranje ˇcestice δrν je po definiciji jednako razlici dva moguće pomeranja, drν i drν , a iz H iste taˇcke rν , u istom trenutku i koja traju isto vreme dt. Ako pomeranju drν odgovara promena generalisanih koordinata dq i , i = 1, , n, a pomeranju drν promena d q i , i = 1, , n, onda c ´ i virtuelno v pomeranje preko generalisanih koordinata moˇze da se izrazi na sledeći naˇcin: o z e n n l ∂rν  ∂rν ∂rν ∂rν  d q i + dt dq i + dt δrν = d rν drν = E ∂q ∂t ∂q ∂t i i . i=1 i=1 S n ∂rν 0 = (4.1) δq i , 1 ∂q i i=1 0 2 c i oznaˇcava razliku odgovarajućih pomeranja d q i i dq i : gde δq 

···

· ··



A a h e N m D a k A s j i R r −



δq i = d q i

−

− dq , i

i = 1,

··· , n .

(4.2)

Primeri...

4.2

o e T Reakcije

Sile koje se javljaju usled postojanja veza nazivaju se silama reakcije. Kaˇzemo da su sile reakcije idealne ako su jednake linearnoj kombinaciji gradijenata gradν f i k

 ν = R



λi gradν f i ,

i=1

29

(4.3)

30

GLAVA 4.

ˇ DALAMBER-LAGRAN ZEV PRINCIP

gde λi (tzv. Lagranˇzevi mnoˇzitelji veza) mogu biti funkcije koordinata i brzina svih ˇcestica, kao i vremena, ali su isti za sve ˇcestice. Izraˇcunajmo ukupni rad svih sila reakcije na mogućem pomeranju: N



N

 ν drν = R

ν =1

·

k

 ·     −  − λi gradν f i drν

ν =1 i=1 k N

=

λi

ν =1

i=1 k

=

A J I  Z R E a V k i  n 

∂f i ∂f i ∂f i dxν + dyν + dz ν ∂x ν ∂y ν ∂z ν

λi df i

i=1

k

∂ f i dt = ∂t

i=1

λi

∂f i dt . ∂t

(4.4)

Odatle je jasno da je ukupni rad svih sila reakcije na virtuelnom pomeranju jednak nuli: N



N

 ν δrν = R

·



N

 ν d rν R

·



−

 ν drν = 0 . R

·

(4.5)

c ´ ν =1 ν =1 ν =1 i z ˇ d a Dalamber-Lagranˇ 4.3 zev princip H c ´ Napiˇsimo sada osnovni dinamiˇcki zakon za proizvoljnu ˇcesticu ν : i v o  ν + R  ν , mν aν = F z e l  ν i silu reakcije R  ν . Ako gde smo ukupnu silu koja deluje na ˇcesticu razdvojili na aktivnu silu F E . takvu jednaˇcinu pomnoˇzimo virtuelnim pomeranjem δrν i prosumiramo po svim ˇcesticama svaku S Dalamber–Lagranˇ zev princip : dobijamo 0 1 N 0  ν mν aν δrν = 0 , 2 F c ν =1 

A a h e N m D a k A s j i R r 

−

·

tj, ukupni rad svih aktivnih sila i fiktivnih sila inercije ( mν aν ) na virtuelnim pomeranjima idealnih holonomnih sistema jednak je nuli.

−

ZADACI

cunom pokazati da je rad idealnih sila reakcije na virtuelnom Zadatak 4.3.1. Eksplicitnim raˇ pomeranju u sluˇcaju Tejlorovog klatna jednak nuli. Tejlorovo klatno je ˇcestica mase m koja se u homogenom gravitacionom polju bez trenja kreće po tankom prstenu polupreˇcnika R, koji rotira oko svog vertikalnog preˇcnika konstantnom ugaonom brzinom ω.

o e T

A J I Z R E  V a k i n     A   a h e N m D a k A s j i R e o r  Glava 5

Lagranˇ zeve jednaˇcine

zeve jednaˇcine : Iz Dalamber–Lagranˇzevog principa mogu se dobiti tzv. Lagranˇ d ∂T

− ∂ T

= Q i , i = 1, c ´ i dt ˙ ∂ q ∂q i i z ˇ d gde generalisane sile Q i potiˇcu samo od aktivnih sila. a H c ´ i Izvodenje Lagranˇ 5.1 zevih jednaˇ cina v o z Poˇsto je e l n ∂rν E δrν = δq i i aν = . ∂q i i=1 S 0izraz aν δrν jednak je 1 n n n 0 dv dvν ∂rν d ∂rν 2 aν δrν = δq i = δq i = dt i=1 ∂q i dt ∂q i dt c i=1 i=1 

· ·· , n

•

(5.1)

dvν , dt

vν

∂rν ∂q i

− v

ν

d ∂rν δq i . (5.2) dt ∂q i

(5.3)

Dalje se ovaj izraz moˇze transformisati uz pomoć relacija ∂rν ∂ r˙ν = , ∂q i ∂ q ˙i

d ∂rν ∂ drν = . dt ∂q i ∂q i dt

(5.4)

Relacija (5.3) se dokazuje polazeći od izraza (3.4) za brzinu u generalisanim koordinatama: n

T

odakle je

vν =

j=1

∂rν ∂rν q ˙ j + , ∂q j ∂t

∂ r˙ν ∂vν ∂rν = = , ∂ q ˙i ∂ q ˙i ∂q i 31

(5.5)

32

GLAVA 5.

poˇsto je

∂ q ˙ j = δ ij , ∂ q ˙i

∂ ∂rν = 0, ∂ q ˙i ∂q j

ˇ ˇ LAGRAN ZEVE JEDNACINE

∂ ∂rν = 0. ∂ q ˙i ∂t

Da bismo pokazali (5.4) potraˇzićemo eksplicitan izraz za

(5.6)

d ∂rν : dt ∂q i

A J I Z          R E       a V     k  i n      A a h   e  N m D   a k A s j    i  R e o r n

d ∂rν ∂ ∂rν ∂ ∂rν = q ˙ j + . dt ∂q i j=1 ∂q j ∂q i ∂t ∂q i



Kako, medutim, parcijalni izvodi po koordinatama i vremenu komutiraju, poslednji izraz se moˇze prepisati kao n



j=1

∂ ∂rν ∂ ∂rν ∂ = q ˙ j + ∂q i ∂q j ∂q i ∂t ∂q i

gde smo uzeli u obzir i

 n

j=1

∂rν ∂rν q ˙ j + ∂q j ∂t



=

∂ drν , ∂q i dt

∂ q ˙i =0, c ´ ∂q j i z ˇ dˇcime je relacija (5.4) dokazana. Pomoću relacija (5.3) i (5.4) izraz (5.2) dobija oblik a n n d d 1 ∂vν 2 1 ∂vν 2 ∂vν ∂vν H = = aν δrν vν vν δq i δq i , dt ˙ dt 2 ˙ 2 ∂ q ∂q ∂ q ∂q i i i i c ´ i=1 i=1

i vpa je o z e l E . S 0 1 0 2 c 

−

N

−

N

mν aν δrν =

ν =1

n

mν

ν =1 n

i=1 N

d dt

=

i=1 n

=

i=1 n

=

i=1

• Kako je

(5.7)

1 ∂vν 2 2 ∂ q ˙i

d dt

1 ∂vν 2 mν 2 ∂ q ˙i ν =1 N

d ∂ dt ∂ q ˙i

ν =1

d ∂T dt ∂ q ˙i

− ∂∂q T

−

1 ∂vν 2 δq i 2 ∂q i

N

−

1 mν vν 2 2

1 ∂vν 2 mν δq i 2 ∂q i ν =1

−

∂ ∂q i

N

ν =1

δq i .

1 mν vν 2 δq i 2

(5.8)

i

N

n

 ν δrν = F

ν =1

Qi δq i

i=1

iz (5.8) i Dalamber–Lagranˇzevog principa (4.3) sledi jednakost n

T

Qi

i=1

−

d ∂T dt ∂ q ˙i

− ∂∂q T

δq i = 0 .

(5.9)

i

Poˇsto su generalisane koordinate medusobno nezavisne, to su i njihove virtuelne promene δq i takode medusobno nezavisne, a kako poslednja jednakost treba da bude zadovoljena za sve moguće vrednosti δq i sledi da svi koeficijenti uz δq i moraju biti jednaki nuli, odnosno, zaista vaˇze Lagranˇzeve jednaˇcine u obliku (5.1).

ˇ ˇ 5.2. STANDARDNI OBLIK LAGRAN ZEVIH JEDNACINA

5.2

33

Standardni oblik Lagranˇ zevih jednaˇ cina

U opˇstem sluˇcaju sile koje deluju na sistem mogu biti potencijalne i nepotencijalne, pa je  ν = F

−grad U + F  , ∗ ν

A J I Z  R E   a V n k i A a h e N m D a k A s j i R e o r ν

gde smo zvezdicom obeleˇzili nepotencijalne aktivne sile. Onda i generalisane sile Qi moˇzemo razdvojiti na njihov potencijalni i nepotencijalni deo: N

Qi

 ν ∂rν = = F ∂q i ν =1

 ·   − N

=

ν =1

c ´

ije gde z ˇ

N

N

∂rν  ν ∗ ∂rν gradν U + F ∂q i ν =1 ∂q i ν =1

 −

 

·

·

∂U ∂x ν ∂U ∂y ν ∂U ∂z ν + + + Q∗i , ∂x ν ∂q i ∂y ν ∂q i ∂z ν ∂q i

N d a ∗  ν ∗ ∂rν Qi = F H ∂q i ν =1 c ´ i generalisana sila koja odgovara nepotencijalnim silama, a v o z N e l ∂U ∂x ν ∂U ∂y ν ∂U ∂z ν ∂U + + = , E ∂x ∂q ∂y ∂q ∂z ∂q ∂q ν i ν i ν i i ν =1 . S 0 pa je 1 ∂U 0 + Q∗i . Qi = 2 ∂q i c 

·

−

Ako ovakav izraz za generalisane sile zamenimo u jednaˇcine (5.1) dobijamo d ∂T dt ∂ q ˙i

− ∂∂q T = − ∂U + Q , ∂q i

i

∗ i

odnosno

d ∂ (T U ) dt ∂ q ˙i

− − ∂ (T − U ) = Q . ∂q i

∗ i

Funkcija

T

L(q 1 ,

··· , q , q ˙ , ··· , q ˙ , t) = T − U n

1

n

(5.10)

naziva se Lagranˇzeva funkcija, ili lagranˇ zijan , i pomoću nje se Lagranˇzeve jednaˇcine piˇsu u uobiˇcajenom obliku d ∂L ∂L = Q∗i , (5.11) i = 1, , n . dt ∂ q ˙i ∂q i

−

···

34

GLAVA 5.

5.3


Osobine Lagranˇ zevih jednaˇ cina

Poˇsto prema (3.7) kinetiˇcka energija T ima oblik n

n

1 T = Aij (q 1 , 2 i,j=1



· ·· , q , t)q ˙ ˙q +



Bi (q 1 ,

··· , q , t)q ˙ + C (q , ··· , q , t) ,

A J  I Z R      E a V    k i n  A   a  h e N  m   D a      k A s j      i R e o r n

i j

i=1

n

i

1

n

a potencijalna energija U ne zavisi od generalisanih brzina, parcijalni izvodi lagranˇzijana su jednaki: n

1 ∂L ∂A ij = q ˙i ˙q j + 2 i,j=1 ∂q l ∂q l



i

n

 i=1

∂B i ∂ C q ˙i + ∂q l ∂q l

− ∂∂q U l

n

1 ∂L ∂ = (q ˙i ˙q j ) + Bl . Aij 2 i,j=1 ∂ q ˙l ∂ q ˙l

c je, medutim, ´ Kako i

z ˇ ∂ (q ˙i ˙q j ) = δ li ˙q j + q ˙i δ jl , d ∂ q ˙l a H dvostruka suma u izrazu za izvod lagranˇzijana po generalisanoj brzini svodi se na jednu sumu, tj. c ´ i n n n 1 1 ∂L v = Aij (δ li ˙q j + q ˙i δ jl ) + Bl = Alj ˙q j + Ail ˙q i + Bl . o 2 i,j=1 2 j=1 ∂ q ˙l z i=1 e l S E druge strane, iz izraza (3.8) za koeficijente A ij je jasno da je A ij = A ji , pa je . S n n 1 ∂L 0 = Ali ˙q i + Ail ˙q i + Bl 1 2 i=1 ∂ q ˙l i=1 0 n n n 2 1 c = Ali ˙q i + Ali ˙q i + Bl = Ali ˙q i + Bl .  2

i=1

i=1

i=1

Dalje je

d ∂L = dt ∂ q ˙l

n

j=1 n

∂ ∂L ∂ ∂L q ˙ j + q¨ j ∂q j ∂ q ˙l ∂ q ˙ j ∂ q ˙l n

=

j=1 n

 T 

i=1

+

∂ ∂L ∂t ∂ q ˙l

∂A li ∂ Bl q ˙i ˙q j + q ˙ j + Alj q¨ j ∂q j ∂q j n

∂A li = Alj q¨ j + q ˙i ˙q j + ∂q j j=1 i,j=1

n

i=1

n

+

i=1

∂A li ∂ Bl q ˙i + ∂t ∂t

∂A li ∂ Bl + ∂t ∂q i

q ˙i +

∂ Bl , ∂t

tako da, konaˇcno, Lagranˇzeve jednaˇcine u opˇstem sluˇcaju imaju oblik: n

n

Alj (q, t)¨ q j +

j=1

i,j=1

n

1 (q, t)q ˙i ˙q j + f lij

 i=1

˙ t) , f li2 (q, t)q ˙i + f l3 (q, t) = Q ∗l (q, q,

l = 1,

··· , n ,

(5.12)

5.3.

ˇ ˇ OSOBINE LAGRAN ZEVIH JEDNACINA

35


Slika 5.1: Zadatak 5.3.1: Modifikovana Atvudova maˇsina.

gde smo sa q i q kratko ˙ oznaˇcili skupove (q 1 , , q n ) i (q ˙1 , , q ˙n ). Lagranˇzeve jednaˇcine, dakle, c ´ i z predstavljaju sistem od n simultanih obiˇcnih diferencijalnih jednaˇcina drugog reda, u kome su ˇ d nepoznate funkcije sve generalisane koordinate q i (t), i = 1, , n, a nezavisno promenljiva vreme a One su linearne po izvodima najviˇseg reda, qï , a moˇze se pokazati [1] da se iz njih eksplicitno svi t. H - izraziti preko generalisanih brzina, koordinata i vremena, pa se onda i odatle moˇze izvući mogu qï ´ c i cak da vaˇzi princip kauzalnosti. zakljuˇ v o Iz Lagranˇzevih jednaˇcina se za sisteme sa iskljuˇcivo potencijalnim silama ponekad neposredno z e dobiti prvi integrali kretanja. Naime, ako lagranˇzijan ne zavisi eksplicitno od koordinate q i mogu l (takva E koordinata zove se cikliˇcna ), odgovara juća Lagranˇzeva jednaˇcina ima oblik

···

··· ···

A a h e N m D a k A s j i R r . S 0 1 0 2 je odakle c 

d ∂L =0, dt ∂ q ˙i

∂L = const . ∂ q ˙i

ZADACI

Zadatak 5.3.1. (i) Sastaviti lagranˇzijan i Lagranˇzeve jednaˇcine za sistem prikazan na slici 5.1 ˇ (a). Cestice masa m 1 , m 2 i m 3 kreću se duˇz odgovarajućih vertikala, mase koturova preko kojih su prebaˇcene niti za koje su zakaˇcene ˇcestice su zanemarljive, a niti su neistegljive i takode zanemarljive ˇ mase. (ii) Sastaviti lagranˇzijan i Lagranˇzeve jednaˇcine za sistem prikazan na slici 5.1 (b). Cestica mase m1 potopljena je u posudu sa teˇcnoˇsću, tako da na tu ˇcesticu od aktivnih sila osim sile  ∗ = γv , gde je γ zadata konstanta, a v brzina gravitacije deluje i sila otpora sredine oblika F ˇcestice. (iii) Za sistem opisan u delu (b), naći konaˇcne jednaˇcine kretanja ˇcestica, uzimajući da je m1 = 5m, m2 = 4m, m3 = 2m. U poˇcetnom trenutku ˇcestice su mirovale, a poloˇzaje ˇcestica odrediti u odnosu na njihove poˇcetne poloˇzaje. (iv) Pod uslovima definisanim u delu (c) odrediti sile zatezanja niti u proizvoljnom trenutku.

o e T

−

36

GLAVA 5.



Slika 5.2: Slika uz zadatak 5.3.3.

Zadatak 5.3.2. Po strmoj ravni mase M , koja leˇzi na glatkoj horizontalnoj ravni moˇze da klizi c ´ materijalna taˇcka mase m. Ceo sistem se kreće pod delovanjem homogene gravitacione sile (g = i z ˇ gey ), a trenje se moˇze zanemariti. Ugao pod kojim je strma ravan nagnuta u odnosu na horizontalu d a je α, a visina strme ravni je h. Smatrati da se materijalna taˇcka kreće u vertikalnoj ravni jednak H Oxy, - a strma ravan duˇz x ose. c ´ i v(i) Vektorskom metodom naći diferencijalne jednaˇcine kretanja strme ravni i materijalne taˇcke. oAko je u poˇcetnom trenutku sistem mirovao, a materijalna taˇcka se nalazila na vrhu strme z eravni, izraˇcunati vreme za koje ce ona spustiti do dna strme ravni. l E . (ii) Eksplicitnim raˇcunom pokazati da je rad sila reakcije (koje treba smatrati idealnim) na Svirtuelnom pomeranju jednak nuli. 0 1(iii) Sastaviti lagranˇzijan i pomoću njega diferencijalne jednaˇcine kretanja. 0 2 Zadatak 5.3.3. Kuglica mase m moˇze da klizi duˇz glatke ˇsipke, uˇcvrˇsćene svojim kra jevima u c  taˇ ckama A i B na kracima pravog ugla AOB, koji rotira oko svog vertikalnog kraka OA konstantnom ugaonom brzinom ω. Kuglica je za taˇcke A i B zakaˇcena jednakim oprugama, konstanata elastiˇcnosti k i nominalne duˇzine l. Poznato je da je  OAB = α, kao i da je AB = 2l.

−

A a h e N m D a k A s j i R r (i) Sastaviti lagranˇzijan i Lagranˇzevu jednaˇcinu.

(ii) Ako je ω 2 = k/(m sin2 α), a u trenutku t = 0 se kuglica nalazila na jednakom rastojanju od taˇcaka A i B, pri ˇcemu joj je kinetiˇcka energija bila jednaka 12 ml2 ω 2 sin2 α, naći konaˇcne jednaˇcine kretanja kuglice.

o e T

ˇ mase m kreće se po nepokretno j sferi polupreˇcnika R u homogenom gravitaZadatak 5.3.4. Cestica cionom polju (tzv. sferno klatno). Smatrajući da je sila reakcije idealna i uzimajući za generalisane koordinate sferne uglove θ i ϕ: (i) Sastaviti lagranˇzijan i Lagranˇzeve jednaˇcine. (ii) Polazeći od Lagranˇzevih jednaˇcina pokazati da θ zadovoljava diferencijalnu jednaˇcinu ¨ oblika θ = f (θ). Kog oblika je funkcija f (θ)?

5.3.


37



d 1 ˙2 (iii) Koristeći smenu θ¨ = dθ ( 2 θ ) razdvojiti promenljive u diferencijalnoj jednaˇcini dobijenoj pod (ii) i prointegraliti je. Pokazati da je tako dobijeni integral kretanja ekvivalentan zakonu odrˇzanja ukupne mehaniˇcke energije ˇcestice.

(iv) Izraziti Dekartove komponente impulsa i momenta impulsa ˇcestice u funkciji generalisanih koordinata i generalisanih brzina. Pomo´ cu teorema impulsa i momenta impulsa ispitati koje se od ovih veliˇcina odrˇzavaju, a zatim to pokazati i direktno iz Lagranˇzevih jednaˇcina.

c ´ i z(v) Naći konaˇcne jednaˇcine kretanja ˇcestice, ako se ona u poˇcetnom trenutku nalazila u na ˇ d a jniˇzoj taˇcki sfere i imala brzinu intenziteta v = 2 gR. H Zadatak 5.3.5. Homogeni disk mase M i polupreˇcnika a moˇze da rotira oko svoje ose, koja je c ´ i horizontalno postavljena i ne pomera se. Poznato je da je kinetiˇcka energija diska jednaka M a2 ϕ˙ 2 /4, v o gde je ϕ ugao koji opisuje rotaciju diska oko njegove ose. Na disk je namotan konac zanemarljive z mase ei duˇzine l, koji na svom slobodnom kraju ima zakaˇcenu materijalnu taˇcku mase m. Sistem l se E nalazi u homogenom gravitacionom polju, a materijalna taˇcka se kreće samo duˇz vertikalne ose (slika 5.3). . S 0(i) Smatrajući da je konac neistegljiv, kao i da nema proklizavanja, i uzimajući ugao ϕ za 1generalisanu koordinatu, sastaviti lagranˇzijan i diferencijalnu jednaˇcinu kretanja ovog sistema. 0 2Ako je u poˇcetnom trenutku konac bio potpuno namotan, a disk i materijalna taˇcka mirovali c(materijalna taˇcka se nalazila na kraju horizontalnog preˇcnika diska), naći ugaonu brzinu ϕ˙ 

√

A a h e N m D  k a A s j i R r diska u trenutku kada se konac potpuno razmota.

(ii) Sastaviti lagranˇzijan i diferencijalne jednaˇcine kretanja pretpostavljajući da je konac istegljiv. Smatrati da je potencijalna energija elastiˇcnosti konca jednaka 12 kx2 , gde je x izduˇzenje konca, a k konstanta elastiˇcnosti. Pokazati da se kretanje taˇcke m moˇze opisati kao superpozicija ravnomerno ubrzanog kretanja, sa istim ubrzanjem kao u delu pod (i), i oscilacija sa frekvencom ω = k(M + 2m)/(mM ). Naći amplitudu tih oscilacija, ako je u poˇcetnom trenutku sistem mirovao, a konac bio neistegnut.

o e T

Zadatak 5.3.6. Na slici je prikazan sistem koji se sasto ji od tri materijalne taˇcke, jednakih masa m, koje su medusobno povezane krutim tankim ˇsipkama istih duˇzina a i zanemarljivih masa. Ceo sistem rotira konstantnom ugaonom brzinom Ω oko vertikalne ose u homogenom gravitacionom polju, pri ˇcemu je taˇcka A fiksirana na osi rotacije, a ˇcestica u taˇcki B moˇze da se kreće duˇz te ose bez trenja (slika 5.4). (i) Uzimajući ugao θ za generalisanu koordinatu sastaviti lagranˇzijan i Lagranˇzevu jednaˇcinu za ovaj sistem.

38


GLAVA 5.


c ´ i z ˇ d Slika 5.4: Slika uz zadatak 5.3.6. a H - (ii) Pomoću Lagranˇzeve jednaˇcine ispitati da li se ukupna mehaniˇcka energija sistema odrˇzava. c ´ i v o(iii) Pokazati da za Ω > 2g postoji ugao θ0, takav da za θ = θ0 +η, gde je η mala veliˇcina, Laa z e ˇ l granˇzeva jednaˇcina dobija oblik jednaˇcine linearnog harmonijskog oscilatora. Cemu je jednako Eθ0 i kolika je frekvenca odgovarajućih malih oscilacija? . S 2g ˙ , a u poˇcetnom trenutku je θ(0) = α 1 i θ(0) = 0, pokazati da je a 0(iv) Ako je Ω = 1vreme τ potrebno da se taˇcka B spusti u najniˇzi mogući poloˇzaj pribliˇzno jednako: 0 2 α c 1 + 2θ2 a 



A  h  a e N m D a k A s j i R r 

τ = 4

2g

√ dθ √ α −θ 4

0



4

.

Uputstvo: U ovom sluˇcaju nije dovoljno linearizovati Lagranˇzevu jednaˇcinu, već je potrebno sve funkcije promenljive θ koje se javlja ju u jednaˇcini razviti u red do ˇclanova drugog stepena.

Zadatak 5.3.7. Materijalna taˇcka mase m kreće se po povrˇsini glatkog nepokretnog kruˇznog konusa ˇciji je vrh centar privlaˇcne sile obrnuto proporcionalne kubu rastojanja r od njega:

o e T

 = F

−

k2 m er , r3

gde je k zadata realna konstanta, a er = r/r. Ugao izmedu ose konusa i njegove izvodnice je α. (i) Uzimajući za generalisane koordinate sferne koordinate r i ϕ, u sistemu u kome se ugao θ definiˇse u odnosu na osu konusa, sastaviti lagranˇzijan i Lagranˇzeve jednaˇcine. (ii) Naći r(t) za proizvoljne poˇcetne uslove.

5.3.


39



c ´ i z(iii) Kakva treba da bude poˇcetna brzina ˇcestice da bi se ona u svakom trenutku nalazila na ˇ drastojanju r od vrha konusa? Kolika je sila reakcije konusa u tom sluˇcaju? 0 a H c ´ ˇ Zadatak 5.3.8. Cestica mase m, na koju ne deluju spoljaˇsnje sile, laganim neistegljivim koncem i v zakaˇ cena je za nepokretan cilindar radijusa R. U poˇcetku je konac bio potpuno namotan na cilindar, o zda ga je ˇcestica dodirivala. U trenutku t = 0 ˇcestici je saopˇstena brzina intenziteta v0 u tako e l radijalnom pravcu, pa konac poˇcinje da se odmotava. E . S(i) Sastaviti lagranˇzijan i Lagranˇzevu jednaˇcinu, birajući generalisanu koordinatu na naj 0pogodniji naˇcin. 1 0 2 c(ii) Ako se kretanje ˇcestice odvija u ravni Oxy, gde O leˇzi na osi cilindra, a orijentacija osa je 


izabrana tako da se u poˇcetnom trenutku ˇcestica nalazila na y osi, tj. u taˇcki (x = 0, y = R), naći x(t) i y(t).

(iii) Ako je ukupna duˇzina konca jednaka L, nakon kog vremena će se konac potpuno razmotati? (iv) Izraˇcunati intenzitet N sile zatezanja konca u proizvoljnom trenutku.

o e T

(v) Izraˇcunati moment impulsa ˇcestice u proizvoljnom trenutku.

Zadatak 5.3.9. Na kolicima mase M , koja mogu da se kreću duˇz x-ose, nalazi se matematiˇcko klatno duˇzine l i mase m. Za generalisane koordinate uzeti x i θ - ugao otklona klatna od vertikale (x-osa leˇzi u ravni oscilovanja klatna).

40

GLAVA 5.



1. Formirati lagranˇzijan sistema i Lagranˇzeve jednaˇcine. 2. Naći diferencijalnu jednaˇcinu koja opisuje samo θ(t).

˙ 3. Ako je M = 2m, θ(0) = π/3, x(0) = 0, θ(0) = 0 i x(0) ˙ = 0, naći brzinu kolica u trenutku c ´ i kada klatno zauzme vertikalan poloˇzaj.

z ˇ d 4. Za sluˇcaj M = 2m naći opˇste reˇsenje diferencijalnih jednaˇcina kretanja, tj. x(t) i θ(t), a smatrajući da ugao θ u toku kretanja ima male vrednosti. H c ´ i v o z e l E . S 0 1 0 2 c 


Glava 6 Specijalni problemi 6.1 c ´

A J I Z R E   a V n k i

Jednodimenzionalni sistemi

i 6.1.1 z ˇ

Linarni harmonijski oscilator

d a Posmatrajmo sistem koji se sastoji od jedne ˇcestice mase m, koja se kreće duˇz x–ose, tako H ˇsto je vezana za elestiˇcnu oprugu, koeficijenta elastiˇcnosti k. Ako za koordinatni poˇcetak uzmemo  = kxex . Jednaˇcine veze su y = 0 c zni poloˇzaj, onda je sila kojom opruga deluje na ˇcesticu F ´ ravnoteˇ i i z v = 0, a za generalisanu koordinatu je najzgodnije uzeti x–koordinatu. Rad koji izvrˇsi elastiˇcna o  dr = kxdx = d 1 kx2 , ˇsto znaˇci da sila z na elementarnom pomeranju dr = dxex jednak je: F 2 e se l radi o potencijalnoj sili kojoj odgovara potencijalna energija U (x) = 12 kx2 . Kinetiˇcka energija E je T = 1 mx˙ 2 , pa je lagranˇzijan: L = T U = 1 (mx˙ 2 kx2 ). Ako uvedemo konstantu ω, jednaka 2 2 .da je koeficijent 2 tako elastiˇ c nosti jednak , lagranˇ zijan postaje k = mω S 0 1 1 (6.1) L = m(x˙ 2 ω 2 x2 ) , 0 2 2 c zeva jednaˇcina se lako dovodi na oblik a  Lagranˇ

−

·


− −

−

−

x¨ + ω 2 x = 0 .

Opˇste reˇsenje ove jednaˇcine ( jednaˇcina linearnog harmonijskog oscilatora ) je x(t) = A cos(ωt + α) ,

gde su A i α konstante koje se odreduju iz poˇcetnih uslova:

o e T

x0 = x(0) = A cos α ,

˙ = x˙ 0 = x(0)

−Aω sin α .

Iz poslednje dve jednaˇcine lako se nalazi A =

   x20 +

x˙ 0 ω

2

,

41

α =

−arctg ωxx˙

0 0

.

(6.2)

42

GLAVA 6.

SPECIJALNI PROBLEMI


Slika 6.1: Matematiˇcko klatno.

6.1.2 c ´

Matematiˇ cko klatno

i z ˇ Matematiˇ cko klatno je sistem koji se sastoji od jedne ˇcestice, mase m, koja se u homogenom d a gravitacionom polju kreće po kruˇznici polupreˇcnika R, koja leˇzi u vertikalnoj ravni. Ako koordinatni H sistem - izaberemo tako da mu je poˇcetak u centru kruˇznice, da kruˇznica leˇzi u ravni z = 0, a da je c ´ gravitaciono ubrzanje g = gex (slika 6.1), jednaˇcine veza moˇzemo da napiˇsemo u obliku: i v o z z = 0 , x2 + y 2 R2 = 0 . e l E Poˇ sto postoje dve veze, sistem ima jedan stepen slobode, a za generalisanu koordinatu je zgodno . izabrati S ugao ϕ, ko ji vektor poloˇzaja ˇcestice zaklapa sa x-osom. Kako je x = R cos ϕ, a y = R sin ϕ, kinetiˇ 0cka energija klatna je 1 1 1 ˙ 2 ) = mR2 ϕ˙ 2 , T = m(x˙ 2 + y˙ 2 + z 0 2 2 2 c a  potencijalna energija U = mgx = mgR cos ϕ, pa je lagranˇzijan

−


−

1 L = mR2 ϕ˙ 2 + mgR cos ϕ . 2

(6.3)

Ako su sile reakcije idealne, onda je zadovoljena Lagranˇzeva jednaˇcina, koja se u ovom sluˇcaju svodi na oblik g ¨ sin ϕ = 0 . (6.4) ϕ + R

Ako pri kretanju ugao ϕ stalno ostaje vrlo mali, onda je sin ϕ jednaˇcinu tipa jednaˇ cine linearnog harmonijskog oscilatora:

o e T

¨ ϕ +

ˇcije je opˇste reˇsenje

ϕ = A cos

g ϕ = 0 , R

 

g t + α , R

≈ ϕ, pa se jednaˇcina (6.4) svodi na

43

6.1. JEDNODIMENZIONALNI SISTEMI

ˇsto znaˇci da u tom sluˇcaju klatno vrˇsi male harmonijske oscilacije. U opˇstem sluˇcaju jednaˇcina (6.4) se moˇze pojednostaviti ako se ϕ napiˇ ¨ se kao dϕ˙ dϕ˙ dϕ dϕ˙ d ¨ = = ϕ˙ = ϕ = dt dϕ dt dϕ dϕ tako da se iz (6.4) dobija d

 

1 2 g ϕ˙ + sin ϕ dϕ = 0 2 R

 

1 2 ϕ˙ , 2

A J I Z R E a V n k i 1 2 ϕ˙ 2

⇒

− Rg cos ϕ = const .

Ako se poslednja dobijena jednaˇcina pomnoˇzi sa mR2 , onda izraz sa leve strane tako dobijene jednaˇcine predstavlja ukupnu mehaniˇcku energiju matematiˇckog klatna, koja se, dakle, odrˇzava, tj. 1 (6.5) mR2 ϕ˙ 2 mgR cos ϕ = const . 2 Ovaj zakljuˇ cak sledi i iz teoreme kinetiˇ cke energije. Naime, poˇsto su veze stacionarne, rad sila c (koje su ovde idealne) na mogućem pomeranju je jednak nuli, pa sledi da je dT = dU , tj. ´ reakcije i z ˇ d(T + U ) = dE = 0. Poslednje rezonovanje nije niˇcim specijalno vezano za sluˇcaj matematiˇckog d klatna, a pa sasvim generalno vaˇzi da se ukupna mehaniˇcka energija sistema sa stacionarnim vezama, u kojima su sile reakcije idealne, a aktivne sile konzervativne, odrˇ zava . H Zakon odrˇzanja energije omogućava da se kretanje matematiˇckog klatna kavlitativno analizira. c ´ i Naime, v posˇsto je kinetiˇcka energija po definiciji nenegativna veliˇcina, kretanje je moguće samo ako je o zadovoljen uslov E U , tj. ako je E mgR cos ϕ. Iz tog uslova direktno sledi da su, u z e zavisnosti od vrednosti ukupne mehaniˇcke energije E (odnosno od poˇcetnih uslova), moguće tri l kvalitativno razliˇcite vrste kretanja: E E =

−

−

≥

≥−


. S Ako je mgR < E < mgR, sigurno postoji ugao 0 < α < π takav da je E = mgR cos α, 0pa se iz zakona odrˇzanja energije (6.5) vidi da se ugao ϕ u ovom sluˇcaju moˇze da se menja 1od α do α, a za ϕ = α kinetiˇcka energija je jednaka nuli. Klatno, dakle, u ovom sluˇcaju 0 2osciluje izmedu α i α, pa se ovakva vrsta kretanja naziva oscilatorno kretanje . Moˇze se cpokazati da period ovakvih oscilacija za konaˇcne amplitude α, za razliku od malih oscilacija, 

•

−

−

−

±

−

zavisi od amplitude [1, 2].

• Za energije veće od potencijalne energije klatna u najviˇsoj taˇcki, E > mgR, klatno vrˇsi tzv.

progresivno kretanje. U najviˇsoj taˇcki kruˇznice, klatno joˇs uvek ima brzinu veću od nule, tako da moˇze da prode kroz tu taˇcku i nastavi da se kreće. I ovo kretanje je periodiˇcno i moˇze se pokazati da period zavisi od energije (ˇsto je energija veća period je manji, [2]).

• Ako je E = mgR zakon odrˇzanja energije dozvoljava da matematiˇcko klatno dostigne najviˇsi poloˇzaj na kruˇznici, ali ne i da prode kroz njega. Ispostavlja se (ˇsto će biti pokazano u daljem tekstu) da se klatno asimptotski, kada t → ∞, asimptotski pribliˇzava tom poloˇzaju, pa se

o e T

zbog toga ovakva vrsta kretanja matematiˇckog klatna naziva asimptotsko kretanje.

Jednaˇcina (6.5) predstavlja diferencijalnu jednaˇ cinu prvog reda, koja dozvoljava razdvajanje promenljivih, tj. iz nje se lako dobija dϕ



2(cos ϕ +

E ) mgR

=

 ±

g dt . R

44

GLAVA 6.

SPECIJALNI PROBLEMI

Ako se za poˇcetni trenutak izabere trenutak u kome se klatno nalazi u najniˇzem poloˇzaju ϕ(t = 0) = 0 i uzme da je ϕ(0) > 0 ˙ (ˇcime se, zbog simetrije problema, ne smanjuje opˇstost), dalje sledi ϕ(t)

   g t = R

0

dϕ

,

A  J I Z R E a V n k i

2(cos ϕ +

E ) mgR

ˇsto implicitno predstavlja konaˇcnu jednaˇcinu kretanja ϕ(t), izraˇzenu u kvadraturama. Integral sa desne strane poslednje jednaˇcine se moˇze izraziti preko elementarnih funkcija samo u sluˇcaju kada je E = mgR. Naime, tada je ϕ(t)

   g t = R

0

ϕ(t)

dϕ = 2(cos ϕ + 1)

d(ϕ/2) , cos(ϕ/2)

0

a poslednji integral se pomoću trigonometrijske smene

c ´ i z ˇ α = tg(ϕ/4) d a lako svodi na tabliˇcni, tako da se pravolinijski dobija konaˇcna jednaˇcina kretanja u obliku H g c ´ i t v R e 1 o = 4arctg (6.6) ϕ(t) . z g e t l e R +1 E . Iz dobijene konaˇ cne jednaˇcine kretanja se zaista vidi da za t ugao ϕ π, tj. materijalna S taˇcka se asimptotski pribliˇzava najviˇsem poloˇzaju na kruˇznici po kojoj se kreće. 0 1 0 2 Jednodimenzionalni konzervativni sistemi sa stacionarnim vezama 6.1.3 c 

 

−


→ ∞

→

Ako su veze stacionarne i n = 1 jedina generalisana koordinata q sigurno moˇze da se izabere tako da kinetiˇcka energija T ima oblik 1 T = a(q )q ˙2 , 2

a lagranˇzijan

1 L = a(q )q ˙2 2

− U (q ) .

Lagranˇzeva jednaˇcina onda ima oblik

o e T

a(q )q¨ +

1 da(q ) 2 dU =0 q ˙ + 2 dq dq

(6.7)

i moˇze, sliˇcno kao u sluˇcaju matematiˇckog klatna, da se transformiˇse tako da se iz nje dobije prvi integral kretanja koji je ekvivalentan zakonu odrˇzanja energije 1 E = a(q )q ˙2 + U (q ) = const , 2

45

6.1. JEDNODIMENZIONALNI SISTEMI

pomoću koga se dalje mogu razdvojiti promenljive, odakle onda sledi i konaˇcna jednaˇcina kretanja u kvadraturama. Neka za q = q 0 sistem miruje u poloˇzaju q = q 0 . Iz jednaˇcine kretanja (6.7) sledi da je to moguće jedino ako je u tom poloˇzaju zadovoljen uslov dU = 0. Pretpostavimo da smo izveli sistem iz ovog dq ravnoteˇznog poloˇzaja, tako da je q = q 0 + η, gde je η mala veliˇcina. Ako u Lagranˇzevoj jednaˇcini razvijemo sve veliˇcine u red oko q 0 i zadrˇzimo samo linearne ˇclanove (tj. izvrˇsimo tzv. linearizaciju jednaˇcine, poˇsto je η malo), dobijamo sledeću jednaˇcinu


U  (q 0 ) η¨ + η = 0 . a(q 0 )

(6.8)

Kako je a(q ) > 0 (poˇsto je T 0), za U  (q 0 ) > 0 prethodna jednaˇcina ima oblik jednaˇcine linearnog harmonijskog oscilatora, tj. sistem harmonijski osciluje oko takvog poloˇzaja ravnoteˇze. Drugim reˇcima, ako u poloˇzaju mirovanja potencijalna energija ima minimum, sistem se u tom poloˇzaju nalazi u stabilnoj ravnoteˇzi . c ´ i Ako je U  (q 0 ) < 0, opˇste reˇsenje poslednje jednaˇcine je

≥

z ˇ d a U  (q 0 ) λt −λt 2 η(t) = Ae + Be , λ = , H a(q 0 ) c ´ i v se vidi da se za t odakle sistem beskonaˇcno udaljava od ravnoteˇznog poloˇzaja, tj. poloˇzaj o z maksimuma potencijalne energije odgovara nestabilnoj ravnoteˇzi. Naravno, to istovremeno znaˇci e i l da postupak linearizacije u ovom sluˇcaju nije opravdan, jer η nije malo u svakom vremenskom E trenutku. Jasno je, takode, da postupak linearizacije ne daje nikakav smisleni rezultat ni u sluˇcaju .  kada Sje U (q 0 ) = 0. 0 1 0 2 ZADACI c  Zadatak 6.1.1. Izvesti formulu (6.6).

−

→ ∞


Zadatak 6.1.2. Potencijalna energija U ˇcestice mase m, koja se kreće duˇz x ose, ima oblik U (x) = cx/(x2 + a2 ), gde su c i a pozitivne konstante. Skicirati grafik funkcije U (x). Naći poloˇzaj stabilne ravnoteˇze, kao i period malih oscilacija oko njega. Ako je poznato da ˇcestica kreće iz tog poloˇzaja ravnoteˇze, sa poˇcetnom brzinom v, naći vrednosti v za koje će ˇcestica (a) oscilovati, (b) otići u , (c) otići u + .

∞

o e T

Zadatak 6.1.3. Gladak prsten u obliku kruˇznice polupreˇcnika r i zanemarljive mase, koji je postavljen na horizontalnu podlogu preko dve jednake opruge (istih koeficijenata elastiˇcnosti k), kao na slici, moˇze translatorno da se kreće u vertikalnoj ravni. Po unutraˇsnoj strani prstena moˇze da se kreće materijalna taˇcka mase m. Reˇsiti problem malih oscilacija ovog sistema oko stabilnog poloˇzaja ravnoteˇze.

−∞

46

6.2

GLAVA 6.

SPECIJALNI PROBLEMI

Male oscilacije konzervativnih sistema sa stacionarnim vezama

U ovom delu bavi´ cemo se malim oscilacijama idealnih konzervativnih sistema sa holonomnim stacionarnim vezama. Pre nego ˇsto razmotrimo opˇsti sluˇcaj uradićemo jedan konkretan primer sa dva stepena slobode.


Primer 6.2.1. Razmotrimo sistem koji se sastoji od dve materijalne taˇcke jednakih masa m, koje ˇ se u homogenom gravitacionom polju kre´ cu duˇz iste vertikale. Cestice su medusobno povezane oprugom koeficijenta elastiˇcnosti k, nominalne duˇzine l. Takode, svaka od ˇcestica povezana je oprugom sa horizontalnim zidom, kao ˇsto je pokazano na slici 6.2. Rastojanje izmedu horizontalnih zidova je konstantno i iznosi a, a opruge kojima su ˇcestice povezane sa zidovima su iste kao i opruga koja povezuje ˇcestice. Jasno je da se radi o sistemu sa dva stepena slobode, a za generalisane koordinate ćemo izabrati visine x1 i x2 ˇcestica 1 i 2, redom, u odnosu na donji zid. Kinetiˇcka energija sistema je onda jednaka: 1 c ´ T = m(x˙ 21 + x˙ 22 ) , i 2 z ˇ a d potencijalna: a 1 1 1 H U = mgx 1 + mgx 2 + k(x1 l)2 + k(x2 x1 l)2 + k(a l x2 )2 . c 2 2 2 ´ i v Zamenom lagranˇzijana L = T U u Lagranˇzeve jednaˇcine dobija se sledeći sistem diferencijalnih o zcina: jednaˇ e k l x¨1 + 2k x x = g m 1 m 2 k 2k E ¨2 + m x2 = x1 + x g + ka m m . 0 0 iz S kojeg se vidi da sistem moˇze da miruje u poloˇzaju x 1 = x 1 , x2 = x 2 , koji zadovoljava algebarske 0cine: jednaˇ 1 2k 0 k 0 = g 0 m x1 m x2 k 2k 0 0 2 x + m x2 = g + ka m 1 m c  Reˇ savanjem ovog sistema algebarskih jednaˇcina dobija se da je:

−

− −

−

−


−

−

x01 =

1 a 3

− −

− −

− −

− mg , k

x02 =

2 a 3

− mg . k

S druge strane, poˇsto je

i

o e T

∂U = mg + k(x1 ∂x 1 ∂U = mg + k(x2 ∂x 2

∂ 2 U = 2k , ∂x 21 vidi se da su zadovoljeni uslovi ∂U ∂x 1

=0,

0

∂U ∂x 2



0

2

1

1

∂ 2 U = ∂x 1 ∂x 2 2

=0,

− l) − k(x − x − l) , − x − l) − k(a − l − x ) ,

∂ U > 0 , ∂x 21

−k ,

 

2

∂ 2 U = 2k ∂x 22

∂ 2 U ∂x 21 ∂ 2 U ∂x 1 ∂x 2

∂ 2 U ∂x 1 ∂x 2 ∂ 2 U ∂x 22

 

= 3k 2 > 0 ,

6.2.

47

MALE OSCILACIJE


Slika 6.2: Male oscilacije sistema sa dva stepena slobode.

c ´ ˇsto znaˇci da u poloˇza ju x 1 = x 01 , x 2 = x 02 potencijalna energija U ima lokalni minimum. i z ˇ Dalje nas zanima ˇsta se deˇsava ako sistem izvedemo iz ovog ravnoteˇznog poloˇzaja. Uvedimo d nove akoordinate η 1 i η 2 koje mere udaljenost sistema od poloˇzaja (x01 , x02): H x1 = x 01 + η1 , x2 = x 02 + η2 . c ´ i v ove smene diferencijalne jednaˇcine kretanja sistema dobijaju oblik: Nakon o z 2k k e l η¨1 + η1 η2 = 0 m m E 2k k . η1 + η¨2 + η2 = 0 S m m 0 Reˇ senje traˇzimo u obliku: 1 0 2 η1 (t) = A1 cos(ωt + α) , η2 (t) = A 2 cos(ωt + α) . c 

−

A a h e    N m D a     k  j  A s i R r −

(6.9)

Zamenom u (6.9) dobijamo da amplitude A1 i A2 treba da zadovoljavaju sistem algebarskih jednaˇcina: 2

−ω + − k m

2k m

−

−ω

2

k m

+

A1 A2

2k m

=0

(6.10)

Poˇsto se radi o homogenom sistemu linearnih jednaˇcina, a traˇzimo netrivijalno reˇsenje sledi da determinanta ovog sistema treba da bude jednaka nuli, tj: 2

−ω + − k m

o e T

2k m

−

−ω

2

k m

+

2k m

=0

k ω2 + m

⇒

−

k , m

ω22 =

3k ω2 + m

−



= 0,

(6.11)

odakle sledi da su moguće vrednosti za ω 2 :

ω12 =

3k . m

Zamenjujući redom nadene vrednosti za ω 2 u sistem (6.10) nalazimo odnos izmedu amplituda za svaku po jedinaˇcnu frekvencu ω, a onda i odgovarajući oblik partikularnog reˇsenja sistema diferencijalnih jednaˇcina (6.9):

48

GLAVA 6. (1) 1

• ω = ω : A 1

(1)

= A2

(1)

(1)

η1 = A 1 cos(ω1 t + α(1) ) , (2) 1

• ω = ω : A 2

SPECIJALNI PROBLEMI

=

(2) 2

−A

(2)

(1)

(1)

η2 = A 1 cos(ω1 t + α(1) )

A J I Z R  E a V n k i

(2)

η1 = A 1 cos(ω2 t + α(2) ) ,

(2)

η2 =

(2) 1

−A

cos(ω2 t + α(2) )

Konaˇcno, opˇste reˇsenje sistema (6.9) dobijamo kao linearnu kombinaciju nadenih partikularnih reˇsenja, koja moˇze da se napiˇse u matriˇcnom obliku kao:

  η1 (t) η2 (t)

= K 1 cos(ω1 t + α(1) )

  1 1

+ K 2 cos(ω2 t + α(2) )

  1 1

−

.

Poloˇzaji ˇcestica 1 i 2 su onda u proizvoljnom trenutku t odredeni konaˇcnim jednaˇcinama kretanja:

c ´ x1 (t) = x 01 + η1 (t) , x2 (t) = x 02 + η2 (t) . i z ˇ d Konstante K 1 , K 2 , α(1) i α(2) odreduju se iz poˇcetnih uslova. Vidimo da kretanje sistema nakon a njegovog izvodenja iz poloˇzaja mirovanja u kome potencijalna energija ima minimum moˇze da se H predstavi kao linearna kombinacija harmonijskih oscilacija, kojima odgovaraju frekvence ω 1 = mk c ´ i v 3k i ω o ,v ¯ sto znaˇci da se u tom poloˇzaju sistem nalazi u stabilno j ravnoteˇzi. Ispostavlja se da 2 = z m sliˇc e no vaˇzi za proizvoljan n-dimenzionalan idealan konzervativan sistem sa stacionarnim vezama, l ˇsto će biti pokazano u sledećem odeljku. E . S 6.2.1 zen-Dirihleova teorema 0 Leˇ 1 Posmatrajmo idealan holonoman sistem sa n stepeni slobode, na koji deluju samo konzervativne 0 2 aktivne sile, a veze su stacionarne. Zbog stacionarnosti veza generalisane koordinate q i sigurno c da se izaberu tako da kinetiˇcka energija bude homogena kvadratna funkcija generalisanih mogu 



A a h e N  m D a k A s  i   j R r

brzina, a zbog konzervativnosti sila potencijalna energija U ne zavisi eksplicitno od vremena, tako da lagranˇzijan sistema ima oblik n

1 L = Aij (q )q ˙i ˙q j 2 i,j=1

− U (q ) .

(6.12)

Lagranˇzeve jednaˇcine za ovakav sistem ima ju oblik n

o e T

n

∂A li Alj q¨ j + q ˙i ˙q j ∂q j j=1 i,j=1

n

−

1 ∂A ij ∂ U = 0 . l = 1, . . . , n q ˙i ˙q j + 2 i,j=1 ∂q l ∂q l

(6.13)

Ako sistem moˇze da miruje u nekom poloˇzaju (q 10 . . . , qn0 ), tj. ako q i = q i0 , i = 1, . . . , n jeste reˇsenje sistema Lagranˇzevih jednaˇcina, onda je i q ˙i = 0, odnosno qï = 0, za svako i, pa iz jednaˇcina sledi da moraju biti zadovoljeni i uslovi ∂U =0. (6.14) ∂q l q



0

6.2.

49

MALE OSCILACIJE

Pretpostavimo da u tom poloˇzaju potencijalna energija U ima minimum. Pretpostavimo dalje da smo ovom sistemu, koji se prvobitno nalazio u ravnoteˇzi u poloˇzaju (q 10 , q 20 , , q n0 ) dodali malo energije, tako da je on poˇceo da se kreće. Uvedimo nove generalisane koordinate η i koje opisuju za koliko se sistem pomerio iz poloˇzaja ravnoteˇze:

···

ηi = q i

A J I  Z R E a V n k i 0 i

− q .

(6.15)

Ako su vrednosti ηi male po apsolutnoj vrednosti, moˇze da se izvrˇsi linearizacija Lagranˇzevih jednaˇcina (6.13), nakon ˇcega se dobija sledeći sistem diferencijalnih jednaˇcina n



(aij η¨ j + bij η j ) = 0 ,

j=1

gde su koeficijenti a ij i b ij definisani kao:

i = 1,

··· , n ,

∂ 2 U bij = ∂q i ∂q j

(6.16)

(6.17) aij = A ij (q ) , . c ´ i q z ˇ d Iz a definicije koeficijenata Aij sledi da je Aij = A ji , pa onda vaˇzi i aij = a ji , a takode je jasno i da je H b ij = b ji . c ´ Ako pretpostavimo da reˇsenje sistema diferencijalnih jednaˇcina (6.16) ima oblik i v o (6.18) η j (t) = A j cos(ωt + α) , z e l onda, Ezbog . (6.19) η¨ j (t) = ω 2 A j cos(ωt + α) , S posle 0skraćivanja svih jednaˇcina sa cos(ωt + α), dobijamo sistem od n homogenih linearnih alge 1 jednaˇcina barskih 0 n 2 (6.20) ω 2 aij + bij A j = 0 , i = 1, , n . c  0

 a A h e N   m D a k A s j i R r −

 −

j=1

0

···

Ovakav sistem ima netrivijalno reˇsenje (po amplitudama A j ) samo ako mu je determinanta jednaka nuli, tj. ako je zadovoljena jednaˇcina ( ω 2 aij + bij ) = 0 .

−

(6.21)

Leva strana ove jednaˇcine ima oblik polinoma stepena n po kvadratu frekvence ω, tako da (prema osnovnom stavu algebre) ona sigurno ima n reˇsenja za ω2 : ω12 , ω22 , . . ., ωn2 . Neka od ovih reˇsenja mogu da se poklapaju (tzv. viˇsestruki koren ili degenerisano reˇsenje), a unapred se jedino zna da su ω i2 kompleksni brojevi. (k) Neka je ωk2 bilo koje od n reˇsenja jednaˇcine (6.21), a A(k) , An netrivijalno reˇsenje sistema 1 , (6.20), koje se dobija kada se u njega zameni ω 2 = ωk2 . Pomnoˇzimo i–tu jednaˇcinu sistema (6.20) (k)∗ kompleksno konjugovanom i–tom amplitudom Ai i prosumirajmo po i od 1 do n. Na taj naˇcin dobijamo jednaˇcinu

o e T

n

 −

i,j=1



(k)

(k)∗

ωk2 aij + bij A j Ai

···

=0,

(6.22)

50

GLAVA 6.

odakle je

n

ωk2 =

 

(k)∗

i,j=1 n

bij Ai

SPECIJALNI PROBLEMI

(k)

A j

(k)∗ (k) aij Ai A j

,

(6.23)

A J I    Z R E  a V n k i A  h a e N m   D a k A s j   i R e o r i,j=1

ˇsto je sigurno pozitivno, poˇsto su obe dvostruke sume u poslednjem koliˇ cniku pozitivne. Naime, (k) neka je A j = R j + iI j , gde je i imaginarna jedinica, a R j i I j redom realni i imaginarni deo (k) amplitude A j . Onda je n



n

(k)∗ (k) bij Ai A j

i,j=1

=



n

bij (Ri

i,j=1

− iI )(R + iI ) = i

j

j



bij [Ri R j + I i I j + i(I j Ri

i,j=1

− I R )] . i j

Zbog simetriˇcnosti koeficijenata bij imaginarni deo ove sume jednak je nuli, poˇsto je

c ´ i bij I j Ri = b ji I j Ri = bij I i R j , z ˇ i,j=1 i,j=1 i,j=1 d a H gde smo prvo iskoristili bij = b ji , a zatim promenili redosled sumiranja, tj. zamenili mesta nemim c ´ indeksima i i j u dvostrukoj sumi. Dalje, imajući u vidu da je (q 10 , . . . , qn0 ) ravnoteˇzna konfiguracija i v u kojoj potencijalna energija U ima minimum, kao i da Tejlorov razvoj te funkcije u okolini sistema o ove z konfiguracije ima oblik e l n 1 E U (q 1 , . . . , qn ) = U (q 10 + η1 , . . . , qn0 + ηn ) = U (q 10 , . . . , qn0 ) + bij ηi η j + . . . . 2 S i,j=1 0 1cujemo da za proizvoljne dovoljno male realne vrednosti ηi dvostruka suma u ovom razvoju zakljuˇ 0uvek da bude pozitivna, tj: mora 2 n c  b η η > 0 , n

n

n

ij i j

i,j=1

Odatle direktno sledi da je i

n

n

(k)∗ (k) bij Ai A j

=

i,j=1

bij (Ri R j + I i I j ) > 0 .

i,j=1

Na sliˇcan naˇcin se dolazi do zakljuˇcka i da je n

n

(k)∗ (k) aij Ai A j

T

i,j=1

=

aij (Ri R j + I i I j ) > 0 ,

i,j=1

pri ˇcemu se koristi ˇcinjenica da je kinetiˇcka energija n

1 T = aij ˙ηi ˙η j > 0 2 i,j=1



6.2.

51

MALE OSCILACIJE

pozitivna za proizvoljne vrednosti η˙ i , kao i simetriˇcnost koeficijenata a ij . Na ta j naˇcin smo pokazali da su obe sume, u brojiocu i imeniocu koliˇcnika u izrazu (6.23) za ω k2 pozitivne, pa je i ω k2 pozitivan broj. Iz sistema (6.20), u kome su koeficijenti realni brojevi, onda sledi da sigurno postoje i realna netrivijalna reˇsenja za amplitude A(k) sto je ωk2 pozitivan broj, samo ωk je realan broj, pa i . Poˇ odgovarajuće partikularno reˇsenje sistema diferencijalnih jednaˇcina (6.16) ima oblik

A  J I       Z          R E a V n k i A a h e N m D a k A s j i R e o r (k)

(k)

ηi (t) = Ai cos(ωk t + αk ) ,

i = 1,

··· , n ,

(6.24)

gde za ωk moˇzemo da uzmemo pozitivni koren broja ωk2 . Opˇste reˇsenje sistema Lagranˇzevih jednaˇcina (6.16) je linearna kombinacija partikularnih reˇsenja: n

(k)

ηi (t) =

C k Ai cos(ωk t + αk ) ,

i = 1, . . . , n

(6.25)

k=1

ili u matriˇcnom zapisu:

c ´ i (k) (k) z ˇ η1 η1 A1 n n d .. .. .. = = (6.26) C k C k cos(ωk t + αk ) . a . . . (k) (k) k=1 k=1 H ηn ηn An c ´ i v Znaˇ ci, odstupanja generalisanih koordinata od njihovih ravnoteˇznih vrednosti u okolini minimuma o potencijalne energije sistema su linearne kombinacije periodiˇcnih funkcija oblika cos(ωk t + α k ). z e l reˇcima, sistem vrˇsi male oscilacije oko poloˇzaja sa minimalnom potencijalnom energijom, Drugim E zen–Dirihleova teorema : konfiguracija kojoj odgovara minimum potencijalne ˇsto znaˇci da vaˇzi Leˇ . energije S predstavlja poloˇzaj stabilne ravnoteˇze konzervativnog sistema sa stacionarnim vezama. Bro jevi C k u opˇstem reˇsenju, zajedno sa fazama αk , predstavljaju 2n neodredenih konstanata, koje se 0 1 iz poˇcetnih uslova ηi (0), η˙ i (0), odnosno poˇcetnih uslova za generalisane koordinate q i i generanalaze 0 (k) lisane 2 brzine q ˙i . Amplitude Ai , i = 1, . . . , n u sluˇcaju kada je ωk2 jednostruki koren jednaˇcine (6.21) predstavlja ju bilo koje netrivijalno reˇsenje sistema (6.20). Dvodimenzionalni primer sa poˇcetka ovog c  dela odgovara tom sluˇcaju - koreni jednaˇcine (6.11) su razliˇciti, tj. nema degeneracije. U sluˇcaju kada je ωk2 viˇsestruki koren degeneracije m > 1, ispostavlja se da postoji m linearno nezavisnih (k,l) (k,l) netrivijalnih reˇsenja (A1 , . . . , An ), l = 1, . . . , m sistema (6.20). Za formiranje opˇsteg reˇsenja problema malih oscilacija dovoljno je na´ ci jedan konkretan skup takvih reˇsenja i zameniti ga u (6.26).

6.2.2

Normalne frekvence i koordinate

Pozitivni brojevi ωk , k = 1, , n, dobijeni reˇsavanjem jednaˇcine (6.21) nazivaju se normalne frekvence . Uvedimo sada umesto koordinata ηi tzv. normalne koordinate ξ i , koje se definiˇsu kao (6.27) ξ i = C i cos(ωi t + αi ) .

···

T

Iz (6.26) se vidi da je

n

ηi =

 k=1

n

(k) Ai ξ k ,

η˙ i =

 k=1

(k) Ai ξ ˙k ,

(6.28)

52

GLAVA 6.

SPECIJALNI PROBLEMI

pa zamenom ovih izraza u aproksimativni izraz za Lagranˇzevu funkciju n

1 ˙ = L(η, η) aij ˙ηi ˙η j 2 i,j=1



n

−

1 bij ηi η j , 2 i,j=1



A J I Z   R E   a V n k i  A   a h e N  m  D a k A s j i R e o r sledi da je u normalnim koordinatama n

1 L(ξ, ξ ˙) = aij 2 i,j=1

n

n

n

1 bij 2 i,j=1

n

n

   −        −     −  (k) Ai ξ ˙k

k=1

l=1

n

1 = ξ ˙l ˙ξ k 2 k,l=1

(l) A j ξ ˙l

n

(k) Ai ξ k

k=1

(l)

A j ξ l

l=1

n

(k) (l) aij Ai A j

(k)

ξ l ξ k

i,j=1

(l)

bij Ai A j

i,j=1

n

=

gde su uvedene oznake c ´

1 αkl ˙ξ l ˙ξ k 2 k,l=1

β kl ξ l ξ k ,

(6.29)

i z ˇ n n d (k) (l) (k) (l) (6.30) αkl = aij Ai A j , β kl = bij Ai A j . a i,j=1 i,j=1 H c ´ (l) i Amplitude A su reˇsenja sistema (6.20) kada je ω = ω l , tj. zadovoljavaju jednaˇcine: j v o n z (l) e (6.31) ωl2 aij + bij A j = 0 , i = 1, ,n. l j=1 E . S zimo svaku od ovih jednaˇcina odgovarajućom amplitudom A (k) Pomnoˇ i prosumirajmo po i od 1 do i Na taj naˇcin dobijamo jednaˇcinu n. 0 1 0 n 2 (l) (k) (6.32) ωl2 aij + bij A j Ai = 0 , c 

−

· ··

i,j=1

−

odakle je

n

ωl2 =

i,j=1 n

i,j=1

(k)

(l)

bij Ai A j

(k) (l) aij Ai A j

=

β kl , αkl

(6.33)

odnosno

β kl = ω l2 αkl .

(6.34)

(6.35)

Analogno bismo mogli da dobijemo i relaciju

T

β lk = ω k2 αlk .

Medutim, poˇsto je a ij = a ji , koeficijenti α kl imaju osobinu n

αkl =

i,j=1

n

(k) (l) aij Ai A j

=



i,j=1

n

(k) (l) a ji Ai A j

=



i,j=1

n

(k) (l) aij A j Ai

=



i,j=1

(l) (k) aij Ai A j = α lk

6.2.

53

MALE OSCILACIJE

i, zbog bij = b ji , potpuno analogno sledi β kl = β lk .

(6.36)

Oduzimanjem jednaˇcina (6.34) i (6.35) dobijamo:

A     J  I Z R E a V n k i A a h e N m D a k A s j i R e o r (ωl2

2 k

− ω )α

lk

= 0,

(6.37)

odakle za ωl = ω k sledi αkl = 0, pa je onda, zbog (6.34), i β kl = 0. Znaˇci, ako su svi koreni jednaˇcine (6.21) jednostruki, dvostruka suma u izrazu (6.29) za lagranˇzijan svodi se na jednu sumu oblika



L =

1 2

n

αkk ˙ξ k2

k=1

2 kk ξ k

− β

=

1 2

n

αkk ξ ˙k2

k=1

2 2 k k

− ω ξ

,

(6.38)

tj. lagranˇzijan se koriˇsćenjem normalnih koordinata svodi na zbir od n medusobno nezavisnih sabiraka, cod kojih svaki ima oblik lagranˇzijana linearnog harmonijskog oscilatora ( 6.1) ˇcija je frekvenca ´ i jednaka z odgovarajućoj normalnoj frekvenci . Sliˇcan zakljuˇcak se moˇze izvesti i u sluˇcaju kada ˇ dcina (6.21) ima viˇsestruke korene. jednaˇ

a H c ´ i ZADACI v o z Zadatak 6.2.1. Pod delovanjem sila elastiˇcnosti opruga ˇcestice prikazane na slici mogu da se kreću e l samo duˇz horizontalnog pravca AB. E . S 0 1 0 2 (a) Izraˇcunati normalne frekvence malih oscilacija ovog sistema. c  (b) Reˇsiti problem malih oscilacija ovog sistema, ako u poˇcetnom trenutku ˇcestica 1 ima brzinu v 0 ,

ˇcestica 2 miruje, a obe ˇcestice se nalaze u svojim ravnoteˇznim poloˇzajima. (c) Reˇsiti problem malih oscilacija ovog sistema, ako se u poˇcetnom trenutku ˇcestica 1 nalazi na rastojanju a od svog ravnoteˇznog poloˇzaja, ˇcestica 2 je u svom ravnoteˇznom poloˇzaju, a obe ˇcestice miruju.

Zadatak 6.2.2. Materijalna taˇcka mase M kreće se po horizontalnoj pravoj, pri ˇcemu je oprugom, koeficijenta elastiˇcnosti k i nominalne duˇzine a, vezana za vertikalan zid. Na ovu taˇcku zakaˇceno je matematiˇcko klatno, mase m i duˇzine R.

T

54

GLAVA 6.

SPECIJALNI PROBLEMI

(a) Uzimajući za generalisane koordinate rastojanje x tela M od vertikalnog zida i ugao ϕ otklona matematiˇckog klatna od vertikale, sastaviti lagranˇzijan i napisati Lagranˇzeve jednaˇcine. (b) Sastaviti diferencijalne jednaˇcine kretanja ako pored gravitacione i elastiˇcne sile na tela deluje i sila otpora sredine, oblika γv , gde je γ zadata konstanta (ista za obe materijalne taˇcke). (c) U sluˇcaju kada je M = m i γ = 0, naći normalne frekvence malih oscilacija oko stabilnog poloˇzaja ravnoteˇze. (d) U sluˇcaju kada je M = m, γ = 0 i k/m = g/R naći konaˇcne jednaˇcine kretanja za proizvoljne poˇcetne uslove pri ko jima dolazi do malih oscilacija (tj. naći opˇste reˇsenje problema malih oscilacija).

−


Zadatak 6.2.3. Eksplicitnim raˇcunom pokazati da lagranˇzijan sistema definisanog u Primeru 6.2.1, u normalnim koordinatama ima oblik (6.38).

Zadatak 6.2.4. Pokazati da u sluˇcaju kada je ωk2 viˇsestruki koren degeneracije m > 1 postoji m (k,l) (k,l) linearno nezavisnih netrivijalnih reˇsenja (A1 , . . . , An ), l = 1, . . . , m sistema (6.20).

c Centralno kretanje ´ 6.3 i

z ˇ d Kaˇzemo da ˇcestica vrˇsi centralno kretanje ako je u svakom trenutku njen vektor poloˇzaja r a  koja deluje na nju. Sila F se  u tom sluˇcaju naziva centralnom silom i u kolinearan sa silom F H - stijem sluˇcaju ima oblik najopˇ c ´ i  = F (r, v, t) r . v (6.39) F o r z e Znaˇ ci, pravac sile koja deluje na ˇcesticu pri ovakvom kretanju uvek prolazi kroz taˇcku u odnosu na l koju odredujemo poloˇzaj ˇcestice (koordinatni poˇcetak). U kontekstu problema centralnog kretanja E .cku ćemo zvati centrom sile. tu taˇ S 0 1 Zakoni odrˇ 6.3.1 zanja i jednaˇ cine kretanja 0 2 Poˇsto je centralna sila kolinearna sa vektorom poloˇzaja ˇcestice, moment te sile u odnosu na c 

||


−→

centar je jednak nuli, a to, po teoremi momenta impulsa (2.10), znaˇci da se moment impulsa M ˇcestice pri centralnom kretanju ne menja. Odatle sledi da se ˇcestica kre´ ce u jednoj te istoj ravni, normalnoj na vektor M , odredenoj poˇcetnim vektorom poloˇzaja i poˇcetnom brzinom ˇcestice. To dalje znaˇci da se efektivno ˇcestica kreće kao da ima dva stepena slobode, pa je najzgodnije za generalisane koordinate izabrati polarne koordinate r i ϕ u ravni u kojoj se ˇcestica kreće. Ako vektore poloˇzaja i brzine izrazimo u polarnim koordinatama, za moment impulsa dobijamo izraz

−→

−M → = r × (mv) = mre × (r˙e + r ˙ϕe ) = mr ϕ ˙ e , r

o e T

r

ϕ

2

z

(6.40)

pa iz zakona odrˇzanja momenta impulsa sledi

˙ const . M = mr 2 ϕ =

(6.41)

U daljem izlaganju ćemo posmatrati specijalan sluˇcaj centralne sile, ˇciji intenzitet zavisi samo od rastojanja r od centra sile, tj. sluˇcaj kada je sila oblika  = F (r) r . F r

||

(6.42)

55

6.3. CENTRALNO KRETANJE

Elementarni rad dA koji izvrˇsi ovakva sila jednak je  dr = F (r)dr = dA = F

·

 − − d

( F (r)) dr ,

(6.43)

ˇsto znaˇci da je ona konzervativna, a odgovarajuća potencijalna energija je U (r) =


 −

F (r) dr .

(6.44)

To dalje znaˇci da pri ovakvom kretanju vaˇzi zakon odrˇzanja ukupne mehaniˇcke energije. Kinetiˇcka energija ˇcestice u polarnim koordinatama ima oblik 1 T = m(r˙ 2 + r 2 ϕ˙ 2 ) , 2 pa zakon odrˇzanja energije ima oblik 1

(6.45)

(6.46) E = m(r˙ 2 + r 2 ϕ˙ 2 ) + U (r) = const . c ´ i 2 z ˇ d Ako asada ϕ˙ izrazimo iz zakona odrˇzanja momenta impulsa (6.41), pa ga zamenimo u prethodni izraz za energiju, dobijamo H c ´ 1 1 2 2 2 2 i = ˙ + r ˙ ) + U (r) = (6.47) E m( r ϕ mr˙ + U ef f (r) , v 2 2 o z gde smo sa U ef f (r) oznaˇcili tzv. efektivnu potencijalnu energiju , koja je po definiciji jednaka e l E M 2 . (6.48) U ef f (r) = U (r) + . 2mr2 S 0 Na taj naˇcin smo ukupnu energiju napisali u obliku analognom izrazu za ukupnu energiju ˇcestice 1 pri jednodimenzionom kretanju, pa nam tako napisan zakon odrˇzanja energije da je mogućnost da 0 2 kvalitativno analiziramo centralno kretanje. c  Primer 6.3.1. Pod Keplerovom silom podrazumeva se centralna konzervativna silu, intenziteta

A a h e N m D a   k A s j i R r

obrnuto proporcionalnog kvadratu rastojanja od centra sile. Ovde ćemo razmotriti sluˇcaj privlaˇcne Keplerove sile:  = k er , k > 0 . F r2 Potencijalna energija je jednaka

−

o e T

U (r) =

−

F (r) dr =

k dr = r2

− kr ,

gde smo integracionu konstantu izabrali da bude jednaka nuli (ˇsto znaˇci da je na beskonaˇcno velikim rastojanjima od centra sile U (r) jednako nuli). Zamenom ovakvog izraza za U u (6.48) dobija se M 2 U ef f = 2mr2

− kr ,

ˇciji je grafik prikazan na slici 6.3. Sa te slike se takode vidi da su, u zavisnosti od ukupne energije ˇcestice, moguće sledeće situacije:

56

GLAVA 6.

SPECIJALNI PROBLEMI


Slika 6.3: Efektivna potencijalna energija U ef f (r) ˇcestice koja se kreće u polju privlaˇcne Keplerove sile. Kretanje je moguće samo za one vrednosti r za koje je ukupna energija E veća od U ef f (r)

• Najmanja energija koju ˇcestica moˇze da ima je E = min(U

ef f ).

ˇsto znaˇci da se ˇcestica kreće po kruˇznici.

U tom sluˇcaju je r = const,

c Za vrednosti energije u intervalu minU ef f < E < 0 kretanje je moguće u oblasti r1 < r < r2 , ´ i zgde su r1 i r2 vrednosti za koje je U (r1 ) = E i U (r2 ) = E . Ovakvo kretanje, ograniˇceno na ˇ dkonaˇcnu oblast, naziva se finitno kretanje. a H - Ako je E = 0, najmanje rastojanje rmin na koje ˇcestica moˇze da se pribliˇzi centru sile dobija c ´ i se iz uslova U ef f (rmin ) = 0. S druge strane nema ograniˇcenja, tj. ˇcestica moˇze da se udalji na vneograniˇceno veliko rastojanje od centra sile, pa ovakvo kretanje nazivamo transfinitno. o z e Konaˇcno, ako je E > 0 kretanje je ponovo transfinitno, a minimalno rastojanje na koje l Eˇcestica moˇze da pride centru sile odreduje se iz jednaˇcine U ef f (rmin ) = E (koja ima samo . S jedno pozitivno reˇsenje). 0 Osim kvalitativne analize, pomoću zakona odrˇzanja energije (6.47) moˇzemo, barem u principu, 1 0 na´ ci i konaˇcne jednaˇcine kretanja. Naime, iz (6.47) direktno sledi 2 c  dr

• • •

A   h a e N m D a  k A s j i R r t =

2 (E m

,

(6.49)

ef f (r))

− U

odakle bi mogla da se nade konaˇcna jednaˇcina kretanja r = r(t). Kada se to uradi, onda je, opet u principu, moguće naći i ϕ(t), pomoću zakona odrˇzanja momenta impulsa (6.41), iz kog sledi ϕ(t) =

o e T

dt

M . mr2 (t)

(6.50)

Takode, iz zakona odrˇzanja (6.41) i (6.47) moguće je i direktno naći jednaˇcinu trajektorije, tj. eksplicitnu vezu izmedu r i ϕ u obliku

ˇsto nije teˇsko proveriti.

ϕ =

  −

M 2mE

√

dr

r2

1

U eff (r)

E

,

(6.51)

57


6.3.2

Lagranˇ zev formalizam i Bineov obrazac

Lagranˇzeva funkcija za ovakav sistem ima oblik 1 L = m(r˙ 2 + r 2 ϕ˙ 2 ) 2

− U (r) ,

(6.52)

A J I   Z R E a V n k i

pa je odatle Lagranˇzeva jednaˇcina koja odgovara koordinati r: r¨

2

− r ˙ϕ

+

1 dU = 0. m dr

(6.53)

Poˇsto je koordinata ϕ cikliˇcna, Lagranˇzeva jednaˇcina koja joj odgovara odmah daje jedan integral kretanja: ∂L = mr 2 ϕ = ˙ const , (6.54) ˙ ∂ ϕ ˇsto se poklapa sa zakonom odrˇzanja momenta impulsa (6.41). Ako se u prvoj Lagranˇzevoj jednaˇcini r¨ izrazi c kao ´ i dr˙ dr˙ dr dr˙ d 1 2 z ˇ = = r˙ = ˙r r¨ = dt dr dt dr dr 2 d

a

i H ˙ iz zakona odrˇzanja momenta impulsa, lako se pokazuje da se dobija jednaˇ cina koja se ϕ zameni moˇ z e jednom prointegraliti po r, ˇsto ponovo daje zakon odrˇzanja energije (6.47). c ´ i Iz Lagranˇzeve jednaˇcine (6.53) moguće je, medutim, dobiti i diferencijalnu jednaˇcinu trajektorije, v ako o se primeni sledeća transformacija:

z e l dr dr ˙ = r = ϕ˙ , E dt dϕ . S gde se, zatim, ϕ izrazi iz (6.54), tako da je dalje 0 1 M dr M d 1 0 ˙ = r = , 2 2 mr dϕ m dϕ r c 

A a h    e N m D  a   k A s j i R r

−

odnosno

(6.55)

(6.56)



M d 1 M 2 d2 1 = (6.57) . m dϕ r m2 r 2 dϕ2 r Kada se ovakav izraz za ¨r zameni u Lagranˇzevu jednaˇcinu, ona se jednostavno transformiˇse u oblik dϕ d r¨ = dt dϕ

−

d2 dϕ2

1 r

−

+

1 r

=

m − M r F (r) , 2

2

(6.58)

koji je poznat kao Bineov obrazac, a koji predstavlja diferencijalnu jednaˇcinu trajektorije ˇcestice,  = F (r)er . koja se kreće u polju centralne sile F

o e T

6.3.3

Kretanje u polju privlaˇ cne Keplerove sile

 = k er , Bineov obrazac Za ˇcesticu mase m, koja se kreće u polju privlaˇcne Keplerove sile F r ima oblik d2 1 1 km + = (6.59) . dϕ2 r r M 2

−

 

2

58

GLAVA 6.

SPECIJALNI PROBLEMI

Opˇste reˇsenje ove jednaˇcine ima oblik 1 km = A 1 cos ϕ + A2 sin ϕ + 2 , r M

(6.60)


a konstante A 1 i A 2 ćemo uvesti tako da r ima minimalnu vrednost za ϕ = 0. Drugim reˇcima, treba da bude zadovoljeno dr = 0, (6.61) dϕ ϕ=0 pa iz jednaˇcine (6.60) sledi

−

1 dr r2 dϕ

ˇsto znaˇci da je r =

 

= A 2 = 0 ,

ϕ=0

1 A1 cos ϕ +

km M 2

,

(6.62)

(6.63)

− 1)

(6.66)

(6.67)

c ´ i z ˇ odnosno d p a (6.64) r = . 1 + ε cos ϕ H Drugim c ´ i reˇcima, trajektorija ˇcestice je konusni presek, ˇciji su parametri p i ekscentricitet redom jednaki v o M 2 M 2 z (6.65) p = , ε = A1 . e km km l E Poˇ sto je . S 1 E = T + U = m(r˙ 2 + r 2 ϕ˙ 2 ) + U (r) = U eff (rmin ) 0 2 1 2 0 1 + ε M k M 2 (1 + ε)2 2 = = k 2 2mrmin 2m p2 rmin p c 

A a  e h N m D  a k A s j i R r −

=

−

km M 2 k 2 (1 + ε) + 2m M

−

km M 2

2

(1 + ε)2 =

k2m 2 (ε 2M 2

sledi da ekscentricitet ε u funkciji ukupne energije E moˇze da se izrazi kao ε =

2EM 2 1+ 2 , k m

odakle se vidi da energija odreduje po kakvom konusnom preseku se ˇcestica kreće. Naime, ako je

o e T

1. E = 2.

−

−

k2 m 2M 2

k2 m , 2M 2

onda je ε = 0, pa je trajektorija kruˇznica;

< E < 0, onda je ε < 1, pa je trajektorija elipsa;

3. E = 0, onda je ε = 1, pa je trajektorija parabola; 4. E > 0, ε > 1, a trajektorija je hiperbola.

59



ˇ Slika 6.4: Eliptiˇcna trajektorija ˇcestice u polju privlaˇcne Keplerove sile. Ziza elipse nalazi se u centru sile (u koji je postavljen poˇcetak koordinatnog sistema O).

c ´ i z ˇ d Razmotrimo detaljnije sluˇcaj kretanja po elipsi. Poˇsto je x = r cos ϕ i y = r sin ϕ jednaˇcinu a trajektorije (6.64) u Dekartovim koordinatama prepisujemo kao H c ´ i x2 + y 2 = p εx , v o z odakle e kvadriranjem dobijamo l x2 + y 2 = p 2 2 pεx + ε2 x2 , E . odnosno S 2 pε y2 p2 2 = x + x + . 0 1 ε2 1 ε2 1 ε2 1 0 Poslednja jednaˇcina moˇze da se prepiˇse kao 2 c 2 



−

A  h a N   e  m D a k A s j i R r −

−



−

pε 1 ε2 2 p 1 ε2

x +

−

+

−

y2 p

2

= 1,

(6.68)

√ 1 − ε

−

2

ˇsto za ε < 1 zaista predstavlja jednaˇcinu elipse, sa poluosama a =

o e T

p

1

2

−ε

,

b =

√ 1 p− ε

2

.

(6.69)

Ako je ˇcestica koju smo razmatrali planeta u Sunˇcevom sistemu, koja se kre´ ce pod delovanjem Sunˇceve gravitacione sile (dok se interakcija sa ostalim telima zanemaruje), onda smo na ovaj naˇcin izveli I Keplerov zakon , prema kome se svaka planeta kreće po elipsi u ˇcijoj se ˇziˇzi nalazi Sunce.  svake II Keplerov zakon je samo posledica zakona odrˇzanja impulsa. Naime, sektorska brzina S planete je proporcionalna njenom momentu impulsa, poˇsto je  = 1 r S 2

→ 1 − × v = 2m M

(6.70)

60

GLAVA 6.

SPECIJALNI PROBLEMI

pa iz zakona odrˇzanja momenta impulsa, koji vaˇzi za svaku centralnu silu, sledi da radijus vektor planete u odnosu na Sunce za isto vreme uvek prebriˇse istu povrˇsinu, tj. sektorska brzina planete pri njenom obilaˇzenju oko Sunca je konstantna. III Keplerov zakon , po kome je odnos kuba velike poluose a i kvadrata perioda τ obilaˇzenja planete oko Sunca isti za sve planete, takode se moˇze isvesti uz pomoć gore dobijenih rezultata. Ako formiramo koliˇcnik a 3 /τ 2 dobijamo a3 = τ 2

a3 πab S

 

2


aS 2 k = 2 2 = 2 , 4π m π b

(6.71)

a poˇsto je za kretanje planeta pod delovanjem Sunˇceve gravitacije k = γmmS , gde je γ gravitaciona konstanta, a m S masa Sunca, sledi da je a3 γm S = , 4π2 τ 2

(6.72)

c ´ z ˇ d a H 6.4 - Problem dva tela c ´ i v Razmotrimo izolovan sistem koji se sastoji od dve ˇcestice masa m 1 i m 2 . Ako su radijus vektori o  onda jednaˇcine kretanja ˇcestica z redom r1 i r2 , a sila kojom ˇcestica 2 deluje na ˇcesticu 1 jednaka F , e lˇcestica imaju oblik ovih E (6.73) m1r¨1 = F , m2r¨2 = F . . S Ako sada umesto vektora r1 i r2 uvedemo radijus vektor centra mase rc i vektor relativnog poloˇzaja 0 r: ˇcestica  1 m1r1 + m2r2 0 = (6.74)  r , r = r1 r2 c 2 m1 + m2 c 

i ˇsto je zaista isto za sve planete Sunˇcevog sistema.


−

onda sabiranjem jednaˇcina (6.73) dobijamo jednaˇcinu mr¨c = 0 ,

m = m 1 + m2 ,

(6.75)

a deljenjem svake od jednaˇcina (6.73) odgovarajućom masom i oduzimanjem  , µr¨ = F

µ =

m1 m2 , m

(6.76)

Jednaˇcina (6.75) nam kaˇ ze da se pri kretanju ovakvog sistema njegov centar mase kreće uniformno (ˇsto, naravno, vaˇzi za bilo kakav izolovani sistem). Jednaˇcina (6.76) ima oblik jednaˇcine kretanja  Masa µ naziva se redukovana masa (poˇsto je ˇcestice mase µ, koja se kre´ ce pod delovanjem sile F . manja i od m1 i od m2 ). Ako smo u stanju da reˇsimo ovaj jednoˇc-estiˇcni problem, onda sigurno moˇzemo da reˇsimo i prvobitni dvo-ˇcestiˇcni problem. Kad nademo vektore rc i r kao funkcije vremena, onda reˇsavanjem sistema (6.74) nalazimo poloˇzaje ˇcestica 1 i 2:

o e T

r1 = rc +

m 2 r , m

r2 = rc

− mm r 1

(6.77)

6.4.

61

PROBLEM DVA TELA

Uvodenjem vektora centra mase i vektora relativnog poloˇzaja postiˇzemo ne samo razdvajanje promenljivih u jednaˇcinama kretanja, već i u izrazima za moment impulsa M i kinetiˇcku energiju sistema T . Naime, ako u izraz za ukupni moment impulsa sistema

−→

−M → = r × m r˙ + r × m r˙ 1


1 1

2

2 2

zamenimo (6.77), lako se pokazuje da meˇsoviti ˇclanovi otpada ju, tako da je moment impulsa jednak

−M → = r × mr˙ + r × µr˙ . c

Sliˇcno se za kinetiˇcku energiju

c

(6.78)

1 1 T = m1r˙12 + m2r˙22 2 2

dobija izraz

1 1 T = mr˙c2 + µr˙ 2 . 2 2 Pretpostavimo sada da je sila kojom ˇcestice interaguju oblika c ´ i

(6.79)

z ˇ d  = F ( r1 r2 ) r1 r2 = F (r) r . (6.80) F a r1 r2 r H Ovakva c ´ i sila jeste konzervativna, ˇsto se lako vidi ako izraˇcunamo ukupni rad dA koji se izvrˇsi pri pomeranju ˇcestica za dr1 i dr2 : v o z  dr1 F  dr2 = F  d(r1 r2 ) = F  dr = F (r)dr = dU (r) , dA = F e l E gde .je U = F (r)dr potencijalna energija sistema. Ako za generalisane koordinate izaberemo Dekartove koordinate ˇcestica 1 i 2, onda lagranˇzijan sistema ima oblik S 0 1 ˙ 2 1 1 ˙ ˙ ) = T = (6.81) L( r ,  r ,  r ,  r U m1r1 + m2r˙22 U ( r1 r2 ) . 1 2 1 2 0 2 2 2 cmedutim, za generalisane koordinate izaberemo Dekartove komponente vektora centra mase Ako, 

| − | | −− |

·

− ·

·

−

·




−

−

− | − |

rc i vektora relativnog poloˇzaja r , onda lagranˇzijan ima oblik

− U = 12 mr˙

L(rc , r, ˙rc , ˙r) = T

2 c

1 + µr˙ 2 2

− U (r) .

(6.82)

Problem kretanja ovog sistema se onda svodi na problem reˇsavanja kretanja ˇcestice redukovane  mase µ u polju centralne sile F (r).

Sistem centra mase

o e T

Poˇsto se centar mase razmatranog sistema kreće uniformno, za njega se moˇze vezati inercijalni sistem reference, koji ćemo zvati sistem centra mase (CM). Radijus vektore ˇcestica 1 i 2 u ovom sistemu oznaˇcavaćemo redom sa r1∗ i r2∗ . Radijus vektor centra mase rc∗ u ovom sistemu je, naravno, jednak nuli rc∗ = 0, dok je vektor relativnog poloˇzaja isti u svim inercijalnim sistemima r∗ = r. Imajući to u vidu, iz relacija (6.77) dobijamo poloˇzaje ˇcestica u sistemu CM u funkciji vektora r: r1∗ =

m2 r , m

r2∗ =

− mm r . 1

(6.83)

62

GLAVA 6.

SPECIJALNI PROBLEMI

Impulsi ˇcestica u ovom sistemu su jednakog intenziteta i pravca, a suprotnog smera: m1r˙1∗ =

−m r˙

∗ 2 2

−→

= µr˙ =  p∗ .

(6.84)

Ukupni moment impulsa M ∗ i ukupna kinetiˇcka energija T ∗ ˇcestica su, prema izrazima (6.78) i (6.79), jednaki 1 ˙ 2 p ∗2 ∗ ∗ ∗ ˙ (6.85) M = r µr = r p , T = µr = . 2 2µ

−→

×

×


ˇ Cesto je zgodno da se problem kretanja ovakvog sistema reˇsi prvo u sistemu CM. Da bismo onda naˇsli reˇsenje u nekom drugom referentnom sistemu, potrebne su nam veze izmedu relevantnih veliˇcina u ta dva sistema. Razmotrimo sistem u kome je radijus vektor CM jednak vektoru rc . Poloˇzaji ˇcestica u tom sistemu su onda r1 = rc + r1∗ ,

c ´

a i brzine z ˇ

r2 = rc + r2∗ ,

(6.86)

d (6.87) r˙1 = r˙c + r˙1∗ , r˙2 = r˙c + r˙2∗ . a H Impulsi - ˇcestica u tom sistemu su, prema (6.84), jednaki c ´ i ˙2 = m 2r˙c p ∗ , v (6.88) p 1 = m 1r˙c +  p∗ , p o z e impuls  a l ukupni p, moment impulsa M i ukupna kinetiˇcka energija T : E . 1 (6.89) p = m  r˙c , M = mrc r˙c + M ∗ , T = mr˙c2 + T ∗ . S 2 0 1 Primer 0 6.4.1. Razmotrimo problem kretanja dve materijalne taˇcke pod delovanjem njihovog uza 2 gravitacionog privlaˇcenja. Jednaˇcina (6.76) za taj sluˇcaj ima oblik jamnog c 

−

−→

A a h e N m D a k A s j i R r −→

×

µr¨ =

−→

γm 1 m2 γµm =  r r , r3 r3

(6.90)

ˇsto se poklapa sa jednaˇcinom za kretanje ˇcestice mase µ pod delovanjem gravitacione sile nepokretne ˇcestice mase m. Specijalno, za eliptiˇcnu orbitu po izrazu (6.71) dobijamo a3 γm = , 4π2 τ 2

o e T

gde je sada a velika poluosa ,,relativne” trajektorije. Ako ovu relaciju primenimo na sistem Sunceplaneta zakljuˇcujemo da III Keplerov zakon nije sasvim taˇcan, tj. taˇcno vaˇzi:





a3 γm S m P = 1 + . 4π2 τ 2 mS

Ovo odstupanje je teˇsko detektovati, poˇsto je masa Sunca mS mnogo veća od mase mP bilo koje planete u Sunˇcevom sistemu.

6.5.

63

RASEJANJA


Slika 6.5: Primer kretanje dva tela jednakih masa, koja medusobno interaguju privlaˇcnom Keplerovom silom, posmatrano iz sistema vezanog za centar mase. Tela se kreću po jednakim elipsama, ˇcija se jedna ˇziˇza poklapa sa centrom mase sistema, a druge dve ˇziˇze su postavljene simetriˇcno u odnosu na centar mase.

6.5 c Rasejanja ´ i

z ˇ Jedna od najˇceˇsće primenjivanih metoda za dobijanje informacija o strukturi malih tela je njihovo d a bombardovanje cˇesticama i merenje broja ˇcestica koje se pri tome raseju u raznim pravcima. Ugaona H raspodela rasejanih ˇcestica zavisi od oblika mete i od prirode sila izmedu ˇcestica i mete. Da bismo c ´ i da interpretiramo rezultate ovakvih eksperimenata, potrebno je da znamo kako se izraˇcunava mogli v raspodela ˇcestica ako su sile poznate. ugaona o z Razmotrićemo prvo jednostavan sluˇcaj kada je meta nepokretna ˇcvrsta idealno elastiˇcna lopta e l radijusa R, na koju naleće homogen paralelan snop ˇcestica. Neka je fluks ˇcestica u snopu, tj. broj E ˇcestica . koje u jedinici vremena produ kroz jediniˇcnu povrˇsinu normalnu na pravac snopa , jednak f . Sje broj ˇcestica koje u jedinici vremena pogode loptu jednak Onda 0 (6.91) w = f σ , 1 0 2 gde je σ popreˇcni presek mete, tj. c (6.92) σ = πR2 . 


Razmotrimo sada jednu od ˇcestica iz snopa. Neka je najkra´ ce rastojanje izmedu pravca njene brzine pre sudara i centra mete (tzv. parametar sudara ) jednako b (slika 6.6). Onda je ugao α, koji brzina ˇcestice u trenutku sudara sa loptom zaklapa sa odgovarajućom normalom na povrˇsinu lopte, odreden relacijom b = R sin α . Poˇsto se ˇcestica apsolutno elastiˇcno odbija, ugao θ za koji se promeni pravac brzine prilikom sudara, tzv. ugao rasejanja , jednak je θ = π 2α, pa je

o e T

−

θ (6.93) b = R cos . 2 Sada moˇzemo da izraˇcunamo broj ˇcestica koje se raseju u oblast oko pravca odredenog uglovima θ ˇ i ϕ, sa intervalom dθ i dϕ. Cestice ˇciji je ugao rasejanja izmedu θ i θ+dθ (nezavisno od ugla ϕ) su one ˇciji je parametar sudara bio izmedu b i b+db, gde je db jednako db =

− 12 sin θ2 dθ .

(6.94)

64

GLAVA 6.

SPECIJALNI PROBLEMI


Slika 6.6: Jednostavan primer rasejanja: homogeni paralelni snop materijalnih taˇ caka idealno elastiˇcno se rasejava o nepokretnu ˇcvrstu loptu.

c ´ Prilikom rasejanja ne dolazi do promene ugla ϕ, pa je broj ˇcestica koji nas zanima jednak broju i z ˇ ˇcestica d koje pre sudara prolaze kroz mali deo dσ popreˇcnog preseka upadnog snopa, koji je jednak a dσ = b db dϕ , (6.95) H c ´ tj. i ˇcestice koje produ kroz ta j mali deo popreˇcnog preseka snopa se raseju upravo u zadatu oblast v (slika 6.7). Zamenjujući b i db u poslednji izraz dobijamo o z e l 1 2 dσ = (6.96) R sin θdθdϕ . E 4 . S Broj ˇcestica koje u jedinici vremena produ kroz ovu oblast, a samim tim se i raseju u uoˇceni pravac 0 je jednak 1 dw = f dσ (6.97) 0 2 i on moˇze da se meri malim detektorom postavljenim u tom pravcu, a na relativno velikom rasto janju c  2

| |


L od mete (L R). Zato je potrebno izraziti ovaj rezultat u funkciji povrˇsine dA = L sin θdθdϕ takvog detektora. Imajući u vidu da je prostorni ugao dΩ koji odgovara oblasti u koju se ˇcestice rasejavaju upravo jednak dA dΩ = 2 , L broj dw moˇzemo da napiˇsemo u obliku



o e T

dσ dS dw = f . dΩ L2

(6.98)

dσ Veliˇcina dΩ naziva se diferencijalni presek rasejanja. Diferencijalni presek rasejanja, dakle, predstavlja odnos bro ja ˇcestica koje se u jedinici vremena raseju u jediniˇcni prostorni ugao i upadnog fluksa ˇcestica. U specijalnom sluˇcaju koji smo ovde razmatrali diferencijalni presek rasejanja je jednak R 2 /4, dok se ukupni presek rasejanja σ = πR2 taˇcno dobija njegovom integracijom po svim prostornim uglovima (tj. u ovom sluˇcaju jednostavnim mnoˇzenjem sa punim prostornim uglom 4π). Diferencijalni presek rasejanja se potpuno analogno definiˇse i u sluˇcaju kada snop materijalnih taˇcaka umesto na nepokretnu loptu, nailazi na centar konzervativne sile (slika 6.9). Da bi se u

6.5.

65

RASEJANJA

c ´


i 6.7: Na relativno velikom rastojanju L (zelena linija) od lopte o koju se rasejavaju ˇcestice, Slika z ˇ postavlja se detektor koji meri koliko ˇcestica se u jedinici vremena raseje u pravcu odredenom d a sfernim uglovima Θ i ϕ. Sve ˇcestice koje prolaze kroz ruˇziˇcasti prsten ,,debljine” db, naznaˇcen na H popreˇ - cnom preseku upadnog snopa, padaju na sivo oiviˇceni prsten na povrˇsini lopte i rasejavaju se c ´ u i oblast odredenu istim uglom θ (i intervalom dθ), koji se za L R izjednaˇcava sa sfernim uglom v Θ. o



z e l E . S 0 1 0 2 c 


ˇ Slika 6.8: Cestice koje produ kroz povrˇsinu dσ popreˇcnog preseka upadnog snopa, padaju na povrˇsinu dA, gde je postavljen brojaˇc.

66

GLAVA 6.

SPECIJALNI PROBLEMI


c ´ i z Slika 6.9: Rasejanje paralelnog snopa ˇcestica koje nailaze na centar konzervativne sile. ˇ d a H c ´ takvom i sluˇcaju izraˇcunao diferencijalni presek rasejanja, potrebno je iz jednaˇcine trajektorije naći vizmedu parametra sudara b i ugla rasejanja θ. Pretpostavlja se da je snop ˇcestica homogen vezu o i da zna velikom (beskonaˇcnom) rastojanju od centra sile svaka ˇcestica ima brzinu v∞ , kao i da se e l interakcija izmedu ˇcestica u snopu moˇze zanemariti. Poˇsto je onda jedina sila koja deluje na ˇcestice E i konzervativna, zakoni odrˇzanja energije i impulsa vaˇze za svaku ˇcesticu ponaosob. centralna . S 0 Raderfordova formula 1 0  = κ/r 2er , gde je κ > 0. Bineov Razmotrimo problem rasejanja u polju odbojne Keplerove sile F 2 obrazac c za ovaj sluˇcaj ima oblik jednaˇcine 

A a h     e N m D a k A s j i R r d2 dϕ2

1 r

+

1 r

=

mκ − M , 2

ˇcije je opˇste reˇsenje, uz zahtev da se ugao ϕ meri od poloˇzaja u kome je ˇcestica najbliˇza centru sile, r =

1 C cos ϕ

−

mκ M 2

.

(6.99)

Kako je efektivna potencijalna energija u ovom sluˇcaju jednaka

o e T

M 2 κ + U ef f = , 2mr2 r

(6.100)

jasno je da je moguće samo transfinitno kretanje (slika 6.10). Ako intenzitet brzine ˇcestice na beskonaˇcno velikim rastojanjima od centra sile oznaˇcimo sa v∞ , ukupna energija ˇcestice je 1 2 E = mv∞ 2

6.5.

67

RASEJANJA


Slika 6.10: Efektivna potencijalna energija u sluˇcaju odbo jne Keplerove sile (6.100). Vidi se da je moguće samo transfinitno kretanje.

c ´ i z ˇ d a H c ´ i v o z e l E Slika . 6.11: Mnogo pre rasejanja, kada r , projekcija vektora r na pravac brzine v ˇcestice S je parametru sudara b, pa odatle sledi da je M = mv ∞ b. jednaka 0 1 0 a 2 intenzitet momenta impulsa je c M = mbv , 

A a h e N m D a k A s j i R r   →∞

∞

gde je b parametar rasejanja, tj. najkraće rasto janje izmedu centra sile i pravca brzine ˇcestice na beskonaˇcno velikim rastojanjima od njega (slika 6.11). Jednaˇcina trajektorije (6.99) posle zamene izraza za moment impulsa dobija oblik r =

Za r

o e T

1

C cos ϕ

−

. κ 2 b2 mv∞

→ ∞ efektivna potencijalna energija teˇzi nuli, pa energija teˇzi vrednosti 1 2 1 1 dr = m lim r˙ 2 = m lim E = mv∞ ϕ˙ 2 2 r→∞ 2 r→∞ dϕ

2

(6.101)

1 ˙2, 2 mr

 

1 dr M = m lim 2 r→∞ dϕ mr2

Iz jednaˇcine (6.101) i izraza za moment impulsa dalje sledi 1 2 1 1 2 2 2 2 2 sin2 ϕ(r) = mv∞ mv∞ = m lim C 2 b2 v∞ b C sin α , 2 2 r→∞ 2

2

.

tj.

68

GLAVA 6.

SPECIJALNI PROBLEMI

gde je α = lim ϕ. Odatle je r→∞

C = a kako je iz jednaˇcine trajektorije

1 , b sin α κ , 2 b2 Cmv∞

A J     I Z R E a V n k i A a h e N m D a k A s j i R r cos α =

sledi da je

b =

κ κ π θ κ θ tgα = tg = ctg . 2 2 2 2 2 mv∞ mv∞ mv∞

−

Na taj naˇcin smo naˇsli vezu izmedu parametra sudara b i ugla rasejanja θ, pa moˇzemo lako da izraˇcunamo diferencijalni presek rasejanja: dσ b db dϕ b db = = = dΩ sin θdθdϕ sin θ dθ

2

κ 2 2mv∞

| |

c ´

θ sin−4 . 2

i rezultat je poznat kao Raderfordova formula , poˇsto je prvi put izvedena od strane Raderforda, Ovaj z ˇ koji je pokuˇsavao da objasni rezultate eksperimenta u kome su pozitivno naelektrisane α-ˇcestice d a rasejavane na tankoj zlatnoj foliji. Raderford je pretpostavio da je pozitivno naelektrisanje unutar H atoma - skoncentrisano u vrlo maloj zapremini unutar atoma i da se u skladu sa tim α-ˇcestica rasejava c ´ u i polju odbo jne Kulonove elektrostatiˇcke sile. To onda znaˇci da je u gornjoj formuli κ = qq  /(4πε 0 ), v gde su q i q  naelektrisanja α-ˇcestice i jezgra atoma zlata. Raderfordova pretpostavka dovela je do o z nastanka planetarnog modela atoma. e

l E . 6.6 S Kruto telo 0 1 Kruto telo predstavlja sistem ˇcestica ˇcija se medusobna rastojanja ne menjaju u toku kretanja. 0 Poloˇ zaj krutog tela je u svakom trenutku odreden poloˇzajem tri njegove taˇcke, koje ne leˇze na istoj 2 pravoj. c Ako su Dekartove koordinate tih taˇcaka (x1 , y1 , z 1 ), (x2 , y2 , z 2 ) i (x3 , y3 , z 3 ), onda se uslov  nepromenljivosti rastojanja izmedu njih izraˇzava u obliku sledeće tri jednaˇcine: (x1 (x3 (x1

2

−x ) −x ) −x ) 2 2 3

+ (y1 2 + (y3 2 + (y1

2

−y ) −y ) −y ) 2 2 3

+ (z 1 2 + (z 3 2 + (z 1

2

2 12 2 32 2 13

− z ) − R − z ) − R − z ) − R 2 2 3

2 2

= 0, = 0, = 0,

u kojima su R12 , R32 i R13 rastojanja izmedu uoˇcenih taˇcaka. Ove tri jednaˇcine se mogu shvatiti kao jednaˇcine veza, ˇsto znaˇci da je od devet Dekartovih koordinata uoˇcene trojke taˇcaka, dovoljno n = 9 3 = 6 koordinata za potpuno opisivanje poloˇzaja krutog tela u bilo kom trenutku vremena, tj. broj stepeni slobode slobodnog krutog tela je ˇsest.

o e T

−

6.6.1

Ojlerovi uglovi

Uobiˇcajeno je da se za kruto telo veˇze jedan koordinatni sistem Ax1 x2 x3 , koji se naziva sopstveni sistem krutog tela (slika 6.12). Koordinatni poˇcetak A ovog sistema naziva se pol krutog tela. Za generalisane koordinate krutog tela se najˇceˇsće uzimaju Dekartove koordinate njegovog

69

6.6. KRUTO TELO


Slika 6.12: U laboratorijskom referentnom sistemu (inercijalnom) Dekartov koordinatni sistem je Oxyz . Za kruto telo vezan je drugi referentni sistem (u opˇstem sluˇcaju neinercijalan), a u njemu c je ´ izabran koordinatni sistem Ax1 x2 x3 , sa poˇcetkom u polu A. Kruto telo ne menja svoj poloˇ zaj i z ˇ u d odnosu na sopstveni sistem Ax1 x2 x3 , tj. sopstveni sistem krutog tela kreće se zajedno sa njim. a vektor proizvoljne taˇcke ν krutog tela u laboratorijskom sistemu oznaˇcen je sa rν , a u Radijus  H sistemu - krutog tela sa rν .

c ´ i v pola oi tzv. Ojlerovi uglovi koji se definiˇsu na sledeći naˇcin. Neka je Axyz koordinatni sistem ˇcije z su ose paralelne osama laboratorijskog sistema, a ˇciji se koordinatni poˇcetak poklapa sa polom e l krutog tela A. Prava po kojoj se seku ravni Axy i Ax1 x2 naziva se ˇcvorna (ili nodalna) linija. E Ugao . koji ˇcvorna linija zaklapa sa pozitivnim pravcem Ax ose oznaˇcićemo sa ϕ, ugao koji ˇcvorna Szaklapa sa pozitivnim pravcem Ax 1 ose oznaˇcićemo sa ψ, a ugao koji zaklapaju ose Az i Ax 3 linija 0Ovako definisani uglovi ϕ, θ i ψ predstavljaju Ojlerove uglove (slika 6.13). sa θ. 1 0 2 ˇ 6.6.2 Ojlerova i Salova teorema c 


Sistem Axyz moˇze se prevesti u sopstveni sistem Ax1 x2 x3 krutog tela pomoću sledeće tri uzastopne rotacije:

1. prvo se sistem Axyz oko Az ose zarotira za ugao ϕ, ˇcime se poklope Ax osa i ˇcvorna linija N (slika 6.14a); 2. zatim se tako dobijeni sistem zarotira oko ˇcvorne linije za ugao θ, ˇcime se osa Az dovede do poklapanja sa Ax 3 osom pokretnog sistema (slika 6.14b);

o e T

3. konaˇcno, ravan Axy zarotira se oko Ax3 ose za ugao ψ, ˇcime se Ax osa poklopi sa Ax 1 osom i, naravno, Ay osa sa osom Ax 2 (slika 6.14c).

Poˇsto je kompozicija tri rotacije takode rotacija, sledi da se sistem Axyz moˇze prevesti u sistem Ax1 x2 x3 jednom rotacijom oko ose koja prolazi kroz taˇcku A. Drugim reˇcima, bilo kakvo kretanje krutog tela pri kome jedna njegova taˇcka ostaje nepokretna ekvivalentno je jednoj rotaciji oko ose koja sadrˇzi tu nepokretnu taˇcku , ˇsto predstavlja tvrdenje Ojlerove teoreme . Poˇsto se laboratorijski sistem Oxyz translacijom za vektor rA prevodi u sistem Axyz , onda za bilo kakvo kretanje vaˇzi

70

GLAVA 6.

SPECIJALNI PROBLEMI


c ´ i z ˇ d Slika 6.13: Ojlerovi uglovi. a H ˇ Salova teorema: bilo kakvo kretanje krutog tela ekvivalentno je kompoziciji jedne translacije za c ´ i vektor v za koji se pomeri jedna njegova proizvoljno izabrana taˇcka i jedne rotacije oko ose koja prolazi o kroz ztu taˇcku . Sada je jasno da x A , yA , z A , ϕ , ψ i θ zaista odreduju poloˇzaj krutog tela, tj. mogu se e za generalisane koordinate pri proizvoljnom slobodnom kretanju krutog tela. izabrati l E . 6.6.3 S Ugaona brzina 0 Uoˇcimo poloˇzaj krutog tela u trenutku t, a zatim u trenutku t+dt (slika 6.12). Taˇcka krutog 1 0 tela ˇciji je vektor poloˇzaja rν = rA + rν  u laboratorijskom sistemu za vreme dt pomeri se za 2 c drν = drA + drν  , 


gde je drA pomeraj koji odgovara translaciji, a drν  pomeraj koji odgovara rotaciji, u smislu ˇSalove teoreme. Osa rotacije prolazi kroz pol A i neka je njen pravac odreden ortom n. Ako se za vreme dt kruto telo zarotira za mali ugao dα oko te ose, onda je

−→ × r

drν  = dα

−→

 ν

,

(6.102)

gde je dα =dαn (slika 6.15). Iz poslednje relacije sledi

o e T

vν =

drν = vA +  ω dt

 ν

× r

,

(6.103)

gde smo sa  ω oznaˇcili ugaonu brzinu, koja je po definiciji jednaka

a vA = drA /dt je brzina pola A.

ω = 

−dα → dt

,

(6.104)

71

6.6. KRUTO TELO


c ´ i z ˇ d a H c ´ i v o z e l E6.14: Tri rotacije kojim se sistem Axyz prevodi u sopstveni sistem krutog tela Ax1 x2 x3 : (a) Slika . rotacijom sistema Axyz oko Az ose dobija se sistem Aξηζ , ˇcija se osa Aξ poklapa sa ˇcvornom S linijom; (b) rotacijom sistema Aξηζ oko ose Aξ (ˇcvorne linije) dobija se sistem Aξ  η  ζ  , ˇcija se osa 0  1 poklapa sa osom Ax3 ; (c) konaˇcno, rotacijom sistema Aξ  η  ζ  oko ose Aζ  (Ax3 ) dobija se sistem Aζ 0 Ax 1 x2 x3 . 2 c 


Slika 6.15: Radijus vektor rν  proizvoljne taˇcke ν krutog tela u vremenskom intervalu dt zarotira se za mali ugao dα oko ose koja prolazi kroz pol A, a ˇciji je ort n.

72

GLAVA 6.

SPECIJALNI PROBLEMI


Slika 6.16: Ugaona brzina je karakteristika kompletnog kretanja krutog tela, tj. ne zavisi od izbora pola, ωA =  ωB . cpa je  ´

i z ˇ d Jedinstvenost ugaone brzine a H Ugaona brzina je karakteristika kretanja krutog tela kao celine i ne zavisi od izbora pola. c ´ i cemo to, pretpostavljajući suprotno, tj. uzimajući da ugaona brzina zavisi od izbora pola. Pokaza´ v Ako za pol izaberemo taˇcku A, onda je brzina neke druge taˇcke B krutog tela, prema izrazu (6.103) o z jednaka e l (6.105) vB = vA +  ωA AB , E gde .je  ω ugaona brzina krutog tela, kada je pol u A. Sliˇcno, brzina taˇcke ν jednaka je S A 0 vν = vA +  ωA rν  . 1 0 2 Ako za pol izaberemo taˇcku B (slika 6.16), onda je brzina taˇcke ν , ponovo prema (6.103), jednaka c 

× −→

A a h e N m D a k A s j i R r ×

vν = vB +  ωB

× (r − −→ AB) = v  ν

ωA A + 

−→ × −→ AB +  ω × (r − AB) ,  ν

B

pri ˇcemu je iskoriˇsćeno i (6.105). Izjednaˇcavanjem poslednja dva izraza dobijamo ωA 

−→ ω × r × −→ AB +  ω × (r − AB) = 

odakle je

o e T

 ν

B

0 = ( ωA

A

 ν

,

−  ω ) × (−→ AB − r B

 ν ) .

Poslednja jednakost vaˇzi za bilo koje rν  , ˇsto je moguće jedino ako je  ωA =  ωB , tj. jedino kada ugaona brzina zaista ne zavisi od izbora pola.

Slaganje malih rotacija Razmotrimo dve uzastopne infinitezimalne rotacije krutog tela, prvo oko ose odredene ortom n1 za ugao dα1 , a zatim oko ose odredene ortom n2 za ugao dα2 , pri ˇcemu se ose rotacije seku u taˇcki A (slika 6.17). Ako A izaberemo za pol krutog tela i uoˇcimo proizvoljnu taˇcku krutog tela,

73

6.6. KRUTO TELO


c ´ i z ˇ d a H -Slika 6.17: Dve uzastopne infinitezimalne rotacije oko osa koje imaju zajedniˇcku taˇcku A. c ´ i v odredenu relativnim radijus-vektorom r u odnosu na A, onda nakon prve rotacije vektor r prelazi o z u vektor e l r1 = r + dr1 , E . gde je, prema formuli (6.102) S dr1 = (dα1n1 ) r . 0 1 0 Sliˇ cno, nakon druge rotacije r1 prelazi u 2 c 


r2 = r1 + dr2 = r1 + (dα2n2 )

× r

1

,

ˇsto je, ako se iskoriste prethodne dve formule, jednako

r2 = r + (dα1n1 ) r + (dα2n2 ) [r + (dα1n1 ) r] = r + (dα1n1 + dα2n2 ) r + dα1 dα2n2 (n1 r) .

×

×

×

× × ×

Poˇsto su uglovi dα1 i dα2 infinitezimalno mali uglovi, poslednji sabirak u prethodnoj relaciji moˇze da se zanemari, pa pribliˇzno vaˇzi jednakost

o e T

r2 = r + (dα1n1 + dα2n2 )

× r ,

ˇsto znaˇci da su opisane dve rotacije ekvivalentne jednoj, za infinitezimalni ugao dα oko ose kojoj odgovara ort n, pri ˇcemu je dαn = dα1n1 + dα2n2 .

74

GLAVA 6.

SPECIJALNI PROBLEMI

Komponente ugaone brzine u funkciji Ojlerovih uglova Prethodno rezonovanje direktno moˇze da se proˇsiri na tri uzastopne infinitezimalne rotacije oko tri ose koje prolaze kroz istu taˇ cku. S druge strane, svaka infinitezimalna rotacija krutog tela za mali ugao dα oko ose n, koja se desi u toku kratkog vremenskog intervala dt, moˇze da se razloˇzi na tri Ojlerove rotacije: za dϕ oko ose ez , zatim za dθ oko eN i na kraju za dψ oko e3 , ˇsto znaˇci da je

A J I Z R E a V     k   i     n  A a  N   h    e   m     D  a            k A s j i R e o r       −→

dαn = dα = dϕeZ + dθeN + dψe3 .

Odatle sledi da je ugaona brzina jednaka

˙eN + ψ ˙ e3 . ˙ ez + θ ω = ϕ 

(6.106)

Pomoću ovog izraza moguće je naći komponente ugaone brzine bilo u laboratorijskom, bilo u sistemu vezanom za kruto telo. Ovde ćemo pokazati kako se nalaze komponente  ω u sistemu vezanom za kruto telo: ˙ eN )1 , c ˙ ez )1 + θ( ω1 = ϕ( ´ i z ˇ ˙ eN )2 , ˙ ez )2 + θ( (6.107) ω2 = ϕ( d ˙ eN )3 + ψ˙ , a ˙ ez )3 + θ( ω3 = ϕ( H Iz ´ definicije ˇcvorne linije (slika 6.13) sledi da je c i v o eN = cos ψe1 sin ψe2 , z e l pa je (eN )1 = cos ψ, (eN )2 = sin ψ i (eN )3 = 0. Takode, imajući u vidu naˇcin na koji se sistem E Axyz . prevodi u sistem Ax 1 x2 x3 moˇzemo da napiˇsemo da je S e1 ex ex 0 e2 ey ey , = = ψ θ ϕ 1 0 e3 ez ez 2 c gde su 

−

−

R

R

ψ

=

cos ψ sin ψ 0 sin ψ cos ψ 0 , 0 0 1

−

R

θ

R RR

1 0 0

=

0 0 cos θ sin θ , sin θ cos θ

−

ϕ =

R

cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1

−

.

Odatle je

ex ey ez

=

e1 e2 e3

−1

R

=

†

R

e1 e2 e3

,

pri ˇcemu smo iskoristili osobinu ortogonalnosti matrica rotacije: −1 = sledi da je ez = †31e1 + †32e2 + †33e3 = 13e1 + 23e2 +

T

ˇsto znaˇci da je

R

R

(ez )1 (ez )2 (ez )3

R

=

R

0 0 1

=

†

R R [3]. Iz poslednje relacije R R e ,

sin ψ sin θ cos ψ sin θ cos θ

  R  



,

33 3

75

6.6. KRUTO TELO

pa, zamenom u (6.107), slede izrazi za komponente ugaone brzine u sopstvenom sistemu krutog tela: ω1 = ϕ˙ sin ψ sin θ + θ˙ cos ψ , (6.108) ω2 = ϕ˙ cos ψ sin θ θ˙ sin ψ , ω3 = ϕ˙ cos θ + ψ˙ .

−

A   J I     Z  R  E   a V k i n    A a h e    N m    D    k a A s j i  R e o r  6.6.4

Moment impulsa, kinetiˇ cka energija i tenzor inercije krutog tela

−→

Izraˇcuna jmo moment impulsa M krutog tela u odnosu na koordinatni poˇcetak O laboratorijskog sistema:

−M →

=

rν

ν

= rA

×

× m v

ν ν

(rA + rν  )

=

ν

rν 

mν vν +

× m v

× m (v ν

ν ν

ω A + 

 ν )

× r

ν ν c ´ i = rA mvC + rν  mν vA + mν rν  ( ω rν  ) , z ˇ d ν ν a gde je m = ν mν ukupna masa krutog tela, a vC brzina centra mase krutog tela u odnosu na H laboratorijski sistem. Dalje je c ´ i v (6.109) M = rA m vC + mrC  vA + mν rν 2  ω ( ω rν  )rν  , o z ν e l gde je rC  vektor poloˇzaja centra mase C krutog tela u odnosu na pol A. Ako pol A krutog tela E miruje . i ako upravo taj pol izaberemo za koordinatni poˇcetak laboratorijskog sistema onda je rA = 0 S i vA = 0, pa se kretanje krutog tela svodi na ˇcistu rotaciju, a moment impulsa jednak je poslednjem 0 u prethodnom izrazu: sabirku 1 0 (6.110) M rot = mν rν 2 ω  ( ω rν  )rν  . 2 ν c 

×

−→

×

×

× ×

×

− ·

−→

− ·

Projekcije ovog vektora na ose sopstvenog sistema krutog tela jednake su: M 1 rot =

2

− (ω x

2

− (ω x

2

− (ω x

mν rν  ω1

ν

M 2 rot =

mν rν  ω2

ν

M 3 rot =

mν rν  ω3

ν

    1 1ν + ω2 x2ν + ω3 x3ν )x1ν

= I 11 ω1 + I 12 ω2 + I 13 ω3 ,

    1 1ν + ω2 x2ν + ω3 x3ν )x2ν

= I 21 ω1 + I 22 ω2 + I 23 ω3 ,

    1 1ν + ω2 x2ν + ω3 x3ν )x3ν

= I 31 ω1 + I 32 ω2 + I 33 ω3 ,

gde su

T

2

2

mν (x2ν + x3ν ) ,

I 11 =

I 12 =

ν

2

2

mν (x1ν + x3ν ) ,

I 22 =

I 13 =

ν

I 33 =

 ν

2 mν (x1ν

2 + x2ν ) ,

I 23 =

− −

mν x1ν x2ν = I 21 ,

ν

mν x1ν x3ν = I 31 ,

ν

 − ν

mν x2ν x3ν = I 32 .

76

GLAV GLAVA 6. SPECIJALNI SPECIJALNI PROBLEMI PROBLEMI

Poˇsto Poˇ sto su komponente rotacionog dela momenta impulsa linearne homogene homog ene funkcije komponenata rot ugaone brzine, jasno je da izmedu vektora M i  ω postoji tenzorska veza

−→ −→ M

rot

= ˜  ω,

I ·

(6.111)

A J I  Z R  E   V  a k i n A a h e  N  m D a k   A s j  i R r gde je

I =

 

 

I 11 11 I 12 12 I 13 13 I 21 21 I 22 22 I 23 23 , I 31 31 I 32 32 I 33 33

I ij ij =



2

mν (rν  δ ij ij

ν

  iν x jν ) ,

−x

(6.112)

matrica koja odgovara tzv. tenzoru inercije u sistemu Ax1 x2 x3 . Ako moˇze ze da se smatra smatra da je masa kontinualno raspodeljena po zapremini V zapremini V krutog krutog tela, onda se elementi I ij raˇcuna cu na ju pomo´ om oću cu ij raˇ zapreminskih integrala: 2

ρ (rν  δ ij ij

I ij ij =

  i j

− x x ) dV ,

1 , 2, 3 , i, j = 1,

(6.113)

c ´ V i z ˇ u d kojima je ρ gustina gustina krutog krutog tela. tela. Dijago Dijagonal nalni ni elemen elementi ti ovog ovog tenzor tenzoraa imaju smisao smisao momena momenata ta a inercije inerc ije krutog krutog tela u odnosu na odgovaraju´ odgovarajuću cu osu sopstven sopstvenog og sistema sistema krutog krutog tela, dok vandijagandijag H - elementi, tzv. proizvodi inercije onalni inercije nemaju direktan fiziˇcki cki smisao. Po Poˇˇsto sto je tenzor inercije c ´ i simetriˇ can tenzor, sigurno postoji posto ji ortonormirani bazis  bazis e1 , e2 , e3 u kome je ovaj tenzor reprezentovan v can o dijagonalnom matricom z I 1 0 0 e l ˜ = 0 I 2 0 , (6.114) E . 0 0 I 3 S gde se svojstvene vrednosti I vrednosti I i nazivaju glavnim nazivaju glavnim momentima inercije , a svojstvene ose glavnim ose glavnim osama 0 1 inercije krutog krutog tela. Ako kruto telo rotira oko jedne od svojih glavnih glavnih osa inercije, inercije, moment moment impulsa 0 ima pravac te ose. U ostalim sluˇcajevima cajevima moment impulsa nije kolinearan sa osom oso m rotacije krutog 2 tela. c 

I

Kinet Ki netiˇ iˇcka cka ener e nergi gija ja T krutog tela jednaka je T krutog T =

ν

1 1 mν vν 2 = 2 2

+  mν (vA +  ω

ν

 2 ν )

× r

1 = mvA2 + vA (ω  2

 + T rot C ) + T

· × mr

,

(6.115)

gde je

T rot =

o e T

=

1 2

mν ( ω

ν

1  ω 2

·

mν [rν 

ν

 2 ν )

× r

=

1 2

mν  ω (rν 

ν

 ν )]

× ( ω × r

 ν ))

× ( ω × r

·

1 ˜ =  ω  ω  . 2

· I

Ako je  je  = ωn, gde je  je n ort trenutne ose rotacije, onda je ω = ω 1 1 gde je I = T rot = ω 2n ˜ n = I ω2 , gde 2 2

· I

 ν

mν (n

 2 ν )

× r

(6.116)

77

6.6. 6.6. KRUT KRUTO O TELO TELO


Slika brzinom  ugao θ sa njegovom osom ω oko ose koja zaklapa ugao θ c6.18: Cilindar koji rotira ugaonom brzinom  ´ i simetrije. z ˇ

d a moment ciji je ort n, ˇsto se lako pokazuje. po kazuje. Konaˇ Kon aˇcno cno zakljuˇ zakl juˇcujemo cuje mo da H - inercije krutog tela oko ose ˇciji c inercije krutog tela u odnosu na osu odredenu ortom n moˇze moment ze p omo´ om oću cu tenzo ten zora ra inerc in ercije ije ˜ da ´ i se v izraˇ iz raˇcuna cu na koriˇ koriˇs´ sćenj ce njem em formu fo rmule le o (6.117) I = n ˜ n . z e l Da bi se ova formula primenila potrebno je znati matricu koja reprezentuje tenzor inercije u nekom E sopstvenom sopstv koordinatnom sistemu sistemu krutog tela, kao i komponent komponentee orta n u tom istom sistemu. . enom koordinatnom S Ukoliko se radi o homogenom krutom telu, koje ima neku vrstu geometrijske simetrije, onda je 0 najzgodnije za sopstveni sistem izabrati sistem u kome je neka od osa upravo osa simetrije tela. 1 Kako ( 6.117)) demonstr demo nstrira´ iraćemo cemo kroz slede´ sle deći ci primer. prim er. 0se primenjuje formula (6.117 2 c 6.6.1. Nadimo matricu koja ko ja odgovara tenzoru inercije homogenog kruˇznog znog cilindra, poPrimer 

I

· I

A a h e N m  D  k a A s j i R r

lupr lu preˇ eˇcnika cni ka osnove os nove R, visine visine H homogenosti sti i simetr simetrije ije cilindr cilindra, a, za sopstve sopstveni ni H i mase m. Zbog homogeno koordinatni sistem izabraćemo cemo sistem u kome se osa x osa x 3 poklapa sa osom cilindra (slika 6.18 (slika 6.18). ). Osim toga, za koordinatni koordin atni poˇcetak cetak (pol) (pol ) uze´ u zećemo cemo centar mase cilindra. cilindr a.

I =

o e T

1 mR2 4

1 + 12 mH 2 0 0

0 1 1 2 + 12 mH 2 4 mR 0

0 0 1 mR2 2

 

(6.118)

Dakle, kao ˇsto sto smo s mo zbog zb og simetrije s imetrije mogli i da oˇcekujemo, cekujemo, izabrane ose su glavne ose o se inercije, iner cije, a nadeni nadeni 1 elementi I 11 11 = I 22 22 = I 1 = I 2 i I 33 33 = I 3 su glavni momenti inercije cilindra. Jasno je i da glavne ose u ravni x1 x2 potpuno potpuno proizv proizvolj oljno no mogu da se izaberu izaberu,, tj. tj. svak svakaa osa u toj ravni ravni je glavna glavna osa inercije. 1

Ovakva Ovakva kruta tela, ˇcija cija dva glavna momenta inercije ima ju istu vrednost (dvostruko (dvostruko degenerisana svojstvena vrednost) nazivaju se dinamiˇ din amiˇcki simetr sim etriˇ iˇ cna cna tela tel a . Uko Ukolik likoo se sva sva tri glavna momenta momenta poklapaju, poklapaju, kaˇ kaˇze ze se da je telo potpuno potp uno dinamiˇ din amiˇcki ck i simet si metriˇ riˇ cno cno - primeri za to su homogena homo gena lopta lop ta i homogena h omogena kocka, u odnosu o dnosu na sistem sis tem ˇciji ciji je poˇcetak cetak u njihovom centru mase. Za takva tela bilo koja osa koja predstavlja glavnu osu inercije.

78

GLAV GLAVA 6. SPECIJALNI SPECIJALNI PROBLEMI PROBLEMI

Razmotrimo dalje rotaciju ovog cilindra ugaonom brzinom  ω oko ose koja prolazi kroz centar mase i sa osom simetrije cilindra zaklapa ugao θ ugao θ.. Ort ove ose u izabranom sopstvenom koordinatnom sistemu ima oblik n = cos θe3 + sin θ(cos αe1 + sin αe2 ) ,

A J   I    Z R E  a V n k i

gde je α ugao koji projekcija orta n na ravan x1 x2 zaklapa sa osom x1 . Prem Premaa form formuli uli (6.117 (6.117)) moment inercije I inercije I u u odnosu na ovu osu jednak je I =



cos α sin θ sin α sin θ cos θ

= I 1 sin2 θ + I + I 3 cos2 θ =

  

 

I 1 0 0 0 I 1 0 0 0 I 3

1 1 mR2 + mH 2 4 12



 

 

sin θ cos α sin θ sin α cos θ 1 sin2 θ + mR2 cos2 θ . 2

Moment impulsa cilindra je u ovom sluˇcaju caju jednak

−→ ω = ω = ω M = I 

 

I 1 0 0 0 I 1 0 0 0 I 3

sin θ cos α sin θ sin α cos θ

I 1 sin θ cos α I 1 sin θ sin α I 3 cos θ

c ´ = ω i z ˇ d a ˇ odakle se jasno vidi da M i  se, se, ugao uga o izmedu izme du ova dva d va vektor vek tor moˇze ze ω nisu kolinearni vektori. Staviˇ H - tno i da se izraˇcuna: eksplicitno eksplici cuna: c ´ i v + I 3 cos2 θ M  ω I 1 sin2 θ + I o  cos (M , ω =  ) = . z + I 32 cos 2 θ I 12 sin 2 θ + I M  ω e l Ecka Kinetiˇ cka energija ene rgija cilindra cilindr a jednaka je . 1 1 1 S + I 3 cos2 θ) . T =  ω  ω  =  ω M = ω 2 (I 1 sin2 θ + I 0 2 2 2 1 0 ˇ 2 Generalisana Stajnerova teorema c 

−→

−→ · · |−→| | |

−→

A a h e N m D a k A s j i R r · −→

· I

Iz definicije definicije tenzora tenzora inercije je jasno da matrica koja mu odgovara odgovara zavisi od toga kako kako su orijentisane ose sopstvenog sistema tela, ali takode tako de i od izbora pola. Pri promeni orijentacije osa matrica se transformiˇ transformiˇse se shodno zakonu zakonu transformacije tenzora u trodimenzionalnom euklidskom prostoru. Naravno, obiˇcno cno se nastoji da se pri izboru osa iskoristi simetrija tela, kao u prethodnom primeru sa cilindrom. Prilikom promene pola krutog tela, a kada se orijentacija osa ne menja, elementi tenzora inercije iner cije transfo tran sformiˇ rmiˇsu su se na slede´ sle deći ci naˇcin. cin . Oznaˇcimo cimo sa I ijA elemente elem ente tenzora t enzora inercije izraˇcunate cunate u B odnosu na sopstveni sistem Ax1 x2 x3 , a sa I ij njegove njegove elemente, elemente, raˇcunate cunate u odnosu na sistem koji se dobija translatornim pomeranjem Ax pomeranjem Ax 1 x2 x3 za vektor AB = sto su radijus rad ijus AB = d d 1e1 + d2e2 + d3e3 . Poˇsto vektori ν vektori ν -te -te taˇcke cke krutog tela u odnosu na polove A polove A i B povezani relacijom

o   e T

−→ − →

−→

rν A = AB + AB + rν B ,

po definiciji tenzora inercije dobija se I ijB

B 2 mν δ ij ij (rν )

=

ν

2 = I ijA + δ ij ij m(d

 

B B xiν x jν

− −→ · r − 2AB

mν δ ij rν A ij (

=

ν

−

A A A + m((di x jC + d + d j xiC C ) + m

 )2 AB) AB

−

− d d ) , i j

A (xiν

−

A )(x jν di )(x

−d ) j



79

6.6. 6.6. KRUT KRUTO O TELO TELO


c ´ i z ˇ ˇ Slika Slika 6.19: Primena Primena generalisan generalisanee Stajnerove teoreme (primer 6.6.2). 6.6.2). d a H A -je rC gde radijus vektor centra mase krutog tela u odnosu na pol A. Ova Ova veza veza izme izmedu du I ijA i I ijB c ´ pojednost po i jednostavljuje avljuje se ako je taˇcka A cka A upravo centar mase. Ako za taj sluˇcaj caj uvedemo oznake I oznake I ijA I ij∗ v B i I o I dobijamo relacije ij z ijij ∗ 2 e + m((δ ij (6.119) I ij di d j ) , ij = I ij + m ij d l E Stajnerove teoreme . Naime, za dijagonalne elemente, koje .mogu da se shvate kao generalizacija ˇ tj. S kada je i = j = j dobijamo 0 = I ii∗ + m + m((d2 di2 ) , I iiii = I 1 0 ˇsto st 2 o upr u pravo avo jeste jes te ˇStajner Sta jnerova ova teorema, teor ema, poˇsto d sto d 2 di2 predstavlja pre dstavlja kvadrat k vadrat najkra´ na jkraćeg ceg rasto ras tojanja janja izmedu i zmedu pravih osi x i provuˇ pr ovuˇcenih cen ih kroz kro z cent c entar ar mase ma se (taˇ (t aˇcka A cka A)) i pol B pol B.. Sliˇcno, cno, za proizvode pr oizvode inercije c paralelnih osi x 

≡

≡

−

A a h e N m D a k A s     j i R r −

−

∗ dobija se veza I veza I ij ij = I ij

− md d , i = j. j . i j

cunajmo elemente tenzora inercije za homogenu kocku (mase m i ivice a) u Primer Primer 6.6.2. 6.6.2. Izraˇcunajmo odnosu na sopstveni sopstveni sistem ˇciji ciji je pol u jednom jednom njenom njenom temenu, temenu, a ivice ivice koje prolaze prolaze kroz to teme odreduju pravce koordinatnih osa (slika 6.19). 6.19). Zbog simetri simetrije je i homoge homogenos nosti ti kocke, kocke, ako se za pol izabere izabere centar centar mase, mase, tj. cent centar ar kocke kocke,, a za ose sopstv sopstveno enogg sistem sistemaa ose parale paralelne lne ivicam ivicamaa kocke kocke,, vandijagonalni elementi su svi jednaki nuli, a dijagonalni su svi jednaki i iznose

o e T ∗ ∗ ∗ = I = I 22 = I = I 33 = I 11

a/2 a/2

dV ρ (x21 + x + x22) =

m a3

V

pa je

dx1

−a/2 a/2

I = 16 ma ∗

a/2 a/2

2

 

a/2 a/2

dx2

−a/2 a/2

1 0 0 0 1 0 0 0 1

 

−a/2 a/2

.

1 dx3 (x (x21 + x + x2 )2 = ma2 , 6

80

GLAVA 6.

SPECIJALNI PROBLEMI

A J I Z R  E    a V n k i A a h e N m D  a        k A s j i R e o r   Slika c6.20: Rotacija oko fiksirane ose Oz . Pol krutog tela je izabran na fiksiranoj osi, upravo u ´ i koordinatnom poˇcetku O, sopstvena osa Ox3 se poklapa sa osom Oz , a ose Ox1 i Ox2 rotiraju u z ˇ dOxy ugaonom brzinom ϕ. ravni ˙

a H ˇ Primenom generalisane Stajnerove teoreme (6.119), imajući u vidu da je d1 = d2 = d3 = a/2, c ´ i direktno v se dobija 2 1 1 o 3 4 4 z 2 1 2 1 = ma . e 4 3 4 l 1 1 2 E 4 4 3 . S 6.6.5 Rotacija oko fiksirane ose 0 1 Razmotrimo rotaciju krutog tela oko fiksirane ose, kao najjednostavniji dinamiˇcki problem u 0 2se kruto telo rotaciono kreće. Ne smanjujući opˇstost, za pol krutog tela izaberimo taˇcku na osi kome c i neka to istovremeno bude i koordinatni poˇcetak O laboratorijskog sistema, a ose Oz i Ox 3 rotacije 

−

− − − − − −

I

neka se poklapaju sa osom rotacije. Ovde se oˇcigledno radi o kretanju sa jednim stepenom slobode i za generalisanu koordinatu je zgodno izabrati ugao rotacije ϕ oko ose rotacije. Ugaona brzina rotacije je onda jednaka  ˙ ez = ϕ ˙ e1 . Moment impulsa krutog tela u odnosu na koordinatni ω = ϕ poˇcetak jednak je

−M →

(O)

= ˜ ω = 

I

I 11 I 12 I 13 I 21 I 22 I 23 I 31 I 32 I 33

0 0 ϕ˙

= ϕ(I ˙ 13e1 + I 23e2 + I 33e3 ) .

Ako dalje primenimo zakon momenta impulsa sledi

T  (O) K

−→

dM (O) de1 de2 de3 = = ϕ(I ¨ 13e1 + I 23e2 + I 33e3 ) + ϕ˙ I 13 + I 23 + I 33 . dt dt dt dt

Skalarnim mnoˇzenjem ove jednaˇcine ortom ez = e3 dobijamo jednaˇcinu  (O) = I 33 ¨ ez K ϕ,

·

81

6.6. KRUTO TELO

e e e gde smo iskoristili konstantnost orta e3 zbog ˇcega je d = 0, kao i ˇcinjenicu da vektori d i d dt dt dt nemaju z komponente (gledano iz laboratorijskog sistema ortovi e1 i e2 menjaju se zbog rotacije krutog tela oko Oz ose, ali pri tome stalno ostaju u ravni Oxy). Ako uvedemo oznake I 33 = I i  (O) = K z , onda ova jednaˇ cina dobija dobro poznati oblik: ez K 3

1

2

·

A J I    Z R E a V n k i A a h e N m D a k A s j i R r ¨ I ϕ = K z ,

(6.120)

gde je, dakle, I moment inercije krutog tela oko fiksirane ose rotacije, a K z projekcija ukupnog spoljaˇsnjeg momenta sila na osu rotacije.

Fiziˇcko klatno

Pod fiziˇckim klatnom podrazumevamo kruto telo koje u homogenom gravitacionom polju rotira oko fiksirane horizontalne ose. Moment spoljaˇsnjih sila u ovom sluˇcaju potiˇce samo od sile gravitacije i jednak je

 (O) = c ´ K rν mν g = mν rν g = mrC g , i z ˇ ν ν d gde je m masa krutog tela, a rC radijus vektor centra mase u odnosu na izabranu taˇcku O na osi a H rotacije, - pa je  (O) = mez (rC g ) = mrC (g ez ) = mgyC . c ´ ez K i v Centar o mase rotira oko horizontalne Oz ose, pa, ne smanjujući opˇstost moˇzemo da uzmemo da je = de1 + a3e3 , d=const, a3 = const, ˇsto odgovara takvom izboru osa sopstvenog sistema krutog rC z e l tela pri kome centar mase leˇzi na Ox1 , a d je onda najkra´ ce rastojanje od centra mase do ose E rotacije. . Odatle je y C = ey rC = dey e1 = d sin ϕ, poˇsto je ugao izmedu Ox i Ox1 ose po definiciji Konaˇcno, zamenom u opˇstu jednaˇcinu (6.120) za rotaciju oko fiksirane ose sledi diferencijalna ϕ. S 0cina kretanja fiziˇckog klatna: jednaˇ 1 gmd 0 ¨ sin ϕ = 0 , ϕ + 2 I cima isti oblik kao i jednaˇcina matematiˇckog klatna (6.4), samo je konstanta koja mnoˇzi sin ϕ koja 

×

·

×

· ×

·

×

· ×

−

·

drukˇcija. Na osnovu ove formalne analogije mogu se izvoditi sliˇcni zakljuˇci o kretanju fiziˇckog klatna u zavisnosti od njegove ukupne energije, kao i u sluˇcaju matematiˇckog klatna. ... slika....

U sloˇzenijim sluˇcajevima dinamika kretanja krutog tela uvek moˇze da se analizira pomoću teorema impulsa i momenta impulsa. Ako je ukupna spoljaˇsnja sila koja deluje na kruto telo jednaka  a ukupni moment spoljaˇsnjih sila u odnosu na koordinatni poˇcetak laboratorijskog sistema K  (O) , F , onda sigurno vaˇze jednaˇcine

o e T

dvC  = F i m dt

−→

−→

dM dt

(O)

 (O) , = K

gde je m masa krutog tela, a M (O) moment impulsa krutog tela u odnosu na O. Obiˇcno je, medutim, momente zgodnije raˇcunati u odnosu na pol krutog tela, nego u odnosu na taˇcku O, pa je zato potrebno jednaˇcinu momenta impulsa transformisati tako da se u njoj pojave upravo momenti u odnosu na pol A. Poˇsto je rν = rA + rν  , moment impulsa moˇzemo da prepiˇsemo kao

−M →

(O)

=

rν

ν

× m v ν

ν =



(rA + rν  )

ν

ν =

× m v ν

 ν

rA

× m v + ν ν

 ν

rν 

× m v , ν ν

82

GLAVA 6.

SPECIJALNI PROBLEMI

odakle, ako iskoristimo definiciju centra mase, dobijamo izraz

−M →

(O)

= rA

−→

C +

× mv

−M →

(A)

,

(6.121)

gde je M (A) moment impulsa krutog tela u odnosu na pol A. Dalje je

−→

dM dt

(O)

= vA

C +

× mv

odnosno, ako se iskoristi teorema impulsa:

−→ dM dt

(O)

= vA

A J I  Z R E a V n k i

rA

C +

× mv

×

rA

−→

(A)

dvC d M + m dt dt

× F  +

−→ d M dt

,

(A)

.

(6.122)

 ν oznaˇcimo spoljaˇsnju silu koja deluje na ν -ti delić krutog tela, ukupni S druge strane, ako sa F moment spoljaˇsnjih sila moˇze da se napiˇse kao

c ´ i z ˇ  (O) =  ν =  ν = rA F  +  ν , (rA + rν  ) F K rν F rν  F d ν ν ν a H odnosno c ´  (O) = rA F  + K  (A) , i (6.123) K v o  (A) ukupni moment spoljaˇsnjih sila u odnosu na pol A. Ako se dobijeni izrazi (6.122) gde je K z e zamene u teoremu impulsa (napisanu u odnosu na koordinatni poˇcetak laboratorijskog i l (6.123) E direktno sledi jednaˇcina sistem) . S (A) d M 0  (A) = vA m (6.124) K vC + . 1 dt 0 2 Poslednja jednaˇcina, u kombinaciji sa teoremom impulsa, obiˇcno je pogodnija za analizu kretanja c krutog tela, nego teorema momenta impulsa napisana u odnosu na koordinatni poˇcetak O labora-



×



×

×

×

×


−→

torijskog sistema. Iz nje se, takode, vidi da ako za pol izaberemo centar mase dobijamo jednaˇcinu koja ima isti oblik kao i teorema momenta impulsa u odnosu na O, tj.

−→

(C )

dM dt

Naravno, kada god je vA

o e T

6.6.6

×

 (C ) . = K

−→

dM vC = 0, takode vaˇzi dt

(6.125)

(A)

 (A) . = K

Koriolisova teorema

 vektor koji se ne menja u sopstvenom sistemu krutog tela. Za posmatraˇca iz laboraNeka je C torijskog sistema ovaj vektor se u toku infinitezimalno kratkog vremenskog intervala dt promeni za  = dα C  , pa je dC  dC  . =  (6.126) ω C dt

−→ ×

×

83

6.6. KRUTO TELO

 = G 1 (t)e1 + G2 (t)e2 + G3 (t)e3 bilo kakva vektorska veliˇcina. Za posmatraˇca iz laboraNeka je G(t) torijskog sistema brzina njene promene jednaka je  dG(t) dG1 dG2 dG3 de1 de2 de3 = + G2 (t) + G3 (t) e1 + e2 + e3 + G1 (t) . dt dt dt dt dt dt dt

(6.127)

A J I   Z R    E  a V n k i A a h e N m D a k A s j i R e o r Poˇsto se vektori ei u sopstvenom sistemu krutog tela ne menjaju (kao Dekartovi koordinatni ortovi), na njih se moˇze primeniti formula (6.126), pa je  dG(t) dG1 dG2 dG3 = e1 + e2 + e3 + G1 (t) ω e1 + G2 (t) ω dt dt dt dt dG1 dG2 dG3  . = e1 + e2 + e3 +  ω G(t) dt dt dt

×

× e + G (t) ω × e 2

3

3

×

 u sopstvenom sistemu jednaka Kako je brzina promene veliˇcine G(t)

c rel ´ i  d dG1 dG2 dG3 G(t) z ˇ = + + (6.128)  e  e e3 , 1 2 d dt dt dt dt a H - brzinu promene u laboratorijskom sistemu moˇzemo da napiˇsemo kao njegovu c ´ i v aps rel o   d d G(t) G(t) z  . = +  (6.129) ω G(t) e dt dt l E Ovaj . rezultat poznat je kao Koriolisova teorema , a u njemu smo oznakama ,,aps” i ,,rel” oznaˇcili S  laboratorijskom i sopstvenom sistemu krutog tela. redom brzinu promene veliˇcine G u 0 1 0 Ubrzanje delića krutog tela 2 c 

×

Pomoću Koriolisove teoreme moˇze da se nade izraz za ubrzanje proizvoljne taˇcke ν krutog tela, na sledeći naˇcin: dvν d dvA d = (vA +  + ( (6.130) aν = ω rν  ) = ω rν  ) . dt dt dt dt

×

Poˇsto je

dvA dt

×

= aA ubrzanje pola A i d ( ω dt

×

rν  )

d ω = dt

×

rν 

+  ω

×

drν  =  ω˙ dt

 ν

+  ω

× r

 ν ) ,

× ( ω × r

vraćanjem ovih izraza u (6.130) dobija se

T

˙ aν = aA + ω 

 ν

× r

+  ω

 ν ) .

× ( ω × r

(6.131)

Osnovna jednaˇ cina dinamike u neinercijalnom sistemu

Razmotrimo kretanje materijalne taˇcke mase m u odnosu na proizvoljan, u opˇstem sluˇcaju neinercijalan referentni sistem S  , koji moˇze da se zamisli kao sistem vezan za neko kruto telo koje

84

GLAVA 6.

SPECIJALNI PROBLEMI

se kreće na proizvoljan naˇcin. Znamo da u inercijalnom sistemu S osnovna jednaˇcina dinamike ima oblik (6.132) ma = F ,  ukupna sila koja deluje na matrijalnu taˇcku, i koja potiˇce od njene interakcije sa drugim gde je F telima. Pomo´ cu Koriolisove teoreme moˇze da se nade veza izmedu ubrzanja a materijalne taˇcke u sistemu S i njenog ubrzanja a u neinercijalnom sistemu S  , polazeći od relacije izmedu radijus vektora taˇcke u sistemu S i S  : r = rA + r ,

A     J I Z   R E a V n k i A a h e N     m     D a k   A s j i R r gde smo sa A oznaˇcili koordinatni poˇcetak u sistemu S  . Odavde dalje sledi v = vA +

aps

dr dt

rel

dr dt

= vA +

+  ω



× r ,

gde smo oznakom ,,aps” i ,,rel”, kao i ranije, oznaˇcili brzine promena u odnosu na sisteme S i S  , c Poˇsto je brzina taˇcke u sistemu S  (tzv. relativna brzina ) po definiciji jednaka ´ redom. i

z ˇ rel d dr  a v = , dt H c ´ iizmedu v i v  dobija oblik veza v o (6.133) v = v  + vA +  ω r . z e U l ovom izrazu deo (vA +  ω r ) prepoznajemo kao brzinu taˇcke krutog tela za koje je vezan sistem  , a .koja se nalazi na mestu odredenom radijus vektorom r , tj. taˇcno tamo gde je i materijalna S E taˇ cka. Zato je uobiˇcajeno da se prethodna relacija piˇse u obliku S 0 1 v = v  + vpr , 0 2 gde je c  

×

×

vpr = vA +  ω

× r

tzv. prenosna brzina . Za ubrzanje a se iz (6.133) dobija a =

dv dt

aps

=

aps

dv  dt

aps

dvpr dt

+



= a +  ω



× v +

dvpr dt

aps

,

gde je

 e o



a =

dv  dt

rel

relativno ubrzanje , tj. ubrzanje materijalne taˇcke u sistemu S  , a

T

dvpr dt

aps

= aA +



= aA +  ω˙ = aA +  ω˙

d( ω r ) dt

×





aps



= aA +  ω˙



× r +  ω



× r +  ω × (v +  ω × r ) × r +  ω × v +  ω × ( ω × r ) . 





  × dr dt

aps

85

6.6. KRUTO TELO

Dalje sledi: a = a + 2 ω gde je

apr = aA +  ω˙



× v + a

pr

,



(6.134)



× r +  ω × ( ω × r )

(6.135)


prenosno ubrzanje , tj. ubrzanje delića krutog tela vezanog za S  koji se nalazi na istom mestu gde je i materijalna taˇcka. Zamenom dobijenog izraza (6.134) za apsolutno ubrzanje a u izraz za dinamiˇcku silu ma u (6.132) direktno sledi osnovna jednaˇcina dinamike u neinercijalnom sistemu S  :  ma = F



− ma − 2m ω × v . pr

(6.136)

Druga dva ˇclana u izrazu sa desne strane ove jednaˇcine ne potiˇcu od interakcije medu telima, dakle nisu prave sile, ve´ c su to tzv. inercijalne sile , koje su se pojavile usled neinercijalnosti sistema  S i predstavljaju tzv. inercijalne sile . Izraz 2m ω v  predstavlja tzv. Koriolisovu silu , a ˇclan m ω ( ω r ), koji se javlja u mapr je centrifugalna sila . c ´

− i × ×

−

−

×

z ˇ d a Ojlerove jednaˇ 6.6.7 cine za kruto telo H Ako se u jednaˇcini (6.125) c ´ (C ) i d M v (C )  = K , o dt z e l primeni Koriolisova teorema na izvod sa desne strane (koji predstavlja brzinu promene momenta E impulsa merenu iz laboratorijskog sistema) dobija se jednaˇ cina . S (C ) rel 0 dM  (C )  1 = K (6.137) ω M (C ) . 0 dt 2 c 

−→

A a h e   N  m D a k A s j i R r  −→   

− × −→

Moment impulsa krutog tela raˇcunat u odnosu na njegov centar mase jednak je

−M →

(C )

rν 

=

ν

=

m rC 

rν 

× m v = × m (v ˜  ˜  + I ω = I ω, ν ν

ν

ω C + 

ν

C

×

rν  )

=

mν rν 

ν



× v

C +

 ν

C

rν 

 ν )

× m ( ω × r ν

poˇsto je rC  = 0. Ako za Dekartove ose sopstvenog sistema krutog tela izaberemo glavne ose inercije, onda tenzor inercije C u tako izabranom sistemu ima dijagonalni oblik, pa projektovanjem jednaˇcine (6.137) na te ose dobijamo Ojlerove jednaˇ cine za kruto telo:

o e T

I

dω1 dt dω2 I 2 dt dω3 I 3 dt I 1

2

3

2 3

= K 1C ,

3

1

3 1

= K 2C ,

1

2

1 2

= K 3C .

− (I − I )ω ω − (I − I )ω ω − (I − I )ω ω

(6.138)

86

GLAVA 6.

SPECIJALNI PROBLEMI

Slobodna rotacija dinamiˇ cki simetriˇcnog tela  (C ) = 0, Kao ilustraciju primene Ojlerovih jednaˇcina razmotrićemo sluˇcaj slobodne rotacije, K dinamiˇcki simetriˇcnog krutog tela kod koga je I 1 = I 2 = I 3 . Ojlerove jednaˇcine se za ovakvo kretanje svode na sistem diferencijalnih jednaˇcina



A J I Z   R E  V  a k i n A a h e N m D a k A s j i r R  e o     dω1 dt dω2 I 1 dt I 1

− (I − I )ω ω − (I − I )ω ω 1

3

2 3

= 0,

3

1

3 1

= 0,

dω3 = 0. dt Iz poslednje jednaˇ cine sledi da je ω3 = const, a onda diferenciranjem prve jednaˇcine po vremenu dobijamo d2 ω1 dω2 (I 1 I 3 )ω3 = 0, I 1 2 dt dt czamenom dω iz druge jednaˇcine, dobija oblik ´ koja, i dt I 3

− −

2

z ˇ 2 d d2 ω1 (I 1 I 3 ) a + ω3 ω1 = 0 . 2 dt I 1 H c ´ Dobijena jednaˇcina ima oblik jednaˇcine linearnog harmonijskog oscilatora, pa je njeno reˇsenje i v ω1 (t) = A cos(Ωt + α) , o z e l gde je 2 E I 1 I 3 2 Ω = ω3 , . I 1 S a A i α su konstante, koje se odreduju iz poˇcetnih uslova. Poˇsto je iz prve Ojlerove jednaˇcine 0 1 1 I 1 dω1 0 ω2 = , 2 ω3 I 1 I 3 dt c 

−

−

−

zamenom prethodno dobijenog izraza za ω 1 direktno sledi:

ω2 (t) = A sin(Ωt + α) .

Iz dobijenih izraza za ω1 , ω2 i ω3 sledi da vektor ugaone brzine ω  precesira oko ose x3 ugaonom brzinom Ω. ... Ovde jos treba ubaciti sliku i kako sve to izgleda iz laboratorijskog sistem, takodje reci nesto o Chandler wobble... [4, 5, 6]

6.6.8

Analitiˇ cki metod u dinamici krutog tela

Kao ˇsto je već reˇceno, slobodno kruto telo ima ˇsest stepeni slobode, a za generalisane koordinate je zgodno uzeti Dekartove koordinate pola A krutog tela xA , yA , z A i Ojlerove uglove ϕ, θ i ψ. Rad pri elementarnom pomeranju slobodnog krutog tela je onda jednak

T  ν drν = F

ν

·

 ν vν dt = F

ν

 vA dt +  = F ω

·

 ν (vA +  F ω

·

·

ν

 · ν

rν 

× F  dt = F dx ν

 ν vA dt + F

 ν

× r )dt = x

ν

·

 ν ( F ω

ν

ω A + F y dyA + F z dz A + 

 ν

· × r )dt

· K 

(A)

dt .

87

6.6. KRUTO TELO

Poˇsto je

˙eN + ψ ˙ e3 , ˙ ez + θ ω = ϕ 

konaˇcno se za elementarni rad dobija izraz F x dxA + F y dyA + F z dz A + K z(A) dϕ +



 



 (A) eN dθ + K  (A) e3 dψ , K

·

·

A J I     Z   R  E a V   k i n A a h e N m D a k A s j i R r  i K  (A) ukupna spoljaˇsnja sila i ukupni moment spoljaˇsnjih sila, koje deluju na kruto telo, gde su F ˇsto znaˇci da su generalisane sile QxA = F x , Qϕ

QyA = F y , QzA = F z ,  (A) eN , Qψ = K  (A) e3 . = K z(A) , Qθ = K

·

·

(6.139)

Sile interakcije koje deluju izmedu ˇcestica krutog tela ovde tretiramo kao sile reakcije. Nije teˇsko zakljuˇ citi da se radi o idealnim silama reakcije. Naime, poˇsto su odgovarajuće veze stacionarne, dovoljno je ispitati da li je ukupni rad ovih sila na mogućem pomeranju jednak nuli. Po definiciji je taj rad jednak

c ´ i z ˇ  ν unutr drν =  µν drν = 1  µν drν + 1  νµ drµ F F F F d 2 ν,µ 2 ν,µ a ν ν,µ H 1  µν drν 1  µν drµ = 1  µν d(rν rµ ) , = F F F c ´ i 2 ν,µ 2 ν,µ 2 ν,µ v o  µν interakcije izmedu proizvoljne dve ˇcestice gde z smo iskoristili zakon akcije–reakcije. Poˇsto je sila F e l tela kolinearna sa relativnim radijus-vektorom rν rµ (prema postulatima sile), dalje je krutog E traˇz . eni rad jednak S 1 1 F µν F µν (rν rµ ) d(rν rµ ) = d(rν rµ )2 . 0 2 ν,µ rν rµ 4 ν,µ rν rµ 1 0 2 Medutim, rastojanje izmedu bilo koje dve ˇcestice krutog tela se ne menja pri kretanju, pa je c 

·

·

·

·

−

·

·

·

−

−

| − | −

·

−

d(rν

−

| − |

− r ) µ

2

= 0,

tj. rad sila reakcije na mogu´ cem pomeranju jednak je nuli, pa se zaista radi o idealnim silama reakcije, ˇsto znaˇci da su pri slobodnom kretanju krutog tela zadovoljene Lagranˇzeve jednaˇcine u svom osnovnom obliku: d ∂T d ∂T d ∂T ∂T ∂T ∂T = Q xA , = QyA , = QzA , dt ∂ x˙ A ∂x A dt ∂ y˙ A ∂y A dt ∂ z ˙A ∂z A d ∂T ∂ T d ∂T ∂ T d ∂T ∂ T = Qϕ = Qθ , = Qψ . , dt ∂ ϕ ˙ dt ∂ ˙θ dt ∂ ψ˙ ∂ϕ ∂θ ∂ψ

− −

o e T

− −

−

−

Ako su sve spoljaˇsnje sile koje deluju na kruto telo potencijalne, onda se Lagranˇzeve jednaˇcine za kruto telo mogu pisati i u obliku d ∂L dt ∂ x˙ A d ∂L dt ∂ ϕ ˙

− ∂x∂L = 0 − ∂∂ϕL = 0

,

A

,

d ∂L d ∂L ∂L ∂L = 0, = 0, dt ∂ y˙ A ∂y A dt ∂ z ˙A ∂z A d ∂L ∂ L d ∂L ∂ L =0, = 0. dt ∂ ˙θ dt ∂ ψ˙ ∂θ ∂ψ

− −

−

−

(6.140)

88

GLAVA 6.

SPECIJALNI PROBLEMI

Ako se za pol izabere centar mase C , onda je kinetiˇcka energija jednaka 1 2 2 + z ˙C ) T = m(x˙ 2C + y˙ C 2 1 + I 1 (ϕ˙ sin ψ sin θ + θ˙ cos ψ)2 + I 2 (ϕ˙ cos ψ sin θ 2



−



˙ 2 , θ˙ sin ψ)2 + I 3 (ϕ˙ cos θ + ψ)

A J I Z R E a V n k i

pri ˇcemu su Ojlerovi uglovi uvedeni pod pretpostavkom da su ose sistema vezanog za kruto telo glavne ose inercije, a I 1 , I 2 i I 3 su glavni momenti inercije, a lagranˇzijan je L = T U . I pri neslobodnom kretanju, ako su sile reakcije idealne, a veze holonomne, mogu se primenjivati ˇ Lagranˇzeve jednaˇcine. Cesto se kod neslobodnog kretanja krutog tela javljaju tzv. uslovi kotrljanja bez klizanja , koji odgovaraju kretanju krutog tela po idealno hrapavoj podlozi, pri kome delići krutog tela koji su u neposrednom dodiru sa takvom podlogom ne proklizavaju po njoj. Ovaj uslov se formalno izraˇzava kao jednaˇcina u kojoj se pojavljuju brzine, tj. izvodi generalisanih koordinata, dakle radi se o neholonomnim vezama. U jednostavnijim sluˇ cajevima, to su kvazi-neholonomne veze, tj. veze koje se integracijom mogu svesti na holonomne veze, ali to nije opˇste pravilo, pa treba biti oprezan sa primenom Lagranˇzevih jednaˇcina na takve sisteme. c ´

−

i z ... kotrljanje diska i lopte po ravnoj horizontalnoj podlozi ˇ Primer. d a H 6.6.9 Kretanje teˇ ske simetriˇ cne ˇ cigre c ´ i Razmotrimo kretanje dinamiˇcki simetriˇ cnog krutog tela kod koga je I 1 = I 2 , u homogenom v o gravitacionom polju g = gez , pri kome se njegova najniˇza taˇcka ne pomera (slika 6.21). Ako za pol z e krutog l tela izaberemo nepokretnu taˇcku, koja je istovremeno i koordinatni poˇcetak laboratorijskog sistema, E a za ose sistema vezanog za kruto telo uzmemo glavne ose inercije, onda kinetiˇcka energija tela .ima samo rotacioni deo, koji je jednak S 1 0 T = I 1 (ω12 + ω22 ) + I 3 ω 2 . 1 2 0 2dalje iskoristimo izraze (6.108) za komponente ugaone brzine u sopstvenom sistemu krutog Ako ckinetiˇcka energija dobija oblik  tela,

−

A a h   e N m D  a  k A s j i R r 

T =

1 ˙ 2 , I 1 (ϕ˙ 2 sin2 θ + θ˙2 ) + I 3 (ϕ˙ cos θ + ψ) 2

(6.141)

a poˇsto je potencijalna energija U = mgl cos θ, gde je l rastojanje centra mase od pola, lagranˇzijan je jednak 1 ˙ 2 (6.142) L = I 1 (ϕ˙ 2 sin2 θ + θ˙2 ) + I 3 (ϕ˙ cos θ + ψ) mgl cos θ . 2 Poˇsto su generalisane koordinate ϕ i ψ cikliˇcne, odmah dobijamo dva integrala kretanja

−

o e T

∂L ˙ = I 1 ϕ ˙ sin2 θ + I 3 (ϕ˙ cos θ + ψ)cos θ = const , ˙ ∂ ϕ ∂L ˙ = const . = I 3 (ϕ˙ cos θ + ψ) ˙ ∂ ψ

Poˇsto je moment gravitacione sile u odnosu na nepokretnu taˇcku jednak  =  K l m g = lmgez

×

× e

3

,

(6.143) (6.144)

89

6.6. KRUTO TELO


c ´ i z ˇ d a H c ´ i v o z e l Slika 6.21: Kretanje simetriˇcne ˇcigre u homogenom gravitacionom polju. Najniˇza taˇcka ˇcigre se ne E . pomera. S 0 1 0 2 c 


Slika 6.22: Efektivna potencijalna energija (6.146) teˇske simetriˇcne ˇcigre sa uˇcvrˇsćenom taˇckom.

90

GLAVA 6.

SPECIJALNI PROBLEMI

jasno je da se komponente momenta impulsa duˇz z i x3 ose odrˇzavaju i lako se proverava da je upravo ∂L ∂L = M z , = M 3 . ˙ ∂ ϕ ∂ ψ˙ Treća Lagranˇzeva jednaˇcina d ∂L ∂ L =0, dt ∂ ˙θ ∂θ ima eksplicitan oblik ˙ ˙ 2 sin θ cos θ + I 3 ϕ ˙ sin θ(ϕ˙ cos θ + ψ) I 1 θ¨ I 1 ϕ mgl sin θ = 0 ,

A J I Z R  E a V n k i A a h e N m D a    k A s j i R r −

−

−

˙ u kome ϕ i ˙ ψ mogu da se izraze u funkciji ugla θ pomoću integrala M 3 = const i M z = const kao: ˙ ϕ =

M z

− M cos θ , 3 2

˙ . M 3 = I 3 (ϕ˙ cos θ + ψ)

I 1 sin θ Na taj naˇcin ova jednaˇcina dobija oblik

¨ c ´ = 0, (6.145) θ + f (θ) i z ˇ d gde je a cos θ(M z M 3 cos θ)2 M 3 M z M 3 cos θ mgl sin θ + 2 f (θ) = . H sin θ I 1 I 1 I 12 sin 3 θ c ´ i ¨ 1 d(θ˙2 )/dθ, iz ove jednaˇcine sledi Nakon v smene θ = 2 o z 1 ˙2 e θ = f (θ) dθ , l 2 E gde .integral sa desne strane moˇze da se svede na tabliˇcne integrale. Ispostavlja se da je jednaˇcina S koja se dobija nakon te integracije ekvivalentna zakonu odrˇzanja energije: 0 1 ˙ 2 1 (M z M 3 cos θ)2 M 32 1 + + mgl cos θ = const . E = T + U = I 1 θ + 0 2 2I 1 2I 3 sin2 θ 2 c Uz oznake 

−

−

−

−

−

−

1 (M z M 3 cos θ)2 M 32 + mgl cos θ , (6.146) E = E , U eff = 2I 3 2I 1 sin2 θ zakon odrˇzanja energije moˇze da se prepiˇse kao 1 ˙ 2 I 1 θ + U eff = E  , 2 odakle je −1/2 2[E  U eff (θ)] dθ t = , I 1 ˇcime je data zavisnost ugla θ od vremena u implicitnom obliku. Integral sa desne strane, medutim, ne moˇze u opˇstem sluˇcaju da se izrazi preko elementarnih funkcija, ali pomoću energetskog dijagrama kretanje ˇcigre moˇze kvalitativno da se analizira. Funkcija U eff (θ) ima oblik kao na slici 6.22, sa koje se vidi da kruto telo vrˇsi tzv. pseudoregularnu precesiju , naime njegova glavna osa inercije x 3 obilazi oko z ose (precesira), ali istovremeno i ugao θ izmedu ovih osa osciluje izmedu vrednosti θ 1 i θ2 , tj. vrˇsi tzv. nutaciju (slika 6.23). Odatle se Ojlerovi uglovi ˇcesto nazivaju: θ-ugao nutacije, ϕ-ugao precesije, ψ-ugao rotacije. 

o e T

−

−

−

91

6.6. KRUTO TELO


c ´ i z ˇ d a H c ´ i v o z e l E . S 0 16.23: Linija koju osa simetrije ˇcigre x opisuje prolazeći kroz zamiˇsljenu sferu ˇciji se centar Slika 3 0 M z −M cos θ 2 poklapa sa nepokretnom taˇckom ˇcigre. Ako ϕ = ˙ u toku kretanja ne menja znak, ˇcigra I sin θ c se  kreće kao na delu slike (a), dok deo (b) odgovara sluˇcaju kada se znak ϕ menja ˙ u toku kretanja.

A a h e N m D a k A s j i R r 1

3 2

Na delu slike (c) prikazan je sluˇcaj kada za θ = θ 2 vrednost ϕ dostiˇ ˙ ze nulu, a za sve ostale vrednosti θ1 θ < θ 2 ima isti znak [8].

≤

o e T

92

GLAVA 6.




SPECIJALNI PROBLEMI

Glava 7


Hamiltonov formalizam 7.1

Hamiltonove jednaˇ cine

c ´

i Generalisani impulsi i hamiltonijan z ˇ

d a Svakoj generalisanoj koordinati q i moˇze se pridruˇziti tzv. generalisani impuls pi koji je po H definiciji - jednak c ´ ∂L i = (7.1) p . i v ∂ q ˙i o z e Poloˇ zaji i brzine svih ˇcestica nekog sistema (na koji se moˇze primeniti Lagranˇzev formalizam) mogu l da E se izraze preko generalisanih koordinata q i , generalisanih brzina q ˙i i vremena t. Alternativno, iz . definicionih jednaˇcina (7.1) generalisane brzine mogu da se izraze u funkciji generalisanih koordinata S 1 i impulsa , ˇcime se dobija ju relacije 0 1 (7.2) q ˙i = q ˙i (q,p,t) , 0 2 gde smo sa q i p kratko oznaˇcili kompletne skupove generalisanih koordinata i impulsa. Koristeći c 

A a h e N m  D a k A s j i R r

ove relacije poloˇzaje i brzine ˇcestica moguće je izraziti preko ukupno 2n generalisanih koordinata q i i impulsa pi , i vremena t. Ispostavlja se da je u ovakvom pristupu umesto Lagranˇzeve funkcije, koja je funkcija q, q ˙ i t, zgodnije raditi sa tzv. Hamiltonovom funkcijom (hamiltonijanom), koji se definiˇse kao n

H (q,p,t) =

pi ˙q i (q,p,t)

i=1

− L(q, q ˙(q,p,t), t) ,

(7.3)

gde svaku generalisanu brzinu q ˙i treba izraziti u funkciji q, p i t, kako je i naznaˇceno.

o e T

Kanonske jednaˇ cine

Da bismo uvideli u ˇcemu je prednost uvodenja hamiltonijana H u odnosu na lagranˇzijan L u ovakvom formalizmu, izraˇcunajmo izvode H po q i p (zajedno se ove promenljive zovu kanonske promenljive ). Iz definicije hamiltonijana (7.3) sledi da je njegov parcijalni izvod po generalisanom 1

Moˇze se pokazati da je u klasiˇcnoj nerelativistiˇckoj mehanici to uvek moguće [1].

93

94

GLAVA 7.

HAMILTONOV FORMALIZAM

impulsu pi jednak ∂H ∂ = ∂p i ∂p i



 −

n

n

p j ˙q j (q,p,t)

j=1

j=1

n

A J   I Z R E  a V k i n

∂ q ˙ j (q,p,t) = q ˙i (q,p,t) + p j ∂p i j=1



∂L ∂ q ˙ j ∂ q ˙ j ∂p i n

 − j=1

∂L ∂ q ˙ j . ∂ q ˙ j ∂p i

Poˇsto se drugi i treći ˇclan u poslednjem izrazu, prema definiciji (7.1), poniˇstavaju, dobijamo ∂H = q ˙i (q,p,t) . ∂p i

(7.4)

Sliˇcno, izvod hamiltonijana po generalisanoj koordinati q i je ∂H ∂ = ∂q i ∂q i

 n

p j ˙q j (q,p,t)

−

n

∂L ∂q i

−

∂L ∂ q ˙ j . ∂ q ˙ j ∂q i

(7.5)

c ´ j=1 j=1 i z ˇ d Poˇ sto smo, umesto u Lagranˇzevom formalizmu medusobno nezavisnih promenljivih q i i q ˙i , u ovom a formalizmu (koji ćemo zvati Hamiltonovim) izabrali promenljive q i i pi za medusobno nezavisne, H vaˇz c i -da je ´ i ∂p i = 0, v ∂q j o z e pa je l n n ∂ ∂ q ˙ j (q,p,t) E ˙ (q,p,t) = p q p . j j j . ∂q i j=1 ∂q i j=1 S 0 Vra´ canjem ovog izraza u desnu stranu (7.5), zbog definicije generalisanih impulsa dobijamo 1 0 ∂H ∂L 2 = (7.6) , ∂q ∂q c i i 

A a h e N m D a k A s j i R r 

−

ˇsto je dalje, zbog Lagranˇzevih jednaˇcina d ∂L dt ∂ q ˙i

∂L − ∂q = Q i

∗ i

i = 1,

,

··· , n .

i, ponovo, definicije generalisanih impulsa, jednako

o e T

∂H = Q ∗i ∂q i

− p˙ . i

Zajedno se dobijene jednaˇcine

dq i (q,p,t) ∂H = , dt ∂p i

d pi = Q ∗i dt

− ∂∂q H , i

i = 1,

· ·· , n

(7.7)

cine . Za razliku od Lagranˇzevih jednaˇcina, koje prednazivaju Hamiltonove (kanonske) jednaˇ stavljaju sistem od n obiˇcnih diferencijalnih jednaˇcina drugog reda, Hamiltonove jednaˇcine predstavljaju sistem od 2n obiˇcnih diferencijalnih jednaˇcina prvog reda. Reˇsavanjem ovog sistema (za

ˇ 7.1. HAMILTONOVE JEDNACINE

95

zadate poˇcetne uslove) dobijaju se konaˇcne jednaˇcine kretanja q i (t) i zavisnost generalisanih impulsa od vremena pi (t), ˇcime je potpuno odredeno stanje sistema u svakom trenutku t. Iz samog oblika ovog sistema (izvodi nepoznatih funkcija eksplicitno izraˇzeni preko svih ostalih veliˇcina), jasno je da je njegovo reˇsenje jednoznaˇcno, odakle ponovo sledi klasiˇcni zakon kauzalnosti.


Primer 7.1.1. Generalisani impuls p koji odgovara generalisanoj koordinati x u sluˇcaju linearnog harmonijskog oscilatora, po definiciji je jednak ∂L ∂ = p = ∂ x˙ ∂ x˙



1 2 mx˙ 2

−

1 mω 2 x2 2



= m x˙ ,

(7.8)

ˇsto odgovara x komponenti vektora impulsa ˇcestice. Odatle je p ˙ = , x(x,p,t) m pa je hamiltonijan jednak

2

1 p c ´ ˙ + mω 2 x2 . H ( p, x, t) = p x(x,p,t) L(x, ˙x(x,p,t)) = i 2m 2 z ˇ dse proverava da je hamiltonijan u ovom sluˇcaju brojno jednak ukupnoj energiji Lako a H 1 1 E = mx˙ 2 + mω 2 x2 , c ´ 2 2 i v a Hamiltonove jednaˇcine (7.7) dobijaju oblik o z e dx d p p l = = mω2 x . , E dt dt m . Prva SHamiltonova jednaˇcina se poklapa sa jednaˇcinom koju smo dobili direktno iz definicije generalisanog 0 impulsa (7.8). U vezi sa konkretnim nalaˇzenjem konaˇcne jednaˇcine kretanja x(t) ovde se 1 moˇ ze primetiti da nikakvu olakˇsicu nismo dobili time ˇsto smo preˇsli na sistem od dve diferencijalne 0 2cine prvog reda. Naime, ovaj sistem se najlakˇse reˇsava tako ˇsto se prva jednaˇcina diferencira jednaˇ c po vremenu, cˇime se sa desne strane po javi p, ˙ koji zatim treba iz druge jednaˇcine zameniti. Tako se 

−

A a h e N m   D a k A s j i R r −

ponovo dobija diferencijalna jednaˇcina drugog reda: x¨ +ω 2 x = 0, koja se poklapa sa odgovarajućom Lagranˇzevom jednaˇcinom.

Primer 7.1.2. U sluˇcaju matematiˇckog klatna je generalisani impuls p jednak p =

∂L ∂ = ˙ ˙ ∂ ϕ ∂ ϕ

1 mR2 ϕ˙ 2 + mgR cos ϕ = mR 2 ϕ˙ , 2

odakle je

o e T

˙ ϕ =

p , mR2

a hamiltonijan

p2 mgR cos ϕ , 2mR2 ˇsto je ponovo bro jno jednako ukupnoj energiji. Hamiltonove jednaˇcine (7.7) ovde imaju oblik H (ϕ,p,t) =

dϕ p = , dt mR2

−

d p = dt

−mgR sin ϕ .

96

GLAVA 7.



Slika 7.1: Trajektorija linearnog harmonijskog oscilatora u faznom prostoru je elipsa ˇcije poluose zavise od ukupne energije oscilatora. Ni u sluˇcaju matematiˇckog klatna ne dobija se nikakav dobitak u smislu nalaˇzenja konaˇcnih jednaˇcina kretanja, ˇsto je uobiˇcajeno za sisteme sa malim brojem stepeni slobode. Medutim, za sisteme sa velikim n, kada se jednaˇcine kretanja obiˇcno reˇsavaju numeriˇcki, mnogo je lakˇse raditi c ´ sa i sistemima diferencijalnih jednaˇcina prvog, nego drugog reda (makar ih bilo i duplo viˇse), pa z ˇ tada dHamiltonove jednaˇcine imaju veliku prednost u odnosu na Lagranˇzeve. Suˇstinske prednosti a Hamiltonovog formalizma uoˇcavaju se u drugim oblastima fizike, recimo u statistiˇckoj i kvantnoj H fizici. c ´ i Formalizam statistiˇcke fizike primenjuje se u tzv. faznom prostoru [9]. To je prostor di v menzije o 2n u kome taˇcka, reprezentovana uredenim skupom generalisanih koordinata i impulsa: (q 1 z , , q n , p1 , , pn ) odreduje stanje sistema. Kretanju sistema odgovara trajektorija koju opisuje e l taˇcka E (q 1 (t), , q n (t), p1 (t), , pn (t)) . .

···

···

A a h e N m D a k A s j i R r S

···

·· ·

Trajektorije sistema se u faznom prostoru ne seku, jer bi presecanje trajektorija znaˇcilo da iz 0 istih 1poˇcetnih uslova (u taˇcki preseka) postoji viˇse trajektorija, ˇsto je u suprotnosti sa klasiˇcnom 0 sću. Na primer, kako smo pokazali, hamiltonijan linearnog harmonijskog oscilatora brojno kauzalnoˇ 2 je c jednak njegovoj ukupnoj energiji, koja se odrˇzava, pa je



p2 1 + mω2 x2 = E = const , 2m 2

ˇsto predstavlja jednaˇcinu elipse u faznom prostoru, koji je ovde dvodimenzionalan. Ova elipsa predstavlja trajektoriju oscilatora u faznom prostoru, a njene poluose odredene su energijom. Jasno je da se za razliˇcite energije dobijaju elipse koje se ne presecaju (slika 7.1). ˇ Osnovni dinamiˇcki zakon u kvantnoj mehanici predstavlja Sredingerova jednaˇcina:

o e T

i¯h

∂ψ ˆ , = Hψ ∂t

ˆ je hermitski operator koji odgovara hamiltonijanu. gde ψ tzv. funkcija stanja kvantnog sistema, a H ˆ se formira tako ˇsto se u klasiˇcni izraz za hamiltonijan, umesto klasiˇcnih generalisanih Operator H koordinata i impulsa, stave hermitski operatori koji odgovaraju koordinatama i impulsima [10]. ˆ = pˆ2 /(2m) + mω2 xˆ2 /2, gde su hermitski operatori Tako je npr. za linearni harmonijski oscilator H ˆ tzv. operatori koordinate x i impulsa p. xˆ i p redom

ˇ 7.2. FIZI CKI SMISAO HAMILTONIJANA

7.2

97

Fiziˇ cki smisao hamiltonijana

Eksplicitnim raˇcunom smose uverili je hamiltonijan linearnog harmonijskog oscilatora i matematiˇckog klatna jednak njihovoj ukupnoj mehaniˇckoj energiji. Ispita jmo opˇste uslove pod kojima je to taˇcno. Ako u izraz za hamiltonijan (7.3) eksplicitno stavimo L = T U dobijamo

−

A J I   Z    R   E a V n k i  a A h e N m D a k A s  j  i R e o r n

H =

n



pi ˙q i (q,p,t)

i=1

− L(q, q ˙(q,p,t), t) =

Kako smo ranije već pokazali

 i=1

∂L q ˙i ∂ q ˙i

− T + U .

(7.9)

n

∂L = Aij ˙q j + Bi , ∂ q ˙i j=1



gde koeficijenti A ij i B i potiˇcu iz izraza za kinetiˇcku energiju: n

1 T = Aij (q 1 , 2 i,j=1

n

· ·· , q , t)q ˙ ˙q + n

Bi (q 1 ,

i j

··· , q , t)q ˙ + C (q , ··· , q , t) . n

i

1

n

i=1 c ´ i zposlednja dva izraza vratimo u (7.9), dalje dobijamo da je hamiltonijan brojno jednak izrazu ˇ Ako d a n n n n 1 H H = Aij ˙q j ˙q i + Bi ˙q i Aij ˙q i ˙q j Bi ˙q i C + U 2 c ´ i,j=1 i=1 i,j=1 i=1 i v n 1 o = (7.10) Aij ˙q i ˙q j C + U , z 2 i,j=1 e l E se vidi da je hamiltonijan sigurno brojno jednak ukupnoj energiji ako je kinetiˇcka energija odakle . homogena kvadratna funkcija generalisanih brzina . Osim hamiltonijana i lagranˇzijana, ponekad se S razmatra i tzv. generalisana energija , koja je funkcija generalisanih koordinata i brzina i 0 1 definiˇ 0se se kao n ∂L 2 (q, q, ˙ t) = (7.11) q ˙i L . c ˙ ∂ q i  i=1

−

−

−

−

E

E

−

Oˇcigledno, generalisana energija je brojno jednaka hamiltonijanu.

7.3

Integrali kretanja

Drugo zanimljivo pitanje u vezi sa hamiltonijanom je u kojim sluˇ cajevima se njegova brojna vrednost ne menja u toku kretanja sistema, tj. kada je hamiltonijan integral kretanja. Totalni izvod H po vremenu jednak je

T  

dH (q,p,t) = dt

n

∂H ∂ H ∂ H q ˙i + p˙ i + . ∂q i ∂p i ∂t

i=1

(7.12)

Ako u sumu u gornjem izrazu, izvode kanonskih promenljivih zamenimo iz Hamiltonovih jednaˇcina dalje dobijamo dH (q,p,t) = dt

n

i=1



∂H ∂H ∂ H + Q∗i ∂q i ∂p i ∂p i

−



∂ H ∂q i

∂ H ∂H + = + ∂t ∂t

n

 i=1

Q∗i

∂H , ∂p i

(7.13)

98

GLAVA 7.


A J I  Z  R E a V n k i

Slika 7.2: Tejlorovo klatno.

odnosno, ako joˇs jednom iskoristimo Hamiltonove jednaˇcine, sledi dH ∂H = + dt ∂t

n

(7.14) Q∗i q ˙i . c ´ i z i=1 ˇ d a Znaˇ ci, ako hamiltonijan ne zavisi ekspilicitno od vremena i ako je ni=1 Q∗i ˙q i = 0 (ˇsto je sigurno taˇcno H ako su sve aktivne sile potencijalne ili giroskopske) onda je sigurno dH/dt = 0, tj. hamiltonijan c ´ i predstavlja integral kretanja . v o z 7.3.1. Tejlorovo klatno je sistem koji se sastoji od ˇcestice mase m, koja se u homogenom Primer e l gravitaciom polju kreće po glatkom tankom prstenu polupreˇcnika R, koji rotira konstantnom E ugaonom brzinom ω oko svog vertikalnog preˇcnika (slika 7.2). Ako se za generalisanu koordinatu . S sferni ugao θ, kinetiˇcka energija dobija oblik izabere 0 1 1 T = mR2 (ω 2 sin2 θ + θ˙2 ) , 0 2 2 c 


a potencijalna U = mgR cos θ. Poˇsto kinetiˇcka energija nije homogena kvadratna funkcija genera˙ ni generalisana energija lisane brzine θ,

E = 12 mR (θ˙ − ω 2

2

2

sin2 θ) + mgR cos θ ,

ni hamiltonijan

1 p2 H = mR2 ω 2 sin2 θ + mgR cos θ , 2 2mR 2 nisu jednaki ukupno j mehaniˇckoj energiji

o e T

−

E =

1 mR2 (ω 2 sin2 θ + θ˙2 ) + mgR cos θ . 2

S druge strane, nepotencijalnih sila nema, a hamiltonijan ne zavisi eksplicitno od vremena, ˇsto znaˇci da predstavlja integral kretanja, isto kao i generalisana energija. Medutim, ukupna mehaniˇcka energija se ne odrˇzava, poˇsto postoji nestacionarna veza ϕ = ωt.

99

7.3. INTEGRALI KRETANJA

Cikliˇ cne koordinate Ako su sve sile potencijalne, onda cikliˇcnoj koordinati q i , za koju po definiciji vaˇzi prema odgovarajućoj Lagranˇzevo j jednaˇcini d ∂L dt ∂ q ˙i odgovara integral kretanja pi =

= 0,

A J I Z R E a V n k i d ∂L =0 dt ∂ q ˙i

∂L − ∂q =0 ⇒ i

∂L ∂q i

∂L = const , ∂ q ˙i

tj. generalisani impuls konjugovan cikliˇ cnoj generalisanoj koordinati je integral kretanja . Iz odgovarajuće Hamiltonove jednaˇcine onda sledi p˙i =

∂H = 0, ∂q i

c ´ i ˇsto znaˇci da hamiltonijan ne zavisi eksplicitno od ciklilˇcne koordinate q i , tj. H ima oblik z ˇ d a H = H (q 1 , , q i−1 , q i+1 , , q n , p1 , , pi−1 , const, pi+1 , , pn , t) . H c ´ i zakljuˇcujemo da se u Hamiltonovom formalizmu broj stepeni slobode efektivno smanjuje Odatle za v broj cikliˇcnih koordinata, kao ˇsto je, na primer, bio sluˇcaj kod centralnog kretanja ili kod teˇske o z simetriˇ e cne ˇcigre. l E 7.3.2. Lagranˇzijan u sluˇcaju centralnog kretanja Primer . S 1 L = m(r˙ 2 + r 2 ϕ˙ 2 ) U (r) 0 2 1 0 ne 2 zavisi eksplicitno od koordinate ϕ, pa je generalisani impuls pϕ konstanta kretanja. Poˇsto su c generalisani  impulsi

···

···

···

···


˙ const , pr = mr˙ , pϕ = mr 2 ϕ =

hamiltonijan se efektivno svodi na hamiltonijan jednodimenzionalnog sistema: p2ϕ p2r p2r + + U (r) = + U eff (r) , H = 2m 2mr2 2m

sa relevantnim jednaˇcinama

o e T

˙ r =

pr , p˙ r = m

p2ϕ + U (r) , U eff (r) = 2mr2

− dU dreff .

Primer 7.3.3. Iz lagranˇzijana (6.142) teˇske simetriˇcne ˇcigre se po definiciji za generalisane impulse nalaze sledeći izrazi ˙ , ˙ sin2 θ + I 3 cos θ(ϕ˙ cos θ + ψ) pϕ = I 1 ϕ ˙ , pψ = I 3 (ϕ˙ cos θ + ψ) pθ = I 1 ˙θ .

100

GLAVA 7.


Ove tri jednaˇcine mogu da se shvate kao sistem od tri linearne algebarske jednaˇcine, ˇcijim reˇsavanjem se dobijaju generalisane brzine izraˇzene u funkciji generalisanih impulsa: ˙ ϕ =

pϕ

− cos θp

I 1 sin2 θ

ψ

˙ pψ ψ = I 3

,

− cos θ



pϕ

− cos θp

ψ

I 1 sin2 θ



,

˙ pθ . θ = I 1

(7.15)


Poˇsto je u ovom sluˇcaju hamiltonijan jednak ukupno j mehaniˇckoj energiji (kinetiˇcka energija je homogena kvadratna funkcija generalisanih brzina), hamiltonijan nalazimo kao zbir kinetiˇ cke energije (6.141), u kojoj smo generalisane brzine izrazili u funkciji generalisanih impulsa, i potencijalne energije U = mgl cos θ, tako da je p2ψ ( pϕ cos θpψ ) + + + mgl cos θ . H = 2I 1 2I 3 2I 1 sin2 θ 2

−

p2θ

(7.16)

Dobijena funkcija ne zavisi eksplicitno od koordinata ϕ i ψ, pa iz Hamiltonovih jednaˇcina direktno sledi (7.17) p˙ϕ = 0 , p˙ ψ = 0 pϕ = const , pψ = const , c ´ i

⇒

z ˇ

ˇsto znaˇci da su u izrazu za hamiltonijan (7.16) jedine promenljive θ i pθ , tj. zaista se efektivno d a sveo na jednodimenzionalni, kome odgovaraju sledeće dve Hamiltonove jednaˇcine: problem

H ( pϕ pψ cos θ)2 p ψ pϕ pψ cos θ pθ c ´ ˙ i (7.18) θ = , p˙θ = mgl sin θ + , I 1 I 1 v sin3 θ I 1 sin3 θ o zse lako svode na jednu diferencijalnu jednaˇcinu drugog reda po θ, ako se u drugoj jednaˇcini koje e l zameni sa I 1 θ¨ (ˇsto trivijalno sledi iz prve). Naravno, tako dobijena jednaˇ cina poklapa se sa p˙θ E jednaˇ . cinom (6.145), imajući u vidu da je p ϕ = M z i p ψ = M 3 , ˇsto se lako proverava. S 0 Poasonove zagrade 1 0 2 Totalni izvod po vremenu proizvoljne funkcije kanonskih promenljivih i vremena F (q,p,t), za c sistem sa potencijalnim silama, jednak je

−

−

−

A a h   e  N m D a    k A s j i R r   dF = dt

n

∂F ∂ F ∂ F q ˙i + p˙i + . ∂q i ∂p i ∂t

i=1

(7.19)

Ako dalje iskoristimo Hamiltonove jednaˇcine (7.7), ovaj izraz postaje

o e T

dF = dt

n

i=1

∂F ∂H ∂q i ∂p i

− ∂∂pF ∂H ∂q i

i

+

∂ F . ∂t

(7.20)

Uvodenjem tzv. Poasonove zagrade, koja se za proizvoljne dve funkcije u i v kanonskih promenljivih definiˇse kao n ∂u ∂v ∂u ∂v [u, v] = (7.21) , ∂q ∂p ∂p ∂q i i i i i=1 konaˇcno dobijamo



−

dF ∂ F = [F, H ] + . dt ∂t

(7.22)

101

7.4. GENERALISANO POTENCIJALNE SILE

Specijalno ako je F = q i ili F = p i dobijamo Hamiltonove jednaˇcine u simetriˇcnom obliku dq i = [q i , H ] , dt

d pi = [ pi , H ] . dt

(7.23)

Ovakav oblik Hamiltonovih jednaˇcina posebno je znaˇcajan zbog primena u kvantnoj mehanici [10], gde operatori koji odgovaraju koordinatama i impulsima zadovoljavaju jednaˇ cine dˆ qi = dt

− h¯i [ˆq , H ˆ ] , i

A J I Z R E a V n k i dˆ pi = dt

− h¯i [ˆ p , H ˆ ] , i

pri ˇcemu oznaka ,,[ , ]”odgovara komutatoru, koji se za dva operatora u i ˆ vˆ definiˇse kao [û, vˆ] = uˆvˆ

− vûˆ .

Pod osnovnim Poasonovim zagradama podrazumevamo zagrade kanonskih promenljivih, tj. [q i , q j ] = 0 ,

[ pi , p j ] = 0 ,

[q i , p j ] = δ ij .

c ´ i z ˇ Sliˇ cne relacije vaˇ ze u kvantnoj mehanici, pri ˇcemu koordinate i impulsi prelaze u odgovarajuće d operatore, a Poasonova zagrada u komutator, podeljen sa i¯h. a Ako je neka veliˇcina F integral kretanja, onda prema (7.22) vaˇzi H c ´ i ∂ F v 0 = [F, H ] + (7.24) . o ∂t z e l Moˇ ze se pokazati da za integrale kretanja vaˇzi Poasonova teorema: Poasonova zagrada dva E kretanja je takode integral kretanja. integrala . S Primer 7.3.4. Lako se proverava da su komponente momenta impulsa M z i M 3 redom jednake 0 generalisanim impulsima pϕ i pψ . Zna jući izraz za hamiltonijan ˇcigre (7.16), vidimo da su Poasonove 1 zagrade 0 2 [M z , H ] = [ pϕ , H ] = 0 , [M 3 , H ] = [ pψ , H ] = 0 , c 


ˇsto, prema jednaˇcinama (7.22), znaˇci da M z i M 3 jesu integrali kretanja. Ovo smo, naravno, ranije već utvrdili pomoću zakona momenta impulsa, ali nam ovaj primer ilustruje kako je u okviru Hamiltonovog formalizma moguće ispitati da li je neka fiziˇcka veliˇcina integral kretanja, bez pozivanja na osnovne teoreme mehanike i bez eksplicitnog reˇsavanja diferencijalnih jednaˇcina. U ovakvom pristupu, ispitivanje da li je veliˇcina integral kretanja svodi se na raˇcunanje Poasonovih zagrada (tj. parcijalnih izvoda), pod pretpostavkom da nam je poznat izraz za fiziˇcku veliˇcinu koja nas zanima u funkciji kanonskih promenljivih.

7.4

o e T

Generalisano potencijalne sile

Osim obiˇcnih potencijalnih generalisanih sila, koje zavise od generalisanih koordinata i, eventualno, vremena, postoje i tzv. generalisano potencijalne generalisane sile , koje zavise i od brzina, a mogu se izraziti preko generalisanog potencijala V (q, q, ˙ t) kao d Qi = dt

 − ∂V ∂ q ˙i

∂ V . ∂q i

(7.25)

102

GLAVA 7.


Ako se u osnovnom obliku Lagranˇzevih jednaˇcina d ∂T dt ∂ q ˙i

∂T − ∂q = Q , i

i


generalisane sile razdvoje na generalisano potencijalne i ,,ostatak”Qi , tj. napiˇsu kao Qi = Qi +

d dt

 − ∂V ∂ q ˙i

∂ V , ∂q i

lako se proverava da jednaˇcine ponovo mogu da se napiˇsu u standardnom obliku d ∂L dt ∂ q ˙i

∂L = Q , − ∂q i

 i

gde je sada L = T V , a Q i deo generalisanih sila koji ne moˇze da se izrazi pomoću generalisanog potencijala (jasno je da su obiˇcne potencijalne sile specijalan sluˇcaj generalisano potencijalnih). c ´ Sliˇ cno, ako se sa ovakvim lagranˇzijanom definiˇse hamiltonijan, lako se pokazuje da i Hamiltonove i z ˇ jednaˇ dcine zadrˇzavaju isti oblik. Takode, i diskusija o smislu hamiltonijana je sliˇcna, jedino ˇsto je u ovom asluˇcaju ∂L ∂T H = , ˙ ˙ ∂ q ∂ q c ´ i i i poˇ v sto V moˇze da zavisi od q ˙. Primetimo da generalisani potencijal V moˇze da bude jedino linearna o z generalisanih brzina, jer bi u suprotnom generalisano potencijalna generalisana sila bila funkcija e l funkcija generalisanih ubrzanja, ˇsto bi znaˇcilo da odgovarajuća sila interakcije zavisi od ubrzanja, a to E zabranjuju postulati sile. Znaˇci, u na jopˇstijem sluˇcaju, generalisani potencijal je funkcija oblika

−



A a  N  h  e m  D a k A s j i R r . S 0 1 0 2 pa c je hamiltonijan 

n

V =



αi (q i , t)q ˙i + U (q i , t) ,

i=1

n

1 H = Aij ˙q i ˙q j 2 i,j=1

n

− C + V −

i=1

n

1 ∂V q ˙i = Aij ˙q i ˙q j 2 i,j=1 ∂ q ˙i

n

1 = Aij ˙q i ˙q j 2 i,j=1

− C + U ,

(7.26)

n

 −

− C + V

αi ˙q i

i=1

(7.27)

tj. dobija se isti izraz kao i u sluˇcaju obiˇcnih potencijalnih sila. Ovde treba napomenuti da se i u sluˇcaju generalisano potencijalnih sila, ukupna mehaniˇcka energija i dalje definiˇse kao zbir kinetiˇcke energije i potencijalne energije U , tj. dela generalisanog potencijala koji ne zavisi od generalisanih brzina. Konaˇcno, ni izraz za dH/dt se u ovom sluˇcaju ne menja. Najvaˇzniji primer generalisano potencijalnih sila je Lorencova sila.

o e T

Primer 7.4.1. Na ˇcesticu nalelektrisanja q , koja se kreće u elektromagnetnom polju, okarakter i B deluje  isanom jaˇcinama E Lorencova sila  = q (E  + v F

 . × B)

103

7.4. GENERALISANO POTENCIJALNE SILE

 r , t) potencijala [11] na sledeći naˇcin Polja se mogu izraziti preko skalarnog ϕ(r, t) i vektorskog A(  = E

−gradϕ −

∂  A , ∂t

 rotA  B =


a ako se za generalisane koordinate izaberu Dekratove koordinate ˇcestice, lako se proverava da su  jednake odgovarajuće generalisane sile, u ovom sluˇcaju Dekartove komponente sile F , F x =

d ∂V dt ∂ x˙

− ∂∂xV ,

F y =

d ∂V dt ∂ y˙

gde je V = q (ϕ

− ∂∂yV ,

F z =

d ∂V dt ∂ z ˙

− ∂∂z V ,

 . − v · A)

Drugim reˇcima, Lorencova sila jeste generalisano potencijalna sila. Polazeći od lagranˇzijana L = T V , nalaze se generalisani impulsi

−

c ´ ˙ ˙ px = m x + qA py = m y + qA pz = mz ˙ + qA z , i x, y , z ˇ d dok je hamiltonijan a 1   2 + qϕ , H = T + qϕ = (P q A) H 2m c ´ i  = mv + q A.  v gde je P o z e l E . S 0 1 0 2 c 

−


104

GLAVA 7.





A J I Z R    E a V n k i A a h e N m D a   k A s j i R e o r   Glava 8

Princip najmanjeg dejstva

Princip na jmanjeg dejstva spada u tzv. varijacione principe, koji se zasnivaju na varijacionom raˇcunu , ˇcije su osnove date u sledećem odeljku.

c ´ i z ˇ 8.1 cun d Varijacioni raˇ a H Za diferencijabilnu funkciju y(x) nezavisno promenljive x i funkciju dy c ´ F (x, iy(x), dx ) formirajmo odredeni integral v o x z dy(x) e dx . (8.1) I = F x, y(x), l dx E x . S zadatak varijacionog raˇcuna glasi: naći funkciju y(x), koja prolazi kroz fiksirane taˇcke Osnovni (x 0 zena 1 , y1 ) i (x2 , y2 ) u ravni xy, takvu da integral I ima ekstremalnu vrednost . Neka je y(x) traˇ 1 0 a sa y¯(x) oznaˇcimo sve ostale funkcije u okolini traˇzene (slika 8.1). Svaku ,,okolnu” funkciju funkcija, 2 y¯(x) moˇzemo da izrazimo u obliku c  2

1

y¯(x) = y(x) + η(x) ,

gde je  mali parametar, a η(x) proizvoljna funkcija, takva da je η(x1 ) = η(x2 ) = 0 (poˇsto je za svako y¯ postavljen uslov y¯(x1 ) = y 1 i y¯(x2 ) = y 2 ). Sa tako uvedenim oznakama, I moˇze da se shvati kao funkcija od , a potreban uslov da ona ima ekstremalnu vrednost za  = 0 je dI () d

= 0.

(8.2)

=0

d¯ y Poˇsto je  mala veliˇcina, funkcija F [x, ¯ ] moˇze da se razvije u Tejlorov red na sledeći naˇcin: y(x), dx

T

F x, ¯ y,

d y¯ dx

d [y(x) + η(x)] dx = F [x, y(x) + η(x), y (x) + η  (x)] ∂F ∂F = F (x,y,y ) + η(x) + η  (x) +  ∂y (x,y,y ) ∂y (x,y,y )

= F x, y(x) + η(x),



105







··· ,

(8.3)

106

GLAVA 8.

PRINCIP NAJMANJEG DEJSTVA

A J I Z     R E     a V k i n   A    a h e N m  a   D k A s j i R e o r Slika 8.1: U na jjednostavnijem obliku varijacionog raˇcuna razmatraju se razne funkcije y(x) koje prolaze kroz dve fiksirane taˇcke u ravni (x, y).

c oznaˇcava ju ˇclanove viˇseg reda po . Ako se ovakav izraz zameni u integral (8.1) dobija se ´ gde i

···

z ˇ d x x a ∂F ∂ F I () = F [x, y(x), y (x)] dx +  η(x) +  η  (x) dx + , H ∂y ∂y c ´ x x i v o je odakle z x e dI ( ) ∂F ∂ F  l = + η(x) η (x) dx . E d =0 ∂y ∂y  . x S Na drugi ˇclan u poslednjem integralu moˇze da se primeni parcijalna integracija, tj. 0 1 x x x 0 x d ∂F ∂F ∂F ∂F 2  (x)dx = dη = dx . η η(x) η dx ∂y  ∂y  ∂y  ∂y  c x  2

2

···

1

(8.4)

1

2

(8.5)

1

2

2

x1

2

2

1

x1

−

(8.6)

x1

Kako je η(x1 ) = η(x2 ) = 0, prvi sabirak u izrazu koji smo dobili za ovaj integral se anulira, pa vraćanjem u (8.5) dobijamo dI () d

x2

=

=0

η(x)

x1

∂F ∂y

− dxd ∂F ∂y 

dx .

Poslednji integral jednak je nuli za proizvoljnu funkciju η(x) samo ako je identiˇcki zadovoljena tzv. Ojler-Lagranˇzeva jednaˇ cina : d ∂F ∂F =0. (8.7) dx ∂y  ∂y Uobiˇcajeno je da se razlika proizvoljne funkcije y¯ i funkcije y koja predstavlja reˇsenje varijacionog problema naziva varijacija funkcije y i obiˇcno se oznaˇcava sa δy, tj.

T

−

δy(x) = y¯(x)

− y(x) = η(x) .

(8.8)

ˇ 8.1. VARIJACIONI RACUN

107

Varijacija izvoda funkcije y(x) je onda jednaka δy  (x) = y¯ (x)





− y (x) = η (x) ,

(8.9)

odakle je jasno da varijacija i izvod komutiraju, tj.

A J  I   Z R E a V k   n  i    A a h e N m D a k A s j i R e o r    δy  (x) = [δy(x)] .

(8.10)

Sa ovakvim oznakama razlika funkcija F (x, ¯ y, ¯ y ) i F (x,y,y ) na osnovu (8.3) moˇze da se napiˇse u obliku ∂F ∂F ∆F = F (x, ¯ (8.11) y, ¯ y ) F (x,y,y ) = δy + δy  + ,  ∂y (x,y,y ) ∂y (x,y,y )



−





···



a razlika integrala I raˇcunatog redom sa funkcijama y¯ i y, na osnovu (8.4), jednaka je x2

∆I = I ()

− I (0) =

∂F ∂ F δy +  δy  dx + ∂y ∂y

··· .

(8.12)

x c ´ i zcajeno je, takode, da se sa δF i δI oznaˇcavaju redom delovi ∆F i ∆I koji su linearni po , (tj. ˇ Uobiˇ d po a varijaciji funkcije y), sa δ 2 F i δ 2 I delovi koji su proprocionalni 2 itd., pa se ∆F i ∆I u skladu sa H tim piˇsu kao 2 2 ∆F = δF + δ + ∆I = δI + δ (8.13) F , I + , c ´ i v gde je o ∂F ∂ F  z  ) = (8.14) δF (x,y,y δy + δy , e l ∂y ∂y  E ˇsto podse´ ca na izraz za totalni diferencijal funkcije tri promenljive ( x,y,y ) kada je promenljiva x . S i fiksirana, x x 0 d ∂F ∂F ∂ F ∂F  1 = dx = dx . (8.15) δI δy + δy δy 0 dx ∂y  ∂y ∂y  ∂y 2 x x c  1

···

·· ·

2

2

−

1

1

Uslov (8.2) je onda ekvivalentan zahtevu da je prva varijacija integrala I jednaka nuli, tj. δI = 0 .

(8.16)

Ako je ovaj uslov zadovoljen, onda I () za  = 0 ima stacionarnu vrednost, ˇsto odgovara minimumu, maksimumu ili prevo jnoj taˇcki. O ˇcemu se taˇcno radi moˇze se zakljuˇciti tek na osnovu analize druge varijacije δ 2 I . Integral I će imati ekstremalnu vrednost za y(x) ako druga varijacija δ 2 I uvek ima isti znak, tj. imaće minimum za δ 2 I > 0, odnosno maksimum za δ 2 I < 0.

Primer 8.1.1. U ravni xy uoˇcimo taˇcke (x1 , y1 ) i (x2 , y2 ) i linije y(x) koje spaja ju te dve taˇcke. Duˇzina elementa dl proizvoljne takve linije je

T

dl =

dx2 + dy2 = dx 1 + y 2 ,

pa je ukupna duˇzina l linije izmedu uoˇcenih taˇcaka jednaka x2



1 + y 2 dx .

l =

x1

108

GLAVA 8.


Ova linija će imati ekstremalnu duˇzinu za onu funkciju y(x) za koju je zadovoljena Ojler-Lagranˇzeva jednaˇcina u kojoj je F (x,y,y ) = 1 + y 2 . Poˇsto F ne zavisi eksplicitno od y, Ojler-Lagranˇzeva jednaˇcina se svodi na d ∂F ∂F = 0 = const , dt ∂y  ∂y  odakle sledi y (x) = a = const y(x) = ax + b ,



⇒

⇒

J I Z R E a k i V a n

ˇsto je, naravno, jednaˇ cina prave, za koju se lako proverava da odgovara minimalnom rastojanju izmedu taˇcaka. Uoˇcimo sada n nezavisnih diferencijabilnih funkcija q 1 (t), F [t, q 1 (t), , q n (t), q ˙1 (t), , q ˙n (t)] i njen integral

···

· ··

t2

· ·· , q (t) iste promenljive t, funkciju n

c ´ i (8.17) I = F [t, q 1 (t), ··· , q n (t), q ˙1 (t), ··· , q ˙n (t)] dt . z ˇ t d a Ako za skup funkcija q 1 (t), ··· , q n (t) integral I ima ekstremalnu vrednost, a ako sa q¯ 1 (t), · ·· , ¯ q n (t) H oznaˇ -cimo funkcije c ´ i (8.18) q¯i (t) = q 1 (t) + ηi , ηi (t1 ) = η i (t2 ) = 0 , i = 1, ··· , n , v o zje, analogno jednodimenzionalom sluˇcaju onda e l t n E ∂F ∂ F − ( ( 0) =  + (8.19) I ) I η η˙i dt + δ 2 I + ··· . i . ˙ ∂q ∂ q i i i=1 S t 0 je Odatle 1 t t n n 0 dI d ∂F ∂F ∂ F ∂F 2 − = (8.20) ηi + η˙ i dt = ηi dt , dt =0 i=1 dt ˙ ∂q i ∂ q ˙i ∂q ∂ q i i i=1 t c t 

 1

A e h N m a D k s j A o r i 2

  



1

2

2

   

   

1

1



ˇsto je za proizvoljne i medusobno nezavisne funkcije ηi uvek jednako nuli jedino ako su identiˇcki zadovoljene Ojler-Lagranˇzeve jednaˇ cine ∂F ∂q i

− dtd ∂F = 0, ∂ q ˙ i

i = 1,

··· , n .

(8.21)

Znaˇci, Ojler-Lagranˇzeve jednaˇcine predstavljaju potreban uslov da integral I ima stacionarnu vrednost za skup funkcija q i (t), a da li se radi o ekstremumu, utvrduje se na osnovu znaka druge varijacije δ 2 I .

e T

8.2

Hamiltonov princip

Da bismo primenili varijacioni raˇcun na mehaniku, potrebno je da uvedemo joˇs nekoliko novih pojmova.

109

8.3. HAMILTONOVI SISTEMI

Hamiltonovo dejstvo W po definiciji je jednako t2

W =



L[q 1 (t),

t1

· ·· , q (t), q ˙ (t), ··· , q ˙ (t), t] dt , n

1

n

(8.22)


gde je L(q, q, ˙ t) lagranˇzijan posmatranog sistema. Konfiguracioni prostor je n-dimenzionalni prostor u kome je taˇcka uredena n-torka (q 1 , , q n ), koju ˇcine generalisane koordinate fiziˇckog sistema koji ima n stepeni slobode. Putanja koju taˇcka u konfiguracionom prostoru opisuje pri stvarnom kretanju sistema zove se pravi (stvarni) put sistema. Uoˇcimo jedan pravi put koji sistem, tj. njegova reprezentaciona taˇcka u konfiguracionom prostoru prede od trenutka t 1 do trenutka t 2 , od taˇcke M (t1 ) do taˇcke M (t2 ). Pod okolnim putem sistema ćemo onda podrazumevati put u konfiguracionom prostoru izmedu tih istih taˇcaka M (t1 ) i M (t2 ), koji odgovara zamiˇsljenom kretanju sistema od trenutka t1 do t2 , a malo odstupa od stvarnog ¯ q1 (t), kretanja. Oznaˇcimo sa P [q 1 (t), , q n (t)] proizvoljnu taˇcku na pravom putu, a sa P [¯ , ¯ q n (t)] taˇcku na okolnom putu, koja odgovara istom trenutku t, a sa δq i varijacije generalisanih koordinata koje codgovaraju prelasku sa pravog na okolni put, tj. ´

· ··

···

···

i z ˇ (8.23) δq i (t) = q¯i (t) q i (t) . d a Ako na sistem koji posmatramo deluju samo potencijalne sile, onda Lagranˇzeve jednaˇcine imaju H oblik c ´ d ∂L ∂L i =0 , (8.24) i = 1, , n , v dt ˙ ∂ q ∂q i i o z koji se, na osnovu prethodnog odeljka, poklapa sa oblikom Ojler-Lagranˇ zevih jednaˇcina (8.21), za e l q i (t) (na pravom putu sistema), kada se uzme F = L. Poˇsto ispunjenost ovih jednaˇcina znaˇci E da odgovaraju´ ci integral ima stacionarnu vrednost, to znaˇci da Hamiltonovo dejstvo na pravom . Sima stacionarnu vrednost. Analizom druge varijacije dejstva (ˇsto prevazilazi okvire ovog kursa putu [2]), 0moˇze se pokazati da je ona pozitivna za dovoljno male vremenske intervale t2 t1 , i u tom 1 sluˇ ca ju onda vaˇzi Hamiltonov princip najmanjeg dejstva: stvarno kretanje sistema sa idealnim 0 2 reakcijama, holonomnim vezama i potencijalnim silama odvija se tako da Hamiltonovo dejstvo duˇ z c puta ima minimalnu vrednost u odnosu na vrednosti dejstva duˇz svih okolnih puteva. pravog 

−

−

···


−

Napomena Oznakom δq i smo u Lagranˇzevom formalizmu oznaˇcavali promene generalisanih koordinata, koje su odgovarale virtuelnim pomeranjima. Ispostavlja se da varijacija zaista odgovara virtuelnoj promeni generalisane koordinate. Naime, ako u trenutku t dt u konfiguracionom prostoru na ¯ stvarnom putu uoˇcimo taˇcku P (t dt), a u trenutku t uoˇcimo taˇcke P (t) i P (t), prvu na pravom, a drugu na okolnom putu, onda prelaz iz P (t dt) u P (t) odgovara mogućem pomeranju (stvarno ¯ kretanje sve vreme je u skladu sa vezama), isto kao i prelaz P (t dt) u P (t), poˇsto je i okolni put u ¯ (slika 8.2), skladu sa vezama. Razlika ova dva moguća pomeranja odgovara prelasku iz P (t) u P (t) a poˇsto je razlika dva ovako definisana moguća pomeranja jednaka virtuelnom pomeranju, sledi da je q¯i (t) q i (t) = δq i (t) zaista virtuelna promena generalisane koordinate q i .

−

−

o e T

−

−

−

8.3

Hamiltonovi sistemi

Pod Hamiltonovim sistemima podrazumevaju se svi one sistemi za koje se moˇze naći funkcija ˙ t) (koja ne mora biti jednaka T V ), tako da se odgovarajuće Ojler-Lagranˇzeve jednaˇcine u L(q, q,

−

110

GLAVA 8.


A J I Z R  E a V n k i A a h e N m D a k A s j i R e o r Slika 8.2: Pravi (puna linija) i okolni put (isprekidana linija) u konfiguracionom prostoru. Prelazak ¯ na okolnom putu, iz konfiguracije odredene taˇckom P (t dt) u taˇcku P (t), odnosno u taˇcku P (t) odgovara mogućem pomeranju (i okolni i pravi put su po definiciji u skladu sa vezama), ˇsto znaˇci c ´ i ¯ odgovara virtuelnom pomeranju. da ˇ prelazak iz P (t) u P (t) z

−

d a svom eksplicitnom obliku poklapa ju sa diferencijalnim jednaˇcinama kretanja tog sistema, tj. da vaˇzi H t c ´ i Hamiltonov princip najmanjeg dejstva za W = Ldt. Ovi sistemi ne moraju da budu iskljuˇcivo v o cki i u tom smislu se kaˇze da Hamiltonovt princip predstavlja opˇsti princip teorijske fizike. mehaniˇ z e principi analogni Hamiltonovom principu u mehanici, postoje i u drugim oblastima fizike, Zaista, l E npr. Maksvelove jednaˇcine za elektromagnetno polje mogu da se napiˇsu u obliku Ojler-Lagranˇzevih . jednaˇ Scina za pogodno definisano dejstvo [11] itd. 0 8.3.1. Za ˇcesticu mase m koja duˇz vertikale pada u homogenom gravitacionom polju, pri Primer 1 0na nju deluje i sila otpora sredine, proporcionalna njeno j brzini sa koeficijentom proporcionalˇcemu 2 nosti am, funkcija c 1  2

1

L = meat (x˙ 2 + 2gx) , 2 gde je x osa orijentisana vertikalno naniˇze, stavljena u Ojler-Lagranˇzevu jednaˇcinu ∂L  ∂x

−

d ∂L  =0, dt ∂ x˙

daje diferencijalnu jednaˇcinu

m¨ x = mg

− max˙ .

Ova jednaˇcina se moˇze da se dobije direktno iz II Njutnovog zakona ili pomoću Lagranˇzeve jednaˇcine

gde je

T

d ∂L dt ∂ x˙

− ∂∂xL = Q

− U = 12 mx˙

L = T

2

+ mgx ,

∗

,

Q∗ =

−max˙ .

111

8.3. HAMILTONOVI SISTEMI

Ovde je zgodno primetiti da ako lagranˇzijan L zadovoljava Hamiltonov princip, onda će ga takode i funkcije L = αL i L = L + df (q, t)/dt u svojstvu lagranˇzijana zadovoljavati. Za prvu funkciju je to oˇcigledno, a za drugu je t2

W  =

 

t1

t2

t2

  

df (q, t) dt = L + dt

L dt +

t1

pa je varijacija dejstva jednaka n



δW = δW +

 i=1

t1

A J I Z R E a V n k i df (q, t) = W + f (q (t2 ), t2 )

∂f δq i (t2 ) ∂q i

n

 − i=1

− f (q (t ), t ) , 1

1

∂f δq i (t1 ) = δW , ∂q i

gde smo iskoristili ˇcinjenicu da su varijacije generalisanih koordinata u trenucima t1 i t2 jednake nuli. Konaˇcno, ako ovako definisani lagranˇzijani L  daju iste diferencijalne jednaˇcine kao i L, onda je c jasno da i lagranˇzijan ´ i df (q, t) z ˇ (8.25) L = αL + , dt d a kada se zameni u Ojler-Lagranˇzeve jednaˇcine takode daje iste diferencijalne jednaˇcine.

H c ´ i v o z e l E . S 0 1 0 2 c 


112

GLAVA 8.






Glava 9 Reˇ senja zadataka 9.1

Osnovne postavke klasiˇ cne mehanike

c ´ Reˇ senje 1.4.1. (i) Osnovna jednaˇcina dinamike za kretanje projektila ima oblik i z ˇ d (9.1) ma = mg γmv , a H - se projektovanjem na ose Dekartovog koordinatnog sistema dobijaju sledeće tri skalarne odakle c ´ i diferencijalne jednaˇcine: v o z (9.2) m¨ x = mγ x˙ , e l E (9.3) m¨ y = mγ y˙ , . (9.4) m¨ z = mg mγ z˙ . S

−

− − − −

A a h e N m D a k A s j   i R r

0 0 ˙ x + γx = C 1, 2 c gde je C 1 integraciona konstanta koja se odreduje iz poˇcetnih uslova x(0) = 0, x(0) ˙ = v1 :  Iz 1 jednaˇcine (9.2) prvo sledi

(9.5)

C 1 = v 1 .

Jednaˇcina (9.5) onda moˇze da se prepiˇse kao

dx = dt , v1 γx

−

odakle se integracijom dobija

o e T

x(t) =

1 v1 γ

− C e 2

−γt

.

Iz poˇcetnog uslova x(0) = 0 sledi C 2 = v1 , tako da konaˇcna jednaˇcina za koordinatu x projektila ima oblik: v1 1 e−γt . (9.6) x(t) = γ

− 

Iz jednaˇcine (9.3) zbog poˇcetnog uslova y(0) ˙ = 0 trivijalno sledi konaˇcna jednaˇcina: y(t) = 0. 113

ˇ GLAVA 9. RE SENJA ZADATAKA

114

Diferencijalna jednaˇcina (9.4) za z (t) moˇze da se prepiˇse kao z¨ + γ z ˙ =

−g ,

odakle prvo (uz zadate poˇcetne uslove) sledi

A J    I  Z   R E  a  V n k i A a h e N m D a k A s j i R e o r z ˙ + γz =

−gt + v

.

3

Dobijena jednaˇcina ima oblik nehomogene linearne diferencijalne jednaˇcine prvog reda, pa se njeno reˇsenje nalazi uz pomoć formule poznate iz matematike: z (t) = e



− γ dt

 − (

 gt + v )e 3

γ dt

dt + C 3



.

odakle je

z (t) = e−γt

c ´ i

( gt + v3 )eγt dt + C 3

−

= C 3 e−γt +

v 3 γ

−γt

− ge

teγt dt .

Poˇ sto je teγt dt = γ 1 eγt (t 1/γ ), ˇsto se lako nalazi parcijalnom integracijom, i z (0) = 0, konaˇcna z ˇ dcina za koordinatu z je jednaˇ

−

a H g + v3 γ gt −γt ( = 1 e z t) . c ´ γ 2 γ i v o Iz jednaˇcine (9.6) sledi z e l 1 xγ γ x E 1 e−γt = ln 1 t = , v1 γ v1 . S pa 0 se zamenom poslednjeg izraza u (9.7) dobija traˇzena jednaˇcina trajektorije: 1 0 γv 3 + g g γ x 2 z = x + 2 ln 1 . γv 1 γ v1 c 

−

−

⇒

−

−

(9.7)

−

−

(9.8)

Poˇsto za malo α vaˇzi razvo j

ln(1

− α) = −α − 12 α − 13 α 2

3

+ ... ,

iz jednaˇcine trajektorije za malo γ sledi

≈ vv x − 2vg x − 3vγg x

z

3 1

2

3

2 1

3 1

.

Poslednji ˇclan sa desne strane predstavlja prvu popravku jednaˇcine trajektorije projektila kada se uzme u obzir postojanje otpora vazduha, dok prva dva ˇclana odgovaraju sluˇ caju kada se otpor vazduha potpuno zanemari. Domet D (tj. rastojanje koje projektil prede u pravcu x–ose do ponovnog pada na zemlju) nalazi se kada se u poslednju jednaˇcinu stavi z = 0 i x = D, odakle se za netrivijalno reˇsenje dobija jednaˇcina:

T

D2 +

3v1 D 2γ

2 1 3

− 3 vγgv

= 0.

ˇ 9.1. OSNOVNE POSTAVKE KLASI CNE MEHANIKE

115

Reˇsenja ove kvadratne jednaˇcine su 3v1 D1,2 = 4γ

− ± 

16γv 3 1+ 3g

1



.

A J I Z R  E  a V k i   n A a h e N m D a k A s j i R e o r   Reˇsenje sa znakom minus ispred korena u gornjoj jednaˇ cini je fiziˇcki besmisleno, poˇsto bi dalo negativnu vrednost za domet (ˇsto bi znaˇcilo da se projektil duˇz x-ose kretao u smeru suprotnom svojoj poˇcetnoj brzini), pa sledi da je 3v1 D = 4γ

Koren u dobijenom izrazu za D je oblika

− 

16γv 3 1+ 3g

1+



.

√ 1 + α, gde je α  1, pa, ako se primeni razvoj

√ 1 + α = 1 + 1 α + 1 α

2

2

c ´

itraˇzeni izraz sledi z ˇ

8

+ ...,

2

2v1 v3 8γv 1 v3 d D = . a 3g2 g H (ii) Poˇsto je v 1 = v 0 cos α i v 3 = v 0 sin α domet moˇze da se napiˇse u obliku c ´ i v 4γv 0 v02 o sin2α 1 sin α . D = z 3g g e l E Maksimalni domet pri fiskiranom intenzitetu poˇcetne brzine v0 postiˇze se pri uglu α za koji je ∂D . ∂ D = 0 i ∂ α < 0, tj. ∂α S 0 2v02 2γv 0 ∂D 1 = cos2α (2cos2α sin α + sin 2α cos α) = 0 . 0 3g ∂α g 2 c  Za γ = 0 maksimalni domet se dostiˇze pri α = π/4, pa se iz poslednje jednaˇcine za prvu aproksi-

−

−

2

2

−

0

maciju ugla α pri nezanemarljivom γ dobija jednaˇcina

√ √ 2γv

2γv 0 2γv 0 2 cos2α = (2cos2α0 sin α0 + sin 2α0 cos α0 ) = = 3g 3g 2 2

3g

0

,

ˇsto je i trebalo pokazati. (Lako se proverava da je zadovoljen i uslov ∂ ∂ Dα < 0.) (iii) Optimalni ugao i domet se mogu izraˇcunati iz izraza za cos 2α i D datih u prethodnim delovima zadatka, ako su dati v0 i γ . Intenzitet poˇcetne brzine v0 je zadat, a γ nalazimo pomoću zadate graniˇcne vrednosti brzine, koju projektil dostiˇze u sluˇcaju kada se pusti da pada iz stanja mirovanja. Naime, za takve poˇcetne uslove se iz jednaˇcine (9.4) dobija 2

T

z (t) =

g 1 γ 2

odakle je

z ˙ (t) =

−γt

−e

g −γt (e γ

− gtγ ,

− 1),


116 pa je intenzitet graniˇcne brzine vG = lim z ˙ = t→∞

||

g γ

ˇsto znaˇci da je γ = g/v G . Konaˇcno se za α i D dobija

√ 2v

1 0 = 42.3o , α = arccos 2 3vG

9.2

D =

v02 g


− 1

  −

4v0 sin α 3vG

1

2v02 = 813m . 2 9vG

Dalamber-Lagranˇ zev princip

Reˇsenje 4.3.1. Poˇsto je poloˇzaj ˇcestice u sluˇcaju Tejlorovog klatna jednak r = Rer , gde je er ort u sfernom koordinatnom sistemu izabranom tako da mu se poˇcetak poklapa sa centrom prstena, a z -osa ima pravac vertikale, virtuelno pomeranje ˇcestice jednako je δr = Rδer . Ort er moˇze se izraziti c kao: ´ i z ˇ er = cos ϕ sin θex + sin ϕ sin θey + cos θez , d a a H kada se iskoristi veza ϕ = ω, ˙ odakle sledi ϕ = ωt, gde smo uzeli da je u poˇcetnom trenutku ϕ bilo - nuli (moˇzemo tako izabrati koordinatni sistem), ort er moˇzemo da prepiˇsemo kao: jednako c ´ i v o (9.9) er = cos ωt sin θex + sin ωt sin θey + cos θez . z e l Poˇ sto je E . δer = der der S i 0 1 0 der = dθ(cos θ cos ωt ex + cos θ sin ωt ey sin θez ) + ω d t sin θ( sin ωt ex + cos ωt ey ) , 2 c   d er = d θ(cos θ cos ωt ex + cos θ sin ωt ey sin θez ) + ω d t sin θ( sin ωt ex + cos ωt ey ) ,


− −

− −

za virtuelnu promenu orta er dobijamo

δer = δθ(cos θ cos ωt ex + cos θ sin ωt ey

gde je δθ = dθ

− sin θe ) = δθ e , z

θ

(9.10)



− d θ. S druge strane, ukupna sila reakcije je idealna, pa se moˇze napisati u obliku:  = λ1 grad(r N

o e T

− R) + λ grad(ϕ − ωt) = λ e + R λsin θ e 2

1 r

2

ϕ

,

(9.11)

gde je iskoriˇsćen izraz za gradijent u sfernim koordinatama, kao i jednaˇcine veza. Rad sila reakcije na virtuelnom pomeranju ˇcestice je onda jednak  δer = 0 , N

·

zbog ortogonalnosti sfernih koordinatnih ortova.

(9.12)

ˇ ˇ 9.3. LAGRAN ZEVE JEDNACINE

9.3

117

Lagranˇzeve jednaˇ cine

Reˇsenje 5.3.1. (i) Ako x osu orijentiˇsemo vertikalno naniˇze, sa poˇcetkom u centru gornjeg (nepokretnog) diska, a sa L 1 i L 2 oznaˇcimo duˇzine niti (L1 se odnosi na nit prebaˇcenu preko gornjeg diska), odnosno polupreˇcnik diskova sa R, onda se sa slike 5.1 vidi da x 3 koordinata ˇcestice 3 moˇze da se izrazi kao: x3 = 2L1 + L2 2πR 2x1 x2 . Kinetiˇcka energija sistema je onda jednaka:

−

−

−


1 1 1 T = m1 ˙x21 + m2 ˙x22 + m3 (2x˙ 1 + x˙ 2 )2 , 2 2 2

(9.13)

a potencijalna (koja ovde potiˇce samo od gravitacione sile) je: U = g [(2m3

− m )x + (m − m )x ] + const . (9.14) Zamenom ovih izraza u lagranˇzijan L = T − U i nalaˇzenjem odgovarajućih parcijalnih izvoda, 1

1

Lagranˇzeve jednaˇcine dobija ju sledeći oblik:

3

2

2

c ´ (m1 + 4m3 )¨x1 + 2m3 x¨2 + g(2m3 m1 ) = 0 , (9.15) i z ˇ 2m3 x¨1 + (m2 + m3 )¨x2 + g(m3 m2 ) = 0 . (9.16) d a (ii) Ovaj sluˇcaj razlikuje se od prethodnog samo po tome ˇsto osim gravitacione sile deluje joˇs H jedna c aktivna sila: sila otpora sredine i to samo na ˇcesticu 1. Ova sila je nepotencijalna, pa se ´ i izraz vza potencijalnu energiju ne menja (kao ni izraz za kinetiˇcku energiju, poˇsto su veze ostale oa potrebno je naći odgovarajuće generalisane nepotencijalne sile Q∗ i Q∗ , koje se pridruˇzuju iste), z 1 2 e generalisanim koordinatama i . Poˇ s to su veze stacionarne, to moˇ z e najjednostavnije da se x x l 1 2 Epolazeći od izraza za elementarni rad koji izvrˇsi sila otpora: uradi . S  ∗ dr1 = γv1 dr1 = γ x˙ 1 dx1 , F 0 1 sledi da je Q∗ = γ x˙ , a Q ∗ = 0, pa u ovom sluˇcaju Lagranˇzeve jednaˇcine imaju oblik: odakle 1 1 2 0 2 (m1 + 4m3 )¨x1 + 2m3 x¨2 + g(2m3 m1 ) = (9.17) γ x˙ 1 , c 

− −

A a h e N m D a k A s j i R r ·

−

− ·

−

2m3 x¨1 + (m2 + m3 )¨x2 + g(m3

− −m ) 2

−

= 0.

(9.18)

(iii) Za m1 = 5m, m 2 = 4m, m 3 = 2m jednaˇcine nadene u prethodnom delu zadatka svode se na: 13¨ x1 +

γ ˙x1 + 4¨ x2 = g , m 2¨ x1 + 3¨ x2 = g .

(9.19)

(9.20)

Ako se x¨2 izrazi iz poslednje jednaˇcine, pa zatim zameni u pretposlednju dobija se diferencijalna jednaˇcina: 3γ 31¨ (9.21) x1 + x˙ 1 = g , m iz koje direktno sledi: 3γ 31x˙ 1 + x1 = gt + C 1 . (9.22) m Iz oblika diferencijalnih jednaˇcina je jasno da se one neće promeniti ako x1 i x2 umesto u odnosu na poloˇzaj centra gornjeg diska merimo u odnosu na poˇcetne poloˇzaje ˇcestica. U tom sluˇcaju

o e T

−

−


118

integraciona konstanta C 1 , koju odredujemo iz uslova da je u poˇcetnom trenutku ˇcestica 1 mirovala postaje jednaka nuli, tj. za nepoznatu funkciju x 1 (t) se dobija diferencijalna jednaˇcina prvog reda: x˙ 1 +

3γ x1 = 31m

− 31g t .

(9.23)

A J   I Z R     E a V n k i  A a h e N m D a k A s j i   r R e o Ovo je, naravno, linearna diferencijalna jednaˇcina prvog reda, ˇcije opˇste reˇsenje ima oblik: x1 (t) = exp

gde je k =

−   −   

3γ . 31m

3γ dt 31m

3γ dt dt + C 2 31m

g t exp 31



= C 2 e−kt

− 31kg

2

(kt

− 1) ,

(9.24) Integraciona konstanta se odreduje iz poˇcetnog uslova x1 (0) = 0, tako da je konaˇcno

g 1 kt e−kt . 2 31k Znajući x 1 (t), iz jednaˇcine (9.20) i poˇcetnih uslova sledi: x1 (t) =

− −

(9.25)

c ´ i 1 2 2 z ˇ (t) = (9.26) x gt x1 (t) . 2 d 6 3 a H (iv) -Za silu zatezanja koja deluje na ˇcesticu 1 se iz II Njutnovog zakona dobija: c ´ i v o N 1 = m 1 g m1 x¨1 γ x˙ 1 = 5m(g x¨1 ) γ x˙ 1 = 5mg 1 + 1 e−kt + γg e−kt 1 z 31 31k e l i E sliˇcno za silu zatezanja konca koja deluje na ˇcesticu 2: . S 8 1 −kt 0 e N 2 = m 2 (g x¨2 ) = 4m(g x¨2 ) = mg 1 . 3 31 1 0 2 Reˇsenje 5.3.3. (i) Za generalisanu koordinatu izaberimo rastojanje x kuglice od taˇcke A (slika 5.2). c 

−

−

−

−

−

−

−

−

−

Kinetiˇcka energija kuglice, izraˇzena u cilindriˇcnim koordinatama, koje su izabrane tako da je osa z odredena pravcem i smerom vektora ω, a koordinatni poˇcetak je u taˇcki O je T = m2 (r˙ 2 + r2 ω 2 + z ˙ 2 ). Poˇsto je r = x sin α i z = OA x cos α, za kinetiˇcku energiju se dobija izraz T = m2 (x˙ 2 +x2 ω 2 sin2 α). Potencijalna energija jednaka je U = mg(OA x cos α)+ 12 k((x l)2 +(2L x l)2 ) = mgx cos α+ k(x l)2 + const, tako da za lagranˇzijan moˇzemo da uzmemo izraz

−

−

−

L =

m 2 ( x˙ + x2 ω2 sin2 α) + mgx cos α 2

−

− −

− k(x − l)

2

−

,

(9.27)

a Lagranˇzeva jednaˇcina dobija oblik:

T

x¨ +

2k m

− ω

2

sin2 α x = g cos α +

2kl . m

(9.28)

(ii) U ovom sluˇcaju Lagranˇzeva jednaˇcina se svodi na x¨ +

2kl k x = g cos α + , m m

(9.29)


119

ˇcije je opˇste reˇsenje x(t) = A cos



k t + B sin m

Poˇsto je u poˇcetnom trenutku x(0) = A + sledi da je A =

gm k

cos α

˙ = x(0) T (0) =

k gm cos α + 2l . t + m k



k B, m

jasno je da je B = 0, tako da je

(9.31)

(9.32)

1 m 2 (x(0)) ˙ + l 2 ω 2 sin2 α = ml2 ω 2 sin2 α , 2 2



(9.30)

A J  I     Z R E a V n k i

gm cos α + 2l = l , k

− l. Sliˇcno,

ali kako je



(9.33)

c ´ i gm k z ˇ cos α + l 1 cos (9.34) x(t) = l + t . d k m a H Reˇ s enje 5.3.2. (i) Oznaˇcimo sa aM ubrzanje strme ravni u odnosu na inercijalni sistem vezan c ´ za i nepokretnu horizontalnu ravan, a sa a ubrzanje materijalne taˇcke u odnosu na strmu ravan. v materijalne taˇcke u odnosu na nepokretnu ravan je onda a + aM , a osnovna jednaˇcina Ubrzanje o z dinamike za tu taˇcku ima oblik: e l  1 , (9.35) m(a + aM ) = mg + R E .  1 sila reakcije kojom strma ravan deluje na materijalnu taˇcku (slika 9.1). Projektovanjem S gde jeR 0 ove jednaˇcine na pravac paralelan nagnutoj povrˇsini strme ravni dobijamo jednaˇcinu: 1 0 (9.36) m(a + aM cos α) = mg sin α , 2 c  



−


poˇsto je sila R1 normalna na strmu ravan. Projektovanjem (9.35) na pravac normalan na strmu ravnu dobijamo: (9.37) m(a⊥ + aM sin α) = R1 mg cos α ,

−

a poˇsto se materijalna taˇcka kreće po strmoj ravni, njeno ubrzanje u odnosu na strmu ravan paralelno je strmoj ravni, tj. a⊥ = 0, pa je R1 = m(g cos α + aM sin α) .

(9.38)

Osnovna jednaˇcina dinamike za strmu ravan ima oblik:

o e T

MaM =

−R + R + Mg , 1

2

(9.39)

 1 sila kojom materijalna taˇ  2 sila reakcije horizontalne gde je R cka deluje na strmu ravan, a R podloge. Projektovanjem ove jednaˇcine na pravac duˇz kog se kreće strma ravan (x-osa) i na pravac normalan na njega (y-osa, g = gey ), dobija ju se jednaˇcine:

−

−

R2

− Mg

MaM

= =

−R cos α , −R sin α

1 1

(9.40) (9.41)


120

A J I   Z R E   a V n k i  A a h  e N m D a k A s j i R e o r Slika 9.1: Sile koje deluju na ˇcesticu i strmu ravan - slika uz reˇsenje zadatka 5.3.2.

Iz jednaˇcina (9.38) i (9.41) sledi

c ´ sin α cos α i = (9.42) a g , M 2 M z ˇ sin α + m d a ˇsto, H -imajući u vidu da je aM = x¨M , predstavlja diferencijalnu jednaˇcinu kretanja strme ravni. c Zamenjuju´ ci dobijeni izraz za aM u jednaˇcinu (9.41) lako se nalazi R1 , a zamenom u jednaˇcinu ´ i v i izraz za a  : (9.36) o M + m z a = g sin α aM cos α = g sin α . e l M + m sin2 α E Vertikalna komponenta ubrzanja ay materijalne taˇcke jednaka je . S M + m 0 (9.43) ay = a sin α = g sin2 α . 1 M + m sin2 α 0 2 Poˇ sto je visina strme ravni h, materijalna taˇcka će se spustiti do njenog dna za vreme c 

−

−

−

−

t =

− 2h . a y

(ii) Ukupni rad sila reakcije na virtuelnom pomeranju jednak je  1 δrm + ( R  2 R

− R )δr 1

M ,

(9.44)

gde je δrm virtuelno pomeranje materijalne taˇcke mase m, a δrM virtuelno pomeranje strme ravni. Ako sa x oznaˇcimo poloˇzaj strme ravni kao na slici 9.2, a sa s rastojanje materijalne taˇcke od vrha strme ravni, onda su koordinate materijalne taˇcke jednake

pa je

T

xm = x + s cos α ,

ym = h

δrm = (δx + cos αδs)ex

− s sin α ,

− sin αδse , y


121


Slika 9.2: Slika uz reˇsenje zadatka 5.3.2 - deo (ii).

dok je virtuelno pomeranje strme ravni: δrM = δxex . Iz reˇsenja dela zadatka pod (i) sledi da se sile c ´ i reakcije z mogu da se napiˇsu kao ˇ

d a M + m  1 = mM cos α g(sin αex + cos αey ) , R  2 = R g. 2 2  m H sin 1 + sin m α + M α M c ´ i v Zamenom navedenih izraza za sile reakcije i virtuelna pomeranja u (9.44) direktno se dobija da je o ukupni z rad na virtuelnom pomeranju jednak nuli, ˇsto je i trebalo pokazati. e (iii) Ako za generalisane koordinate izaberemo x i s (kako su definisani u prethodnom delu reˇsenja), l za E kinetiˇcku energiju dobijamo izraz . S 1 1 2 2 2 = (m( ˙ + ˙ ) + M ˙ ) = (M x˙ 2 + m(x˙ 2 + s˙ 2 + 2x˙ s˙ cos α)) , T x y x m m 0 2 2 1 0 a 2 za potencijalnu U = mg(h s sin α) , c 

−

A a h e N m D a   k A s j i R r −

pa je lagranˇzijan

1 L(x, ˙x ,s, ˙s) = (M x˙ 2 + m(x˙ 2 + s˙ 2 + 2x˙ s˙ cos α)) 2

− mg(h − s sin α) .

Poˇsto je x cikliˇcna koordinata jednaˇcina koja odgovara x koordinati ima oblik:

o e T

d dt

∂L ∂x

= 0,

(9.45)

odakle se direktno dobija jedan integral kretanja

∂L = (M + m)x + m ˙ s˙ cos α = const . ∂x

(9.46)

Lagranˇzeva jednaˇcina ko ja odgovara s koordinati ima oblik x¨ cos α + ¨s

− g sin α = 0 .

(9.47)


122

Komentar : Eksplicitnim raspisivanjem jednaˇcine (9.45) (tj. diferenciranjem jednaˇcine ( 9.46) po vremenu), dobija se jednaˇcina koja zajedno sa jednaˇcinom (9.47) ˇcini sistem iz koga se lako mogu eksplicitno izraziti x ¨: sin α cos α x¨ = g , sin2 α + M m

−






ˇsto se zaista poklapa sa izrazom za a M dobijenim u delu reˇsenju pod (i), kao i s¨: s¨ = g sin α





M m 2

+1 . sin α + M m

Poˇsto je vertikalna komponenta ubrzanja materijalne taˇcke jednaka ay = s¨ sin α, zamenom poslednjeg izraza u tu jednaˇcinu lako se proverava da se dobija isti rezultat kao pod (i). Reˇsenje 5.3.4. (i) Primenjujući izraz za kvadrat brzine u sfernim koordinatama i uzimajući u obzir vezu r R = 0, dobijamo izraz za kinetiˇcku energiju ˇcestice: T = 12 mR2 (θ˙2 + sin2 θ ˙ϕ2 ), dok c je ´ njena potencijalna energija, ako se raˇcuna u odnosu na nivo z = 0, jednaka U = mgR cos θ. i z ˇ Lagranˇzijan je onda

−

−

d a 1 H = L = T U mR2 (θ˙2 + sin2 θ ˙ϕ2 ) mgR cos θ , 2 c ´ i v odmah vidimo da je ϕ cikliˇcna koordinata, ko joj odgovara jednaˇcina odakle o z e d ∂L d l = (mR2 sin2 θ ˙ϕ) = 0 . E dt ∂ ϕ ˙ dt . S odmah sledi jedan integral kretanja Odatle 0 1 ∂L 0 = mR 2 sin2 θ ˙ϕ = K 1 , 2 ˙ ∂ ϕ c 

−

−

A a h e N m D a k A s j i R r pa je

˙ ϕ =

C 1 , sin2 θ

(9.48)

(9.49)

(9.50)

gde je C 1 konstanta. ˙ Nalaˇzenjem parcijalnih izvoda lagranˇzijana po θ i θ dobijamo Lagranˇzevu jednaˇcinu koja odgovara koordinati θ: g sin θ = 0 . (9.51) θ¨ ϕ˙ 2 sin θ cos θ R (ii) Zamenom ϕ˙ iz (9.50) u jednaˇcinu (9.51) zaista dobijamo diferencijalnu jednaˇcinu u traˇzenom obliku: g C 12 cos θ ¨ (9.52) θ = sin θ + . R sin3 θ ¨ d ( 1 θ˙2 ), direktno sledi (iii) Iz jednaˇcine (9.52), uz θ =

−

o e T   1 ˙2 θ = 2

−

dθ 2



g C 12 cos θ sin θ + dθ = R sin3 θ

−

g cos θ R

−

C 12 + C 2 . 2sin2 θ


123

A J I Z R E  a V n k i

c ´ i z ˇ d a H c ´ Slika 9.3: Sferno klatno - slika uz reˇsenje zadatka 5.3.4. i v o z strane, ukupna mehaniˇcka energija E jednaka je S druge e l E 1 1 ˙2 g C 12 2 ˙2 2 2 2 . E = T + U = mR (θ + sin θ ˙ϕ ) + mgR cos θ = mR θ + cos θ + S 2 2 R 2sin2 θ 0 1 ˇsto uz C = E/mR2 zaista jeste ekvivalentno prethodno nadeno j jednaˇcini. 0 2 (iv) Impuls ˇcestice jednak je 2 ˙ eθ ) , c p = m  v = mR(sin θ ˙ϕeϕ + θ 


= const ,

odakle koriˇsćenjem jednaˇcina koje povezuju koordinatne ortove sfernog i Dekartovog sistema: eϕ =

− sin ϕe + cos ϕe , x

sledi:

eθ = cos ϕ cos θex + sin ϕ cos θey

y

− sin θe , z

px = mR( ϕ˙ sin ϕ sin θ + θ˙ cos ϕ cos θ) ,

−

py = mR(ϕ˙ cos ϕ sin θ + θ˙ sin ϕ cos θ) ,

o e T

pz =

−mRθ˙ sin θ .

Moment impulsa ˇcestice jednak je  = r J

× mv = Re × mR(sin θ ˙ϕe + θ˙e ) = mR (− sin θ ˙ϕe + θ˙e ) , r

odakle je

J x =

ϕ

θ

θ

−mR (ϕ˙ cos ϕ sin θ cos θ + θ˙ sin ϕ) , 2

J y = mR 2 ( ϕ˙ sin ϕ sin θ cos θ + θ˙ cos ϕ) ,

−

2

J z = mR 2 ϕ˙ sin2 θ .

ϕ


124

Na ˇcesticu deluju gravitaciona sila i sila reakcije, koja ima sve tri komponente, tako da se nijedna komponenta impulsa ˇcestice ne odrˇzava. Moment sile idealne sile reakcije jednak je nuli (sila reakcije je kolinearna sa r ), pa je ukupni moment sila koje deluju na ˇcesticu jednak  = r K

× mg = mgR(e × e ) = mgR(sin θ sin ϕe − sin θ cos ϕe ) , r

z

x

y


odakle se vidi da je jedino z komponenta momenta sile jednaka nuli, tj. jedino se z komponenta momenta impulsa J z odrˇzava: J z = mR 2 ϕ˙ sin2 θ = const , ˇsto je ekvivalentno integralu (9.50), koji smo već dobili iz Lagranˇzeve jednaˇcine. (v) Zamenjujući θ = π u (9.49) dobijamo da je konstanta K 1 = 0, pa je i onda i C 1 = 0, a jednaˇcina (9.52) se onda svodi na jednaˇcinu g sin θ = 0 . θ¨ R Smenom α = π θ, ova jednaˇcina dobija oblik jednaˇcine matematiˇckog klatna

−

−

c ´ g i ¨ sin α = 0 . α + z ˇ R d a je sa ovim poˇcetnim uslovima ukupna energija ˇcestice jednaka E = mgR, a i z C = 0 Kako 1 H sledi -ϕ˙ = 0, odnosno ϕ =const, nalaˇzenje konaˇcnih jednaˇcina kretanja se u ovom sluˇcaju svodi c i na ´ nalaˇzenje konaˇcne jednaˇcine kretanja za matematiˇcko klatno za sluˇcaj asimptotskog kretanja. v Vertikalna ravan u ko joj se u ovom sluˇcaju odvija kretanje ϕ =const odredena je poˇcetnim pravcem o z brzine e i z -osom. l Reˇsenje 5.3.5. (i) Ako za z -osu izaberemo vertikalnu osu orijentisanu suprotno gravitacionom E ubrzanju, onda je, poˇsto nema ni proklizavanja ni istezanja, koordinata z materijalne taˇcke jednaka . S 0 (9.53) z = aϕ , 1 0 je kinetiˇcka energija taˇcke T m = ma2 ϕ˙ 2 /2. Ukupna kinetiˇcka energija sistema je odakle 2 c 1 2 2 

A a h e N m D a k A s j i R r T = (M + 2m)a ϕ˙ , 4

a potencijalna U =

−mgaϕ, pa je lagranˇzijan sistema:

1 ˙ = (M + 2m)a2 ϕ˙ 2 + mgaϕ . L(ϕ, ϕ) 4

Lagranˇzeva jednaˇcina

o e T

(9.54)

d ∂L dt ∂ ϕ ˙

− ∂∂ϕL = 0

onda ima oblik diferencijalne jednaˇcine

1 (M + 2m)a2 ϕ¨ 2

− mga = 0 ,

odakle direktno sledi da je ugaono ubrzanje diska ϕ konstantno ¨ i jednako ¨ ϕ =

2g m . a M + 2m

(9.55)


125

U trenutku kada se konac potpuno razmota disk se okrenuo za ukupni ugao Φ = l/a, pri ˇcemu je Ω2 Φ= , 2ϕ¨

A J I Z R E a V k i   n A a h e N m D a k A s j i R e o r  gde je Ω ugaona brzina diska u tom trenutku (ravnomerno ubrzano rotaciono kretanje oko fiksirane ose), odakle je 4gl m Ω = 2Φϕ = ¨ . a2 M + 2m (ii) U sluˇcaju kada je konac istegljiv sistem ima dva stepena slobode. Izaberimo za drugu generalisanu koordinatu elongaciju konca x. Koordinata z materijalne taˇcke u ovom sluˇcaju moˇze da se napiˇse kao z = aϕ + x ,

 

pa je njena kinetiˇcka energija jednaka

1 c ´ ˙ 2. T m = m(a ˙ ϕ + x) i 2 z ˇ d a cka energija diska ima isti oblik kao u sluˇcaju kada nema istezanja konca, a ukupna poKinetiˇ H tencijalna energija se u ovom sluˇ caju sastoji od potencijalne energije koja potiˇ ce od gravitacije 2 c + x) i potencijalne energije koja potiˇce od elastiˇcnosti konca kx /2, tako da je lagranˇzijan ´ mg(aϕ i v jednak: sistema o z 1 1 1 2 e l ˙ x) = Ma2 ϕ˙ 2 + m(a ˙ ˙ 2 + mg(aϕ + x) L(ϕ,x, ϕ, ˙ ϕ + x) kx . 4 2 2 E . Lagranˇ S zeve jednaˇcine se onda mogu napisati u obliku: 0 M 1 + 1 aϕ + ¨ x¨ = g , (9.56) 0 2m 2 c k 

−

−

¨ x ¨ + aϕ +

(9.57) x = g . m Ako se iz jednaˇcine (9.56) izrazi ϕ i ¨ zameni u jednaˇcinu (9.57) dobija se diferencijalna jednaˇcina x¨ +

k(M + 2m) x = g , Mm

ˇcije je opˇste reˇsenje

x(t) = C 1 cos ωt + C 2 sin ωt +

gmM , k(M + 2m)

(9.58)

gde je

k(M + 2m) . Mm Nalaˇzenjem x¨ iz jednaˇcine (9.58) i vraćanjem u jednaˇcinu (9.56) sledi jednaˇcina

T

ω =

ω2 g ¨ (C cos sin + ϕ = ωt + C ωt) , 1 2 M M + 1 + 1) a a( 2m 2m

 

(9.59)


126 ˇcijim se integraljenjem po vremenu dobija ϕ(t) =

sin ωt 1 − C cos ωt + C + 2 a( + 1 a 1

2

  M 2m

g t2 + K 1 t + K 2 . M + 1) 2m

(9.60)

Koordinata z materijalne taˇcke je onda jednaka

A J I Z R  E    a V n k i A a  h  e N m D a k A s   j i R e o r z (t) = aϕ(t)+x(t) =

1 g M gmM (C 1 cos ωt+C 2 sin ωt)+ M t2 +aK 1 t+aK 2 + , (9.61) 2 2m + 1 M + 2m k(M + 2m)

ˇsto zaista odgovara superpoziciji oscilatornog kretanja frekvencom ω i kretanja sa konstantnim ubrzanjem g/( M + 1), kakvo je nadeno u sluˇcaju kada je konac neistegljiv (videti jednaˇcine (9.53) 2m i (9.55)). Ako je u poˇcetnom trenutku konac neistegnut, a sistem miruje, to znaˇci da je ˙ =0, x(0) = 0 , x(0)

ϕ(0) = 0 ,

˙ =0, ϕ(0)

pa uvrˇstavanjem takvih poˇcetnih uslova u konaˇcne jednaˇcine kretanja (9.58) i (9.60) i njihove izvode po vremenu dobijamo jednaˇcine:

c ´ i gmM z ˇ 0 = + C , 1 d + 2m) k(M a 0 = C 2 ω , H C 1 c ´ i 0 = + K 2 , M + 1 a v 2m o C 2 ω z 0 = + K 1 . e M l + 1 a 2m E . skupa jednaˇcina sledi C 2 = K 1 = 0 i Iz ovog S 2gm2 M gmM 0 = = C , K 1 2 1 k(M + 2m) ak(M + 2m)2 0 2 pa je onda amplituda A oscilacija materijalne taˇcke jednaka c 

− −

−

M gmM 2 A = C 1 = . M + 2m k(M + 2m)2

Reˇsenje 5.3.7. (i) Poˇsto je kinetiˇcka energija ˇcestice jednaka: 1 T = (r˙ 2 + r 2 sin2 α ˙ ϕ)2 , 2

gde je iskoriˇsćena veza θ = α, a potencijalna: U =

−

k2 m , 2r2

lagranˇzijan je:

m 2 k 2 2 2 2 L = r˙ + r sin α ˙ ϕ + 2 , 2 r

T

(9.62)

pa se Lagranˇzeve jednaˇcine svode na sledeći oblik: r¨

d mr2 sin2 α ˙ϕ dt





−r = 0 ⇒

2

sin2 α ˙ϕ2 +

k 2 = 0, r3

r2 ϕ˙ = const = r02 ϕ˙ 0 ,

(9.63)

(9.64)


127

gde su indeksom ”0”oznaˇcene poˇcetne vrednosti odgovarajućih veliˇcina. (ii) Ako se ϕ izrazi ˙ iz druge Lagranˇzeve jednaˇcine i zameni u prvu, sledi diferencijalna jednaˇcina: r¨ +

k 2

4 0

2

− r ˙ϕ

sin2 α

r3

= 0,

(9.65)

A J I    Z   R E a V n k i A a h e N m D a k A s j i R e o r iz koje se dalje dobija:

d r¨ = dr k2 r˙ 2 =

 

−

1 2 k 2 r04 ϕ˙ 2 sin2 α ˙r = 2 r3 r04 ˙ϕ2 sin2 α k 2 r04 ˙ϕ2 sin2 α 2 + r˙ 0 r2 r02

− −

− −

rr0 dr = dt , r2 (r˙02 r02 A) + Ar02

−

⇒

A = k 2

4 0

2

− r ϕ˙

⇒

sin2 α

⇒

(9.66)

(9.67)

c ´ i 2 r˙ r −A z ˇ r˙0 r02 + r t Ar02 d r = a r˙02 r02 A H -Ako se u jednaˇcinu (9.65) zameni uslov r = r sledi (iii) 0 c ´ i v k o ϕ˙ 0 = , z 2 sin r α e 0 l E ˇsto znaˇ . ci da poˇcetna brzina treba da bude oblika: S k 0 v0 = r˙0er + r0 sin α ˙ ϕ0eϕ = eϕ . 1 r0 0 2  Sila reakcije N sigurno ima pravac orta eθ i moˇze se naći iz II Njutnovog zakona: c  2 2 0 0

−

0

⇒

−

(9.68)

(9.69)

±

±

mr¨ =

2

2

− krm e + N  ⇒ N  = ma + krm e . 3 0

r

3 0

r

Poˇsto je eθ er = 0, mnoˇzenjem poslednje jednaˇcine skalarno ortom eθ dobijamo intenzitet sile reakcije kao:  = m a eθ . N

·

| |

| · |

Ubrzanje a nalazimo diferenciranjem brzine v = v0eϕ po vremenu, odnosno ovde moˇze i odmah da se primeni poznati izraz za centripetalno ubrzanje, poˇsto se ˇcestica kreće ravnomerno po krugu polupreˇcnika r 0 sin α, pa je: v02 a = eρ , r0 sin α

T

−

gde je eρ odgovarajući cilindriˇcni ort. S druge strane je r = ez r0 cos α + eρ r0 sin α, pa je a =

−

k2 (r r04 sin2 α

− r cos αe ) , 0

z


128 odakle se konaˇcno dobija:

mk2 cos α  N = 3 . r0 sin α Reˇsenje 5.3.6. (i) Ukoliko se nepokretna taˇcka A (slika 5.4) uzme za poˇcetak koordinatnog sistema, a osa rotacije za z -osu (g = gez ), onda se kinetiˇcke energije ˇcestica koje ne leˇze na osi mogu raˇcunati pomoću izraza za kvadrat brzine u sfernim koordinatama, koji se, zbog veza nametnutih na ovaj sistem, za obe ˇcestice svodi na: v2 = a2 (θ˙2 + Ω2 sin2 θ). Poˇsto je z koordinata ˇcestice u taˇcki B jednaka 2a cos θ, kvadrat brzine ove ˇcestice je 4a2 ˙θ2 sin2 θ, pa je ukupna kinetiˇcka energija sistema jednaka T = ma2 (θ˙ 2 + Ω2 sin2 θ) + 2ma2 ˙θ2 sin2 θ = ma2 (θ˙2 + 2θ˙2 sin2 θ + Ω 2 sin2 θ)

| |

A J I Z  R      E a V k i   n A a  h  e N m D a k A s j i R e o r   −

Potencijalna energija sistema je U =

−4mga cos θ, tako da je lagranˇzijan sistema

L = ma2 (θ˙2 + 2θ˙2 sin2 θ + Ω 2 sin2 θ) + 4mga cos θ ,

(9.70)

a Lagranˇzeva jednaˇcina

c ´ i ¨ 2 θ¨ sin2 θ + 2 θ˙2 sin θ cos θ Ω2 sin θ cos θ + 2 g sin θ = 0 . (9.71) θ + z ˇ a d a d 1 ˙2 (ii) Ako se u Lagranˇzevoj jednaˇcini uvede smena θ¨ = dθ θ , pa zatim cela jednaˇcina podeli sa H 2 - 2 c 1 ´ + 2 sin θ, dobija se jednaˇcina i v o d 1 ˙2 sin θ cos θ 1 ˙2 sin θ cos θ sin θ g z 2 θ +4 θ = Ω2 2 2 2 , e dθ 2 2 a 1 + 2 sin 1 + 2 sin 1 + 2 sin θ θ θ l E koja . ima oblik nehomogene linearne diferencijalne jednaˇcine prvog reda (u kojoj je nepoznata funkcija S 12 θ˙ 2, a nezavisno promenljiva θ), ˇcijim reˇsavanjem se dobija 0 1 ˙2 1 1 2 2 g 1 Ω sin 2 cos θ + K , (9.72) θ = θ + 0 2 a 1 + 2 sin2 θ 2 2 c 2 

−

−

gde je K integraciona konstanta (detalji raˇcuna: P (θ) = 4 sin θ cos θ/(1+2sin θ), pa je P (θ)dθ = d(1 + 2 sin2 θ)/(1 + 2 sin2 θ) = ln(1 + 2 sin2 θ), itd). Ako se iz ove jednaˇcine eksplicitno izrazi K i pomnoˇzi sa 2ma2 sledi jednaˇcina, koja se, uzimajući u obzir izraze za kinetiˇ cku i potencijalnu energiju nadene u prethodnom delu reˇsenja, svodi na 2

T + U

− 2ma Ω

2

sin2 θ = 2Kma2 ,

ˇsto znaˇci da ukupna mehaniˇcka energija E = T + U nije integral kretanja (ona je konstantna samo u specijalnom sluˇcaju θ = const). To je, naravno, trebalo i oˇcekivati zbog postojanja nestacionarne veze (ϕ = ωt, za ˇcestice koje se ne nalaze na osi rotacije). (iii) Iz Lagranˇzeve jednaˇcine sledi da ukoliko postoji reˇsenje θ = θ 0 = const, ono mora da zadovoljava jednaˇcinu g sin θ0 2 Ω2 cos θ0 = 0 , a tj. ili je: (1) θ0 = 0 ili (2) cos θ0 = 2g/(aΩ2 ). U sluˇcaju (1) linearizacijom Lagranˇzeve jednaˇcine dobijamo jednaˇcinu g Ω2 η = 0 , η¨ + 2 a

T

−



−




129



koja se zbog uslova Ω > 2g ne svodi na jednaˇcinu linearnog harmonijskog oscilatora, već su njena a reˇsenja eksponencijalne funkcije vremena. U sluˇcaju (2) linearizacijom Lagranˇzeve jednaˇcine oko θ0 , dobijamo jednaˇcinu linearnog harmonijskog oscilatora: 2

η¨ + ω η = 0 ,

ω = Ω



A J I   Z  R E   a V n k i

Ω4 3Ω4

4 0

−Ω − 2Ω

4 0

,

Ω20 =

2g . a

Detalji linearizacije: ako se Lagranˇzeva jednaˇcina napiˇse u obliku:

 −



sin θ cos θ ˙2 sin θ 2 ag Ω2 cos θ ¨ = 0, θ + 2 θ + 1 + 2 sin2 θ 1 + 2 sin2 θ

ˇclan sa θ˙2 = η˙ 2 se zanemaruje, a treći ˇclan sa leve strane jednaˇcine postaje

 −

≈

sin(θ0 + η) 2 ag Ω2 cos(θ0 + η) c 1 + 2 sin2 (θ0 + η) ´ i

(sin θ0 + η cos θ0 ) 2 ag Ω2 cos θ0 + ηΩ2 sin θ0 ) 1 + 2 sin2 θ0

−

≈

sin2 θ0 ηΩ . 1 + 2 sin2 θ0 2

z ˇ d 4. a Integral kretanja (9.72) dobijen u reˇsenju drugog dela zadatka u ovom sluˇcaju ima oblik: H 1 ˙2 1 2 1 2 2 2 2 c ´ (1 + 2 sin Ω sin cos = K = Ω ( 2) . θ θ) θ + θ i 2 2 2 v o z je Odatle e l α E 4 θ 2 2 2 4sin 2 2 + sin θ + 2 cos θ 1 1 + 2 sin2 θ 2 . θ˙2 = Ω2  =Ω dθ τ = . S Ω 1 + 2 sin2 θ 1 + 2 sin2 θ 4 θ 2 4sin 2  0 0 1 0 2 c 

−



−


o e T

−

⇒

√

−


130






Deo II

Mehanika neprekidnih sistema


131




Glava 10 Opisivanje kretanja 10.1 10 .1 c ´

Hipot Hipotez eza a konti ontin nuuma uuma


i z ˇ d a Supstanca Supstanca se sastoji od molekula, molekula, koji se sastoje od atoma i subatomskih subatomskih ˇcestica. cestica. Ona, dakle, H nije kontinualna. ualna. Pa ipak, postoje mnogi aspekti pona p onaˇˇsanja sanja raznih raznih materijala, materijala, kao ˇsto sto je, npr, -kontin c ´ istezanje ˇceliˇ celiˇ cne cne ˇsipke sipke pod delovanjem delovanjem neke sile ili postojanje posto janje sile otpora pri kretanju tela kroz i vazduh vaz v duh i sliˇcno, cno, koji se mogu opisati i predvideti pomo´ p omoću cu teorija koje ko je ne uzimaju u obzir diskretnu o z supstance. prirodu supstance. U osnovi osnovi tih teorija leˇzi zi tzv. hipoteza hipoteza kontinuuma , po kojoj su materijali e l cno beskonaˇ cno deljivi. U skladu sa hipotezom kontinuuma kontinuuma moguće ce je uoˇciti citi infinitezimalno malu E zapreminu supstance, supsta nce, koja se naziva deli´ d elić kontinuuma, pri ˇcemu cemu u svakoj okolini tog delića ca posto post o ji . supstanca. supsta kontinuuma uuma opravdana opravdana ili ne zavisi zavisi od posmatr p osmatrane ane situacije: situacije: npr. u S nca. Da li je hipoteza kontin mnogim ca jevima moguće ce je ˇcelik celik smatrati kontinualnim materijalom, materija lom, ali ne i ako se posmatra posm atra 0 sluˇcajevima 1 prostiranj prostiranjee talasa izuzetno malih talasnih talasnih duˇ zina zina kroz njega. S druge strane, osobine osobine razredenog razredenog 0 gasa cno opisati smatrajući ci gas neprekidnom sredinom. U 2pod odredenim okolnostima mogu se odliˇcno svakom ca ju, nije dobro d obro opravdavati o pravdavati kontinualni pristup p ristup brojem bro jem ˇcestica cestica u odredeno o dredeno j zapremini zaprem ini (tj. (t j. c sluˇcaju, 


gustinom). gustin om). Na kraju kra ju krajeva, kra jeva, infinitezimalno infinitez imalno mala zapremina zap remina u limesu ili sadrˇ sad rˇzi zi elementarnu ˇcesticu cesticu ili ne sadrˇ sad rˇzi zi niˇsta. sta . U tom t om smislu smi slu treba treb a imati ima ti u vidu da matematiˇ mate matiˇcki cki gledano gled ano delić preds p redstavlj tavljaa taˇcku, cku, ali sa stanovi stanoviˇˇsta sta fizike, fizike, to je mala zapremina zapremina (mnogo manja od ukupne ukupne zapremine zapremine razmatrano razmatranogg sistema) u kojoj kojo j se joˇs uvek nalazi puno ˇcestica cestica N 1, ali mnogo manje od ukupnog broja ˇcestica cestica u sistemu. Takva akva mala zapremina naziva naziva se se fiz fiziˇcki beskonaˇcno cno mala zapremina. zapremin a. Takode, vredno vre dnosti sti fiziˇ fizi ˇckih cki h veliˇ vel iˇcine cin e ,,u ,, u taˇcki” cki ” r i ,,u trenutku” t, zapravo predstavljaju lokalne vrednosti , tj. vrednosti razmatrane veliˇ veliˇcine cine usrednjene po fiziˇcki cki beskonaˇcno cno maloj zapremini, u kratkom vremenskom intervalu. Ovaj kratki vremenski interval, moˇze ze se sliˇcno cno uvesti kao fi kao fizziˇcki b i bes eskon konaˇ aˇcno cn o kratak, tj. to je interval mnogo kraći ci od ukupnog vremena razmatranja sistema, u toku kog se pri merenju ta veliˇcina cina ne n e menja toliko da d a bi se promenila pro menila njena srednja vrednost, vrednost , ali al i dovoljno dugaˇcak cak da mikroskopske mikroskopske promene unutar delića ca ne dodu do izraˇzaja. zaja. Samo ako je u razmatranoj situaciji mogu´ mog uće ce na takav naˇcin cin uvesti uvest i deli´ del ić, c, koji ko ji dalje dal je moˇze ze da se tretira tret ira kao ˇcestica cest ica,, hipotez hip otezaa kontinuuma kontinuu ma ima smisla. Konaˇcan can odgovor o dgovor na pitanje da li je hipoteza kontinuuma opravdana u nekoj situaciji ili nije da je samo eksperimentalna ekspe rimentalna provera. Ono ˇsto sto će ce u okviru okv iru ovog kursu kurs u biti razmatrano razmatra no u praksi p raksi je ve´ već veoma dugo potvrdivano u raznim situacijama, pa ćemo cemo u daljem toku kursa uvek smatrati da se ono ˇsto sto radimo odnosi na sluˇcajeve cajeve kada su zadovoljeni zadovoljeni uslovi za primenu hipoteze hip oteze kontinuuma. kontinuuma.



o e T

133

134

GLAVA 10.

OPISIVANJE KRETANJA

x3

r ( X1 , X 2 , X 3 , t) = (x1,x 2,x 3)

r (t=t0) = (X1 , X 2 , X 3 )

A J I Z R E a V n k i x2

x1

Slika 10.1: U supstancijalnom metodu prati se kretanje delića sredine.

10.2 c ´ i

Lagranˇ zev i Ojlerov metod

z ˇ d Postoje dva osnovna pristupa prilikom prouˇcavanja kontinualne sredine: (1) Lagranˇzev ili sup a stancijalni i (2) Ojlerov ili metod polja. H c 1. ´ i Lagranˇzev metod. Kod ovog metoda uoˇci se poloˇzaj svih delića u nekom poˇcetnom trenutku vt = t0 i dalje se prati kretanje svakog od tih delića. Ako se neki delić u poˇcetnom trenutku onalazio u taˇcki r = X e + X e + X e , onda moˇzemo da kaˇzemo da će se u proizvoljnom 0 1 1 2 2 3 3 z e l sledećem trenutku on nalaziti u taˇcki r(r0 , t), ˇciji poloˇzaj zavisi kako od poˇcetnog poloˇzaja Er0 = (X 1 , X 2 , X 3 ), tako i trenutka t (slika 1). Sve fiziˇcke veliˇcine razmatramo duˇz putanje . Sdelića, dakle u funkciji poˇcetnih koordinata (X 1 , X 2 , X 3 ) i vremenskog trenutka t. Ako, recimo, 0sa T oznaˇcimo temperaturu, onda T (X 1, X 2 , X 3 , t) predstavlja temperaturu u taˇcki u kojoj se u 1trenutku t nalazi delić ko ji se u poˇcetnom trenutku nalazio u taˇcki (X 1 , X 2 , X 3 ). Kolokvijalno 0bismo mogli da kaˇzemo da se u ovom pristupu razmatra ju fiziˇcke veliˇcine i pojave onako kako 2 cih ,,osećaju” delići, tj. supstanca, pa se zato ovaj pristup zove i supstancijalni, a promenljive 


(X 1 , X 2 , X 3 ) supstancijalne promenljive. Sliˇcno, zapremina koja se uvek sasto ji od istih delića naziva se ,,supstancijalna zapremina”. Ilustracija primene Lagranˇzevog metoda je razmatranje pomeranja velikih vazduˇsnih masa na satelitskim snimcima u realnom vremenu.

2. Ojlerov metod odgovara matematiˇckom metodu polja, tj. sve fiziˇcke veliˇcine razmatra ju se u taˇcki prostora r = x1e1 + x 2e2 + x 3e3 , ˇcisto geometrijski, nezavisno od toga koji se delić nalazi u toj taˇcki, u proizvoljnom vremenskom trenutku t (slika 2). U tom metodu bi izraz T (x1 , x2 , x3 , t) predstavljao temeperaturu u taˇcki (x1 , x2 , x3 ) u trenutku t. Poredenja radi, mogli bismo da kaˇzemo da T (x1 , x2 , x3 , t) predstavlja temperaturu koju ,,oseća” delić koji se u trenutku t naˇsao na mestu (x1 , x2 , x3 ). U ovom pristupu nas, dakle, ne interesuje ˇsta se sa tim delićem ranije deˇsavalo, niti ˇsta će se sa njim deˇsavati posle prolaska kroz tu taˇcku. Koordinate (x1 , x2 , x3 ) nazivaju se Ojlerove promenljive. Beleˇzenje dnevnih vrednosti temperature, pritiska i brzine vetra na jednom mestu predstavlja primer primene Ojlerovog metoda.

o e T

Iako se u svakoj situaciji mogu primeniti i jedan i drugi metod, Lagranˇzev metod se ˇceˇsće primenjuje kod ˇcvrstih tela, kod kojih je pokretljivost delića mala, tj. obiˇcno ˇcestice osciluju oko

10.2.

ˇ LAGRAN ZEV I OJLEROV METOD

135


c ´ i z ˇ d Slika 10.2: U Ojlerovom metodu prati se ˇsta se deˇsava u fiksiranoj taˇcki prostora. a H c ´ nekog i svog srednjeg poloˇzaja, dok se kod fluida, koji se odlikuju velikom pokretljivoˇsću, najˇceˇsće v primenjuje Ojlerov metod. o z Primer e 10.2.1. Polje brzine u kontinualnoj sredini definisano je jednaˇcinama: v1 = ax 2, v2 = ax1 , l = 0, gde je a konstanta. Nadimo trajektoriju delića koji se u trenutku t = 0 nalazio u taˇcki v3 E r (X 1 , .X 2 , X 3 ). Iz definicije brzine v = d slede jednaˇcine: dt S dx1 0 = ax2 , (10.1) 1 dt 0 2 dx2 = (10.2) ax1 , c dt 


−

−

dx3 = 0. dt

(10.3)

Iz poslednje jednaˇ cine trivijalno sledi da je x3 (t) = const = X 3 . Diferenciranjem jednaˇcine (10.1) po vremenu sledi jednaˇcina d2 x1 dx2 = a (10.4) , 2 dt dt pa zamenom dx iz jednaˇcine (10.2) dobijamo jednaˇcinu dt 2

o e T

odnosno

d2 x1 = dt2

2

−a x

1

,

d2 x1 + a2 x1 = 0 , 2 dt

(10.5)

(10.6)

ˇcije opˇste reˇsenje ima oblik x1 (t) = A cos at + B sin at .

(10.7)

136

GLAVA 10.

OPISIVANJE KRETANJA

Iz uslova da je x 1 (0) = X 1 sledi da je A = X 1 , pa zamenom tako dobijenog izraza za x 1 u jednaˇcinu (10.1), direktno sledi izraz za x 2 : x2 (t) =

1 dx1 = a dt

−X sin at + B cos at .

1


Kako je x2 (0) = X 2 , sledi da je B = X 2 , pa se konaˇ cno dobija x2 (t) = Konaˇcnim jednaˇcinama x1 (t) = X 1 cos at + X 2 sin at ,

x2 (t) =

(10.8)

−X sin at + X cos at , 1

2

− X sin at + X cos at. 1

2

x3 (t) = X 3

(10.9)

opisano je kretanje delića Lagranˇzevom metodom. Eliminacijom vremena iz ovih jednaˇcina lako se dobija i eksplicitna jednaˇcina trajektorije delića: x21 + x22 = X 12 + X 22 , x3 = X 3 , tj. delići se kreću po kruˇznicama, koje leˇze u ravnima normalnim na x 3 osu, sa centrom upravo na x3 osi.

10.3 c ´

Supstancijalni izvod

i z ˇ  uoˇcimo dve njene vrednosti: Pretpostavimo da razmatramo neku vektorsku fiziˇcku veliˇcinu A i d a u taˇ cki r = x 1e1 + x2e2 + x3e3 u trenutku t i u infinitezimalno bliskoj taˇcki r + dr = (x1 + dx1 , x2 + H dx , x3 + dx3 ) i infinitezimalno bliskom vremenskom trenutku t + dt. Primenjujući matematiˇcki 2 c ´ izraz i za diferencijal funkcije viˇse promenljivih, moˇzemo da piˇsemo da je: v o ∂  A ∂  A ∂  A ∂  A z  dA = dx1 + dx2 + dx3 + dt , (10.10) e l ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ∂t E  A(  r +dr, t+dt) A(  r , t). Ovaj izraz vaˇ gde . je dA = zi za bilo kakve infinitezimalne vrednosti dr i dt, S  z tra jektorije delića, onda vaˇzi dr = v (r, t)dt, medutim, ako nas zanima kako se menja veliˇcina A duˇ 0 gde je v = v 1e1 + v2e2 + v3e3 polje brzine u razmatranoj kontinualnoj sredini (brzina delića). Onda 1 0 iz 2 formule (10.10) sledi c     

A a  h e N m D a k A s j i R r −

 dA =



∂ A ∂ A ∂ A ∂ A v1 + v2 + v3 + ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ∂t

dt ,

(10.11)

odnosno

 ∂  dA A ∂  A ∂  A ∂  A = v1 + v2 + v3 + , dt ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ∂t ˇsto se uz pomoć Hamiltonovog (nabla) operatora

o e T

moˇze napisati kao

Izraz (v

· ∇) je kraći zapis za

∇ = e ∂x∂ 1

+ e2

1

 dA = (v dt

v1

(10.12)

∂ ∂ + e3 , ∂x 2 ∂x 3 

 ∂ A . · ∇)A + ∂t

∂ ∂ ∂ + v2 + v3 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3

(10.13)

ˇ 10.4. JEDNACINA KONTINUITETA

137

i formalno predstavlja skalarni proizvod vektora brzine v i nabla operatora .  duˇz trajektorije delića, dakle Izraz (10.12) predstavlja brzinu promene vektorske veliˇcine A  kako je ,,oseća” supstanca, pa se zato naziva supstancijalni izvod veliˇcine brzinu promene A,  Na sliˇcan naˇcin bismo mogli da izvedemo i izraz za brzinu promene skalarnog polja f (r, t) duˇz A. trajektorije delića. Tako bismo dobili

∇

df = v dt


· ∇f + ∂∂tf = v · gradf + ∂∂tf .

(10.14)

Vidimo da se supstancijalni izvod, kako vektorske, tako i skalarne veliˇcine, sastoji od dva sabirka:   (v )A (f ) i ∂ ∂tA ( ∂f ). Prvi u sebi sadrˇzi polje brzine i parcijalne izvode po prostornim koordinatama, ∂t pa se fiziˇcki moˇze protumaˇciti da potiˇce od toga ˇsto delići koji pristiˇzu u uoˇcenu taˇcku sa sobom donose promenu fiziˇcke situacije, tj. vrednosti razmatrane fiziˇcke veliˇcine. Drugi sabirak predstavlja lokalnu promenu fiziˇcke veliˇcine sa vremenom. Ubrzanje delića po definiciji predstavlja supstancijalni izvod brzine, pa je

·∇

c ´ dv ∂v i = = ( ) + (10.15)  a v v . z ˇ dt ∂t d a Primer 10.3.1. Nadimo ubrzanje delića, ako su njihove brzine definisane poljem iz Primera 10.2.1. H To c ćemo uraditi prvo direktno, koristeći konaˇcne jednaˇcine kretanja koje smo već naˇsli, a zatim ´ i cu formule (10.15). pomo´ v Diferenciranjem jednaˇcina (10.9) dva puta po vremenu dobijamo izraze za Dekartove komponente o z ubrzanja e u Lagranˇzevom opisu: l E (10.16) a1 (X 1 , X 2 , X 3 , t) = a2 (X 1 cos at + X 2 sin at) , . S (10.17) a2 (X 1 , X 2 , X 3 , t) = a2 ( X 1 sin at + X 2 cos at) , 0 (10.18) a3 (X 1 , X 2 , X 3 , t) = 0 , 1 0 iz 2 kojih se lako vidi (poredenjem sa jednaˇcinama (10.9)) da je polje ubrzanja onda dato jednaˇcinama c 

·∇

A a h e N m D a k A s j i R r − − −

a1 (x1 , x2 , x3 , t) =

2

−a x

1

,

a2 (x1 , x2 , x3 , t) =

2

−a x

2

,

a3 (x1 , x2 , x3 , t) = 0 .

S druge strane, direktnom primenom formule (10.15) na polje v = ax2e1 a = (v

· ∇)v = v

1

∂v ∂v + v2 = ∂x 1 ∂x 2

2

(10.19)

− ax e dobija se

−a (x e + x e ) , 1 1

2 2

1 2

(10.20)

ˇsto je, naravno, ekvivalentno formulama (10.19).

o e T

10.4

Jednaˇ cina kontinuiteta

Masa supstance koja u jedinici vremena prode kroz neku povrˇsinu (zatvorenu ili otvorenu) naziva se protok kroz tu povrˇsinu. Izraˇcunaćemo prvo protok kroz malu otvorenu povrˇsinu ∆S , ˇciji je ort normale n. Pretpostavi´ cemo da su nam poznati polje brzine v i polje gustine ρ. Kroz povrˇsinu ∆S za vreme ∆t produ svi delići koji se nalaze unutar cilindra ˇcija se gornja osnova poklapa sa ∆S , a duˇzina izvodnice (ˇciji je pravac odreden vektorom v ) mu je jednaka v ∆t (slika 10.3). Dakle,

| |

138

GLAVA 10.

OPISIVANJE KRETANJA


c10.3: Kroz malu povrˇsinu ∆S za kratko vreme ∆t produ svi delići koji se nalaze unutar cilindra ´ i Slika z ˇ ˇcija je izvodnica odredena vektorom v∆t. d

a H kroz -uoˇcenu malu povrˇsinu će za vreme ∆t proći masa ∆m koja se nalazi unutar tog cilindra, pa je c ´ i ∆V ρ, gde je ∆V zapremina cilindra. Ovde smo pretpostavili da je ∆t malo (ˇsto ne smanjuje ∆m = v opˇ stost izvodenja), pa je i zapremina cilindra mala, ˇsto znaˇci da se moˇze smatrati da se gustina o z njega ne menja znaˇcajno. Zapremina cilindra jednaka je ∆V = ∆Sh, gde je h visina cilindra unutar e l i iznosi h = (v ∆t) n, kao pro jekcija izvodnice na normalu osnove. Imajući sve to u vidu dalje sledi E . ∆m = ρ∆S (v ∆t) n = ρ(n∆S ) v ∆t , (10.21) S 0 pa je protok ∆Q po definiciji jednak 1 0 ∆m 2 ∆Q = = ρ(n∆S ) v . (10.22) ∆t c 

A a h e N m D a k A s j  i R r ·

·

·

·

U sluˇcaju infinitezimalno male povrˇsine dS , izraz za protok moˇze da se piˇse kao  , dQ = ρv dS

·

(10.23)

 = n dS oznaˇcili vektor elementarne povrˇsine. Ukoliko se radi o većoj povrˇsini gde smo sa dS S , protok kroz nju moˇze da se izraˇcuna tako ˇsto se ona podeli na male povrˇsine, za svaku se izraˇcuna protok i na kraju se svi ti protoci saberu. Ukoliko se povrˇsina podeli na infinitezimalno male povrˇsine, sumiranje odgovara integraciji po povrˇsini, pa izraz za protok Q, imajući u vidu poslednju formulu za protok kroz infinitezimalnu povrˇsinu, moˇze da se piˇse u obliku povrˇsinskog integrala:  . (10.24) Q = ρ v dS

o e T

S

·

Ukoliko se gustina ne menja, ρ u prethodnom izrazu moˇze da izade ispred integrala, pa je uobiˇcajeno da se u takvim sluˇcajevima govori o zapreminskom protoku F , koji se definiˇse kao zapremina fluida koja u jedinici vremena prode kroz datu povrˇsinu i oˇcigledno je jednaka: F =

 ·

 . v dS

S

(10.25)

ˇ 10.4. JEDNACINA KONTINUITETA

139

A J I Z R E   a V n k i

Slika 10.4: Kontrolna zapremina V fiksirana je u prostoru i kroz nju delići prolaze.

c ´ i z ˇ Primer d 10.4.1. Ukoliko polje iz Primera 10.2.1 opisuje strujanje fluida konstantne gustine ρ a izraˇ cunajmo protok fluida kroz povrˇsinu pravougaonika koji leˇzi u ravni x2 = 0 i 0 x1 L, H 0 x3 H . c ´ Prema formuli (10.24) traˇzeni protok je i v o L H z e (ax2e1 ax1e2 ) (dSe2 ) = ρ dx1 dx2 ( ax1 ) Q = ρ l S 0 0 E L H 1 . = dx dx = aρ x aρL2 H . 1 1 2 S 2 0 0 0 1minus se pojavio zbog toga ˇsto smo ort normale na povrˇsinu izabrali u smeru orta e2 , dok Znak 0 2 u taˇckama uoˇcene povrˇsine ima suprotan smer (tj. smer vektora ax1e2 ). brzina c 

≤

≤ ≤

  −   −

·

A a h e N  m D a k A s   j i R r

≤

−

−

−

Uoˇcimo sada jednu fiksiranu zapreminu V (slika 10.4), koja se u toku vremena ne menja (tzv. kontrolna zapremina). Bez obzira ˇsta se deˇsava sa delićima kontinualne sredine koju posmatramo, masa m sadrˇzana u zapremini V u svakom trenutku jednaka je m(t) =

ρ(r, t)dV

(10.26)

V

gde je ρ(r, t) polje brzine. Brzina promene mase (promena mase u jedinici vremena) jednaka je

o e T

dm d = dt dt

ρ(r, t)dV =

V

V

∂ρ(r, t) dV , ∂t

(10.27)

gde je totalni izvod po vremenu mogao da ,,prode” kroz odredeni integral po zapremini zahvaljujući tome ˇsto je zapremina fiksirana (ne zavisi od vremena), ali se pri tome ,,pretvorio” u parcijalni izvod po vremenu, poˇsto ρ zavisi i od koordinata i vremena. S druge strane, masa unutar zapremine V se u jednici vremena promeni za onoliko koliko ude ili izade kroz ukupnu povrˇsinu S koja obuhvata V , tj. brzina promene mase jednaka je protoku kroz graniˇcnu povrˇsinu S . Ako ortove normala na S

140

GLAVA 10.

OPISIVANJE KRETANJA

orijentiˇsemo kao spoljne normale (iz unutraˇsnjosti prema spoljaˇsnjosti) onda prema formuli (10.24) za protok moˇzemo da piˇsemo da je dm = dt

 −

 . ρ v dS

·

S

(10.28)

A J I  Z  R E a V n k i

Znak minus na desnoj strani ove jednakosti pojavio se zato ˇsto izabrana orijentacija normala zapravo znaˇci da posmatramo protok iz unutraˇsnjosti V , tj. za koliko se smanji masa unutar V u jedinici vremena. Poˇsto se poslednji povrˇsinski integral odnosi na zatvorenu povrˇsinu, na njega moˇzemo da primenimo teoremu Gausa-Ostrogradskog, ˇcime dalje dobijamo: dm = dt ˇsto u kombinaciji sa (10.27) daje

  

∂ρ(r, t)

 − V

div(ρ v )dV ,

(10.29)

dV = div(ρ (10.30) v )dV , c ´ i ∂t V V z ˇ d odnosno a ∂ρ(r, t) H + div(ρv) dV = 0 . (10.31) ∂t V c ´ i v Poslednja relacija vaˇzi za proizvoljnu fiksiranu zapreminu V , a to je moguće jedino ako je u svakoj o taˇc z ki i u svakom trenutku podintegralna funkcija jednaka nuli, tj. ako vaˇzi jednaˇcina e l ∂ρ(r, t) E + div(ρv) = 0 . (10.32) . ∂t S Ova cina kontinuiteta i predstavlja posledicu klasiˇcnog zakona 0jednaˇcina poznata je kao jednaˇ 1 odrˇzanja mase (masa u V moˇze da ude ili izade, ne moˇze da se smanji ili poveća bez prolaska ˇcestica 0 kroz 2S ). Alternativno, ona moˇze da se zapiˇse i kao c 

−

A a h e N m D a k A s j i R r dρ + ρdiv v = 0 , dt

(10.33)

gde je iskoriˇsćen izraz za supstancijalni izvod funkcije ρ i identitet: div(ρ v ) = gradρ v + ρ divv .

·

Iz ovog drugog oblika jednaˇcine kontinuiteta vidi se da ukoliko se duˇz trajektorije delića gustina ρ ne menja, ˇsto znaˇci da je njen supstancijalni izvod dρ jednak nuli, sledi uslov dt

o e T

divv = 0 .

(10.34)

sljivosti. Ova jednaˇcina poznata je kao uslov nestiˇ

Primer 10.4.2. Lako se proverava da polje brzine definisano u primeru 10.2.1 zadovoljava uslov nestiˇsljivosti: ∂v 1 ∂v 2 ∂v 3 ∂ (ax2 ) ∂ ( ax1 ) ∂ (0) divv = + + = + + = 0. ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3

−

ˇ 10.5. TENZOR BRZINE DEFORMACIJE I VEKTOR VRTLO ZNOSTI

10.5

141

Tenzor brzine deformacije i vektor vrtloˇ znosti

Neka je zadato polje brzine v(x1 , x2 , x3 , t) = v(x, t). Za dve infinitezimalno bliske taˇ cke u prostoru x i x + dx vaˇzi

A J I Z   R E    a V n k i 3

v (x + dx, t)

− v(x, t) = dv =

 i=1

∂v dxi , ∂x i

(10.35)

odakle se vidi da su komponente vektora dv linearne homogene funkcije komponenata vektora dx, tj. prethodnu relaciju moˇzemo da napiˇsemo u sledećem matriˇcnom obliku:

    dv1 dv2 dv3

=

∂v 1 ∂x 1 ∂v 2 ∂x 1 ∂v 3 ∂x 1

∂v 1 ∂x 2 ∂v 2 ∂x 2 ∂v 3 ∂x 2

∂v 1 ∂x 3 ∂v 2 ∂x 3 ∂v 3 ∂x 3

    dx1 dx2 dx3

.

(10.36)

Ovo cznaˇci da postoji linearni operator (ili tenzor) ˜ , koji je u sistemu Ox1 x2 x3 reprezentovan ´ i z matricom ˇ

T

∂v ∂v ∂v d ∂x ∂x ∂x a ∂v i ∂v ∂v ∂v = = (10.37) , i j ∂x ∂x ∂x H ∂x j ∂v ∂v ∂v ∂x ∂x ∂x c ´ i v ˜ moˇzemo da napiˇsemo u obliku zbira njegovog simetriˇcnog ˜ i antisimetriˇcnog dela ˜ kao: Tenzor o z e l 1 ∂v i ∂ v j 1 ∂v i ∂ v j ˜ = ˜+ ˜ , + (10.38) i j = , ij = E 2 ∂x j ∂x i 2 ∂x j ∂x i . S Simetriˇcni tenzor ˜ nazivamo tenzorom brzine deformacije. Da bismo videli kakav fiziˇcki smisao 0 ima ovaj tenzor uoˇcimo kratku supstancijalnu duˇz (tj. duˇz koja se sasto ji od delića kontinualne 1 0 koju razmatramo) ∆x, koja u trenutku t ima pravac ose x1 i duˇzinu ∆s (slika 10.5). Za sredine 2 vreme ∆t, ova duˇz se pomeri, pri ˇcemu joj se duˇzina i orijentacija takode promene. Ako su ∆s kratko c i  ∆t dovoljno mali moˇzemo da pretpostavimo da su te promene male. Poˇcetna taˇcka uoˇcene duˇzi se

T

T

 

1

1

1 2

2 2

1 3

2 3

1

2

1

3 2

T

3 3 3

S



A a h e N    m D a k A s j i R r T S R S S

R

R

−

∂v u pravcu x 1 za vreme ∆t pomeri za v 1 (x, t)∆t, a krajnja za v 1 (x + ∆x, t)∆t = (v1 (x, t) + ∂x ∆s)∆t, tako da projekcija ove duˇzi na x 1 osu u trenutku t + ∆t ima duˇzinu

∂v 1 ∆S = ∆s + v1 (x, t) + ∆s ∆t ∂x 1

Odatle direktno sledi

−

1

1





∂v 1 ∆t v1 (x, t)∆t = ∆s 1 + ∂x 1

.

(10.39)

∆S ∆s ∂v 1 = = 11 , (10.40) ∆t∆s ∂x 1 ˇsto znaˇci da dijagonalni element 11 tenzora brzine deformacije ima smisao relativne promene duˇzine u jedinici vremena supstancijalnih duˇzi u pravcu ose x 1 . Sliˇcnim postupkom bi se moglo pokazati da i preostala dva dijagonalna elementa imaju smisao brzine relativne promene duˇzine u odgovarajućem pravcu. Joˇs opˇstije, moˇze se pokazati da veliˇcina n ˜ n, gde je n ort proizvoljnog pravca, ima fiziˇcki smisao brzine promene duˇzine infinitezimalnih supstancijalnih duˇzi u pravcu orta n. Vandijagonalni elementi tenzora brzine deformacije su u vezi sa promenama uglova. Da bismo se u to uverili uoˇcimo dve male supstancijalne duˇzi sa zajedniˇckim poˇcetkom: ∆x1 = ∆s1e1 i ∆x2 =

o e T

−

S

S

·S·

142

GLAVA 10.

OPISIVANJE KRETANJA


c ´ i z ˇ d Slika a10.5: Kratka supstancijalna duˇz ∆x = ∆se1 u trenutku t i njena projekcija na ravan x1x2 u H bliskom sledećem trenutku t + ∆t (crveni vektori). Za kratko vreme ∆t duˇz je promenila samo - orijentaciju i duˇzinu. svoju c ´ i v o z e l E . S 0 1 0 2 c 


Slika 10.6: Dve kratke supstancijalne duˇzi u trenutku t i njihova projekcija na ravan x1 x2 u trenutku t + ∆t.


143

∆s2e2 , u trenutku t. Nakon kratkog vremenskog intervala ∆t ove dve duˇzi promene pravac, tako da projekcija prve duˇzi na ravan x 1 x2 zaklapa mali ugao α sa osom x 1 , a projekcija druge mali ugao β sa osom x 2 (slika 10.6). Za jedniˇcka taˇcka ovih duˇzi u pravcu x 2 za vreme ∆t prede put v 2 (x, t)∆t, a ∂v drugi kraj duˇzi ∆x1 = ∆s1e1 se u pravcu x 2 pomeri za v 2 (x + ∆s1e1 , t)∆t = (v2 (x, t) + ∂x ∆s1 )∆t. Ugao α je onda jednak 2

1

α

≈ tgα =

(v2 (x, t) +



∆s1 1 +

Sliˇcno, ugao β je jednak β

≈

pa je vandijagonalni element

S jednak 12

1 12 = 2



A J I  Z R E a V n k i

∂v 2 ∆s1 )∆t ∂x 1

− v (x, t)∆t ≈ ∂v 2



∂x 1

∂v 1 ∆t ∂x 1

∂v 1 ∆t , ∂x 2

∂v 2 ∂v 1 + ∂x 1 ∂x 2

2

∆t .

(10.42)

α + β . 2∆t

(10.43) c ´ i z ˇ d Drugim a reˇcima, vandijagonalni element 12 ima smisao polovine promene ugla izmedu supstanci jalnih duˇzi koje imaju pravac osa x1 i x2 , u jedinici vremena. Sliˇcno se pokazuje da je veliˇcina H ˜ polovini brzine promene ugla izmedu infinitezimalnih supstancijalnih duˇzi u pravcu n ´  cm jednaka i medusobno ortogonalnih ortova n i m.  v o Vektor vrtloˇznosti  ω definiˇse se kao z e l 1 rotv , (10.44) ω =  E 2 . S odakle sledi da je antisimetriˇcni tenzor ˜ reprezentovan matricom 0 1 0 ω3 ω2 0 2 ˜= 0 (10.45) ω3 ω1 , c 0 ω ω 

S

S

·S ·

=

(10.41)

A  a h e N m D a k   A s j i R r R

 −

R

pa se lako pokazuje da je

−

2

1

−

R˜ dx =  ω × dx .

(10.46)

Ako ponovo uoˇcimo male supstancijalne duˇzi ∆x1 = ∆s1e1 i ∆x2 = ∆s2e2 , u trenutku t i simetralu ugla izmedu ovih duˇzi, a zatim simetralu ugla koji pro jekcije ovih duˇzi zaklapaju u trenutku t + ∆t, sa slike 10.7 se vidi da je ugao ∆θ za koji se simetrala zaokrene za vreme ∆t jednak

pa je

o e T

∆θ =

1 2

∂v 2 ∂x 1

∂v − ∂x

1

2

∆t = ω 3 ∆t ,

(10.47)

∆θ = ω3 , (10.48) ∆t tj. komponenta ω3 vektora vrtloˇznosti ima smisao ugaone brzine rotacije simetrale ugla izmedu supstancijalnih duˇzi koje se kreću u ravni Ox 1 x2 . Sliˇcno se moˇze pokazati i za preostale komponente vektora vrtloˇznosti  ω, ˇsto znaˇci da se deo promene brzine dv (10.35) koji odgovara antisimetriˇcnom

144

GLAVA 10.

OPISIVANJE KRETANJA


c ´ i z ˇ d a10.7: Projekcija (na ravan x1 x2) simetrale ugla koji zaklapaju dve male supstancijalne duˇzi Slika za H kratko vreme ∆t zaokrene se za mali ugao ∆Θ. c ´ i v delu otenzora ˜ moˇze interpretirati kao brzina pri rotaciji ugaonom brzinom jednakom vektoru zznosti  vrtloˇ ω. Konaˇcno, iz relacije e l E (10.49) v (x + dx, t) = v (x, t) +  ω dx + ˜dx . S moˇ zemo da zakljuˇcimo da je kretanje infinitezimalnih delova unutar kontinualne sredine moˇze opisati 0 1 kao kombinacija translatornog, rotacionog i deformacionog kretanja, kojima redom odgovaraju 0 2 v (x, t), ω brzine   dx i ˜dx u prethodnom izrazu. c  Primer 10.5.1. Polju brzine iz Primera 10.2.1 odgovaraju matrice

T

A a h   e  N   m  D   a k   A s j i R r ×

×

S

0 a 0 a 0 0 0 0 0

T = −

o e T

R

,

1 = ( 2

S

S = 12 (T + T ) = T

T

0 a 0 a 0 0 0 0 0

T − T ) = −

0 0 0 0 0 0 0 0 0

 

,

,

tj. tenzor je antisimetriˇcan i jednak tenzoru vrtloˇznosti , a tenzor brzine deformacije je nulti tenzor = 0. Ovo je u skladu sa već donetim zakljuˇckom da ovakvo polje brzine opisuje kretanje pri kome delići rotira ju oko x 3 ose ugaonom brzinom a, pa se prilikom ovakvog kretanja sredina ne deformiˇse.

S

T

R

Primer 10.5.2. Polje brzine oblika v = kx2e1 opisuje kretanje pri kome se delići kreću po pravim linijama paralelnim osi x1 . Tenzorima brzine deformacije i vrtloˇznosti u ovom sluˇcaju odgovaraju


matrice

S = 12 k

 

0 1 0 1 0 0 0 0 0

 

,

R = 12 k

 −

0 1 0 1 0 0 0 0 0

 

145

,

ˇsto znaˇci da se infinitezimalne supstancijalne duˇzi koje imaju pravac koordinatnih osa ne deformiˇsu, ali se uglovi izmedu dve takve duˇzi, jedne u pravcu ose x1 , a druge u pravcu ose x2 menjaju. Drugim reˇcima, pri ovakvom kretanju dolazi do deformacija iskoˇsenja, tj. do promene oblika malih delova ovakve sredine koje se u toku kretanja sasto je od istih ˇcestica (supstancijalne zapremine), ali ne i do promene ukupne zapremine takvih delova. Zaista, sredina je pri ovakvom kretanju nestiˇsljiva, ˇ poˇsto je divv = Tr = 0. Cinjenica da su tenzor i vektor vrtloˇznosti razliˇciti od nule moˇze se na prvi pogled uˇciniti ˇcudnom, s obzirom na to da se delići kre´ cu pravolinijski. Medutim, ovde nikakvog apsurda nema, poˇsto  ω = 0 ukazuje samo na ˇcinjenicu da postoje mali supstancijalni delovi sredine koji rotiraju. U ovom sluˇcaju to su, recimo, supstancijalne duˇ zi koje su u nekom trenutku postavljene u pravcu ose x 2 .

S



c ´

i ZADACI z ˇ


d a Zadatak 10.5.1. Polje brzine u Dekartovim koordinatama ima oblik H c v1 = K x 1 , v2 = K x 2 (1 + 2 t/τ ) , v3 = 0 , ´ i v gde su K i τ zadate pozitivne konstante. o z e(i) Naći konaˇcne jednaˇcine kretanja, tj. poloˇzaj delića u trenutku t, ako se u poˇcetnom l Etrenutku t = 0 taj delić nalazio u taˇcki (X 1 , X 2 , X 3 ). . S(ii) Naći brzinu v u Lagranˇzevim promenljivim (tj. brzinu delića, koji se u poˇcetnom trenutku 0nalazio u taˇcki (X 1 , X 2 , X 3), u proizvoljnom trenutku t). 1 0 2(iii) Ako je poznato da je gustina ρ u fiksiranom vremenskom trenutku ista u svim taˇckama, ckao i da je u trenutku t = 0 ona iznosila ρ 0 , naći ρ(t). 


Zadatak 10.5.2. Fluid gustine ρ = ρ0 (2 cos ωt) (ρ0 i ω su zadate pozitivne konstante) struji tako da polje brzine ima oblik v = u(x1 , t)e1 . Naći: (i) funkciju u(x1 , t), ako je poznato da je u(x1 = 0, t) = U (U = const), pa na osnovu toga i (ii) polje ubrzanja.

−

Zadatak 10.5.3. Fluid struji tako da je proizvod njegove gustine ρ i brzine v zadat poljem ρv = K (4x21 x2e1 + x1 x2 x3e2 + x2 x23e3 ) .

Izraˇcunati za koliko se u jedinici vremena promeni masa fluida sadrˇzana u zapremini kocke ograniˇcene ravnima: x1 = 0, x1 = 1, x2 = 0, x2 = 1, x3 = 0, x3 = 1. Zadatak uraditi na dva naˇ cina: (i) direktno pomoću izraza za protok i (ii) primenom teoreme Gausa-Ostrogradskog na izraz za protok.

o e T

Zadatak 10.5.4. Pod linijskim izvorom podrazumeva se stacionarno strujanje fluida konstantne gustine, pri kome polje brzine u cilindriˇ cnim koordinatama ima oblik

gde je C konstanta (slika 10.8).

v =

C er , r

146

GLAVA 10.

OPISIVANJE KRETANJA


Slika 10.8: Linijski izvor.

c ´ i z ˇ d(i) Uveriti se da je pri ovakvom strujanju zadovoljen uslov nestiˇsljivosti (10.34). a H - (ii) Izraˇcunati jaˇcinu linijskog izvora m, koja se definiˇse kao zapremina fluida koja u jedinici cvremena isteˇce sa jediniˇcne duˇzine izvora (tj. z –ose). ´ i v o(iii) Izraˇcunati vektor vrtloˇznosti  ω. z e l (iv) Izraziti v u Dekartovim koordinatama i naći matricu koja odgovara tenzoru brzine de E . formacije. Naći brzinu promene relativne promene duˇzine supstancijalnih duˇzi koje imaju Sradijalni pravac. 0 1 0 Zadatak 10.5.5. Pod linijskim vrtlogom podrazumeva se stacionarno strujanje fluida konstantne 2 gustine, pri kome polje polje brzine u cilindriˇcnim koordinatama ima oblik: c 

A a h e N m D a k A s j i R r v =

Γ eϕ , 2πr

gde je Γ konstanta (slika 10.9).

(i) Uveriti se da je pri ovakvom strujanju zadovoljen uslov nestiˇsljivosti (10.34). (ii) Izraˇcunati vektor vrtloˇznosti  ω.

(iii) Izraziti v u Dekartovim koordinatama i naći matricu koja odgovara tenzoru brzine deformacije.

o e T

Zadatak 10.5.6. Polje brzine u fluidu ima oblik v =

Γ Q er + eϕ , 2πr 2πr

gde su r, ϕ i z cilindriˇcne koordinate, a Q i Γ zadate konstante.


147


Slika 10.9: Linijski vrtlog (vorteks).

c ´ i z ˇ d(i) Naći komponente brzine u Dekartovim koordinatama. a H - (ii) Naći polje ubrzanja. c ´ i v(iii) Naći tenzor brzine deformacije u Dekartovim koordinatama. o z e(iv) Pokazati da je fluid nestiˇsljiv. l E . (v) Izraˇcunati zapreminski protok kroz omotaˇc cilindra, ˇcija se osa poklapa sa osom z , Spolupreˇcnik osnove mu je jednak R, a visina H . 0 1(vi) Ispitati da li je ovakvo proticanje bezvrtloˇzno. 0 2 c 


148

GLAVA 10.




OPISIVANJE KRETANJA


Glava 11

Sile u fizici neprekidnih sredina 11.1

Zapreminske i povrˇsinske sile

c ´ U fizici kontinuuma sile se dele na zapreminske i povrˇsinske. Pod zapreminskim silama i z ˇ podrazumevaju se sile koje na sve deliće unutar kontinualne sredine deluju na isti naˇcin. Za takve d  na sledeći naˇcin: sile a kao osnovna kvantitativna karakteristika uvodi se masena gustina sile f ako je ukupna zapreminska sila koja deluje na infinitezimalno malu zapreminu mase ∆ m unutar H  po definiciji jednako  onda je f posmatrane sredine jednaka ∆F , c ´ i v o  ∆F z  (11.1) f = lim . e ∆m→0 ∆m l E Primer . za zapreminsku silu je sila gravitacije, a odgovarajuća masena gustina je S  = g , f 0 1 0 gde je g gravitaciono ubrzanje. 2 Povrˇ sinske sile su sile koje se javljaju usled interakcije izmedu ˇcestica unutar kontinualne c

A a h e N m D a k A s j i R r 

sredine. Ispostavlja se da se delovanje tih sila ispoljava na graniˇcnim povrˇsinama izmedu pojedinih delova kontinualne sredine, a osnovna veliˇcina kojom se ovakve sile opisuju je vektor napona. Uoˇcimo u nekom trenutku taˇcku A u kontinualnoj sredini i neku malu povrˇsinu ∆S unutar koje se ta taˇcka nalazi (slika 11.1). Povrˇsinu ∆S moˇzemo da shvatimo kao deo neke veće zatvorene povrˇsine cene povrˇsinom S , koji se nalaze dublje u njoj, zbog gustog S . Delići unutar zapremine obuhva´ ,,pakovanja” delića i brzog opadanja sile interakcije izmedu molekula sa rastojanjem, praktiˇ cno ne ,,osećaju” silu koja potiˇce od supstance koja se nalazi van S . To je razlog ˇsto se ta sila ispoljava  povr ukupnu povrˇsinsku silu koja deluje na deliće koji samo na graniˇcno j povrˇsini. Oznaˇcimo sa ∆F  n (A) koji deluje u taˇcki A se onda definiˇse kao se nalaze na ∆S . Vektor napona P

o e T

 n (A) = P

lim S const

∆

→0

 n=

 povr ∆F , ∆S

(11.2)

gde smo sa n oznaˇcili ort normale na ∆S (koji je istovremeno i spoljaˇsnji ort normale na zamiˇsljenu zatvorenu povrˇsinu S ). Dakle, prilikom traˇzenja gornje graniˇcne vrednosti orijentacija povrˇsine ∆S (tj. n) se ne menja. Ovaj zahtev je u skladu sa eksperimentalno utvrdenom ˇcinjenicom da 149

150

GLAVA 11. SILE U FIZICI NEPREKIDNIH SREDINA


Slika 11.1: Zamiˇsljeni deo unutar kontinualne sredine, obuhvaćen povrˇsinom S . Sila kojom preostali deo sredine deluje na uoˇceni ispoljava se samo duˇz graniˇcne povrˇsine S .

c ´ i z ˇ povrˇ sinska sila koja deluje na neku malu povrˇsinu oko fiksirane taˇcke zavisi od toga kako je ta d povrˇ sina postavljena, tj. moˇze da se menja sa orijentacijom povrˇsine. Jasno je da vektor napona a H ima -dimenzije pritiska, a sam pritisak onda predstavlja intenzitet normalne komponente vektora c Znaˇci, u opˇstem sluˇcaju u kontinualnoj sredini i ta normalna komponenta vektora napona, ´ napona. i tj. v pritisak, u jednoj te istoj taˇcki moˇze da se menja sa orijentacijom povrˇsine. o Vektor napona je, dakle, funkcija kako poloˇzaja, tako i orijentacije povrˇsine postavljene kroz z e uoˇ cenu taˇcku. Ispostavlja se da je veza izmedu vektora napona i orta normale na povrˇsinu tenzorskog l E tj. izmedu komponenata vektora napona i komponenata orta n postoji linearna homogena tipa [1], . veza: S  n = ˜n . (11.3) P 0 1 koji povezuje vektore P  n i n naziva se tenzorom napona ˜ . Takode je za dosta ˇsiroku Tenzor 0 2sredina utvrdeno da je tenzor napona simetriˇcan tenzor [1] i mi ćemo ovde razmatrati samo klasu c sredine. takve 

A a h e N m D a k A s j i   r R P

P

Normalna komponenta vektora napona koji deluje u nekoj taˇcki na elementarnu povrˇsinu ˇciji je  n = n ˜ n, odakle je jasno da dijagonalni elementi tenzora napona ort normale n jednaka je n P imaju smisao normalnih komponenata napona. Sliˇcno, vandijagonalni elementi tenzora napona imaju smisao odgovarajućih tangencijalnih komponenata vektora napona. U opˇstem sluˇcaju, tenzor napona nije unapred zadata veliˇcina, već se za konkretnu sredinu njegovi elementi povezuju sa drugim karakteristiˇcnim veliˇcinama kojima se opisuje kretanje te sredine, npr. sa pritiskom, elementima tenzora brzine deformacije i sliˇcno (vrˇsi se tzv. modeliranje sredine). Na primer, poznato je da u fluidima koji miruju postoje samo normalni naponi. Drugim reˇ cima, matrica koja odgovara tenzoru napona ima oblik:

·

o e T

· P

P

0

11

P =



0 0

P

22

0

0 0

 P

.

(11.4)

33

Vektor napona koji u nekoj taˇcki deluje na elementarnu povrˇsinu ˇciji je ort n = n 1e1 + n2e2 + n3e3 u tom sluˇcaju je jednak  n = 11 n1e1 + 22 n2e2 + 33 n3e3 , P

P

P

P

11.1.

ˇ ZAPREMINSKE I POVR SINSKE SILE

151

ali takode i izrazu

·  ·  ·  ·    P P P ·

 n = n P  n n = n P  n n1e1 + n P  n n2e2 + n P  n n3e3 , P pa izjednaˇcavanjem tih izraza zakljuˇcujemo da je

A   J   I Z R E   V  a k i  n A  h a e N   m D a k A s    j i   r R e o   11 =

22 =

 n . n P

33 =

Ispostavlja se, dakle, da ne samo ˇsto tenzor napona ima samo dijagonalne elemente, već su oni i medusobno jednaki i upravo imaju smisao negativne vrednosti hidrostatiˇckog pritiska p, tj. za fluide koji miruju tenzor napona ima oblik

P = − p(x , x , x ) 1

2

3

1 0 0 0 1 0 0 0 1

.

(11.5)

c reˇcima, pritisak (kao normalna komponenta napona) u proizvoljnoj taˇcki fluida koji miruje ´ Drugim i z ne ˇ zavisi od orijentacije povrˇsine na koju deluje - ovaj stav poznat je i kao Paskalov zakon. d

a H - potiska Sila c ´ i  povr koja deluje na proizvoljnu supstancijalnu zapreminu V unutar v Ukupna povrˇsinska sila F o fluida z koji miruje (sila potiska ) moˇze se izraˇcunati na sledeći naˇcin. Prema definiciji vektora napona, e ta l sila je jednaka E  povr = P  n dS = ( p)n dS =  , (11.6) F p dS . S S S S  = ndS . Neka je I  = p dS  . Ovaj integral moˇze da 0 gde je S graniˇcna povrˇsina zapremine V , a dS S 1  skalarno sa konstantnim, ali proizvoljnim vektorom se 0 izraˇcuna na sledeći naˇcin. Ako pomnoˇzimo I dobijamo relaciju a 2 c 

−

 = a I

·

−

 , ( pa) dS

·

S

u kojoj novodobijeni povrˇsinski integral moˇze da se transformiˇse pomoću teoreme Gausa-Ostrogradskog, pa je  = div( pa) dV = a grad p dV . a I

·

·

V

V

U poslednjem koraku iskori´sćena je relacija div( pa) = (grad p) a. Jasno je da odavde sledi

·

a

T

·

 I

grad p dV

−

= 0.

V

Poˇsto je vektor a proizvoljan, konaˇcno moˇze da se zakljuˇci da je  = I

 = p dS

S

grad p dV .

V

152


Prilikom izvodenja ove relacije nigde nisu koriˇsćene nikakve specijalne osobine pritiska p, ˇsto znaˇci da ista relacija vaˇzi za bilo koju skalarnu funkciju, tj. na ovaj naˇ cin smo izveli jedan specijalan sluˇcaj (posledicu) teoreme Gausa-Ostrogradskog. Ako se sada vratimo u izraz (11.6) za silu potiska konaˇcno dobijamo izraz  povr = grad p dV . (11.7) F

 −

A J I  Z R  E a V n k i A a h e N m D a k A s j i R e o r  V

Jednaˇ cina ravnoteˇ ze

Uoˇcimo sada neku malu supstancijalnu zapreminu ∆V u fluidu koji miruje. Ako je ∆V dovoljno malo, moˇzemo da pretpostavimo da se gustina ρ unutar te zapremine malo menja, pa je masa ovog malog tela jednaka ∆m = ρ∆V . Poˇsto fluid miruje, svi njegovi delovi se nalaze u ravnoteˇzi, pa je ukupna sila koja deluje na svaki takav deo jednaka nuli. Ukupna sila koja deluje na uoˇ ceno malo telo jednaka je zbiru zapreminskih i povrˇsinskih sila koje deluju na njega, pa je

c ´  i 0 = ∆mf grad p dV z ˇ d ∆V a H  masena gustina zapreminskih sila. Takode, poˇsto je ∆V mala zapremina, moˇzemo da gde -je f c ´ i smatramo da se ni gradijent pritiska unutar nje bitno ne menja, pa je v o z grad p dV = grad p ∆V . e l ∆V E . Iz S svega ovoga direktno sledi jednaˇcina 0 1  = grad p , (11.8) ρf 0 2 koja cu hidrostatiˇckom sluˇcaju uvek mora da bude zadovoljena. 

−

Fluid koji miruje u homogenom gravitacionom polju

Pomoću jednaˇcine (11.8) lako moˇzemo da nademo kako se pritisak menja u homogenom grav = g , pa projektovanjem jednaˇcine na ose Dekartovog itacionom polju g = ge3 . U tom sluˇcaju je f koordinatnog sistema dobijamo sledeće skalarne jednaˇcine

−

0=

∂p , ∂x 1

0=

∂p , ∂x 2

−ρ g = ∂x∂p

.

3

Iz prve dve dobijene jednaˇcine sledi da pritisak zavisi samo od koordinate x 3 , pa onda iz treće sledi:

T

x3

p(x3 ) = p(0)

−

ρg dx3 ,

0

gde je p(0) vrednost pritiska na nivou x 3 = 0. Znaˇci, pritisak se sa povećavanjem visine smanjuje za teˇzinu stuba fluida jediniˇcnog popreˇcnog preseka, ˇsto je fiziˇcki smisao integrala dobijenog u izrazu

11.1.

ˇ ZAPREMINSKE I POVR SINSKE SILE

153

za pritisak. Naravno, ako moˇzemo da smatramo da se gustina ne menja, onda se za hidrostatiˇcki pritisak dobija jednostavna formula: p(x3 ) = p(0)

− ρ gx

3

.

A J I Z  R E a V n k i

Pomoću jednaˇcine (11.8) i izraza za povrˇsinsku silu (11.7) moˇzemo da izvedemo Arhimedov zakon . Naime, ako zamislimo ˇcvrsto telo zapremine V i povrˇsine S , koje je potopljeno (lebdi) u fluidu koji miruje, i ako pretpostavimo da to telo ne menja gravitaciono polje, pa time ni polje pritiska u fluidu (ˇsto je prihvatljivo ako telo nije ogromno), onda je sila potiska kojom fluid deluje na telo ista kao i povrˇsinska sila koja bi delovala na povrˇsinu S da se u njoj nalazi fluid, tj.  potiska = F

 −

grad p dV .

V

Poˇsto zbog ravnoteˇze vaˇzi

ρ g = grad p , c ´ i z ˇ zamenom u izraz za silu potiska dobijamo d a H  potiska = F ρ g dV . c ´ i V v o Kako zje ρg dV = g dm teˇzina fluida koji bi se nalazio u zapremini dV da nema ˇcvrstog tela, integral e u izrazu za silu potiska ima smisao teˇzine fluida koji bi se nalazio u zapremini V da tu nema l dobijen E tela. Drugim reˇcima, pokazali smo da je intenzitet sile potiska kojom fluid deluje na telo koje lebdi . u S njemu jednak teˇzini telom istisnute teˇcnosti, a smer suprotan smeru gravitacione sile , ˇsto zaista i tvrdi 0 Arhimedov zakon. 1 0 2 koji se kre´ Fluid ce kao kruto telo c 

−


U fluidu koji se kreće kao kruto telo, delići se ne pomeraju jedan u odnosu na drugi, pa takode vaˇ zi da nema tangencijalnih napona, tj. tenzor napona ima oblik ˜ = p ˜ , gde je ˜ jediniˇcni tenzor. Povrˇsinska sila se onda raˇcuna na isti naˇcin kao i u sluˇcaju fluida koji miruje. S druge strane, ako uoˇcimo malu supstancijalnu zapreminu unutar ovakvog fluida, onda drugi Njutnov zakon primenjen na takvo telo ima oblik:  + ∆F  povr , ∆ma = ∆mf

P − I

I

gde je a ubrzanje tela. Lako se onda pokazuje da odatle sledi jednaˇcina

o e T

 grad p . ρa = ρf

−

(11.9)

Primer 11.1.1. Razmotrimo kretanje teˇcnosti u cilindriˇcnoj posudi (ˇcaˇsi), koja u homogenom gravitacionom polju rotira oko svoje ose, postavljene vertikalno, kao na slici 11.2. Pretpostavljamo da je gustina ρ teˇcnosti konstantna, a da ona, zajedno sa posudom, rotira kao kruto telo, konstantnom ugaonom brzinom ω. Poˇsto se svaki delić fluida kreće po kruˇznici normalnoj na osu, ako je polupreˇcnik kruˇznice r, onda je intenzitet brzine delića v = ωr, a ubrzanje je usmereno prema centru kruˇznice (koji se nalazi na osi rotacije). To je tzv. centripetalno ubrzanje i jednako je ω 2 r.

154



Slika 11.2: Fluid, zajedno sa ˇcaˇsom u kojo j se nalazi, rotira oko vetikalne ose konstantnom ugaonom brzinom ω. U ´ cilindriˇ cnim koordinatama, gde je osa ˇcase izabrana za z -osu, ubrzanje kao vektor moˇze da se c i  = gez , pro jektovanjem jednaˇcine na pravce cilindriˇcnih napiˇ se u obliku a = ω 2 rer , a, poˇsto je f z ˇ d dobijaju se sledeće skalarne jednaˇcine: ortova

−

−

a H ∂p 2 = ρω r , c ´ ∂r i 1 ∂p v 0 = , o r ∂ϕ z ∂ p e l 0 = ρg . ∂z E . Iz S druge od ovih jednaˇ cina sledi da pritisak ne zavisi od ugla ϕ, ˇsto se iz simetrije i oˇcekuje. Iz tre´ ce jednaˇcine se zakljuˇcuje da je p(r, z ) = ρgz + F (r), gde je F (r) neka funkcija od r, koja se 0 odreduje 1 zamenom dobijenog izraza za p u prvu jednaˇcinu. Na taj naˇcin se dobija jednaˇcina 0 2 dF ρω 2 r = , c dr 

−

− − − −


odakle je F (r) = 12 ρω2 r2 + C , gde je C integraciona konstanta, tako da je konaˇ cno pritisak unutar teˇcnosti jednak 1 p(r, z ) = ρω 2 r2 ρgz + C . 2 Ako koordinatni poˇcetak postavimo u najniˇzu taˇcku graniˇcne povrˇsine, onda je za z = 0 i r = 0 pritisak jednak atmosferskom pritisku p 0 , pa se iz dobijenog izraza za pritisak dobija da je C = p 0 . Naravno, i za sve ostale taˇcke graniˇcne povrˇsine izmedu teˇcnosti i vazduha vaˇzi da je pritisak jednak p0 1 , ˇsto znaˇci da je p(r, z = z G (r)) = p 0 , gde smo sa z = z G (r) oznaˇcili jednaˇcinu graniˇcne povrˇsine. Odatle je ω2 2 z = r , 2g ˇsto znaˇci da usled rotacije graniˇcna povrˇsina teˇcnosti dobija oblik rotacionog paraboloida.

−

1

o e T

Ako bi se pritisak kojom teˇcnost deluje na graniˇcnu povrˇsinu razlikovao od pritiska ko jim atmosfera deluje na nju, javila bi se rezultujuća sila koja bi dovodila do promene oblika graniˇcne povrˇsine, ˇsto nije dozvoljeno poˇsto smo pretpostavili da se teˇcnost kreće kao kruto telo.

11.2.

ˇ OSNOVNI DINAMI CKI ZAKON ZA KONTINUUM

11.2

155

Osnovni dinamiˇ cki zakon za kontinuum

Ako uoˇcimo malu supstancijalnu zapreminu unutar proizvoljne kontinualne sredine, onda osnovna jednaˇcina dinamike za takvo telo ima oblik

A J I Z R E  V a k i n   A a h e N m D a k A s j i R e o r  + ∆F  povr , ∆ma = ∆mf

(11.10)

 srednja gustina zapreminske sile gde je ∆m masa unutar uoˇcene zapremine ∆V , a ubrzanje tela, a f koja deluje na telo. Ako je ∆S ukupna povrˇsina koja ograniˇcava uoˇceno telo, ukupna povrˇsinska  povr koja deluje na telo jednaka je sila ∆F

  P ·  P ·  P ·  ·    · P   ·     ·       P · 3

 povr = ∆F

˜ ndS =

 ndS = P

∆S

∆S

3

=

˜ dS  =

∆S

3

 ) (ei dS

 )ei (ei dS

∆S i=1 3

3

 = (P ji ei ) dS

e j

 ) ˜ ei (ei dS

=

i=1

∆S 3

3

e j P ji =

˜

3

div

e j

P ji ei dV

j=1 j=1 j=1 i=1 c ´ ∆S i=1 ∆S i=1 ∆V i z 3 ˇ d = (11.11) e j div( ˜ † e j )dV , a H ∆V j=1 c ´ i gde smo iskoristili oznaku za divergenciju tenzora, koja se u opˇstem sluˇcaju za proizvoljni tenzor ˜ v o u trodimenzionalnom prostoru definiˇse kao z e 3 l ˜ ˜ E div = = (11.12) ei div( ˜ei ) . . i=1 S 0simetriˇcnosti tenzora napona dalje imamo Zbog 1 0 2  povr = ∆F div ˜ † dV = div ˜ dV , (11.13) c 

A

A ∇A

A

P

P

∆V

odakle je

∆V

 povr = ∆V div ˜ , ∆F

 P

(11.14)

gde smo sa div ˜ oznaˇcili srednju vrednost divergencije tenzora napona u uoˇcenoj supstancijalnoj zapremini. Vraćanjem ovog izraza u jednaˇcinu (11.10), njenim deljenjem sa ∆m, konaˇcno u limesu ∆V 0 dobijamo osnovni dinamiˇ cki zakon za kontinualnu sredinu:

 P

→

 + 1 a = f ρ

Poˇsto je

T

a =

∇P ˜ .

dv ∂v = + (v dt ∂t

· ∇)v ,

(11.15)

(11.16)

eksplicitnije ova jednaˇcina ima oblik

∂v + (v ∂t

· ∇)v = f  + 1ρ ∇P ˜ .

(11.17)

156


A J I Z R  E  a V n k i


To je vektorska parcijalna diferencijalna jednaˇcina u kojoj su nezavisne promenljive prostorne koordinate i vreme, a nepoznata funkcija brzina. U opˇstem sluˇcaju, medutim, ni gustina ρ ni elementi tenzora napona nisu poznati, tako da je svaku konkretnu sredinu potrebno modelirati, tj. na neki naˇcin dovesti tenzor napona u vezu sa brzinom dodatnim jednaˇcinama (tzv. konstitutivne ˇ se zapreminskih sila tiˇce, one su u ovom kontekstu po pravilu poznate. jednaˇcine). Sto

c ´ i z ˇ ZADACI d a Zadatak 11.2.1. U Ox1 x2 x3 koordinatnom sistemu tenzor napona ˜ u nekoj taˇcki reprezentovan H je ´ matricom c i 2 4 3 v o = 4 0 0 MPa . z e 3 0 1 l E a) Naći vektor napona koji u toj taˇcki deluje na elementarnu povrˇsinu paralelnu ravni x + 2y + . S2z 6 = 0, kao i intenzitet njegove normalne komponente.  0 b) Ako je e1 = (2e1 + 2e2 + e3 )/3 i e2 = (e1 e2 )/ 2, naći 12 . 1 0 Zadatak 11.2.2. Tenzor napona reprezentovan je matricom 2 c 0 100x1 100x2 

P

 

P

−

A  h a    e N m D a k A s j i R r −

−

P =

100x1 100x2

−

√

0 0

P

−

0 0

.

√

Naći vektor napona koji deluje na ravan koja prolazi kroz taˇcku (1/2, 3/2, 3), a tangentna je na cilindriˇcnu povrˇsinu x21 + x22 = 1 u toj taˇcki.

Zadatak 11.2.3. Teˇcnost gustine ρ nalazi se u rezervoaru, ˇciji je popreˇcni presek prikazan na slici 11.3. Naći ukupnu silu pritiska na zakrivljeni deo zida rezervoara, ˇsirine L (duˇz z -ose).

o e T

Zadatak 11.2.4. Ispitati da li matrica ˇciji su elementi P 11 = x22 + ν (x21 x22 ) , P 22 = x21 + ν (x22 x21 ) ,

− −

P 12 = 2νx1 x2 , P 23 = P 13 = 0 ,

−

P 33 = ν (x21 + x22 )

moˇze da reprezentuje tenzor napona u sredini ˇciji se delići nalaze u ravnoteˇzi, a zapreminskih sila nema.


Glava 12 Fluidi 12.1

Viskozni fluidi

c ´ Pri kretanju fluida realno postoje tangencijalni naponi i oni su u vezi sa viskoznoˇs´ cu, tj. unu i z ˇ traˇ snjim trenjem. Usled uzajamne interakcije brˇze ˇcestice fluida teˇze da povuku sporije, tako da se d javljaju a tangencijalni naponi izmedu slojeva fluida koji se kreću razliˇcitim brzinama. Takode, usled toplotnog kretanja pri sudaru ˇcestica iz slojeva razliˇcitih brzina ili pri prelasku ˇcestica iz jednog H u ´ drugi c sloj dolazi do razmene impulsa, ˇsto se takode manifestuje kroz postojanje tangencijalnih i napona. v Prvi mehanizam nasta janja viskoznosti je dominantan kod teˇcnosti, a drugi kod gasova. o je da u oba sluˇcaja viskoznost zavisi od temperature. Kako se sa porastom temperature Jasno z e pove´ cava rasto janje medu ˇcesticama, kod teˇcnosti se viskoznost smanjuje sa porastom temperature. l E Kod gasova se, naprotiv, usled intenziviranja toplotnog kretanja, sa porastom temperature povećava . razmena S impulsa izmedu slo jeva, a samim tim sa temperaturom se povećava i viskoznost. 0 1 0 12.2 Navije-Stoksovi fluidi 2 c U opˇstem sluˇcaju, postojanje tangencijalnih napona znaˇci da tenzor napona ima oblik 

A a h e N m D a k A s j i R r P ˜ = − pE ˜ + P ˜ , 

(12.1)

gde je ˜ tzv. tenzor viskoznosti . Mi ćemo ovde detaljnije razmotriti samo sluˇcaj Navije-Stoksovih fluida, kod kojih tenzor viskoznosti ima oblik

P

P ˜ = 2η ˜K + ξ K˜ , 

1

2

(12.2)

gde su η i ξ dinamiˇcki koeficijenti viskoznosti (koje smatramo konstantama), a

o e T

S ˜ = K˜ + K˜ , K˜ = 13 (∇v)E ˜ . 1

2

2

(12.3)

Iz definicije tenzora ˜2 sledi da on predstavlja deo tenzora brzine deformacije koji je u vezi sa deformacijama pri kojima ne dolazi do iskoˇsenja, tj. promena oblika (poˇsto nema vandijagonalnih elemenata), već samo do promena zapremine (tzv. izotropne deformacije), pri ˇcemu je

K

Tr ˜2 =

˜ . K ∇v = TrS 157

158

GLAVA 12. FLUIDI

Ako pri kretanju ne dolazi do promena zapremine, onda je ˜2 = 0, pa se tenzor brzine deformacije svodi na tenzor ˜ 1 , tj. ˜ 1 predstavlja onaj deo tenzora brzine deformacije koji je u vezi sa deformacijama pri kojima dolazi samo do promene oblika, a ne i zapremine (tzv. ekvivolumne deformacije). Razmotrimo kako izgleda tenzor viskoznosti u sluˇ caju jednostavnog polja brzine oblika v = v(x2 )e1 . Lako se proverava da je pri ovakvom kretanju fluid nestiˇsljiv, ˇsto znaˇci da je

K

K

K

A J I     Z   R E a V k i   n A a h e N  m D a     k A s j i R r     ˜

P

   

0 1 0 1 0 0 , 0 0 0

dv = 2η ˜ = η dx2

S

 visk koja deluje na elementarnu povrˇsinu dS  = dSe2 jednaka pa je sila viskoznosti d F  visk = ˜  dS  = dSη dv e1 , dF dx2

P

odakle c je ´

i  visk z ˇ dF dv = η . d dS dx2 a H -rezultat poznat je kao Njutnov zakon viskoznosti . Ovaj c ´ i v o 12.2.1 Navije-Stoksova jednaˇ cina z e l Da bismo dobili eksplicitan oblik osnovnog dinamiˇckog zakona za Navije-Stoksove fluide potrebno E je da . izraˇcunamo divergenciju tenzora viskoznosti, odnosno divergencije tenzora ˜ 1 i ˜2 . Divergencija tenzora ˜2 jednaka je S 0 3 3 1 1 1 1 ∂ ˜2 = 0 (divv ) = graddivv , (12.4) ei div((divv )ei ) = ei 2 3 i=1 3 i=1 ∂x i 3 c 

K K

K

∇K

a divergencija tenzora ˜ 1 :

K

3

∇K˜ = ∇S˜ − ∇K˜ = 1

S − 13 graddivv .

ei div( ˜ei )

2

i=1

(12.5)

Poˇsto je

3

˜ei =

o e T

S

j=1

3

1 e j = ji  2 j=1

S

∂v j ∂v i + ∂x i ∂x j

e j ,

(12.6)

sledi da je

3

1 div( ˜ei ) = div 2 j=1

S

1 = 2

∂v j ∂v i + ∂x i ∂x j

3

1 ∂ e j = 2 j=1 ∂x j

        3

∂ ∂x i j=1

∂v j ∂x j

3

+

j=1

∂ 2 vi ∂x j2

1 = 2

∂v j ∂v i + ∂x i ∂x j



∂ divv + ∆vi , ∂x i

(12.7)

159

12.2. NAVIJE-STOKSOVI FLUIDI

koeficijent [jedinice]

vazduh

] η [ kg ms

−5

1.8

× 10 1.5 × 10

2

ν [ ms ]

−5

voda

1.1

× 10 1.1 × 10

ˇziva

−3

−6

1.6

maslinovo ulje

glicerin

0.10

2.33

−6

× 10 1.2 × 10

A J I  Z R E a V n k i −7

1.1

−4

× 10

1.8

× 10

−3

Tabela 12.1: Vrednosti dinamiˇckog i kinematiˇckog koeficijenta viskoznosti za neke supstance na temperaturi T = 288 K. pa je 3



1 div ˜ = ei 2 j=1

S

∂ divv + ∆vi ∂x i

1 = (graddivv + ∆v ) , 2

(12.8)

c ´ i z ˇ odnosno d 1 1 a div ˜ 1 = graddivv + ∆v . (12.9) 6 2 H c ´ Onda i je divergencija tenzora viskoznosti v o z ˜  = η + ξ div graddivv + η∆v , (12.10) e 3 l E pa osnovni dinamiˇcki zakon dobija oblik jednaˇcine . S ∂v 0  1 grad p + η + ξ graddivv + η ∆v , + (v ) v = f (12.11) 1 3ρ ∂t ρ ρ 0 2 cina. Ako je gustina konstantna, onda Navije– poznate c pod nazivom Navije–Stoksova jednaˇ  Stokosov fluid nazivamo Stoksovim fluidom, a iz Navije–Stoksove jednaˇcine sledi tzv. Stoksova jednaˇ cina:

K

P

A a h e N m D a k A s j i R r ·∇

∂v + (v ∂t

−

· ∇) v = f  − 1ρ grad p + ηρ ∆v .

(12.12)

ˇ Cesto se umesto kombinacije ηρ koristi tzv. kinematiˇcki koeficijent viskoznosti ν = η/ρ. U tabeli 12.1 date su uporedo vrednosti dinamiˇckog η i kinematiˇckog koeficijenta ν za neke fluide na temperaturi T = 288 K: I Stoksova i Navije-Stoksova jednaˇcina su parcijalne diferencijalne jednaˇcine, drugog reda i nelinearne, u opˇstem sluˇcaju vrlo komplikovane. U nastavku teksta na nekoliko jednostavnih primera stacionarnog proticanja fluida demonstriramo kako se moˇze reˇsiti Stoksova jednaˇcina.

o e T

Primer 12.2.1. Pod ravnim Kuetovim strujanjem podrazumeva se stacionarno proticanje Stoksovog fluida izmedu dve paralelne beskonaˇcne ravne ploˇce (slika 12.1). Zapreminske sile se zanemaruju, a fluid se kreće samo usled kretanja gornje ploˇce u sopstveno j ravni konstantnom brzinom u. Neka je rastojanje izmedu ploˇca d, a gustina fluida ρ =const. Izaberimo koordinatni sistem tako da donja ploˇca leˇzi u ravni x2 = 0, gornja u ravni x2 = d, a neka je x1 osa odredena pravcem vektora u, tj neka je u = u e1 . Pod pretpostavkom da je kretanje laminarno, tj. u slojevima (dakle da nema

160

GLAVA 12. FLUIDI

x2 u

d

A J I Z   R E a V n k i x 1

Slika 12.1: Ravno Kuetovo strujanje - Stoksov fluid stacionarno i laminarno struji kroz prostor izmedu dve velike paralelne ploˇce, usled toga ˇsto se jedna od ploˇca pomera u svojo j ravni konstantnom brzinom. znaˇcajnog meˇsanja susednih slo jeva, tj. turbulencija), kao i zbog simetrije, uzmimo da je brzina deli´ ca u fluidu oblika v = v(x2 )e1 . Onda je c ´ i

z ˇ d ∂v ∂ + (v ) v = v a v = 0 , ∂t ∂x 1 H c ´ a i poˇsto se zapreminske sile zanemaruju i nema gradijenta pritiska, Stoksova jednaˇcina se svodi na v o d2 v z ∆ = 0 =0, (12.13) v e l dx22 E . sledi odakle S (12.14) v(x2 ) = C 1 x2 + C 2 . 0 1 Integracione konstante u poslednjem izrazu odeduju se iz graniˇcnih uslova – u ovom sluˇcaju to 0 su 2 tzv. uslovi slepljivanja . Naime, usled viskoznosti delići fluida neposredno uz ˇcvrstu povrˇsinu se lepe cza nju, tako da je brzina delića jednaka brzini granice (povrˇsine). U ovom sluˇcaju to znaˇci da 

·∇

⇒


je v(0) = 0, poˇsto ploˇca x2 = 0 miruje, odnosno v(d) = u, poˇsto se ploˇca x2 = d kreće brzinom u. Zamenom ovih graniˇcnih uslova u dobijeni izraz za profil brzine, dobijamo dve jednostavne algebarske jednaˇcine, ˇcijim reˇsavanjem nalazimo konstante C 1 i C 2 , tako da je konaˇcno v =

u x2e1 . d

(12.15)

Primer 12.2.2. Pod Poazejevim strujanjem podrazumeva se stacionarno laminarno proticanje Stoksovog fluida kroz cilindriˇcnu cev kruˇznog popreˇcnog preseka polupreˇcnika R, usled delovanja konstantnog gradijenta pritiska u pravcu ose cevi. Zbog simetrije problema najzgodnije je raditi u cilindriˇ cnim koordinatama, koje su uvedene tako da se z -osa poklapa sa osom cilindra. Pretpostavićemo takode da brzina fluida ima oblik v = v(r)ez . Ako zanemarimo zapreminske sile i ako je gradijent pritiska jednak grad p = Kez

o e T

Stoksova jednaˇcina

−

dv  1 p + η ∆v = f dt ρ ρ

− ∇

161

12.2. NAVIJE-STOKSOVI FLUIDI

se svodi na

1 η 0 = Kez + ∆v , ρ ρ

odnosno

A J I     Z    R   E     V  a k i  n  A a h e N m D a k A s j i R e o r     K ez = η

−∆v .

Laplasijan vektorske veliˇcine u krivolinijskim koordinatama moˇze da se izraˇcuna koriˇsćenjem identiteta rotrotv = graddivv ∆v , (12.16)

−

ˇsto se u ovom sluˇcaju, zbog nestiˇsljivosti fluida, tj. uslova divv = 0, svodi na ∆v =

−rotrotv .

Poˇ sto je c ´ i

1 1 z ˇ er eϕ 1r ez er eϕ 1r ez r r d dv ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ rotv = ∂r = ∂r = eϕ a ∂ϕ ∂z ∂ϕ ∂z dr H 0 0 v(r) vr rvϕ vz c ´ i sledi vda je 1 o er eϕ 1r ez r z 1 d dv ∂ ∂ ∂ e ∆v = rotrotv = ∂r = r ez l ∂ϕ ∂z dr r dr dv E 0 r dr 0 . Sda se konaˇcno iz Stoksove jednaˇcine dobija sledeća obiˇcna diferencijalna jednaˇcina: tako 0 1 1 d dv(r) K 0 = r , 2 dr η r dr c 

−

−

−

Iz ove jednaˇcine prvo sledi

r

dv(r) = dr

a zatim

v(r) =

K − 4η r

K − 2η r

2

2

+ C 1 ,

+ C 1 ln r + C 2 .

Ukoliko bi integraciona konstanta C 1 bila razliˇcita od nule, to bi znaˇcilo da delići fluida na osi cevi ima ju beskonaˇcno veliku brzinu, ˇsto fiziˇcki nije realno - to znaˇci da konstanta C 1 mora biti jednaka nuli. Drugu integracionu konstantu C 2 odredujemo iz graniˇcnog uslova za r = R: v(R) = 0, odakle je C 2 = K R2 /4η, pa se konaˇ cno za brzinu dobija izraz

T

KR2 1 v(r) = 4η

−

r R

2

.

(12.17)

162

GLAVA 12. FLUIDI


Slika 12.2: Poazejevo strujanje - Stoksov fluid laminarno i stacionarno struji kroz cev usled posto janja konstantnog gradijenta pritiska u pravcu ose cevi.

c ´ i z ˇ 12.3 Idealan fluid d a Realni fluidi su u većoj ili manjoj meri viskozni, medutim ˇceste su situacije kada viskoznost H moˇ ze da se zanemari, ˇsto odgovara zanemarivanju tangencijalnih napona. Formalno, to znaˇci da c ´ i tenzor v napona ima oblik: o ˜ = p ˜ . (12.18) z e l smo da ovakvo naponsko stanje odgovara fluidima koji miruju, kao i fluidima koji se kreću kao Videli Etelo, tj. kod kojih nema relativnog medusobnog pomeranja slo jeva. U ostalim sluˇcajevima, kruto . pretpostavka da naponsko stanje ima oblik (12.18) predstavlja aproksimaciju i tada kaˇzemo da fluid S opisujemo modelom idealnog fluida . 0 1 0 2 12.3.1 Ojlerova jednaˇ cina c 

P − I

A a h e N    m D a k A s j i R r Poˇsto je

3

div( p ˜ ) =

− I

3

ei div( p ˜ei ) =

i=1

− I

−

3

ei div( pei ) =

i=1

−

i=1

ei

∂p = ∂x i

−grad p ,

iz opˇste jednaˇcine kretanja za kontinualnu sredinu

o e T

∂v + (v ∂t

· ∇)v = f  + 1ρ ∇P ˜ ,

sledi diferencijalna jednaˇcina kretanja za idealni fluid

dv  1 grad p , = f dt ρ

−

(12.19)

koja se naziva Ojlerova jednaˇ cina. Ona predstavlja parcijalnu diferencijalnu jednaˇcinu, u kojoj su koordinate i vreme nezavisno promenljive, a unapred je u opˇstem sluˇcaju zadata jedino masena

12.3.

163

IDEALAN FLUID

 Gustina i pritisak mogu da se menjaju, tj. mogu da zavise i od gustina zapreminskih sila f . koordinata i vremena, tako da Ojlerova jednaˇcina u opˇstem sluˇcaju nije dovoljna za odredivanje polja brzine, već ju je potrebno dopuniti joˇs nekim jednaˇcinama. Uvek moˇze da se iskoristi jednaˇcina kontinuiteta, ali je osim nje potrebna joˇs jedna jednaˇcina, poˇsto ima ukupno pet nepoznatih funkcija (tri komponente brzine, pritisak p i gustina ρ). Takode, poˇsto se radi o parcijalnoj diferencijalnoj jednaˇcini, potrebno je znati i poˇcetne i graniˇcne uslove. Ako je graniˇcni uslov zadat na ˇcvrstom zidu (uz koji fluid struji), zbog zanemarivanja viskoznosti ne postoji razlog da se delići lepe za taj zid. Zato se uslov slepljivanja, koji vaˇ zi za Navije-Stoksove fluide, zamenjuje uslovom neprobojnosti , koji je blaˇzi. Naime, tangencijalna komponenta brzine idealnog fluida na ˇcvrstoj granici moˇze imati proizvoljnu vrednost (deli´ ci fluida mogu da klize po zidu), ali normalna komponenta brzine u odnosu na granicu mora biti jednaka nuli, jer delići ne mogu da produ kroz ˇcvrsti zid.

12.3.2


Bernulijev i Koˇ si–Lagranˇ zev integral

Ako se iskoristi vektorski identitet

c ´ i z 1 ˇ )v , (12.20) v rotv = v ( v ) = grad(v 2 ) (v d 2 a H - jednaˇcina se transformiˇse u oblik: Ojlerova c ´ i v ∂v 1 2  1 grad p , o + grad(v ) rotv = (12.21)  v f z 2 ∂t ρ e l E koji se ˇcesto naziva Gromeka-Lembova jednaˇcina . Ovaj oblik Ojlerove jednaˇcine iskoristićemo za . izvodenje tzv. Bernulijevog i Koˇsi-Lagranˇzevog integrala, koji su ponekad pogodniji od Ojlerove S jednaˇ 0cine za analizu kretanja fluida. 1 Za proticanje fluida se kaˇze da je barotropno ako je pri takvom proticanju pritisak funkcija samo 0 gustine, 2 tj. p = F (ρ). U tom sluˇcaju se moˇze uvesti funkcija pritiska I ( p) relacijom c 

×

× ∇×

− ·∇

− ×

−

A a  h e N m D a k A s j i R r I ( p) =

d p , ρ

(12.22)

pa je

gradI ( p) =

dI 1 grad p = grad p , d p ρ

(12.23)

a iz Gromeka-Lembove jednaˇcine onda sledi

o e T

∂v 1 + grad(v 2 ) 2 ∂t

− v × rotv = f  − gradI ( p) .

 = Ako su joˇs i zapreminske sile potencijalne, tj. f mase, dobija se jednaˇcina ∂v + grad ∂t



(12.24)

−gradu, gde je u potencijalna energija po jedinici

1 2 v + u + I ( p) 2



= v

× rotv .

(12.25)

164

GLAVA 12. FLUIDI


Slika 12.3: Vektor brzine je tangentan na strujnu liniju u svakoj njenoj taˇcki.

c ´ i z ˇ Bernulijev integral d a Za vizualizaciju kretanja fluida ˇcesto se koriste tzv. strujne linije, koje se definiˇsu kao linije H kod -kojih u svakoj taˇcki vektor polja brzine v ima pravac tangente na tu liniju (slika 12.3). Drugim ´ reˇ c c ima, ako sa dr oznaˇcimo infinitezimalni element strujne linije (koji, naravno, ima pravac tangente i v na o nju), onda je z dv = λdr ili dr v = 0 , (12.26) e l odakle E se dobija ju jednaˇcine . S dx1 dx2 dx3 = = (12.27) , 0 v1 (x1 , x2 x3 , t) v2 (x1 , x2 x3 , t) v3 (x1 , x2 x3 , t) 1 0 ˇcijim 2reˇsavanjem (tretira jući vreme kao parametar) moˇzemo dobiti jednaˇcine strujnih linija. Za stacionarna kretanja, kod kojih brzina ne zavisi eksplicitno od vremena, strujne linije se poklapaju c 

×

A a h e N m D a k A s j i   r R sa trajektorijama delića fluida. Pretpostavimo sada da je

∂v ∂t

• proticanje stacionarno, ˇsto znaˇci da je = 0, • zapreminske sile potencijalne, ˇsto znaˇci da je f  = −gradu, • fluid barotropan ili konstantne gustine, ˇsto znaˇci da grad p/ρ moˇze da se napiˇse u obliku gradI .

o e T

Pod ovim pretpostavkama vaˇzi jednaˇcina (12.25), koja se zbog uslova stacionarnosti svodi na grad

1 2 v + u + I 2

− v × rotv = 0 .

(12.28)

Mnoˇzenjem ove jednaˇcine elementom strujne linije dr = λv dobijamo jednaˇcinu





1 2 dr grad v + u + I = 0 , 2

·

(12.29)

12.3.

165

IDEALAN FLUID

odakle sledi





1 2 d v + u + I = 0 , 2

odnosno

(12.30)

1 2 (12.31) v + u + I = const 2 duˇz strujne linije (istovremeno i trajektorije delića, poˇsto je strujanje stacionarno), ˇsto predstavlja tzv. Bernulijev integral . Ako je gustina fluida konstantna, a jedina zapreminska sila homogena sila  = ge3 , onda je u = gx3 , I = p/ρ, pa dobijamo uobiˇcajenu, iz opˇstih kurseva gravitacije gustine f cinu: fizike poznatu Bernulijevu jednaˇ


−

1 2 p v + gx 3 + = const . 2 ρ

(12.32)

Iz naˇcina na koji je Bernulijev integral izveden i ˇcinjenice da Stoksova jednaˇcina u sluˇcaju kada je rotv = 0 dobija oblik Ojlerove jednaˇcine (poˇsto je ∆v = rotrotv ), sledi da Bernulijev integral vaˇ z c i duˇz strujne linije (i trajektorije delića) ne samo za idealan fluid, već i za Stoksov fluid koji ´ i struji ω = 12 rotv = 0). z bezvrtloˇzno ( ˇ

−

d a Koˇ si–Lagranˇzev integral H c ´ i Koˇsi–Lagranˇzev integral odnosi se bezvrtloˇzno proticanje barotropnih fluida u polju potencijal v nih o zapreminskih sila. Bezvrtloˇ zno strujanje fluida, pri kome po definiciji vaˇzi da je z e 1 l (12.33) ω = rotv = 0 ,  2 E . naziva S se joˇs i potencijalno, poˇsto je poznato [3] da iz uslova rotv = 0 sledi da postoji skalarna funkcija 0 Φ, takva da je 1 (12.34) v = gradΦ . 0 2 Φ se u ovom kontekstu naziva potencijal brzine. Dakle, u ovom sluˇcaju zadovoljeni su Funkcija c uslovi 

A a h e N m D a k   A s j i R r • proticanje je bezvrtloˇzno (rotv = 0), • zapreminske sile potencijalne ( f  = −gradu), • fluid barotropan (grad p/ρ = gradI ),

pa se jednaˇcina (12.25) svodi na

o e T

odakle zakljuˇcujemo da zbir vremena, tj. funkcija

grad

∂ Φ ∂t

∂ Φ 1 2 + v + u + I ( p) 2 ∂t

=0,

(12.35)

+ 12 v 2 + u + I ( p) ne zavisi od prostornih koordinata, vec samo od

∂ Φ 1 2 + v + u + I ( p) (12.36) 2 ∂t u fiksiranom trenutku t u svakoj taˇ cki prostora ima istu vrednost. Ovaj integral je poznat kao Koˇsi–Lagranˇzev integral ili nestacionarni Bernulijev integral . F (t) =

166

GLAV GLAVA 12. FLUIDI


Slika 12.4: Toriˇcelijeva celijeva teorema: teorema : primenom primeno m Bernulijeve Bernulije ve jednaˇcine cine lako se nalazi nala zi da je j e brzina isticanja istican ja teˇcnosti cnosti iz velikog rezervoara jednaka v = 2gH . gH .

√

c 12.3.1. Ukoliko je strujanje barotropnog fluida u potencijalnom polju zapreminskih sila ´ Primer i z zno i staciona ˇ bezvrtloˇ bezvrt s tacionarno, rno, onda se Bernulijev B ernulijev i Koˇ K oˇsi-Lagranˇ si-Lag ranˇzev zev integral i ntegral poklapa pokl apaju. ju. Iskoristimo Iskoristi mo ih ih dloˇzno za a nalaˇzenje zenje brzine isticanja teˇ cnosti cnosti konstante konstante gustine iz velikog velikog rezervoara rezervoara (slika (slika 12.4). 12.4). Otv Otvor H kroz cnost istiˇce ce je vrlo mali i nalazi se na dnu rezervoara, rezervoara, u odnosu na koji ćemo cemo meriti -koji teˇcnost c nivoa teˇcnosti. ´ visinu cnosti. Poˇsto sto je rezervoar veliki, moˇzemo zemo da pretpostavimo pretp ostavimo da se slobodn slob odnaa povrˇsina sina i teˇcnosti c v nosti (koja se nalazi n alazi na visini x3 = H ) s poro spuˇsta, sta, tako da je brzina delića ca na tom nivou pri H ) sporo o bliˇ zno zno jednaka nuli. Pritisak Pritisa k je jednak atmosferskom atmosfe rskom kako na slobodn slob odnoo j povrˇ p ovrˇsini sini teˇcnosti, cnosti, tako i na z e l gde teˇcnost mestu cnost curi iz rezervoara, rezervoara, pa ako primenimo (12.32) 12.32) na n a bilo b ilo koje dve taˇcke cke na visinama visinam a = H i x3 = 0, lako dobijamo da je traˇzena zena brzina jednaka jednaka v = 2gH . Ovaj Ovaj rezult rezultat at poznat je x3 E . kao Toriˇ kao Toriˇcelije cel ijeva va teorema teorem a . S

A a h e N m D a k   A s j i R r

√

0 1 0 ZADACI 2 c  Kro z jako dugaˇcku cku nepokretnu nepo kretnu cilindriˇ cilindr iˇcnu cnu cev, ˇciji ciji popreˇcni cni presek ima oblik Zadatak 12.3.1. Kroz elipse

x2 y 2 + =1, a 2 b2 pod delovanjem konstantnog gradijenta pritiska grad p grad p = Kez u pravcu ose cilindra, stacionarno i laminarno lamina rno teˇce ce Stoksov Sto ksov fluid, flu id, koeficijenta viskoznosti viskoznost i η i gustine ρ.. Pretpostavlja Pretpo stavljaju´ jući ci da zapremins za preminske ke η i gustine ρ sile mogu da se zanemare, kao i da polje brzine ima oblik

o e T

= C 1 v = C

x 2 a2

− −

y 2 ez , b2

konstantu C ;; (b) izraˇcunati cunati protok kroz popreˇ popr eˇcni cni presek cevi (uputstvo: uvesti smenu (a) odrediti konstantu C promenljivih x = ar = ar cos θ i y = br sin θ); (c) izraˇcunati cunati silu viskoznog trenja kojom fluid deluje na jediniˇcnu cnu duˇzinu zinu cevi. gustine ρ i koeficijenta viskoznosti η viskoznosti η,, u homogenom gravitacionom Zadatak 12.3.2. Stoksov fluid gustine ρ polju stacionarno protiˇce ce kroz prostor izmedu izmedu dve beskonaˇcno cno velike ravne paralelne paralel ne ploˇce, ce, koje

12.3. 12.3.

167

IDEALA IDEALAN N FLUI FLUID D

sa horizontalnom ravni zaklapaju ugao θ. Ploˇce ce miruju, m iruju, nalazeći ci se na medusobno medusob nojj udaljenos u daljenosti ti d. Uzimajući ci da brzina delića ca fluida zavisi samo od njegove njegove udaljenosti od ploˇca, ca, kao i da je pritisak neposredno nepo sredno uz donju do nju ploˇ pl oˇcu cu konstantan konsta ntan i jednak p jednak p 0 , naći ci profil brzine u fluidu, kao i silu kojom fluid deluj del ujee na jedin jed iniˇ iˇcnu cnu povrˇ po vrˇsinu si nu donje do nje ploˇ pl oˇce. ce.

A J I   Z R E a V n k i A a h e N m D a k A s j i R e o r gustine ρ i i koeficijenta viskoznosti η viskoznosti η,, ispunjava ceo prostor oko jako Zadatak 12.3.3. Stoksov fluid, gustine ρ dugaˇ du gaˇckog cko g cilin ci lindr draa p olup ol upreˇ reˇcnika cn ika R, ˇcija cija je osa vertikalno vertikalno postavljena u homogenom gravitacionom polju g . Cilindar Cilindar rotira oko svoje ose konstan konstantnom tnom ugaonom brzinom brzinom Ω. Pretpostav Pretpostavljaju´ ljajući ci da je u fluidu uspostavljeno stacionarno polje brzine, oblika v = v (r )eϕ , gde su (r,ϕ,z (r,ϕ,z ) cilin cil indr driˇ iˇcne cne koordinate (osa z (osa z se se poklapa sa osom cilindra) i  i g = gez , na´ naći ci (a) (a ) v( pritisak p u u fluidu, ako v (r); (b) pritisak p je poznato da je za z = = 0, na jako velikim rastojanjima (r (r ) od cilindra p = p0 ; (c) moment viskozne sile, kojom fluid deluje na jedinicu duˇzine zine cilindra.

−

→ ∞

cnim koordinatama ima oblik Zadatak 12.3.4. Potencijal brzine Φ u cilindriˇcnim R 2 Φ(r,ϕ,z Φ(r,ϕ,z ) = U r + r

cos ϕ . c ´ i z ˇ d (a) zadovoljavaa Laplasovu jednaˇcinu cinu ∆Φ = 0. aUveriti se da Φ zadovoljav H - Uveriti se da polje brzine v = Φ zadovoljava graniˇcne (b) cne uslove za proticanje protica nje nestiˇsljivog sljivog c ´ i idealnog fluida oko nepokretnog ˇcvrstog cvrstog cilindra r = R. Kolik Kolikaa je brzin brzinaa fluid fluidaa na jako jako v velikim rastojanjima o d takvog takvog cilindra? cilindra? ovelikim z e l (c) Ako nema zapreminskih sila, a poznato je da je pritisak na jako velikim rastojanjima od Ecilindra jednak p jednak p ∞ , naći ci pritisak pr itisak u bilo b ilo kojo j taˇcki cki fluida, ako je gustina gustin a fluida fl uida ρ ρ.. . S (d) Izraˇcunati cunati silu kojom kojo m fluid deluje na jediniˇcnu cnu duˇzinu zinu cilindra. cilindra . 0 1 0 2 c 

∇

T

168

GLAV GLAVA 12. FLUIDI




A J I Z R E  V k a i n A a h e N m D a k A s j i R e o r Glava 13

Elastiˇ cno telo

13.1 13.1

Vektor ektor pomera pomeranja nja i tenzo tenzorr defor deformac macije ije

c ´ Za opisivanje opisivanje kretanja unutar ˇcvrstih cvrstih deformabilnih tela pogodnije je koristiti Lagranˇzev zev nego i z ˇ Ojlerov Ojle rov formalizam, formalizam, zbog male pokretljivos pokretljivosti ti deli´ delića ca takvih takvih tela. U skladu skladu sa tim, umesto umesto ten d ˜ zora cno se koristi tzv. tenzor ko ji se definiˇ defi niˇse se pomo´ po moću cu tenzor deformacij deformacije e koji abrzine deformacije obiˇcno vektora vek tora pomeranja pomeranja u(X 1 , X 2 , X 3 , t). Ako se delić u poˇcetnom cetnom trenutku t = 0 nalazio u taˇcki cki H  ´ c = (X 1 , X 2 , X 3 ), onda se u proizvoljnom trenutku t trenutku t on nalazi nal azi u taˇcki  cki x, pri ˇcemu ce mu vaˇzi: X i v  , t) = X  +  , t) , x(X  , 0) = X  , o + u(X (13.1) x(X z e a l elementi el ementi tenzora deformacije deforma cije se definiˇ d efiniˇsu su kao E . 1 ∂u i ∂u j S + (13.2) . ij = 2 ∂X j j ∂X i 0 1 Fiziˇ cki cki smisao ovog tenzora analogan je smislu tenzora brzine deformacije. Moˇze ze se pokazati da 0 je 2 njegov dijagonalni element ii jednak relativnoj promeni duˇzine zine (koja (ko ja se s e desi za infinitezimalno c kratko cetnom trenutku leˇze ze u pravcu pravcu xi vreme) infinitezimalnih supstancijalnih duˇzizi koje u poˇcetnom

D

D

D

koordinatne ose, a dok je dijagonalni element ij (i = j ) jednak polovini promene ugla izmedu izme du infinitezimalnih supstancijalnih duˇzi zi koje u poˇcetnom cetnom trenutku ima ju pravce pravce koordinatnih osa x osa x i i (zadaci 13.3.1 i 13.3.2). 13.3.2). x j (zadaci 13.3.1

D

13.2 13.2



Genera Generalis lisani ani Huko Hukov zakon zakon

e last stiˇ iˇ cno cn o tel t elo o koje se usled delovanja Najjed Na jjednos nostavni tavniji ji sluˇcaj ca j cvrste cˇvrs te deform def ormabi abilne lne sredin sr edinee je tzv. ela delovanja spoljaˇ sp oljaˇsnjih snji h sila si la defor d eformiˇ miˇse, se, ali se vra´ v raća ca u svoje svo je prvobit pr vobitno no stan s tanje je nakon n akon prestanka pres tanka delovanja d elovanja spoljaˇ sp oljaˇsnjih snji h sila. Ako je pri tome

• tenzor tenzor napona u nekoj nekoj taˇ cki cki i nekom nekom trenutku trenutku funkcija funkcija samo tenzora deformaci deformacije je u toj istoj

T

taˇcki cki i istom trenutku, a tenzor napona jednak nuli ako nema deformacije (idealno elastiˇcno cno telo),

• razmatramo samo linearne fenomene (tj. elementi tenzora napona su linearne funkcije elemenata tenzora deformacije),

169

ˇ GLAVA 13. ELASTI CNO TELO

170

A J I Z   R E a V   k i   n A a h e N m D a k A s j i R e o r Slika 13.1: Malo supstancijalna zapremina u obliku cilindra unutar elastiˇcne neprekidne sredine.

c sredina je homogena i izotropna, ´ i z ˇ moˇ ze se pokazati da je veza izmedu tenzora napona i tenzora deformacije oblika d a ˜ = λ Tr ˜ ˜ + 2µ ˜ . H (13.3) c ´ i U v ovom izrazu ˜ je jediniˇcni tenzor, λ i µ su tzv. Lameove konstante, a sama jednaˇ cina se naziva o z generalisanim Hukovim zakonom. e l Uoˇcimo elastiˇcno telo u obliku cilindra ˇcija osa leˇzi na x 3 koordinatnoj osi (slika 13.1), a visina E mu je jednaka l i neka je tenzor napona reprezentovan matricom . S 0 0 0 0 = 0 0 0 . (13.4) 1 0 0 0 p 2 c cavanjem dijagonalnih elemenata ovakvog tenzora sa odgovarajućim izrazima koji se dobijaju Izjednaˇ 

•

P

D E

D

E

P

iz generalisanog Hukovog zakona (13.3) dobija ju se jednaˇcine 0 = λTr ˜ + 2µ 0 = λTr ˜ + 2µ p = λTr ˜ + 2µ

D D D

, 22 , 33 ,

D D D

11

(13.5)

iz kojih sledi

µ(3λ + 2µ) (13.6) 33 . λ + µ Poˇsto je u ovom sluˇcaju p jednako normalnoj sili F koja u pravcu x3 deluje po jedinici povrˇsine S osnove cilindra, onda poslednja jednakost moˇze da se prepiˇse kao p =

T

∆l F = E , S l

D

E =

µ(3λ + 2µ) λ + µ

(13.7)

gde je ∆l promena duˇzine cilindra usled delovanja sile F , a E Jungov moduo. U ovom sluˇcaju smo, dakle, dobili uobiˇcajeni Hukov zakon.

13.3.

ˇ ˇ OSNOVNA JEDNACINA DINAMIKE ZA ELASTI CNO TELO

13.3

171

Osnovna jednaˇ cina dinamike za elastiˇ cno telo

Polazeći od generalisanog Hukovog zakona (13.3) divergenciju tenzora napona, koja nam je potrebna za formiranje osnovne jednaˇcine dinamike dobijamo na slede´ ci naˇcin. Ako se tenzor napona prepiˇse u obliku

P


 D E D −  D E 

˜ = (3λ + 2µ) 1 Tr ˜ 3

˜ + 2µ

˜

1 Tr ˜ 3

˜

,

(13.8)

onda se vidi da postoji analogija sa izrazom za tenzorom viskoznosti Navije–Stoksovog fluid, s tim ˇsto ovde umesto tenzora brzine deformacije figuriˇse tenzor deformacije. Takode, uzimajući u ∂ obzir da se delići malo udaljavaju od svojih ravnoteˇznih poloˇzaja, pribliˇzno vaˇ zi ∂x∂ i , pa ∂X i divergencija tenzora napona moˇze da se izraˇ cuna analogno divergenciji tenzora viskoznosti. Osim toga, u Lagranˇzevim koordinatama je dv ∂ 2 u = 2 , dt ∂t c ´ i pa ˇ se, uzimajući sve to u obzir, ispostavlja da osnovna jednaˇcina dinamike u ovom sluˇcaju ima oblik z

≈

d a ∂ 2u  + µ∆u + (λ + µ)graddivu , (13.9) ρ 2 = ρf H ∂t c ´ i gde se parcijalni izvodi u ’∆’ i ’graddiv’ raˇcunaju po Lagranˇzevim koordinatama. v o z e l ZADACI E .  = dSe1 , do Zadatak 13.3.1. Pokazati da je relativna promena duˇzine supstancijalne duˇzi dX S


∂u koje dode za infintezimalno kratko vreme dt jednaka dijagonalnom elementu calD11 = ∂X tenzora 0 1 deformacije (raˇcunatom u poˇcetnoj taˇcki uoˇcene supstancijalne duˇzi), pod pretpostavkom da je 0 ∂u i 1. 2 ∂X j

| |

1

1

c   1 = dS 1e1 i dX  2 = dS 2e2 , koje u nekom trenutku Zadatak 13.3.2. Uoˇciti supstancijalne duˇzi dX ima ju zajedniˇcki poˇcetak. Pokazati da je

π 2

D ≈ −2 Θ , 12

gde je Θ ugao izmedu uoˇcenih supstancijalnih duˇzi u bliskom sledećem trenutku, pod pretpostavkom ∂u i da je ∂X 1. j

| | 

o e  T

Zadatak 13.3.3. Kroz elastiˇcnu sredinu prostire se longitudinalni talas u = ue1 = ε sin

2π (X 1 l

− c t)e L

1

,ε

 l.

Pretpostavljajući da se zapreminske sile mogu zanemariti, kao i da se gustina sredine malo menja pri prostiranju ovakvog talasa kroz nju, tj. ρ ρ0 , pokazati da je fazna brzina talasa jednaka . cL = λ+2µ ρ 0

≈

ˇ GLAVA 13. ELASTI CNO TELO

172

Zadatak 13.3.4. Za transverzalni talas u = ue2 = ε sin

2π (X 1 l

−c

e2 T t)

,ε

 l,


koji se prostire kroz elastiˇcnu sredinu, pri ˇcemu je ρ = ρ 0 , pokazati da je cT = zapreminske sile.





µ , ρ0

zanemarujući

A J I Z R E a V k i   n A a h e N m D a k A s j i R e o r Glava 14

Reˇ senja zadataka 14.1

Opisivanje kretanja

r c ´ iz izraza za v 1 sledi: Reˇ senje 10.5.1. (i) Poˇsto je v = d i dt z ˇ d dx dx1 a v1 = 1 = K x1 = K dt ln x1 = K t + const x1 = C 1 eKt , dt x1 H c ´ gde ise integraciona konstanta odreduje iz poˇcetnog uslova x 1 (0) = X 1 , odakle je v o x1 (t) = X 1 eKt . z e l Na sliˇcan naˇcin je: E . dx2 dx2 S = K x 2 (1 + 2 t/τ ) = K (1 + 2 t/τ ) dt v2 = dt x 2 0 1 t 2 0 ln = K + const x t + x2 = C 2 eK (t+t /τ ) 2 2 τ c  odnosno x2 (t) = X 2 eK (t+t /τ ) .

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

2

⇒

2

Takode, iz v 3 = 0 sledi da je x 3 = X 3 . (ii) Zamenom dobijenih izraza za xi (t) u polje brzine dobija se izraz za brzinu u Lagranˇzevim promenljivim (X 1 , X 2 , X 3 ): v1L = K X 1 eKt ,

2

v2L = K X 2 (1 + 2 t/τ ) eK (t+t

/τ )

,

v3L = 0 .

(iii) Poˇsto gustina ne zavisi od koordinata, već samo od vremena, iz jednaˇcine kontinuiteta sledi ∂ρ + ρ(t)divv = 0 ∂t

T

⇒

ln ρ =

⇒

dρ + 2K (1 + t/τ )ρ = 0 dt

⇒

2

dρ = ρ

−2K (1 + t/τ )dt ⇒

ρ = C 3 e−2K [t+t

−2K [t + t /(2τ )] + const ⇒

gde se konstanta C 3 odreduje iz uslova ρ(t = 0) = ρ0 , tako da je konaˇcno 2

ρ(t) = ρ 0 e−2K [t+t 173

/(2τ )]

.

2

/(2τ )]

,


174

Reˇsenje 10.5.2 (i) Poˇsto brzina ima samo x1 komponentu, jednaˇcina kontinuiteta se svodi na jednaˇcinu ∂ρ ∂ (ρu) + = 0, ∂t ∂x 1 odakle sledi sin ωt sin ωt ∂u = ω + F (t) . u(x1 , t) = x 1 ω cos ωt 2 cos ωt 2 ∂x 1 Funkciju F (t) odredujemo iz zadatog uslova u(x1 = 0, t) = U , odakle je F (t) = U , tj. zakljuˇcujemo da se ova funkcija svodi na konstantu, pa se za bolje brzine dobija oblik

A J I  Z  R E     a V n k i A a h e N m D a   k   A s j i R e o r   − ⇒

v =



−



sin ωt + U e1 . x1 ω cos ωt 2

−

(ii) Polje ubrzanja dobija se direktnom zamenom brzine u izraz za njen supstancijalni izvod: dv

∂v

∂v

∂v

∂u

∂ u

c ´ = (v )v + = u + = e1 u + a = . i dt ∂t ∂x ∂t ∂x ∂t 1 1 z ˇ d a Poˇ sto je 1 2cos ωt ∂u H = x 1 ω 2 , 2 c ´ (cos 2) ∂t ωt i v ∂u a ∂x je izraˇcunat u delu (i), nakon ubacivanja u izraz za a i sredivanja konaˇcno se dobija o z e l ω ωx1 E 1 2cos ωt + sin2 ωt a = U sin ωt e1 . 2 cos ωt 2 cos ωt . S Reˇ senje 10.5.3. 0 1 Rezultat 10.5.6. (i) 0 2 1 Q x1 Γx2 1 Q x2 + Γ x1 c v1 = , v2 = , v3 = 0  2 2 2 2

·∇

−

−

1

−

−

−

2π

(ii)

a1 =

−

−

x1 + x2

−

2π

Q2 + Γ2 x1 , 4π2 (x21 + x22 )2

x1 + x2

a2 =

−

Q2 + Γ2 x2 4π2 (x21 + x22 )2

(iii)

S

1 = 2π(x21 + x22 )2

Q(x22 Γ(x22

2 1 2 1

2 2

2 1

− x ) + 2Γx x Γ(x − x ) − 2Qx x − x ) − 2Qx x −(Q(x − x ) + 2Γx x ) 1 2

1 2

2 2

0

1 2

2 1

1 2

0

0 0 0

(v)

(vi)

T

1 rotv = r

Q F = 2π



∂ (rvϕ ) ∂r

−

∂ vr ∂ϕ

2π

H

dϕ

0

  1 ez = r

dz = QH

0

∂ (Γ/(2π)) ∂r

−



∂ (Q/(2πr)) ez = 0 ∂ϕ

14.2.

175

SILE U FIZICI NEPREKIDNIH SISTEMA

14.2

Sile u fizici neprekidnih sistema

 n jednak je Reˇsenje 11.2.1 a) Traˇzeni vektor napona P  n = ˜ n , P

P·

A J I Z R E  V a k i    n    A   a   h e N m D a k A s j i R e o r   gde je n = (e1 + 2e2 + 2e3 )/3 ort normale uoˇcene povrˇsine, tj.  n = 1 P 3

 

2 4 4 0 3 0

     − 3 0 1

1 2 2

MPa =

 n ) ovog vektora je Normalna komponenta (P N

    5 4/3 1/3

MPa .

 n ) = P  n n = 25 MPa . (P N 9

·

c ´ i z b) ˇ d 7 2 a  MPa e1 ˜ e2 = 12 =  6 H 2 2 c ´ Reˇ s ienje 11.2.2 Ako sa f (x1 , x2 ) oznaˇcimo funkciju x1 + x 2 , onda je ort normale na povrˇsinu v 22 = 1 u proizvoljno j njenoj taˇcki x21 + x o z e gradf 2(x1e1 + x2e2 ) l = = = x 1e1 + x2e2 ,  n E gradf 4(x21 + x22 ) . S ˇsto znaˇci da je vektor napona koji deluje na ravan tangentnu na uoˇcenu povrˇsinu jednak 0 1 0 0 100x1 100x2 100x1 x2 x1 2  = 100x1 0 0 100x21 x2 = P . c  100x 0 0 0 100x x

P

|

√

·P ·

|

−

√

−

−

2

1 2

U taˇcki (1/2, 3/2, 3) je traˇzeni vektor napona onda jednak

√

 25( 3e1 + e2 P =

−

√

3e3 ) .

Reˇsenje 11.2.3 Na uoˇceni deo zida deluje teˇcnost sa unutraˇsnje strane i atmosfera sa spoljaˇsnje strane rezervoara. Neka je atmosferski pritisak jednak p0 . Pritisak u teˇcnosti jednak je p(y) = const ρgy, gde konstantu odredujemo iz uslova da je na povrˇsini teˇcnosti y = H pritisak jednak atmosferskom:

−

p(H ) = const

T

− ρgH = p ⇒ const = p + ρgH ⇒ p(y) = p + ρg(H − y) . 0

0

0

Sila kojom teˇcnost deluje na zid jednaka je  t = F

 = p dS

−

S

( p0 + ρg(H

−

S

− y))ndS ,


176 a sila kojom atmosfera spolja deluje je  a

F =

 −

)dS , p0 ( n)dS

−

S

tako da je ukupna povrˇsinska sinska sila koja deluje na zid:

A J I Z   R  E a V k  i n A a h   e N m D a k  A s j i R e o r      = F  t + F  a = F

 −

ρg( ρg(H

S

− y)ndS .

Element povrˇsine sine jednak je



√



dS = dz dl = dz (dx (dx)2 + (dy (dy)2 = dz d z dx 1 + (y ( y  )2 = dz dx 1 + 4a 4a2 x2 ,

a ort normale

2

grad(y grad(y n = grad(y grad(y

− ax ) = √ e − 2axe , | − ax )| 1 + 4a 4a x √ − dz dxρg( )(e − 2axe ) xρg(H − ax )( √ −ρgL dx(H − ax )( )(e − 2axe ) .

pa je

y

x

2

2 2

c ´ i H/a z +L z ˇ d  = F a H z 0 c ´ H/a i v o = z e 0 l E Projekcija ove sile na x-osu jednaka je . H/a S 0 dx(H F x = 2ρgLa 1 0 0 2 a na osu y:: cosu y 

2

2

y

y

x

x

√

− ax )x = 12 LρgH , 2

2

√

H/a

F y =

−ρgL

dx(H

0

− ax ) = − 23 LρgH 2

H . a

Reˇsenje 11.2.4 Ako sa f ( cim o funkciju fun kciju x21 + x + x 22 , onda je ort normale na povrˇ povrˇsinu sinu f (x1 , x2 ) oznaˇcimo 2 2 + x2 = 1 u proizvoljno j njeno n jenojj taˇcki cki x1 + x n =

gradf gradf 2(x 2(x1e1 + x + x2e2) = = x 1e1 + x + x2e2 , gradf gradf 4(x 4(x21 + x + x22 )

|

|

ˇsto sto znaˇci ci da je vektor vekto r nap n apona ona koji ko ji deluje delu je na ravan tangentnu tan gentnu na uoˇcenu cenu povrˇ pov rˇsinu sinu jednak jedn ak

T √

 = P

0 100x1 100x 100x1 0 100x 100x2 0

−100x 100x

x1 x2 0

2

0 0

−

=

−

U taˇcki ck i (1/ (1 /2, 3/2, 3) je j e traˇzeni zeni vektor napo n apona na onda jednak

√

 = 25( 3e1 + e2 P = P

−

100x 100x1 x2 100x 100x21 . 100x 100x1 x2

√

3e3 ) .

177

14.3. 14.3. FLUI FLUIDI DI

14.3

Fluidi

Reˇsenje 12.3.1 (a) Poˇsto je ∆v =  = ez ∆v =  = ez



∂ 2 v ∂ 2 v + ∂x 2 ∂y 2



=





1 1 2C 2 + 2 ez , a b

−

(14.1)

A J   I Z   R E    a    V  k  i n A a h e N m D  a k A s j i R e o r  v i ddvt = ∂ + ( (v )v = 0, zamenom u Stoksovu jednaˇcinom, cinom, iz njene pro jekcije jekcije na z –osu, –osu, direktno ∂t sledi vrednost konstante C konstante C :: K a2 b2 (14.2) C = . 2η a2 + b2 cni presek cevi jednak je (b) Protok kroz popreˇcni

·∇

−

 = ρ = ρ v dS

= ρ Q = ρ

·

S

gde je S je S po povrˇ vrˇsina si na elips eli psee c ´ i

x2 a2

+

y2 b2

v dS

S

= 1. Sa predloˇzenom zenom smenom promenljivih dalje se dobija

z ˇ 1 2π d 1 a = ρC dr dθ (1 r2 )abr = Q = ρC abr = πρabC . 2 0 0 H c ´ Iz oblika polja brzine jasno je da su svi parcijalni izvodi v1 = v x i v2 = v y komponente brzine (c) i ∂v ∂v v jednaki o nuli, kao i da ∂x = ∂z = 0, tako da je tenzor brzine deformacije reprezentovan matricom: z e ∂v l 0 0 ∂x 0 0 b2 x 1 K E 0 0 ∂v = = 0 0 a2 y . (14.3) ∂y 2 2 . 2 2η (a + b ) ∂v ∂v 2 2 bx ay 0 0 S ∂x ∂y 0 1  n = Vektor napona koji deluje na elementarnu elementarnu povrˇsinu, sinu, ˇciji ciji je ort normale n, jednak je P 0 ( 2 sinu cevi najlakˇse se se odreduje odreduje pomoću cu gradijenta funkcije p + 2η )n. Ort normale na povrˇsinu y x ( c 1, poˇsto st o jedn jednaˇ aˇcina ci na F cinu povrˇsine sine cevi. Na taj ta j F ( F  x,y,z ) = a + b F ((x,y,z ) = 0 predstavlja jednaˇcinu

−

3

3

S

− I

S

2

2

2

2

naˇ na ˇcin ci n je

−

n =

pa je

gradF gradF ((x,y,z ) , gradF gradF ((x,y,z )

|

n =

|

−

x e + by2 ey a2 x x2 a4

+

y2 b4

,

gde je znak zna k minus mi nus uzet uze t poˇ p oˇsto sto teˇcnost cnost iznutra deluje na zid zi d cevi. cev i. Sila viskoznosti viskoznost i po p o jedinici jed inici povrˇsine sine jednaka jednaka je tangencijalnoj komponenti napona, nap ona, pa je sila viskoznosti koja deluje na jediniˇ cnu cnu duˇzinu zinu cevi  visk (2η (2η )n dS , F visk =

T

S

S

gde je dS dS elementarna elementar na povrˇsina sina na cevi, a S je je povrˇ po vrˇsina si na o dseˇ ds eˇcka cka cevi cev i jedin jed iniˇ iˇcne cne duˇzine. zin e. Jano Ja no je da je dS = = dz dl, gde je dl dl duˇzina zina elementarnog elementarno g luka elipse, tj. dl =



(dx (dx)2 + (dy (dy )2 .


178

A J I Z  R   E a V n k i A a h e N m D a k A s j i R e o r Slika 14.1: 1 4.1: Slika uz u z reˇsenje senje zadatka 12.3.2 zadatka 12.3.2..

Ako p onovo iskoristimo i skoristimo predloˇzenu zenu smenu s menu promenlji p romenljivih vih elementarna povrˇsina sina posta post a je cponovo ´

i z ˇ d dS = = a2 sin2 θ + b + b2 cos2 θdθ dz , a a H traˇ zena sila viskoznosti -zena c ´ i 1 2π v K ab  dz dθ(a2 sin2 θ + b + b2 cos2 θ) = π K abez . F visk ez 2 o visk = 2 a + b 0 z 0 e l ci koordinatni koordi natni sistem kao ˇsto sto je naznaˇceno ceno na slici 14.1 po pretpostavci R E eˇsenje 12.3.2 Uvodeći . brzinu treba traˇziti zadatka ziti u obliku  obliku v = v = v((x2 )e1 , pa se nakon na kon pro jektovanja Stoksove Stok sove jednaˇcine cine na na S koordinatne koordin atne ose, dobija ju jednaˇ jed naˇcine: cine: 0 1 1 ∂p η 0 0 = sin + ∆v (14.4) g θ 2 ρ ∂x 1 ρ c 1 ∂p 

−

−

−

0 = 0 =

−g cos θ − ρ ∂x − ρ1 ∂x∂p .

(14.5)

2

(14.6)

3

Iz treće ce od ovih jednaˇ jedn aˇcina cina se zakljuˇ zakl juˇcuje cuje da pritisa prit isak k ne n e zavisi z avisi od x 3 koordinate, a iz druge onda sledi da pritisak ima oblik p( p(x1 , x2 ) = F ( F (x1 ) ρg cos θx2 ,

−

gde je F ( Poˇˇsto sto je, prema uslovu zadatka, zadatka, pritisak uz donju ploˇcu cu F (x1 ) funkcija koju treba odrediti. Po konstantan i jednak p0 , sledi da je p(x1 , x2 = 0) = p 0 , odnosno F ( cni izraz za F (x1 ) = p 0 , pa je konaˇcni pritisak (14.7) p( p(x1 , x2 , x3 ) = p 0 ρg cos θx2 .

T

−

Onda iz jednaˇ jedn aˇcine cine (14.4) 14.4) sledi d2 v = dx22

− gρη sin θ ⇒

v (x2 ) =

− gρ sin θx + C + C x + C + C , 2η 2 2

1 2

2

179

14.3. 14.3. FLUI FLUIDI DI

gde se integracione konstante C 1 i C 2 dobija ju iz graniˇcnih cnih uslova v (0) = v (d) = 0, tako da je konaˇcni cni izraz izra z za brzinu brzi nu gρ (14.8) v (x2 ) = sin θx2 (d x2 ) . 2η Ukupna sila kojom kojo m fluid deluje na jediniˇcnu cnu povrˇsinu sinu donje ploˇce ce jednaka je

−

A J   I   Z R E   a V n k i A a h   e   N m D a k A s j i R e o r P 

 e = ˜ P 2

gde je tenzor napona ˜ dat izrazom

P

x2 =0

e2 ,

P ˜ = − p I ˜ + 2η S . 2η ˜

Na osnovu dobijenog izraza za brzinu, lako se nalazi da tenzoru brzine deformacije ˜ odgovara matrica 0 1 0 gρ = sin θ(d 2x2 ) 1 0 0 , 4η c ´ 0 0 0 i

S

S

−

z ˇ a H  e = p0e2 + 1 ρgd sin θe1 . P c ´ 2 i v Reˇ senje 12.3.4 (a) Direktnom Direktnom zamenom zamenom datog potencijala potencijala u izraz za laplasijan laplasijan u cilindri cilindriˇˇcnim cnim o z koordinatama e l 1 ∂ 1 ∂ 2 Φ ∂ 2 Φ ∂ Φ ∆Φ = + 2 2+ 2 (14.9) r E r ∂r ∂r r ∂ϕ ∂z . S dobija se da je ∆Φ = 0. 0 Poˇsto je (b) 1 1 ∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ 0 = gradΦ = Φ = + + (14.10)  v  e  e ez , r ϕ 2 ∂r r ∂ϕ ∂z c  pa d je traˇzena zena sila po jedinici povrˇsine sine jednaka

−

2

∇

cilindriˇ cilindr iˇcne cne komponente kompon ente brzine b rzine jednake su cos ϕ 1 vr = U cos

−

R 2 r2

,

vϕ =

R 2 sin ϕ 1 + 2 U sin r

−

vz = 0 .

,

(14.11)

Graniˇcni cni uslov koji treba da bude zadovoljen pri proticanju idealnog fluida oko cilindra r = R je uslov neprobo jnosti, tj. uslov da je normalna komponenta brzine na povrˇsini sini cilindra jednaka jednaka nuli: vr

|

r=R =

0,

(14.12)

ˇsto sto jeste zadovoljeno. Takode, akode, poˇsto sto je div divv =div gradΦ = ∆Φ = 0, zaista zaista se radi o nestiˇ nestiˇsljivom sljivom proticanju. Dekartove komponente brzine vx i vy izraˇzavaju zavaj u se s e preko cilindr cil indriˇ iˇcnih cnih kompone komp onenata nata kao

T

= vr cos ϕ vx = v

− v sin ϕ , ϕ

+ vϕ cos ϕ , vy = v r sin ϕ + v

(14.13)

odakle je

lim vx = U = U ,

r→∞

lim vy = 0 .

r→∞

(14.14)


180

(c) Poˇsto je kretanje potencijalno i stacionarno, zapreminskih sila nema, a gustina fluida konstantna, zadovoljeni su uslovi za primenu Bernulijeve jednaˇcine u bilo kojo j taˇcki i bilo kom trenutku, pa je

 

p v 2 p v 2 + = const = lim + r→∞ ρ 2 2 ρ

p∞ U 2 = + , 2 ρ

(14.15)

A  J I Z        R E     V  k  a i n A a h e N        m D     a k A s j i R e o r       odakle je

p = p ∞

−

ρU 2 2



2R2 (sin2 ϕ 2 r

−



R 4 2 cos ϕ) + 4 , r

(14.16)

pri ˇcemu smo iskoristili izraze za komponente brzine nadene pod b).  koja deluje na jedinicu duˇzine cilindra jednaka je (d) Ukupna povrˇsinska sila F ,  = F

p d  S,

−

S

 na omotaˇcu cilindra jednak je Rdϕ dzer , gde je S povrˇsina tog dela cilindra. Element povrˇsine dS c ´ gde je R polupreˇcnik osnove cilindra, pa je i

z ˇ 2π 1 d  = a dϕ dzp(R, ϕ)er F R 0 0 H 2π ρU 2 c ´ i = dϕ p∞ 4sin2 ϕ 1 (e1 cos ϕ + e2 sin ϕ) = 0 , R v 2 0 o z gde smo iskoristili e l E 2π 2π 2 . 4sin ϕ 1 cos ϕdϕ = 4sin2 ϕ 1 sin ϕdϕ = 0 . S 0 0 0 1 0 14.4 Elastiˇ cno telo 2 c Reˇ senje 13.3.1 

− −

−

−

−

−

 + u(X  + d X,  t) = u(X,  t) + dx dX

 + u(X  + d X,  t) dx = dX

T

ij

=

∂u i = ∂X j

S ij

A ij

−

S ij

T + T , T

∂u 1 ∂X 1 ∂u 2 ∂X 1 ∂u 3 ∂X 1

 t) = d X  + u(X,

=

1 2

∂u i ∂u j + ∂X j ∂X i

=

∂u 1 ∂X 2 ∂u 2 ∂X 2 ∂u 3 ∂X 2

A ij

D , T ij

∂u 1 ∂X 3 ∂u 2 ∂X 3 ∂u 3 ∂X 3

=

1 2

dX 1 dX 2 dX 3

∂u i ∂X j

∂u − ∂X j

i

 = dSe1 : dX

T

dx = dSe1 +

⇒

2

(dx) = (dS )

∂u 1 ∂X 1 ∂u 2 ∂X 1 ∂u 3 ∂X 1

2



∂u 1 ∂X 2 ∂u 2 ∂X 2 ∂u 3 ∂X 2

∂u 1 ∂X 3 ∂u 2 ∂X 3 ∂u 3 ∂X 3

∂u e1 + ∂X 1



dS 0 0

2

= (dS )

2

= dS e1 +

∂u 1 1+2 + ∂X 1

∂u ∂X 1

  ∂u ∂X 1

2

ˇ 14.4. ELASTI CNO TELO

181

A J I Z R E a V n k i 

Slika 14.2: Slika uz reˇsenje zadatka 13.3.1.

c ´ i z ˇ d a H c ´ i v o z e l E . S Slika 14.3: Smisao vandijagonalnih elemenata tenzora deformacije - slika uz reˇsenje zadatka 13.3.2. 0 1 2 0 (dx)2 (dS )2 ∂u i ∂u 1 ∂u ∂u 1 2 1 = 2 + 2 , (dS )2 ∂X j ∂X 1 ∂X 1 ∂X 1 c 

A a h e N m D  a   k A s j   i R r 

  ⇒

−

(dx)2 (dS )2 ∂u 1 = 11 = 2(dS )2 ∂X 1

D

−

≈ (|dx| − dS )(|dx| + dS ) |dx| − dS ≈ = 2(dS )2

dS

 1 = dS 1e1 , dX  2 = dS 2e2 : Reˇsenje 13.3.2 d X dx1 = dS 1

o e T

dx1 dx2

·

∂u e1 + , ∂X 1

≈ dS dS 1

2

dx2 = dS 2

∂u 1 ∂u 2 + ∂X 2 ∂X 1

dx1 dx2 dx1 dx2 cos  (dx1 , dx2 ) = 12 = 2 dS 1 dS 2 2 dS 1 dS 2

⇒ D

·

| || |

≈

∂u e2 + ∂X 2

= 2 dS 1 dS 2



D

12

π 2

− Θ) ≈ −2 Θ

1 1 π cos Θ = sin  ( 2 2 2


182






Deo III

Specijalna teorija relativnosti


183




Glava 15


Postulati specijalne teorije relativnosti 15.1

Istorijski uvod

c ...mehanika, elektromagnetizam, optika... bla-bla... ´ i z ˇ d a Maksvelove jednaˇcine (1873) za elektromagnetno polje... H - Iz Maksvelovih jednaˇcina sledi postojanje elektromagnetnih talasa u vakuumu... c ´ i v o Za takve talase se u to vreme nije znalo, a Maksvelova teorija je predvidala da je njihova zbrzina jednaka c = 1/ ε µ = 2.99792458 108 m/s, ˇsto se poklapalo sa brzinom svetlosti 0 0 e l Eda li je svetlost elektromagnetni talas? . S Hercovi ogledi (1888) - eksplicitna demonstracija postojanja elektromagnetnih talasa 0 1U meduvremenu - teorijski pokuˇsaji objaˇsnjenja postojanja elektromagnetnih talasa, hipoteza 0 2etra (elektromagnetni talas predstavlja prenoˇsenje oscilacija kroz etar - sredinu koja je apso clutno prozraˇcna, nulte gustine, nedektabilna itd, a vezan je za apsolutno mirujući referentni 

• • • •

√

×

A a h e N m D a k A s j i R r • •

⇒

sistem)...

• Majkelson-Morlijev eksperiment (1887)...

15.1.1

Majkelson-Morlijev eksperiment

Cilj Majkelson-Morlijevog eksperimenta je bio da se utvrdi kretanje Zemlje u odnosu na etar, dakle postojanje etra. Eksperiment je izveden na interferometru ˇcija je ˇsema prikazana na slici 15.1. Iz monohromatskog izvora svetlosti zraci padaju na polupropusno ogledalo A, tako da jedan deo zraka prolazi kroz A prema ogledalu C, odbija se, vraća nazad do A, tu se reflektuje i odlazi prema detektoru D. Drugi deo zraka se odbija od A, prema ogledalu B, o koje se takode reflektuje, vraća nazad, prolazi kroz A i pada na D. Na detektoru D se stvara interferenciona slika. Poˇsto se po hipotezi etra Zemlja kreće u odnosu na etar, trebalo bi da promena pravca kretanja Zemlje (i interferometra na njoj) dovede do promene interferencione slike na D, ako su svi ostali uslovi pod kojim se eksperiment izvodi isti. Neka su c i V redom brzina svetlosti i brzina Zemlje u odnosu na etar (slika 15.2(a)). Vreme za

o e T

185

186

GLAVA 15.

POSTULATI SPECIJALNE TEORIJE RELATIVNOSTI


c ´ i z ˇ d a ˇ Slika 15.1: Sema Majkelson-Morlijevog (Michelson-Morley) interferometra: s - monohromatski izvor H svetlosti, A - polupropusno ogledalo, B i C - ogledala, D - detektor c ´ i v o z e l E . S 0 1 0 2 c 


(a)

(b)

Slika 15.2: (a) Majkelson-Morlijev interferometar se po pretpostavci, za jedno sa Zemljom kreće u odnosu na hipotetiˇcki etar: c - brzina svetlosti u odnosu na etar; V - brzina Zemlje (interferometra) u odnosu na etar; u odnosu na Zemlju, svetlost udesno putuje brzinom c v, a ulevo brzinom c + v. (b) Pomeranje ogledala A i B i putanja zraka koji se odbija od ogledala A, a zatim od B, posmatrano iz sistema vezanog za etar.

−

15.1.

187

ISTORIJSKI UVOD


c Slika 15.3: Majkelson-Morlijev interferometar kreće se brzinom V u odnosu na etar. ´ i z ˇ d a AC AC koje svetlost prede put od A do C jednako je c−V , dok isti put unazad prede za vreme c+V , pa je H - vreme t jednako ukupno c ´ i AC AC c v + = 2AC 2 t = . o c V c + V c V 2 z e Sa l stanoviˇsta posmatraˇca iz sistema koji apsolutno miruje, kretanje zraka koji se odbija od A, pa Eod B i vraća nazad na ogledalo A, izgleda kao na slici 15.2(b). Ako je t vreme potrebno zatim  . zraku S da prede taj put, put koji zrak prede od A do B jednak je ct /2, pa je onda 0 2 2 t t AB 2 1 2 2 = V + AB c t = 2 2 . 0 2 2 c V 2 2 c 

−

−

A a h e N  m D a k A s   j i    R r  

√ −

⇒

Odatle je fazna razlika ova dva zraka jednaka δ =

c  (t λ

− t) = λ2 (

AB

1

−

V 2 c2

− 1 AC −

V 2 c2

).

Pretpostavimo sada da se relativna brzina interferometra (Zemlje) u odnosu na etar zarotira za π/2 (slika 15.3). U tom sluˇcaju će fazna razlika biti jednaka

pa je

o e T ∆δ = δ 

δ  =

2 λ

AB

− 1−

− δ = λ2 (AB + AC )

AC

2

V c2

1

−

V 2 c2

,

   − −  −  ≈ 1

1

1

V 2 c2

1

V 2 c2

AB + AC v 2 , λ c2

188

GLAVA 15.


ˇsto znaˇci da trebalo da se dobije drugaˇcija interferenciona slika. Medutim, kako god se eksperiment ponavljao, ako su ostali uslovi bili isti (nepromenjene vrednosti rastojanja AB , AB i talasne duˇzine svetlosti λ) uvek se dobijala ista interferenciona slika. Predlagana su razna komplikovana objaˇsnjenja ovakvog negativnog rezulata eksperimenta...

15.2


Postulati specijalne teorije relativnosti

1905. godine Albert Ajnˇstajn postavio je postulate specijalne teorije relativnosti:

• Princip relativnosti: Zakoni fizike su isti u svim inercijalnim sistemima reference. • Princip konstantnosti brzine svetlosti u vakuumu: Brzina svetlosti u vakuumu ima istu vrednost c u svim inercijalnim sistemima reference, tj. ne zavisi od kretanja izvora ili posmatraˇca (c = 2.99792458 × 10 m/s ≈ 3 × 10 m/s). 8

8

c je negativan rezultat Majkelson-Morlijev eksperimenta jednostavno ob jaˇsnjen, a to je onda Ovime ´ i zznaˇcilo da relativno kretanje Zemlje u odnosu na etar ne moˇze da se utvrdi. Takode, etar, ˇ dalje d kao sredina potrebna za objaˇsnenje postojanja elektromagnetnih talasa, viˇse nije bio potreban. a Samim tim prestala je i potreba za apsolutno mirujućim referentnim sistemom, a za definiciju H inercijalnog sistema usvojena je tzv. Ajnˇstajnova definicija, po kojoj je inercijalni sistem svaki c ´ i referentni sistem u kome telo koje ne interaguje sa drugim telima ostaje u stanju mirovanja ili v o ravnomernog pravolinijskog kretanja. z e l E 15.2.1 Direktne posledice Ajnˇ stajnovih postulata . S Inercijalni sistemi i Galilejeve transformacije 0 1 Galilejeve transformacije (slika 1.3): r = r ut, t = t 0 2 Posledice: r1 r2 = r1 r2 , v1 v2 = v1 v2 , v  = v u, a = a c 


−

−

−

−

−

 ν (r1 , . . . , rN , ˙r1 , . . . , ˙rN , t) zadrˇzavaju oblik! Osnovne jednaˇcine dinamike m ν aν = F

Ali, Maksvelove NE! Iz principa relativnosti onda sledi da neˇsto nije u redu sa Galilejevim transformacijama.

Relativnost vremena

Misaoni eksperiment : Svetlosni signal ˇsalje se vertikalno naviˇse, odbija se od ogledala na plafonu vagona i vraća se nazad. Posmatraˇc koji se nalazi na mestu odakle se signal ˇsalje, meri vreme ∆t potrebno signalu da ode i da se vrati nazad (slika 15.4). Ako je visina vagona d, izmereno vreme jednako je ∆t = 2d/c. Za posmatraˇ ce koji stoje na platformi pored koje voz prolazi brzinom u (sistem S), dogadaji odaˇsiljanja i primanja signala ne deˇsavaju se na istom mestu, a kretanja svetlosnog signala izgleda kao na desnoj strani slike 15.4. Poˇsto se i u ovom sistemu svetlost kreće brzinom c, a upadni ugao pod kojim svetlosni signal pada na ogledalo jednak je odbojnom, sledi da je ∆t 2 ∆t 2 d 2 2 = u + d2 ∆t = 2 2 c . 2 2 c u2

o e T  

 

⇒

√ −

189

15.3. LORENCOVE TRANSFORMACIJE

A J I Z R  E a V n k i A a h e N m D a k A s j i R r Slika c15.4: Levo: Posmatraˇc koji sedi u vozu (sistem S’), ˇsalje svetlosni signal vertikalno naviˇse ´ i z ogledalu na plafonu, od koje se taj signal odbija i vraća nazad. Vreme ∆t potrebno svetlos ˇ prema dzraku da ode i da se vrati, posmatraˇc meri na svom ˇcasovniku. Desno: Put svetlosnog zraka, nom a posmatran sa platforme pored koje voz prolazi (sistem S). H

c ´ i v je Odavde o z ∆t u 2 e = 1 < 1 , l ∆t c2 E tj. vremenski interval izmedu dva dogadaja nije isti u svim inercijalnim sistemima, ˇsto znaˇci da . S nije apsolutno, pa ponovo zakljuˇcujemo da Galilejeve transformacije nisu taˇcne. vreme 0 1 0 15.3 Lorencove transformacije 2 c 

−

Neka se neki dogadaj u inercijalnom sistemu S desio u trenutku t i taˇcki kojoj u odgovaraju koordinate (x,y,z ). Lorencove transformacije povezuju (x,y,z ) i t, sa koordinatama (x , y , z  ) i trenutkom t , koji odgovaraju istom dogadaju u nekom drugom inercijalnom sistemu S  . To su, dakle, transformacije koje treba da zamene Galilejeve transformacije, kada se u obzir uzmu Ajnˇstajnovi postulati, specijalno postulat o konstantnosti brzine svetlosti. Neka se sistem S  kreće u odnosu na sistem S konstantnom brzinom u i izaberimo koordinatne sisteme u S i S  tako da im se ose Ox i O  x poklapaju, a da ose Oy i Oy  , kao i Oz i O  z  ostaju paralelne u toku kretanja (slika 15.5), pri ˇcemu je u = uex , a vreme se u oba sistema meri u odnosu na trenutak kada su se O i O  poklopili. U sledećem odeljku pokazaćemo da, ako su koordinatni sistemi u sistemima S i S  izabrani kako je reˇceno, onda Lorencove transformacije ima ju oblik:

o  e T x =

x

− ut u 1− c

2

,

y = y ,

2

Naravno, u sluˇcaju malih brzina, tj. kada je u

z  = z ,

t =

t

− cu x 2

 − 1

u 2 c2

.

(15.1)

 c, ove transformacije se svode na Galilejeve (1.6).

190

GLAVA 15.



Slika 15.5: Ako se koordinatni sistemi u inercijalnim sistemima S i S  izaberu na naˇcin prikazan na ovoj slici, pri ˇcemu se vreme meri u odnosu na trenutak kada se O i O poklapaju, Lorencove transformacije imaju oblik (15.1).

c ´ i z ˇ 15.3.1 Izvodenje Lorencovih transformacija d a jednaˇcina talasnog fronta svetlosti koja je u trenutku t = 0 krenula iz koordinatnog poˇcetka: H c ´ i S : x2 + y 2 + z 2 = c 2 t2 , S  : x2 + y 2 + z 2 = c 2 t2 v o z pokuˇsa j: e l     = αx + = y = z = δx + ηt x εt , y , z , t E . SZa x  = 0 je dx/dt = u u = ε/α 0 1 u = ε/η , pa je α = η 0Za x = 0 je dx /dt = u 2 c J-na talasnog fronta: α2x2 +2αεxt+ε2 t2 +y 2 +z 2 = c 2 (δ 2 x2 +2δαxt+α2 t2 ) i x2 +y2 +z 2 = c 2 t2 

• •

A a h e N m D a   k A s j i R r • • •

⇒ − − ⇒ −

⇒

2αε = 2c2 δα ,

α2

2 2

− c δ = 1 ,

c2 α2

−ε

2

= c 2

• Poˇsto je ε = −uα sledi

1

α = η =

1

o e T

15.3.2

−

u2 c2

,

ε =

−u 1−

u2 c2

,

δ =

u2 c2

− 1−



u2 c2

Posledice Lorencovih transformacija

Kontrakcija duˇzine

Neka ˇstap AB miruje u sistemu S  i to tako ˇsto je postavljen na osu Ox (slika 15.6) i neka je njegova duˇzina u tom sistemu l 0 = x B xA (tzv. sopstvena duˇzina ). U odnosu na sistem S ˇstap se kreće, a njegova duˇzina u tom sistemu meri se tako ˇsto se u istom trenutku izmere poloˇzaji njegovih krajeva. Takvom merenju poloˇzaja krajeva, dakle, odgovaraju dogadaji karakterisani koordinatama

−

191


A J I Z   R E  a V n k i A a h e N m D   a k A s j i R e o r  Slika 15.6: Duˇzina ˇstapa najveća je u sistemu u kome ˇstap miruje.

i vremenskim trenutkom (xA , yA = 0, z A = 0, t) i (xB , yB = 0, z B = 0, t). Primenom Lorencovih transformacija se onda direktno dobija da je

c ´ i xB ut xA ut z ˇ   = x = l x , 0 B A d 2 2 u u a 1 1 2 H c c2 c ´ i odakle v je duˇzina l = x B xA ˇstapa u sistemu S jednaka o z e u 2 l l = l 0 1 . E c2 . S Znaˇci, duˇzina ˇstapa najveća je u sistemu u kome ˇstap miruje . 0 1 0 2 Dilatacija vremena c 

− − −

−

− −

−

−

(15.2)

Uoˇcimo dva dogadaja koji se u sistemu S  deˇsavaju na istom mestu x , a u trenucima t1 i t2 . Vremenski intervala izmedu takva dva dogadaja jednak je ∆τ = t2 t 1 . Primenom inverznih Lorencovih transformacija dobija se da je vremenski interval izmedu ova dva dogadjaja u sistemu S jednak u u t2 + 2 x t1 + 2 x c c ∆t = t 2 t1 = , 2 u u 2 1 1 c2 c2

−

−

−

odnosno

T

−

∆t =

∆τ

1

−

u 2 c2

,

−

(15.3)

ˇsto predstavlja formula za dilataciju vremenskog intervala. Iz formule se vidi da je ∆t > ∆τ , pa to znaˇci da je vremenski interval izmedu dva dogadaja najkraći u sistemu u kome se ta dva dogadaja deˇsavaju na istom mestu.

192

GLAVA 15.


A J I Z   R  E  a V n k i A a h e N m D a k A s j i R e o r Slika 15.7: Vremenski interval izmedu dva dogadaja najkraći je u sistemu u kome se ta dva dogadaja deˇsavaju na istom mestu.

Relativistiˇcki zakon slaganja brzina c ´ i z ˇ u d dt dx a 2 dx udt dx vx u    c dx = dt = = = , vx uv x H dt u 2 u 2 1 c 1 1 ´ c2 i c2 c2 v o u 2 u 2 z vy 1 vz 1 e 2 dy  dz  l c c2   = = = = v , v y z uv x uv x E dt dt 1 1 . c2 c2 S Ako je u < c i v = cn (n je ort), onda iz relativistiˇckog zakona slaganja brzina sledi da je v = cn 0  (n 1 - ort). (Pokaˇzite!) 0 Ako je u < c i v < c v < c. (Pokaˇzite!) 2 c  Invarijantnost kvadrata relativistiˇ ckog intervala

−

− −

− −

⇒

−

−

−

−

| |

−

⇒ | |

Kvadrat relativistiˇckog intervala ∆s2 izmedu dogadaja (x1 , y1 , z 1 , t1 ) i (x2 , y2 , z 2 , t2 ) definiˇse se kao ∆s2 = c 2 ∆t2 ∆x2 ∆y2 ∆z 2 , (15.4)

−

gde je

∆x = x 2

−x

1

,

∆y = y 2

−y

−

1

,

−

∆z = z 2

− z , 1

∆t = t 2

Direktnom primenom Lorencovih transformacija lako se pokazuje da je ∆s2 = c 2 ∆t2

T

2

2

2

− ∆x − ∆y − ∆z

−t

1

.

= ∆s2 ,

tj. kvadrat relativistiˇckog intervala izmedu dva dogadaja ima istu vrednost u svim inercijalnim sistemima . Ako je ∆s2 > 0, to znaˇci da je moguće naći inercijalni sistem u kome je ∆x = ∆y = ∆z = 0, tj. sistem u kome se uoˇceni dogadjaji deˇsavaju na istom mestu. Poˇsto u tom sluˇcaju u izrazu za kvadrat relativistiˇckog intervala dominira ,,vremenski” deo, kaˇze se da su takvi dogadaji razdvojeni

193




intervalom vremenskog tipa , a sam interval ∆s = c2 ∆t2 ∆x2 ∆y2 ∆z 2 je u tom sluˇcaju realan broj. U suprotnom sluˇcaju, tj. kada je ∆s2 < 0, postoji inercijalni sistem u kome se dogadaji deˇsavaju u istom trenutku (∆t = 0), a interval je prostornog tipa i imaginaran je. Intervali za koje je ∆s2 = 0 nazivaju se intervalima svetlosnog tipa.


−

−



−

194

GLAVA 15.





Glava 16


Tenzorski raˇ cun u specijalnoj teoriji relativnosti c ´

i 16.1 z ˇ

Prostor Minkovskog

d a Prostor Minkovskog (Hermann Minkowski, 1908): ˇcetvorodimenzionalni prostor u kome je taˇcka H - ˇcetvorka (ct,x,y,z ) = (x0 , x1 , x2, x3 ), a metrika, tj. kvadrat rastojanja izmedu dve infinitezuredena c ´ i bliske taˇcke, definisan relacijom imalno v o z ds2 = (dx0 )2 (dx1 )2 (dx2 )2 (dx3 )2 (16.1) e l E . cka dogadaj, prostor Minkovskog svet dogadaja taˇ S 0 1 0 16.1.1 Svetlosni konus 2 c Taˇcka (0, 0, 0, 0) u prostoru Minkovskog odgovara tzv. nultom dogadaju. Posmatrajmo samo 

−

−

−

A a h e N m D a k A s  j i R r ↔

↔

ravan (ct,x) u prostoru Minkovskog, tj. ograniˇcimo se na dogadaje za koje je y = z = 0. Prave ct = x u toj ravni odgovaraju kretanju svetlosti duˇz x ose. Neka se telo u trenutku t = 0 nalazilo u taˇcki x = 0. Poˇsto brzina tela ne moˇze biti veća od c, tzv. svetska linija tog tela, tj. linija koja odgovara kretanju tela u ravni (ct,x) leˇzi unutar osenˇcene oblasti na slici 16.1. Ta oblast naziva se svetlosni konus ,1 njegov deo u kome je t > 0 zove se apsolutna budućnost, a deo u kome je t < 0 apsolutna proˇslost. Naime, u sistemu vezanom za uoˇceno telo, dogada ji vezani za to telo deˇsavaju se na istom mestu, pa su intervali izmedu bilo koja takva dva dogadaja vremenskog tipa: ∆ s2 > 0. Ako je ∆τ = ∆s/c vremenski interval izmedu takva dva dogadaja u sistemu vezanom za telo, onda je vremenski interval ∆t = ∆τ / 1 v 2 /c2 u sistemu u odnosu na koji se telo kre´ ce brzinom v, istog znaka kao i ∆τ , tj. vremenski redosled dogadaja se odrˇzava. Dogadaji van svetlosnog konusa razdvojeni su intervalima prostornog tipa - vremenski redosled takvih dogadaja u razliˇcitim inercijalnim sistemima nije isti.

±

1

o e T

−

Ako bismo posmatrali trodimenzionalni deo prostora Minkovskog ( ct, x,y ) onda bi linije koje odgovaraju kretanju svetlosti zaista odgovarale konusu x2 + y 2 = c2 t2 , a u sluˇcaju celog prostora Minkovskog ( ct,x,y,z ) radilo bi se o hiper-konusu.

195

196

ˇ GLAVA 16. TENZORSKI RACUN U SPECIJALNOJ TEORIJI RELATIVNOSTI


c ´ i z ˇ d a H c ´ i v o z e l E . S 0 1 016.1: Sivo osenˇcena oblast u prostoru Minkovskog, ograniˇcena pravim linijama ct = x Slika 2 (koje c odgovaraju kretanju svetlosti duˇz x-ose) naziva se svetlosni konus . Kriva linija naznaˇcena 


±

unutar te oblasti odgovara kretanju tela, koje se kreće duˇz x-ose brzinom v < c. Taˇ cke (dogadaji) 2 unutar svetlosnog konusa razdvojeni su intervalima vremenskog tipa (∆s > 0). Unutar svetlosnog konusa vremenski redosled dogadaja ostaje oˇcuvan. Deo konusa u oblasti t > 0 naziva se apsolutna budućnost: svi dogadaji iz te oblasti deˇsavaju se posle trenutka u kome se deˇsava nulti dogadaj (ct,x) = (0, 0) (u svakom inercijalnom sistemu). Sliˇcno, oblast konusa t < 0 je apsolutna proˇslost za nulti dogadaj.

o e T

197

16.2. TENZORI U PROSTORU MINKOVSKOG

16.1.2

Razni oblici pisanja Lorencovih transformacija

metrika kvadrat relativistiˇ ckog intervala, metrika je invarijantna u odnosu na Lorencove transformacije, tj. transformacije koordinata: (x0 , x1 , x2 , x3 ) (x0 , x1 , x2 , x3 ) Lorencove transformacije u matriˇcnom obliku mogu da se predstave kao

↔

→

A J I  Z  R E a V n k i A a h e N m D a k A s j i R e o r   

x0 x1 x2 x3

 

=

  −

γ βγ 0 0

0 0 1 0

−βγ γ 0 0

Koriste se oznake: (x0 , x1 , x2 , x3 ) cije mogu da se napiˇsu i u obliku

0 0 0 1

µ

  

x0 x1 x2 x3

 

, β =

u , γ = c

1

 − 1

β 2

(16.2)

↔ x , µ = 0, 1, 2, 3, pa se onda vidi da Lorencove transforma3

µ

x =

∂x µ ν ∂x µ ν x = x , ∂x ν ∂x ν

ν =0 c ´ i z ˇ gde je iskoriˇsćena tzv. Ajnˇstajnova sumaciona konvencija: d a 3 ∂x µ ν ∂x µ ν H x x , ν ν c ´ ∂x ∂x i ν =0 v tj. o sumiranje po ponovljenom indeksu, koji se nalazi jednom na donjem mestu, a drugi put na z e gornjem, se podrazumeva. Indeksi se uz koordinate piˇsu gore - to su ,,gornji” indeksi, a u parcijalnim l E indeks uz koordinatu po kojoj se vrˇsi diferenciranje smatra se ,,donjim” indeksom. izvodima, . S 0 16.2 Tenzori u prostoru Minkovskog 1 0 2 Tenzori - u opˇstem sluˇcaju: skup veliˇcina koji se pri transformaciji koordinata transformiˇse na c odredeni  naˇcin. U sluˇcaju prostora Minkovskog, transformacije koordinata su Lorencove transfor-

≡

macije, a same tenzore zovemo ˇcetvoro-tenzori (4-tenzori) ili kvadri-tenzori.

16.2.1

Definicije

• skalar (invarijanta, tenzor nultog ranga) Φ

Φ (x0 , x1 , x2 , x3 ) = Φ(x0 , x1 , x2 , x3 )

Primer: ds2 je tenzor nultog ranga

• kontravarijantni 4-vektor (tenzor prvog ranga) A

T

3

µ

A =

ν =0

µ

∂x µ ν A ∂x ν

≡

∂x µ ν A ∂x ν

A0 - vremenska komponenta 4-vektora, A i , i = 1, 2, 3 - prostorne komponente 4-vektora


198

Primer 1: xµ = x µ (x0 , x1 , x2 , x3 )

µ

⇒ dx

3

=



ν =0

ne samo za Lorencove)

∂x µ dxν (ovo ∂x ν 

vaˇzi za bilo kakve transformacije,

Primer 2: uredena ˇcetvorka (x0 , x1 , x2 , x3 ) je kontravarijantni 4-vektor - zva´ cemo ga 4-vektor µ poloˇza ja X

• kovarijantni 4-vektor A

µ 3

Aµ =

 ν =0

A J    I    Z R   E    a V n k i

∂x ν Aν ∂x µ

≡

∂x ν Aν ∂x µ

Iz definicije kontravarijantnog 4-vektora i Lorencovih transformacija sledi da zakon transformacije kontravarijantnog 4-vektora u matriˇcnom obliku ima oblik

 

A0 A1 A2 A3

 

  −

 

 

γ βγ 0 0

−βγ

0 0 1 0

A0 A1 A2 A3

0 0 0 1

c ´ γ i = (16.3) , z ˇ 0 d 0 a H -za svaki kovarijantni 4-vektor vaˇzi dok c ´ i v o A0 γ βγ 0 0 A0 z  e A1 βγ γ 0 0 A1 l = (16.4) .  0 0 1 0 A2 A2 E . 0 0 0 1 A3 A3 S 0 u transformacionom zakonu za kovarijantni 4-vektor odgovara inverznoj Lorencovoj transMatrica 1 formaciji: 0 2 x0 γ βγ 0 0 x0 c 1 1 

 

    A a   h    e N m D a k A s j i R r  

x x2 x3

=

γ 0 0 0 1 0 0 0 1

βγ 0 0

x x2 x3

,

dok se kontravarijantni 4-vektori transformiˇsu upravo po matrici koja odgovara Lorencovoj transformaciji (16.2).

16.2.2

Veza izmedu kontra- i kovarijantnih 4-vektora

o e T

Iz transformacionih relacija za komponente kontravarijantnog 4-vektora A µ , mnoˇzenjem relacija za prostorne komponente sa (-1), slede relacije

− − −

A0 A1 A2 A3

= = = =

γA 0 + βγ ( βγ A0 + γ ( 0(A0 ) + 0( 0(A0 ) + 0(

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

−A ) + 0(−A ) + 0(−A ) , −A ) + 0(−A ) + 0(−A ) , −A ) + 1(−A ) + 0(−A ) , −A ) + 0(−A ) + 1(−A ) ,

199

16.2. TENZORI U PROSTORU MINKOVSKOG

odnosno

  −− −

 

A0 A1 A2 A3

=

 

   −− −

A0 A1 A2 A3

γ βγ 0 0 βγ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

 

,

A J I Z R  E a V n k i

odakle se poredenjem sa (16.4) vidi da se uredena ˇcetvorka (A0 , A1 , A2 , A3 ) transformiˇse kao kovarijantni 4-vektor. Znaˇci, svakom kontravarijantnom 4-vektoru odgovara kovarijantni 4-vektor, ˇcija je vremenska komponenta jednaka vremenskoj komponenti kontravarijantnog 4-vektora: A0 = A0 , a prostorne komponente jednake su negativnim vrednostima odgovarajućih prostornih komponenata kontravarijantnog 4-vektora: Ai = Ai , i = 1, 2, 3.

− − −

−

16.2.3

Skalarni proizvod 4-vektora µ

0

1

2

3

• definicija: (A, B) = A B = A B + A B + A B + A B ⇒ (A, B) = A B − (A B + A B c ´ i z ˇ  • Oznake: (A , A , A , A ) = (A , A) d a µ

0

1

0

0

1

2

3

0

0

2

1

3

1

2

2

+ A3 B 3 )

3 H 0 0  B  , A  B  = (A, B) = A B A Ai B i c ´ i i=1 v o z ,,skalar(ni)”? e l   0 0 A1 B 1 A2 B 2 A3 B 3 E(A , B ) = A B . = (γA 0 βγ A1 )(γB 0 βγ B 1 ) ( βγ A0 + γA 1 )( βγ B 0 + γB 1 ) S = A0 B 0 γ 2 (1 β 2 ) A1 B 1 γ 2 (1 β 2 ) A2 B 2 A3 B 3 0 1 = A0 B 0 A1 B 1 A2 B 2 A3 B 3 = (A, B) 0 2 c jeste skalar(ni), ali nije pozitivno definitan! 

− ·

•

·

A a h e N m D a k A s j i R r − − −

•

−

−

−

−

−

−

−

−− − −

−

−

2

2

3

−A B −A B

3

Primer: kvadrat relativistiˇ ckog intervala je skalarni proizvod: ds2 = (dX, dX ), ali on moˇze biti i negativan (za intervale prostornog tipa)

16.2.4

4-tenzori viˇ seg ranga

• dva puta kontravarijantan tenzor drugog ranga B

o e T

• dva puta kovarijantan B

µν

µν

∂x µ ∂x ν ασ = B ∂x α ∂x σ

 Bµν

∂x α ∂x σ = µ ν Bασ ∂x ∂x

B

µν

• 4-tenzor drugog ranga, jednom kontra- i jednom kovarijantan B B µ ν =

∂x µ ∂x σ α B σ ∂x α ∂x ν

µ

ν


200

16.3

Osnovne tenzorske veliˇ cine u specijalnoj teoriji relativnosti µ

• 4-vektor poloˇzaja X = x = (ct, r) • (dX, dX ) = (dx ) − (dx ) − (dx ) − (dx ) • 4-vektor brzine ˇcestice

A   J      I Z R E a V n k i A  h a  e N m D a k A s  j i R r   0 2

1 2

2 2

3 2

= ds2

dX µ V = dτ dr τ – sopstveno vreme ˇcestice, v = dt – brzina ˇcestice, USPUTNI inercijalni sistem µ

dτ = dt 1

−

v 2 c2

c

V µ =

⇒

1

−

v2 c2

v

,

1

−

v2 c2

,

(V, V ) = c 2

cAjnˇstajnov princip korespondencije ´ i z ˇ  v c V v d a H - 4-vektor impulsa P = mV , m – sopstvena masa ˇcestice c ´ 2 2 i v(P, P ) = m c o z 4-vektor ubrzanja ˇcestice e dV l A = E dτ . Sortogonalnost 4-vektora brzine i ubrzanja ˇcestice: (V, A) = 0, poˇsto je 0 0 1 2 3 0 dV 0 1 dV 1 2 dV 2 3 dV 3 1 (V, = + V + V + V = V + V + V + V A) V A A A A 0 1 2 3 0 dτ dτ dτ dτ 2 3 1 d(V 0 )2 1 d 1 d c  2 = 1 d (V, V ) = 0 = (V i )2 = (V 0 )2 V (16.5) 

•

 ⇒

→

• • • •

2

16.4

− 2 dτ

dτ

−

2 dτ

i=1

Rimanovi prostori

• prostor Minkovskog specijalan sluˇcaj • taˇcka: (x , x , ··· , x ) • metriˇcka forma: ds = g dx dx 1

2

n

o e T

2

n

µν

µ

ν

= gµν dxµ dxν

µ,ν =1

U ,,naˇsem” sluˇca ju:

tzv. pseudoeuklidska metrika

g =



1 0 0 0

0 1 0 0

−

0 0 1 0

−

0 0 0 1

 −

2 dτ

201

16.4. RIMANOVI PROSTORI 1

2

n

1

2

n

• transformacija koordinata: (x , x , ··· , x ) → (x , x , ··· , x ) • tenzori: ds - skalar, dx - kontravarijanti vektor, g - metriˇcki tenzor (u opˇstem sluˇcaju f-ja 2

µ

µν

koordinata)

• definicije analogne, npr: n

µ

A =

 ν =1

∂x µ ν A ∂x ν ν

• ,,spuˇstanje”indeksa: A = g A • viˇse o Rimanovim prostorima u [12] µ


µν

≡


∂x µ ν A , ∂x ν

∂x µ ∂x σ α B ν = B σ ∂x α ∂x ν µ



202




Glava 17


Dinamika ˇ cestice u specijalnoj teoriji relativnosti c ´ i 17.1 z ˇ

Kovarijantna formulacija zakona

d a Primer: µν H Aσµν = Bσµν Aµν σ = B σ c ´ i Ako je izraˇzena kao jednakost tenzora istog ranga i vrste, jednaˇcina ima isti oblik u svim inerci v o jalnim z sistemima - kovarijantna je. Da bi zakon imao isti oblik u svim inercijalnim sistemima treba e da l bude izraˇzen u tenzorskom obliku! E . S 17.1.1 Osnovni zakon dinamike u kovarijantnoj formi 0 1 Zahtevi: 0 2 cda bude izraˇzen u tenzorskom obliku 

⇒

A a h e N m D a  k A s j i R r • • da ,,liˇci”na nerelativistiˇcki zakon = f  • da vaˇzi Ajnˇstajnov princip korespondencije, tj. d p dt

da se u limesu malih brzina dobija nerela-

tivistiˇcki zakon dinamike

Pretpostavka:

o e T

dP µ = F µ , dτ

P µ = mV µ ,

dτ = dt 1

− vc

2

2

(17.1)

ˇ je 4-vektor sile F µ ? Sta

Prostorni deo 4-vektora sile : Eksperimentalno potvrdeno i prihvaćeno da je d dt

mv

 − 1

2

v c2

203

= f ,

(17.2)

204

GLAVA 17.

ˇ DINAMIKA CESTICE U SPECIJALNOJ TEORIJI RELATIVNOSTI

 ,,obiˇcan” 3-vektor sile. Zamenom izraza za prostorni deo 4-vektora impulsa P i = γmV i gde je f u prostorni deo pretpostavljenog kovarijantno zakona dinamike (17.1), uz dt = γ dτ , za prostorne komponente 4-vektora sile dobijaju se izrazi dP i = F = dτ i

1

d dt

mvi

f i

=

= γf i ,

i = 1, 2, 3

(17.3)

A J I Z  R E a V n k i A a h e N m D  a k A s j i R e o r  −  −  − v2 c2

1

1

v2 c2

1

v2 c2

Vremenski deo 4-vektora sile : Vremenski deo F 0 4-vektora sile moˇze da se odredi koriˇsćenjem ortogonalnosti 4-vektora brzine i ubrzanja (16.5) na sledeći naˇcin: (V, A) = 0

17.1.2

(V, F ) = 0

⇒

 F  γ V  = v f F 0 = V 0 c

·

⇒

·

(17.4)

Relativistiˇ cki impuls p ˇcestice

Veliˇcina c ´ mv i p =  z ˇ d v 2 1 a c2 H - se relativistiˇcki impuls ˇcestice. naziva c ´ i v O o masi z e l m masa mirovanja E . relativistiˇcka masa m r = m - IZBEGAVATI! S 1− v c 0 1mera inercije tela koje se nerelativistiˇcki kreće: 0 2 d dγ dv   (γm ) = + γm = f v f m  v c dt dt dt 

(17.5)

−

• • •



2

2

⇒

17.1.3

za t = 0, v = 0 : m

⇒

dv  = f dt

Relativistiˇ cka kinetiˇ cka energija

Poˇsto smo naˇsli vremensku komponentu 4-vektora sile iz vremenske komponente zakona (17.1) sledi dP 0 d mc2 = F 0 = v f . dτ dt 1 v

⇒

−

·

2

c2

Dobijena jednaˇcina podseća na nerelativistiˇcku teoremu kinetiˇcke energije (2.1) za jednu ˇcesticu dT = v f , dt

 dr dT = f

T

· ⇒

·

medutim izraz γmc2 , iako ima dimenzije energije ne moˇze da se proglasi za kinetiˇcku energiju, poˇsto je za v = 0 jednak mc 2 . U sluˇcaju nerelativistiˇckih brzina, kada je v zi aproksimativni razvo j c vaˇ mc2

 − 1

2

v2 c2

≈ mc

1 + mv2 , 2



205

17.1. KOVARIJANTNA FORMULACIJA ZAKONA

pa se zato relativistiˇcka kinetiˇcka energija definiˇse kao mc2

T =

 − 1

2

v2 c2

− mc

.

(17.6)

A J I Z R  E a V n k i A a h e N m D a  k A s j i R e o r     Ova formula svakodnevno se potvrduje u eksperimentima u akceleratorima, a 1964. je Bertozzi napravio demonstracioni ogled za njenu potvrdu. U tom eksperimentu elektroni se ubrzavaju u elektrostatiˇckom polju, a kinetiˇcka energija im se odreduje nezavisnom kalorimetrijskom metodom. Iz vremena preleta kroz oblast van polja procenjuje se brzina elektrona, pa se poredenjem dobijenih vrednosti dolazi do zakljuˇcka da je T (1 v 2 /c2 )−1/2 .

∼ −

17.1.4

Energija mirovanja

ˇ je smisao ˇclana mc2 ? Sta

cAjnˇstajnovo tumaˇcenje - ENERGIJA MIROVANJA E 0 = mc2 ´ i z ˇ d Ukupna relativistiˇcka energija izolovane ˇcestice jednaka je a H mc2 = E 0 + T E = c ´ i v 1 c v o z e ekvivalencija mase i energije l E . pretvaranje mase u energiju i obrnuto! S 0primer: apsolutno neelastiˇcni sudar klasiˇcno i relativistiˇcki (Primer 9.1 iz [12]) 1 0 2 17.1.5 4-vektor impulsa - energija i impuls ujedinjeni c 

• •

−

2

2

• • •

2 2

µ

• (P, P ) = m c , P

= (E/c, p)

⇒

E 2 c2

− p

2

= m 2 c2

⇒ E

2

= p 2 c2 + m2 c4

1 c

T (T + 2mc2 )

2

• E = T + mc ⇒

p =

√

1 E 2 c

−m c

2 4

=

0 0 1 0

0 0 0 1

2

• p =   v E/c • transformacija energije i impulsa

−    T E  /c px py pz

=

γ βγ 0 0

−βγ γ 0 0

E/c px py pz

 

β = uc ,

,

γ =

1 1−β 2

√

206


GLAVA 17.

Foton

• kvant svetlosti, kvant elektromagnetog zraˇcenja • talasno-ˇcestiˇcni dualizam • postulirana energija E = hν , h = 6.62 × 10 Js - Plankova konstanta, ν - frekvenca zraˇcenja • ˇcestica koja se kreće brzinom svetlosti

A J I Z   R E a V k   i n  A   h a    N   e    m D  a k A s j i R e o r   −34

E =

• impuls?

E = hν ,

mc2 mc2 = 0 1 c2 /c2

??

 −

v = cn

E hν h =  = n  v n c2 c λ

p = 

⇒

⇒ m = 0

c ´ i z 4-vektor impulsa fotona ˇ d hν hν a P f µ = , n c c H c ´ i Doplerov efekat v o z Promena frekvence talasa usled relativnog kretanja izvora i prijemnika e l Foton elektromagnetnog zraˇcenja, izvor miruje u sistemu S, foton se kreće u ravni xy, pod uglom E na x osu (slika 17.1) θ u odnosu . S hν hν 0 P f µ = , n , n = cos θex + sin θey 1 c c 0 2 hν c (1 β cos θ) γ βγ 0 0 γ hν c c 

•

⇒

P f  =

−

−βγ

γ 0 0

0 0

−

hν cos θ c hν sin θ c

0 0 1 0 0 1

=

0

1 ν = ν 

−

−

− β )

0

u cos c

1

(cos θ γ hν c hν sin θ c

θ

u2 c2

Crveni i plavi pomak, transverzalni Doplerov efekat

• θ = 0 prijemnik se udaljava od izvora 1− ν = ν 1−

T



u c

u2 c2

1 = ν 1+

−

u c u c

< ν

⇒

– Habl 1920, spektralne linije vodonika sa udaljenih zvezda

λ > λ

17.1. KOVARIJANTNA FORMULACIJA ZAKONA


207



Slika 17.1: (a) Doplerov efekat: izvor I elektromagnetnog zraˇcenja miruje u sistemu S , a prijemnik P miruje u sistemu S  . Izvor emituje signal u pravcu ˇciji ort n zaklapa ugao θ sa x-osom. (b) Prijemnik se udaljava od izvora (θ = 0) - crveni pomak . (c) Prijemnik se pribliˇzava izvoru (θ = π) - plavi pomak . (d) Izvor naspram prijemnika (θ = π/2) - transverzalni Doplerov efekat .

o e T

208

GLAVA 17.


– crveni pomak, spektar pomeren prema crvenom delu λ[nm] na Zemlji 410.2 434.0 486.1 656.3 λ[nm] sa zvezde 411.54 435.5 487.75 658.47 – zakljuˇcak: vasiona se ˇsiri, relativna brzina posmatrane zvezde u

• θ = π prijemnik se pribliˇzava izvoru ⇒ • Transverzalni Doplerov efekat π ⇒ θ = 2 17.1.6



6

≈ 10 m/s

A J I Z R E a V n k i   −

ν = ν

1+ uc 1− uc

ν = ν 

1

> ν

u2 /c2

Sudari ˇ cestica - Komptonov efekat

• 1923, Compton - rasejavanje X zraˇcenja na grafitnoj meti (str. 152 u [12]) c ´ • merenje intenziteta rasejanog zraˇcenja u razliˇcitim pravcima, u funkciji talasne duˇzine ⇒ dva i

zmaksimuma: ˇ d a – na talasnoj duˇzini upadnog zraˇcenja λ i H ∗ ∗ c λ zavisi samo od ugla rasejanja ´ i – na λ > λ, pri ˇcemu λ v o ob jaˇsnjenje: prvi maksimum moˇze da se objasni tretirajući X zraˇcenje kao EM talas, koji z epobuduje oscilovanje vezanih elektrona u meti sa istom frekvencom, ali otkud drugi? l E . korpuskularno - foton upadnog zraˇcenja sudara se sa slobodnim elektronom koji miruje iz Ssudara izlazi elektron koji se kreće i foton nove energije, tj. drukˇcije frekvence, kojo j odgovara 0λ∗ h h 1 (1 cos θ) , = 2.43 10−12 m λ∗ λ = 0 me c me c 2 c 

−

•

A a h e N m D a k A   s j  i    R r •

−

−

⇒

×

• ovo je bila i potvrda STR, ali i dokaz da X zraˇcenje ima korpuskularnu prirodu (do tada se to znalo samo za vidljivo i ultraljubuˇcasto, iz foto-efekta)

17.2

Analitiˇ cki formalizam u specijalnoj teoriji relativnosti

Lagranˇzijan?  = Jedna ˇcestica u polju sile f

o e T

L =

2

−mc

1

2

2

−gradU (x , x , x , t):

− v /c − U ⇒

1

d ∂L dt ∂ x˙ i

2

3

d ∂L − ∂x = dt i

mx˙ i 1

−

v2 c2

+

∂U d pi = dt ∂x i

Znaˇci, L je lagranˇzijan (moˇze se formulisati Hamiltonov princip), ali L = T Ovo joˇs uvek nije kovarijantna formulacija analitiˇckog formalizma!

− f = 0

 − U !!!

i

Teorijska mehanika

Recommend Documents