MEHANIKA FLUIDA Skripta za studente Tehničkog fakulteta u Rijeci
Lado Kranjčević
Rijeka, 2013.
Verzija 01.10.2013.
2
SADRŽAJ: 1. FLUID I NJEGOVA SVOJSTVA 2. STATIKA FLUIDA 3. KINEMATIKA FLUIDA 4. OSNOVNI ZAKONI MEHANIKE FLUIDA 5. STRUJANJE IDEALNOG FLUIDA 6. STRUJANJE REALNOG FLUIDA U CIJEVI 7. OPTJECANJE TIJELA
3
Konverzija jedinica u SI sustav Duljina 1 in 1 ft [=12 in] 1 yd [=3 ft] 1 mi (milja) 1 nm (naut. milja) 1 ft2 Površina Volumen 1 ft 3 1 gal [US] 1 fl oz 3 -1 Volumni protok 1 cfs [=ft s ] 1 gpm [=gal/min] Masa 1 lbm 1 slug 1 oz Energija 1 Btu 1 ft lb Snaga 1 ft lb s-1 Sila 1 lbf 1 kp Tlak 1 psi [=lbf in-2] 1 psf [=lbf ft-2] 1 torr 1 in. Hg (600 F) 1 atm Brzina 1 ft s-1 1 mph [=mi/hr] 1 knot[=nm/hr] -2 Ubrzanje 1 ft s 1 lbm ft Gustoća 1 slug ft 0 Temperatura 1 F 2 -1 Viskoznost (kinematska) 1 ft s -2 lbf s ft Viskoznost (dinamička) o o o o o
lb ft in gal oz
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
0.0254 0.3048 0.9144 1 609.344 1852 0.0929 0.02832 0.003 785 412 2.9574*10-5 0.02832 -5 6.309 *10 0.45359 14.5939 0.0283495 1055 1.356 1.356 4.448 9.81 6 894.757 28 47.88 133.322 3377 101325 0.3048 0.447 0.514 0.3048 16.02 515.4 TC=5/9(TF-32) 0.0929 47.88
m m m m m m2 m3 m3 m3 3 -1 ms 3 -1 ms kg kg kg J J W N N Pa Pa Pa Pa Pa m s-1 m s -1 -1 ms -2 ms kg m kg m 0 C 2 -1 ms Pa s
libra, funta, eng.: pound ; lbm masena libra; lbf libra u smislu sile stopa, eng.: foot palac, eng.: inch galon, eng.: gallon unca, eng.: ounce; fl oz – fluidna (volumna) unca; oz - masena unca
4
1. FLUID I NJEGOVA SVOJSTVA Materija se dijeli na čvrstu i tekuću. U čvrstom stanju materije molekule čine kristalnu rešetku s malim stupnjem slobode gibanja. Tekućine odn. fluidi jesu kapljevine ili plinovi. U stanju kapljevine molekule imaju veću slobodu gibanja i mogu zauzeti proizvoljan oblik zadržavajući isti volumen, a u plinovitom stanju molekule mogu zauzeti proizvoljan prostor.
Najveći dio svemira je u fluidnom stanju. Galaksije, zvijezde i planete u većem dijelu se promatraju kao fluid. Atmosfera, oceani, mora, jezera i rijeke su fluidi. Unutrašnjost zemlje je u fluidnom stanju. Za gotovo sve industrijske grane važna je mehanika fluida: automobilska, avionska, brodograđevna, kemijska industrija, energetika… Čovjekovo tijelo je većim dijelom fluid. Za medicinu je od velike važnosti poznavanje strujanja krvi i drugih fluida u tijelu. Definicija fluida: fluid je materija koja se deformira pri proizvoljno malenom tangencijalnom ). Fluid je moguće podijeliti na kapljevine (voda, ulje ...) i plinove naprezanju (Sl.1.1, Sl.1.6.1
Fluid
0,
v ( x, t )
0
Sl.1.1 Defini cija f lui da
1.1 Fluid kao kontinuum Gustoća U mehanici fluida stvarna molekularna struktura materije zamjenjuje se hipotetskim kontinuumom
koji zadržava neprekidnost fizikalnih svojstava prelazeći i u infinitezimalne volumene, odnosno u graničnom prijelazu i u nulti volumen, tj. u točku. Na osnovu toga gustoću je moguće definirati na način lim v
0
m V
.
a.
b. Sl.1.1.1 Definicija gustoće u točki
5
Na Sl.1.1.1a označen je volumen V . Potrebno je odrediti gustoću u točki C(x0 ,y0 ,z 0 ). Srednja gustoća u volumenu V je m/ V . Kako bi se odredila gustoća u točki C definiran je maleni
V ispod granice V ' on sadržava samo mali broj molekula te je nemoguće fiksirati konačnu vrijednost m/ V jer će volumen V . Na Sl.1.1.1b vidljivo je da smanjivanjem volumena
vrijednost jako varirati kako molekule ulaze i izlaze iz volumena. Stoga, smanjivanje volumena V ne može ići ispod minimalne vrijednosti V ' jer volumen mora sadržavati barem toliko mnogo
molekula da statistički daje pouzdanu i stabilnu srednju vrijednost fizikalnih svojstava i dinamičkih vrijednosti, a u tom slučaju srednja gustoća se približava asimptotskoj vrijednosti Sl.1.1.1b . Definirajući gustoću na takav način u beskonačno mnogo točaka u fluidu, postavlja se gustoća fluida u obliku skalarnog polja
x, y, z , t . U gornjem izrazu t je vrijeme pošto gustoća može varirati u vremenu zbog rada učinjenog na fluidu ili s fluidom i/ili zbog dovođenja ili odvođenja topline fluidu. Primjer ovisnosti gustoće o temperaturi prikazan je na primjeru vode na Sl.1.1.2.
Elementarna čestica fluida, definirana je u tom skalarnom polju elementom mase m m
V .
Tako definirana čestica fluida ne smije se zamijeniti s pojmom molekule tvari. Kapljevine je praktički nemoguće toliko razrijediti da se ne bi mogla primijeniti hipoteza kontinuuma. Za razliku od kapljevina plinovi mogu doći u tako razrijeđeno stanje da hipoteza kontinuuma više nije održiva. Kao kriterij primjenjivosti hipoteze kontinuuma najprikladniji je omjer slobodne putanje molekula l i karakteristične duljine L koja se zove Kn udsenov br oj K
l L
.
~ 0,01
plin se ponaša kao kontinuum. Na primjer, na visini od 200 km iznad Zemlje zrak je toliko razrijeđen da molekule u prosjeku pređu udaljenost od približno 300 m prije sudara. Kod računanja leta rakete duljine L=30 m nemoguće je stoga primijeniti hipotezu zraka kao Za K
kontinuuma.
Sl.1.1.2 Gustoća vode
6
1.2 Tlak i stlačivost Tlak je intenzitet sile po jedinici površine. U mehanici fluida tlak nastaje bombardiranjem površine molekulama fluida, gdje površinu može predstavljati zamišljena površine unutar fluida ili površina strukture koja je u dodiru s fluidom. U SI sustavu jedinica za tlak je Pascal (Pa).
Nestlačiv fluid definiran je izrazom const . dok je gustoću nestlačivog fluida moguće napisati u obliku
m/V .
Praktično, kapljevine su nestlačive te se gornji izraz može primijeniti na njih. Efekt stlačivosti ~ kod vode se javlja tek kod ekstremnog tlaka od p 1 GPa .
Plinovi su stlačivi i u problemima mehanike fluida mogu se javiti kao kontinuum s prostorno i vremenski promjenjivom gustoćom. Određena masa plina ne zauzima fiksni volumen i
kontinuirano će se širiti ako nije ograničena spremnikom. Realni plinovi se ponašaju približno prema zakonu idealnog plina. Idealni plin je potrebno razlikovati od pojma idealnog fluida pošto se pod pojmom idealnog fluida smatra fluid bez trenja, dok je idealan plin viskozan i u njemu se razvija smično naprezanje. Plin je stoga stlačiv prema zakonu idealnog plina
pV mRT
ili
p
RT
gdje je R (Nm/kg K) plinska konstanta. Za zrak pri normalnim uvjetima R=287 (Nm/kg K).
Efekt stlačivosti plinova prisutan je i kod transsoničnog strujanja, a k od male izmjene topline i uz Machov broj M
v c
0,3 plinovi pokazuju varijaciju gustoće do 5% i mogu se aproksimirati kao
nestlačivi. Promjena faze tj. prijelaz iz plinovitog u stanje kapljevine i obrnuto u ovisnosti o tlaku i temperaturi moguće je prikazati p-T dijagramom gdje je p tlak, a T temperatura. Na slici (Sl.1.2.1 ) prikazan je p-T dijagram s izmjenama faza za vodu.
7
Sl.1.2.1 p-T di jagr am izmjene faza za vodu
Koeficijent stlačivosti Stlačivost fluida izražava se koeficijentom stlačivosti. Ako se u jedinici volumena tlak poveća za dp to će uzrokovati smanjenje volumena – dV . Kvocijent dV V dp
se naziva koeficijentom stlačivosti ( Pa 1 ) (stišljivosti, kompresibilnosti).
Modul elastičnosti (Pa) Modul elastičnosti recipročna je vrijednost koeficijenta stlačivosti te se njime također definira koliko je stlačiva neka tvar tj. kako određena tvar mijenja volumen dV pri promjeni tlaka dp: .
Negativni predznak je uključen u prethodni izraz pošto povećanje tlaka (dano u brojniku) uzrokuje smanjenje volumena (dano u nazivniku). Obzirom da smanjenje volumena određene mase m= V uzrokuje povećanje gustoće, modul elastičnosti moguće je izraziti i pomoću gustoće (sada bez negativnog predznaka): .
Velike vrijednosti modula elastičnosti za određenu tvar odnosno fluid indiciraju da je tvar relativno nestlačiva.
8
MODUL ELASTIČNOSTI E[Pa] 1.01×10 1.42×10 2.2×109 2.32×109 3.5×10 7.55×10 1.6×10 4.42×1011
TVAR ZRAK (za konstantnu temperaturu) ZRAK (adijabatski) VODA VODA - morska STAKLO ALUMINIJ
ČELIK DIJAMANT
Tablica.1.1 Modul elastičnosti za neke tvari
Koliko je puta zrak stlačiviji od vode ? Izotermna i izentropska kompresija i ekspanzija
Kod stlačivanja plinova odnos između tlaka i gustoće ovisi o prirodi procesa. Ako se kompresija ili ekspanzija događa uz konstantnu temperaturu tada je taj proces izoterman te na osnovu jednadžbe idealnog plina slijedi p
const .
U slučaju da je proces kompresije ili ekspanzije izentropan tj. proces je bez trenja i ne dolazi do izmjene topline s okolinom vrijedi
p
const . ,
gdje je koeficijent kvocijent specifične topline c p pri konstantnom tlaku i specifične topline cv pri konstantnom volumenu i ta veličina se još naziva i adijabatski indeks: .
Specifične topline se odnose prema plinskoj konstanti na način: . Uvrstivši prethodno dane izraze odnosa tlaka i gustoće za izotermnu ili izentropsku kompresiju u izraz modula elastičnosti , za izoterman proces proizlazi , dok za izentropan proces vrijedi
.
Stlačivo strujanje često se javlja u inženjerskoj praksi kod kompresora i raznih sustava s komprimiranim zrakom, zubarskih bušilica, ventilatora, pri prijenosu plinova u plinovodima pod visokim tlakom, transsoničnih strujanja oko aviona i projektila itd. PRI M JER 1.1: Stlačivost vod e?
Gustoća morske vode na površini oceana je V =1025 kg m-3. Uz pretpostavku da sastav mora i temperatura ostaju isti po dubini, koje će biti povećanje gustoće mora na dnu Marijanske brazde na 11 km dubine, gdje je predtlak 108,6 MPa. Modul elastičnosti za morsku vodu E V=2.32 GPa. Zaključak: Iako je voda praktično nestlačiva, pri ekstremnom uvjetu tlaka kao što je slučaj na dubini mora od 11 km, voda se stlačuje za nešto manje od 5%.
9
1.3 Brzina zvuka Zvučni valovi su elementarni valovi u fluidima koji mogu egzistirati bez prisutnosti vanjske sile. Općenito, iz teorije vibracija poznato je da val ili neki drugi oscilirajući sustav podrazumijeva ravnotežno stanje vanjske sile i inercije sustava. Većina valova podrazumijeva prisutnost vanjske sile, k ao što su npr. gravitacija, površinska napetost, magnetska sila, vanjska sila prouzročena elastičnom cijevi te Coriolisova sila prisutna kod fluida u rotirajućem sustavu. Za razliku od navedenih slučajeva zvučni val širi se neovisno o vanjskoj sili te umjesto vanjske sile ravnotežu inerciji sustava daje stlačivost samog fluida. Obzirom da je svojstvo stlačivosti fluida, poput tlaka, isto u svim smjerovima, širenje zvuka je također izotropno. Tlačni poremećaj u fluidu prenosi se određenom konačnom brzinom, a taj je fenomen posljedica međudjelovanja čestica jednih na druge. Dva su osnovna svojstva tvari koja utječu na brzinu zvuka – elastično i inercijsko svojstvo, odnosno moguće je reći da brzina zvuka ovisi o stlačivosti i gustoći pojedine tvari . Utjecaj inercijskog svojstva (gustoća) vidljiv je npr. po odnosu brzine zvuka u vodiku i deuteriju. Zvuk se u vodiku širi 1.41. puta brže nego u deuteriju (teški vodik) koji je dvostruko gušći od vodika dok ostala svojstva ima slična vodik u. Elastično svojstvo tvari povezano je sa sposobnošću tvari da zadrži svoj volumen pri promjeni tlaka p. To svojstvo definira se modulom elastičnosti E za pojedinu tvar . Koristeći modul elastičnosti brzinu zvuka moguće je izraziti na sljedeći način: .
Vibrirajuća zvučnička membrana stvara lokalni tlačni poremećaj – zvuk. Ta mala promjena tlaka širi se zrakom određenom brzinom koju nazivamo brzina zvuka c. Obzirom da su ti poremećaji mali, izmjena topline je zanemariva pa se pretpostavlja da se proces događa izentropski. U . Sada je moguće prethodnom poglavlju definirano je da za izentropski proces vrijedi brzinu zvuka izraziti: . Za veliki broj realnih plinova model idealnog plina je dobra aproksimacija. Kod idealnog plina
molekule su uglavnom previše udaljene da bi međusoban utjecaj molekularnih sila imao značajniji utjecaj, nego je tlak ( p RT ) posljedica prijenosa količine gibanja među molekulama, a unutarnja energija (translacijska, rotacijska i vibracijska) po jedinici mase dobro se može aproksimirati kao funkcija ovisna samo o temperaturi E(T). Stoga, pri konstantnoj temperaturi tlak u idealnom plinu nema utjecaja na brzinu zvuka, a također je brzina zvuka približno ista za sve frekvencije i amplitude. Na osnovu navedenog proizlazi izraz za brzinu zvuka u plinovima upotrebom pretpostavke idealnog plina , kojim se pokazuje da je brzina zvuka proporcionalna kvadratnom korijenu apsolutne temperature T tj. povećava se povećanjem temperature. Za zrak temperature 15 oC, plinsku konstantu i adijabatski indeks (za dvoatomne plinove) κ=1.4, proizlazi brzina zvuka . Prethodni izraz za brzinu zvuka nije moguće primijeniti na kapljevine i na plinove koji su pregusti da bi se na njih primijenio zakon idealnog plina . Veličina adijabatskog indeksa κ koja utječe na brzinu zvuka kreće se unutar raspona od za monoatomne plinove, čija interna energija je posljedica jednostavne maksimalno 10
translacije molekula, kroz vrijednost κ=1.4 za dvoatomne plinove (kod kojih se na energiju translacije nadoda je i energija molekularne rotacije), do nižih vrijednosti koeficijenta κ za
višeatomne plinove pri višim temperaturama (kod kojih se javlja dodatan utjecaj molekularne vibracije). Brzina zvuka u kapljevini biti će mnogo veća od brzine zvuka u plinu zbog slabe slačivosti i gustoću kapljevina. Tako je za vodu temperature 20 oC uz modul elastičnosti moguće izračunati .
pozicija sjeverno od otočja Havaji pr ema Sl.1.3.1 Br zin a zvuka u moru kao fun kcij a dubine ( Worl d Ocean A tlas (WOA)). Br zin a zvuka malo se mij enj a s dubinom (ovisno o temper aturi , tlaku i salinitetu). Minimalna brzina zvuka je u tzv. zvučnom kanalu (SOFAR Sound Fr equency and Ranging channel). U njemu zvučni valovi niskih frekvencija mogu propagirati tisućama
kilometara prije nego disipiraju te je taj fenomen poznat u podmorništvu. Brzina širenja zvuka u kapljevini slabo je ovisna je o frekvenciji (osim efekta disipacije) i slabo ovisna o promjeni tlaka u fluidu te je tako npr. u moru brzina zvuka slabo ovisna o dubini, a što je vidljivo na slici Sl.1.3.1 . gdje se brzina zvuka mijenja približno 5% od površine do dubine od 5,5 km. Treba uzeti u obzir da su u navedenu promjenu brine zvuka po dubini još uključeni utjecaji promjene temperature i saliniteta (u manjoj mjeri).
Zvučni valovi se osim kroz plin i kapljevinu prenose i kroz kruto tijelo gdje je njihova brzina zbog veće krutosti tvari, puno veća. Tako se zvučni val u npr. aluminiju širi brzinom od c=6420 ms1. Zvuk se kroz fluid prenosi kao longitudinalni val. Kroz kruto tijelo zvuk se prenosi i kao
longitudinalni i kao transverzalni val. Longitudinalni valovi su valovi naizmjenične varijacije tlaka obzirom na ravnotežno stanje tlaka, kojima se proizvode područja zgušćenja i razrjeđenja. Transverzalni valovi kod krutih tijela su valovi naizmjeničnog promjenjivog intenziteta smičnog naprezanja pod kutom okomitim na smjer propagacije vala.
Brzinu širenja zvučnog vala u krutom tijelu moguće je predočiti pojavom potresa. Potres se naziva i seizmičkim valom i on je u osnovi zvučni val koji putuje k roz zemlju. Obzirom da je zemljina kora kruta, seizmički valovi se prenose i kao longitudinalni i kao transverzalni valovi. Te dvije vrste valova šire se različitim brzinama, tj. longitudinalni valovi ( P valovi) šire se brzinom ~8000 ms-1, a transverzalni valovi (S valovi) brzinom od ~4500 ms-1. Tijekom potresa longitudinalni valovi stoga stignu ranije i predstavljaju inicijalni tremor prije velikog tremora kojeg izazivaju transverzalni valovi. 11
1.4 Tlak zasićenja pare i kavitacija Tlak zasićenja pare Isparavanje (ishlapljivanje) – izbacivanje molekula kapljevine u plin događa se kada neke
molekule kapljevine imaju dovoljnu količinu gibanja da svladaju međumolekularne kohezivne sile. Ako se kapljevina zatvori u spremniku s malo zrakopraznog prostora (vakuuma) iznad površine fluida, prostoru iznad površine fluida rasti će tlak kako odbjegle molekule kapljevine ishlapljuju. Kada se stvori ravnoteža u smislu da je broj molekula koje napuštaju kapljevinu jednak broju molekula koje se vraća u fluid smatra se da je para zasićena te se tlak pare tada naziva tlak zasićenja pare. Vrenje – formiranje mjehurića pare unutar kapljevine počinje kada se apsolutan tlak u fluidu pri zadanoj temperaturi izjednači s tlakom zasićenja pare (Sl.1.2.1 ). Voda vrije u normalnim uvjetima O (apsolutni tlak od 1 bar) pri temperaturi od 100 C, dok na nadmorskoj visini od npr. 2000m pri atmosferskom tlaku od približno 80000 Pa voda vrije pri temperaturi od 93OC, a u tlačnom loncu u kojem je apsolutni tlak od 3 bar voda vrije pri 134OC.
Vrenje je stoga moguće inducirati pri zadanom tlaku povećanjem temperature ili na zadanoj temperaturi smanjenjem tlaka.
Fenomen vrenja te pojam tlaka zasićenja pare važni su pogotovo kod analize strujanja fluida u zatvorenim sustavima i turbostrojevima. Strujanjem u takvim sustavima fluid često dolazi u zone niskoga tlaka te ako je taj tlak niži od tlaka zasićenja pare dolazi do stvaranja mjehura pare u fluidu. Kada mjehuri pare budu strujom fluida „odnešeni“ dalje u područja višega tlaka od tlaka zasićenja pare dolazi do imploziju mjehura pare koja se naziva kavitacija. U slučaju kada se implozija m jehura pare događa u blizini stijenke dolazi do njenog oštećenja zbog lokalno izrazito Kavitacija.
velikog tlaka koji nastaje pri mikroimplozijama.
1.5 Površinska napetost Granica između kapljevine i plina ili dviju kapljevina koje se ne miješaju naziva se površina. Na površini kapljevine razvijaju se sile koje uzrokuju da se površina ponaša kao neka vrsta membrane koja okružuje fluid. Iz tog razloga čelična igla može plutati na površini vode ili se javlja fenomen žive koja se formira u kuglice kada se stavi na glatku površinu pošto kohezivne sile površine nastoje držati sve molekule žive zajedno u kompaktnoj formi. Tlak u kapljici vode koja leti zrakom je veći nego tlak zraka koji ju okružuje. Površinska napetost se javlja radi neuravnoteženih kohezivnih sila između molekula fluida na površini. Površinska napetost jest intenzitet privlačnih molekularnih sila po jedinici duljine bilo koje linije na površini. Dimenzija jest Nm-1.
Fenomen koji se javlja radi površinske napetosti je i povišenje (ili sniženje) stupca fluida u kapilari. U kapilarnoj cjevčici umetnutoj u vodu javit će se povišenje razine vode zbog međudjelovanja kapljevine, plina i krute stjenke. U primjeru na slici Sl. 1.5.1a između molekula krute stjenke i molekula kapljevine javlja se privlačna molekularna sila koja je jača od interne kohezivne molekularne sile među molekulama u kapljevini i koja zato uzdiže stupac kapljevine. Takva kapljevina se naziva vl ažeća kapljevina.
12
Sl.1.5.1 Površinska napetost
Visina elevacije kapljevine u kapilari određuje se izrazom h
gdje je
2 cos
površinska napetost, R radijus kapilare,
gR kut kontakta fluida i stijenke. Kut kontakta je
funkcija i svojstava kapljevine i vrste stjenke. Za vodu u kontaktu sa staklom
0o , dok živa u
o
kontaktu sa staklom ima 130 te je primjer nevlažećeg fluida u kontaktu sa staklom pošto je u adhezivna sila molekula krute stjenke slaba u usporedbi s kohezivnom molekularnom silom fluida.
Površinska napetost ima važnu ulogu u strujanju kapljevina kroz tlo i poroznu sredinu, kod formiranja kapljica i mjehurića, disperziji mlaza kapljevine, penjanju vode kroz korijenje biljaka (Sl.1.5.2 ) itd.
Sl.1.5.2 Veliko stablo sekvoje crpi i do 500 kg vode dnevno na visine i do 100m Efekt
kapilarnosti omogućuje da stablo kroz korijenje crpi vodu iz tla do iznad površine zemlje. Sunčeva energija preko procesa isparavanja i osmoze koja se događa u stanicama listova diže vodu od površine zemlje do listova .
13
1.6 Viskoznost Fluid je tvar koja se kontinuirano deformira pod utjecajem smičnog naprezanja ma kako malo to naprezanje bilo. Viskoznost – svojstvo otpornosti fluida prema smičnoj deformaciji. Svojstvo suprotno viskoznosti
jest fluidnost. Viskoznost je također i mjera unutarnjeg trenja u fluidu. Povezanost viskoznosti i trenja ukazuje na viskoznost kao svojstvo fluida zbog kojeg nastaju gubici pri strujanju. Vi skoznost
je svojstvo fluida koje se očituje tek pri gibanju fluida.
y U
F
u H
y
x Sl.1.6.1 Eksper iment – anal iza viskoznosti fl ui da
Eksperiment – analiza viskoznosti fluida
Između dvije paralelne ploče nalazi se neka tvar (Sl.1.6.1 ). Donja ploča je fiksna, dok na gornju djeluje sila F, koja proizvodi smično naprezanje = F/A na tvar među pločama. A je površina gornje ploče. Ako sila F prouzrokuje gibanje ploče stalnom brzinom, tada je moguće zaključiti da je tvar među pločama fluid. Fluid u neposrednom kontaktu s čvrstom granicom ima istu brzinu kao čvrsta granica (tzv. ''no slip condition''). Pokus pokazuje da je sila F direktno proporcionalna površini i brzini A i U i obrnuto proporcionalna debljini sloja fluida H AU , H
F gdje je
faktor proporcionalnosti vezan za svojstva fluida. Kvocijent U/H predstavlja brzinu kutne du
deformacije i općenitije ga se može napisati
dy
. Ako se nadalje u prethodnu jednadžbu uvede
izraz za smično naprezanje = F/A. Slijedi Newton ov zakon
viskoznosti :
du , dy
smično naprezanje, du/dy brzina kutne deformacije pri 1D strujanju fluida, a dinamički koeficijent viskoznosti. gdje je
Pa s
Osnovna podjela fluida je na newtonske i nenewtonske (njutonske, nenjutonske) fluide (Sl.1.6.2 ). Kod newtonskih fluida (plinovi, većina kapljevina) postoji linearna relacija (kao na Sl.1.6.1 ) između intenziteta smičnog naprezanja i odgovarajuće brzine deformacije. Nenewtonski fluidi jesu npr. dugolančani hidrokarbonati, krv, zubna pasta, neke boje, blato... (Sl.1.6.2 ), a kod njih je odnos
između intenziteta smičnog naprezanja i odgovarajuće brzine deformacije nelinearan.
14
Sl.1.6.2 Newtonski i nenewtonski fl ui d
Viskoznost se gotovo ne mijenja promjenom tlaka, a mijenja se s promjenom temperature. Kod kapljevina, povećanjem temperature smanjuje se viskoznost, dok se kod plinova povećanjem temperature viskoznost povećava (Sl.1.6.3 ).
Sl.1.6.3 Dinamička i kinematička viskoznost u ovisnosti o temper atur i, za neke flui de
15
Dijeljenjem koeficijenta dinamičke viskoznosti s gustoćom fluida dobiva se koeficijent kinematičke m
viskoznosti fluida
2
s
. Kinematička viskoznost se često koristi u mehanici fluida i
inženjerstvu i predstavlja mjeru otpora fluida smičnoj deformaciji odn. tečenju pod djelovanjem sile gravitacije. Na slikama Sl.1.6.3 uočljivi su različiti međusobni odnosi dinamičkog odn. kinematičkog viskoziteta za neke fluide (npr. voda i živa Sl.1.6.3 ). Za vodu pri normalnim uvjetima vrijedi
1 10
6
m
2
s
1 cSt (centi Stokes), odn.
1 10
3
Pa s
1 cP (centi Poise). Spomenute
su starije jedinice za kinematičku viskoznost Stokes i dinamičku viskoznost Poise koje su još ponegdje u upotrebi.
PRI M JER 1.2: Mjerenje dinamičke viskoznosti rotacijskim viskozimetrom
Uz zadanu brzinu kutne deformacije du/dy te mjerenjem smičnog naprezanja du
je pomoću Newtonovog zakona viskoznosti
dy
, moguće
, izračunati koeficijent dinamičke
viskoznosti . Rotacijski viskozimetar se u osnovi sastoji od vanjskog rotirajućeg cilindra i unutarnjeg, koncentričnog, stacionarnog cilindra Sl.P.1.2 Mjerenjem torzijskog momenta T na unutarnjem stacionarnom cilindru moguće je izračunati smično naprezanje.
Sl.P.1.2 Shematski pri kaz rotacij skog viskozim etr a
Unutarnji je cilindar u dodiru s fluidom preko "plašta" i dna. Ukupni torzijski moment izmjeren na unutarnjem cilindru je stoga
T
T C
T D
gdje je T C torzija zbog smičnog naprezanja na plaštu i T D torzija zbog naprezanja na dnu.
16
Za plašt:
r 2
du
,
dy b gdje je brzina rotacije vanjskog cilindra , a b zračnost među cilindrima. Torzijski moment zbog trenja na plaštu je T C
h r 1 .
2r 1
Uzevši u obzir prethodna dva izraza i Newtonov zakon viskoznosti slijedi 2
2 r 1 r 2 h
T C
.
b
Za dno cilindra:
dA r d dr r r dA r r d dr a
dT D
Integriranjem po dnu unutarnjeg cilindra slijedi: r 1
2
T D
a
3
d
r dr
0
0 4
r 1
T D
a
2
gdje je a zračnost na dnu cilindra prema slici. Slijedi jednadžba za ukupni torzijski moment
T
2 1
r
2
2r 2 h
r 1
b
2a
.
Pošto je T ukupni torzijski moment izmjeren na unutarnjem cilindru iz gornjeg izraza direktno proizlazi dinamički koeficijent viskoznosti .
PRI M JER 1.3: Mjerenje kinematičke viskoznosti Saybolto vim viskozimetrom 17
Princip mjerenja viskoznosti Sayboltovim viskozimetrom ( Sl.P.1.3 ) sastoji se u mjerenju vremena 3 potrebnog za istjecanje V L=60 cm fluida kroz kapilarnu cijev pod utjecajem gravitacije. Pri mjerenju se održava konstantna temperatura mjerenog fluida. Pošto fluid istječe pod utjecajem sile gravitacije važnost pri ovom mjerenju ima i gustoća fluida te je mjerena viskoznost kinematička viskoznost .
Sl.P.1.3 Shematski pr ikaz Saybo ltovo g visk ozimetra
Pri analizi strujanja kreće se od Hagen Poisseuilleove formule za strujanje viskoznog fluida kroz cijev ( Hagen Poisseuilleova formula će biti analizirana kasnije u poglavlju 6.1.2):
p D 4
Q
128 L
.
Dalje, definira se prosječna piezometrična visina za vrijeme istjecanja hL, poznat je volumen
V L / t te se uzima p
mjerenog fluida V L, protok Q se aproksimira Q
V L
g h L D
t
128 L
g h L . Slijedi:
4
4
gD h L 128V L L
t C 1 t .
Pošto je duljina kapilarne cjevčice L relativno malena dodaje se gornjem izrazu još i korekcijski faktor oblika C/t pa konačno slijedi izraz za kinematički viskozitet oblika
C 1t
C 2 t
tj. približni odnos Sayboltovih sekundi i kinematičke viskoznosti jest
0.0022t
1.8 t
10
4
m2 s 1 .
18
PRI M JER 1.4: SAE gradacija visko znosti motorn ih ulja S inženjerskog motrišta viskoznost je najvažnije svojstvo industrijskih maziva. Premalo viskozno mazivo pod silom strojnih nasjednih površina bude istisnuto te dolazi do kontakta strojnih elemenata i oštećenja. Previše viskozno mazivo npr. ne teče preko cijele ležajne površine te dolazi do oštećenja ili zbog svoje prevelike viskoznosti apsorbira previše energije koja se potom pretvara u toplinu te dovodi do pregrijavanja. Stoga je pravilan izbor određenog maziva, ulja za određenu industrijsku namjenu od izuzetne važnosti. Za pravilan izbor maziva odn. m otornih ulja važna je njihova što preciznija k lasifikacija. SAE (Society of Automotive Engineers) klasifikacija motornih ulja prema viskoznosti je najrašireniji i općenito prihvaćen sustav klasifikacije na svijetu. Prema SAE oznakama definiraju se dvije grupe viskoznosti: - s oznakom W - kojom se klasificiraju ulja za zimske uvjete r ada; - bez oznake - ulja za općenite uvjete rada. Viskoznost se kod ulja s oznakom W mjeri na sljedeće načine: - simulatorima hladnog starta i testom pumpanja koji definira kritičnu temperaturu pumpanja O - testom kod kojeg mora zadovoljiti minimalnu viskoznost kod 100 C. U simulatorima hladnog starta dobiva se dinamička viskoznost u (Pa s), dok ta ulja moraju o također zadovoljiti i test minimalne kinematičke viskoznosti pri 100 C. Kod ulja bez oznake mjeri se samo kinematička viskoznost pri višoj temperaturi. U modernim motorima koriste se tzv. multigrade ulja koja se dobiju miješanjem prethodno navedenih dviju grupa ulja te ona zadovoljavaju kriterije viskoznosti pri niskim temperaturama i o zadovoljavaju također uvjete minimalne i maksimalne viskoznosti pri 100 C. Npr. ulje koje zadovoljava 10 W uvjete i 30 uvjet označava se SAE 10W30 . SAE Viskoznost
0W 5W 10W 15W 20W 25W 20 30 40 50
ASTM D2602 Viskoznost (Pa s) o Max temp. ( C)
6200 6600 7000 7000 9500 13000
pri -35 pri -30 pri -25 pri -20 pri -15 pri -10
ASTM D3829 Granična temp. o pumpanja ( C)
ASTM D445 Minimalna viskoznost 2 o (mm /s) pri 100 C
ASTM D445 Maksimalna viskoznost 2 (mm /s) pri o 100 C
-35 -30 -25 -20 -15 -10
3,8 3.8 4,1 5,6 5,6 9,3 5,6 9,3 12,5 16,3
9,3 12,5 16,3 21,9
Tablica P.1.4 SAE klasifikacija viskozno sti mo torni h ulja
U inženjerstvu se često koristi veličina i n d e k s a v i s k o z n o s t i " V I " . Unutarnje trenje u kapljevinama pa tako i mazivu je veće pri nižoj temperaturi i manje pri višoj temperaturi. Npr. med pri niskoj temperaturi jedva da teče, a nakon zagrijavanja teče sasvim lako. Med i njemu slični fluidi imanju n i z ak i n d e k s v i s k o z n o s t i dok fluid koji podjednako teče i pri niskim i visokim temperaturama ima v i s o k i n d e k s v i s k o z n o s t i . Raspon indeksa VI ide od VI=0 za ulja s visokom osjetljivošću na viskoznost obzirom na temperaturu do cca. VI=200 za ulja kod kojih se viskoznost puno manje mijenja s promjenom temperature. U motorna ulja stoga se dodaju kemijski aditivi (obično dugolančani polimeri) za poboljšanje indeksa viskoznosti, a što se posebno odnosi na miješana ( multigrade) ulja.
19
2. STATIKA FLUIDA Statika fluida se bavi fluidom u stanju mirovanja. Fluid je u stanju mirovanja ako postoji
koordinatni sustav u kojem je brzina čestica fluida u svakoj točki jednaka nuli.
2.1 Sile, naprezanja i tlak u fluidu Sile u mehanici fluida dijele se na [Cauchy]:
-
masene ili tjelesne sile, u oznaci F m , (gravitacija, inercijska sila, centrifugalna sila,
Coriolisova sila, elektromagnetska sila)
-
kontaktne ili površinske sile , u oznaci F s .
a.
b. Sl.2.1.1 Masene i kontaktne sile u fluidu
Gustoća masene sile, u oznaci f , se definira u svakoj točki promatranog tijela fluida kao
f x0 , y0 , z 0
lim m
F m
F m
m
0
lim V
0
V
,
gdje je m masa tijela V koje sadrži točku (xo, yo, zo) i F m masena sila na to tijelo ( Sl.2.1.1 ). Gustoća kontaktne sile, u oznaci t , se definira u svakoj točki tijela fluida kao
t x, y, z
lim A
0
F S S
,
S površina diferencijalnog dijela ravnine definirane točkom (x, y, z) i normalom n , te F S kontaktna sila na S (Sl.2.1.1 ). Uz osnovna dva zakona statike fluida, koji su ujedno osnovni zakoni statike bilo kojeg kontinuuma, gdje je
potrebno je definirati konstitutivnu relaciju za fluid koja se očituje u definiranju tenzora naprezanja
20
Kontaktne sile
Kontaktne ili površinske sile djeluju na plohu – granicu tijela. Naprezanja proizlaze od kontaktnih sila koje djeluju na granicu tijela. Konceptom naprezanja objašnjava se način na koji se djelovanje sila koje djeluju na granicu tijela prenosi kroz tijelo. Obzirom da su i sila i ploha (definirana
normalom) vektorske veličine očigledno je da je polje naprezanja skalarno polje. Pretpostavimo neku plohu u fluidu koji struji te kontaktnu silu koja djeluje na tu plohu. Pretpostavimo dalje dio te plohe – malenu plohu A u sredini koje se nalazi točka C, kao što je prikazano na slici. Kontaktnu silu F (čiju gustoću označujemo s t ) koja djeluje na malenu plohu
A moguće je rastaviti na dvije komponente, jednu u smjeru normale na plohu i jednu tangencijalnu na plohu. Na osnovu toga definiraju se normalno
i tangencijalno naprezanje
:
Sl.2.1.2 Kontaktne sil e u fl ui du
lim A
0
F n A
i
lim A
0
F t A
.
(1.1.4.1)
Segment plohe – malena ploha A , slobodno je orijentirana u trodimenzijskom prostoru te se komponente sile koja na nju djeluje, dalje u kartezijevom koordinatnom sustavu rastavljaju na x, y i z komponente. Isto tako analiziramo plohu A kroz njene projekcije prema koordinatnim osima
A x , A y , A z . Ako se prvo analizira x projekcija plohe - A x čija je normala u smjeru osi x te se definiraju limesi
slično (1.1.4.1) dobivaju se komponente naprezanja:
Sl.2.1.3 Komponente sile i napr ezanj a na malenu pl ohu
A x
21
xx
lim
A x
0
F n , x A x
,
xy
lim
A x
0
F t , y A x
,
lim
xz
A x
F t , z
0
A x
.
(1.1.4.2)
Naprezanja su označena dvostrukim indeksima, gdje prvi indeks označuje projekciju male plohe A , a drugi indeks označuje smjer u kojem naprezanje djeluje. Sukladno projekciji A x računaju se i označuju naprezanja i za druge projekcije. U y smjeru, na projekciji plohe - A y definiraju se naprezanja zx
,
zy
yy
,
yx
,
yz
. Za projekciju plohe A z
slično prethodnome, vrijede naprezanja
zz ,
.
Naprezanje u točki C potpuno je definirano definicijom naprezanja na tri međusobno okomite, prethodno opisane plohe koje prolaze kroz tu točku. Skup prethodno definiranih (devet) naprezanja zapisuje se u obliku tenzora naprezanja
T
xx
xy
xz
yx
yy
yz
zx
zy
zz
(1.1.4.3)
.
Moguće je dokazati da je prethodno definirani tenzor simetričan, tj. da vrijedi yz
zy
,
zx
xz
,
xy
yx
,
(1.1.4.4)
te na osnovu toga proizlazi da je za definiranje stanja naprezanja unutar fluida potrebno poznavati
šest skalarnih funkcija, međusobno različitih komponenti tenzora naprezanja.
Sl.2.1.4 Način označavanja naprezanja
Na slici Sl.2.1.4 prikazan je infinitezimalni volumen ograničen sa šest ploha, s dvije x plohe, dvije y plohe i dvije z plohe. Normala svake plohe usmjerena je prema van u odnosu na centar elementa. 22
Na slici su radi zornosti prikazana naprezanja samo na x i y plohama. Npr. gornja ploha ( y ploha) je pozitivna, a donja ( y ploha) negativna, što proizlazi iz usmjerenosti njihovih vektora normala obzirnom na odgovarajuću koordinatnu os ( y os). Komponenta naprezanja je pozitivna ako su smjerovi komponente naprezanja i normale plohe na kojoj naprezanje djeluje oboje pozitivni ili negativni. Na Sl.2.1.4 sva naprezanja prikazana su kao pozitivna.
Komponente gustoće kontaktnih sila definiranih na početku poglavlja moguće je zapisati pomoću komponenti naprezanja:
t x
i
xx
j
xy
k ,
t y
xz
i
j
yx
k ,
yy
yz
t z
i
zx
j
zy
k (1.1.4.5)
zz
Prema definiciji, u fluidu u stanju mirovanja nema smičnih naprezanja. Isto tako u idealnom fluidu (koji se giba ili miruje) koji predstavlja idealizirani model u kojem ne postoje viskozne sile tj. ne postoje smična naprezanja, ukupna kontaktna sila na bilo koju plohu unutar fluida kolinearna je s
vektorom normale plohe. Za mirujući realni fluid i gibajući ili mirujući idealni fluid vrijedi da jedina preostala komponenta naprezanja – normalna naprezanja ne ovise o orijentaciji plohe. Tu zakonitost definirao je Blaise Pascal (1623.-1662.). Pascalov zakon definira: „tlak u nekoj točki fluida koji miruje ili se giba, neovisan je o orijentaciji plohe na kojoj je točka, ako nema smičnih naprezanja “. Kod r ealnog gibajućeg fluida (kod kojeg stoga postoje smična naprezanja) normalno naprezanje u
nekoj točki nije nužno isto u svim smjerovima tako da se u tom slučaju tlak računa kao srednja vrijednost normalnih naprezanja u tri međusobno okomita pravca (smjera). Za bilo koju točku unutar mirujućeg ili idealnog fluida osim činjenice da ne postoje tangencijalna naprezanja 0 vrijedi i xx
yy
zz
p
(1.1.4.6)
gdje je p tlak. Tenzor naprezanja (1.1.4.3) se stoga pojednostavljuje u
T p
p
0
0
0
p
0
0
0
p
(1.1.4.7)
.
odnosno, raspored unutarnjih kontaktnih sila dan je jednom skalarnom funkcijom – tlakom.
Vektor gustoće kontaktne sile
t x0 , y0 , z 0
t n .
moguće je stoga u mirujućem ili idealnom fluidu jednostavnije izraziti pomoću tlaka p . Vrijedi:
t x0 , y0 , z 0
p n
Kad fluid miruje, sila fluida na plohu je okomita i tlak je uvijek isti, kako god orijentirali plohu s . Tlak je temeljna varijabla u mehanici fluida.
Tlak u točki (x, y, z), p(x,y,z) , definiran je omjerom intenziteta kontaktne sile i površine plohe. Osnovna jedinica za tlak je paskal (Pa) i jednaka je kvocijentu sile od jednog njutna i površine od jednog metra kvadratnog, Pa (paskal) =N/m2. Često se koristi i jedinica bar = 105 Pa. 23
U tablici 2.1.1 dane su osim normalnog (normnog) tlaka na površini mora i druge normalne
veličine. Svojstvo
Simbol
Vrijednost
Temperatura
T p
150C
Tlak
101.3 kPa
Gustoća
1.225 kg/m3
Viskoznost
1.781 10 - Pa s
Tabl ica 2.1.1 Normalni uvjeti na površini mora PRI M JER 1.5: Primjena Pascalovog zakona u hidrauličnim uređajima
Pascalov zakon definira da povećanje tlaka u bilo kojoj točki fluida zatvorenog u spremniku uzrokuje jednako povećanje tlaka u svim točkama fluida u spremniku. Primijenjeno na slučaj hidrauličke dizalice prikazane na slici vrijedi da je tlak na površini lijevog i desnog klipa isti p1
p2 .
Sila na klip manje površine A1 jest F 1 p1 A1 pa slijedi da se sila na klipu veće površine za idealan slučaj bez gubitaka trenja, multiplicira prema izrazu F 2
A2 A1
F 1 .
Multipliciranje sile istodobno pretpostavlja da će hod manjeg klipa biti znatno duži d 1 od hoda većeg klipa d 2 pošto volumen kojega prebriše manji klip mora biti jednak volumenu kojega prebriše veći klip (tamno siva područja na slici). Pokazani princip koristi se kod raznih hidrauličnih
sustava: teških građevinskih strojeva – raznih kopača i buldožera, automehaničarskih dizalica, kočionih sustava u automobilu, hidrauličnih preša itd.
24
2.2 Osnovna
jednadžba statike fluida
U statici fluida vrijede dva osnovna zakona: 1. Suma sila na svako tijelo fluida jednaka je nuli. 2. Suma momenata na svako tijelo fluida jednaka je nuli. U prethodnom poglavlju pokazano je kako se tlak u točki ne mijenja s promjenom smjera plohe.
Važno je definirati i na koji način se tlak u fluidu bez smičnih naprezanja (mirujućem ili idealnom) mijenja od točke do točke. Maleni dio tijela fluida oblika kocke prikazan je na slici 2.2.1. Na taj element djeluju: kontaktne sile zbog djelovanja tlaka te masena koja je jednaka težini elementa fluida. Ako se tlak u središtu elementa označi s p, tada se srednje vrijednosti tlaka na plohama koje omeđuju element mogu izraziti pomoću tlaka u središtu elementa p i njegovih derivacija (slika 2.2.1). Koristi se razvoj u Taylorov red kako bi se na osnovu tlaka u centru elementa aproksimirale
srednje vrijednosti tlaka na stranicama uz istovremeno zanemarivanje članova višega reda kako se vrijednosti x , y , z približavaju nuli. Radi zornosti na slici nisu prikazane kontaktne sile u x smjeru. Rezultirajuća sila
Sl.2.2.1 Kontaktn e i masene sil e na segment f lui da
u y smjeru je
F y
p
p y y 2
x z
p
p y y 2
x z
odnosno slijedi 25
p
F y
x y z .
y
Sličnim postupkom dobivaju se kontaktne površinske sile za x i z smjer:
F x
p x
x y z
F z
p z
x y z .
Vektorski zbroj definiranih komponenti F x , F y , F z daje rezultantnu kontaktnu površinsku silu
F x i
F s
F y j
F z k
odnosno
p
F s
x
p
i
y
p
j
z
k x y z .
Jedinični vektori po koordinatnim osima x, y, z označeni su i, j, k , dok su u prethodnom izrazu u zagradi članovi koji čine gradijent tlaka i mogu se kraće zapisati pomoću operatora (nabla) ili grad na sljedeći način: p x
i
p y
p
j
z
k
grad p .
p
Osim kontaktnih površinskih sila u analizu je potrebno uključiti djelovanje gravitacijske (masene) sile na element fluida pa slijedi izraz za težinu elementa fluida W
g x y z k
gdje negativan predznak znači da je z os usmjerena prema gore tj. suprotno djelovanju gravitacijske sile. Ako se sve sile (i kontaktne površinske i masene) sumiraju i uključe u drugi Newtonov zakon
F
m a koji djeluje na element fluida, slijedi F s
W
ma
odnosno
grad p x y z
g x y z k
grad p
g k
x y z a
a.
Dobiveni izraz jest Eulerova jednadžba gibanja, za fluid bez smičnih naprezanja. Za slučaj mirujućeg fluida a 0 pod djelovanjem gravitacijske sile prethodni izraz se reducira u grad p
g k .
26
Ako se prethodni izraz poopći tako da vrijedi za slučaj mirujućeg fluida pod utjecajem masene sile u općenitom smislu, proizlazi osnovna jednadžba statike fluida grad p
f
gdje f označava gustoću ( sila / masa) masene sile jedinice ms -2. Osnovna jednadžba statike fluida
predstavlja sustav diferencijalnih jednadžbi: p x
p
f x
y
p
f y
z
f z
Zadatak statike fluida sastoji se u tome da se iz osnovne jednadžbe statike fluida uz poznatu f gustoću volumne sile i - gustoću (mase), izračuna raspodjela tlaka p(x,y,z). Osnovna jednadžba statike izražava zakonitost da je najveća promjena tlaka ( grad p) u mirujućem fluidu u smjeru masene sile f . Gradijent tlaka je vektor okomit na izobaru (plohu jednakog tlaka).
2.3 Fluid konstantne gustoće u polju sile teže Za mirujući fluid konstantne gustoće (homogeni fluid) u polju sile teže potrebno je definirati jednadžbu tlaka i izobare - plohe jednakog tlaka. Koordinatni sustav definiran je tako da je
f g k ,
), odnosno gustoća masene sile gravitacije. gdje je g = 9,81 m/s2 ubrzanje sile teže (Sl.2.3.1 zra
x
p0 y
voda
Izobare
z f
g k
Sl.2.3.1 Mirujući fluid u polju sile teže
Osnovna jednadžba statike fluida napisana po komponentama glasi: p x
0,
p y
0,
p z
g .
Iz prve dvije jednadžbe izlazi da je p funkcija samo varijable z , tj. p = p ( z ). Treća diferencijalna jednadžba je: dp dz
g .
27
Opće rješenje ove jednadžbe je p( z )
gz C .
Konstanta integracije C se određuje iz poznavanja tlaka u jednoj točki fluida. Za z = 0, prema slici Sl.2.3.1 tlak je p = p0 pa slijedi vrijednost konstante integracije C:
p(0)
p0
C .
Iz prethodnog izraza vidljivo je: Izobare, plohe jednakog tlaka, su ravnine z C , gdje je C
proizvoljan broj, odnosno izobare su ravnine okomite na smjer sile teže. Na određenoj dubini fluida z = h tlak je: p z
p0
gh .
2.4 Mjerenje tlaka Barometar Barometar je instrument za mjerenje atmosferskog tlaka. Princip barometra [Torricelli, 1643] je . Cijev dužine 1m napunjena je živom i uronjena u posudu sa živom . Živa u prikazan na Sl.2.4.1
cijevi ostane na visini H, približno 760 mm , iznad površine žive u posudi. p
0
C
h
B
A
patm
živa Hg
Sl.2.4.1 Bar ometar
Prema Sl.2.4.1 : p A
p B patm
patm
p A , p B
(atmosferski tlak) pC
Hg g h
0
(vakuum) ,
p B
pC
Hg
g h
13600 kg / m3 9.81 N / kg 0.76m 1.01396 105 Pa 1.01396bar
28
Manometar
Manometar je instrument koji mjeri tlak pomoću stupca fluida. Princip rada manometra je prikazan na Sl.2.4 .2 Sa slike moguće je zaključiti: zrak
p
atm
A
H h C
B voda
Sl.2.4.2 Man ometar
p B
pC
pC
fluida
g h patm
p B
p A
Diferencijalni manometar Diferencijalni manometar prikazan na Sl.2.4.3 mjeri pad tlaka u dijelu cijevi. Vrijedi:
pC
p A
g x
p D
h ,
p B
g x
m
g h
Sl.2.4.3 Di ferencijal ni manometar
Izobara povučena kroz točke C i D daje pC p A
p D . Slijedi:
p B
m
g h
U slučaju da u cijevi Sl.1.7 struji zrak, a mjerni fluid je voda, gornji izraz za razliku tlakova moguće je aproksimirati p A
p B
m
g h , 29
pošto je mjerni fluid (voda razliku tlakova mjerimo ( zrak
m
voda
) u ovom slučaju približno tisuću puta gušći od fluida čiju
zr ak
).
2.5 Relativno mirovanje fluida Relativno mirovanje, inercijski i neinercijski koordinatni sustav
Newtonovi zakoni vrijede uz pretpostavku da se sva opažanja ili mjerenja čine u odnosu na koordinatni sustav koji miruje u prostoru. Također, moguće je pokazati da ako Newtonovi zakoni vrijede za određeni koordinatni sustav oni također vrijede i za neki drugi koordinatni sustav koji se u odnosu na prvi giba konstantnom brzinom. Svi takvi koordinatni sustavi nazivaju se inercijski koordin atni sustavi ili Newtonski koor din atni sustavi . Sustav koji se prema inercijskom sustavu giba vremenski ili po smjeru promjenljivom brzinom, neinercijski je sustav. Prema d'Alembertovu principu inercijskih sila , moguće je transformirati ubrzano kruto tijelo u ekvivalentno statično tijelo dodajući inercijske sile i inercijski moment. Tako za fluid koji relativno miruje u neinercijskom sustavu, osnovna jednadžba statike fluida i dalje vrijedi, ako se u vanjske masene sile dodaju i inercijske sile. Da bi se mogao primijeniti taj princip potrebno je da fluid relativno miruje, tj . da nema relativnog pomicanja čestica fluida jednih prema
drugima, već da se čitav fluid giba poput krutog tijela. Pretpostavimo tijelo koje se u odnosu na fiksni koordinatni sustav giba translacijski jednoliko ubrzano akceleracijom a . Ako se to tijelo promatra iz neinercijskog koordinatnog sustava koji se također giba jednolikim ubrzanjem a , ubrzanje nestaje, ali je potrebno dodati inercijsku silu gustoće a . Pod pojmom gustoće sile podrazumijevamo kvocijent sila/masa [m2s-1]. Slično, u sustavu koji rotira konstantnom kutnom brzinom pojavljuje se nehomogena masena centrifugalna sila a c (vidjeti u poglavlju Fluid u rotirajućem spremniku). Zemlja (tj. koordinatni sustav vezan za Zemlju) nije inercijski sustav, ali se praktično za mnoge
realne primjene može smatrati inercijskim sustavom pod ograničenjem da brzina promatranog gibanja nije prevelika. Ipak, utjecaji neinercijalnosti tog istog sustavu ponekad se ne mogu zanemariti, npr. djelovanje Coriolisove inercijske sile na velike mase geofluida, atmosfere i oceana
pa se u tom slučaju koordinatni sustav vezan za Zemlju smatra neinercijskim. Translatorno gibanje fluida uz konstantno ubrzanje
Promatra se fluid u spremniku koji se giba konstantnim ubrzanjem a , (Sl.2.5.1 ).
Sl.2.5.1 Spremni k s flui dom giba se tr anslacij ski uz konstantn o ubrzanje 30
U neinercijskom koordinatnom sustavu čvrsto vezanom na spremnik os z usmjerena je vertikalno uvis, os x je horizontalna i u smjeru gibanja. Prema izloženom principu, osnovna jednadžba statike fluida u spremniku koji se translacijski giba konstantnim ubrzanjem a u gravitacijskom polju
Zemlje i dalje zadržava svoj oblik, ali je sada ukupna gustoća masene sile f zbroj gustoće masene sile gravitacije i inercijske sile:
f
a
g
Osnovna jednadžba statike fluida uz navedene pretpostavke vrijedi te glasi:
f
grad p
a
g ,
odnosno po komponentama:
p
p
a
x
p
0
y
z
g .
Iz prethodnih izraza proizlazi
p
p x, z .
Sustav od dvije parcijalne diferencijalne jednadžbe rješavamo metodom varijacije konstante. Integracijom prve jednadžbe slijedi p
( z )
ax
Uvrštavanjem u treću jednadžbu dobije se: p
d
z
dz
g ,.
( z )
gz C
a x
g z C .
Konačno se može napisati p
Konstanta C se određuje iz poznavanja tlaka u proizvoljnoj točki fluida. Izobare su ravnine (u XZ ravnini pravci):
C 1
a x z
a
x g
g z C C 2
Prethodni izraz je jednadžba kosog pravca čiji je koeficijent smjera horizontalnu ravninu može se izračunati
a
. Kut izobara u odnosu na g iz koeficijenta smjera pravca izobare:
tan
a g
.
31
Fluid u rotirajućem spremniku Fluid u spremniku koji rotira konstantnom kutnom brzinom , rotira kao kruto tijelo tj. nema relativnog pomicanja čestica fluida jednih prema drugima. Prema izloženom principu na početku ovog poglavlja, čestice fluida miruju u neinercijskom koordinatnom sustavu koji je čvrsto vezan za spremnik.
Sl.2.5.2 Fluid u rotirajućem spremniku – površina spremnika u obliku rotacijskog paraboloida
Gustoća masene sile sada je zbroj gustoće masene sile gravitacije i inercijske centrifugalne sile:
f g ac
gdje je a c gustoća centrifugalne sile (koja odgovara centrifugalnom ubrzanju spremnika obzirom
na apsolutno mirujući koordinatni sustav). Treba uočiti da se f g a c mijenja po smjeru i intenzitetu počevši od osi rotacije do ruba posude. U cilindričnom koordinatnom sustavu (gdje je ishodište sustava na dnu posude, a osi z i r usmjerene kako je prikazano na slici Sl.2.5.2 ) je
2
f
r er
0 e
g k .
i gradijent tlaka
grad p
p r
er
1 p
r
e
p z
k .
Osnovna jednadžba statike fluida po komponentama jest: p r
2
r
1 p
r
0
p z
g
te slijedi p = p(r,z). Integracijom prve jednadžbe dobiva se
p r , z
2
r 2 2
z .
32
gdje je (z) proizvoljna funkcija varijable z. Ako se navedeni izraz uvrsti u treću jednadžbu, nalazimo:
dp
d
dz
dz
g , odnosno
g z C
Konačno, polje tlaka je definirano relacijom: p ( r , z )
2
g z
r 2
C
2
Konstanta integracije C se dobije iz poznavanja tlaka u proizvoljnoj točki fluida (npr. na površini fluida p=p0): 2
p (r , z )
r 2
g ( Z 0
2
z )
p0
Izobare, plohe konstantnog tlaka, su rotacijski paraboloidi: 2
z
2
r
Z 0 .
2 g
Ako fluid ima slobodnu površinu, onda je ona izobara – rotacijski paraboloid. Volumen rotacijskog paraboloida jest pola volumena valjka visine ZR
V R
1 2
R 2 Z R ,
gdje je (Sl.2.5.2 ): 2
Z R
R
2
2 g
.
33
2.6 Sile fluida na ravnu plohu Potrebno je izračunati silu fluida na ravnu plohu A prikazanu na slici. Pretpostavimo općeniti slučaj gdje je zatvoreni spremnik djelomično napunjeno fluidom. U spremniku iznad površine vode vlada predtlak p0 , tj. tlak iznad površine fluida je za p0 veći od tlaka s vanjske strane plohe A. Na
infinitezimalni dio plohe dA djeluje sila d F u smjeru normale n (Sl.2.6.1 ):
Sl.2.6.1 Sil a fl ui da na ravnu plohu
d F p dA n .
Ukupna sila je (vektor normale u ovom slučaju je konstanta):
F n pdA , A
a intenzitet sile jednak je:
F
F
pdA . A
Za slučaj fluida konstantne gustoće u konstantnom gravitacijskom polju tlak je definiran relacijom: p
g h p0 ,
p
g y sin
h
y sin
p0 34
gdje je p0 predtlak iznad površine fluida. Sada za silu vrijedi:
F
( p0
g y sin )dA
g sin
ydA p0 dA p0 A
A
A
g sin
A
ydA, A
Prvi moment plohe A oko osi x definiran je izrazom
ydA yT A , A
gdje je yT ordinata težišta T(xT , , yT ) površine A. Slijedi izraz za intenzitet sile fluida na plohu A:
F
p0 A
g sin yT A
Centar tlaka
Centar tlaka je točka P(xP, yP) za koju vrijedi: M x = y P F ,
M y = x P F
gdje su M x i M y momenti sile fluida oko osi-x i osi-y uzrokovani djelovanjem tlaka fluida po površini A. Kako se ukupni moment oko x-osi zbog tlaka po površini A može zapisati izrazom
M x
dM x A
ydF A
ypdA A
y( p0 dA
g y sin
dA)
A
p0 ydA A
y 2 dA
g sin A
slijedi da je:
y P F y P
g sin I xx
p0 yT A ,
g sin I xx
p0 yT A
g sin
yT A
p0 A
gdje je I xx (drugi moment inercij e plohe A prema osi x ): 2
I xx
y dA . A
Prema teoremu paralelnih osi I xx je moguće izraziti i pomoću izraza
I xx I
yT 2 A
gdje je I (Sl.2.6.2) drugi moment inercije plohe prema osi
koja prolazi kroz težište plohe T i
paralelna je s osi x, kao što je prikazano na Sl.2.6.1. Izrazi za druge moment inercije I i produkt
za različite geometrijske likove dani su na Sl.2.6.2 Na analogan način moguće je dobiti i x-koordinatu centra tlaka: inercija I
35
x P F
x pdA
g sin
A
x ydxdy p0 A
x P
xdxdy
g sin I xy
p0 xT A
A
g sin I xy
p0 xT A
g sin yT A p0 A
,
pri čemu je: I xy
xy dxdy A
plohe A (ili centrifugalni moment plohe A) obzirom na osi x i y. Kao i u produkt i nercij a prethodnom slučaju prema teoremu paralelnih osi I xy je moguće izraziti i kao
I xy I
xT yT A
gdje je I (Sl.2.6.2) produkt inercija prema pravokutnom koordinatnom sustavu
koji ima
ishodište u težištu T i dobiven je translacijom koordinatnog sustava x-y. U slučaju da je ploha A simetrična tj. njena os simetrije paralelna je s osi y (Sl.2.6.1) centar tlaka P nalazi se upravo na osi simetrije ispod točke težišta T te je tada x P xT odnosno I xy 0 , I 0 (Sl.2.6.2).
Sl.2.6.2 Dr ugi m oment i nerci je plohe za osi
koje prolaze kroz težište plohe
36
Vanjski tlak isti s obje strane plohe
Za slučaj da je vanjski tlak s vanjske strane plohe A isti onome iznad površine fluida ( Sl.2.6.3 ), tj. ako je predtlak p0 0 , poništava se djelovanje vanjskog tlaka te iz prethodno izvedenih izraza za intenzitet sile fluida na plohu i položaj centra tlaka nestaje p0 : F 1
p0 A
g yT A sin
F 2
F y P
p0 A
F 1 F 2
g yT sin
A
g sin
I xx
I xx
g sin
yT A
g yT A sin
yT A
.
Sl.2.6.3 Atm osferski tl ak p a iznad površine fluida i s vanj ske stran e plohe
Translacijom koordinatnog sustava x-y u težište plohe A dobije se novi koordinatni sustav
.
yT 2 A I , gdje je I moment inercije prema osi
Ako se moment inercije I xx izrazi pomoću I xx
koja prolazi kroz težište plohe, slijedi: y P
y P
2
I
yT A yT A
yT
, tj.
I yT A
Slično, dobije se i x P xT gdje je I
I yT A
,
produkt inercij a (Sl.2.6.2).
37
2.7 Sile fluida na plohu Na dio plohe S, dS, djeluje sila dF u smjeru vektora normale (Sl.2.7.1 ): fluid
S FS n
S
Sl.2.7.1 Vektor sil e flu ida i vektor norm ale plohe istog su smjer a i suprotne ori jentacij e
d F
p dS n .
Ukupna sila je:
F
d F
pndS .
S
S
Vektor normale može se napisati kao
n
n x i
n y j
n z k
pri čemu je nx=cos
, ny=cos , nz=cos , a , , kutovi koje vektor normale zatvara s koordinatnim osima. Sila fluida na plohu po komponentama jest:
F x
pdA x , F y
pn x dS S
A x
pdA y , F z
pn y dS S
A y
pn z dS S
pdA z Az
pri čemu su A x, A y, i A z odgovarajuće projekcije plohe S na ravnine yz, xz i xy.
38
Sl.2.7.2 Zakr ivl jena ploha
Za zakrivljenu plohu S u mirujućem fluidu s otvorenom površinom (Sl.2.7.2) moguće je izraziti komponente sile fluida na plohu. F x i F y komponente jesu
F x
pT x A x
ghT x A x ,
F y
pT y A y
ghT y A y .
Vertikalna komponenta sile fluida jest
F z
pdA z
g hdA z .
A z
A z
Obzirom da je volumen fluida između zakrivljene plohe S i slobodne površine V
hdA z slijedi A z
konačni izraz za intenzitet vertikalne komponente sile fluida F z
gV
što predstavlja težinu fluida između zakrivljene plohe S i slobodne površine.
39
2.8 Uzgon Ukupna kontaktna sila mirujućeg fluida na tijelo djelomično ili potpuno potopljeno u fluidu zove se uzgon. Intenzitet sile uzgona jednak je težini istisnutog fluida. Ova zakonitost naziva se Arhimedov zakon prema grčkom misliocu Arhimedu (287-212 pr.n.e.). Uzgon na tijelo u mirujućem fluidu (pod djelovanjem gravitacije) djeluje vertikalno prema gore, suprotno smjeru djelovanja gravitacijske sile jer je uzrokovan porastom tlaka u fluidu s povećanjem dubine.
Horizontalne se komponente sile tlaka na površinu tijela međusobno poništavaju. Sila fluida na tijelo uronjeno u njemu jest
F
g V tijela k
fluida
U F z
gV tijela
odnosno, sila fluida na tijelo, uzgon (U ), ne ovisi o gustoći (materijalu) tijela, nego o gustoći fluida, gravitacijskom ubrzanju i volumenu tijela.
Zadržavši se na izrečenim pretpostavkama da se horizontalne sile fluida na uronjeno tijelo poništavaju te da je sila uzgona na tijelo u mirujućem fluidu uzrokovana porastom tlaka u fluidu s povećanjem dubine i usmjerena vertikalno prema gore, za slučaj prikazan na sljedećoj slici vrijedi:
Sl.2.8.1 Uzgon
dF z
p0
gh2 dA
Obzirom da je volumen elementa dV
U F z
h2
p0
gh1 dA
g h2
h1 dA .
h1 dA slijedi izraz za uzgon
dF z
gdV
gV .
V
Hvatište sile uzgona jest u težištu istisnutog volumena fluida.
40
PRIMJER 2.1: Definiranje uzgona za tijelo koje je isplivalo na površinu
G U , tijelo tone, ako je težina tijela jednaka uzgonu, G U , tijelo lebdi u fluidu, a ako je težina tijela manja od uzgona, G U , tijelo izranja.
Ako je težina tijela veća od uzgona,
Nakon što je tijelo izronilo njegova težina je jednaka uzgonu, i vrijedi, npr. za tijelo na granici kapljevine i plina (vode i zraka), sljedeće ( Sl.P.2.1 ):
U
gV 2
2
gV 1
G
1
V1
zrak
1
voda
2
V2
Sl.P.2.1 3
U ovom slučaju gustoća vode
2
1000 kg / m , znatno je veća od gustoće zraka
1
1,29 kg / m
3
te je moguće zanemariti uzgon zraka. Tijelo je izronilo upravo toliko da se uspostavi ravnoteža između težine tijela G i uzgona na dio koji je ostao potopljen u fluidu:
U
2
g V 2
G.
PRIMJER 2.2: Uzgon na tijelo djelomično potopljeno u fluidu fiktivna površina fluida
Gornja ploha G
D
E
D F
G
C
TIJELO
A
E
F
C
TIJELO
A
B
B
Donja ploha
Sl.P.2.2 Primjer računanja uzgona za tijelo djelomično uronjeno u fluid
Ako na slici Sl.P.2.2 označimo plohu CDA kao gornju plohu tijela i plohu ABC kao donju plohu tijela, uzgon na tijelo, potpuno ili djelomično potopljeno u fluidu, jednak je razlici vertikalne komponente sile fluida na donju plohu tijela i vertikalne komponente sile fluida na gornju plohu tijela. Sila na gore koja djeluje na donju plohu tijela jest, F G fluida g V ABCFGA , gdje je V ABCFGA volumen između donje plohe tijela i površine fluida (realne ili fiktivne.). Sila na dolje, koja djeluje da g V AEGA , gdje je V AEGA volumen između gornje plohe tijela i površine gornju plohu je F D fluida fluida (realne ili fiktivne). Uzgon je jednak razlici: U F G U
fluida
F D
tj. za dani primjer na slici Sl.P.2.2
g V ABCFEA .
41
2.9 Stabilnost Tijelo potpuno uronjeno u fluid ili plutajuće tijelo, smatra se stabilnim, ako se nakon pomaka iz
ravnotežnog položaja ono vraća u prvobitni položaj. Potpuno uronjeno tijelo
Za slučaj potpuno potopljenog tijela koje ima težište T ispod centra uzgona C vrijedi da će pomak iz ravnotežnog položaja kreirati moment težine G i uzgona U koji će vratiti tijelo u početni položaj te je takvo tijelo stabilno. Vrijedi da će potpuno uronjeno tijelo biti stabilno uvijek ako se težište nalazi ispod hvatišta uzgona Sl.2.9.1.
Sl.2.9.1 Stabilno, uronjeno tijelo. Stabilizirajući moment vraća u početno stanje
U slučaju da se težište T nalazi iznad hvatišta uzgona C pomak iz ravnotežnog položaja uzrokovat će prevrtanje tijela odnosno vrijedi da je potpuno uronjeno tijelo s težištem iznad hvatišta uzgona u nestabilnom stanju Sl.2.9.2 .
Sl.2.9 .2 Nestabilno, uronjeno tijelo. Destabilizirajući moment preokreće tijelo
42
Djelomično uronjeno tijelo Za djelomično uronjeno tijelo tj. plutajuće tijelo, analiza stabilnosti je znatno kompliciranija.
.3 Stabilno, djelomično uronjeno tijelo. Stabilizirajući moment vraća u početno stanje Sl.2.9
Kod tijela djelomično uronjenog u fluid za stabilan položaj nije nužno da se težište nalazi ispod hvatišta uzgona. Na slici Sl.2.9.3 prikazana je barža mase G čije se težište nalazi iznad hvatišta uzgona. U stabilnom stanju, prikazanom na lijevom dijelu prethodne slike, hvatište uzgona C 1 predstavlja težište volumena fluida istisnutog podvodnim dijelom trupa. U nagnutom položaju veličina podvodnog volumena nije se promijenila, ali se mijenja njegov oblik te se težište istisnine pomaknulo u točku C 2. Uzgon, djelujući kroz točku C 2, siječe simetralu barže u točki M koja se naziva metacentar . U slučaju da je metacentar M iznad težišta tijela T nastaje spreg sila koji vraća tijelo u početni položaj, a u slučaju da se metacentar nalazi ispod težišta tijela na tijelo u nagnutom položaju djeluje spreg sila koji povećava njegov nagib i može dovesti do prevrtanja tijela (kao na slici Sl.2.9.4 ).
Sl.2.9 .4 Nestabilno, djelomično uronjeno tijelo. Destabilizirajući moment preokreće tijelo
43
3. KINEMATIKA FLUIDA 3.1 Eulerova i Lagrangeova metoda analize gibanja Jedna od najvažnijih varijabli u mehanici fluida jest brzina. Položaj određene čestice dan je vektorom položaja
Sl.3.1 .1Vektor položaja čestice r (Sl.3.1.1 ) koji je funkcija vremena (ako se
brzinu čestice
dr / dt
čestica giba). Vremenska derivacija položaja daje v . Računanje brzina v (x , y, z, t ) svih čestica daje polje brzina.
Dvije su osnovne metode opisa strujanja (Sl.3.1.2 ). U prvoj, Eulerovoj metodi, promatra se fiksno područje, kontrolni volumen tj. analizira se stanje u fiksnim točkama područja . Druga, Lagrangeova metoda prati gibanje pojedine čestice i analizira kako se osobine fluida
vezane za tu česticu mijenjaju kao funkcija vremena. (Kao ilustracija različitosti ovih dviju metoda može poslužiti primjer iz biologije, npr. ornitološko promatranje migracija ptica. Eulerova metoda bi zahtijevala postavljanje promatračke postaje i mjerenja preleta broja ptica u određenom vremenu, dok bi Lagrangeova metoda značila postavljanje radio odašiljača na određene ptice i praćenje njihovog gibanja.)
Općenito, u mehanici fluida pretežno se koristi Eulerova metoda opisa strujanja, dok se Lagrangeova metoda koristi u posebnim s lučajevima. Važna je činjenica da su osnovni zakoni fizike definirani za čestice, a njih treba za potrebe mehanike fluida prevesti u odgovarajući opis polja (stanja, raspodjele) određene fizikalne veličine unutar kontrolnog volumena. Kontrolni volumen je izolirani dio prostora kroz koji struji fluid.
Sl.3.1.2A Polj e brzin a kod Eu ler ovog opisa strujanja
Sl.3.1.2B L agrangeov opis strujanja
3.2 Pojam polja u Eulerovoj metodi opisa strujanja U Eulerovoj metodi analize strujanja ne prate se položaj ili brzina pojedine materijalne čestice, nego se definiraju polja pojedinih varijabli unutar kontrolnog volumena, koja su funkcija položaja i vremena. Za razliku od polja tlaka koje je skalarno polje
p
p x, y , z , t , 44
polje brzina je vektorsko polje v
v
x, y , z , t .
Polja tlaka, brzine, ubrzanja i neke druge veličine zajedno čine strujno polje. Primjenom materijalne derivacije (koja će biti definirana kasnije u ovom poglavlju) na vektorsko polje brzina, proizlazi vektorsko polje ubrzanja
a
a x, y, z , t .
3.3 Neke klasifikacije strujanja Stacionarno strujanje jest strujanje kod kojega u svakoj točki strujnog polja nema promjene u vremenu. Suprotnost ovom tipu strujanja predstavlja nestacionarno strujanje . Uniformno strujanje pretpostavlja da nema promjene intenziteta i smjera brzine s promjenom
položaja. Strujanje je jednodimenzijsko, dvodimenzijsko ili trodimenzijsko ovisno o broju prostornih koordinata potrebnih da bi se definiralo strujno polje. Iako su sva strujanja u osnovi trodimenzijska, analize bazirane na dvodimenzijskom ili jednodimenzijskom modelu su od velike koristi. Npr. strujanje kroz dugu ravnu cijev konstantnog presjeka na dovoljnoj udaljenosti od ulaza u cijev
može se smatrati jednodimenzijskim. Strujanje rijeka može se s velikom točnošću aproksimirati dvodimenzijskim strujanjem pošto se brzina strujanja u smjeru okomitom na površinu rijeke može zanemariti uz pretpostavku dovoljne udaljenosti od prepreka u riječnom koritu, a često se u pravilnim i relativno ravnim kanalima, strujanje može izuzetno dobro aproksimirati jednodimenzijskim modelom.
3.4 Trajektorija, strujna pruga, strujnica i strujna cijev Trajektorija ( putanja, staza) predstavlja stazu period.
opisanu jednom česticom kroz određeni vremenski
Sl.3.4.1 Tr ajektorij a
45
Strujna pruga „Srteakline“
predstavlja položaj niza čestica koje su prostrujale kroz definiranu točku strujnog polja. U laboratorijskim ispitivanjima često se koristi određeno sredstvo za obilježavanje čestica fluida, a ono što gledatelj opaža u takvim ispitivanjima su strujne pruge. Ako se npr. u laboratorijskom ispitivanju tintom obilježavaju čestice fluida koje prolaze kroz određenu fiksnu točku prostora, nakon određenog vremenskog intervala biti će određeni broj prepoznatljivih čestica koje su sve prošle kroz definiranu prostornu točku. Krivulja koja spaja sve te čestice naziva se strujna pruga.
Sl.3.4.2 Str uj na pr uga
Strujnica je krivulja kojoj je u svakoj točki strujnog polja vektor brzine tangenta.
Sl.3.4.3 Str uj ni ca
U slučaju stacionarnog strujanja strujnica se poklapa sa strujnom prugom i trajektorijom. Pri stacionarnom strujanju ništa se ne mijenja u vremenu na određenoj lokaciji u strujnom polju tj.
svaka čestica koja prolazi kroz zadanu točku ima istu trajektoriju.
46
Snop strujnica čini strujnu cijev. Strujna cijev se može usporediti s komunikacijskim kabelom koji se sastoji od snopa optičkih vlakana. Pošto je vektor brzine tangenta na svaku točku strujnice fluid po definiciji ne može proći kroz granicu strujne cijevi. U svakom vremenskom trenutku maseni protok kroz bilo koji poprečni presjek strujne cijevi mora biti isti (prema zakonu očuvanja mase) stoga, kao što je prikazano na slici Sl. 4-23 a, u konvergentnom dijelu str ujne cijevi pri nestlačivom strujanju, smanjenjem presjeka strujne cijevi povećava se brzina.
Sl.3.4.4 Struj na cij ev. a. konfuzor – povećanje brzine; b. difuzor – br zina se smanj uj e
3.5 Kinematika čestice fluida Elementarna masa dm oblika kocke koja se nalazi u općenitom komplek snom strujnom polju može
iz početnog stanja, na sljedećoj slici označenog punom linijom, nakon kratkog vremenskog intervala t prelazi u novi položaj i eventualno novi oblik. Na sljedećoj slici pokazana su četiri komponente gibanja elementarne čestice u kompleksnom strujnom polju. Na slici su prikazane komponente gibanja samo u jednoj npr. x-y ravnini (projekcija samo na x-y ravninu), dok se kod općenitog trodimenzijskog strujanja pomaci događaju i u ostalim ravninama y-z i x-z. Elementarna čestica fluida u kompleksnom strujnom polju osim translacije ( Sl3.5.1a ) mijenja i svoj oblik kroz linearnu deformaciju (Sl3.5.1c ), rotira (Sl3.5.1b ) te joj se mijenja oblik kroz kutnu deformaciju (Sl3.5.1d ).
Sl.3.5.1 Osnovni pomaci i deformacije fluidne čestice : a – tr anslacij a, b – rotacija, c – li near na defor macij a, d – kutn a def ormacija
47
Rotacija i kutna deformacija Rotacija elementarne čestice fluida
u određenoj točki definira se kao srednja vrijednost rotacije dviju početno okomitih linija koje se sijeku u toj točki (Sl.3.5.2 ). Na slici je prikazan slučaj rotacije i istovremene kutne deformacije fluidnog elementa samo za jednu ravninu. Pretpostavimo analizu rotacije elementa fluida u ravnini x-y. Vektor rotacije z okomit je na ravninu x-y, a njegov
intenzitet može se napisati u obliku
u točki P
Sl.3.5.2 Rotacij a
d z
a
dt
b
2
1
v
u
2
x
y
.
Na sličan način moguće je dobiti i preostale dvije komponente vektora rotacije vektor rotacije ω
x
i
j
y
x
i
y
. Općeniti
k dobije se vektorskim sumiranjem komponenti vektora
z
rotacije te u pravokutnom koordinatnom sustavu proizlazi
ω
1
w
v
2
y
z
Uz vektor rotacije vezan je i vektor
i
1
u
w
2
z
x
j
1
v
u
2
x
y
k .
vrtložnosti ζ ζ
v
rot v
koji se prema vektoru rotacije odnosi na sljedeći način ζ
2ω .
Upotreba pojma vrtložnosti eliminira faktor (1/2) koji se nalazi uz komponente vektora rotacije . Strujno polje kod kojeg je u svakoj točki vrtložnost nula jest bezvrtložno ili solenoidalno, a ako vrtložnost postoji strujno polje se naziva vrtložnim. Fizikalno, najčešći uzroci vrtložnosti fluidne 48
čestice jesu viskozne smične sile i neuniformno zagrijavanje (gradijenti temperature). Strujanje idealnog fluida u kojem ne postoje smična naprezanje jest bezvrtložno, a ta činjenica jako pojednostavljuje matematički model strujanja pa se često dijelovi strujnog polja kod kojih viskozne sile nisu dominantne aproksimiraju bezvrtložnim strujanjem. Bezvrtložno strujanje naziva se još i potencijalno strujanje. Važnost potencijalnog strujanja biti će pokazana kasnije u tekstu upotrebom Laplaceove i Poissonove formule (koje predstavljaju matematički model potencijalnog strujanja) kao pojednostavljenja složenih Navier stokesovih jednadžbi. Linearno gibanje i deformacija Translacija je najjednostavniji oblik
gibanja elementa fluida. Ako sve točke elementa imaju istu brzinu (ako ne postoje gradijenti brzine u strujnom polju) tada će se element jednostavno translatirati iz jednog položaja u drugi. U općenitom slučaju, u kom pleksnom strujnom polju zbog prisutnosti gradijenta brzine element će se uz translaciju i deformirati i rotirati. Linearna deformacija se definira kao brzina povećanja duljine po jedinici duljine. Na slici je prikazan inicijalno kvadratni oblik projekcije elementarne
čestice fluida koja se rastezanjem u horizontalnom smjeru, istodobno sužava u vertikalnom smjeru. Kod nestlačivog strujanja volumen malenog elementa fluida mora ostati konstantan tj. ako se element rasteže u jednom smjeru to mora kompenzirati suženjem po drugim smjerovima. Kod stlačivog strujanja volumen elementa se mijenja te se time mijenja i njegova gustoća. Te činjenice moguće je pokazati na primjeru zraka u cilindru (Sl.3.5.3 ) gdje se volumen malenog elementa fluida stlačivanjem smanjuje, a istovremeno se njegova gustoća povećava kako bi ostao zadovoljen zakon očuvanja mase.
Sl.3.5.3 Stlačivanje zraka u cilindru
Brzina povećanja volumena elementarnog djelića fluida po jedinici volumena naziva se brzina volumne deformacije ili brzina volumne dilatacije i matematički definira izrazom 1 dV
u
v
w
V dt
x
y
z
.
49
4. OSNOVNI ZAKONI MEHANIKE FLUIDA 4.1 Materijalne čestice, materijalni volumen i kontrolni volumen Najjednostavnije forme univerzalnih fizikalnih zakona odnose se na materijalnu česticu koja je toliko malena da su brzina v, gustoća i ostala imanentna svojstva uniformna unutar nje. Osnovni zakoni očuvanja za materijalnu česticu mogu se izraziti: d
- zakon očuvanja mase:
V
dt
d
- zakon očuvanja količine gibanja:
d dt d
- zakon očuvanja energije(prvi zakon termodinamike):
dt
v V
dt
- zakon očuvanja momenta količine gibanja:
0;
r
v V
e V
F ;
r
W
F
Q
gdje je e totalna energija (unutarnja+kinetička+potencijalna) po jedinici mase, W rad učinjen na granicu materijalne čestice, a Q toplina dovedena materijalnoj čestici na njenoj granici.
U gornjim izrazima očuvanja
indicira infinitezimalno malenu veličinu, a d/dt se odnosi na
vremensku derivaciju. Potrebno je pojasniti da pojam zakon očuvanja uistinu predstavlja očuvanje veličine samo u slučaju zakona očuvanja mase dok bi u ostala tri zakona adekvatniji bio pojam z akon ravnoteže. Pojam zakon očuvanja ipak se koristi ukazujući na određene analogije prema zakonu očuvanja mase.
U dinamici fluida kao kontinuumu potrebno je poopćiti zakone očuvanja za materijalnu česticu na materijalni volumen. Materijalni volumen je sustav beskonačnog broja beskonačno malenih materijalnih čestica i uvijek (u svakom vremenskom trenutku) se sastoji od istih čestica. Zakon očuvanja mase izražen za materijalni volumen jest D Dt MV
dV
0,
zakon očuvanja količine gibanja D Dt MV
vdV F MV ,
zakon očuvanja momenta količine gibanja D Dt MV
r v dV M MV
i zakon očuvanja energije (tj. prvi zakon termodinamike)
50
D Dt MV
D
Objašnjenje pojma materijalne derivacije
Q MV
eT dV
W MV .
D v
i totaln og ubrzanja
Dt Dt Materijalna derivacija naziva se još i supstancijalna, individualna ili puna derivacija. Operator D v Dt t daje jest operator materijalne derivacije. Primjena materijalne derivacije na neku skalarnu veličinu D (a) v Dt t odnosno raspisano u kartezijskom koordinatnom sustavu
D Dt U izrazu (a) prvi član
desne strane
t
t
v x
v y
x
y
v z
z
.
predstavlja brzinu promjene veličine u zadanoj točki prostora te se
Drugi član desne strane v predstavlja promjenu veličine zbog promjene položaja čestice u prostoru i naziva se konvektivnom derivacijom . U određenom smislu D materijalna derivacija označuje vremensku promjenu koju osjeća promatrač koji se giba zajedno s Dt naziva lokalnom ili mjesnom derivacijom.
fluidom (česticom fluida), dok
t
označuje promjenu koju bi osjećao promatrač koji npr. miruje zajedno s
kontrolnim volumenom. Primjenom materijalne derivacije na vektorsko polje brzina proizlazi vektorsko polje ubrzanja. Definira se pojam totalnog ubrzanja koji se često koristi u mehanici fluida
a
gdje
v
t
predstavlja lokalno ubrzanje, a
v
Dv
v
Dt
t
v
v
v konvektivno ubrzanje.
Pri stacionarnom strujanju ne postoji lokalno ubrzanje.
U sva četiri prethodna izraza zakona očuvanja za materijalni volumen koristi se član oblika D Dt MV
dV
u kojoj predstavlja neku veličinu po jedinici volumena (masu, količinu gibanja, moment količine gibanja, energiju) koja je prvo integrirana po materijalnom volumenu MV i rezultat zatim deriviran materijalnom derivacijom D/Dt po vremenu.
Pri strujanju fluida materijalni volumen se giba i deformira, a s njim i materijalna površina koja je nepoznata funkcija u vremenu sve dok i sam problem nije riješen. Pošto je forma materijalnog volumena nepogodna za primjenu u inženjerstvu nameće se potreba definiranja sistema po izboru promatrača na koji će se moći primijeniti zakoni očuvanja. Zato se definira pojam kontrolnog volumena.
51
t=t1 MV(t1)
CV
t 2 ) ( V M
t=t2
CV
) t 3 ( V M
t=t3
CV
Sl.4.1.1 Odnos mater ij alnog i kontr olnog volumena
Kontrolni volumen Kontrolni volumen (CV) je proizvoljno, teoretski definirani volumen ograničen kontrolnom površinom CS u kojem se određuju dinamički i termodinamički učinci fluida. Kroz kontrolni volumen tijekom vremena prolaze različiti materijalni volumeni Sl.4.1.1. Kontrolna površina ograđuje dio prostora i u određenom koordinatnom sustavu može biti statična, može se gibati,
ekspandirati ili kontrahirati, ovisno o želji promatrača. Kontrolni volumen i kontrolna površina pripadaju Eulerovom opisu strujanja fluida, dok pojam materijalnog volumena odgovara Lagrangeovom opisu strujanja. Često se uzima da granice kontrolnog volumena (označene CS ) koincidiraju dijelom s čvrstim granicama (Sl.4.2.1 stijenka S3), a dijelom su postavljene okomito na smjer strujanja (Sl.4.2.1 , A1, A2), radi jednostavnosti. Transformacija materijalnog u kontrolni volumen Reynoldsovim transportnim teoremom
Reynoldsov transformacijski teorem omogućuje transformaciju fundamentalnih zakona za materijalni volumen na kontrolni volumen. Osnovna pretpostavka za transformaciju je da
materijalni volumen i kontrolni volumen koincidiraju u određenom vremenskom trenutku, kao na srednjoj slici na Sl.2.2.1. Nakon trenutka koincidencije dva volumena se protokom vremena više neće poklapati pošto će materijalni volumen biti “odstrujan” dalje skupa s česticama koje njega čine, dok će kontrolni volumen mirovati ili se gibati prema odluci promatrača. Za provedbu transformacije, od interesa je jedino trenutak kada se dva volumena poklapaju. Zapisano matematički Reynoldsov transportni teorem jest
D Dt MV gdje
dV CV
t
dV
v ndS CS
predstavlja neku općenitu veličinu.
52
4.2 Zakon očuvanja mase Primjenom Reynoldsovog transportnog teorema, iz formulacije za materijalni volumen, dolazi se do formulacije zakona očuvanja mase za kontrolni volumen vezane uz Eulerov opis strujanja. Općenita veličina zamjenjuje se gustoćom tj., pa slijedi
CV
t
dV
v ndS
0
CS
što se fizikalno može interpretirati tvrdnjom da se tijekom vremena masa unutar kontrolnog volumena povećava neto utokom mase u kontrolni volumen, odnosno smanjuje se neto izlazom mase iz kontrolnog volumena. Pod neto utokom mase podrazumijeva se razlika mase koja j e ušla i one k oja je izašla iz kontrolnog volumena u nekom vremenu.
Sl.4.2.1 Di o cijevi, kontr olni volu men
Primjenom teorema Gaus Ostrogradskog na drugi član gornjeg izraza, prevodi se plošni integral u volumni te slijedi:
CV
div v dV 0 .
t
Matematički operator divergencije nekog vektorskog polja
y
x
div
div , može se pisati u obliku
x
y
z
z
,
a u fizikalnom smislu pokazuje u kojoj se mjeri strujno polje u nekoj točki ponaša k ao izvor ili ponor .
Pošto je u gornjem izrazu proizvoljan volumen integracije slijedi da je izraz u zagradi nula:
div v
t
0,
a što jest zakon očuvanja mase u diferencijalnom obliku. Za slučaj stacionarnog strujanja prvi član u integralnom izrazu za zakon očuvanja mase je nula. Slijedi
v n dS
0,
CS
tj. ulaz mase u kontrolni volumen jednak je izlazu mase iz kontrolnog volumena kroz njegovu granicu u svakom trenutku. Za slučaj na gornjoj slici vrijedi 1v1 A1
2 v2 A2
m
uz pretpostavku da su ,v srednje vrijednosti po presjeku. Oznaka m predstavlja maseni protok 53
[kg s-1]. Uvođenjem nove varijable volumnog protoka ili kraće protoka Q = v A [m3s-1]
prethodna relacija može se pisati 1Q1
2Q2
, m
odnosno za stacionarno strujanje uz konstantnu gustoću fluida unutar kontrolnog volumena vrijedi Q
v2 A2 .
v1 A1
Zadnji izraz posebno je koristan pri proračunima cjevovoda pa je tako npr. brzinu v1 moguće izraziti pomoću v2 na način: v1=v2 (A2 /A1 ). Osim pojma masenog protoka koristi se i težinski protok W
g m
1
g Q Ns
.
4.3 Zakon očuvanja količine gibanja Zakon očuvanja količine gibanja za materijalni volumen jest D
Dt MV
v dV
f dV
n
MV
dS .
MS
Primjenom Reynoldsovog transportnog teorema na gornji izraz, slijedi formulacija zakona očuvanja količine gibanja za kontrolni volumen:
v CV
t
dV
v vn dS CS
f dV
CV
n
dS
CS
Fizikalno je gornji izraz moguće interpretirati na način da je promjena količine gibanja u vremenu i dotok količine gibanja kroz granicu kontrolnog volumena (CS ) jednak članovima na desnoj strani
koji predstavljaju rezultantnu silu
F (masenu + kontaktnu) koja djeluje na kontrolni volumen:
F
f dV CV
n
dS .
CS
) i uz pretpostavku stacionarnog i nestlačivog strujanja, iz Za primjer segmenta cijevi ( Sl.2.3 gornjeg izraza proizlazi tzv. impulsni zakon
(v2 F m
v1 ) ili
F
Q(v2
v1 )
Eulerova jednadžba gibanja i Bernoullijeva jednadžba U integralnom izrazu za očuvanje količine gibanja za materijalni volumen, moguće je drugi član na desnoj strani prevesti u volumni integral primjenom teorema Gaus Ostrogradskog:
54
n
dS
div T dV
MS
Zbog očuvanja mase
D
dV
MV
0 te stavljajući znak totalne derivacije ispod znaka integrala (u
Dt
prvom članu lijeve strane) slijedi:
Dv MV
f div T dV
Dt
0.
Gornji izraz biti će jednak nuli ako je izraz u zagradi jednak nuli. Proizlazi J ednadžba gibanja fluida
Dv
f divT ,
Dt odnosno
v
t gdje je T
v v
f div T
matrica naprezanja dana izrazom (1.1.4.3) s komponentama normalnih
i
tangencijalnih (smičnih) naprezanja . Za idealni fluid, zbog neviskoznosti odnosno nepostojanja smičnih naprezanja, matrica naprezanja T postaje T p
T p
p
0
0
0
p
0
0
0
p
te slijedi izraz koji se naziva Eulerova jednadžba gibanja
Dv
f grad p .
Dt
Ako se nadalje pretpostavi stacionarno strujanje fluida u gravitacijskom polju, komponenta Eulerove jednadžba gibanja u smjeru strujnice s može se napisati na sljedeći način
1 p
s
g
z s
v
v s
0.
(4.3.1)
Pretpostaviviši česticu fluida koja se po strujnici pomakne za udaljenost ds, vrijedi: promjena tlaka pomakom po strujnici
dp
promjena visine pomakom po strujnici
dz
promjena brzine pomakom po strujnici
dv
p s z s v
s
ds ,
ds ,
ds .
55
Množenjem izraza Eulerove jednadžbe (4.3.1) s pomakom po strujnici ds i uz primjenu prethodnih triju pretpostavki, vrijedi
dp
(duž strujnice).
vdv gdz 0
Inegracija prethodnog izraza daje
dp
v
2
gz
2
Za slučaj nestlačivog strujanja gustoća p
c
(duž strujnice).
onst .
je konstanta i prethodni izraz se pojednostavljuje u
v
2
2
onst . ,
gz
c
(4.3.2)
što je izraz Bernoullijeve jednadžbe ( Daniel Bernoulli 1700-1782) koji je proizašao iz Eulerove jednadžbe gibanja uz pretpostavke zanemarive viskoznosti te stacionarnog i nestlačivog strujanja. Bernoullijeva jednadžba vrijedi duž strujnice.
4.4 Zakon očuvanja momenta količine gibanja
Moment sile F oko točke O jest M r F (Sl.4.4.1 ). r je vektor položaja točke na pravcu djelovanja sile u odnosu na točku O. Vektorskim množenjem izraza zakona očuvanja količine r gibanja za kontrolni volumen vektorom položaja slijeva, slijedi:
r F CV
t
r v dV
r v v n dS CS
F
r
. O
.1Moment sile F oko točke O Sl.4.4
Lijeva strana jednadžbe predstavlja moment na kontrolni volumen prouzročen od vanjskih sila, a desna strana promjenu momenta količine gibanja u vremenu te ulaz momenta količine gibanja kroz granicu kontrolnog volumena. Gornji izraz predstavlja zakon očuvanja momenta količine gibanja
za kontrolni volumen koji ima posebno izraženu primjenu pri analizi turbostrojeva gdje su momenti od posebnog značaja. Pri stacionarnom strujanju i(ili) strujanju fluida konstantne gustoće, -raspršivač gubi se prvi član desne strane u gornjem izrazu. Za slučaj rotacijskog uređaja (Sl.4.4.2 vode) s ulaznom brzinom u kontrolni volumen v 1 i izlaznom brzinom v2 zakon očuvanja momenta količine gibanja moguće je pisati:
56
M otp
M ulaz
M izlaz
M otp
tj.
r v m
r v
2
1
,
odnosno kod nestlačivog strujanja
M otp
Q r v
r v
2
1
.
U gornjem izrazu M otp jest moment na kontrolni volumen tj. kod rotacijskih i turbostrojeva otporni
moment na osovini, a ( v , r )1,2 vektori brzina i pripadajući krakovi. Primjer primjene zakona očuvanja momenta količine gibanja na "sprinkler"
r
kontrolni volumen
v2
v2 rel r v2
r
v2 rel
Motp
v1 Sl.4.4.2 Raspršivač vode - primjena zakona očuvanja momenta količine gibanja
Za slučaj simetričnog raspršivača vode s mlaznicama istog promjera, na slici, ulazni moment M ulaz
0
pošto je vektor ulazne brzine v 1 na pravcu osi rotacije. Zakon očuvanja momenta količine gibanja reducira se na
M otp
2
Q 2
r v2
tj . M otp
2
Q 2
r vrel
r .
Od relativne izlazne brzine vode u odnosu na mlaznicu v rel potrebno je oduzeti brzinu mlaznice r kako bi se dobila apsolutna izlazna brzina v 2 tj. v2 vrel r . Relativna brzina vrel ovisi samo o masenom dotoku fluida u kontrolni volumen, dok se v 2 mijenja s brzinom vrtnje uređaja
.
4.5 Zakon očuvanja energije Jednadžba očuvanja energije za kontrolni volumen može se napisati u obliku dE dt
CV
t
e dV
e vn dS . CS
Prvi zakon termodinamike dE dt
Q H
W
definira da je
57
promjena energije sustava = toplina dodana sustavu ( Q H (heat))+snaga predana sustavu ( W ).
Rad u vremenu predan sustavu moguće je rastaviti na W W S W p ,
gdje je
W p
p vn dS , S t
rad u vremenu učinjen tlačnim silama na pomičnoj granici, a W S (work, shaft ) rad tangencijalnih sila u vremenu predan sustavu, npr. moment u vremenu na rotirajućoj osovini rotacijskog uređaja (turbostroja). Uzimajući u obzir gornje izraze može se pisati: Q H
W S CV
t
p
e dV CS
e vn dS
gdje je e totalna energija po jedinici mase koja predstavlja zbroj unutarnje energije (energije molekularnih sila) po jedinici mase, kinetičke energije po jedinici mase i potencijalne energije po jedinici mase:
e
v
u
2
g z .
2
U jednadžbi očuvanja energije prvi član desne strane predstavlja promjenu ukupne energije sustava u vremenu, a drugi član jest zbroj rada tlačnih sila na pomičnu granicu u vremenu i protoka ukupne energije kroz granicu. Ako se jednadžba zakona očuvanja energije primijeni na stacionarno strujanje kroz kontrolni volumen s jednim utokom i jednim istokom iz kontrolnog volumena ), jednadžba se pojednostavljuje u sljedeći izraz: (Sl.4.5.1
WS
kontrolni volumen
QH
v2 2 2 ,
u2
,
z2
v1 1 1 ,
u1
,
z1
Sl.4.5.1 Zakon očuvanja energije primijenjen na kontrolni volumen
m
u2
u1
p2
p1
Dijeljenjem jednadžbe s masenim protokom
2
2
v2
v1 2
g z 2
z 1
Q H
W S .
m te uz činjenicu da je
gubitak raspoložive energije sustava
u2
u1
q H
i konačno dijeljenjem s konstantom gravitacije g proizlazi: 58
p1 g
2
v1
2 g
z 1
p2 g
2
v2
2 g
z 2
h g
hS
što predstavlja J ednadžbu mehaničke energije. Zbog sličnosti s Bernoullijevom jednadžbom ova jednadžba se još naziva i tzv. proširena Bernoullijeva jednadžba. Dimenzijski jednadžba jest u obliku energija po jedinici težine [Nm/N = m]. Oznaka h g predstavlja sve gubitke (gubitak
piezometrične visine). Ako se unutar kontrolnog volumena nalazi turbina tada hS =-hT
gdje je hT pad piezometrične visine na turbini, a za pumpu unutar kontrolnog volumena vrijedi hS =h P gdje je h P dobavna visina pumpe. Pošto je strujanje u prisustvu rotacijskih uređaja (turbostrojeva) nestacionarno (najčešće ciklično), strujanje se smatra samo lokalno nestacionarno kako bi bila
zadovoljena pretpostavka o stacionarnosti strujanja unutar kontrolnog volumena pomoću koje je i izvedena gornja jednadžba.
59
5. STRUJANJE IDEALNOG FLUIDA 5.1 Bernoullijeva jednadžba Idealan fluid (nestlačiv, neviskozan) - fluid kod kojeg se zanemaruje efekt trenja pri strujanju. Izraz koji opisuje strujanje idealnog fluida
Dv
Dt
grad p
f
(5.1.1)
jest Eulerova jednadžba gibanja (koja je izvedena u poglavlju o Zakona očuvanja količine gibanja) koju je tekstualno moguće otprilike izraziti masa ubrzanje
ukupna sila na fluid .
Integracijom Eulerove jednadžbe duž proizvoljno izabrane strujnice i uz pretpostavku strujanja idealnog fluida dobiva se Bernoullijeva jednadžba kao što je i pokazano u poglavlju o zakonu očuvanja količine gibanja.
Izvod Bernoullijeve jednadžbe primjenom drugog Newtonovog zakona duž strujnice Primjenom drugog Newtonovog zakona na elementarnu česticu fluida koja se giba u stacionarnom strujnom polju (Sl.5.1.1), moguće je na alternativan način izvesti Bernoullijevu jednadžbu, što će
dati detaljniji uvid u svojstva tog izuzetno važnog i primjenjivog izraza.
Sl.5.1.1 Sile na česticu fluida koja se giba duž strujnice
Radi preglednosti prikazano je ravninsko strujanje, a sve veličine rastavljene su na komponente prema lokalnom koordinatnom sustavu - u smjeru strujnice s i okomito na njega n . Malena čestica fluida prikazana na sljedećoj slici ima dimenzije s i n u ravnini slike i y okomito na ravninu 60
prikazanu na slici. Jedinični vektor u smjeru tangencijalno na strujnicu označen je sa s , a okomito na strujnicu s n . Primjena drugog Newtonovog zakona F = ma u smjeru duž strujnice tj. u smjeru tangencijalno na strujnicu s daje:
F s
m a s .
(5.1.2)
Duž strujnice v s
v s s, t , a totalno ubrzanje a s čestice fluida duž strujnice dano je sljedećim izrazom, uz upotrebu operatora totalne derivacije a s
Dv s
v s
dt
t
vs
v s
.
s
Kombinirajući dva prethodna izraza, uz pretpostavku stacionarnog strujanja za koje je lokalno ubrzanje jednako nuli
v s t
0 , izraz (5.1.2) može se napisati u obliku
F s
V v s
vs s
.
(5.1.3)
F s predstavlja sumu u s smjeru svih komponenti sila koje djeluju na
U izrazu (5.1.2)
elementarnu česticu čiju masu je moguće izraziti m
V
s n y .
Komponenta jedne od sila koje djeluju u s smjeru je komponenta težine čestice G s
G s Osim masene sile gravitacije
G sin
G s u sumu sila
g V sin .
F s treba dodati i kontaktnu silu tlaka koja nije
konstantna kroz stacionarno strujno polje pošto zbog težine fluida tlak raste s dubinom tako da je
gradijent tlaka moguće izraziti po komponentama u smjeru strujnice i okomito na njega grad p
p s s
p s
n
Ako se tlak u centru čestice fluida označi s p (Sl.5.1.1), tada će srednje vrijednosti tlaka na stranicama elementa fluida koje su okomite na strujnicu biti p p s i p p s . Pošto se radi o elementarnoj, malenoj čestici porast tlaka p s moguće je aproksimirati r azvojem u Taylorov red koristeći samo jedan član reda pa vrijedi p s
p s s 2
.
Za komponentu sile tlaka duž strujnice u idealnom fluidu sada vrijedi
F p , s
p
p s n y
p
p s n y
2 p s n y
p s
s n y
p s
V .
61
Ukupna sila na element fluida, koja predstavlja zbroj sile tlaka i težine, jest
F s
G s
F p , s
p
g sin
s
V .
(5.1.4)
Kombinacijom izraza (5.1.3) i (5.1.4) slijedi izraz
p
g sin
vs
v s
s
s
(5.1.5)
kojega se može fizikalno interpretirati na način da neravnoteža težine i sile tlaka na element fluida (lijeva strana izraza (5.1.5)) uzrokuje ubrzanje čestice (desna strana izraza (5.1.5)), odnosno gibanje čestice fluida. Neke članove jednadžbe (5.1.5) moguće je preurediti.: sin dz / ds , a što je vidljivo na slici Sl.5.1.1. , moguće je pisati v s
iz dp
p / s ds
2 1 dvs
dv s
, a duž strujnice diferencijal dn 0 jer je n const pa
2 ds ds p / n dn proizlazi p / s
g
dp
dp / ds. Slijedi 2
dz
dp
1
dvs
ds
ds
2
ds
1 2
dv s2
g dz 0
što nakon integracije daje dp
1 2
v
2
gz const
Uz dodatnu pretpostavku da je strujanje nestlačivo p
v
(duž strujnice).
const proizlazi Bernoullijeva jednadžba
2
2
gz const .
kao što je pokazano u poglavlju o zakonu očuvanja količine gibanja. Bernoullijeva jednadžba često se postavlja između dvije točke 1 i 2 na strujnici, a pogodno ju je pisati i u obliku tzv. piezometrične visine (jedinica metar ): v
2
2 g
p g
v
z 1
2
2g
p g
z 2
62
PRI M JER 5.1: Interpretacije Bernoullijeve jednadžbe u smislu energije i tlaka
Bernoullijeva jednadžba u fizikalnom smislu definira da je totalna energija konstantna duž strujnice 2
p
v
g
2 g
z const .
m
Uz pretpostavku stacionarnog, neviskoznog, nestlačivog strujanja, strujanje je moguće promatrati u smislu međusobne pretvorbe energije tlaka
v
p
2
, kinetičke energije i potencijalne energije z 2 g g iz jednog u neki od druga dva oblika energije, kao što je pokazano na slici (Sl.5.1.2) koja pokazuje tri točke na strujnici pri strujanju vertikalno uvis.
Kinetička Točka
v
2
Vrsta energije Potencijalna
Tlačna
z
p g
2 g
1 2 3
Malena Velika Nula
Nula Malena Velika
Velika Nula Nula
Sl.5.1.2 Interpretacija Bernoullijeve jednadžbe u smislu raspodjele totalne energije
Bernoullijevu jednadžbu moguće je napisati i u obliku tlač nih članova p
1 2
v
2
g z const .
Jednadžbu je u ovom obliku moguće interpretirati na način da je totalni tlak konstantan duž strujnice. Totalni tlak sastoji se od komponenti:
p g z 1 2
statički tlak (pravi termodinamički tlak) hidrostatički tlak (pokazuje varijaciju potencijalne energije zbog promjenu dubine)
v 2 dinamički tlak (vrijednost za koju se poveća tlak u zaustavnoj točki).
Stagnacijski tlak čini zbroj statičkog i dinamičkog tlaka
p
1 2
2
v .
U slučajevima optjecanja tijela je stagnacijska točka, u kojoj je brzina jednaka nuli, često točka najvećeg tlaka u strujnom polju jer je kinetička energija nadodana statičkom tlaku.
63
5.2 Primjena drugog Newtonovog zakona u smjeru okomitom na strujnicu U većini slučajeva strujnice su relativno malo zakrivljene, strujanje je pretežno jednodimenzijsko i varijacije parametara strujanja u smjeru normalnom na strujnicu su obično zanemarive u usporedbi s promjenama duž strujnice. Za razliku od takvog tipa strujanja postoje i tipovi strujanja kod kojih se znatne promjene strujnih veličina događaju okomito na strujnicu, tj. u normalnom smjeru. Za razliku od izraza (5.1.2) drugi Newtonov zakon napisan u smjeru normale n , okomito na smjer strujnice s . F n
m an
m
v
2
V
R
v
2
R
(5.1.6)
gdje je R lokalni radijus zakrivljenosti strujnice, a a n normalno ubrzanje koje nastaje zbog
promjene vektora brzine čestice koja se giba. Uz pretpostavku strujanja idealnog fluida u gravitacijskom polju sile težine i tlaka u smjeru normale jesu:
F p,n
p
pn s y
Gn
G cos
p
pn s y
g V cos 2 pn s y
p n
s n y
p n
V
odnosno
F n
Gn
F p,n
g cos
Kombiniranjem izraza (5.1.6) i (5.1.7) te zamjenom cos gibanja u smjeru normale na strujnicu
g
p n
V .
(5.1.7)
dz / dn (Sl.5.1.1 ) slijedi jednadžba
2
dz
dp
v
dn
dn
R
.
Ako se u prethodnom izraz zanemari gravitacijska sila, kao što je slučaj kod strujanja plinova ili ravninskog strujanja u horizontalnoj ravnini slijedi izraz
dp
v2
dn
R
.
(5.1.8)
koji pokazuje da se tlak povećava s udal javanjem od centra zakrivljenosti, tj. tlak izvan tornada (pijavice) je normalan atmosferski tlak, dok je u centru tornada tlak znatno niži od vanjskog atmosferskog tlaka te ponekad stvara snažan efekt usisavanja (pijavica) i podiže teške objekte sa zemlje.
64
PRIMJER 5.1 Uspor edba dva str uj na polj a s kružnim strujnicama
Dva različita tipa ravninskog strujanja s kružnim strujnicama. Vektori brzine su tangente na kružnice (strujnice) i brzine stoga nemaju radijalnu komponentu. Tangencijalne brzine se u ovisnosti o udaljenosti od centra zakrivljenosti mogu izraziti na dva načina: a)
v r
b)
v r C 2 r
r ,
za
r>0
Sl.5.2.1 Dvij e vrste vrt loga
Raspodjele tlakova za dva tipa strujanja mogu se dobiti uvrštavanjem dvaju prethodnih izraza u (5.1.8) i integriranjem uz pretpostavku da je centru zakrivljenosti r=0 poznati tlak p0. Slijede
jednadžbe tlakova za slučaj a.) i b.):
a) b) p
p p0
p0 1 2
1
C 12 r 2
2 2
C 2
1 2
r
za r>0
Slučaj a.) odgovara fluidu u rotirajućem spremniku (obrađeno u poglavlju 2.6), gdje se fluid ponaša kao kruto tijelo, a takvo strujanje se još naziva prisilni vrtlog . Strujanje je kod ovog slučaja vrtložno i vrijednosti rotacije i vrtložnosti su konstante. Slučaj b.) predstavlja slobodni vrtlog koji se često javlja npr. kod ispuštanja vode iz spremnika (boce, kade) i kod kojega je strujanje bezvrtložno tj. čestice fluida ne rotiraju dok se gibaju u koncentričnim kružnicama oko centra zakrivljenosti. Kod ovog slučaja strujanja moguće je
primijeniti Bernoullijevu jednadžbu te je na slici (Sl.5.2.1b,c) vidljivo da se s udaljenošću od centra zakrivljenosti brzina smanjuje i tlak povećava, a što i proizlazi iz Bernoullijeve jednadžbe.
Sl.5.2.2 Tor nado
Specifičan je slučaj tornada (pijavice) kod kojega se strujanje može podijeliti u dvije zone: unutarnju zonu u centralnom dijelu (bliže centru zakrivljenosti) rR gdje fluid struji kao slobodan vrtlog, slučaj b.) (Sl.5.2.1b ).
65
5.2 Primjene Bernoullijeve jednadžbe 5.2.1 Istjecanje kroz male otvore
Sl.5.2.1 - I stj ecanje kr oz male otvore
Putanja čestice ide s površine vode u spremniku. Potrebno je izračunati brzinu v2 ( Sl.5.2.1 ): Iz jednadžbe kontinuiteta slijedi A2 v2 .
A1 v1
Uz p = const. i uz pretpostavku A1>>A2 , slijedi v1=v2 (A2 /A1 ), odnosno v1 0 . Iskustveno, brzina spuštanja razine površine je malena ako je otvor spremnika relativno mali u odnosu na površinu spremnika, odnosno brzina v1 je relativno malena. Za slučaj prikazan na slici (Sl.5.2.1) vrijedi v1
0 ; z1
0 ; z2
h ; p1
patm ; p2
patm
Gornji izraz pretpostavlja da je tlak u blizini izlaznog presjeka iz spremnika jednak atmosferskom. K roz čitav otvoreni mlaz tlak je jednak atmosferskom jer bi u protivnom došlo do promjene
poprečne površine mlaza. Iz Bernoullijeve jednadžbe slijedi: v22
2gh
tj. v2
2 gh .
Prethodni izraz predstavlja tzv.Torricellijevu formulu. Ako se uključe lokalni gubici izlaznog cjevovoda (pogledati kasnije poglavlje o gubicima strujanja realnog fluida) proširena Bernoullijeva jednadžba od točke 1 do 2 je: . gdje je k koeficijent lokalnog gubitka koji uključuje efekt viskoznosti (Sl.5.2.2 ).
Sl.5.2.2 - različiti faktori k
66
Slijedi korigirana brzina istjecanja
Gdje je φ koeficijent brzine zbog gubitka na izlaznom cjevovodu (φ=0,97 … 0,99). Osim gubitaka izlaznog cjevovoda u analizu je potrebno uključiti i efekt kontrakcije mlaza (vena contracta). Koeficijent kontrakcije mlaza A0 / A daje odnos realne površine izlaznog mlaza
A 0 (kao što je uvećano prikazano na sljedećoj slici) i presjeka izlaznog otvora A1 . Koeficijent se
najčešće kreće u rasponu m = 0,59 .... 0,63. A A0
Sl.5.2.2a – Kontr akcija mlaza – vena cont racta
Uzevši u obzir gubitke izlaznog cjevovoda te efekt kontrakcije mlaza, protok na izlazu moguće je računati prema izrazu Q
v A
v A
gdje je a koeficijent istjecanja, koji je produkt cjevovodu i koeficijenta kontrakcije mlaza.
koeficijenta gubitka na izlaznom
5.2.2 Istjecanje kroz otvore proizvoljne veličine (Sl.5.2 .3)
Sl.5.2.3 Istjecanje kroz otvor proizvoljne veličine
Izvod izraza za izračun protoka dan je u slijedu: dQ
v dA b
Q
v dA A
2 gy dA A
2 gy dxdy A
y2 x
2 g dx a
y1 x
b
y dy
2 g a
2 3
3
y 2 x
2
3
y1 x
2
dx
67
Za specifičan slučaj kada je otvor pravokutnik (Sl.5.2.4 )
Sl.5.2.4 Pravokutan otvor y1 ( x)
M
y2 ( x)
M
c
Pošto gore navedeni izrazi nisu funkcije od x nego su konstante, vrijedi: Q
2
2g
3
M
c
3
3
2
M2
b
a
5.2.3 Preljev
U slučaju preljeva, M=0 te slijedi: Q
2 3
3
2 g c
2
b a ,
odnosno uz oznake prema slici (Sl.5.2.5) gdje c=H , (b-a)=L i uz dodavanje empirijskog koeficijenta preljeva C E kako bi se dobila efektivna vrijednost protoka ovisno o geometriji preljeva, slijedi:
Q
C E
2 3
3
2 g H 2 L . B
Sl.5.2.5 Prelj ev
Protok otvorenih vodotoka moguće je točno izračunati na osnovu geometrije presjeka (preljeva) (Sl.5.2.5 ) toka. Primarno se mjeri dubina vode na preljevu. Primjenom samo Bernoulijeve jednadžbe dobije se gruba aproksimacija, ali se eksperimentalno mogu odrediti dodatni korekcijski faktori (C E ) koji simuliraju viskozne efekte. 68
5.2.4 Venturijeva sapnica
Venturijevom sapnicom (Sl.5.2.6 ) mjeri se protok na osnovu razlike tlakova. Ona se sastoji od postupnog koničnog suženja pod kutom 20o , kratkog cilindričnog dijela te difuzora pod kutom 5o do 7o. Radi točnosti 1.00 0.99 0.98 2
Cv Z
0.97 0.96
1
0.95
Q
0.94 hm 10
4
1.5 2
3 4 5 6
m
8 10
5
R e
1.5 2
3 4 56
8 10
6
Sl.5.2.6 Ventu rij eva sapni ca
mjerenja uzvodno od venturimetra cijev treba biti ravna u dužini barem trideset cijevnih promjera. Na bazi venturimetra i u suženju tlak se najčešće mjeri piezometričnim prstenima. Pri mjerenju protoka plinova potrebno je neovisno mjeriti temperaturu i tlak na bazi venturimetra dok za mjerenje protoka kapljevina dovoljno je izmjeriti razliku tlakova. Primjenom jednadžbe kontinuiteta A1v1 A2v2 uz konstantnu vrijednost tlaka p=const. i prosječne vrijednosti brzina v1 i v2 po presjecima, postavlja se Bernoullijeva jednadžba od 1 do 2 (Sl.5.2.6 )
v1
2
p1
2 g
g
z 1
v2
2
2 g
p2 g
z 2
Primjenom jednadžbe kontinuiteta v1=v2 (A2 /A1 ) i uz p=p1-p2 slijedi: 2 p
1
v2 1
A2 / A1
2
2 g z 1
z 2 .
U gornji izraz potrebno je dodati korekcijski faktor brzine C v kojim se obuhvaćaju gubici zbog viskoznih efekata. Protok kroz venturimetar sada se može izraziti:
C v A2
Q 1
A2 / A1
2 p 2
2 g z 1
z 2
Vrijednosti empirijskog faktora C v u ovisnosti o Reynoldsovom broju i geometriji venturimetra dane u dijagramu ( Sl.5.2.6 ) primjenjive su za odnose promjera venturimetra D2 /D1 u rasponu od 0.25 do 0.75 koji je prikazan iscrtkanim krivuljama na dijagramu. Kod izboru venturimetra dobro je izabrati onaj kod kojega je koeficijent venturimetra C v približno konstantan za raspon
69
R eynoldsovog broja koji se očekuje pri upotrebi. Izrazimo li razliku tlaka p u gornjem izrazu pomoću stupca mjernog fluida hm gustoće m, tada je izraz za protok kroz venturijevu cijev:
m
2 g hm Q
C v A2 1
d 2
1 4
d 1
Uočljivo je da ako izrazimo razliku tlakova pomoću stupca mjernog fluida u diferencijalnom manometru hm izraz za protok postaje neovisan o nagibu venturimetra.
5.2.4 Pitotova cijev
) je uređaj kojim se mjeri brzina strujanja u određenoj točki. Princip mjerenja Pitotova cijev (Sl.3.7 brzine pomoću Pitotove cijevi prikazan je na slici pomoću cijevi (npr. staklena cijev) savinute pod pravim kutom. Cijev je usmjerena u pravcu strujanja fluida tako da fluid utječe direktno u otvor sve dok se u cijevi ne poveća tlak toliko da se izjednači s djelovanjem fluida koji nastrujava te tada neposredno ispred otvora cijevi fluid miruje (točka 2). Točka neposredno ispred otvora cijevi u kojoj fluid miruje v 2 0 , zove se stagnacijska ili zaustavna točka. Postavljanjem Bernoullijeve
h h0 v
1
2
p1
p2
Sl.5.2.7 Princip mjerenja brzine fluida pomoću jednostavne Pitotove cijevi
jednadžbe duž strujnice između točaka 1 i 2 (Sl.5.2.7 ) uzimajući u obzir z 1 p1 g
v12 2 g
p 2 g
z 2 i v 2
0 , slijedi:
.
Tlak u točki 2 moguće je izmjeriti pomoću visine stupca fluida u cijevi p2
g h0
h
što predstavlja stagnacijski tlak. Stagnacijski tlak je sastavljen od dvije komponente, statičkog tlaka p1
gh0 predstavljenog visinom stupca h0 i dinamičkog tlaka kojeg predstavlja dio stupca fluida
h . Izjednačavanjem dvaju prethodnih izraza slijedi izraz za brzinu strujanja lokalno:
v1
2 g h .
70
Uređaj prikazan na slici (Sl.5.2.8) mjeri i stagnacijski i statički tlak. Izlazni vodovi uređaja spojeni na diferencijalni manometar dati će razliku stagnacijskog i statičkog tlaka, odnosno dinamički tlak, iz ko jega je moguće dalje izračunati brzinu strujanja.
Sl.5.2.8 Pitotova cijev mjeri statički i stagnacijski tlak
71
6. STRUJANJE REALNOG FLUIDA U CIJEVI 6.1 Navier Stokesove jednadžbe Za Newtonovski fluid viskozna naprezanja proporcionalna su brzini smičnog naprezanja. Ta se naprezanja ij mogu izraziti pomoću gradijenata brzine i svojstava fluida (viskoznost). Ako se tako
izražena naprezanja uvrste u diferencijalnu jednadžbu gibanja (dana u poglavlju o zakonu očuvanja količine gibanja) proizlaze Navier Stokesove jednadžbe gibanja. Uz pretpostavku nestlačivog strujanja i konstantne viskoznosti, Navier Stokesove jednadžbe u vektorskom obliku jesu
Dv
Dt
grad p
v
f
gdje član na lijevoj strani predstavlja silu inercije, prvi i drugi član desne strane predstavljaju kontaktne sile i to nor malne (tlak) i smične te zadnji član desne strane predstavlja masenu silu. Zapisane u kartezijevom koordinatnom sustavu po osima x, y, z, jednadžbe jesu: u t v t w t
u
u
u
u x v x w x
v
v
v
u
w
y v
w
y w
w
y
u
2
u
u
2
y
v
2
z
x
u
2
2
z
x
w
2
z
2
w
x
2
2
v
y
2
2
2
u
p
2
z
x
2
v
p
2
y
z
w
y
2
2
f x f y
w
p
2
z
z
f z
Navier Stokesove jednadžbe u sprezi sa zakonom očuvanja mase daju puni matematički model strujanja nestlačivih Newtonovskih fluida . Zbog složenosti Navier Stokesovih jednadžbi (parcijalne diferencijalne nelinearne jednadžbe drugog reda) moguće ih je riješiti analitički samo u
nekim specijalnim slučajevima uz niz pojednostavljenja i pretpostavki. U daljnjem tekstu primijenit će se na tzv. Couetteovo strujanje te Hagen Poiseuilleovo strujanje. 6.1.1 Couetteovo strujanje
Viskozni fluid struji između dvije horizontalne, beskonačno dugačke ploče (Sl.6.1.1 ) zbog nametnutog gradijenta tlaka dp/dx, a uz to g ornja se ploča giba konstantnom brzinom U dok donja miruje. Strujanje je laminarno, nestlačivo, stacionarno. Kako bi se dobio algebarski izraz
y U
F
u u y
H
z Sl.6.1.1 Strujanje fluida između dvije paralelne ploče - Couetteovo str uj anj e
72
raspodjele brzine po presjeku za ovako def iniran režim strujanja, koriste se jednadžba očuvanja mase i Navier Stokesove jednadžbe. Zbog činjenice da je strujanje nestacionarno i nestlačivo,
zakon očuvanja mase u diferencijalnom obliku jest
divv
0
tj. u
v
w
x
y
z
Obzirom da je strujanje ravninsko proizlazi
se duž osi x, tj. v y
z
0.
0 , w 0 . Profil brzine je ustaljen tj. ne mijenja
0 . Zbog navedenih pojednostavljenja izraz očuvanja mase reducira se u
x
0 te integracijom uz uvrštenje rubnih uvjeta („no slip“) proizlazi v
0.
Navier Stokesove jednadžbe na nestlačivo strujanje newtonskog fluida i konstantnu viskoznost jesu:
Dv
1
Dt
grad p
v f .
Zapisom Navier Stokesovih jednadžbi u kartezijevom koordinatnom sustavu (danom na prethodnoj slici) te primjenom prije navedenih pojednostavljenja, slijedi sustav jednadžbi dan po koordinatnim osima: - smj er x
u t
u
u x
v
u y
w
u
2
1 p
z
x
u
x
2
2
u
2
2
z
y
u 2
Zbog prethodno spomenutih pojednostavljenja, iz gornjeg izraza slijedi 2
1 p
0
v
x
u
y
2
(4C.1)
- smjer y
Istim pojednostavljenjima kao i za os x slijedi 1 p
0
y
g
Ovaj izraz daje ovisnost za tlak
p
gy p x
(4C.2)
- smjer z
73
1 p
0
z
,
iz čega proizlazi da se tlak ne mijenja po osi z. Ako se u izraz 4C.1 uvrsti
slijedi
d 2 u . dy 2
dp dx
Pošto je lijeva strana funkcija samo od x, a desna strana samo od y to slijedi da su gornji izrazi konstante 2
dp
C
dx
d u
i
dy
C
2
odnosno, 2
d u d y
C
2
du
C y
dy
C 1
C y
u
2
C 1 y
2
C 2
tj. izraz za brzinu jest oblika 2
dp y
u
C 1 y
dx 2
C 2 .
Rubni uvjeti za brzinu jesu
0
vrijedi
za y H
vrijedi
za y
u 0 u U
te iz njih slijede konstante integracije 2
C 2
0 , U
CH
C 1 H
2
C 1
U
C
H
2
H .
Ako se u izraz za brzinu uvrsti bezdimenzijski gradijent tlaka oblika 2
G
H
dp
2 U
dx
slijedi konačni bezdimenzijski izraz za raspodjelu brzine po presjeku u
y
U
H
G
y H
1
y H
74
koji je prikazan na donjoj slici. Zbog tzv. "no slip" uvjeta tj. činjenice da je brzina fluida uz stjenku jednaka brzini stjenke, za navedeni primjer Couetteovog strujanja slijedi da je brzina fluida neposredno u dodiru s donjom pločom u=0, a brzina fluida uz gornju ploču u=U.
Sl.6.1.2 Couetteovo str uj anj e – profil i brzine
Analiza Couetteovog strujanja prema dobivenim profilima brzina kao na gornjoj slici (Sl.6.1.2 ) daje: Za G=0: - gibanje gornje ploče je jedini razlog gibanja fluida među pločama, nema nametnutog gradijenta tlaka dp/dx=0. Proizlazi linearni profil brzina. Za G > 1: - nametnuti tlak se smanjuje u smjeru gibanja ploče, dp/dx<0, brzina strujanja pozitivna je preko čitavog presjeka. Za G < -1: - tlak raste u smjeru gibanja ploče dp/dx>0, brzina strujanja postaje negativna na dijelu
presjeka uz nepomičnu ploču, tj. na tom dijelu strujanje je suprotno od smjera gibanja ploče. Sile smičnog na prezanja prenošene od gornje ploče kroz slojeve fluida postaju na određenoj udaljenosti manje od sile pozitivnog uzdužnog gradijenta tlaka dp/dx. te dolazi do povratnog strujanja.
Za slučaj kada bi gornja ploča mirovala, U=0, uspostavio bi se parabolični pr ofil brzine. 6.1.2 Hagen-Poiseuilleovo strujanje
Laminarno, nestlačivo, stacionarno strujanje, newtonskog, realnog viskoznog fluida u cijevi (Sl.6.1.3 ) zbog nametnutog gradijenta tlaka dp/dx.
r
R
1
2
z
L Sl.6.1.3 Laminarno, stacionarno, nestlačivo struj anje u cijevi
75
Navier Stokesove jednadžbe za newtonski fluid konstantne viskoznosti u cilindričnim koordinatama jesu:
vr t
vr
vr
v
r
vr
r
r r r
t
vr
v
v
r
t
vr
v z r
v
r r
Zbog stacionarnosti
r
vr
2
2
z
2
2
1
r v
2
f r
r
r
2
v
2
2
2
z
vr
1 p r
r
f
v z
v z
z
v z
1
r
r
2
v z
2
2
z
2
v z
p
2
z
f z
0 . Zbog aksisimetričnog strujanja
t
p
z
2
r
v
2
v
v
2
vr 2
v z
r
r
1
2
vr v
v z
z
r
r
r r r
vr
v z 1
r vr v
1 v z
2
r
1
v
v
0 . Strujanje je laminarno,
0. z Iz zakona očuvanja mase za stacionarno, nestlačivo strujanje divv 0 koji u cilindričnim koordinatama glasi:
paralelno s osi z, slijedi v
1 r r proizlazi
1
r vr
r r vr
0 . Profil brzine je ustaljen te stoga
r v
r v z
z
0
0 odnosno nakon integracije vr
r slijedi C=0 tj. v r 0 . Od Navier Stokesovih jednadžbi preostaj
0
g sin
- komponenta :
0
g cos
z - komponenta :
0
r - komponenta :
Integrirane jednadžbe po r i
1 r r
C r
. Uvrštenjem rubnih uvjeta vr =0 za r=R
p r 1 p
r
r v z r
,
p z
.
daju
p
g r sin
f z ,
odnosno
p
g y f z 76
što pokazuje da je tlak hidrostatički distribuiran na po poprečnom presjeku cijevi te da gradijent tlaka p / z ne ovisi o r i
Pošto vrijedi da je v z
.
v z r , umjesto parcijalne može se pisati obična diferencijalna jednadžba: 1 d r dr
r
dv z
1 dp
dr
dz
Gornji izraz moguć je samo ako su i lijeva i desna strana konstantne jer je lijeva strana funkcija samo od r , a desna samo od z. Konstantu je moguće definirati kao const .
p L
, uz p
p1
p2 ,
gdje je p pad tlaka na segmentu cijevi duljine L. Slijedi,
d
r
dr
dv z
p
dr
L
r
te integriranjem,
r
2
dvz
p r
dr
L 2
C 1
dv z
p r
C 1
dr
L 2
r
p
v z
4 L
2
r
C 1 ln r C 2
Iz uvjeta realnosti da je za r=0 brzina v z konačna, slijedi konstanta integracije C 1=0. Tzv. no-slip uvjet prianjanja viskoznog fluida uz stjenku cijevi daje za r=R brzinu v z =0 odn. p 2 C 2 R . Konačno, 4 L
p
v z r
4 L
2
r
R
2
p1
p2
4 L
R
2
2
r
što predstavlja rotacijski paraboloid. Volumni protok Q
Volumni protok moguće je dobiti integracijom donjeg izraza dQ
v z dA
preko poprečnog presjeka cijevi: 2
Q
R
d 0
0
p1
p 2
4 L
R
2
2
r rdr
2
p1
p 2
4 L
2
R
2
4
r
r
2
4
R
0
77
Slijedi Hagen-Poiseuilleova formula za protok pri laminarnom strujanju fluida u horizontalnoj cijevi kružnog poprečnog presjeka:
p1
Q
Prosječna brzina po presjeku v z
p1
p2
8 L
p2
8 L
2 R tj. Q
R
4
v z A .
Pad tlaka linearno je proporcionalan protoku:
8 L
p
R
4
Q .
6.2 Dimenzijska analiza strujanja realnog fluida u cijevi Primjenom dimenzijske analize minimizira se potreban broj mjerenja pri laboratorijskom
istraživanju neke pojave i olakšava prikaz i analiza rezultata mjerenja. 6.2.1 BUCKINGHAM Buckingham
teorem
teorem:
Svaki fizikalni zakon između n fizikalnih veličina Q1 , Q2 , Q3 , ... Qn izražen funkcijom f Q1 , Q2 ,..., Qn
0,
može se izraziti kao funkcija n-k bezdimenzijskih značajki 1
,
2
,...,
n k
0,
gdje je k minimalan broj osnovnih veličina čijim se dimenzijama mogu opisati dimenzije čitavog skupa n fizikalnih veličina. Potreban broj bezdimenzijskih P veličina je za r manji od broj originalnih veličina Q. Potrebno je
izabrati između dvije grupe baznih dimenzija za opis varijabli: -
M (masa) , L (duljina) , T (vrijeme); F (sila) , L (duljina) , T (vrijeme).
Jednostavan sistematičan postupak kreiranja tzv. bezdimenzijskih produkata jest ponavljajućih vari jabl i koju je moguće pregledno prikazati na sljedećem primjeru. 6.2.2 Analiza pada tlaka u cijevi – primjena BUCKINGHAM
metoda
teorema
Primjer stacionarnog, nestlačivog strujanja newtonskog fluida kroz dugu, horizontalnu cijev kružnog poprečnog presjeka i glatke unutarnje st jenke. Analizu gubitaka strujanja moguće je započeti definirajući varijable o kojima ovisi pad tlaka na segmentu cijevi duljine L, p L :
p L
f D, , , v 78
gdje je D promjer cijevi, r gustoća fluida, µ dinamička viskoznost, v srednja brzina. Postupak metode ponavljajućih varijabli sastoji se dalje od sljedećih koraka: a) Izraziti svaku od varijabli pomoću jednog skupa baznih dimenzija, npr. F,L,T:
FL 3
p L
D L FL 4T 2 FL 2T
v LT 1
teorema moguće je definirati broj potrebnih P veličina.
b) Primjenom Buckinghamovog
Broj varijabli je n=5 ( pL ,D,r,µ,v), a broj baznih dimenzija k=3 ( F,L,T ) pa je stoga broj potrebnih P varijabli n-k=2.
. Ponavljajuće varijable za formiranje P veličina moraju se izabrati iz neovisnih varijabli (D,r,µ,v), a nije moguće koristiti ovisnu varijablu p L . Pošto postoje tri bazne veličine k=3 potrebno je izabrati tri ponavljajuće varijable. Povoljno je izabrati one ponavljajuće varijable koje su dimenzijski jednostavnije. U ovom primjeru izabrane su neovisne varijable D, r, v. Slijedi definicija prve P veličine:
c) Potrebno je definirati
1
,
2
p L Da vb
1
c
koja mora biti bezdimenzijska pa stoga b
a
c
FL 3 L LT 1 FL 4T 2
F 0 L0T 0 .
Slijedi:
1 c 3
a
0 za F
b
b
4c
2c
0 za L
0 za T .
Iz gornjeg sustava jednadžbi slijedi a = 1, b = -2, c = -1 te je dobivena prva P veličina p L D 1
v
2
.
Za definiciju druge bezdimenzijsku veličine
2
uvodi se jedina preostala neovisna
varijabla µ. Slijedi:
Da vb
2
a
2
FL T L LT
1 b
1 c 2
a
b
4
c
2 c
FL T
0 0
0
F L T
0 za F 4c
0 za L 79
1 b
2c
0 za T .
Iz sustava jednadžbi slijede vrijednosti koeficijenata a =- 1, b = - 1, c = -1 te je: 2
D v
.
d) Rezultat bezdimenzijske analize jest:
p L D v
~
2
D v
ili
p L D v
vD
.
2
Dobivena bezdimenzijska značajka odnosno broj
vD
ili
vD
jedan je od najvažnijih brojeva u
mehanici fluida i zove se Reynol dsov br oj (Re).
6.2.3
Važne bezdimenzijske veličine (brojevi) u mehanici fluida
Metodom ponavljajućih varijabli pokazanom u prethodnom poglavlju (ili nekom drugom metodom) definiraju se bezdimenzij ske značajke u mehanici fluida. Određene bezdimenzijske kombinacije varijabli poznati su brojevi u mehanici fluida i dani su u sljedećoj tablici. BROJ REYNOLDSOV BROJ FROUDOV BROJ
MACHOV BROJ
OPISNI KVOCIJENT
PRIMJENA
v L
inercija
Općenita primjena u meh.
v
viskoznost inercija
Strujanje sa slobodnom
gL
gravitacij a
v
inercija
c
stlačivost
IZRAZ
Re Fr
Ma
fluida, mjera turbulencije
površinom, otvoreni vodotoci Strujanje kod kojeg su
važni efekti kompresibilnosti,
transsonična strujanja CAUCHYJEV BROJ
Ca
v
2
E
inercija
stlačivost
Strujanje kod kojeg su
važni efekti kompresibilnosti,
transsonična strujanja EULEROV BROJ
KAVITACIJSKI BROJ
Eu
p v
tlak 2
p pv 1 2 v 2
inercija tlak
inercija
Problemi kod kojih su primarni tlakovi i razlike tlakova Problemi kod kojih su primarni tlakovi i razlike tlakova, strujanje u turbostrojevima ...
80
STROUHALOV BROJ
St
WEBEROV BROJ
L
inercija (lokalno)
v
inercija (konvektivno) inercija
2
We
Nestacionarno strujanje
v L
s karakterističnom frekvencijom oscilacije Problemi kod kojih je
po vršinska napetost
S
važna površinska napetost
Tablica 4.3.1 Važniji brojevi u mehanici fluida
Varijable korištene u tablici jesu: v brzina, L karakteristična duljina, n koeficijent kinematičke viskoznosti, c brzina zvuka, r gustoća fluida, E modul elastičnosti, s S koeficijent površinske napetosti, g ubrzanje sile teže, w frekvencija oscilirajućeg strujanja, p tlak, pv tlak zasićenja.
6.3 Turbulentno i laminarno strujanje Strujanje realnog - viskoznog fluida moguće je klasificirati i kao laminarno, turbulentno, odn. prijelazno (Sl.6.3.1 ). Laminarno strujanje – čestice fluida gibaju se po glatkim putanjama u infinitezimalno tankim laminama (slojevima), koji klize mirno jedan po drugom. Turbulentno strujanje – nepravilno kaotično gibanje čestica fluida s jakim fluktuacijama brzine u
svim točkama strujnog polja.
Laminarno
Tinta D Prijelazno
Q
Trag tinte
Turbulentno
Sl.6.3.1 Eksper iment in jektir anja tin te u cijev u kojoj struj i voda. Kl asif ik acij a str uj anja.
Najvažniji bezdimenzijski parametar pri analizi strujanja u cijevi jest Reynoldsov broj Re
v D
ili
Re
4Q D
,
gdje je v srednja brzina, Q protok, D promjer cijevi (ili neka druga karakteristična dužina) te kinematički koeficijent viskoznosti. Reynoldsov broj predstavlja omjer inercijskih i viskoznih efekata pri strujanju. On je mjera turbulencije. ) dobro ilustrira prijelaz iz laminarnog u prijelazni i onda potpuno turbulentni režim Pokus (Sl.6.3.1 strujanja. Duga cijev inicijalno je napunjena vodom koja miruje sve dok se ne otvori ventil. Sve
većim otvaranjem ventila povećava se brzina strujanja u cijevi, a time i Reynoldsov broj. Režim 81
strujanja vizualiziran je injektiranjem tinte u struju fluida. Pri manjim brzinama strujanje je ~ laminarno uz vrijednost Reynoldsovog broja Re 2300 . Pri vrijednostima Reynoldsovog broja ~ Re 4000strujanje je već potpuno turbulentno. Za Reynoldsove brojeve između danih kritičnih vrijednosti pretpostavlja se prijelazno strujanje.
Spomenute granične vrijednosti Reynoldsovog broja otprilike vrijede u većini realnih situacija strujanja. Relativnost graničnih vrijednosti Reynoldsovog broja između laminarnog i turbulentnog strujanja vidljiva je i iz poznatih eksperimenata Osbornea Reynoldsa koji je u laboratorijskim uvjetima uspio postići laminarno strujanje uz visoki Re 2000 , a kasnijim eksperimentima u još strože kontroliranim laboratorijskim uvjetima ta je granica povišena na Re 4000 . Trag aksijalne (x-komponente) brzine mjerene na određenoj lokaciji u cijevi pri turbulenciji vidljiv je na slici (Sl.6.3.1 desno dolje), a moguće ga je prikazati i na dijagramu u-t (Sl.6.3.2 ).
Sl.6.3.2 Usr ednj ena br zin a u i f luk tuacij a brzine struj anju u cij evi.
u' pri tur bulentnom
Stohastična struktura dijagrama brzine i fluktuacije brzine značajka su turbulencije, a svojstva strujanja fluida npr. pad tlaka, prijenos topline itd., jako ovise o njima.
) prikazan je odnos oblika profila brzina za slučaj strujanja idealnog neviskoznog Na slici ( Sl.6.3.3 fluida te oblik laminarnog i turbulentnog profila brzina pri većem Reynoldsovom broju. Moguće je uočiti određenu sličnost turbulentnog i idealnog profila brzina. Pri velikim Reynoldsovim brojevima turbulentni profil brzina postaje sve "spljošteniji" te u određenom smislu oblikom teži idealnom pravokutnom obliku. Viskozni efekti pri turbulentnom strujanju nisu jako važni i brzina koja se koristi u strujanju idealnog fluida je adekvatna vremenski usrednjenoj brzini u (Sl.6.3.2 ) pri turbulentnom strujanju.
Sl.6.3.3 Idealan, lami naran i tu rbu lentan obli k profi la brzine 82
Navedene činjenice jesu i razlog zašto analiza strujanja neviskoznog fluida daje razumne fizikalne 0 pa je za idealan fluid
rezultate. Idealni fluid nije viskozan, postoje samo inercijske sile, tj.
pošto je nazivnik jednak nuli, odnosno logična je teoretska pretpostavka da bi u tom idealnom slučaju strujanje bilo turbulentno. Reynoldosv broj Re
vD /
h
Na slici (Sl.6.3.2 ) brzina u predstavlja srednju brzinu pri turbulentnom strujanju, a vC je brzina u
centru cijevi. Povećanjem Reynoldsovog broja turbulentan profil brzina postaje sve "spljošteniji". Radi usporedbe prikazan je jedan laminaran profil brzina paraboličnog oblika. Uočljivo je da je u blizini stjenke cijevi turbulentan profil brzine znatno strmiji. Detaljnija analiza turbulentnog profila
brzine dana je u sljedećem poglavlju. u x, y, z , t moguće je izraziti preko srednje brzine i
Komponentu trenutne brzine u x-smjeru u fluktuacije (Sl.6.3.2 )
u u u' gdje je srednja brzina
1
u
T
t 0 T
u dt t 0
uz vremenski interval T koji je znatno duži od periode najduže fluktuacije. Vremensko usrednjenje fluktuacija je nula jer
u'
1 T
t 0 T
u t 0
u dt
1 T
t 0 T
t 0 T
u dt u t 0
dt t 0
1 T
T u
u T
0
Sl.6.3.4 Usr ednjene fl uktu acije i u srednjen kvadrat f lu ktuacij a
odnosno fluktuacije su ravnomjerno distribuirane na obje strane linije vremenskog usrednjenja (Sl.6.3.4 ). Srednji kvadrati fluktuacija su, kao što je vidljivo i na slici, veći od nule u'
2
0, a
usrednjenja umnožaka fluktuacija po različitim smjerovima npr. u ' v ' , u ' w' mogu biti jednaka nuli, veća ili manja od nule.
83
INTENZITET TURBULENCIJE Struktura i intenzitet turbulentnog strujanja mogu se okarakterizirati bezdimenzijskim parametrom koji se naziva intenzitet turbulencije i definiran je
I
u' u
2
.
Što je veći intenzitet turbulencije jače su i fluktuacije brzine i ostalih veličina. Tipična vrijednost intenziteta turbulencije za strujanje u rijekama i pri atmosferskim strujanjima jest I
~ 0.1
.
PERIODA FLUKTUACIJA Perioda fluktuacija prikazanih na slici (Sl.6.3.2)
za uobičajene slučajeve npr. pri turbulentnom istjecanju iz slavine jest reda veličine 10, 100 ili 1000 ciklusa u sekundi dok su tipične periode pri strujanju golfske struje u Atlantskom oceanu reda veličine sata ili dana.
MIJEŠANJE Proces miješanja je transport mase, energije i količine gibanja kroz strujno polje. Miješanje je za više redova veličine efikasnije pri turbulentnom nego pri laminarnom strujanju, pošto su za glavninu procesa bitni slučajni procesi na makroskopskoj razini tj. vrtloženje fluida (Sl.6.3.5 ), što je svojstvo turbulencije. Kod laminarnog strujanja strujno polje je moguće opisati laminama koje struje jedna iznad druge i svaki slučajni proces i miješanje događa se na molekularnoj razini određenim preskakanjem molekula u susjednu laminu. Pozitivni efekti miješanja pri turbulenciji od suštinske su važnosti u inženjerstvu kod npr. izmjenjivača topline, isparivača tj. izmjene topline između fluida i st jenke ili omogućuju efikasno raspršivanje dimnih plinova koji iz dimnjaka izlaze u atmosferu. Za proces miješanja u turbulentnom strujnom polju važni su veći vrtlozi. Maleni be mehaničke energije u to plinu. vrtlozi se brže prigušuju te su uzrok pretvor
Sl.6.3.5 Prof il i brzine: a.) Lami narn o str uj anje – smično naprezanje posljedica molekularni h procesa; b.) Tur bulentno str uj anje – vrtloženje fluida
SMIČNO NAPREZANJE Vrtložna struk tura strujnog polja pri turbulenciji snažno potiče miješanje i transport količine gibanja kroz zamišljenu ravninu A-A (Sl.6.3.5 ) tj. smičnu silu. Niži sporiji slojevi fluida (Sl.6.3.5a ) bliži st jenci, usporavaju gor nje brže slojeve fluida tj. taj transport količine gibanja preko zamišljene ravnine A-A stvara otpor u bržim slojevima odnosno stvara se smična sila. Smična sila nastaje samo ako postoji gradijent brzine u=u(y). Pri laminarnom režimu strujanja zbog kohezivnih molekularnih 84
sila ukupno smično naprezanje moguće je izraziti pomoću ranije spomenutog Newtonovog zakona du / dy . viskoznosti LAM
Uz spomenute efekte kod turbulentnog strujanja postoji i znatno važniji efekt vrtložne strukture ) koji snažno potiče miješanje i transport količine gibanja kroz zamišljenu strujnog polja (Sl.6.3.5b ravninu A-A. Slučajne fluktuacije brzine u' (komponenta u x smjeru) i v' (komponenta u y smjeru), za 2D slučaj prikazane na slici (Sl.6.3.5 ), pri turbulenciji predstavljaju prevladavajući efekt koji sudjeluje u ukupnom smičnom naprezanju na zamišljenoj ravnini A-A d u dy
u' v'
LAM
TURB
.
Član u gornjem izrazu u'v' je pozitivan i naziva se Reynoldsovo naprezanje. Iz prethodnog izraza također je vidljivo da smično naprezanje pri turbulentnom strujanju nije više proporcionalno gradijentu srednje brzine nego su u njemu bitni i efekti zbog fluktuacija brzina. Pri laminarnom strujanju fluktuacije brzina ne postoje tak o da je i član TURB 0.
Sl.6.3.6 Turbulentno strujanje u cijevi: a.) Smično naprezanje; b.) Profi l srednj e brzine
Međusoban odnos
LAM
i
TURB
- viskoznom podsloju, dominira
je kompleksna funkcija (Sl.6.3.6 ). U uskom sloju fluida uz stjenku LAM
dok u vanjskom sloju prevladava
TURB
koji je 100 ... 1000
puta veći od LAM . Pri strujanju realnog fluida u cijevi ukupno smično naprezanje je proporcionalno udaljenosti od centralne osi cijevi ( Sl.6.3.6 ), uz maksimalno smično naprezanje na samoj st jenci koje se naziva smično naprezanje na zidu
W
.
Na slici (Sl.6.3.6 ) samo načelno su prikazani odnosi
LAM
i
TURB
i odnos debljine viskoznog
podsloja prema promjeru cijevi pošto je npr. pri srednjoj brzini strujanja od 3 ms-1 u cijevi promjera 75 mm debljina viskoznog podsloja oko 0.05 mm.
VRTLOŽNA VISKOZNOST S ciljem uspostavljanja analogije prema Newtonovom zakonu viskoznosti J. Boussinesq uveo je pojam vrtložne viskoznosti pa je smično naprezanje pri turbulentnom strujanju moguće izraziti d u TURB
dy
.
Za razliku od viskoznosti koja je svojstvo fluida i koju je moguće očitati iz priručnika, vrtložna viskoznost ovisi i o vrsti fluida i o uvjetima strujanja i ona se mijenja od točke do točke strujnog polja. 85
DULJINA MIJEŠANJA Poteškoća s nemogućnošću određivanja Reynoldsovog naprezanja u'v' dakle ista je kao i poteškoća određivanja vrtložne viskoznosti . U nastojanju definiranja procesa turbulencije L. Prandtl uvodi pojam duljine miješanj a l m . Turbulentni proces moguće je definirati kao slučajni transport čestica fluida kroz duljinu l m između zona različite brzine. Vrtložnu viskoznost moguće je izraziti pomoću duljine miješanja 2
l m
d u dy
,
slijedi izraz za smično naprezanje pri turbulenciji pomoću duljine miješanja 2
l m
TURB
d u dy
2
.
Iz spomenutih pretpostavki i pokušaja proizlazi nemogućnost egzaktnog definiranja smičnog naprezanja kroz cijelo strujno polje turbulentnog realnog fluida, odnosno nemogućnost analitičkog određivanja turbulentnog profila brzine.
6.4 Turbulentni profil brzine u cijevi Turbulentni profil brzine u cijevi moguće je podijeliti u četiri sloja (Sl.6.4.1 ) obzirom na način aproksimacije profila brzine: viskozni podsloj („viscous sublayer“) područje laminarnog strujanja uz stijenku cijevi; prijelazni sloj („buffer layer“); logaritamski sloj – sloj logaritamskog zakona; vanjski sloj područje kojeg se uglavnom poklapa s područjem primjene tzv. zakona defekta brzine ( „defect law“). U viskoznom podsloju prevladava viskozno smično naprezanje τLAM u odnosu na turbulentno naprezanje τTURB, dok je u vanjskom turbulentnom sloju taj odnos obrnut. Za analizu profila brzina
povoljno je uvesti bezdimenzijske značajke u gdje je y
u
* W
/
u u
*
i
y
yu
*
R r udaljenost od stjenke, u vremenski usrednjena x komponenta brzine, je brzina trenja ( uz τW smično naprezanje na zidu).
Upotrebom bezdimenzijskih značajki dijagram graničnog sloja u y izgleda slično tj. usporedivo za različite režime strujanja, različite debljine graničnog sloja 99 kod optjecanja nekog objekta, odnosno za različite vri jednosti Reynoldsovog broja. Varijacijom Reynoldsovog broja primjetna su znatna odstupanja u vanjskom (desnom) dijelu dijagrama gdje se vrtložna zona odvaja od krivulje logaritamskog zakona ranije (tj. za niže vrijednosti y ) što je Reynoldsov broj manji.
86
Sl.6.4.1 Tur bulentni profil brzine
VISKOZNI PODSLOJ
~ y 5 na st jenku naliježe tanak sloj fluida u kojemu se srednja brzina mijenja s udaljenošću od st jenke y linearno U području 0
u
y .
U viskoznom podsloju prevladava viskozno smično naprezanje, a brzina je mala i ona se mijenja od 0 na stjenci ("no slip“ uvjet) do reda veličine u za y
5 . Strujanje u viskoznom podsloju je
laminarno i ne postoje fluktuacije brzina. Vrijednost y
5 predstavlja približnu vanjsku granicu
*
viskoznog podsloja dok se kod definicije numeričkih modela turbulencije često uz određeni faktor 2.5 . sigurnosti vanjska granica viskoznog podsloja postavlja čak na y 87
5 moguće je dobiti debljinu viskoznog
Uz postavljenu vanjsku granicu viskoznog podsloja y podsloja
iz bezdimenzijskog bezdimenzijskog izraza izraza za profil brzine u viskoznom podsloju:
5
y
u
25 *
u
.
U prethodnom izraz u predstavlja brzinu strujanja na vanjskom rubu viskoznog podsloja, a koja je usko vezana uz srednju brzinu strujanja u cijevi. Moguće je zaključiti da je debljina viskoznog podsloja proporcionalna kinematičkoj viskoznosti i obrnuto proporcionalna srednjoj brzini strujanja, odnosno povećanjem Reynoldsovog broja debljina viskoznog podsloja se smanjuje. Na ) također je prikazan smještaj viskoznog podsloja kod strujanja u cijevi uz slici (Sl.4.4.6 enaglašenu debljinu. pr enaglašenu PRIJELAZNI SLOJ U prijelaznom sloju (često „buffer layer“) layer“) strujanje poprima karakteristike turbulencije. LOGARITAMSKI SLOJ U logaritamskom sloju važni
su i turbulentno smično naprezanje τTURB i viskozno τLAM. Profil
brzina dobro je definiran logaritamskim zakonom zida za zida za y ~ 30
1
u
ln y
C
gdje je bezdimenzijska konstanta C 5.0 (za strujanje u idealno glatkoj cijevi), a 0.41 og sloja bliže stjenci u ukupnom smičnom Karmanova konstanta. U konstanta. U unutarnjem dijelu logaritamsk og naprezanju još u određenom dijelu sudjeluje viskozno naprezanje τLAM, ali s odmakom od stjenke
ono gubi na značaju i postaje zanemarivo te je ukupno smično naprezanje u vanjskom dijelu logaritamske zone y 70 u potpunosti upravo turbulentno smično naprezanje τTURB. Logaritamski zakon zida koji u određenom smislu predstavlja poveznicu između viskoznog podsloja i centralne zone, s druge strane može izuzetno dobro aproksimirati profil brzine kroz gotovo cijeli presjek cijevi (osim centralne zone u određenim slučajevima kada se tlak nizvodno jako povećava, npr. u difuzoru) difuzoru). Povećanjem Reynoldsovog broja, maksimalna vrijednost y za koju je moguće uz veliku točnost primijeniti logaritamski logaritamski zakon zida, se povećava. VANJSKI SLOJ U vanjskom sloju u potpunosti dominira turbulentno smično naprezanje τTURB. Jedan od izraza za raspodjelu brzine često u upotrebi jest tzv. zakon defekta brzine (tzv. defect zakon)
vC u
u *
2.5 ln
R y
gdje je v C brzina u centru cijevi. Unutarnja granicu ove zone (bliže st jenci) jenci) bitno ovisi o
smislu nemoguće točnije definirati. Reynoldsovom broju pa ju je u univerzalnom smislu
88
EKSPONENCIJALNI ZAKON PROFILA BRZINE Eksponencijalni zakon profila brzine (Sl.6.4.2 ) je empirijski izraz koji daje aproksimativnu distribuciju brzine preko gotovo cijelog presjeka cijevi (iako ne vrijedi u blizini stjenke i u neposrednoj blizini centralne osi cijevi)
u vC
1
r
1/ n
R
gdje je n funkcija Reynoldsovog broja (prikazanog na sljedećem dijagramu).
Sl.6.4.2 Ovisnost Ovisnost koefi cij enta n o Reynol Reynol dsovom dsovom br br oju za glatk u cij ev i profil i brzin brzin a pri tur bulentnom bulentnom i laminarnom struj struj anju
Gornji izraz uz n=7 često se koristi kao dobra aproksimacija u praksi. Povećanjem Reynoldsovog broja raste koeficijent n i turbulentni profil postaje sve "spljošteniji" što je vidljivo na slici Sl.6.4.2. Sl.6.4.2.
Također, na slici je evidentna razlika laminarnog i turbulentnog profila brzine. LOGARITAMSKI ZAKON ZIDA ZA HRAPAVU CIJEV
Dosadašnja analiza turbulentnog profila pretpostavlja strujanje u glatkoj cijevi. Pri analizi utjecaja hrapavosti stjenke na strujanje (Sl.6.4.3 ) važan je odnos debljine laminarnog podsloja i visine
89
*
neravnina e. e. Cijev se smatra hidraulički glatkom ako
u e
5 i tada su sve neravnine unutar
viskoznog podsloja te stoga ne utječu na strujanje. Stjenka se smatra potpuno hrapavom ako *
u e
70 jer tada vrhovi neravnina stjenke prodiru u potpunosti kroz viskozni podsloj u
učje i stvaraju otpor strujanju, te se logaritamski zakon zida modificira turbulentno podr učje zida modificira u izraz u
8.5 5.75ln
y e
.
Sl.6.4.3 Hr apavos apavostt stjenke, aps apsolu tna hr apavos apavostt e i deblj in a viskoznog viskoznog podsloj podsloj a
s
6.5 Modeliranje turbulencije DNS DNS (Direct Numerical Simulation) predstavlja kompletno u prostoru trodimenzijsko i o vremenu ovisno rješavanje Navier Stokesovih jednadžbi i jednadžbi očuvanja. Ovakvo direktno rješavan je je je proračunski izuzetno zaht jevno jevno i za sad neupotrebljivo za rješavanje općenitih inženjerskih
problema. Razvoj jakih paralelnih računala i povećanje memorijskih mogućnosti računala omogućit će u budućnosti vjerojatno veću upotrebljivost ovakvog pristupa. LES LES (Large Eddy Simulation) tj. modeliranje velikih vrtloga predstavlja vrtloga predstavlja pristup u kojem se veliki
vrtlozi računaju numerički, a mali vrtlozi koji su veličine ispod rastera numeričke mreže se matematički modeliraju. Takav postupak opravdan je pretpostavkom da su veliki vrtlozi direktno povezani s numeričkim rubnim uvjetima te da oni nose glavninu nose glavninu Reynoldsovih naprezanja. Mali vrtlozi su reda veličine manje značajni obzirom na ukupna Reynoldsova naprezanja, više izotropni i stoga pogodniji za matematičko modeliranje. Pošto se u LES pristupu mali vrtlozi ne računaju direktno nego matematički modeliraju to je dovoljna znatno grublja numerička mreža u odnosu na DNS, što znatno smanjuje računalni napor.
90
RANS
Obzirom na činjenicu da su i DNS i LES pristup danas još proračunski jako zaht jevni obzirom na rješavanje općenitih praktičnih problema u inžinjerstvu, u tretiranju turbulencije danas su najpopularniji RANS (Reynolds Averaged Navier Stokes) modeli zasnovani na Reynoldsovim
usrednjenjima (najčešće usrednjenjima u vremenu). Obzirom da su Navier Stokesove jednadžbe nelinearne, rezultirajuća usrednjena diferencijalna jednadžba sadrži ne samo tražene usrednjene varijable brzine i tlaka nego i produkte fluktuacija (npr. Reynoldsovo naprezanje
u v ) te je za
zatvaranje sustava jednadžbi potrebno još dodatnih aproksimacija. U osnovi Reynoldsovo usrednjenje jest simplifikacija kojom se gubi puno informacija sadržanih u Navier Stokesovim jednadžbama. Najkorišteniji RANS pristupi danas su tzv. dvojednadžbeni modeli od kojih su model koji se sastoje u rješavanju jednadžbi turbulentne najpoznatiji k model i k kinetičke energije ( k ) i disipacije turbulentne kinetičke energije ( ) odnosno specif ičnoj brzini disipacije (
). Spomenuti modeli (i njihove varijacije) osnova su danas velikog broja komercijalnih računalnih inženjerskih programa na području računalne dinamike fluida (CFD).
Nakon 2005. godine, porastom snage računala, tj. zamahom paralelnih računala visokih performanci i daljnjim razvojem računalne numerike, na važnosti dobivaju i hibridni numerički modeli, pogotovo spajanje RANS i LES modela pri modeliranju turbulencije. ALGEBARSKI MODELI
Ovu grupu čini skup semiempirijskih modela koji na različiti način aproksimiraju Reynoldsovo naprezanje i uglavnom koriste pojam duljini miješanja l m (Prandtl). Koriste se pretežno u teoretskoj analizi turbulencije, a o čemu su neke postavke definirane u prethodnom poglavlju. TEORIJA KAOSA
Teorija kaosa predstavlja relativno novu granu matematičke fizike i ona obuhvaća ponašanje nelinearnih dinamičkih sustava i njihovu osjetljivost na inicijalne i rubne uvjete. Pretpostavlja se da strujanje realnog fluida, koje se modelira Navier Stokesovim jednadžbama, predstavlja takav nelinearni dinamički sustav. Pod pretpostavkom da Navier Stokesove jednadžbe uključuju kaotično gibanje tada je i njihovo rješenje izuzetno osjetljivo na početne uvjete tj. minimalno različiti inicijalni uvjeti mogu producirati sasvim različita rješenja. Iako teorija kaosa na početku 21. stoljeća doživljava stagnaciju, ona može dati uvid u kompleksnost turbulencije.
6.6 Gubici pri strujanju realnog fluida u cijevima 6.6.1 Dimenzijska analiza gubitaka pri laminarnom i turbulentnom strujanje u cijevi LAMINARNO STRUJANJE Pri laminarnom strujanju fluida u horizontalnoj cijevi pad tlaka
p je ovisan o srednjoj brzini
strujanja v, duljini cijevi L, promjeru cijevi D i viskoznosti fluida
. Nije uključena gustoća fluida
, pošto za ovaj režim strujanja ona nije bitan parametar. Vrijedi p
F v, L, D,
.
Prema teoriji dimenzijske analize (izloženoj ranije), broj varijabli je n=5 bazih dimenzija k=3 ( M,L,T ) pa je sukladno Buckinghamovom varijabli n-k=2. Moguće je kreirati bezdimenzijske kvocijente
p, v, L, D,
, broj
teoremu broj potrebnih P
91
D p
L
v
D
Eksperimentalno je utvrđeno da su dvije gornje bezdimenzijske veličine direktno proporcionalne pa je moguće pisati D p v
L C . D
Za cijev kružnog poprečnog presjeka utvrđena je vrijednost koeficijenta C=32 te slijedi
32 Lv / D 2 .
p D
Uvrštenjem varijable protoka Q
2
v umjesto brzine, moguće je dobiti poznati izraz Hagen 4 Poiseuilleove formule protoka (koja je prethodno izvedena u poglavlju o Navier Stokesovoj
jednadži): p D 4
Q
.
12 8 L
2
Ako se izraz za pad tlaka p podijeli dinamičkim tlakom v / 2 slijedi: p
1 2
v
2
32 Lv / D 1 2 v 2
2
64
vD
L
64 L
D
Re D
odnosno p
L
v
2
.
D 2
p u gornjem izrazu moguće je izraziti gubitkom piezometrične visine h [m]. Uz pretpostavku p gh slijedi Gubitak tlaka
h
L v 2 D 2 g
.
Gornji izraz jest Darcy Weisbachova jednadžba kojom se računaju dužinski gubici u cijevi kružnog poprečnog presjeka gdje je λ koeficijent trenja (ili Darcyjev koeficijent trenja). U slučaju strujanja u cijevima nekružnog po prečnog presjeka (npr. kvadratnog, pravokutnog ...) potrebno je prethodno izračunati odgovarajuću vrijednost hidrauličnog radijusa Rh za pojedini
slučaj koji se onda može koristiti u nekom izrazu za cijev kružnog poprečnog presjeka umjesto radijusa R (odnosno promjera D).
Za ovaj slučaj laminarnog strujanja dobiven je koeficijent trenja 64 Re
.
92
Iz gornje jednadžbe vidljivo je da je koeficijent trenja pri laminarnom strujanju ovisan samo o ~ Reynoldsovom broju dok je samo u slučaju ekstremno hrapavih cijevi ( e / D 0.1) koeficijent trenja ovisan o hrapavosti e. TURBULENTNO STRUJANJE Pad tlaka za turbulentno, stacionarno, nestlačivo strujanje u horizontalnoj cijevi presjeka promjera D moguće je odrediti u formi funkcionala na sljedeći način
p
F v, L, D, , e,
kružnog poprečnog
.
Usporedbom s laminarnim slučajem uočljivo je da je lista varijabli nadopunjena s hrapavošću e i gustoćom fluida ρ. Dimenzijskom analizom uz broj varijabli je n=7, broj baznih dimenzija k=3 ( M,L,T ) moguće je definirati n-k=4 bezdimenzijskih P varijabli: p 1
v
2
vD L e . , , D D
~ 2
Logičnom pretpostavkom da je pad tlaka proporcionalan dužini cijevi (što je dokazano i eksperimentalno) moguće je preurediti gornji izraz p 1 2
L
v
2
D
Re ,
e D
.
Osim Reynoldsovog broja, u analizu strujanja u ci jevima uvedena je važna nova bezdimenzijska
veličina – relativna hrapavost
e D
. Kao i u laminarnom slučaju slijedi
p
L
v
2
,
D 2
odnosno uvođen jem varijable gubitka piezometrične visine proizlazi Darcy Weisbachov izraz h
L v 2 D 2 g
.
Iz provedene analize proizlazi
Re ,
e D
tj. da je koeficijent trenja u turbulentnom slučaju ovisan i o režimu strujanja tj. Reynoldsovom broju i o kvaliteti cjevovoda e/D. Ta ovisnost je kompleksna i definirana je dugogodišnjim eksperimentalnim radom niza znanstvenika Nikuradse (1933.), Moody, Colebrook i ostali, a što će
biti izloženo u sljedećem poglavlju.
93
6.6.2
Ovisnost koeficijenta trenja o režimu strujanja i hrapavo sti stijenke
Uravnoteženje sila za stacionarno strujanje (bez ubrzanja) u horizontalnoj cijevi (Sl.6.6.1 ) daje
Sl.6.6.1 Uravnoteženje sila za stacionarno strujanje u cijevi
p r 2
w
2r
L
što vrijedi i za laminarno i za turbulentno strujanje. Darcy Weisbachova jednadžba gubitaka za segment cijevi L prikazan na prethodnoj slici jest p
L
u2
2r
2
.
Eliminacija p u dvije gornje jednadžbe daje izraz ovisnosti smičnog naprezanja na st jenci
w
i
srednje brzine u : w
8
u.
Gornji izraz uvršten umjesto srednje brzine u logaritamski zakon zida dan u prethodnom poglavlju daje izraz za koeficijent trenja oblika
1
K 1
.
K 2 ln Re
Uz korištenje laboratorijskih podataka hrapavosti prema Nikuradse-u za hidraulički glatke cijevi slijedi 1 0.869ln Re 0.8 te za potpuno hrapave cijevi
1
1.14 0.869ln
e D
.
Gornji izraz se u literaturi često naziva Von Karmanova formula. Gornja dva izraza dobivena za laboratorijske uvjete hrapavosti za hidraulički glatke i ekstremno hrapave cijevi direktno vrijede i za komercijalne cijevi. U eksperimentima s gubicima strujanja u hrapavim cijevima (Nikuradse) lijepljena su zrnca pijeska tri različita promjera e na unutarnje stjenke cijevi tri različita promjera D na način da je zadržan konstantan kvocijent
e D
(relativna hrapavost). Eksperimenti su pokazali važnost termina relativne
94
hrapavosti
e D
pošto je za cijevi različitih promjera dobivena glatka neprekinuta λ-Re krivulja
(Sl.6.6.2) . Mjerena je razlika tlaka potrebna kako bi se ostvario željeni protok te je pomoću tih podataka upotrebom Darcy Weisbachovog izraza računat koeficijent trenja
Testovi su ponavljani za široki raspon Re i e/D kako bi se dobila tražena ovisnost
L
v2
p /( ). D 2 ( Re , e / D) .
U realnim cijevima hrapavost nije uniformna kao u spomenutim laboratorijskim testovima, ali je
ipak moguće korelirati ekvivalentnu visinu neravnina komercijalnih cijevi s laboratorijskom hrapavošću. Neke približne vrijednosti dane su u sljedećoj tablici.
Sl.6.6.2 Nik ur adseovi testovi h rapavosti
Radom L.F. Moodyja i C.F. Colebrooka korelirani su podaci laboratorijski ohrapavljenih cijevi s komercijalnim cijevima. Eksperimentalno je utvrđeno da se u području gdje hrapavost ovisi i o Re i e/D podaci za umjetno ohrapavljene cijevi i realne komercijalne cijevi ne poklapaju kao u slučaju
ekstremno hrapavih cijevi i hidraulički glatkih cijevi te je stoga u najširem prijelaznom području trebalo posebno pažljivo korelirati podatke iz eksperimenata na komercijalne cijevi (Tablica 6.6.1).
95
CIJEV – materijal Čelik sa zakovicama Beton Drvo Li jevano željezo
Galvanizirano željezo Komercijalni čelik Plastika, staklo
APSOLUTNA HRAPAVOST e [mm] 0.9 - 9 0.3 – 3 0.18 – 0.9 0.26 0.15 0.045 0.0
Tabl ica 6.6.1 A psolu tna hr apavost za neke vr ste cij evi
Na slici u dodatku A (Sl.A1 ) prikazan je Moodyjev dijagram koji daje ovisnost koeficijenta trenja λ o relativnoj hrapavosti e/D i Reynoldsovom broju Re za čiste nove komercijalne cijevi. Moodyjev
dijagram Re
pokriva
široko područje. Laminarno područje do približne vrijednosti 2100...2300 , prijelazno područje i turbulentno područje pokriveno je za raspon
4000 do Re 108 . Na dijagramu je uočljivo da i za e=0 koeficijent trenja nije jednak nuli pošto i u takvim hidraulički glatkim cijevima fluid neposredno uz stjenku zbog tzv. no-slip uvjeta miruje. Uvijek postoji barem mikroskopska površinska hrapavost koja uzrokuje takvo lijepljenje fluida uz stijenku. Cijelo turbulentno područje Moodyjevog dijagrama definira Colebrookova formula Re
1
0.869 ln
e / D 3.7
2.523 Re
.
koja je zbog svojeg implicitnog oblika (λ i s lijeve i desne strane jednakosti) nepogodna za praktičnu upotrebu pa je češće u upotrebi približna Colebrookova formula koja daje vrijednost
koeficijenta hrapavosti uz približnu grešku od 1%. Potrebno je napomenuti da su u Moodyjevom dijagramu dane vrijednosti koeficijenta trenja za
nove cijevi, a da se upotrebom kroz duže vrijeme u cijevima zbog korozije i naslaga može znatno povećati hrapavost ili čak smanjiti unutarnji presjek, što u primjeni treba uzeti u obzir. 6.6.3
Računanje gubitaka strujanja u komercijalnim cijevima
Gubici se klasificiraju kao dužinski (glavni) i lokalni.
DUŽINSKI GUBICI U ovom poglavlju dan je pregled izraza koji se koriste u računanju gubitaka strujanja realnog fluida u komercijalnim cijevima. Osim Colebrookovih izraza koji definiraju cijelo turbulentno područje Moodyjevog dijagrama dani su i izrazi koji definiraju samo određena područja dijagrama za određene raspone R e i hrapavosti. Dužinski gubici nastaju zbog trenja i proporcionalni su dužini cijevi, približno proporcionalni kvadratu brzine, obrnuto proporcionalni unutarnjem dijametru cijevi, ovise o povr šinskoj hrapavosti unutarnje st jenke cijevi, ovise o gustoći i viskoznosti fluida i neovisni su o tlaku.
96
Pregled izraza za računanje dužinskih gubitaka u realnom cjevovodu Gubici pri strujanju u cijevi h g dijele se na dužinske i lokalne gubitke tj. h g
hduz
hlok .
Dužinski gubici računaju se pomoću Darcy-Weisbachove formule (izvedena u prethodnom poglavlju):
hduz
L v
2
D 2 g
m
hduz
ili
8 L Q g
2
2
D
5
m ,
koeficijent hrapavosti, D promjer cijevi, L dužina cijevi, v brzina strujanja i Q protok. Često se za proračun dužinskih gubitaka koriste i drugi empirijski izrazi (npr. Hazen-Williamsova formula). Koeficijent trenja određuje se u ovisnosti o režimu str ujanja ( Re) ili kvaliteti cjevovoda ) ili pomoću sljedećih empirijskih (relativna hrapavost e/D) pomoću Moodyjevog dijagrama (Sl.A.1 izraza: gdje je
a. Pri laminarnom strujanju
64
= (Re)
Re
.
b. Pri turbulentnom strujanju
b1. Za cijelo turbulentno područje uz = (Re,e/D), vrijedi Colebrookova implicitna formula 1
0,869 ln
e
2,523
3,7 D
Re
dok se najčešće koristi (greška unutar 1%) približna Colebrookova fomula 1,325 ln
e
2
5,74
3,7 D
Re
;
0,9
b2. Za jako hrapave cijevi = (e/D) vrijedi von Karmanov izraz (spomenut u prethodnom poglavlju)
1
1,14 0,869 ln
e D
;
b3. Za hidraulički glatke cijevi = (Re) koristi se Blasiusova formula uz ograničenje Re<100000.
0,316 0, 25
Re ili Karman-Prandtlova formula
1
2 log Re
0,8
U gornjim izrazima e [m] je visina neravnina stjenke cijevi, D [m] je promjer cijevi.
97
LOKALNI GUBICI
Sl.6.6.3 a,b Lokal ni gubici
Lokalni gubici nastaju zbog odvajanja struje (separacija) od stjenke cijevi i stvaranja tzv. mrtvih
zona u kojima se fluid vrtloži i crpi energiju iz glavne struje. Lokalni gubici dijele se na lokalne gubitke uslijed promjene presjeka struje fluida (naglo proširenje/suženje, ulazna ušća i otvori, izlazni otvori, prigušnice, sapnice, difuzor – postupno proširenje, konfuzor – postupno suženje, venturijeva cijev, ventili, slavine, zasuni, zaklopke ...) (Sl.6.6.3 a,b,c,e );
Sl 6.6.3 c,d,e L okalni gubici
lokalne gubitke uslijed promjene smjera struje fluida ( nagla promjena smjera - koljeno, blaga promjena smjera - luk) (Sl.6.6.3d ). Postoje i lokalni otpori koji objedinjuju dvije gornje grupe i nastaju zbog promjene smjera i
presjeka (račve, bifurkacije, sastavci ...) Općenit izraz za računanje većine lokalnih gubitaka jest
98
hlok
k
v
2
8 Q
m ili hlok
2 g
2
k 4 D g
2
m
gdje je k koeficijent koji se određuje eksperimentalno (Sl.6.6.3 ).
6.6.4 Serijski spojene cijevi
1
Q
2 3
L1
L2
L3
4
L4
v 1 , A1, h v 2 ,A 1 2 ,h
2
v 3 , A3 , h 3
v 4 , A , h 4 4
Sl.6.6.4 Serij ski spojene cijevi
Kod serijskih (u nizu) spojenih cijevi (Sl.6.6.4 ) ukupni gubitak h jednak je sumi dužinskih i lokalnih gubitaka 2
m
h
i i 1
Di 2 g
2
v j
n
Li vi
k j j 1
2 g
.
Za protok kroz cjevovod vrijedi Q=Q1= Q2= ... Qi= ...= Qn
pa je za računanje ukupnih gubitaka pogodno koristiti i varijablu protoka umjesto brzine m
h i 1
n
8 Li 2
g
k j
5 i
D
j 1
8 g
2
D
4 j
Q
2
2
K Q m .
(6.6.4.1)
6.6.5 Paralelno spojene cijevi Kod paralelno spojenih cijevi (Sl.6.6.5 ) gubici u svim paralelnim granama su jednaki, a ukupni protok kroz cjevovod jednak je zbroju svih protoka u pojedinim granama:
h Q
h1 Q1
h2 Q2
... hi .. . Qi
... hn .. . Qn
Ukupne (dužinske i lokalne) gubitke po pojedinim granama (6.6.4.1) moguće je izraziti u obliku hi
K i Q i2 , za i=1 .. n
gdje je K i koeficijent ukupnih gubitaka po grani. Uzevši u obzir prethodna tri izraza može se pisati
99
h
h1
h2
K
K 1
K 2
...
hi K i
...
hn K n
,
odnosno slijedi izraz za ukupni koeficijent gubitaka za paralelni spoj K
1
1
1
K
K 1
K 2
...
1 K i
...
1 K n
.
K Q 2 .
Ukupni gubitak kroz paralelni spoj jest h
Sl.6.6.5 Paraleln o spojene cijevi
6.6.6 Gradijentne linije Gradijentne linije (Sl.4.7.6 ) koriste se za analizu strujanja fluida u cjevovodima. Bernoullijeva
jednadžba za stacionarno strujanje je poznatog oblika H E
2
p
v
g
2 g
z const . duž strujnice
gdje je H E visina ukupne mehaničke energije. Dimenzija gornje jednadžbe je metar [m]. Korisno je pri opisu strujanja u cjevovodu nacrtati grafove visina pojedinih članova Bernoullijeve jednadžbe:
z
) predstavlja geometrijsku ili geodetsku liniju sustava ( GL odnosno liniju potencijalne energije;
p g
v
2
2 g
predstavlja hidrauličnu gradijentnu liniju odnosno piezometričnu liniju (HGL);
z
p g
z
). predstavlja energetsku liniju ( EL
100
Sl.6.6.6 M jerenj e piezometrične visine piezometr om i vi sine stagnacij skog tl aka Pit otovom cij evi.
Piezometrična linija (Sl.6.6.6 ) dobila bi se povezivanjem točaka na površinama fluida u više piezometara postavljenih kroz sustav dok bi se energetska linija dobila spajanjem točaka na površinama fluida u više Pitotovih cijevi postavljenih kroz analizirani sustav (Sl.6.6.6 ). Na sljedećim slikama prikazani su odnosi linija za realnesustave s dužinskim i realnim gubicima koji uključuju spremnik, ventil, suženje cijevi – mlaznicu (Sl.6.6.7 ), detaljni
Sl.6.6.7 Energetska linija i piezometrična linija za sustav sa spremnikom, venti lom i mlazni com
tok energetske i piezometične linije na suženju cijevi (Sl.6.6.8 ). Vidljiv je položaj energetske linije koja se nalazi iznad piezometrične linije za v2 /2g tj. za iznos dinamičkog tlaka.
101
Sl.6.6.8 Tok energetske i piezometične linije na suženju cijevi
Na slici (Sl.6.6.9 ) prikazan je sifonski sustav cijevi s ugrađenom pumpom. Gradijentne linije crtane su iznad horizontalnih dijelova sustava. U točkama u kojima piezometrična linija siječe geodetsku liniju (Sl.6.6.9 ) predtlak u cijevi jest nula. Tipično za sustav cijevi prikazan na slici (Sl.6.6.9 ) jest
da je u višim dijelovima sifona podtlak, tj. tlak je manji od vanjskog tlaka. Predtlak prelazi u podtlak i obrnuto u sjecištima piezometrične i geodetske linije.
Sl.6.6.9 En ergetska i pi ezometr ična linija za sifon s ugrađenom pumpom
102
6.6.7 Ekvivalentna duljina cijevi Pojam ekvivalentne duljine cijevi koristi se pri analizi kompleksnih cjevovoda kako bi se
pojednostavila globalna shema sustava. Tako se sustav od više serijski povezanih cijevi različitih promjera može zamijeniti s jednom cijevi određenog ekvivalentnog promjera koja će dati isti protok za isti dužinski gubitak. Također niz lokalnih gubitaka u nekoj cijevi moguće je eliminirati iz analize sustava tako da se produži duljina cijevi kako bi se lokalni gubici nadoknadili povećanim dužinskim gubicima. Ekvivalenta cijev tada će hidraulički biti ista kao i prvobitna (kraća) cijev s nizom lokalnih gubitaka. Na sljedećoj slici prikazan je sustav cijevi gdje su lokalni gubici uključeni u obliku ekvivalentnih duljina.
Sl.6.6.10 En ergetska li ni ja za sustav ekvi valentni h cij evi
103
7. OPTJECANJE TIJELA Gibanje tijela kroz fluid (odn. gibanje fluida oko tijela) uzrokuje naprezanja i to smična tangencijalna naprezanja na stjenku tijela i normalna tlačna naprezanja na st jenku p (Sl.7.1).
Ukupno dobivenu silu fluida na tijelo moguće je razložiti na dvije međusobno okomite komponente, silu otpora F D (“drag ”) i dinamički uzgon F L (“lift ”). Sila otpora F D je komponenta ukupne sile fluida na gibajuće tijelo paralelna s relativnom brzinom v nastrujavanja prema tijelu, a dinamički uzgon F L je komponenta ukupne sile okomita na relativnu brzinu približavanja fluida v . Općenito, smična i normalna naprezanja sudjeluju i u sili otpora i u dinamičkom uzgonu. F D
p sin
dS
cos dS
i
F L
p cos dS
sin
dS
p<0 Smično naprezanje
v Raspodjela tlaka
v p>0 FL
p dS
p dS
v
p dS cos
dS
FD
dS sin
p dS sin
dS cos
Sl.7.1 Viskozne i tlačne sile na avionsko krilo
Granični sloj Dio struje fluida koja je pod utjecajem smičnih sila naziva se granični sloj. Granični sloj i njegove karakteristike te način opstrujavanja tijela, utječu na intenzitete sila dinamičkog uzgona i otpora. Ako je na uzvodnoj površini nastrujavanja fluida na tijelo stijenka glatka, početni granični sloj je ), zatim granični sloj sve više deblja, u njemu strujanje postaje nestabilno, i laminaran (Sl.7.2 konačno se transformira u turbulentan granični sloj. profili brzina
Laminaran
ranični slo
Prijelazno
Turbulentan
odruč e
ranični slo
Sl.7.2 Rast graničnog sloja. Optjecanje ravne ploče.
Granični sloj ovisan je o gradijentu tlaka. U slučaju pada tlaka u nizvodnom smjeru, granični sloj postaje sve tanji, a u slučaju porasta tlaka u nizvodnom smjeru granični sloj naglo dobiva na debljini. Porast tlaka u smjeru strujanja i smična naprezanja smanjuju količinu gibanja u graničnom sloju te konačno uzrokuju odvajanje graničnog sloja od st jenke tijela – separaciju 104
Porastom tlaka u smjeru strujanja, nizvodno od točke separacije javlja se protustrujanje fluida u vrtložnoj zoni (“wake”) u blizini stijenke. Hidrodinamično i aerodinamično oblikovana tijela eliminiraju odn. reduciraju efekte separacije, dok npr. nehidrodinamična tijela razvijaju jaku Sl.7.3 .
silu otpora (“drag”) zbog niskog tlaka u vrtložnoj zoni (wake).
Režim strujanja u graničnom sloju (laminarno, turbulentno) važan je za mjesto pojave separacije, tj. odvajanja graničnog sloja od stjenke tijela. Mnogo veća izmjena količine gibanja unutar turbulentnog graničnog sloja, u usporedbi s laminarnim, uzrokuje dužu slijepljenost graničnog sloja uz st jenku tijela, tj. kasniju točku separacije nizvodno. Na Sl.7.3 vidljivo je da je pri laminarnom graničnom sloju točka separacije više uzvodno na stjenci kugle nego što je u slučaju turbulentnog graničnog sloja.
Stagnacijska točka
v
R E < 1.0 CD > 2.5
Turbulentan granični sloj
Laminaran granični sloj Stagnacijska točka
v
3
10
Vrtložna zona
v
Separacija
5
Stagnacijska točka
R E > 2.5 10 CD 0.2
Separacija
Vrtložna zona
5
Sl.7.3 Optj ecanje ku gle (malen R E , turbulentan i laminaran granični sloj)
Koeficijenti sile otpora C D i sile dinamičkog uzgona C L Iako izrazi za silu otpora F D i dinamičkog uzgona F L (dani na početku poglavlja) vrijede za bilo
koje tijelo, njihova je primjenjivost jako limitirana. Općenito, za većinu opstrujavanih tijela nemoguće je točno izračunati distribuciju smičnih i tlačnih naprezanja na st jenci tijela. Alternativa jest u približnom određivanju dvaju bezdimenzijskih parametara (eksperimentalno, numerički) koeficijenta sile otpora C D i koeficijenta dinamičkog uzgona C L, kako bi se izračunale sile otpora F D i dinamičkog uzgona F L: F D
1 2
C D
2
v A
F L
1 2
C L
2
v A
gdje je A neka karakteristična površina tijela, a najčešće je to površina projekcije tijela na ravninu okomitu na vektor brzine nastrujavanja.
105
Ravna ploča
D
Krug
D
1.0
D
Elipsa D CD
0.5 D 0.1
Avionsko krilo
Ravna ploča D
0.18 D
0.01 D 4
5
10
6
10
7
10 R E=
10
vD
Sl.7.4 Koefi cij ent otpora str uj anja C D za više dvodimenzijskih likova
Brojevi C D i C L jesu funkcije oblika, kuta nastrujavanja i bezdimenzijskih veličina npr. Reynoldsovog broja, Machovog broja, Froudeovog broja, relativne hrapavosti stjenke tj. C D=f(oblika, kuta nastrujavanja, Re , M a , F R , e/D). Primjer ovisnosti sile otpora o obliku ilustriran je na (Sl.7.5 ) gdje se kod dvaju tijela velike razlike u veličini javlja ista sila otpora F D.
v
v
10 D
Promjer = D
FD (a) = FD (a)
(b)
(b)
Sl.7.5 Dva tijela različitih dimenzija koja imaju istu silu otpora F D . Koefi cijent otpora struj anja za a.) cil in dar C =1.2; b.) aerodinamičan oblik C D =0.12 D
Kod analize utjecaja oblika na koeficijent otpora C D važna je i veličina Reynoldsovog broja. Što je
Reynoldsov broj veći to je efekt hidrodinamičnosti tijela snažniji, odnosno kod velikog Reynoldsovog broja hidrodinamičnost tijela jako reducira silu otpora. Kod umjerenih vrijednosti Reynoldsovog broja kod hidrodinamičnih tijela koeficijent otpora C D se blago smanjuje s povećanjem Reynoldsovog broja.
Kod ekstremno nehidrodinamičnih tijela, npr. ravna ploča okomita na smjer nastrujavanja fluida Sl.7.4, točka separacije graničnog sloja je na samom rubu ploče neovisno o režimu strujanja u graničnom sloju, tj. koeficijent otpora pokazuje izrazito malenu ovisnost o Reynoldsovom broju. Hrapavost površine, u općenitom smislu, povećava koeficijent otpora i silu otpora, a što je pogotovo slučaj s hidrodinamičnim tijelima. Kod nehidrodinamičnih tijela, kao što su npr. kugla i valjak naprotiv, povećanjem površinske hrapavosti moguće je smanjiti koeficijent otpora i silu otpora. Taj efekt se postiže induciranjem prijelaza u turbulentni režim strujanja već kod manjih vrijednosti Reynoldsovog broja, a što se postiže hrapavošću nastrujne površine. Na dijagramu to bi uzrokovalo pomak udubine na dijagramu za npr. krug (ili valjak, kuglu), koja se Sl.7.4, Sl.7.6 106
javlja u rasponu 105
Re 106 , ulijevo, prema područje nižih vrijednosti Reynoldosvog broja.
Imajući u vidu prije spomenutu činjenicu da je pri turbulentnom graničnom sloju točka separacije više nizvodno i npr. golf loptica koja ima neravnu površinu i moguće ju je poistov jetiti s trećim slučajem na slici Sl.7.3 , imati će zbog formiranog turbulentnog graničnog sloja i kasnije točke separacije, veći domet u letu nego npr. neka glatka kuglica. Smanjenje sile otpora povećanjem hrapavosti površine treba činiti pažljivo i za ciljani raspon Reynoldsovog broja, pošto takav postupak može biti i kontraproduktivan, a što je očigledno i iz dijagrama Sl.7.4, Sl.7.6. Putanje npr. loptice za stolni tenis su kratke te ona nikad ne dostiže brzine u turbulentnoj zoni pa je njena površina glatka jer bi povećanje hrapavosti bilo kontraproduktivno.
.6 Utjecaj hrapavosti površine kugle na koeficijent otpora C D Sl.7
Kod konstruiranja tijela kod kojih je važna sila dinamičkog uzgona kao što su avionska krila, lopatice turbostrojeva itd., važno je dobiti što veću silu dinamičkog uzgona F L i istovremeno minimizirati silu otpora F D.
Većina optjecanih tijela koja služe za generiranje sile dinamičkog uzgona F L (avionska krila, ventilatori, spojleri na automobilu ...) imaju radno područje pri visokim vrijednostima Reynoldsovog broja. Kod takvog strujanja smično naprezanje (Sl.7.1 ) malo pridonosi ukupnoj sili dinamičkog uzgona F L , a većina sile dinamičkog uzgona dolazi od distribucije tlaka po površini p ). Tipična raspodjela tlaka po površini automobila koji se giba dana je na slici (Sl.7.7 ). (Sl.7.1 Distribucija tlaka je uglavnom konzistentna s jednostavnim Bernoullijevim načelom – područja s visokim brzinama strujanja (iznad krova i prednje haube) imaju nizak tlak dok su područja s nižim brzinama strujanja (rešetke hladnjaka motora i prednje staklo) područja visokog tlaka.
107
Sl.7 .7 Raspodjela tlaka na površini automobila koji se giba
Od izuzetne je važnosti i kut vektora brzine nastrujavanja, a na ( Sl.7.9) prikazana je ovisnost koeficijenata C D i C L o tom kutu. Za avionsko krilo javlja se sila dinamičkog uzgona i pri kutu nastrujavanja od 0O pošto su ona u pravilu asimetrična (Sl.7.8 dolje). Simetrično krilo uz kut nastrujavanja 0O ne stvara silu dinamičkog uzgona (Sl.7.8 gore), nego ona nastaje tek povećanjem kuta nastrujavanja.
Sl.7 .8 Simetrično i asimetrično avionsko krilo
Povećanjem kuta nastrujavanja obrnuti gradijent tlaka na gornjoj površini krila se povećava i točka separacije se pomiče nizvodno. Maksimalna sila dinamičkog uzgona doseže se pri određenom kutu nastrujavanja koji varira za različita avionska krila u rasponu od 12O do 20O (Sl.7.9). Daljnje povećanje kuta nastrujavanja uzrokuje nagli pad dinamičkog uzgona i povećanje sile otpora. To stanje se zove zastoj i jasno je vidljivo na dijagramu (Sl.7.9) (promjena kuta nastrujavanja postiže se npr. zakretanjem avionskih krilaca).
108
Sl.7.9 Koefi cij enti C u ovisnosti o kutu nastr uj avanj a. U i zrazima za C L i C vri jednost L , C D D
specifične površine A se za ovaj slučaj računa kao umnožak dužine tetive krila (prema slici) i dužine krila. Kut nastrujavanja O je kut kojeg čini vektor brzine slobodne struje i tetiva krila.
109
A. DODATAK
110