Mehanika fluida Definicija fluida
Fluid je materija koja se kontinualno deformiše pod djelovanjem tangencijalnog napona ma kako mali on bio. Koncept kontinuuma
Postoje u osnovi dvije metode proučavanja kretanja fluida. Prva tretira fluid kao skup molekula. Alternativna metoda koristi koncept kontinuuma koji zanemaruje diskretnu strukturu strukturu materije i pretpostavlja da fluid kontinualno ispunjava prostor. Materija na koju se može primjeniti koncept kontinuuma naziva se neprekidna sredina ili kontinuum. Dio fizike koji proučava kretanje neprekidne sredine naziva se meanika neprekidne sredine ili meanika kontinuuma. Prema tome! meanika fluida je dio meanike neprekidne sredine. Drugi dio je meanika čvrstog tijela. Teorija polja
"oncept kontinuuma dozvoljava da se karakteristike toka fluida kao što su gustina! brzina! temperatura itd. izraze kao neprekidne #u matematskom smislu$ funkcije prostora i vremena. Matematska disciplina koja se bavi takvim funkcijama naziva se teorija polja. Definicija% Polje se definiše kao neprekidna jednoznačna raspodjela odre&ene veličine u prostoru i vremenu. Polje veličine F! na primjer! označavat 'emo sa F ( F # r ! t$ ⃗
)dje je r vektor položaja tačke u prostoru u odnosu na usvojeni pol! a t vrijeme. ⃗
* "artezijskom koordinatnom sistemu je % r = x i + y j + z k ⃗
... #+$
gdje su ,!-!z ,!-!z kartezijske koordinate! a i ! j ! k jedinični vektori u pravcu ,!-!z osa. ako da izraz #+$ možemo pisati kao% F ( F #,!-!z!t$ /kalarno polje%
ρ = ρ ( r , t ) ili
ρ= ρ ( x , y , z , t )
0ektorsko 0ektorsko polje%
v = v ( r , t ) ili
v =v ( x , y , z , t )
enzorsko polje%
´ =T ´ ( r , t ) T ili
´ =T ´ ( x , y , z , t ) T
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
/vakom vektorskom polju se mogu pridružiti tri skalarna polja. v x =v x ( x , y , z , t ) v y =v y ( x , y , z , t )
v z= v z ( x , y , z , t ) v =v x i+ v y j + v z k
1 vrijedi
⃗
/vakom tenzorskom polju možemo pridružiti devet skalarni polja. T xx =T xx ( x , y , z , t )
T xy=T xy ( x , y , z , t )
T yx=T yx ( x , y , z , t )
T yy=T yy ( x , y , z , t )
T xz =T xz ( x , y , z , t )
T yz=T yz ( x , y , z , t ) T zx =T zx ( x , y , z , t )
T zy =T zy ( x , y , z , t )
T zz =T zz ( x , y , z , t )
´ =T xx i⃗⃗ i + T xy i⃗ j +T xz i⃗ k + T yx j i⃗ + T yy j j +T yz j k +T zx k ⃗ i + T zy k j + T zz k k T ⃗
1 vrijedi%
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗ ⃗
⃗ ⃗
0eličine i i ! i j ! ... koje se nekad pišu i kao i i ! i j ! ... predstavljaju devet linearno nezavisni tenzorski ili dijadski proizvoda jedinični vektora i imaju sljede'e osobine% ij
≠
j i
2
i⃗ ( a j + b k )= a i⃗ j + b i⃗ k ⃗
⃗
⃗
⃗
"ao što se komponente vektora često pišu u obliku matrice sa jednom vrstom v =( v x , v y , v z ) ili ⃗
[]
v x v = v y v z ⃗
! tako se komponente tenzora često pišu u obliku kvadratne kvadratne
matrice%
[
T xx T xy T xz ´ = T yx T yy T yz T T zx T zy T zz
]
1ndeksna ili tenzorska notacija 3
e ,e ,e v , v ,v *mjesto oznaka i , j , k koriste se oznake 1 2 3 ! a umjesto x y z oznake ⃗
v1 , v2 , v3
itd. pa se može zapisati%
⃗
⃗
3
v =v i ∙ e⃗i ⃗
´ =T ijij ∙ e⃗i e j T
a
v ∙⃗ e =v ∙ e +v ∙ e + v ∑ =
v=
! što znači
⃗
! što znači
⃗
i
i
1
1
2
⃗
⃗
2
3
∙e3 ⃗
i 1
´= T
3
3
T ∙ ⃗ ee ∑ ∑ = = ij
i
1 j
i
j
⃗
1
Ajnštajnova konvencija% 4ako se u jednom monomu neki indeks pojavljuje dva puta! onda to znači sumiranje po tom indeksu od + do 56. enzor enzor kod koga su elementi simetrični u odnosu na glavnu dijagonalu dijagon alu matrice me&usobno jednaki! tj. kod koga je T ji =T ij ( i , j =1,2,3 )
´ =T ´ T
T
ili
7ove se simetričan tenzor! a tenzor kod koga je T ji =−T ij ( i , j =1,2,3 )
´ =−T ´ T
T
ili
/vaki se tenzor može predstaviti kao zbir jednog simetričnog i jednog antisimetričnog tenzora% T ij =
1 1 T ij + T ji ) + ( T ij −T ji ) ( 2 2
AAAAAAAAAAAAA
Primjer% 8apisati tenzor kao zbir jednog simetričnog i jednog antisimetričnog tenzora. T ij =
T ij
S
[
3 6 10
(
0 7 2
4 0 0
]
1 (T ij +T ji ) ( 2
[
1 (3 +3 ) 2 1 (6 + 0) 2 1 (10 +4 ) 2
1 6 2 1 (7 + 7 ) 2 1 ( 2 + 0) 2
1 ( 4 +10 ) 2 1 ( 0 +2 ) 2 1 0 2
]
=
[ ] 3 3 7
3 7 1
7 1 0
T ij
a
(
[
1 ( T ij −T ji )= ¿ 2
1 (−6 ) 2
0 1 ( 6 −0 ) 2 1 (10− 4 ) 2
0 1 ( 2− 0 ) 2
1 (4 −10 ) 2 1 (0 −2) 2 0
]
=
[
0 3 3
−3 −3 0 −1 1
0
]
/imetričan tenzor je definisan sa 9 komponenti! a antisimetričan sa samo tri komponente! što znači da se svakom antisimetričnom antisimetričnom tenzoru može pridružiti neki neki njemu 4nejednak6 vektor.
Algebarske operacije
:peracija množenja /kalar /kalarni ni proi proizvo zvod d dva dva vekto vektora! ra! čiji čiji je rezult rezultat at skal skalar ar
•
3
a ∙ b= ai ∙ bi =a x b x + a y b y + a z b z ⃗
3
0ekto 0ektorsk rskii proizv proizvod od dva dva vekto vektora! ra! čiji čiji je rezult rezultat at vekt vektor or
i⃗ j k a × b = ε ijk ∙ a j bk ⃗ e i= a x a y a z b x b y b z ⃗
⃗
⃗
⃗
ε ijk =
3
{
permutacija indeksa123 (123,231,312) 1 −ako je ijk parna permutacija neparna a permut permutaci acija ja indeksa indeksa 123 (132,321,213 ) −1 −ako je ijk neparn dva indeksa ksa jednaka jednaka 0− akosu makoja dvainde
enzorsk nzorskii proizvo proizvod d dva vektor vektora! a! čiji čiji je rezult rezultat at tenzor tenzor #dija #dijada$ da$
a ⊗ b =ai b j e⃗i ⊗ e j=a x b x i ⊗ i + a x b y i ⊗ j + a x b z i ⊗ k + a y b x j ⊗ i + a y b y j ⊗ j + a y b z j ⊗ k + a z b x k ⊗ i +a z b y k ⊗ j +a ⃗
⃗
3
/kalar /kalarni ni proi proizvo zvod d vektor vektora a i tenz tenzora ora!! čiji čiji je je rezult rezultat at vekt vektor or
v ∙ ´ T = v i T ij e j =( v x T xx xx + v y T yx yx + v z T zx zx )⃗ i + ( v x T xy xy + v y T yy yy + v z T zy zy ) j +( v x T xz xz + v y T yz yz + v z T zz zz ) k ⃗
⃗
⃗
3
⃗
/kalarni /kalarni proizvo proizvod d dva tenzora tenzora #dvostru #dvostruki ki skalarn skalarnii proizvod$ proizvod$!! čiji čiji je rezultat rezultat skalar skalar
S´ : ´T = S ij T ji ji =S xx T xx xx + S xy T xy xy + S xz T xz xz + S yx T yx yx + S yy T yy yy + S yz T yz yz + S zx T zx zx + S zy T zy zy + S zz T zz zz
/vakom skalarnom polju može se pridružiti vektorsko polje njegovog gradijenta grad grad S =
∂ S ∂ S ⃗ ∂ S ∂S ∙ e j = i+ j + k ∂ x j ∂x ∂ y ∂z ⃗
⃗
⃗
Pravac gradijenta skalarnog polja u svakoj tački i u svakom trenutku vremena poklapa se sa pravcem normale na tzv. nivoosku površ. S ( r ,t )=const .
S ( x , y , z , t )= const.
ili
⃗
1zvod skalarnog polja / u pravcu l definisanom vektorom a . ⃗
∂S a = gradS ∙ a 0= grad S ∂ |a| ⃗
⃗
⃗
/vakom vektorskom polju može se pridružiti skalarno polje njegove divergencije%
¿v= ⃗
∂ v j ⃗
∂ x j
=
∂ v x ∂ v y ∂ v z
+
∂x
∂y
+
∂z
vektorsko polje njegovog rotora
|
i⃗ ∂ v k ∂ rot v = ε ijk e⃗i= ∂ x j ∂x v x ⃗
j ∂ ∂y v y
k ∂ ∂z v z ⃗
⃗
|
kao i tenzorsko polje njegovog gradijenta grad v = ⃗
+ ∂ v x
∂ v j ∂ xi
k ⊗ i⃗ + ⃗
∂z
⃗ei e j= ⃗
∂ v x ∂x
i⃗ ⊗ i⃗ +
∂ v y ∂x
i⃗ ⊗ j + ⃗
⃗
⃗
⃗
∂x
i⃗ ⊗ k + ⃗
∂ v x ∂y
j ⊗ i⃗ + ⃗
∂ v y ∂y
j ⊗ j + ⃗
⃗
∂ v z ∂y
j ⊗ k +¿ ⃗
⃗
| | ∂ v x ∂x ∂ v x
∂ v y ∂ v z k ⊗ j + k ⊗ k = ∂z ∂z ∂y ∂ v x ∂z ⃗
∂ v z
∂ v y ∂x ∂ v y
∂ v z ∂x ∂ v z
∂y ∂ v y ∂z
∂y ∂ v z ∂z
/vakom vektorskom polju se može pridružiti vektorsko polje njegove divergencije
´= ¿ ´T =∇ T
∂ T ji ∂ x j
(
⃗ei =
∂x
+
∂y
/pecijalno! divergencija dijade
¿ (a ⊗ b)= ⃗
⃗
) (
∂ T xx ∂ T yx ∂ T zx
∂ (a b ) ⃗e ∂ x j j i i
+
∂z
⃗ i +
) (
∂ T xy ∂ T yy ∂ T zy ∂x
+
∂y
+
∂z
j + ⃗
)
∂ T xz ∂T yz ∂ T zz ∂x
+
∂y
+
∂z
k ⃗
8avedene definicije gradijenta! divergencije i rotora mogu se napisati na jedinstven način ako se uvede ;amiltonov operator #nabla$% ∇=
∂ ∂ ⃗ ∂ ∂ e j= i+ j + k ∂ x j ∂x ∂y ∂z ⃗
⃗
⃗
koji posjeduje osobine% gradS =∇ S
grad v =∇ ⊗ v
2
⃗
¿ v =∇ ∙ v
2
⃗
⃗
⃗
Nivooske površine i linije polja
7a skalarno polje < nivooske površine! a za vektorsko polje < linije polja. v ×d r = 0
dx dy dz = = v x v y v z
ili
⃗
⃗
Integralne teoreme
Fluks ili protok vektorskog polja kroz površinu A%
∫ v ∙ d " =∫ v ∙ n d"
!=
⃗
⃗
"
⃗
⃗
"
=irkulacija vektorskog polja po zatvorenoj liniji =% ❑
∮ v∙d r
# =
⃗
(d r =dx⃗ i + dy j + dz k )
⃗
⃗
⃗
⃗
$
•
)ausova teorema #teorema :strogradskog$ za protok vektorskog polja kroz zatvorenu površinu
∮ v ∙ d " =∫ ¿ v ∙ d % ⃗
"
⃗
⃗
%
•
3 gdje je 0 zapremina ograničena površinom A
/tokesova teorema za cirkulaciju vektorskog polja
❑
❑
∮ v ∙ d r =∫ rot v ∙ d " ⃗
⃗
$
⃗
⃗
3 gdje je A proizvoljna površina ograničena krivom =.
"
Tipovi polja
´ Ako funkcija /! v ili T ne zavisi od vremena t! onda se polje naziva stacionarnim. 1nače je ⃗
nestacionarno.
´
Ako /! v ili T zavise samo od dvije prostorne koordinate! polje se naziva dvodimenzionalno. ⃗
0ektorsko polje čije su koordinate v x , v y , v z konstantne naziva se uniformnim. 0ektorsko polje v naziva se potencijalnim ako se može izraziti kao gradijent nekog skalarnog ⃗
polja! tj. ako je
v =grad S ⃗
Potencijalno polje se naziva i nevrtložnim! jer je 0ektorsko polje kod koga je u svakoj tački
rot v = rot ( gradS )= ∇ × ( ∇ S )=0 ⃗
¿ v =0
naziva se bezizvornim #solenoidnim$.
⃗
0ektorsko polje koje je istovremeno i potencijalno i bezizvorno naziva se >aplaceovim ili armonijskim. 7a njega vrijedi 2
1li
2
v =grad S ⃗
2
¿ v =¿ ( grad S )= ∇ ∙ ( ∇ S )= ∇2 S = & S =0 ⃗
2
∂ s ∂ s ∂ s + 2 + 2=0 2 ∂x ∂ y ∂ x
3 >aplasova ili armonijska funkcija.
Fiikalne osobine fluida
3 3 3 3 3 3 3 3
)ustina 0iskozitet "ompresibilnost ermički koeficijent ekspanzije Pritisak isparavanja Površinski napon "oeficijent provo&enja toplote /pecifična toplota
•
)ustina
kg
)ustina fluida se definiše kao masa fluida po jedinici zapremine. )ustina se mjeri u /pecifična zapremina #recipročna vrijednost gustine$ % •
% s=
3
m
.
1
ρ
0iskozitet
:sobina koja ima za posljedicu opiranje tangencijalnom naponu. Pri normalnim pritiscima viskozitet fluida zavisi isključivo od temperature i to kod gasova raste! a kod tečnosti opada sa porastom temperature. 8jutnov zakon viskoziteta
' = (
du dy ?Pas@ ( )= ρ
:dnos dinamičkog viskoziteta i gustine fluida naziva se kinematski viskozitet
•
2
m ? s
@
/tišljivost d% % S= dp
−
/posobnost fluida da promjeni zapreminu! mjera stišljivosti je koeficijent stišljivosti *=
! ili njegova recipročna vrijednost! tzv. modul zapreminske elastičnosti
−dp d% %
.
7nak minus je posljedica činjenice da se zapreminta fluida smanjuje pri porastu pritiska. *koliko se zapremina fluida izrazi kao odnos mase i gustine
% =
m ρ !
ρ% =m !
ρd% + %dρ=0 !
/lijedi
d% −dρ = ! odnosno dobija se % ρ
dρ ρ ! S= dp
*=
dp dρ . ρ
/tišljivost tečnosti je veoma mala. Može se pokazati da efekat stišljivosti ima značajan uticaj ako je brzina fluida približna ili ve'a od brzine prostiranja zvuka u fluidu #
c=
√ √
dp * = dρ ρ $! tj. ako je njiov odnos! tzv. Macov broj
v + a= < ( 0,2 0,3 ) . c Termi!ki koeficijent ekspanije
7apreminski termički koeficijent ekspanzije definiše se kao relativna promjena zapremine po jedinici promjene temperature. d% % ili - = dT
7a idealan gas
(
dρ ρ - = dT
−
- =
.
1
T .
)
p = T , dp=Tdρ + pdT ρ p p dp= dρ + dT =0 ρ T dρ dρ −dT ρ 1 = = ⟹− ρ T dT T
"ritisak isparavanja
3 3
1sparavanje vode pri (B ℃ ako je p/ 2450 0a . "avitacija < tok mjeuri'a opasan po elemente pumpe.
"ovršinski napon
:va pojava je posljedica molekularnog privlačenja izme&u jednaki molekula #koezija$. * unutrašnjosti fluida koezione sile se poništavaju! dok su na slobodnoj površini tečnosti koezione sile ispod površine jače od atezioni sila izme&u molekula tečnosti i gasa što rezultira tzi. površinskim naponom. Definicija% sila po jedinici dužine tangencijalna je na površinu tečnosti. Cedinica mjere površinskog napona je
1 m . *sljed djelovanja površinskog napona raste pritisak u kapljici ili
tankom mlazu tečnosti.
2
p 2 =2 2T ⟹ p =
2 T
T
2 3 p= 2< ⟹ p =
"apilarnost < posljedica površinskog napona i odnosa koezije i atezije izme&u tečnosti i zidova cijevi. ečnost koja kvasi čvrstu površinu ima ve'u ateziju od koezije. * tom slučaju površinski napon uzrokuje penjanje tečnosti u cijevi. * slučaju tečnosti koja ne kvasi površinu cijevi površinski napon nastoji spustiti meniskus u cijevi. :dstupanje nivoa tečnosti u cijevi unutrašnje prečnika d od nivoa u posudi dato je relacijom 5 −ugao kva6enja .
4=
4 Tcos5
ρgd
! gdje je
Koeficijent provo#enja toplote
"oeficijent provo&enja toplote je mjera sposobnosti fluida da prenese toplotnu energiju posredstvom sudara molekula. Furijerov zakon provo&enja toplote kaže da je toplotni fluks proporcionalan gradijentu temperature! tj. 7 =− 8
∂ T ∂n
9 8 gdje je 3 koeficijent provo&enja toplote ? m: @.
$pecifi!na toplota
Definiše se kao količina toplote potrebna da se jednom kilogramu fluida pove'a temperatura za jedan "elvin. *običajeno je da se definiše specifična toplota pri stalnoj zapremini c v i c p
specifična toplota pri stalnom pritisku
. :dnos ti veličina
; =
c p
c v se često koristi
prilikom proučavanja strujanja stišljivog fluida! dok je njiova razlika u slučaju idealnog gasa! jednaka gasnoj konstanti (
c p− c v
.
< kg: .
Cedinica mjere specifične toplote je
%edinice& dimenije i dimenionalna analia
3 3
8eopodno je znati jedinice u kojima se mjeri neka veličina 1sta dimenzija u izrazima < dimenzionalno omogen matematski izraz
/1 sistem jedinica :snovne veličine Masa Dužina 0rijeme emperatura
*običajena oznaka m
Cedinica mjere kg m s "
l
t
dimenzija M > =
:sobine fluida )ustina
ρ
kg
+ 3
−3
3
m
Dinamički viskozitet
(
"inematski viskozitet
)
Pas 2
m s
−1
−1
+ 3 T 2
−1
3 T
Modul elastičnosti
*
Površinski napon
>
1 m
+ T
"oeficijent provo&enja toplote
8
9 m:
+ ¿ =
/pecifična toplota
c
< kg:
3 T =
'akingamova
Pa
−1
2
+3 T −2
−3 −1
2
−2 −1
? teorema
Ako je za opisivanje neke fizičke pojave potrebno n promjenjivi koje uključuju m dimenzionalni kategorija #npr. M!>! ⟹ m=3 $! onda se funkcionalna zavisnost izme&u ovi promjenjivi može svesti na funkcionalnu zavisnost n3r bezdimenzionalni grupa! tzv. ? parametara! gdje je r /m rang m,n dimenzionalne matrice koju formiraju eksponenti n promjenjivi.
$ile koje djeluju na fluid Masene i površinske sile
Posmatrajmo malu oblast kontinuuma i zovimo to fluidni element.
Meanika fluida se uglavnom bavi proučavanjem sila koje djeluju na fluidni element i rezultuju'eg kretanja. e sile se obično dijele na dvije kategorije% masene #zapreminske$ i površinske. Masene sile djeluju na ukupnu masu fluidnog elementa i izražavaju se kao sile po jedinici mase
fluidnog elementa. o su! npr! sila gravitacije! inercijalna sila! sila magnetnog ili elektromagnetnog pola i sl.
"ovršinske sile su posljedica djelovanja neposredne okoline na fluidni element kroz njiov
direktni kontakt i izražavaju se kao sile po jedinici površine fluidnog elementa. o su! npr! sile kojim potopljeno tijelo djeluje na fluid! ili sile unutrašnjeg trenja u fluidu i sl. Meanika kontinuuma se bavi ne samim silama! nego gustinom njiove raspodjele po prostoru #po zapremini! odnosno površini$. @ m
Masena sila vektora
& A m
u tački M fluidnog elementa predstavlja graničnu vrijednost odnosa glavnog
sila koje djeluju na sve tačke fluidnog elementa zapremine & % i mase
& m = ρ &% ! kad zapremina tog elementa teži nuli tako da tačka M ostaje unutar zapremine% @ m= lim ⃗
& mB 0
& A m &m
= lim &% B 0
& A m ρ &%
:davde slijedi da je ukupna masena sila koja djeluje na neku konačnu masu fluida ❑
∫
❑
∫
A m = @ m dm= ρ @ m d% ⃗
⃗
m
⃗
%
Analogno! površinska sila u nekoj tački M definiše se kao @ p= lim ⃗
& "B0
& A p &"
! gdje je
& A p
glavni vektor sila koje djeluju na površinu & " ! tako
da je ukupna sila koja djeluje na neku konačnu površinu
∫
A p = @ p d" ⃗
⃗
"
/ obzirom na definiciju površinski sila! Eitna razlika izme&u masene sile
@ m
@ p
se nazivaju još i naponi.
i površinske
@ p
< dok je vektor
@ m
jednoznačna
funkcija vektora položaja i vremena! pa prema tome obrazuje vektorsko polje! dotle vektor
@ p
u svakoj tački prostora ima beskonačno mnogo vrijednosti! zavisno od orjentacije površine u kojoj djeluje! pa prema tome ne obrazuje vektorsko polje. Tenor napona
@ pn 3 se može izraziti kao skalarni proizvod vektora
n i jednog ⃗
´ tenzora 1 koji je funkcija samo vektora položaja tačke i vremena te obrazuje tenzorsko polje.
/ tim ciljem posmatrajmo jedan tetraedar
n =( cos5 , cos- , cosC )=( , m , n) ⃗
8eka je @ m rezultanta zapreminski sila koje djeluju na posmatrani fluidni element! a @ px
@ py
!
!
@ pz
Primjenom drugog 8jutnovog zakona% ⃗
∑ A =∑ A +∑ A ⃗
⃗
⃗
m
p
! slijedi
ρ & % ∙ a = ρ & % @ m+ @ pn ∙ & " − @ px ∙ & " x −@ py ∙ & " y − @ pz ∙ & " z ⃗
(& % D 0 )
Pošto je
pa slijedi da je
=cos5 =
slijedi da je
!
neka su površinske sile #naponi$ koji djeluju na strane tetraedra! pri čemu!
drugi indeks ukazuje na orjentaciju ravni u kojoj ta sila djeluje.
m a=
@ pn
& " x &"
@ pn ∙ & " = @ px ∙ & " x + @ py ∙ & " y + @ pz ∙ & " z
, m = cos- =
@ pn= @ px + m @ py + n @ pz
& " y &"
, n =cosC =
& " z &"
@ pn= 1 nx i + 1 ny j + 1 nz k @ px= 1 xx i + 1 xy j + 1 xz k @ py= 1 yx i + 1 yy j + 1 yz k @ pz = 1 zx i + 1 zy j + 1 zz k
:dakle se dobija 1 nx = 1 xx + m 1 yx + n 1 zx 1 ny = 1 xy + m 1 yy + n 1 zy 1 nz= 1 x z + m 1 yz + n 1 zz 1 xy
3 , < pravac normale na površinu u kojoj djeluje sila! a - < pravac sile na koju je
projektovana ta sila. 1 xx , 1 yy , 1 zz− normaninaponi
2
1 xy , 1 xz , 1 yx−tangencijaninaponi
8aponi mogu biti i pozitivni i negativni. Prema konvenciji naponi su pozitivni ako su i vanjska normala i projekcija sile orjentisane obje u pozitivnom ili obje u negativnom smjeru koordinatni sila. 1nače je negativan. Pozitivni normalni naponi uzrokuju istezanje! a negativni uzrokuju sabijanje.
|
|
1 xx
1 xy
1 xz
1 zx
1 zy
1 zz
´ = 1 yx 1 yy 1 yz 1
@ pn =n ∙ 1 ⃗
⃗
3 tenzor napona
´ ! beskonačno mnogo n ! ali samo jedan tenzor napona 1 koji karakteriše ⃗
stanje napona u toj tački. enzor napona obrazuje #tenzorsko$ polje. "omponente vektora maseni sila i komponente tenzora napona zavisi od izbora koordinatnog
´ @ sistema! ali tenzor 1 kao i m predstavljaju fizičke veličine koje ne zavise od izbora koordinatnog sistema. * meanici neprekidne sredine komponente tenzora napona se obilježavaju sa > za normalne napone i ' za tangencijalne napone.
´ enzor napona 1 je simetričan! tj. vrijedi
1 ij = 1 ji (i , j =1,2,3 ) .
Tangencijalni naponi( Njutnov akon viskoiteta
"ad se dva susjedna fluidna elementa kre'u različitim brzinama! na svaki element 'e! pored ostali sila! djelovati i tangencijalna površinska sila usljed trenja me&u elementima. elacija izme&u tangencijalnog napona i polja brzine fluida < 8jutnov zakon viskoziteta% ' = (
du = 1 yx dy
Normalni naponi( "ritisak(
angencijalni naponi jednaki su nuli ako vrijedi% 3 3
Fluid neviskozan # (=0 ¿ Fluid miruje ili se kre'e uniformnom brzinom! tj. tako da svi fluidni elementi imaju istu du brinu # dy =0 ¿
* tom slučaju preostaju samo normalni naponi% @ pn = 1 nn ∙ n , @ px = 1 xx ∙ i , @ py = 1 yy ∙ j , @ pz = 1 zz ∙ k ⃗
Pa slijedi% 1 nn ( ⃗i+ m j + n k )= 1 xx i⃗ + m1 yy ∙ j + n1 zz ∙ k ⃗
⃗
1 xx = 1 yy= 1 zz= 1 nn
⃗
⃗
1 ij =0 ,i≠ j −¿
normalni napon u tački je izotropan tj. neovisan o orjentaciji ravni u kojoj
djeluje. 1 nn =− p
1z termodinamike slijedi da p djeluje podjednako u svim pravcima #
1 nn
pozitivan ako djeluje na istezanje$
Ako je 1 ij ≠ 0 , ( i ≠ j ) normalni napon nije izotropan. @ pn= 1 nn n + 1 nt ⃗ t ⃗
1 nn ( ⃗i+ m j + n k ) + 1 nt ⃗ t =( 1 xx + m 1 yx + n 1 zx )⃗ i + ( 1 xy+ m 1 yy + n 1 zy ) j + ( 1 xz + m 1 yz + n 1 zz ) k / ∙ n ⃗
⃗
⃗
2
2
⃗
2
1 nn= 1 xx + 1 yx m + 1 zx n + 1 xy m + 1 yy m + 1 zy mn + 1 xz ln + 1 yz nm + 1 zz n
8ormalni napon 1 nn ne zavisi samo od normalni napona u ravnima paralelnim koordinatnim ravnima! ve' i od tangencijalni napona. Može se pokazati da je za svaki tenzor pa i za tenzor napona suma dijagonalni elemenata konstantna #tzv. prva invarijanta tenzora$ za bilo koje tri uzajamno normalna pravca kroz datu tačku. Cedna tre'ina te invarijante tenzora napona naziva se prosječni normalni napon. 1 3
´ = ( 1 xx + 1 yy + 1 zz ) 1 "ad nema tangencijalni napona! slijedi da je
´ =− p , ( p=− 1 ´) 1
enzor napona često se razlaže na zbir tzv. sfernog i devijatorskog dijela%
[ ][ p
´ = 1 ´ + 1 ´ =− 0 1 S
d
0
$TATIKA F)*IDA
0
p
0
1 xx + p + 1 yx p 1 zx 0 0
1 xy 1 yy + p 1 zy
1 xz 1 yz 1 zz + p
]
⃗
Definicija predmeta statike fluida bi bila% fluid u stanju mirovanja u odnosu na neki inercijalni koordinatni sistem. Proučavati 'emo situacije u kojim svi elementi fluida miruju relativno jedan u odnosu na drugi. o se doga&a% a$ "ad fluid miruje u odnosu na neki inercijalni koordinatni sistem b$ "ad se fluid kre'e kao kruto tijelo Pošto u navedenim slučajevima nema relativnog kretanja fluidni elemenata! tangencijalni naponi u fluidu jednaki su nuli! a normalni napon u svakoj tački je izotropan i jednak negativnoj vrijednosti pritiska u toj tački. /tatika fluida bave se uglavnom sa dva osnovna problema% a$ Analiza rasporeda pritiska u fluidu i b$ Proračun sila pritiska na čvrste površine uronjene u fluid. +snovna jedna!ina statike fluida
Posmatrajmo fluidni element proizvoljnog oblika na koga djeluju masene sile @ m i sile pritiska p.
1z uslova ravnoteže ti sila
∫ ρ @
⃗
m
∮
d% − pd " =0
%
⃗
"
ρ (¿ @ m− gradp ) d% = 0 ⃗
Primjenjuju'i )aussovu teoremu dobija se
❑
∫ ρ @
⃗
m
%
:dakle je
ρ @ m − gradp= 0
Množe'i ovu vektorsku jednačinu sa dp = @ mx dx + @ my dy + @ m z dz p
❑
❑
∫
∫
%
%
d% − ∇ pd% = ¿
3 ovo je osnovna jednačina statike fluida.
d r =dx i + dy j + dz k dobije se skalarna jednačina ⃗
@ m
7a poznato vektorsko polje
integriraju'i izraze #!$ može se dobiti skalarno polje pritiska
u fluidu p(p#,!-!z!t$. Pošto je gradp normalan na nivooske površine p(const. iz tog slijedi da su izobarne površine u svakoj tački i u svakom trenutku vremena normalne na rezultuju'i vektor maseni sila
@ m
.
Fluid u polju ,emljine te-e
Ako od maseni sila djeluje samo sila teže! tada je @ m =−g k =( 0,0,− g ) pa slijedi 1
ρ
dp =−gdz
! odnosno dp + ρgdz= 0 .
8ekoliko slučajeva barotropnog fluida% a$ 8estišljiv fluid < jednačina idrostatike 8estišljivi fluid je fluid kod koga je ρ= const. pa slijedi p + ρgz = p0 + ρg z0 =$
p
z
p0
z0
∫ dp + ρg∫ dz=0
! tj.
3 gdje je = konstanta koja zavisi od granični uslova i od izbora
koordinatnog sistema. :va jednačina se naziva jednačina idrostatike. :sa z je usmjerena vertikalno naviše. b$ /tišljiv fluid "ao primjer stišljivog fluida posmatrajmo idealan gas konstantne temperature. 1z jednačine stanja idealnog gasa
p v s= T ii
p p0 = =const . slijedi ρ ρ0 p
odakle je
∫ p0
ρ = p
p = T za (const. slijedi ρ ρ0 p 0
ρ0 z dp dz slijedi − g p p 0 z
∫ 0
i dobija se
dp + p
ρ p ln =−g 0 ( z − z 0 ) p 0 p 0
ρ 0 p 0
gdz =0
! odnosno
ρ 0 =e p0
−g ρ 0 p 0
( z− z 0)
ρ 0
/ ciljem analize ovog izraza razvijmo funkciju 2
2
n
x x x e =1 + + + F + + n ( x ) nE 1E 2 E x
p0 u stepeni red koriste'i formulu
dobija se
ρ0 p 1 p =1 − g 0 ( z − z0 ) + ( g 0 ) ( z − z 0 )2−F p0 ρ 0 2 ρ0
2
8a nekoj visini
m kg 5 g D 10 , p 0 D 10 0a , ρ0 D 1 3 dobijamo s m
g
ρ0 10 ∙ 1 D =10−4 m 3 mala 5 p0 10
veličina! pa se mogu uzeti samo prva dva člana. ρ p =1 − g 0 ( z − z 0) p0 p0
p + ρgz = p0 + ρ0 gz =const.
tako da slijedi
3 jednačina idrostatike
vrijedi i za idealan gas u slučaju (const.
Neki primjeri primjene jedna!ine hidrostatike
a$ Površine konstantnog pritiska 1z jednačine idrostatike neposredno slijedi da su površine konstantnog pritiska orizontalne ravni z(const.! pa je slobodna površina miruju'e tečnosti orizontalna! jer na nju djeluje konstantan atmosferski pritisak p= pat =const .
)ranična površina izme&u dvije tečnosti! koje se ne miješaju! je orizontalna.
p " + ρ1 g z " = pG + ρ1 g z G p " + ρ2 g z " = p G+ ρ2 g z G
iz ovog slijedi
g z " ( ρ1− ρ2 )= g z G ( ρ1− ρ2)
Pošto je ρ1 ≠ ρ2 i g ≠ 0
slijedi da je z "= z G
b$ Apsolutni i relativni pritisak
Posmatrajmo izobarnu površinu na dubini ispod slobodne površine i napišimo jednačinu idrostatike p + ρgz = pat + ρg z 0
odnosno
p− pat = ρg ( z 0− z )
azlika pritiska p i atmosferskog pritiska
pat
naziva
se relativni pritisak. 7a razliku od relativnog! pritisak p se često naziva i apsolutni pritisak. paps = pat + pre
Pritisak ve'i od atmosferskog naziva se nadpritisak! a pritisak niži od atmosferskog podpritisak ili vakuum. c$ Mjerenje pritiska. Manometri
1z jednačine idrostatike napisane u obliku
p2− p1= ρg ( z 2− z 1 )= ρg4
slijedi da je razlika
pritiska u dvije tačke nestišljivog fluida proporcionalna r azlici #geodetski$ visina ti tačaka. d$ Dijagram pritiska aspored pritiska u nekom sistemu često se ilustruje pomo'u tzv. dijagrama pritiska. 8a slici .G prikazan je dijagram relativnog i apsolutnog pritiska u miruju'em fluidu! kod koga iznad slobodne površine vlada atmosferski pritisak # p= pat $. #posmatrajmo slučaj kad iznad
tečnosti vlada pritisak
p≠ pat
. 7amislimo da smo u tečnosti uronili pijezometarsku cijev.
ečnost 'e se u njoj popeti #spustiti$ do tzv. redukovane visine
p0= ρg 4¿ B 4¿ =
p 0 ρg
Dijagram pritiska u posudi za slučaj p > pat prikazan je na slici .+B! a za slučaj
p < pat
na slici .++.
*niforman tok nestišljivog fluida
angencijalni naponi jednaki su nuli. Ako od maseni sila djeluje samo sila gravitacije! tada tako&er vrijedi jednačina idrostatike p + ρgz =$
.elativno mirovanje fluida
Ako se fluid kre'e ubrzano! ali tako da nema relativnog kretanja fluidni elemenata #tj. kre'e se kao kruto tijelo$ tada se u skladu sa DHAlamberovim principom masenim silama trebaju pridružiti i odgovaraju'e inercijalne sile. 3
Pravolinijsko ubrzano kretanje posude sa tečnoš'u u orizontalnoj ravni
8a proizvoljan fluidni element djelova'e masena sila koja se sastoji od inercijalne sile −a i sile gravitacije ⃗g % ⃗
@ m =−a + ⃗ g =(0, −a ,− g ) ⃗
Dobijamo
dp dp = @ mx dx + @ my dy + @ mz dzB =0 −ady − gdz odakle integrisanjem dobijamo ρ ρ p=− ρay − ρgz + $
Ako se koordinatni sistem postavi tako da mu je početak negdje na slobodnoj površini! tada iz granični uslova
p= pat =0 za y = z = 0 B $ =0
aspored relativnog pritiska u tečnosti Cednačina slobodne površine
.
p=− ρay − ρgz
p= pat =0
je tada
z =
p= p ( y , z )
−a g
y
! što znači da je slobodna
površina ravan normalna na rezultantu maseni sila! a površine konstantnog pritiska su paralelne slobodnoj površini
z =
−a y p1 − g ρg . aspored pritiska ne zavisi od , i da u svakoj
ravni -(const. vrijedi zakon idrostatike posude.
p + ρgz =$ . aspored pritiska ne ovisi od oblika
.avnomjerno obrtanje posude sa te!noš/u oko vertikalne ose
Ako se neka posuda sa tečnoš'u obr'e konstantnom brzinom H oko ose z! tada na svaki fluidni element djeluje masena sila @ m =a c + g ⃗ =( H2 x , H2 y ,− g ) pa ⃗
⃗
dobijamo 2
p=
ρ H 2
( x + y )− ρgz +$ 2
2
7a koordinatni sistem prema slici #koordinatni početak na slobodnoj površini$ vrijedi % p= pat =0 zasvaki x = y = z =0 B$ = 0
pa je raspored #relativnog$ pritiska u tečnosti 2
p=
ρ H 2
( x + y )− ρgz 2
2
2
1z ove jednačine slijedi da je slobodna površina ( p= p at =0 )
H z = ( x 2+ y 2) 3 rotacioni 2g
paraboloid. Površine konstantnog pritiska su tako&er rotacioni parabol oidi% 2 H 2 2 p 1 ( x + y ) − z = 2g ρg
8a svakoj cilindričnoj površini
( x + y ) =const . 2
2
! vrijedi jednačina idrostatike p + ρgz =$
$ila pritiska na potopljene površine
Primjeri < zidovi rezervoara za naftu! brane! brodovi! podmornice i slično. * tim slučajevima treba odrediti silu uslijed pritiska fluida na odre&enu površinu! što podrazumijeva odre&ivanje intenziteta sile! njenog pravca i smjera! kao i linije djelovanja #odnosno napadne tačke$.
8eka je d " element posmatrane površine. Pošto su u miruju'em fluidu tangencijalni naponi jednaki nuli! sila d A na površinu d " je posljedica djelovanja pritiska% d A =− pd " =− pd" n ⃗
∫
odakle je
A =− p ( x , y , z , t ) d " ⃗
⃗
"
>inija djelovanja sile A dobije se iz momenta jednačine za neku pogodnu tačku! na primjer za koordinatni početak B. ❑
∫
❑
∫
p × A = r ×d A =− p r ×d " ⃗
⃗
"
⃗
⃗
⃗
⃗
"
$ila pritiska na ravne površine
Posmatrajmo ravnu površinu A nagnutu pod uglom 5 prema orizontalnoj ravni! na koju s jedne strane djeluje idrostatski! a s druge atmosferski pritisak. Ako na fluid od maseni sila djeluje samo sila gravitacije! za usvojeni koordinatni sistem na osnovu # p + ρgz = p0 + ρg z0 =0 ¿ slijedi p=− ρgz = ρg4
pa je sila pritiska na elementarnu površinu d " ! na površinu A! ❑
❑
∫
d A = pd " =− ρg4d" n ⃗
! a ukupna sila
❑
∫
∫
A = d A =− ρg4d" n =− ρgsin5 I d" n ⃗
⃗
"
⃗
"
⃗
"
#gdje je dubina elementa dA! a I rastojanje tog elementa od ose ,! koja predstavlja presjek ravni u kojoj leži površina A! i slobodne površine$.
Pošto je I 3 koordinata težišta površine A IT =
1
"
❑
∫ Id" "
pa slijedi
A =− ρgsin5 IT " n =−( ρg 4T " ) n =− pT " n ⃗
⃗
pT
⃗
⃗
#gdje je
4T
dubina težišta površine A! a
pritisak u težištu.
"oordinate tačke P# x p , I p ¿ u kojoj djeluje rezultuju'a sila A dobiju se iz momentne jednačine% x
(¿ i⃗ + I j⃗J ) × (− ρgsin5Id" ) n ⃗
❑
( x p ⃗i+ I p j⃗J ) × (− ρgI T sin5" ) n=∫ ¿ ⃗
"
:dakle je x p=
1
∫ xId" = I " T
I p=
)dje je
K xx
❑
1
IT "
"
❑
∫ "
K x J y J + x T IT " IT "
= x T +
K x J IJ IT "
2
K xJ x J + IT " K I d" = =I p + x J x J IT " IT " 2
moment inercije površine A u odnosu na osu ,! a
inercije površine A za ose , i
K xI
centrifugalni moment
I ! dok su K x J xJ i K x JI J moment inercije i centrifugalni
moment u odnosu na ose ,H i I J koje prolaze kroz težište površine A paralelno osama , i I .
e I=I 0−I T =
e x = x 0− x T =
K x J xJ IT ∙ " K x J I J IT ∙ "
=¿ e z =
=
K x J I J 4T ∙ "
K xJ x J 4T ∙ "
2
sin 5
sin5
p0 ≠ pat 4 1ntenzitet sile pritiska A na ravnu površinu A ne zavisi od 5 . Ako je ! T se
mjeri od redukovanog nivoa. $ila pritiska na krive površine
Posmatrajmo proizvoljnu površinu potopljenu u fluid konstantne gustine.
d
ρg4 (¿ " x⃗ i +d " y j + d " z k ) ⃗
⃗
❑
∫
A x⃗ i + A y j + A z k =− ¿ ⃗
⃗
"
:dakle je ❑
∫
A x = ρg4 d " x = ρg 4Tx " x " x
❑
∫
A y = ρg4 d " y = ρg 4Ty " y " y
❑
∫
A z= ρg4d " z = ρg% " z
3
gdje su " x i " y projekcije površine A u pravcu , i - ose! 4Tx i4Ty
dubine težišta površine " x i " y ! a 0 zapremina izme&u površine A i ravni :,-
#slobodne površine$. Pošto su " x i " y vertikalne površine ( 5 =90 L ) ! linije djelovanja orizontalni komponenti
A x i A y
su %
e z , x =
K y y J
J
4Tx " x
M e y ,x =
K y z
J J
4Tx " x
M e z , y =
K x x J
J
4Ty " y
M e x , y =
K x z
J J
4Ty " y
Dok linija djelovanja vertikalne komponente A z prolazi kroz težište zapremine 0 % ❑
❑
∫
A z d 0 = d A z d M ρg% d 0= ρg %
∫ dd% = ρg d
T
% tj. d 0= d T
%
*gon
Posmatrajmo tijelo ograničeno zatvorenom površinom! djelimično ili potpuno potopljeno u nestišljiv fluid u stanju mirovanja. /ila koja u tom slučaju djeluje naziva se sila uzgona i djeluje uvijek vertikalno naviše.
/a slike vidimo da je orizontalna komponenta sile pritiska jednaka nuli. elacija
❑
∫
A u = ( ρ1 g 41+ ρ2 g 42 ) d " z= ρ1 g % 1+ ρ2 g % 2 " z
predstavlja generalisan Arimedov zakon i u jednostavnijim slučajevima svodi se na poznate formule% a$ ijelo potpuno potopljeno u jedan fluid. 7a ρ 2= ρ1 = ρ slijedi A u = ρg ( % 1+ % 2) = ρg% y u= y 1
b$ ijelo pliva na površini tečnosti. 7a ρ2 ≪ ρ1= ρ slijedi
(
A u = ρg % 1 +
ρ 2 ρ 1
)
% 2 = ρg% 1 y u= y 1 % 1−istisnuta zapreminateNnosti
$tabilnost tijela pri plivanju
Pokazano je da je u slučaju tijela potopljenog #potpuno ili djelimično$ u nestišljiv miruju'i fluid intenzitet sile pritiska jednak težini istisnute tečnosti! smjer joj je suprotan smjeru sile gravitacije! a napadna tačka joj je u težištu potopljene tečnosti. Pored sile pritiska! na tijelo djeluje i sila gravitacije! odnosno težina tijela! s napadnom tačkom u težištu tijela. :bje sile imaju isti pravac! a suprotan smjer. Ako je težina tijela ve'a od sile uzgona! ono tone! ako mu je jednaka! tijelo lebdi! a ako je manja! tijelo izranja dok se sila uzgona potopljenog tijela ne izjednači sa težinom i onda pliva% O > A u tijeo tone O = A u tijeo ebdi O < A u tij eoizranjai piva
Da bi potopljeno tijelo bilo u ravnoteži! mora biti poklapati. Pri tome razlikujemo tri tipa ravnoteže% a$ /tabilna b$ >abilna c$ 1ndiferentna
KIN0MATIKA F)*IDA
O= A u
! ali i napadne linije ti sila se moraju
)angrangeov i 0ulerov pristup analii kretanja fluida
* kinematici sistema materijalni tačaka zakon kretanja svake tačke može se op isati jednačinama% r = r n ( t ) ii x = x n ( t ) M y = y n ( t ) M z = z n ( t ) ( n= 1,2, F , 1 ) ⃗
⃗
* slučaju kretanja fluida! broj fluidni elemenata čije kretanje treba opisati je beskonačan. 7ato se fluidni element identifikuje! na primjer! njegovim položajem u #proizvoljno odabranom$ početnom trenutku vremena%
ada je zakon kretanja fluidnog elementa identifikovanim početnim položajem r 0=( P ,I, Q ) ⃗
dat izrazima% r = r ( r 0 , t ) ii x = x ( P , I , Q ,t ) M y = y ( P , I , Q , t ) M z = z ( P , I , Q ,t ) ⃗
⃗
⃗
:vaj pristup analizi kretanja fluida koji se sastoji u pra'enju kretanja fluidnog elementa! tj. odre&ene mase fluida naziva se >angrangeov pristup! a koordinate ( P , I , Q ) >angrangeove ili materijalne koordinate. Poznavanje stanja kretanja u posmatranom dijelu prostora u toku vremena! odnosno dovoljno je poznavati odre&ena skalarna! vektorska ili tenzorska polja
´ = 1 ´ ( r ,t ) ρ = ρ ( r , t ) M v =v ( r , t ) M 1 ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
´ = 1 ´ ( x , y , z , t ) ρ= ρ ( x , y , z ,t ) M v = v ( x , y , z ,t ) M 1
1li
⃗
⃗
r =( x , y , z ) u
koja daju gustinu!brzinu i napon fluidnog elementa koji se našao u tački
⃗
trenutku t. :vaj pristup naziva se Iulerov pristup! a koordinate #,!-!z$ nazivaju se Iulerove ili prostorne koordinate. 0eza izme&u Iulerovi i >angrangeovi koordinata data je sistemom obični diferencijalni jednačina koje izražavaju činjenicu da je brzina u nekoj tački prostora ( v =v ( r ,t ) ) jednaka ⃗
brzini fluidnog elementa koji se u tom trenutku nalazi u toj tački #
v=
⃗
dr dx dy dz = v ( r , t ) ii = u ( x , y , z , t ) M = v ( x , y , z , t ) M = R ( x , y , z , t ) dt dt dt dt ⃗
⃗
⃗
⃗
dr ¿ dt . ⃗
⃗
Materijalni ivod
Eilo koja veličina F koja je funkcija prostorni koordinata tako&er funkcija i materijalni koordinata
A = A 1 ( r ,t ) iiA = A 1 ( x , y , z ,t ) ⃗
A = A 2 ( r 0 , t ) iiA = A 2 ( P , I , Q , t ) ⃗
.
Da bi se podvukla razlika izme&u vremenski izvoda! koriste se sljede'e oznake% ∂ A ∂ A 1 ( r , t ) A ∂ A 2 ( r 0 , t ) i = = ∂t ∂ t t ∂t ⃗
⃗
A 0eličina t je tzv. materijalni izvod veličine F! a
∂ A ∂t je prostorni #lokalni$ izvod veličine
F. Dok materijalni izvod daje promjenu veličine F uočenu prate'i fluidni element! lokalni daje vremensku promjenu veličine F u fiksnoj tački u prostoru uzrokovanu nizom fluidni elemenata koji prolaze kroz tu tačku. 7naju'i vezu izme&u Iulerovi i >angrangeovi koordinata! izraz za materijalni izvod može se napisati u Iulerovim koordinatama A = A 1 ( x , y , z , t ) x , y , z B @ ( P , I , Q ) A ∂ A ∂ A x ∂ A y ∂ A z A ∂ A ∂ A ∂ A ∂ A ∂ A odnosno = + + + = + u + v + R = + v ∙ gradA t ∂ t ∂ x t ∂ y t ∂ z t t ∂t ∂x ∂y ∂z ∂ t ⃗
Prema tome! ukupna promjena u vremenu funkcije F sastoji se od vremenske promjene u posmatranoj tački #lokalna promjena$ i od promjene F od tačke do tačke u posmatranom trenutku vremena #konvektivna promjena$. 7a A =v dobija se izraz za ubrzanje fluidnog elementa u Iulerovim koordinatama ⃗
∂v ∂v v ∂ v a = = + v ∙ grad v iiu tenzorskoj notacijia i= i + v j i t ∂t ∂ t ∂ x j ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
#+$3 lokalno ubrzanje! #$ < konvektivno ubrzanje.
$istem i kontrola apremina( .e1noldsova transportna teorema(
:snovni zakoni fizike vrijede za odre&eni fluidni element. o je specijalan slučaj sistema. Pod sistemom se podrazumijeva odre&ena količina materije! koju je mogu'e identifikovati i razlikovati od ostatka materije! koji se naziva okolina tog sistema. * meanici čvrstog tijela! čvrsto tijelo koje služi kao sistem lako je identifikovati u svakom trenutku. * slučaju kretanja fluida! sistem nije lako identifikovati jer je fluid neprekidno podvrgnut deformaciji za vrijeme kretanja. 7ato je veoma često pogodnije obratiti pažnju na odre&enu oblast u prostoru kroz koju fluid protiče < tzv. kontrolnu zapreminu.
0ažno je primjetiti da je kontrolna zapremina fiksna u odnosu na koordinatni sistem! koji može biti pojam sistema povezan sa pojam kontrolne zapremine proučavanju kretanja fluida.
pokretan. >ako je uočiti da je >angrangeovim pristupom! a sa Iulerovim pristupom elacija koja povezuje ova dva e-noldsova transportna teorema.
pristupa naziva se
8eka je % =% ( t ) zapremina sistema koji se kre'e sa fluidom! a A = A ( r , t ) funkcija ⃗
položaja. ada je
∫ A (r ,t ) d% ⃗
%
dobro definisana funkcija vremena! čiji nas materijalni izvod
interesuje. Ako se u ovom integralu izvrši smjena promjenjivi! dobija se r ( r 0 , t ) A (¿ , t ) ∙ < ∙ d % 0 ⃗
⃗
❑
❑
∫ A (r ,t ) d% =∫ ¿ ⃗
%
% 0
)dje je C jakobijan transformacije
< =
∂ ( x , y , z ) d% = ∂ ( P , I , Q ) d% 0
a % 0=% ( t 0 ) zapremina sistemau trenutku t =t 0
Materijalni izvod posmatranog integrala može se pisati u obliku% r ( r 0 , t ) A (¿ ,t ) ∙ < ∙ d % 0 ⃗
❑
⃗
❑
A ( r , t ) d% = ¿ t % t %
∫
⃗
∫ 0
Pošto
% 0
dobija se
ne zavisi od vremena! koriste'i Iulerovu ekspanzionu formulu
< = < ∙÷ v ! t ⃗
A < t ❑ < A (¿ + A ) d% 0= + Adiv v
∫(
⃗
0
❑
)
❑
Ad% = ¿ t % %
∫
∫ 0
0ra'aju'i se ponovo na Iulerove koordinate i koriste'i izraz za materijalni izvod slijedi ∂ A ∂ t ∂ A ∂ t [¿+¿( A v )] d% ⃗
❑
(¿+ v ∙ gradA + Adiv v ) d% =∫ ¿ ⃗
⃗
%
❑
❑
Ad% = ¿ t % %
∫
∫
"onačno primjenjuju'i )aussovu formulu u trenutku kada se posmatrani sistem poklapa sa uočenom kontrolnom zapreminom
❑
❑
❑
∂ Ad% = Ad% + A v d " : − kontrona zapremina , :0− kontrona povr6ina t % ∂ t : :0
∫
∫
∮
⃗
⃗
1 ovaj izraz predstavlja e-noldsovu transportnu teoremu koja kaže da je promjena F sistema jednaka zbiru vremenske promjene F u kontrolnoj zapremini #fiksnoj u osnosu na koordinatni sistem :,-z$ i protoku F kroz kontrolnu površinu! odnosno da je promjena veličine F za sistem u trenutku t jednaka zbiru lokalne i konvektivne promjene. Trajektorija i strujna linija
* vezi sa >angrangeovim pristupom izučavanja kretanja fluida definiše se putanja ili trajektorija fluidnog elementa kao geometrijsko mjesto svi tačaka u prostoru kroz koje je prošao odre&eni fluidni element. * vezi sa Iulerovim pristupom defin iše se strujna linija kao linija vektorskog polja brzine! tj. linija na koju u datom trenutku vremena vektori brzine imaju pravac tangente.
Cednačina trajektorije%
dx dy dz = = =dt u ( x , y , z , t ) v ( x , y , z , t ) R ( x , y , z , t )
t =t 0
Cednačina strujni linija u trenutku
%
dx dy dz = = = 8 u ( x , y , z , t 0 ) v ( x , y , z , t 0) R ( x , y , z , t 0 )
Kretanje fluidnog elementa
Poznato je da se kretanje krutog tijela može razložiti na translaciju i rotaciju oko trenutne ose koja prolazi kroz proizvoljnu tačku < pol! pri čemu je ugaona brzina jednaka za sve tačke krutog tijela! tj. vektor brzine prooizvoljne tačke tijela definisane vektorom položaja r može se napisati u obliku% ⃗
v =v 0 + H × ( r − r 0 ) ⃗
⃗
⃗
⃗
v0
3 gdje je
⃗
brzina translacije! a H brzina rotacije oko trenutne
⃗
⃗
ose Primjenjuju'i operaciju rotora na na pretodnu jednačinu! dobija se # r 0 , v 0 , H= const . ¿ % ⃗
⃗
⃗
´ =3 H − H = 2 H rot v = rot ( H × r ) =H ÷r −r ÷H + r grad H −H grad r =3 H −H K ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
1
:dakle je
H = rot v ⃗
2
⃗
"retanje fluidnog elementa se u specijalnom slučaju tako&er može razložiti na translaciju definisanu vektorom translacije
v0 ⃗
i rotaciju definisanu vektorom ugaone brzine H . ⃗
Me&utim! fluidni element se pri kretanju! za razliku od krutog tijela! u opštem slučaju još i deformiše. 0ektor rotacije nije isti za sve tačke fluidnog elementa. / ciljem povezivanja deformacije fluidnog elementa s poljem brzine fluida posmatrajmo proizvoljnu tačku fluidnog elementa
+ 0
i njoj blisku tačku M.
azvijaju'i funkciju v ( r ) u ajlorov red u okolini tačke ⃗
⃗
r 0 % ⃗
T
v =v 0 + d v =v 0 +( grad v ) d r ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
1li u matričnom obliku%
[ ]
∂ u ∂x u0 u ∂v v = v0 = ∂x R R0 ∂R ∂x
[][ ] ⃗
⃗
∂u ∂z dx ∂v dy ∂z dz ∂R ∂z
[]
( grad v )T na simetrični i antisimetrični
azlažu'i v =v 0 +
∂u ∂y ∂v ∂y ∂R ∂y
⃗
1 ( grad T v + grad v ) d r + 1 ( grad T v − grad v ) d r 2 2 ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
´ d r v =v 0 + H × d r + ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
#+$3 analogan čvrsom tijelu #$3 izražen preko tenzora brzine deformacije! jednak simetričnom dijelu tenzora gradijenta brzine
´=
(
1 1 ∂ ui ∂u i T grad v + ( grad v ) = + 2 2 ∂ x j ∂ x i
(
⃗
⃗
)
[
(
∂u ∂x
1 ∂ u ∂ v + 2 ∂ y ∂x
) ( =
1 ∂ v ∂ u + 2 ∂x ∂y
(
1 ∂ R ∂u + 2 ∂ x ∂z
) ) (
∂v ∂y
1 ∂R ∂v + 2 ∂ y ∂z
) ( ( )
1 ∂u ∂R + 2 ∂z ∂x 1 ∂v ∂R + 2 ∂z ∂y
∂R ∂z
) )
]
0ažan parametar u analizi deformisanja fluidnog elementa je i tzv. brzina zapreminske dilatacije! koja se definiše kao relativna promjena fluidnog elementa. 1 %
% t
=
1 ( < % 0 )
< % 0
t
=
1 <
=¿ v =
< t
⃗
∂u ∂ v ∂ R + + = 0 ∂x ∂ y ∂ z
Erzina zapreminske dilatacije = jednaka je sumi dijagonalni elemenata tenzora brzine
´ deformacije. ( tr = K 1− prva invarijanta ) adi jednostavnosti! posmatrajmo ravansko kretanje fluidnog elementa % 1 2
( (
v =( u , v , 0 )=¿ H = rot v = 0,0, ⃗
⃗
⃗
1 ∂v ∂u − 2 ∂x ∂ y
))
enzor brzine deformacije
[
(
∂u ∂x
´ = 1 ∂v ∂u + 2 ∂x ∂ y
(
0
1 ∂ u 2 ∂y
)
+
∂v ∂x
)
0
∂v ∂y
0
0
0
]
brzina zapreminske dilatacije ∂u ∂ v == + ∂x ∂y
∂v dx 3 brzina obrtanja tačke E oko A ∂x
( ) ∂v dx ∂x dx
promjene ugla
C yx ¿
C ´ yx =
∂v ∂x
∂u dx 3 brzina izduženja u , pravcu ∂x
( )
∂u dx ∂x ε´ yx = dx
3 relativna brzina izduženja
C ´ xy =
∂u ∂y
3 ugaona brzina #brzina
i
∂ v ∂v M C ´ yx= ∂y ∂x ∂ u ∂u ε xx =¿ M C ´ xy = M ¿´ 3 zavisno od vrijednosti ovi veličina! posmatrani fluidni element 'e ∂x ∂y ε yy=¿
´¿
mijenjati svoj položaj i oblik. H z=
(
1 ∂v ∂u − 2 ∂x ∂ y
xy = yx =
==
)
1 2
= ( C ´ yx −C ´ xy )
(
1 ∂v ∂u + 2 ∂x ∂ y
)
2
xx =
∂u ∂v =ε´ xx M yy= =ε´ yy ∂x ∂y
1 2
= ( C ´ yx + C ´ xy ) =U´
∂u ∂ v + =ε´ xx + ε´ yy ∂x ∂y
Dijagonalni elementi tenzora brzine deformacije predstavljaju brzine relativnog izduženja fluidnog elementa u pravcima ose odabranog koordinatnog sistema! koje u opštem slučaju dovode do promjene zapremine fluidnog elementa! dok nedijagonalnim elementima odgovara promjena geometrijskog oblika fluidnog elementa.
a$ >inearna deformacija #bez promjene zapremine$ 8eka je strujanje fluida definisano poljem brzine v =( x ,− y , 0 ) ⃗
ε´ xx =
Pa je
∂u ∂v ∂u ∂v =1 M ε´ yy= =−1 M C ´ xy = = 0 M C ´ yx= =0 ∂x ∂y ∂y ∂x
´ = H =( 0,0,0 ) M ⃗
[
1
0
0 0
−1 0
0
]
0 M= =0 0
b$ >inearna deformacija #sa promjenom zapremine$ 8eka je polje brzine definisano vektorom v =( x , y , 0 ) . ⃗
ε´ xx =
Pa je
∂u ∂v ∂u ∂v =1 M ε´ yy= =1 M C ´ xy= =0 M C ´ yx= = 0 ∂x ∂y ∂y ∂x
´ = H =( 0,0,0 ) M ⃗
[ ] 1
0
0
0 0
1 0
0 M = =2 0
c$ Jista rotacija #fluid rotira kao čvrsto tijelo$ 8eka je strujanje fluida definisano poljem brzine v =(− y , x , 0 ) . ⃗
ε´ xx =
Pa je
∂u ∂v ∂u ∂v = 0 M ε´ yy = =0 M C ´ xy= =−1 M C ´ yx= =1 ∂x ∂y ∂y ∂x
[ ] 0
0
0
0
0
0
´ = 0 0 0 M == 0 H =( 0,0,1 ) M ⃗
Posmatrani fluidni element rotira konstantnom ugaonom brzinom ne mijenjaju'i pri tome ni oblik! ni zapreminu! tj. rotira kao kruto tijelo.
d$ Jista deformacija 8eka je strujanje fluida definisano poljem brzine v =( y , x , 0 ) . ⃗
ε´ xx =
Pa je
∂u ∂v ∂u ∂v = 0 M ε´ yy = =0 M C ´ xy= =1 M C ´ yx = =1 ∂x ∂y ∂y ∂x
´ = H =( 0,0,0 ) M ⃗
[ ] 0 1 0
1 0 0
0 0 M = =0 0
e$ *niformno #čisto$ smicanje #deformacija K rotacija$ 8eka je strujanje fluida definisano poljem brzine v =( y , 0,0 ) . ⃗
ε´ xx =
Pa je
∂u ∂v ∂u ∂v = 0 M ε´ yy = =0 M C ´ xy= =1 M C ´ yx = =0 ∂x ∂y ∂y ∂x
(
H = 0,0,− ⃗
)
[ ] 0
1 ´ M = 1 2 2 0
1
2
0
0
0
0
0
M = =0
Klasifikacija kretanja fluida
Prva podjela je bila 2a3 Na bai viskonosti ! dok je druga podjela bila 2b3 Na bai stišljivosti . Pored toga! kretanje fluida se često klasificira 2c3 Na osnovu broja i tipa neavisno promjenjivih upotrijebljenih kod opisivanja datog toga(
Posmatrajmo funkciju
I= I ( x , y , z , t )
koja predstavlja neku skalarnu! vektorsku! ili
tenzorsku karakteristiku toka fluida. Ako je
∂I = 0 odnosnoI= I ( x , y , z ) ∂ t
nestacionarno.
za polje I kaže se da je stacionarno. 1nače je
