Ejercicio Resuelto Teorema de Stokes

En los ejercicios del 5 al 10 usar el teorema de Stokes para demostrar 2 3; siendo C  la curva de intersección de la esfera C  ydx + zdy + xdz = a 2 2 2 2 x + y + z = a y el plano x + y + z = 0 x2 + y 2 + z 2 = 4 2

p 

R 

4 2 -4 -2 z -2 -20 0 0 -42 2 4x y4

-4

Solución Solución 1: Usando Usando la de…nición de…nición



x2 + y 2 + z 2 = a2 1. C  : = x+y+z =0 x=u+v y=u v 2. C  :

) C  :

n  8< :





u2 + v2 + 22uv uv + u2 + v2

u2 p  2 (a= 6)

v2 p  2 (a= 2)



x2 + y 2 + (x (x + y)2 = a2 = Sustitución z = (x + y )

)



 2uv





+ (2u (2u)2 = a2 =

p 

) C  :



6u2 + 22vv2 = a2

u = a= 6cos t v = a= 2sin t; 0 t

p  ) C  :   2 p  t + a=p 2sin t x = u + vp  = a= 6cos p  4. C  : y = u  v = a= 6cos t  a= p  2sin t; 0  t  2 z = 2u = 2a= 6cos t r (t) = a=p 6cos t + a=p 2sin t;a=p 6cos t  a=p 2sin t; 2a=p 6cos t ; 5. C  : ! 0  t  2 r , (t) = a=p 6sin t + a=p 2cos t; a=p 6sin t  a=p 2cos t; 2a=p 6sin t 6. ! !  x;y;z) = hy ; z ; xi = a=p 6cos t  a=p 2sin t; 2a=p 6cos t;a=p 6cos t + a=p 2sin t 7. F (x;y;z) 3. C  :

+

=1 =







8.

! F (x;y;z) r , (t) x;y;z)  !

=

 n n n + +





o

p  a =6cos t sin t + a = 12 cos t + sin t  a =2cos t sin t p  2a =6cos t sin t + 22a a = 12cos t p  2a =6cos t sin t + 22a a = 12sin t p  p  2

2

2

2

2

2

= 3a2 = 12 = 1

3a2 =2



2

2

2

2

o o



2

9.

R 

Z !

Z 

0

0

2

C 

ydx+zdy +xdz =

p  a 3

 p 3a =2 = (2) p 3a =2 = !  F (x;y;z)  r , (t) dt = 2

2

2

2

Solución 1: Usando el teorema de Stokes

Z 

Z !  ! ZZ !  !   b 2

ydx + zdy + xdz

=

r , (t) dt

F (x;y;z)

C 

0

=

r

ndS 

F

S 

! ! 1. r  F =

0  b b b 1 @ A i

 j

k

@  @x

@  @y

@  @z

y

z

x

=

h1; 1; 1i

2. C  es la frontera de la super…cie de intersección de la esfera x2 +y 2 +z 2 = a2 y el plano x + y + z = 0: Su…ciente tomar G (x;y;z) = (x + y + z) (orientación hacia abajo). Aquì



ZZ !  !   b

ndS  =

F

r

ZZ !  !  ! ZZ h   ih

S 

rGdA

F

r

=

D

=

1; 1; 1

1; 1; 1 dA = 3

 i

D

3. D es el interior de C  : C  : 4.

R   R 



u2 p  2 (a= 6)

C  ydx

v2 p  2 (a= 2)

)

=1

dA = 3

D

1 1

1 1

=

C  ydx + zdy + xdz = 3

ZZ j D

J (u; v) dA ; donde J (u; v) =

j



2

 p   p  

2 dA = 6A (D ) = 6 a= 6

D

2



(=Elipse

   ZZ j j  p    p   p  =



D



+ zdy + xdz = 3



dA

x= u+v x2 + y 2 + (x + y)2 = a2 = Sustitución = y=u v z = (x + y)

ZZ 

@y @u @y @v

@x @u @x @v

5.

+



ZZ 



2

6 a = 12 = 6 a =2 3 = a2 3

2

a= 2 =

)