TEOREMA DE CASTIGLIANO Alberto Castigliano, publicó en 1879: “The Theory of Equilibrium of Elastic Systems and its Application”, que qu e incluyen in cluyen sus dos Teoremas. 2° Teorema de Castigliano: “En toda estructura elástica , solicitada por acciones ( cargas o momentos ), la primera derivada parcial de la energía de deformación con respecto a una de las acciones aplicadas es igual al desplazamiento en su dirección de aplicación” PRIMERA PRIMERA FORMA DE APLICAC APLICACIÓN IÓN DE CARGAS CARGAS
Sea una una estruc estructura tura solici solicitad tada a por las las cargas cargas P 1 , P 2 ,......., P k k aplicadas simultáneamente y en forma gradual.
El trabajo realizado por estas cargas es: 47
U = W =
P 1 ∆ 1 2
+
P 2 ∆ 2 2
+−−−−−−−+
P k ∆ k
( 1 )
2
Si la carga P , k se incrementa en ∆ P k , la estructura sufrirá una deflexión adicional.
El trabajo adicional será:
dU = dW = P 1d ∆ 1 + P 2d ∆ 2 + − − − − − − P k d ∆ k +
∆ P k d ∆ k
2
En la expresión anterior:
∆ P k d ∆ k
Se desprecia el término
2
La expresión (2) se reduce a :
dU = P 1 d ∆ 1 + P 2 d ∆ 2 + − − − − − − − − + P k d ∆ k SEGUNDA FORMA DE APLICACIÓN DE CARGA
48
( 3 )
( 2 )
Se aplican las siguientes cargas simultáneamente :
U ' = W ' =
P 1 2
( ∆ 1 + d ∆ 1 ) +
P 2 2
( ∆ 2 + d ∆ 2 ) + − − − − +
( P k + d P k ) ( ∆ k + d ∆ k ) 2
Desarrollando en (4) los productos indicados y ordenando tenemos
P 1 ∆ 1 P 2 ∆ 2 P k ∆ k + +−−−−−+ U ' = 2 2 2
P 1 d ∆ 1 P 2 d ∆ 2 P k d ∆ k + + +−−−−−+ 2 2 2 +
dP k ∆ k 2
+
dP k d ∆ k
( 5 )
2
En la expresión anterior: 49
( 4 )
Comparando con (1) el primer corchete es: Comparando con (3) El segundo corchete es:
U
dU 2
dP k d ∆k
Se desprecia el término:
2
La expresión (5) se reduce a:
U ' = U +
dU 2
+
dP k ∆ k
( 6 )
2
Sabemos que:
U ' = U + dU
( 7 )
Reemplazando (7) en (6) , tenemos:
U + dU = U +
dU 2
+
dP k ∆ k 2
Simplificando
∆ k =
dU dP k
Considerando que la derivación es exclusivamente respecto de P k , se deberá utilizar la Derivada Parcial:
50
∂U ∆ k = ∂ P k U
( 8 )
: Energía de Deformación P k
: Carga Aplicada
∆ K
: Desplazamiento de la Carga Aplicada
Para determinar un giro, similar deducción se puede hacer si se considera el momento M j:
θ j
∂U = ∂ M j
( 9 )
U : Energía de Deformación M j : Momento Aplicado θ j
: Giro en la sección de aplicación del
momento
Sabemos que la expresión para determinar la energía de deformación es: 51
U =
N 2 ds
∫ 2 E A
Q y2 ds
Q x2 ds
+ f ∫
+ f ∫
2G A
2G A ( 10 )
M x2 ds
+ ∫
2 E I x
M y2 ds
+ ∫
2 E I y
M t 2 ds
+ ∫
2G J
Reemplazando, la expresión 10 en (8), tenemos:
∂U = ∆ k = ∫ ∂ P k
∂ N 2 N ds ∂ P k 2 EA
+ f ∫
∂ M x 2 M x ds ∂ P k
+ ∫
2 EI x
∂Q x 2Q x ds ∂ P k 2GA
+ f ∫
∂ M y 2 M y ds ∂ P k
+ ∫
Simplificando:
52
2 EI y
∂Q y 2Q y ds ∂ P k 2GA
2 M t
+ ∫
∂ M t ds ∂ P k
2GJ
∆k = ∫
N ∂ N EA ∂ P k
+ ∫
EI x ∂ P k
∫ GA
ds + f
M x ∂ M x
Q x ∂Q x
ds +
∂ P k
M y ∂ M y
∫ EI
y
∂ P k
Q y ∂Q y
∫ GA
ds + f
ds +
M t ∂ M t
∫ GJ
METODO DE LA CARGA UNITARIA
53
∂ P k
∂ P k
ds
ds
Consideramos una estructura sujeta a un sistema de cargas, en donde las fuerzas internas en una sección genérica son:
Fuerza Axial
:
N
Cortante
:
Q x
Cortante
:
Q y
Momento Flector :
M x
Momento Flector :
M y
Mto. Torsionante :
M t
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Para calcular el desplazamiento lineal ∆i , en un punto “i” , en una dirección determinada, se procede como sigue:
Se aplica una carga virtual P v en el punto “i” en la dirección que se desea hallar el desplazamiento.
Para hallar un desplazamiento lineal la carga virtual sera una fuerza concentrada.
Para hallar un desplazamiento angular ( giro ), la carga virtual es un Par de Fuerzas.
55
Debido a la carga virtual P v , se producen fuerzas internas. En una sección genérica, tales fuerzas internas son directamente proporcionales a la carga virtual, es decir: Fuerza Axial
:
N v
Cortante
:
Q xv = q x P v
Cortante
:
Q yv = q y P v
Mto. Flector
:
M xv = m x P v
Mto. Flector
:
M yv = m y P v
Mto. Torsionante :
M tv = mt P v
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= n P v
En donde n, q x , q y , m x , m y , mt : son valores característicos para cada sección transversal y varían a lo largo de la barra.
Sus valores se obtienen haciendo unitaria la carga virtual P v .
De esta manera las fuerzas internas en cualquier sección de la barra, producidas por una carga
P v = 1, son :
Fuerza Axial
:
N v
=n
Cortante
:
Q xv = q x
Cortante
:
Q yv = q y
Mto. Flector
:
M xv = m x
Mto. Flector
:
M yv = m y
Mto. Torsionante :
M tv = mt
De acuerdo al principio de Superposición, la energía de deformación total generada por el Sistema de Cargas y la carga virtual P v , actuando simultáneamente es:
U =
L
∫
( N + nP n ) 2 EA
0
L
+ f ∫ 0
2
∫
ds + f
( Q y + q y P v ) 2GA
L
2GA
0
2
ds +
57
( Q x + q x P v )
L
∫ 0
2
ds
( M x + m x P v ) ds 2 EI x 2
L
+ ∫
( M y + m y P v ) 2 EI y
0
2
L
∫
ds +
( M t + mt P v )
2
ds
2GJ
0
El desplazamiento producido por el sistema real de cargas y la carga virtual P v , es: L ( N + nP )n L ( Q + q P )q ∂U v x x v x ds + f ∫ ds ∆i = = ∫ 0 0 ∂ P v EA GA L
+ f ∫
( Q y + q y P v )q y
L
+ ∫
ds +
GA
0
( M y + m y P v )m y
∫
( M x + m x P v )m x EI x
0
ds +
EI y
0
L
L
∫
ds
( M t + mt P v )mt GJ
0
ds
ya que las fuerzas internas debidas al sistema real de cargas son independientes de la carga P v . Para calcular el desplazamiento real del punto en estudio, se necesita anular el valor de la carga virtual, P v , obteniéndose finalmente.
L
Nn
0
EA
L
M x m x
∆ i = ∫
∫ 0
∫
ds + f
EI x
L
ds +
Q x q x
0
L
∫ 0
GA
EI y
58
∫
ds + f
M y m y
L
ds +
0
L
∫ 0
Q y q y GA M t mt GJ
ds
ds
En donde: N, Q x , Q y , M x , M y , M t , son las fuerzas internas producidas por el sistema real de cargas.
n, q x , q y , m x , m y , m ,t son las fuerzas internas producidos por una carga unitaria aplicada en el punto y en la dirección en la que se desea hallar el desplazamiento.
Para calcular desplazamientos lineales se aplican fuerzas concentradas unitarias.
Para calcular desplazamientos
angulares se aplican pares
unitarios, en el punto y en la dirección en la que se desea hallar el giro.
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