Teorema de Castigliano Para Armaduras

El teorema de Catigliano, establece que cuando actúan fuerzas sobre sistemas elásticos, el desplazamiento correspondiente correspondiente a cualquier fuerza, puede encontrarse obteniendo la derivada parcial de la energía de deformación respecto a esta fuerza. Los términos “Fuerza” y “Desplazamiento” “Desplazamiento” han de interpretarse con amplitud, ya que se aplican igualmente a momentos y a los desplazamientos angulares. El teorema de Castigliano es una herramienta grandiosa para la determinación de deformaciones de estructuras c omplejas.



Si debe determinar la pendiente  en un punto, es necesario encontrar la derivada parcial del momento interno M con respecto a un momento de par externo M’ que actua en el punto, es decir.

   =  ( )  

X Determinar el desplazamiento del punto B de la viga que se muestra en la figura 9-27 considere que E=200 GPa e I=500.10 6 mm4

La energía de deformación para un elemento de una armadura está dada por la ecuación,

 =  . Al sustituir esta ecuación en la

ecuación 9-20 y si se omite el subíndice i, resulta.

 

∆=  ∑ 2

Por lo general es más fácil realizar la diferenciación antes de la sumatoria. En el caso general L, A y E son constantes para un elemento dado, y por lo tanto puede escribirse así.

 ∆= ∑( ∑ ( )  2

Solución: sobre la viga en 9-27b

 se coloca una fuerza vertical como se muestra en la figura

Se requiere una sola coordenada x para obtener la solución, puesto que no hay discontinuidades de carga entre A y B, Si se usa el método de las secciones figura 927c, se tiene

 ∆=Desplazamiento de la junta externa de la

armadura  P=fuerza externa aplicada a la junta de la

armadura en la dirección de ∆  N=fuerza interna en un elemento causada tanto por la fuerza P como por las cargas sobre la armadura  L=longitud de un elemento  A=área de la sección transversal de un elemento  E=módulo de elasticidad de un elemento

↓ +Σ = 0;   = 122   = 0 = 6    =   Al establecer P=0, su valor real, resulta  = 6  ;   = 

Si se aplica la ecuación

La energía de deformación por flexión interna para una viga o un marco resulta de la ecuación

9-11   = ∫  =  ∫   . al sustituir esta ecuación en   la ecuación 9-20 (∆ =  y omitir el subíndice i,  se tiene.   ∆=   2 En lugar de elevar al c uadrado la expresión del momento interno M, integrar y luego obtener la derivada parcial, generalmente resulta más fácil diferenciar antes de la integración. Dado que E e I son c onstantes, se tiene.

  ∆=  (  )  







 

∆=Desplazamiento externo del punto causado por las cargas reales que actúan sobre la viga o marco P=fuerza externa aplicada a la viga o marco en la dirección de ∆ M=momento interno en la viga o marco, expresado como una función de x y causando tanto por la fuerza P c omo por la carga reales sobre la viga elemento causada tanto por la fuerza P como por las cargas sobre la armadura E=Modulo de elasticidad del material de la viga. I=Momento de inercia del área de la sección transversal calculado respecto al eje neutro

9-28, se tiene

  =   6 ∆=  ( )      1510 103.3 ∆=  15 

15 1510 103.3 ∆ = 200 20010/500 50010410−4/4

∆= 0.150 = 150