ESPECIALIDAD: ING. CIVIL MATERIA: ANALISIS DE ESTRUCTURA TITULAR: ING. SANTIAGO SANTIAGO JAVIER TRABAJO: SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO TEOREMA DE MAXWELL Y BETTI TRABAJO VIRTUAL PRESENTA: GARCIA MARCOS CRISTIAM
SEMESTRE: 6° GRUPO: “F”
HEROICA CD.JUCHITAN DE ZARAGOZA OAX ,23 DE JUNIO DEL 2015
Introducción El método de energía tiene varias interpretaciones. En este trabajo analizamos el método de energía utilizando el principio de desplazamientos virtuales. El principio de los desplazamientos virtuales es un principio general que permite el estudio de los estados de equilibrio de los sistemas deformables. De acuerdo con este principio el estado de equilibrio del sistema se caracteriza por el hecho de que la suma de todas las fuerzas internas y externas en cualquier desplazamiento es cero. La relación entre una carga aplicada a una maquina o a una estructura son las deformaciones que es una parte importante en la mecánica. Esta relación entre carga y deformación se puede determinar y expresar de varias maneras. La aplicación más frecuente de las técnicas energéticas está en cálculo de pendientes y deflexiones de vigas, marcos, armaduras y otras estructuras. Las deformaciones de los miembros curvos, el análisis de cargas de impacto, y el movimiento de las armaduras son los problemas en que estas técnicas ofrecen una clara ventaja sobre las técnicas analíticas alternativas. Hay muchas técnicas que estan bajo la amplia clasificación de métodos energéticos en esto se encuentra el trabajo real, el trabajo virtual y el teorema de castigliano son los más importantes.
Segundo teorema de castigliano En 1876, Alberto castigliano enuncio un teorema que nos permite encontrar cualquier componente de deflexión de una estructura a partir de la energía de deformación de la misma. Al a verlo aplicado a las reacciones redundantes de una estructura indeterminada, se obtiene un corolario que se conoce también como segundo teorema de castigliano. El teorema original dice: La componente de deflexión del punto de aplicación de una acción sobre una estructura, en la dirección de dicha acción, se puede obtener evaluando la primera derivada parcial de la energía interna de deformación estructura con respecto a la acción aplicada. El teorema es aplicable tanto a fuerzas como a momentos, obteniéndose en el primer caso la componente de deflexión en la dirección de la fuerza y en el segundo la rotación en el plano del momento. Para demostrarlo se puede utilizar la viga figura mostrada en la que se supone que existe una relación lineal entre cargas y deflexiones. En la parte (a) de la misma se considera que la fuerzas P y Q se han aplicado gradual y simultáneamente y la deflectan según la línea de trazos. En virtud del supuesto de linealidad entre cargas y deflexiones, el trabajo extremo realizado, que es igual a la energía interna de deformación, como se demostró anteriormente, está dado por: W
=
P ∆P 2
+
Q ∆Q 2
Si se le añade ahora el sistema una pequeña carga dP con la misma dirección y sentido de la carga P original. Se producirá una deflexión adicional según se indica en la parte (b) de la misma figura. A su vez resulta un trabajo adicional:
dW=P(dΔp)+
d P(d Δ P ) 2
+ Q(dΔQ)
Y si se desprecia el producto de las dos diferenciales dicho trabajo se reduce a:
dW=P(dΔp)+ Q(dΔQ)
El mismo estado final se podría haber obtenido aplicando desde el principio (P + dP) y Q, gradual y simultáneamente. Es evidente que en tal caso se obtendría de una vez la posición deflectada de la parte (b) de la figura y en consecuencia el trabajo total externo estaría dado por: P+ dP 2
WT = (
)(ΔP + dΔP) +
Q 2
(ΔQ + dΔQ)
Que al despreciar de nuevo el producto de dos diferenciales se convierten en:
WT =
PΔP 2
+
( P+d ∆ P ) 2
+ΔP
dP 2
+
Q ∆Q 2
+
Q( d ΔQ ) 2
Pero dW= WT – W; por consiguiente, de las ecuaciones anteriores se obtiene: dW =
P( d Δ P) 2
+ ΔP
dP 2
+
Q( d ΔQ ) 2
Despejamos ahora la ecuación:
Q(dΔQ) = dW – P(dΔP) Reemplazando este valor en la ecuación anteriormente obtenida de la ecuación dW resulta:
2dW = P(dΔP) + ΔP (dP) + dW - P(dΔP)
Y despejando:
ΔP =
dW dP
Que era lo que quería demostrar, pues el hecho de haber mantenido a Q constante, equivale matemáticamente a derivar parcialmente con respecto a P. por lo tanto, el teorema de castigliano se puede expresar en general así:
ΔP =
∂W ∂P
Si el signo de la respuesta da negativo quiere decir que la deflexión es opuesta al sentido de la acción con respecto a la cual se tomó la derivada. Si se quiere averiguar la deflexión en un punto donde no hay aplicada ninguna acción, o en una dirección distinta de la acción aplicada, sencillamente se aplica una acción imaginaria en el sitio y dirección deseados hasta encontrar la derivada parcial de la energía de deformación: luego la acción imaginaria se iguala a cero. Generalmente se ahorra tiempo si la derivación se efectúa antes de integrar las expresiones que dan la energía de deformación, como se ilustra a continuación. Por consiguiente, si se requiere averiguar una deflexión lineal en una armadura, basta aplicar:
(ΔP)a =
∂ ∂P
∑
S2 L 2 AE
(
=∑ S
∂S ) ∂P
L AE
Las deflexiones lineales por flexión estan dadas por:
(ΔP)f =
∂ ∂P
∫
M 2 dx 2 EI
=∫ M
(
∂M ) ∂P
dx EI
* Para secciones rectangulares K - 1.2, circulares; K - 10/9, perfiles W: K ≈ 1 y se toma como A el área del alma. ** Para secciones rectangulares de dimensiones h y b (h>b): J = cb3h
C=
1 10
b 4 4 12 h 16 b −3.36 ¿ 3 h 1−
[
)]
El efecto de corte es: 2
(ΔP)V
¿
∂ V dx ∂V dx K∫ =K ∫ V ∂P 2 AG ∂ P AG
( )
Y el de torsión: 2
(ΔP)T
¿
∂ T dx ∂ T dx ∫ =∫ T ∂ P 2 JG ∂ P JG
( )
Si se quieren averiguar rotaciones, en el lado izquierdo de las expresiones anteriores se escribiría ϴ y las derivadas parciales se tomarían con respecto a un momento aplicado en el punto de la rotación deseada. En todos los casos es muy importante dar las fuerzas internas de signos apropiados.
El teorema de castigliano se puede aplicar a cualquier componente de reacción. Si se tiene en cuenta que la deflexión correspondiente es nula, es claro que en tal caso los lados derechos de las ecuaciones de deflexiones deberían dar cero. Esta observación constituye en el corolario del teorema y resulta muy útil para evaluar las reacciones redundantes en estructura estáticamente indeterminadas. Corolario: La derivada parcial de la energía interna de deformación de una estructura cargada, con respecto a un componente de reacción, es igual a cero. Si el significado matemático del enunciado anterior y se aplica a una estructura indeterminada, el corolario puede expresarse en una forma alterna. En cualquier estructura indeterminada sometida a carga los valores de las redundantes deben ser tales que hagan mínima la energía total interna de deformación elástica que resulta de la aplicación del sistema de carga dado. Aplicando en esta forma da origen al método del trabajo mínimo, que resulta muy efectivo para analizar estructuras articuladas indeterminadas y en la formulación de las matrices de rigidez utilizadas en el análisis matricial de estructura.
Teorema de Maxwell y Betti Teorema de maxwell de las deflexiones reciprocas Maxwell formulo su teorema de las deflexiones reciprocas de 1864, pero por no demostrarle aplicación práctica solo vino a ser apreciado en 1886, cuando MüllerBreslau presento su versión del método Maxwell-Mohr.
Considerando el propósito de la figura, al aplicarle una fuerza horizontal en A la estructura se deforma de la manera indicada en (a), donde se han utilizado coeficientes de influencia definidos así:
Dij =
Desplazamiento de i, en la dirección de la carga aplicada en i, producido por una carga unitaria aplicada en j; y el principio de superposición. Similarmente, si se aplica una carga vertical PB en B, se obtiene la deformación de (b). Si ambas cargas se aplican gradual y simultáneamente, el trabajo total externo producido por ella será:
W=
PA A¿ DAA + PB DAB ) + 1 P¿ 2
1 2
PB(PA DBA + PB DBB )
Si solo se aplica PA , se efectuara un trabajo: WI =
1 P 2 A ( PA DAA )
Y si después de que PA alcance su valor final se aplica gradualmente P B, habrá un trabajo adicional: 1 2
WII = PA (PB DAB ) +
PB(PB DBB )
Pero por el principio de superposición el trabajo realizado es independiente de la secuencia. De ahí que: W = WI + WII Y si reemplazamos los valores respectivos dados arriba resulta: 1 2
PB PA DBA =
1 2
PA PB DAB
DBA = DAB Y generalizando:
Dij = Dji Como i y j son dos puntos cualesquiera, el teorema de Maxwell de las deflexiones reciprocas se puede enunciar como siguiente: 1.- cualquier componente lineal de deflexión de un punto i que resulte de la aplicación de una fuerza unitaria en cualquier otro punto j, es igual en magnitud a la componente lineal de la deflexión de j (en la dirección de la fuerza aplicada inicialmente en j), que resulta de la aplicación de una fuerza unitaria en i en la misma dirección de la componente original de la deflexión en i. La misma deducción se puede hacer para el caso de rotaciones debidas a momentos, o para la combinación de un desplazamiento lineal y una rotación, resultando entonces otras dos proposiciones. 2.- El giro en cualquier punto i de una estructura, causado por un momento unitario aplicado en cualquier otro punto j, es igual en magnitud al giro de j producido por un momento unitario actuando en i. o sea:
αij = αji
3.- Cualquier componente lineal de deflexión de un punto i, causado por un momento unitario aplicado en cualquier otro punto j, es igual en magnitud al giro de j que resulte de la aplicación de una fuerza unitaria en i en la dirección originalmente considerada. En otros términos:
D´ij = α´ji Teorema reciproco de Maxwell y Betti En 1872, E. Betti publico una forma generalizada del teorema reciproco. En la figura se representa una misma estructura sometida a dos sistemas de cargas diferentes. En las deformas correspondiente se han señalado las componentes de deflexión paralelas a la dirección de las fuerzas en el otro sistema y para facilitar la notación se les ha asignado una barra a los términos del sistema II. Las componentes de deflexión causada por un sistema, paralela a las cargas del otro sistema, se dice que son componentes correspondientes de deflexión. Si se conviene en considerar aquí únicamente este tipo de componentes, se puede simplificar la nomenclatura utilizada antes en el teorema de Maxwell.
Por lo consiguiente, las componentes de deflexión que resulta al aplicar el sistema I de cargas son: ΘA = PA α´AA + MB α´BA + PC α´AC ΔB = PA D´BA + MB D´BB + PC DBC
ΔC = PA D´CA + MB D´CB + PC DCC Donde de nuevo las primeras indican giros producidos por fuerzas o deflexiones debidas a momentos. Las componentes de deflexión causadas por los sistemas II son:
∆´
A
θ´ ∆´
B
C
´ M
=
A
´ M
=
´ M
=
D´AA + P´
B
D´AB + P´
α´BA + P´
B
α´BB + P´
A
A
D´CA + P´
B
C
C
D´CB + P´
D´AC
α´BC
C
D´CC
Aplicando ahora arbitrariamente las componentes correspondientes de deflexión del sistema II, como desplazamientos virtuales del sistema I, resulta un trabajo:
´ W I = PA ( M
A
´ D´AA + P
´ + MB ( M
A
´ αBA + P
B
´ α´BB + P
´ D´CA + P
B
´ DCB + P
´ + PC ( M
(1) ´ WI = PA M
α´BB + MB
(2) A
D´AA + PA
´ P
C
(7) ´ + PC M
A
´ D´AB + P
(3) ´ P
B
´ D´AB + PA P
C
C
D´AC) +
α´BC) +
C
DCC) =
(4) C
D´AC
(5) + MB
´ M
(6) A
α´BA + MB
´ P
B
α´BC (8)
A
B
´ D´CA + PC P
(9) B
´ DCB + PC P
C
DCC
Haciendo ahora lo contrario, es decir, utilizando las componentes correspondientes de deflexión del sistema I como desplazamientos virtuales del sistema II, el trabajo virtual efectuado es:
´ WII = M
(PA α´AA + MB α´BA + PC α´AC) +
´ + P
B
(PA DBA + MB D´BB + PC DBC) +
´ + P
C
(PA DCA + MB D´CB + PC DCC) =
´ WII = M +
A
´ P
´ + P
A
B
PA DBA + C
´ M
PA α´AA +
PA DCA +
´ P ´ P
B
A
MB D´BB + C
´ M
MB α´BA +
MB D´CB +
´ P ´ P
B
A
PC α´AC +
PC DBC + C
PC DCC
Si se aplica ahora el teorema de maxwell de las deflexiones reciprocas a los términos que tienen igual número en las ecuaciones anteriores, se observa que dichas ecuaciones resultan iguales, pudiéndose, en consecuencia, enunciar el principio de Maxwell y Betti como sigue: Dada cualquier estructura estable con una relación lineal carga-deformación, en la cual se han escogido puntos arbitrarios en donde se considera aplicadas fuerzas y momentos en cualquiera de los dos sistemas de carga diferentes, el trabajo virtual hecho por las fuerzas y momentos del primer sistema, al recorrer las deflexiones correspondientes causadas por el segundo sistema, es igual al trabajo virtual hecho por las fuerzas y momentos del segundo sistema al recorrer las deflexiones correspondientes causadas por el primer sistema.
Trabajo virtual Principio del trabajo virtual Considerando ahora un cuerpo deformable, por ejemplo la placa delgada mostrada en la figura, en equilibrio bajo la acción de las cargas P y las reacciones R, se puede pensar que dicho cuerpo está formado por un conjunto de elementos, dos de los cuales, uno interior y otro de borde, se muestran en la misma figura.
El elemento interior está sometido a fuerzas interelementales en todas las caras. El elemento de la periferia tiene una carga P actuando sobre una cara y fuerzas interelementales sobre las otras tres. Ambos elementos estan en equilibrio bajo la acción de las fuerzas respectivas y siendo deformables dicha fuerzas originan fuerzas internas de ellos. Aplicando ahora una acción virtual a la placa que resulte en un desplazamiento virtual del cuerpo entero y una deformación virtual del mismo, el trabajo virtual efectuado por las fuerzas externas a cada elemento, dW e , se dividirá en dos: 1) un trabajo virtual de translación y rotación del elemento considerando como cuerpo rígido, dWtr , y, 2) un trabajo virtual de deformación del elemento o energía de deformación virtual interna, dW i , por consiguiente:
dWe = dWtr + dWi = dWi Pues por el principio de los desplazamiento virtual dWtr = 0 Al integrar el trabajo efectuado en todos los elementos se llega a:
We =
∫ dW e = ∫ dW i = dWi
En donde We representa el trabajo virtual total de las fuerzas externas e interelementales y Wi representa la energía virtual interna de deformación. Considerando ahora dos elementos vecinos, a cada acción de un elemento sobre la cara común del vecino correspondiente una reacción de éste identifica en magnitud, pero de sentido contrario. Por consiguiente, cualquier trabajo producido por las fuerzas interelementales al actuar sobre el borde de un elemento diferencial dado se cancela con el efectuado por el vecino sobre ese borde común y el valor de We se reduce al trabajo virtual hecho por las cargas P que actúan sobre la estructura. En vista de lo anterior, se puede enunciar el principio del trabajo virtual como sigue: Si una estructura deformable está en equilibrio bajo un sistema de cargas y permanece en equilibrio al someterla a una acción virtual pequeña producida por cualquier causa adicional, el trabajo virtual externo hecho por el sistema de cargas es igual al trabajo virtual interno de deformación producido por las fuerzas internas debidas a dicho sistema. Se desprende de lo anterior que el método del trabajo virtual tiene una gran flexibilidad y generalidad, pues sus únicas limitaciones son que el sistema este originalmente en equilibrio y permanezca en equilibrio durante la acción virtual.
Método del trabajo virtual Ya se había mencionado que el método del trabajo virtual es, entre los tradicionales, el procedimiento más versátil para evaluar deflexiones elásticas de estructuras producidas incluso por causas diferentes de la aplicación de cargas, como errores de fabricación o cambios de temperatura. La única restricción es que su forma finita solo es aplicable a aquellos casos en los que es válido el principio de superposición. Se recordara que, en resumen, el principio del trabajo virtual decía que si una estructura deformable, en equilibrio bajo un sistema de cargas, era sometida a una deformación virtual como resultado de una acción adicional, el trabajo virtual externo hecho por el sistema de cargas es igual al trabajo virtual interno efectuado por las fuerzas internas causadas por él. Su aplicación se reduce entonces a evaluar ambas expresiones e igualarlas.
Deflexiones resultantes de deformación axiales Suponiendo que se quiere averiguar la deflexión vertical del punto A de la armadura mostrada, producida por las cargas P 1, P2 y P3, se empieza por remover dichas cargas para aplicar luego una carga ficticia unitaria en el punto y dirección de la deflexión buscada.
La estructura queda equilibrio bajo la acción de esta fuerza ficticia, que puede considerarse como el sistema de cargas dado en el principio del trabajo virtual. Ahora la armadura se considera sometida a desplazamiento virtuales idénticos a las deflexiones resultantes del sistema real de cargas, o sea que el punto A se deflecta virtualmente una cantidad Δ. En consecuencia, la fuerza unitaria ficticia realizara un trabajo: WE = 1 x Δ Por otra parte, si Ui representa la fuerza interna en la barra i inducida por la carga ficticia, al darle a la estructura los desplazamientos producidos por las cargas reales, dicha fuerza tendrá que recorrer la deformación elástica debida a tales cargas y al hacerlo efectuara un trabajo. El trabajo interno de toda la estructura será la suma de los trabajos realizados por las barras, o sea:
W i =Σ
U i δi
=
Σ
Ui
SL ( AE )
i
Donde S representa como antes la fuerza en el miembro producida por las cargas reales. Aplicando ahora el principio del trabajo virtual:
WE = Wi
Δ=Σ
Ui
SL ( AE )
i
De nuevo, si el signo es negativo, quiere decir que la deflexión es en sentido opuesto al de la carga unitaria aplicada. La tensión se considera positiva porque a ella corresponde un alargamiento. Si se quiere averiguar la rotación de una barra, basta colocar un momento unitario. La ecuación se convierte entonces en:
Arriba se ilustra el procedimiento para encontrar la rotación de la barra AB. Finalmente, comparando las ecuaciones y se observa que el valor de
Ui
no es
otro que el (∂S /∂P) del teorema de castigliano. La única diferencia está en el modo de hallarlo y en el fondo los dos métodos son idénticos.
Deflexión debida a flexión Las expresiones del trabajo externo continua siendo 1 x Δ para deflexiones lineales y 1 x θ para rotaciones. Para evaluar el trabajo interno debido a flexión, se sigue un proceso similar al anterior:
Con referencia a la figura, si se desea averiguar la deflexión vertical en A se coloca allí una carga virtual unitaria que producirá en una sección a una distancia x del apoyo un momento virtual m x. Considerando que este es el sistema de cargas, y aplicándole a la viga los desplazamientos producidos por las cargas aplicadas, se realizara en la sección un trabajo interno de magnitud: dW i
= mx βx
En donde βx representa la rotación debida al momento Mx producido por las cargas reales. De mecánica de solidos se sabe que una distancia y el eje neutro el esfuerzo Ϭy está dado por: σ y=
MX y I
y, por consiguiente, el cambio en longitud de una fibra a esa distancia es:
( Δ dx )
σy Mx y ϵ dx= dx= dx x y= E EI
Como la rotación es pequeña, el ángulo βx se puede reemplazar por su tangente. De ahí que
β x=
( Δ dx) y M x dx = y EI
Y reemplazando la ecuación dW i =mx
[ ]
Mx dx EI
El trabajo total se obtendrá integrando la expresión anterior a lo largo de la viga.
L
W i=∫ mx 0
[ ]
Mx dx EI
Igualando esta expresión a las que dan el trabajo externo, se obtiene entonces: Para deflexiones lineales: L
Δ=∫ m 0
[ ]
Mx dx EI
Y para rotaciones: L
θ=∫ m 0
[ ]
Mx dx EI
En donde el subíndice α indica que los momentos virtuales son debidos a la aplicación de un par unitario de A. Comparando la ecuación se vuelve a encontrar total equivalencia con el método de castigliano, en el que el m de ahora es el mismo (∂M /∂P) de aquel.
Deflexión por corte y torsión Siguiendo un procedimiento completamente análogo se pueden averiguar los trabajos internos debidos a corte y a torsión. Estos estan dados por: Para corte: L
W i=∫ V 0
[ ]
V dx AG
En donde para una sección x, v es la fuerza de corte resultante de la carga unitaria ficticia (equivalente al ∂V /∂P de castigliano), V es el corte producido por las cargas reales y K el factor de forma definido antes. Para torsión: L
W i=∫ t 0
[ ]
T dx JG
En donde t es la torsión ficticia en una sección x debida a la carga virtual unitaria (equivalente al ∂T /∂P de castigliano), T la torsión producida en la misma sección por las cargas reales y J el momento polar de inercia para elementos de sección circular o su equivalente para secciones rectangulares. Las expresiones de trabajo extremo en ambos casos siguen siendo iguales 1 x Δ y 1 x θ para desplazamientos lineales y rotaciones, respectivamente. Varias veces se ha dicho que las deflexiones por corte en la mayoría de las vigas comúnmente encontradas en la práctica, son insignificantes si se las compara con las debidas a flexión. El cuadro representa para una viga W 12 x 27 de acero estructural, la relación entre las dos deflexiones para diferentes luces y dos hipótesis de carga: concentrada en el centro de la luz y uniformemente repartida.
Como era de esperarse, el primer caso produce deflexiones de corte relativamente mayores, puesto que su diagrama de corte tiene un área mucho mayor que la del segundo, mientras que en las áreas de los diagramas de momento respectivos para lo contrario. Ejemplo 1.
La cercha mostrada se quiere utilizar para cubrir un auditorio con luz de 9.75 m y va apoyada sobre columnas que estan espaciadas cada 7.50 m. la teja es de asbesto cemento y la carga viva de diseño especificadas es de 500 N/m 2 de proyección horizontal. Se pide encontrar la deflexión en el centro de la luz, causada por el peso propio y la sobrecarga anterior.
Áreas: Cordón superior: 1500 mm2 Cordón inferior: 1000 mm2 Diagonales y montante: 1200 mm2 Solución Se empieza por determinar las cargas: Teja ondulada de asbesto cemento N° 6 y accesorios
0.16 kN/m 2
Cielo raso
0.72kN/m 2
Pero propio estimado, incluyendo correas y arriostra miento
0.10kN/m 2
qm = 0.98 kN/m2 qm = 0.50 kN/m2 1.48 kN/m2 Carga por nudo en una cercha interior: P = 1.48 x 1.625 x 7.50 = 18.0 kN En el análisis rutinario se hace la simplificación de considerar que tanto el peso del cielo raso como el peso propio se hallan aplicados en los nudos superiores.
De acuerdo con el método de los nudos y aprovechando la simetría se elabora el cuadro siguiente para los dos sistemas de cargas indicados a continuación:
La pendiente mínima recomendada para teja ondulada Eternit es de 27%(15.1°). Aquí se adopta 30% (16.7°), que resulta en correas especiadas cada 1.694 m, que es aproximadamente la longitud de una teja N° 6.
Por el teorema del trabajo virtual:
WE = 1 x Δ =
Δ=
Wi
SL ( = Σ u AE )
2 ( 1922.3 )−43.9 200
= 19.0 mm
Nótese la subtraccion del valor correspondiente a la barra DJ para evitar duplicar al considerar la cercha total.
Conclusión Dado en esta investigación el teorema de castigliano nos hacer ver el tipo de ecuación que debemos utilizar para el desplazamiento tanto como la de las rotaciones y su aplicación en distintas estructuras planas, pero también nos habla del trabajo virtual en la cual aplicamos métodos como los de maxwell y Betti que nos habla de las deflexiones y deformaciones de cuerpos curvos. Pero al aplicar ahora una acción virtual a una placa que resulta en un desplazamiento virtual del cuerpo entero y una deformación virtual del mismo, el trabajo virtual es efectuado por las fuerzas externas a cada elemento de la placa. En un trabajo virtual de translación y rotación del elemento es considerando como cuerpo rígido.
Bibliografía Análisis De Estructuras Pág. 77 – 89 Jairo Uribe Escamilla Mecánica De Solido pág. 771 – 789 Egor P. Popov
