INSTITUTO TECNOLÓGICO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANALISIS ESTRUCTURAL UNIDAD III. MÉTODOS ENERGÉTICOS ENERGÉTICOS TEOREMA DE BETTI. Estudiemos un cuerpo elástico lineal en equilibrio, en el que actúan dos sistemas de carga, Pi y F j, aplicados sobre los puntos del sólido Ai y B j respectivamente, como se indican en las figuras siguientes.
Pi
F j
Ai
B8
A8
A5
B4
Bi
B6 A4
A3
B3
B5
B A2 A7
A1
B1
A6
B
i=1,2,…, n j=1,2,…, m
Sistema de cargas 1. Las fuerzas P se i aplican gradualmente
B7
Sistema de cargas 2. Las fuerzas F se j aplican gradualmente
Cada uno de los sistemas de carga está en equilibrio, independientemente uno de otro, al igual que su aplicación simultánea. Seguidamente se calcula la Energía de Deformación que genera la aplicación sucesiva de estos dos sistemas de cargas, suministrados gradualmente. Para ello debemos considerar que el trabajo realizado por los dos sistemas de cargas no depende del orden de aplicación de los mismos , por lo que basta estudiar dos casos para este objetivo, estos son: 1) En primer lugar se aplica al cuerpo el sistema de cargas Pi y en segundo lugar el sistema F j, cuyo Trabajo o Energía de Deformación se valúa en este orden de aplicación. 2) Similarmente, ahora aplicamos primero el sistema F j y después el sistema Pi , cuyo Trabajo o Energía de Deformación también se valora en este orden de aplicación. El procedimiento descrito se aplica a continuación.
Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz
Página 1
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANALISIS ESTRUCTURAL CASO 1 a) Al aplicar en primer lugar, el conjunto de fuerzas
Pi se obtiene la Energía de
Deformación, definida como: n
1
W ( Pi ) i 1
2
P i
A
i
b) Al agregar en segundo lugar, el conjunto de fuerzas
F se obtiene la Energía de
Deformación siguiente: n
W ( F j ) j
1 1 2
n
Fj
Pi
j
ij
B
i 1
La E nergía de Deformación total que resulta de los dos sistemas de cargas aplicados en el orden descrito, se escribe: n
W (Pi ,Fj ) i 1
1 2
n
Pi
1
i
2
j 1
n
Fj
Pi
j
ij
1
i 1
CASO 2 a) Al aplicar en primer lugar el conjunto de fuerzas F se obtiene la Energía de Deformación, definida como: n
1
W (F j ) j 1
2
F j
A
j
b) Al agregar en segundo lugar el conjunto de fuerzas Pi se obtiene la Energía de Deformación siguiente: n
W ( Pi ) i 1
n
1 2
Pi
Fj
i
B
ji
j 1
La E nergía de Deformación total que resulta de los dos sistemas de cargas aplicados en el orden descrito, se escribe: n
W ( F j , Pi ) j 1
1 2
n
F j
j i 1
1 2
Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz
n
Pi
Fj
i j 1
ji
2
Página 2
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANALISIS ESTRUCTURAL Escritas convenientemente en notación indicial, las ecuaciones n
W (Pi , Fj ) i 1
n
W ( F j , Pi ) j 1
1 2
1 2
n
Pi
i j
1 1 2
n
F j
j i 1
1 2
y se escriben:
n
Fj
Pi
j
ij
1’
i 1
n
Pi
Fj
i
ji
2’
j 1
Nótese que los trabajos de deformación realizados por los dos sistemas de cargas son iguales, debido a que no dependen del orden en que fueron aplicados. Donde: δi Son los desplazamientos de los puntos Ai, cuando solo actúa el conjunto de fuerzas Pi δ j Son los desplazamientos de los puntos Bi, cuando solo actúa el conjunto de fuerzas F j ij
indica los desplazamientos de los puntos
Ai, cuando solo actúa el conjunto de fuerzas
F j. ji
indica los desplazamientos de los puntos B j cuando solo actúa el conjunto de fuerzas
Pi. F j (Segundo término de la ecuación 1’). Representa el trabajo del segundo sistema de fuerzas F j debido a los desplazamientos que se producen en sus puntos de aplicación B j. Pi ij (Tercer término de la ecuación 1’). Representa el trabajo adicional del primer sistema de fuerzas Pi; se origina porque que durante la aplicación de las fuerzas F j, los puntos de aplicación Ai de las fuerzas Pi, se han desplazado una cantidad ij, y consecuentemente las fuerzas Pi habrán realizado un trabajo. E ste término no se divide por dos porque es un trabajo realizado por las fuerzas Pi que han permanecido constantes durante la realización del mismo, a diferencia de los otros dos términos en los cuáles el trabajo ha sido realizado durante un proceso de carga del sólido elástico, siendo de aplicación la fórmula deducida en el apartado dedicado a E nergía de Deformación (W=½ P ). Pi (Segundo término de la ecuación 2’). Representa el trabajo del primer sistema de fuerzas Pi, debido a los desplazamientos que se producen en sus puntos de aplicación Ai. F j ji (Tercer término de la ecuación 2’). Representa el trabajo adicional del segundo sistema de fuerzas F j; se origina porque durante la aplicación de las fuerzas Pi, los puntos de aplicación B j de las fuerzas F j, se han desplazado una cantidad ji, y consecuentemente las fuerzas F j habrán realizado un trabajo. E ste término no se divide por dos porque es un trabajo realizado por las fuerzas F j que han permanecido constantes durante la realización del mismo, a diferencia de los otros
Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz
Página 3
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANALISIS ESTRUCTURAL dos términos en los cuáles el trabajo ha sido realizado durante un proceso de carga del sólido elástico.
Fuerzas: representan fuerzas y pares (momentos. Las fuerzas pueden ser concentradas o distribuidas. Desplazamientos: Estos pueden ser desplazamientos lineales (corrimientos) y angulares (giros o rotaciones). Tal y como se señaló al inicio, la Energía de Deformación no depende del orden de aplicación de las cargas, por lo que igualando las expresiones 1’ y 2’ obtenidas en
los dos casos considerados, resulta:
Wi 1 2
Pi
1 i
2
Fj
Pi
j
ij
W j Pi
1 ij
2
Fj
F j
ji
1 j
2
Pi
i
F j
ji
3
Esta expresión se conoce como el Teorema de Betti, señala que: El trabajo de las fuerzas de un sistema (Pi), debido a los desplazamientos que en sus puntos de aplicación le produce otro sistema de cargas ( F j), es igual al trabajo de las fuerzas del segundo sistema (F j) debido a la aplicación del primer sistema de fuerzas (Pi).
Otra forma de enunciar el Teorema de Enrico Betti es el siguiente: En un sólido elástico, el trabajo realizado por un sistema de fuerzas Pi al aplicar un sistema de fuerzas F j es igual al trabajo realizado por el sistema F j al aplicar Pi.
E ste teorema también tiene aplicación en el caso de que no sean fuerzas si no momentos (o incluso fuerzas y momentos) las acciones aplicadas sobre el sólido elástico , en cuyo caso los desplazamientos serán sustituidos por el ángulo de rotación correspondiente.
Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz
Página 4
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANALISIS ESTRUCTURAL TEOREMA DE MAXWELL Este teorema se conoce también con el nombre de Teorema de los Trabajos Recíprocos y es un caso particular del Teorema de Betti. Nuevamente analicemos un cuerpo elástico en equilibrio al que se le aplica una fuerza P en un punto 1 y después esta misma fuerza P es aplicada en un punto 2, como se muestra en las figuras.
A C
A C
2
2
P D
1
B
B
Carga P aplicada en el punto 1
Por el teorema de Betti expresamos: Esto significa que:
D
1
Carga P aplicada en el punto 2
P
12
12
P 21
21
4
Esta expresión se conoce como el Teorema de Maxwell.
Donde: 12:
Representa el desplazamiento en el punto 1 cuando P se aplica en el punto
2. 21:
Representa el desplazamiento en el punto 2 cuando P se aplica en el punto
1. El Teorema señala que:
El desplazamiento de un punto 1 en la dirección AB cuando en el punto 2 actúa una fuerza P en la dirección CD es igual al desplazamiento del punto 2 en la dirección CD cuando en el punto 1 actúa una fuerza P en la dirección AB.
Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz
Página 5
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANALISIS ESTRUCTURAL Ejemplo 1 de aplicación del teorema de Maxwell. 1
2
3
4
P Viga I δ32
1
2
3
4 P Viga II
ϴ13
1
δ23
2
3
4
M
Viga III δ31
Trabajo realizado por la fuerza P aplicada en el punto 2 de la viga 1, debido al desplazamiento que sufre la viga 2 en el punto 2 por la fuerza P aplicada en el punto 3. 1 W2 I P * 23 2
Trabajo realizado por la fuerza P aplicada en el punto 3 de la viga 2, debido al desplazamiento que sufre la viga 1 en el punto 3 por la fuerza P aplicada en el punto 2. 1 W3 II P * 32 2
Trabajo realizado por la fuerza P aplicada en el punto 3 de la viga 2, debido al desplazamiento que sufre la viga 3 en el punto 3 por la fuerza (Momento) aplicado en el punto 1. 1 W3 II P * 31 2 Trabajo realizado por la fuerza (momento) M aplicada en el punto 1 de la viga 3, debido al desplazamiento (rotación) que sufre la viga 2 en el punto 1 por la fuerza P aplicada en el punto 3. 1 W1 III M * 13 2
Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz
Página 6
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANALISIS ESTRUCTURAL Aplicando el teorema de Maxwell a las vigas I y II 1 2
P *
1 23
2
P *
23
32
32
Aplicando el teorema de Maxwell a las vigas II y III y considerando que P=M=1 1 2
P *
1 31
2
M *
13
Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz
31
13
Página 7
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANALISIS ESTRUCTURAL TEOREMAS DE CASTIGLIANO Alberto Castigliano, Ingeniero de Ferrocarriles Italianos, publicó en el año de 1879 un libro original y muy elaborado acerca de las estructuras estáticamente indeterminadas. En él se expusieron los dos principios que hoy en día se conocen por lo general como pri mero y segundo teoremas de Castigliano. Anteriormente los había expuesto en un artículo que vio la luz en 1876. De hecho, el “ teorema del trabajo mínimo” fue presentado como tesis para obtener su título de Ingeniero en Turín, en el año de 1873. El primer teorema proporciona un método importante para el cálculo de deflexiones o deformaciones elásticas. Al aplicarlo se iguala la deflexión en el cuerpo o estructura considerados, a la primera derivada parcial del trabajo interno total de la estructura con respecto a una carga ubicada en el punto donde se desea la deflexión. El segundo teorema, conocido también como método del trabajo mínimo, proporciona un medio muy importante para el análisis de estructuras hiperestáticas. En su aplicación, la primera derivada parcial del trabajo interno con respecto a cada redundante, se igualan a cero.
PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO Nuevamente estudiemos un cuerpo elástico sujeto a la acción de un sistema de fuerzas, Pi, como se muestra en la figura.
Pi
El Trabajo de Deformación es función de las fuerzas, esto se expresa en la forma siguiente.
W
W ( P i )
Esta función se considera diferenciable, es decir:
W
W P i
P i
Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz
a P i
A
Página 8
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANALISIS ESTRUCTURAL Pero a tiende a cero cuando Pi tiende a cero y recíprocamente. Observamos entonces la presencia de dos sistemas de fuerzas, ahora que se aplica primero el sistema Pi y después el sistema de deformación efectuado así por el sistema de fuerzas es:
W(
1 Pi , Pi )
2
Pi
1 i
Pi
2
Pi y Pi . Supongamos Pi al cuerpo. El trabajo
Pi
i
i
Donde
W P i
1 2
P i
i
Esto significa que la variación o incremento del trabajo de deformación
W
W (
P i , P i )
1
W P i
2
P i
W es:
P i
i
i
B
Igualando las ecuaciones A y B obtenemos:
W P i
P i
a P i
Dividiendo ambos miembros entre obtiene finalmente la expresión:
1 2
P i
P i
i
i
Pi y tomando límites cuando Pi tiende a cero, se
W P i
i
Esta ecuación representa el Primer teorema de la energía aplicable a fuerzas concentradas y desplazamientos lineales.
4 elástica o de Castigliano ,
Este teorema indica que: La derivada parcial del Trabajo o Energía de Deformación con respecto a una fuerza aplicada en un cuerpo, es igual al desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza y en la dirección de dicha fuerza. Este primer teorema esta limitado a la aplicación de fuerzas concentradas y desplazamientos lineales. Cuando en lugar de la fuerza concentrada se aplica al cuerpo un momento (o par) en un punto específico y origina el giro correspondiente en la dirección del momento, la ecuación se modifica así:
Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz
Página 9
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANALISIS ESTRUCTURAL
W 5
i
M i
La derivada parcial del Trabajo o Energía de Deformación con respecto a un momento aplicado en un cuerpo, es igual al giro o rotación del punto de aplicación del momento y en la dirección de dicho momento. El teorema entonces expresa que:
Nota: Por regla general, los otros métodos para el cálculo de deflexiones (como el de la viga conjugada o el del trabajo virtual), son más generales y un poco más fáciles de emplear que el primer teorema de Castigliano. Sin embargo, este método es muy útil para ciertas estructuras y, desde el punto de vista didáctico, su estudio sirve de introducción adecuada al análisis del importantísimo segundo teorema. OBSERVACIONES. 1. Considerando todas las contribuciones de las energías de deformación en una barra en el espacio, el primer teorema de Castigliano se escribe así.
1 i
P 2
L
N x2
0
EA
k
V y 2 GA
k
Vz 2
T 2
M y 2
M z 2
GA
GJ m
EI y
EI z
ds
2. Al seguir el procedimiento indicado por la expresión anterior, si el valor de N, V, T y M es simple, se eleva al cuadrado y se integra la expresión, obteniéndose luego la derivada parcial. Sin embargo, si el valor de N, V, T y M fuera complicado, lo cual suele suceder, el proceso sería muy laborioso. Por esta razón, generalmente es más sencillo derivar admisiblemente bajo el signo de integración, con el resultado siguiente:
i
W
L
N x Nx
P
0
EA P
k
V y
Vy
GA P
k*
V z
Vz
GA P
Tx
T x
My My
M z M z
GJm
P
EIy
EIz
P
P
ds
N/ P: Variación de la fuerza axial por unidad de carga en la dirección y sentido de P.
V/ P: Variación de la fuerza cortante por unidad de carga en la dirección y sentido de P.
T/ P: Variación del momento torsor por unidad de carga en la dirección y sentido de P.
M/ P: Variación del momento flector por unidad de carga en la dirección y sentido de P.
Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz
Página 10
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANALISIS ESTRUCTURAL 3. Para determinar la deflexión en un punto de una viga o marco, es practica común despreciar la contribución de la deformación por fuerza normal y por cortante, simplificándose la expresión del primer teorema a: L i
Pi
0
M 2 2 EI
L
dx
i
0
M
M
dx
Pi
EI
4. Para el análisis de armaduras es aconsejable un procedimiento similar, y resulta así:
N 2 L i
P i
2 EA
i
N
N
L
Pi EA
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS DE ARMADURAS
Coloque una fuerza P sobre la armadura en el nudo donde debe determinarse el desplazamiento. Se supone que esta fuerza tiene una magnitud variable y debe estar dirigida a lo largo de la línea de acción del desplazamiento. Determine la fuerza N en cada miembro causado por las cargas reales y por la fuerza variable P. Suponga positivas las fuerzas de tensión y negativas las de compresión. Calcule también la derivada parcial respectiva ∂N/∂P para cada miembro. Después de que N y ∂N/∂P hayan sido determinados, asigne a P su valor numérico si ésta ha sido reemplazado por una fuerza real sobre la armadura. De otra manera haga P igual a cero. Aplique la ecuación ( ∂W/∂P=δ) para determinar el desplazamiento buscado δ. Es importante conservar los signos algebraicos de los valores correspondientes de N y ∂N/∂P al sustituir estos términos en la ecuación. Si la suma resultante es positiva, δ tiene el mismo sentido que P. Si la suma resulta negativa δ tiene sentido opuesto al de P.
5. El procedimiento de aplicación del primer teorema de Castigliano consiste en primer lugar en designar como P (o bien por M) la carga (o acción dinámica general) en el punto donde se desea evaluar la deflexión. Después de efectuar las operaciones necesarias, el valor numérico de P se sustituye en la expresión. Si no hubiera carga en el punto o en la dirección en que se desea determinar la deflexión, se aplica ahí una fuerza imaginaria P, en la dirección requerida. Una vez realizada la operación, se sustituirá en la fórmula el valor correcto de P (que es cero). 6. Si se desea evaluar un giro (inclinación o pendiente de la elástica) en una estructura, se toma la derivada parcial con respecto a un momento o par imaginario, que puede designarse por M, que actúe en el punto donde se desea
Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz
Página 11
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANALISIS ESTRUCTURAL el giro. Un signo positivo en la respuesta indicará que el giro o inclinación es en el sentido supuesto para el momento aplicado M.
Como estudiamos en los primeros temas de esta unidad, las ecuaciones 4 y 5 corresponden al caso particular representado por el diagrama (aquí repetido),
P
W WcC P
W
δ
δ
Esto significa que la energía de deformación W es una expresión cuadrática en los desplazamientos, como lo indica la ecuación
W
AE
AE
d
L
L
2
2
Ahora si la ecuación W
1
P
2
se expresa sólo en función de P, sustituyendo en ella la ecuación PL AE
y se deriva con respecto a P, se obtienen la formula Castigliano.
4, primer Teorema de
SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO El segundo teorema de la energía elástica o de Castigliano, también conocido como método del trabajo mínimo, ha desempeñado un papel importante en el desarrollo del análisis estructural a través de los años, y en la actualidad se emplea con frecuencia. Esta íntimamente relacionado con el método de Maxwell-Mohr (llamado también de las deformaciones compatibles), y es muy eficaz en el análisis de estructuras hiperestáticas, particularmente armaduras y estructuras de tipo compuesto. Se define aquí a las estructuras compuestas como aquellas que tiene elementos sujetos únicamente a fuerza axial y otros en que existen tanto estas fuerzas como momentos flexionantes. Aunque también es aplicable a vigas y marcos, existen otros métodos generalmente más
Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz
Página 12
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANALISIS ESTRUCTURAL satisfactorios. El método del trabajo Mínimo tiene la desventaja de que en su forma usual no es aplicable a las fuerzas originadas por desplazamientos de nudos debidos a cambios de temperatura, asentamientos de apoyos y errores de fabricación. En el tema anterior se demostró que la derivada parcial del trabajo interno total (energía elástica), con respecto a la carga P (real o imaginaria) aplicada en un punto de una estructura, es igual a la deflexión en la dirección de P. Para este análisis se considerará la viga continua de la figura siguiente y la reacción vertical en el apoyo B, o sea, R B.
B
A
C
R B
R A
R C
Si en esta viga se toma la primera derivada parcial del trabajo con respecto a la reacción R B, se obtendrá la deflexión en B, la cual sin emba rgo, vale cero.
W P i
0
6
Esta es la expresión matemática del segundo teorema de Castigliano. Tal tipo de ecuaciones se puede formular para cada punto de restricción en una estructura estáticamente indeterminada. Una estructura se deformará de acuerdo con sus limitaciones físicas inherentes, o bien, de modo que sea mínimo el trabajo interno de deformación. Todas las columnas y trabes de un edificio que lleguen al mismo nudo, se deformarán en el mismo grado, o sea, al valor más pequeño posible. Despreciando el efecto de los otros extremos de esos elementos estructurales se puede ver que cada uno de ellos sólo efectúa el trabajo necesario, y el trabajo total realizado por todos los elementos que se reúnen en el nudo es el mínimo posible.
De la explicación anterior puede establecerse el Teorema del Trabajo Mínimo como sigue: El trabajo interno realizado en cada elemento o en cada parte de una estructura estáticamente indeterminada, sujeta a un conjunto de cargas externas, es el mínimo posible que se necesita para mantener el equilibrio al resistir la acción de las cargas.
Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz
Página 13
