INTRODUCCION
En este capitulo aplicaremos aplicaremos los metodos energeticos basados en la ley de fexibilidad de las estructuras al analisis de armaduras,vigas y marcos estaticamente indeterminados. El dise diseño ño de Estr Estruc uctu tura ras s impli implica ca un pro proun undo do cono conoci cimi mien ento to del del comportamiento de las mismas, lo cual hace imprescindible el estudio de las cargas permanentes y accidentales, los materiales a utilizar ya que que sus sus prop propie ieda dad des hacen acen a las con condic dicion iones de diseñ iseño, o, las las necesidades para el uncionamiento que se le ponen al proyectista y, entre entre otras otras cosas cosas el Anális Análisis is de la Estruc Estructur tura, a, entend entendin indos dose e por Análisis el cálculo de solicitaciones !"eacciones, #omentos fectores y torsores, Esuerzos normales y de corte$ y de deormaciones. El Análisis de Estructuras es el principal ob%etivo del cap&tulo, con la salvedad de que si s'lo uera hallar los valores numricos de solicitaciones y deormaciones, no tendr&amos más que explicar el uso de alguno alguno de los mtodos mtodos para el (álculo (álculo de Estructuras Estructuras que que se presentan en las dierentes bibliogra&as.
TEOREMA DE MAXWELL Y LA LEY DE BETTI
1. TEOREMA DE MAXWELL SOBRE LOS TEOREMAS RECIPROCOS Y LA LEY DE BETTI )upongamos que las cargas aplicadas al s'lido crecen, progresivamente, desde cero hasta su valor *nal de una manera continua. En ese caso, el traba%o + realizado por todas las cargas que actan sobre el s'lido quedar&a almacenado como energ&a elástica de deormaci'n - en el s'lido y, por tanto - /+ El traba%o realizado por las cargas exteriores aplicadas a un s'lido es la mitad de la suma del producto de dichas cargas por los desplazamientos de sus puntos de aplicaci'n !en las direcciones de las mismas, por supuesto$.
FÓRMULAS DE CLAPEYRON:
TEOREMA DE MAXWELL DE LAS DEFLEXIONES RECÍPROCAS: #ax0ell ormul' su teorema de las defexiones rec&procas en 1234, pero por no demostrarle aplicaci'n práctica s'lo vino a ser apreciado en 1223, cuando #uller5 6reslau present' su versi'n del mtodo #ax0ell5 #ohr.
7eormaciones debido a dos tipos de cargas (onsiderando el p'rtico de la *gura, al aplicarle la uerza horizontal en A la estructura se deorma de la manera indicada en !a$, donde se han utilizado coe*cientes de infuencia de*nidos as& δi% / desplazamiento en i, en la direcci'n de la carga aplicada en i, producido por una carga unitaria aplicada en %8 9 el principio de superposici'n. )imilarmente, si se aplica una carga vertical :6 en 6, se obtiene la deormada de !b$. )i ambas cargas se aplican gradual y simultáneamente, el traba%o total externo producido por ellas será 1
1
2
2
w = P A ( P A ❑ AA + P B ❑ AB ) + P B ( P A ❑BA + PB ❑ BB )
)i s'lo se aplica :A, se eectuará un traba%o 1
W I = P A ( P A ❑ AA ) 2
9 si despus de que :A alcance su valor *nal se aplicará gradualmente :6, habrá un traba%o adicional 1
W II = P A ( P B ❑ AB ) + P B ( PB ❑ BB ) 2
:ero por el principio de superposici'n el traba%o realizado es independiente de la secuencia. 7e ah& que W = W I + W II
9 reemplazando los valores respectivos dados arriba resulta 1 2
1
P B P A (❑BA )= P A PB (❑ AB ) 2
❑BA=❑ AB 9 generalizando
❑ij =❑ ji
(omo i y % son dos puntos cualesquiera, es teorema de #ax0ell de las defexiones rec&procas se puede enunciar como sigue (ualquier componente lineal de defexi'n de un punto i que resulte de la aplicaci'n de una uerza unitaria en cualquier otro punto %, es igual en magnitud a la componente lineal de la defexi'n de % !en la direcci'n de la uerza aplicada inicialmente en %$, que resulta de la
aplicaci'n de una uerza unitaria en i en la misma direcci'n de la componente original de la defexi'n en i.
TEOREMA RECÍPROCO DE MAXWELL Y BETTI
7os sistemas de carga y sus componentes correspondientes de defexi'n :or consiguiente las, componentes de defexi'n que resultan al aplicar el sistema !;$ de cargas son
❑ A = P A ´ AA + M B ´ AB + PC ´ AC ❑B= P A ❑BA + M B ´ BB+ PC ❑BC ❑C = P A ❑CA + M B ´ CB + PC ❑CC En donde de nuevo las primas indican giros producidos por uerzas de defexiones debidas a momentos.
❑❑ ❑❑
❑❑
¿❑❑ +❑❑
+❑❑
❑❑ ❑❑
❑❑
❑❑
¿❑❑ +❑❑
+❑❑
❑❑
❑❑
¿❑❑
❑❑
+❑❑
❑❑
+❑❑
❑❑
Aplicando ahora arbitrariamente las componentes correspondientes de defexi'n del sistema !;;$, como desplazamientos virtuales del sistema !;$, resulta un traba%o
+ PC ( M A ´ CA + PB CB + PC CC ) ……. (1)
=aciendo ahora lo contrario, es decir, utilizando las componentes correspondientes de defexi'n del sistema !;$ como desplazamientos virtuales del sistema !;;$, el traba%o virtual eectuado es
❑❑
❑❑ ()
❑❑
() ❑❑
() >>.
!?$
)i se aplica el teorema de #ax0ell de las defexiones rec&procas a los trminos que tienen igual nmero en las ecuaciones !1$ y !?$, se observa que dichas ecuaciones resultan iguales, producindose, en consecuencia, enunciar el principio de #ax0ell y 6etti como sigue 7ada cualquier estructura estable con una relaci'n lineal carga5 deormaci'n, en la cual se han escogido puntos arbitrarios en donde se consideran aplicadas uerzas o momentos en cualquiera de dos sistemas de cargas dierentes, el traba%o virtual hecho por las uerzas y momentos del primer sistema, al recorrer las defexiones correspondientes causadas por el segundo sistema, es igual al traba%o virtual hecho por las uerzas y momentos del segundo sistema al recorrer las defexiones correspondientes causadas por el primer sistema.
NOTACION: :m, :n )istemas independiente sobre la
de
uerzas
que actan estructura
separada
e
δmn 7esplazamiento del punto de aplicaci'n de una de las uerzas :m !en la direcci'n y sentido de sta uerza$ causada por la aplicaci'n del sistema de uerzas :n. 7esplazamiento del punto de aplicaci'n de una de δnm las uerzas :n causada por la aplicaci'n del sistema de uerzas :m. δab 7esplazamiento del punto a en la direcci'n α debido a una carga :1 actuando en el punto b en la direcci'n β. δba 7esplazamiento del punto b en la direcci'n β debido a una carga :1 actuando en el punto a en la direcci'n α.
En cualquier estructura de material elástico, con apoyos indeormables y ba%o temperatura constante, el traba%o virtual externo de las uerzas del sistema :m asociadas a los desplazamientos causados por el sistema de uerzas :n es igual al traba%o virtual externo de las uerzas del sistema :n asociados a los desplazamientos causados por el sistema :m
Pm ❑mn= Pn ❑nm
TEOREMA DE BETTI (Ley de reciprocidd!: 7e la relaci'n del @raba%o con unciones cuadráticas de las uerzas y deormaciones, rati*camos lo ya señalado en el temas anteriores de que no es aplicable el :rincipio de )uperposici'n y por lo tanto el traba%o de deormaci'n de varias uerzas no es igual a la suma de los traba%os de cada una de ellas por separado. )upongamos que sobre un cuerpo acta un sistema de uerzas : que produce deormaciones y una energ&a de deormaci'n - igual a un traba%o @e, y dicho sistema de cargas : esta ormado por la suma de dos estados de carga que llamaremos :B y :BB. : / :B C :BB )i B es el con%unto de desplazamientos correspondientes a la carga :B y BB es el correspondiente a las cargas :BB se cumplirá / B C BB. cualquiera sea el orden en que se aplican las uerzas.
:8 producen @e / - y veamos de aplicar las cargas : de dos ormas distintas
a$ :rimero :B y luego :BB - /-BB C-BB BB C -B BB !a$ 7onde -i, % representa el valor de la energ&a o traba%o externo de las cargas :i a lo largo de los desplazamientos debido a las cargas :% !i y % con valores B y BB$. b$ :rimero :BB y luego :B - /-BB BB C-B B C -BB B !b$ (omo los dos estados *nales son iguales, tambin lo serán los @raba%os *nales y de igualar las expresiones de a$ y b$ obtendremos -B BB / -BB B D sus iguales @eB BB /@eBB B
E"pre#i$% de& Teore' de BETTI: “El trabajo de un estado de cargas en equilibrio PΙ a lo largo de los desplazamientos producidos por otro estado de cargas en equilibrio PΙΙ es igual al trabajo de las cargas PΙΙ a lo largo de los desplazamientos producidos por PΙ.” A estos traba%os se los denomina rec&procos o indirectos.
EERCICIO DE APPLICACI)N: En la estructura de la *gura 1, se aplican separadamente -na carga :/1 ton en 6 -n momento #/ 4ton5m en ( )e pide determinar a) δcb b) δbc c) δcb / δbc
SOLUCIÓN: Según la figura (a):
MC = 0 − RA 2 r +1 r − m= 0 1 m RA= − 2 2r Tramo AB: 0 ≤ x ≤ r ds =
(
M =
1 2
−
M − x = m 2r
)
m x −1 ( y )= 2r
(
1 2
−
)
m x − x 2r
2
√ 2
dx x = y
2
M x M = m 4r
Tramo CB:
0 ≤≤
π 2
ds =rd
(
M =−
M =
1 2
−1 2
−
)
m ( r −rcos )− m 2r
r ( 1 − cos) +
m 2
( 1−cos )−m
M 1−cos = −1 2 m M
M −r = ( 1 −cos ) m 2
(
1
− cos 2
)
−1 =
−r 4
r
2
( 1 −cos ) + ( 1−cos ) 2
Aplicano el primer !eorema e Ca"!igliano: M ds m EI
¿∫ M r
∫
cb =
0
x
2
¿2
rd ∫ ( −4r ( 1−cos ) + 2r ( 1 −cos) ) EI
dx + 4 r √ 2 EI 2
2
0
¿ ¿ cos
−r 4
(¿ 1 + ( ¿¿ 2 )− 2cos −2 +2 cos ) rd
EI
π 2
+∫ ¿ 0
1
x
3
2 √ 2 r 3 EI
r
∫¿ 0
cos
¿ ( ¿¿ 2− 1 ) d ¿ sen
¿ ¿ ¿ ¿
π
r
2
2
r − 6 √ 2 EI 4 EI 2
2
( )
2
(
r
2
r + 6 √ 2 EI 4 EI 2
r cb = 4 EI
(
2 3 √ 2
)
+ ❑ = 0.3142 r 4
4
1 2
2
EI
− RA ( 2 r ) + Q ( r )− 4 =0 2
−
2
r
Tramo AB: 2
ds =
√ 2
(
M =
Q 2
0≤x≤r
dx x = y 2
)
(
− x −Q ( y )= r
Q 2
2
)
− x −Qx r
2
4 EI 3 √ 2
+❑)
1
)
2
− sen 2 ∫ ¿
MC =0
Q
0
π
Segú la figura (b):
RA=
2
∫¿
❑ = r (
r ¿ +¿ 4 EI 6 √ 2 EI
r
2
4
0
4
M − x = Q 2 2
M x M = m r
Tramo CB:
0 ≤≤
π 2
ds =rd
(
M =−
M =
Q 2
−Q 2
−
2
r
)( − r
rcos ) −4
r ( 1 −cos ) + 2 ( 1−cos )− 4
M −r ( 1−cos ) = 2 m M
M
−r ( 1− cos )
m
2
= ( 2 (1 −cos )−4 ) (
2
)=−r ( 1−cos ) + 2 r (1− cos )
Aplicano el primer !eorema e Ca"!igliano:
¿∫ M r
∫
bc =
0
2
x 2 dx + r √ 2 EI
M ds m EI
¿2
rd ∫ (−r ( 1−cos ) +2 r ( 1−cos )) EI 2
0
¿ ¿ cos
r (¿−1− ( ¿¿ 2 ) + 2 cos + 2−2 cos ) π 2
+∫ ¿ 0 3
x √ 2 r 3 EI 2
r
∫¿ 0
rd EI
cos
−¿ ( ¿¿ 2 ) d ¿ 1
sen
¿ ¿ ¿ ¿
π
2r
2
2
+r 3 √ 2 EI EI 2r
2
2
r ¿ +¿ EI 3 √ 2 EI 2r
2
2
bc =
r
2
(
∫¿ 0
2
❑ = r (
( )
r + 3 √ 2 EI EI
2
EI
4
2 3 √ 2
+ ❑) 4
π
(
1 2
2
1
− sen 2
2
EI 3 √ 2
4
)∫ ¿ 0
)
+ ❑ =1.2568 4
r
2
EI
#elacionano ambo" e"pla$amien!o": 2
( (
r 4 EI
cb = 2 bc r EI
2
)= +❑)
3 √ 2 2
3 √ 2
+❑ 4
1 4
4
SEGÚN EL TEOREMA DE MAXWELL Y BETTI :
[Fuerza !e" #$e%a (a)&[De'r%a#*e !e" #$e%a ()& , [Fuerza !e" #$e%a ()&[De'r%a#*e !e" #$e%a (a)&
( 1)( bc )=(4 )( cb ) cb 1 = bc 4
CONCLUSIONES
El teorema que se ha demostrado para una carga real unitaria,pero si es valido para esta carga tiene que serlo para cualquiera.
El teorema de #ax0ell
simpli*ca notablemente el calculo de deormaciones en los metodos de analisis estructuras hiperestaticas como se vera en los capitulos posteriores del curso.
Ademas es un enunciado importante el uso de la energia de la deormacion en relacion al traba%o ocasiona en ella.
%l !eorema e &a'ell Be!!i e" aplicao para o" o m*" "i"!ema" en la" cuale" a "on conocio" lo" e"pla$amien!o"+
BIBLIO*RA+IA
@imosheno, )., Resistencia de materiales. Teoría elemental y problemas, Espasa5(alpe, 1FGH, Analisis estructural ".( =;66E
