Informe Teorema Maxwell Betti

INFORME TEOREMA MAXWELL BETTI

En 1872, E. Betti publico una forma generalizada del teorema reciproco. En las  figuras presentadas se presenta una misma estructura en dos sistemas de cargas diferentes. En las deformadas correspondientes se ha señalado las componentes de deflexión paralelas a la dirección de las fuerzas del otro sistema, y para facilitar la notación se les ha asignado una barra a los términos del sistema dos. Las componentes de deflexión causada por un sistema, paralela a las cargas del otro sistema, se dice que son componentes correspondientes de deflexión. Si se conviene en considerar aquí únicamente este tipo de componentes, se puede simplificar la nomenclatura utilizada en el teorema de MAXWELL.

SISTEMA I: CARGA S DE COMPONENTESCORRESPONDIENTES COMPONENTESCORRESPONDIENTES DE DEFLEXION

SISTEMA II: CA RGAS DE COMPONENTESCORRESPONDIENTES DE DEFLEXION

Por consiguiente las, componentes de deflexión que resultan al aplicar el sistema (I) de cargas son: U 

   E     E      E   ´   

´   

(

   H    H 

(

   H    H 

´   



  H 



   H 

´   

´   

En donde de nuevo las primas indican giros producidos por fuerzas de deflexiones debidas a momentos. Las componentes de deflexión causadas por el sistema (II) son:

Aplicando ahora arbitrariamente las componentes correspondientes de deflexión del sistema (II), como desplazamientos virtuales del sistema (I), resulta un trabajo:

Haciendo ahora lo contrario, es decir, utilizando las componentes correspondientes de deflexión del sistema (I) como desplazamientos virtuales del sistema (II), el trabajo virtual efectuado es:

Si se aplica el teorema de Maxwell de las deflexiones recíprocas a los términos que tienen igual número en las ecuaciones (1) y (2), se observa que dichas ecuaciones resultan iguales, produciéndose, en consecuencia, enunciar el principio de Maxwell y Betti como sigue: Dada cualquier estructura estable con una relación lineal carga- deformación,

en la cual

se han escogido puntos arbitrarios en donde se consideran aplicadas fuerzas o momentos en cualquiera de dos sistemas de cargas diferentes, el trabajo virtual hecho por las fuerzas y momentos del primer sistema, al recorrer las deflexiones correspondientes causadas por el segundo sistema, es igual al trabajo virtual hecho por las fuerzas y momentos del segundo sistema al

recorrer las deflexiones correspondientes causadas por el primer sistema.