tEOREMA DE MAXWELL Y BETTI (ULTIMO)

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||

|
|
| |
|

 ||||

| | | | | | | | | | |
 
| | | | | i

 
   



  





  


  

  

  

 
  
   
i


i  
  

  
   

    




 

 

    

 


 
   

  

  

 

 
 
 



  




 

    
 


 

 

  
 


  


i  
   

  

  

  
 
  
  

  
i  
  


 !


  

i
  

i  


  
"

# 


 

 

$ 
  




  
 

  

  

  # 

 
 



  




 

%  

i  
 

  


  
  #

| | | | | | | | | | | | | | | | | |

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||||
|   ||

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||

|
|
| |
|

 ||||

Y
        YY  | å |
|| 

| | |
|  || | || 

|


&   
 

 
 

$ 
  
    

 


 
 


  
  
i



 "
'
 



 
 
(
 

$ 
  #


 
 
  #
 

 $
)


$ 


 *
)
+'
i
 "
 


 
  
 


$ 







 

  


 


   

 
 

 $


  


 

  !


| | |    ||  
|| |

| | | Y
 | | | | |  
| 
 | | ,


 $

  


  
# 

-./0
 


   
 $
 
$ 
 


 

-../
  


 1
2  
  $

 $


,

1
 


|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||||
|   ||

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||

|
|
| |
|

 ||||


3  





 *
%   

$ 


 

  

  
  



  

 


  
 

!
 


 
 

   
 
#*

V"
+

   




 $


 
 


  


 
 
 

"4
5

  

  $ 
&    


 

 
 
62

2

 

 

!
&
 
 

 
  

    

 "

 
  




 *
૚ ૚ ࢝ ൌ ࡼ࡭ ሺࡼ࡭ V࡭࡭ ൅ ࡼ࡮ V࡭࡮ ሻ ൅ ࡼ࡮ ሺࡼ࡭ V࡮࡭ ൅ࡼ࡮ V࡮࡮ ሻ| ૛ ૛ &
$ 

 
6

  

 "*
૚ > ൌ ࡼ࡭ ሺࡼ࡭ V࡭࡭ ሻ
૛ 5

 

 
6
  

 
 

  
  

 
62
 

 "
  *
૚ > ൌ ࡼ࡭ ሺࡼ࡮ V࡭࡮ ሻ ൅ ࡼ࡮ሺࡼ࡮ V࡮࡮ ሻ
૛ 6 


  

  $

 "
 

   




  
3
#
 *
>ൌ> ൅>
5
   

  


 
 *
૚ ૚ ࡼ࡮ ࡼ࡭ ሺV࡮࡭ ሻ ൌ ࡼ࡭ ࡼ࡮ ሺV࡭࡮ ሻ
૛ ૛ V࡮࡭ ൌ V࡭࡮
5
    *
Vl ൌ V l
% 


"


 
    

  

,




  
# 

 
 
 
 *
%   
   
 

 $


 

 
 


 $


  
 

   
 
 
"

 

  


   
 


 $

"


 $


  
 


|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||||
|   ||

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||

|
|
| |
|

 ||||

 

 

"!
 
 


 $


  
 




 
 $


   
  


 $




|  || 

|| 

|



3
 

 

 
   
   

 $
6
   

   

 $
 
 

 

 
7!

 
 *
@࡭ ൌ ࡼ࡭ Ʋ࡭࡭ ൅ ࡹ࡮ Ʋ࡭࡮ ൅ ࡼ࡯ Ʋ࡭࡯
è࡮ ൌ ࡼ࡭ V࡮࡭ ൅ ࡹ࡮ VƲ࡮࡮ ൅ ࡼ࡯V࡮࡯
è࡯ ൌ ࡼ࡭ V࡯࡭ ൅ ࡹ࡮ VƲ࡯࡮ ൅ ࡼ࡯ V࡯࡯
i
 



  
 
 
  

  

  


  
8
   

 $
 


 
77!

*

è࡭ ൌ ࡹ࡭ VƲ࡭࡭ ൅ ࡼ࡮ VƲ࡭࡮ ൅ ࡼ࡯ VƲ࡭࡯

@࡮ ൌ ࡹ࡭ Ʋ࡮࡭ ൅ ࡼ࡮ Ʋ࡮࡮ ൅ ࡼ࡯ Ʋ࡮࡯

è࡯ ൌ ࡹ࡭ VƲ࡯࡭ ൅ ࡼ࡮ VƲ࡯࡮ ൅ ࡼ࡯ VƲ࡯࡯


  
 
     

   
   

 $

 
77!
 
   
   

 
7!
 

 "*



|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||||
|   ||

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||

|
|
| |
|

 ||||

>૚ ൌ ࡼ ࡭ ሺࡹ࡭ VƲ࡭࡭ ൅ ࡼ࡮ V࡭࡮ ൅ ࡼ࡯ V࡭࡯ ሻ ൅ ࡹ࡮ ሺࡹ࡭ ࡮࡭ ൅ ࡼ࡮ Ʋ࡮࡮ ൅ ࡼ࡯ Ʋ࡮࡯ ሻ| ࡼ࡯ ሺࡹ࡭ VƲ࡯࡭ ൅ ࡼ࡮ V࡯࡮ ൅ ࡼ ࡯V࡯࡯ ሻ| | > ૚ ൌ ࡼ࡭ ࡹ࡭ VƲ࡭࡭ ൅ ࡼ࡭ ࡼ࡮V࡭࡮ ൅ ࡼ࡭ ࡼ࡯V࡭࡯ ൅ ࡹ࡮ ࡹ࡭ ࡮࡭ ൅ ࡹ࡮ ࡼ࡮ Ʋ࡮࡮ ൅ ࡹ࡮ ࡼ࡯ Ʋ࡮࡯ ൅ ࡼ࡯ ࡹ࡭ VƲ࡯࡭ ൅ ࡼ࡯ࡼ࡮ V࡯࡮ ൅ ࡼ࡯ ࡼ࡯ V࡯࡯ |||||||||


9 
 

   

 
  

   
   

 $

 
7!
 
   
   

 
77!

 "
  
 
*

> ൌ ࡹ࡭ ሺࡼ࡭ Ʋ࡭࡭ ൅ ࡹ࡮ ࡭࡮ ൅ ࡼ࡯ Ʋ࡭࡯ ሻ ൅ ࡼ࡮ ሺࡼ࡭ V࡮࡭ ൅ ࡹ࡮ VƲ࡮࡮ ൅ ࡼ࡯ V࡮࡯ ሻ ൅ ࡼ࡯ ሺࡼ࡭ V࡯࡭ ൅ ࡹ࡮ VƲ࡯࡮ ൅ ࡼ࡯ V࡯࡯ ሻ ൌ

> ൌ ࡹ࡭ ࡼ࡭ Ʋ࡭࡭ ൅ ࡹ࡭ ࡹ࡮ ࡭࡮ ൅ ࡹ࡭ ࡼ࡯ Ʋ࡭࡯ ൅ ࡼ࡮ ࡼ࡭ V࡮࡭ ൅ ࡼ࡮ ࡹ࡮ VƲ࡮࡮ ൅ ࡼ࡮ ࡼ࡯ V࡮࡯ ൅ ࡼ࡯ ࡼ࡭V࡯࡭ ൅ ࡼ࡯ ࡹ࡮ VƲ࡯࡮ ൅ ࡼ࡯ࡼ࡯ V࡯࡯ 






:!


&

 

  

,




  
# 


  
 
 
 
(  


  
-!

:!

 
 

  
 
  
   

   
 

  

,



2
 
 *


3
   
  
 


 $
 
 1
 $ 



 



 
   

 

  
 
  

  

    


 

 
  

 "
  



  

  

  
 

 

  
   
 


 
 

 

 "
  



  

  

 
 


 



  
   
 


  
 

|
 |
6 
6 *
& 

  
 
(
 

   
 






  
V *

3   

 

 $




  
6




 $

 


  !
 


 $

 



  
6 
V *

3   

 

 $




  
6


 


 $

 

  
6 
V*

3   

 



 $




 
6-



  


 



 $


V*

3   

 



 $





 
6-



  


 



 $


i
   
  

 
 


   

"
   
  

 "
  
 


  

 
6



   
 


 

  
6

 



|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||||
|   ||

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||

|
|
| |
|

 ||||

 "
  
 


  

 
6



   
 


 
6 *



;ࡼ࢓ V࢓࢔ ൌ ;ࡼ࢔ V࢔࢓ |







|| 

| ||||
3

 $

; "

  
  


  

  
 


 


 
   

 


  

6  

&  $



 

 "

 $

 
  


 


 


 "








 

&   
 
 

  
(

 

  
6
 
  
  
<


  #

 $
)
 


 "
;


 

 
6

 


 




 
 


   
6=

6==
6
+
6=
>
6==
&
<=


 " 

   
   


 
6=

<==


   


 
6==

   *
<
+
<=
>
<==

    


 

 

 

  

64
<
  
;
+
)

 

 

 
6


 
 *



!
6   
6=


6==*

)
+)==
>)==
==
>
)=
==
!

3 
)
"
  

 


  #

 "
 


 
6


 


   



 
6"


"

  
=

==!




|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||||
|   ||

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||

|
|
| |
|

 ||||

!
6   
6==


6=*


)
+)==
==
>)=
=
>
)==
=
!

% 



  

  
 

 

; "
  


  

  

!

!
   *

)=
==
+
)==
=
?
 
  *

;=
==
+;==
=

 !"|#|
$|| 

|
Å
    

      
  

 
 


        

      
 

 
 
  
  

 
 


     


 "


   
# 

  


%  ||   &|
i

  


 
-

 
   *
) 
 
6+-


2
)
  
+
0 1

%
&

   *
„ | V
|  | V
|
| V
||V
|

  |  |„|„|„ |

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||||
|   ||

|

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||

|
|
| |
|

 ||||

| ;! ൌ Ͳ| െܴ‫ܣ‬ሺʹ‫ݎ‬ሻ ൅ ͳሺ‫ݎ‬ሻ െ ݉ ൌ Ͳ| ૚ ࢓ ࡾ࡭ ൌ െ | ૛ ૛࢘

࢞ àࡹ ൌെ | ૛࢘ à࢓ | àࡹ ࢞ ૛ ࡹ ൌ | à࢓ ૝࢘ | | |

Y„| ||Ͳ ൑ ‫ ݔ‬൑ ‫|ݎ‬ | ૛ ࢊ࢞࢞ ൌ ࢟| ࢊ࢙ ൌ ξ૛ | ૚ ࢓ ࡹ ൌ ൬ െ ൰ ࢞ െ ૚ሺ࢟ሻ ૛ ૛࢘ ૚ ࢓ ൌ  ൬ െ ൰ ࢞ െ ࢞| ૛ ૛࢘

గ

Y„| ||Ͳ ൑ @ ൑ | ଶ

|

|

ࢊ࢙ ൌ ࢘ࢊ@|

૚ ࢓ ࡹ ൌ െ ൬ െ ൰ ሺ࢘ െ ࢘ࢉ࢕࢙@ሻ െ ࢓| ૛ ૛࢘ | ૚ ࢓ ࡹ ൌ െ ࢘ሺ૚ െ ࢉ࢕࢙@ሻ ൅ ሺ૚ െ ࢉ࢕࢙@ሻ െ ࢓| ૛ ૛ | | àࡹ ૚ െ ࢉ࢕࢙@ ൌ െ ૚| à࢓ ૛ |

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||||
|   ||

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||

|
|
| |
|

 ||||

ࡹ

૚ െ ࢉ࢕࢙@ àࡹ ࢘ ࢘ ࢘ ൌ െ ሺ૚ െ ࢉ࢕࢙@ሻ ൬ െ ૚൰ ൌ െ ሺ૚ െ ࢉ࢕࢙@ሻ૛ ൅ ሺ૚ െ ࢉ࢕࢙@ሻ| ૛ à࢓ ૛ ૝ ૛

| 
„| | |  „| |„„ | | àࡹ ࢊ࢙ | V ൌ ;නࡹ à࢓ ࡱ ࢘ ૛ 
૛ ࢘ ࢘ࢊ@ ࢘ ࢞ ૛ ࢊ࢞ ൅ න ሺെ ሺ૚ െ ࢉ࢕࢙@ሻ ૛ ൅ ሺ૚ െ ࢉ࢕࢙@ሻ ሻ | Vࢉ࢈ ൌ න ૛ ࡱ ૝ ૙ ૝࢘ ξ૛ ࡱ ૙ | | ࣊

૛ ࢘ ࢘ࢊ@ ࢞૜ ࢘ න ൅ න െ ሺ ૚ ൅ ൫ࢉ࢕࢙@ሻ૛ ൯ െ ૛ࢉ࢕࢙@ െ ૛ ൅ ૛ࢉ࢕࢙@ሻ | ૝ ࡱ ૛ξ૛࢘ ૜ࡱ ૙ ૙ |

૚

࣊

࢘૛

࣊

࢘૛ ૛ ࢘૛ ࢘૛ ૛ න ሺ൫ࢉ࢕࢙@ሻ૛ െ ૚൯ࢊ@ ൌ න ሺ࢙ࢋ࢔@ሻ૛ ࢊ@| െ ൅ ૝ࡱ ૙ ૝ࡱ ૙ ૟ξ૛ࡱ ૟ξ૛ࡱ | ࣊

૛ ࢘૛  ࢘૛ ࢘૛ ૚ ૚ ࢘૛ ૛   ቁൌ ൅ ൬ @ െ ࢙ࢋ࢔૛@൰ න ൌ  ൅ ሺ ൅ ሻ| ૝ࡱ ૝ ૝ࡱ ૜ξ૛ ૝ ૝ࡱ ૛ ૝ ૟ξ૛ࡱ ૟ξ૛ࡱ ૙ | | ࢘૛ ૛  ࢘૛ ¢Vࢉ࢈ ൌ ൬ ൅ ൰ ൌ ૙Ǥ ૜૚૝૛ | ૝ࡱ ૜ξ૛ ૝ ࡱ |  |„|„| | |

࢘૛

|

;! ൌ Ͳ| െܴ‫ܣ‬ሺʹ‫ݎ‬ሻ ൅ ܳ ሺ‫ݎ‬ሻ െ Ͷ ൌ Ͳ| ࡾ࡭ ൌ

Y„| ||Ͳ ൑ ‫ ݔ‬൑ ‫|ݎ‬ |

ࡽ ૛ െ | ૛ ࢘

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||||
|   ||

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||

|
|
| |
|

 ||||

ࢊ࢙ ൌ |

ࡽ

૛

ࡽ

૛

ξ૛

ࢊ࢞࢞ ൌ ࢟|

૛

ࡹ ൌ  െ ቁ ࢞ െ ࡽሺ࢟ ሻ ൌ   െ ቁ ࢞ െ ࡽ࢞| ૛

࢘

૛

࢞ à ࡹ ൌെ | ૛ àࡽ | àࡹ ࢞ ૛ ࡹ ൌ | à࢓ ࢘ | | | | గ Y„| ||Ͳ ൑ @ ൑ |

࢘

ଶ

|

ࢊ࢙ ൌ ࢘ࢊ@|

| ࡹ ൌ െ൬ | ࡹൌെ

ࡽ ૛ െ ൰ ሺ࢘ െ ࢘ࢉ࢕࢙@ ሻ െ ૝| ૛ ࢘

ࡽ ࢘ሺ૚ െ ࢉ࢕࢙@ሻ ൅ ૛ሺ૚ െ ࢉ࢕࢙@ሻ െ ૝| ૛

| | ࢘ሺ૚ െ ࢉ࢕࢙@ሻ àࡹ ൌെ | ૛ à࢓ | àࡹ ࢘ሺ૚ െ ࢉ࢕࢙@ሻ ൌ ሺ૛ ሺ૚ െ ࢉ࢕࢙@ሻ െ ૝ ሻሺെ ሻ ൌ െ࢘ሺ૚ െ ࢉ࢕࢙@ሻ૛ ൅ ૛࢘ሺ૚ െ ࢉ࢕࢙@ ሻ| ࡹ ૛ à࢓ | 
„| | |  „| |„„ | | àࡹ ࢊ࢙ | V ൌ ;නࡹ à࢓ ࡱ ࢘ ૛ 
૛ ࢞ ૛ ࢊ࢞ ࢘ࢊ@ V࢈ࢉ ൌ න ൅ න ሺെ࢘ ሺ૚ െ ࢉ࢕࢙@ሻ ૛ ൅ ૛࢘ሺ૚ െ ࢉ࢕࢙@ሻ ሻ | ࡱ ૙ ࢘ ξ૛ ࡱ ૙ | | ࣊

૛ ࢘ࢊ@ ࢞૜ ࢘ න ൅ න ࢘ሺ െ ૚ െ ൫ࢉ࢕࢙@ሻ૛ ൯ ൅ ૛ࢉ࢕࢙@ ൅ ૛ െ ૛ࢉ࢕࢙@ሻ | ࡱ ξ૛࢘ ૜ࡱ ૙ ૙ |

૛

࣊

࣊

૛࢘૛ ࢘૛ ૛ ࢘૛ ૛ න ሺ൫૚ െ ࢉ࢕࢙@ሻ૛ ൯ࢊ@ ൌ න ሺ࢙ࢋ࢔@ሻ૛ ࢊ @| ൅ ൅ ࡱ ૙ ࡱ ૙ ૜ξ૛ࡱ ૜ξ૛ࡱ | ૛࢘૛

૛࢘૛

࣊

૛ ࢘૛  ࢘૛ ૛ ࢘૛ ૚ ૚ ૛࢘૛  ൅ ൬ @ െ ࢙ࢋ࢔૛@൰ න ൌ  ൅  ቁ ൌ ሺ ൅ ሻ| ࡱ ૝ ࡱ ૜ξ૛ ૝ ࡱ ૛ ૝ ૜ξ૛ࡱ ૜ξ૛ࡱ ૙

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||||
|   ||

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||

|
|
| |
|

 ||||

| |

¢V࢈ࢉ ൌ

 ࢘૛ ࢘૛ ૛ ൬ ൅ ൰ ൌ ૚Ǥ ૛૞૟ૡ | ࡱ ࡱ ૜ξ૛ ૝

| |  „
„|„| „ „  | ૛  ࢘૛ ൬ ൅ ൰ ૝ࡱ ૜ξ૛ ૝ VC ͳ ൌ ૛ ൌ | ࢘ ૛  V C Ͷ ൬ ൅ ൰ ࡱ ૜ξ૛ ૝ | | | SEGÚN EL TEOREMA DE MAXWELL Y BETTI |

|

| Ÿ || !|"Ÿ#$!%$&|| !|'"|(|Ÿ ||  !|'"Ÿ#$!%$&|| !|"|| | ሺ૚ሻሺV࢈ࢉሻ  ൌ  ሺ૝ሻሺVࢉ࢈ሻ| Vࢉ࢈ ૚ ൌ | ¢ V࢈ࢉ ૝  | | | | | |

|

| | | | | | | | |

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||||
|   ||

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||

|
|
| |
|

 ||||

| | | | | | | | | | | | 
 
| | | û| i
  
 


  
 

 

  


 
 

 
 
 
 
 
    

û| i
  

,



  
   

  

  






  
  
 
 

 


 
  

 

û|  


 
   




  


 

 

 "
 





û| !|  „| |"„#$ |%| | |„
„|„„|||&| „| |„|
„ |%„||

|| „ „ '

| | | | | | | 
















|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||||
|   ||

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||

|
|
| |
|

 ||||




 '(| | |
J| ;  @
&
O

    


 
 

 
i1% 
-ABC
J|   
  
%
9722i8i
J|   
  
D 
6
8728i


| |

| | | | |

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||||
|   ||