Teor. Estrut Mod11

Teoria das Estruturas I

ESTRUTURAS ASSOCIADAS E ARCOS TRI ARTICULADOS

APRESENTAÇÃO em vindo aluno(a)! Vamos estudar nesse módulo as estruturas associadas. São estruturas aparentemente complexas e sua análise consiste em desmembrar uma determinada estrutura em duas ou mais estruturas simples, que sejam isostáticas.

B

Uma vez desmembradas é preciso resolvê-las separadamente, apoiando uma na outra até o último membro, tornando assim um cálculo simples e fácil de ser resolvido. Também estudaremos um caso particular das estruturas associadas, que são as Vigas Gerber, que formam um conjunto de vigas articuladas, uma apoiando na outra sucessivamente. Esse tipo de solução é muito utilizada na prática em projetos estruturais e por isso é importante a sua compreensão. Bons estudos.

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao final deste módulo, você deverá ser capaz de:

A C I N C É T A H C I F

•

Resolver problemas de estruturas mais complexas através dos conceitos de estruturas associadas;

•

Identificar se uma determinada estrutura associada possui sujeição completa ou parcial;

•

Determinar as reações de apoio e esforços solicitantes das estruturas associadas;

•

Traçar os diagramas dos esforços solicitantes;

•

Fazer análises de casos particulares das estruturas associadas, como as Vigas Gerber;

•

Analisar os arcos tri articulados.

FUMEC VIRTUAL - SETOR DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Gestão Pedagógica Coordenação Gabrielle Nunes P. Araújo Transposição Pedagógica Ediane Cardoso

Produção de Design Multimídia Coordenação Rodrigo Tito M. Valadares Design Multimídia Paulo Roberto Rosa Junior Raphael Gonçalves Porto Nascimento

BELO HORIZONTE - 2013

Infra-Estrututura e Suporte Coordenação Anderson Peixoto da Silva

AUTORIA Prof. Antônio Carlos Viana

ESTRUTURAS ASSOCIADAS E ARCOS TRI ARTICULADOS Considerações gerais O que é uma estrutura associada? Como resolver esses tipos de estruturas? Isso é que vamos aprender nesse módulo.

Muitas vezes, deparamos com estruturas mais complicadas e complexas, que aparentemente apresentam soluções difíceis para serem resolvidas, como por exemplo, a estrutura representada na figura 1. D

E

F

A

B

C

Figura 1 - Estrutura associada Fonte: próprio autor.

A princípio, podemos pensar que a estrutura da figura 1 é hiperestática, pois apresenta 3 apoios fixos articulados, ou seja, 6 reações de apoio para serem determinadas, com equações de equilíbrio. Na verdade sua solução fica fácil de ser resolvida, quando desmembramos em outras duas soluções cujas estruturas são isostáticas, conforme mostra a figura 2. D

A

E

(a)

E

B

F

(b)

C

Figura 2- Estruturas desmembradas Fonte: próprio autor

Observamos que a estrutura (a) é um pórtico triarticulado, portanto uma estrutura isostática, concluindo o mesmo sobre a estrutura (b).

Estruturas Associadas e Arcos Tri articulados

157

A estrutura da figura 1 resulta das outras duas mostradas na figura 2. A essa solução denominamos de estrutura associada. Podemos ter várias estruturas isostáticas uma ligada a outra, formando uma estrutura mais complexa.

Quando duas ou mais estruturas, numa associação, apoiam-se uma na outra no mesmo ponto, essa ligação que articula três ou mais barras é denominada de articulação múltipla, como por exemplo, o ponto E da estrutura associada da figura 1. Se associarmos mais uma estrutura naquela da figura 1 teremos uma estrutura associada semelhante a representada na figura 3. G

H

D

E

A

B

F

C

Figura 3 - Estrutura associada Fonte: próprio autor

Podemos perceber que três barras concorrem no ponto D, porém duas delas não se articulam (ou seja, as barras DE e AD não estão articuladas no nó D). Nesse caso a articulação no ponto D não é múltipla. No caso das estruturas associadas, as estruturas são ligadas umas nas outras através de articulações, o que permite uma simples identificação.

ARTICULAÇÕES INTERNAS MÓVEIS Vamos considerar agora duas estruturas isostáticas conforme mostradas na figura 4. A estrutura da figura 4a é uma viga em balanço e a da figura 4b é uma viga bi apoiada com um apoio fixo e outro móvel. Associando as duas estruturas obteremos uma estrutura como a representada na figura 4c. No ponto B existe uma articulação em que é permitido o deslocamento horizontal. Nesse ponto podemos dizer que ocorre uma articulação móvel. Observe a figura e veja.

158


A

B

B

(a)

C

(b)

A

B

C

(c) Figura 4 - Estrutura associada com articulação móvel Fonte: próprio autor

SUJEIÇÃO PARCIAL Às vezes podemos associar duas estruturas com um número de vínculos igual ou superior ao mínimo necessário, porém não são distribuídos de maneira adequada, tornando o conjunto instável estruturalmente. Essa situação é exemplificada na figura 5. As duas soluções apresentadas tem a mesma quantidade de vínculos e tipos de apoios, porém a representada pela figura 5a possui uma distribuição adequada enquanto que a representada na figura 5b é uma sujeição parcial, com a viga AB sendo hiperestática e o trecho BC hipostático, tornando-se uma solução inadequada. A

B

C

(a) A

B

C

(b) Figura 5 - Sujeição parcial Fonte: próprio autor

ASSOCIAÇÕES SIMPLES E ESPECIAIS Quando ocorre uma associação simples? Nas estruturas associadas, quando existe uma dependência simples entre as partes que se associam, como, por exemplo, um conjunto de barras com sujeição parcial, ligada a uma estrutura com sujeição completa, servindo de apoio, denominamos que ocorreu uma associação simples.


159

Entretanto, podemos observar em algumas estruturas, que se analisarmos isoladamente cada parte associada, elas se apresentam como estruturas instáveis ou hipostáticas, mas ao analisar o conjunto esse se torna isostático. Como assim? O que ocorre nessa situação é que o vínculo que falta em uma das partes é fornecido pela outra e vice-versa. Podemos dizer que ocorre uma dependência recíproca. A esse tipo de estrutura associada denominamos associação especial, conforme mostra a figura 6. A

B

C

D

E

Figura 6 - Associação especial Fonte: próprio autor

ATENÇÃO Na figura 6, quando analisamos isoladamente a viga AB e o trecho BCDE, concluímos que se tratam de estruturas hipostáticas. Entretanto o conjunto é isostático. A viga AB apoia verticalmente na estrutura BCDE, enquanto essa apoia horizontalmente na viga AB, tornando o conjunto estável.

RESOLUÇÃO DAS ESTRUTURAS ASSOCIADAS SIMPLES A figura 7 mostra uma estrutura associada e nós iremos resolvê-la passo a passo. A

C

B

10 kN m

50kN

m

0 , 4

40kN D

E

m

0 , 4

F

G

4,0m

H

2,0m

2,0m

Figura 7 - Resolução de uma estrutura associada Fonte: próprio autor

Por onde começamos? A primeira coisa a ser feita é desmembrar a estrutura completa em estruturas isoladas e que sejam isostáticas. Na figura 8, mostramos os diagramas de corpo livre das três estruturas isoladas (I, II, III) que associadas formam a estrutura mostrada na figura 7.

160


H D1

V D1

A

B

D

E

V D1

+ V D 2

50kN

H E

V E

(I)

10 kN m

40kN

V E

H D 2 C

D

H D1

+

H D 2

D

E

H E

V D 2

H F

F

G

V F

H

H G

V G

H H

V H

(III)

(II) Figura 8 - Estruturas isoladas Fonte: próprio autor

Em seguida vamos determinar as reações de apoio da estrutura (I), V D1, H D1, V E e H E , da seguinte forma: ∑M D = 0 → 4,0 V E + 4,0 × 50 = 0 → V E = −200/4 → V E = −50 kN ∑V = 0 → V E + V D1 = 0 → V D1 = −V E → V D1 = 50 kN ∑M A( AE ) = 0 → 4,0 V E + 4,0 H E = 0 → H E = + 200/4 → H E = +50 kN ∑H = 0 → H D1 + H E − 50 = 0 → H D1 = − H E + 50 → H D1 = 0 kN Uma vez determinados os valores de V E e H E , calcularemos agora as reações da estrutura (II). ∑M E ( EH ) = 0 →

4,0 H H = 0 → H H = 0 kN

−

∑M D = 0 → 4,0 V H − 4,0 H H − 4,0 V E − 40 × 2 = 0 → V H = [0 + 4,0 × (-50) + 80]/4 → V H = −30 kN ∑V = 0 → V H + V D2 − 40 − V E = 0 → V D2 = 30 + 40 − 50 → V D2 = 20 kN ∑H = 0 → H D2− H E − H H = 0 → H D2 = 50 − 0 → H D2 = 50kN


161

Finalmente, conhecidos os valores de H D1, H D2, V D1 e V D2, determinaremos as reações de apoio da estrutura (III). ∑M F = 0 → 4,0 V G + 4,0 ( H D1 + H D2 ) − 4,0 (VD1 + VD2 ) − 10 × 4,0 × 2,0 = 0 → V G = [−4,0 (0+ 50) + 4,0 (50 + 20) + 80]/4 → V G = 40 kN ∑V = 0 → V F + V G − (V D1 + V D2 ) − 10 x 4,0 = 0 → V F = −40 + (50 + 20) + 40 → V F = 70 kN ∑M D( DG) = 0 → 4,0 H G = 0 → H G = 0 kN ∑H = 0 → H F − H G

−

( H D1 + H D2) = 0

→ H F = 0 + (0 + 50) → HF = 50 kN Definidas todas as reações e cargas na estrutura, calcularemos os esforços solicitantes nas seções de cada trecho (que é imediato) e em seguida traçaremos os diagramas em um único esquema, conforme está representado nas figuras 9,10 e 11. 0

A

N ( kN )

(Tração + )

50

C

B

( −)

50

50

D

E

( −)

( −)

70

50

( +)

40

( −)

F

30

( −)

G

( +)

H

Figura 9- Diagrama de esforço normal (N). Fonte: próprio autor 50

(+) A

Q ( kN )

B

0

50 ( − )

C D

70

(+)

30

( +)

20

E

( −) 500 ( − )

0

F

20

0

G

H

Figura 10 - Diagrama de esforço cortante (Q). Fonte: próprio autor

162


200 B

A

(

M kN m

( + ) 200 (+)

)

0

200

( −)

200

D

E

C

( +)

( −)

40

0

F

0

G

H

Figura 11 - Diagrama de momento fletor (M). Fonte: próprio autor

VIGAS GERBER As vigas Gerber são casos particulares das estruturas associadas. As figuras 4, 5, e 6 exemplifica esse tipo de estrutura. Portanto podemos afirmar que as vigas Gerber resultam da associação de estruturas isostáticas de eixo reto, interligadas pelas extremidades por intermédio de articulações. Sua resolução é feita da mesma forma que são feitas as outras estruturas associadas. Veja na figura 12 uma viga Gerber com sua decomposição logo abaixo, apresentando em seguida o processo de resolução da estrutura. 200kN

100kN

20 kN m

50 kN m C

B

D

G

F

A

H

E

2,0m

4,0m

2,0m

3,0 m

I

3,0 m

1,0m

4,0m

10kN

2,0m

100kN 20 kN m

50 kN m

10kN

H H V B

V C

V G

(I)

(II)

200kN V C

50 kN m

20 kN m

V D

V H

V G

V F

(III) Figura 12 - Viga Gerber Fonte: próprio autor


163

Primeiro vamos determinar as reações de apoio (V B e V C ) do trecho (I): ∑M B = 0 → 4,0 V C − 20 × 6,0 × 1,0 = 0 → V C = 120/4 → V C = 30 kN ∑V = 0 → V B +V C − 20 × 6,0 = 0 → V B = 120 − 30 → V B = 90 kN ∑H = 0 → H C = 0 Da mesma forma calcularemos o trecho (II): ∑M G = 0 → 4,0 V H − 100 x 6 − 50 × 4,0 × 2,0 = 0 → V H = 1000/4 → V H = 250 kN ∑V = 0 → V G +V H − 100 − 50 × 4,0 = 0 → V G = 300 − 250 → V G = 50 kN ∑H = 0 → H H − 10 = 0 → H H = 10 kN Uma vez conhecidos os valores V C e V G, iremos determinar as reações de apoio do trecho (III), V D e V F , da seguinte forma: ∑M D = 0 → 6,0 V F − 7,0 V G - 50 × 1,0 × 6,5 − 200 × 3,0 + 20 × 2,0 × 1,0 + 2,0 V C = 0 → 6,0 V F = 7,0 × 50 + 325 + 600 − 40 − 2,0 x 30 → V F = 1175/6,0 → V F = 195,83 kN ∑V = 0 → V D +V F − V C − V G − 200 − 50 × 1,0 − 20 × 2,0 = 0 → V D = −195,83 + 30 + 50 + 200 + 50 +40 → V D = 174,17 kN ∑H = 0 → H D = 0 kN Após determinar todas as reações de apoio, iremos calcular facilmente os esforços solicitantes das seções dos três trechos e traçar os diagramas de cada esforço num único esquema, conforme mostrado nas figuras 13,14 e 15.

N ( kN )

A

B

C

D

−

(Tração + ) E

F

G

H

I

( −) 50

Figura 13 - Diagrama de esforço normal ( N ) Fonte: próprio autor

164


Q ( kN )

104,17

50

100

100 50

( +) A

B

C

F D

E

G

H

I

( ) −

40

1,0m

30

2,5 m

70 95,83

150

Figura 14 - Diagrama de esforço cortante (Q) Fonte: próprio autor

200 100

(

M kN m

)

74,98 40

( −) E

C A

B

F

D

(+)

22,5

G

H

I

22,5

2,5 m

1,5m

212,51

Figura 15 - Diagrama de momento fletor (M) Fonte: próprio autor

Agora que você aprendeu a traçar os diagramas de esforços solicitantes de uma estrutura associada e de uma viga Gerber, sugiro que faça vários exercícios. No livro Estruturas Isostáticas 7ª edição, de Otávio Campos do Amaral, capítulo III, páginas 184 a 199, você encontrará uma série de exercícios resolvidos.


165

Estudo do arco triarticulado Os arcos são estruturas bastante utilizadas na vida prática, apresentando resultados muito econômicos. Geralmente ao compará-los com uma viga bi apoiada reta de mesmo vão e carregamento, podemos perceber que os esforços solicitantes de momento fletor e esforço cortante são bem menores que aqueles obtidos na viga. Podemos até fixar o eixo do arco de forma a obter para os esforços cortantes e para o momento fletor, valores nulos em todas as seções do arco, solicitado exclusivamente por forças normais. Para esse eixo denominamos linha de pressões.

TOME NOTA Quando um determinado arco for solicitado somente por forças verticais, as componentes horizontais das reações de apoio serão iguais e contrárias (H), que denominamos de empuxo.

A figura 16 mostra um arco tri articulado e uma viga reta com o mesmo carregamento e mesmo vão.

C

α

y

D

y

=

f ( x)

f

A

B

H

H V A

x

c

L

V B

(a)

B

A D

V A

x

C

L

c

V B

(b) Figura 16 - Arco tri articulado e viga correspondente Fonte: próprio autor

166


As reações verticais do arco e da viga são iguais e deverão ser obtidas por intermédio das equações de equilíbrio ∑M B = 0 e ∑V = 0. A determinação dos esforços solicitantes em uma seção D (genérica) do arco da figura 16a ( M D, Q D e N D ) será em função dos esforços solicitantes da viga ( M OD e QOD )na mesma seção correspondente (figura 16b). Qual a diferença entre elas? A diferença básica entre as duas estruturas é o angulo α no arco que a normal da seção faz com a horizontal, que na viga é igual a zero e a existência do empuxo H que na viga não existe. Portanto, podemos dizer: M D = M OD − H ⋅ y, onde y é a ordenada do ponto em questão ( D). O valor do esforço cortante do arco (Q D ) é obtido da seguinte forma: Q D = QOD ⋅ cos α − H sen α De forma semelhante obtém-se o valor do esforço normal do arco ( N D ): N D = QOD ⋅ sen α + H cos α Utilizando essas fórmulas, podemos determinar todos os esforços solicitantes em qualquer seção do arco, observando que no trecho descendente o angulo será negativo. Na seção C, onde ocorre a rótula, o momento fletor é zero. Podemos concluir que: 0 = M OC − H ⋅ y , portanto determinamos o valor do empuxo ( H ) da seguinte forma: H = M OC / f Os valores trigonométricos ( sen α, cos α, α), necessários para utilizarmos no cálculo dos esforços solicitantes, determinam-se em função de tg α, da seguinte forma: tg α = dy / dx ,

em que y = f(x) é a equação do eixo do arco.

Para traçar os diagramas dos esforços solicitantes escolha os pontos que você acha necessário para representá-los, calcule os esforços em cada um desses pontos e posteriormente determine os diagramas.

Agora que você conhece os procedimentos de cálculo para determinação de esforços e diagramas de um arco tri articulado, vamos praticar através de um exemplo, para um melhor entendimento.


167

Exemplo:

Determine os diagramas dos esforços solicitantes do arco tri articulado da figura 17, considerando que a equação do arco é y = x − 0,025 x2 . (considerar 10 seções ao longo do comprimento do arco, ou seja, um ponto a cada 4,0 m) Solução:

Determinamos as reações de apoio de imediato: ∑M A = 0 → 40 V B − 30 × 40 × 20 − 1000 × 8 = 0 → V B = 800 kN ∑V = 0 → V A + V B − 30 × 40 − 1000 = 0 → V A = 1400 kN Para calcular o empuxo, determinamos a expressão abaixo: H =M OC / f Em que: M OC = 1400 × 24 − 30 × 24 × 12 − 1000 × 16 = 8960 kN ⋅m Para determinar f , basta utilizar a função do arco para x = 24 m f = x − 0,025 x2 f = 24 − 0,025 (24)2 = 9,60 m Portanto: H = 8960/9,60 = 933 kN 30 kN m

1000kN C

α

y

=

x

−

0,025 x

2

D

f A

y

B

x

H V A 8m

H

16m

16m

V B

( arco )

168


1000kN 30 kN m B

A D

C

V A 8m

16m

16m

V B

( viga ) Figura 17 - Exemplo Fonte: próprio autor

Para determinar os esforços solicitantes do arco, podemos montar uma tabela, conforme mostrado a seguir, facilitando bastante o nosso cálculo. Precisamos antes de tudo determinar α, em função da expressão abaixo: y = x − 0,025 x2 dy/dx = y’ = tgα = 1 − 0,05 x Determinando o esforço cortante na viga auxiliar: Para 0 ≤ x ≤ 8 → Q( x) = 1400 − 30 x Para 8 ≤ x ≤ 40 → Q( x) = 1400 − 30 x − 1000 Determinando o momento fletor na viga auxiliar: Para 0 ≤ x ≤ 8 → M ( x) = 1400 x − 30 x2/2 Para 8 ≤ x ≤ 40 → M ( x) = 1400 x − 30 x2/2 − 1000 ( x - 8) N D = QOD ⋅ sen α + H cosα Q D = QOD ⋅ cos α − H senα M D = M OD - H ⋅ y


169

TABELA 1 - CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES x (m)

0

4,0

8,0

12,0

16,0

20,0

24,0

y(m)

0 1,00 45 0,707 0,707 1400

3,60 0,80 38,66 0,625 0,781 1280

8,40 0,40 21,80 0,371 0,928 40

9,60 0,20 11,31 0,196 0,981 80 −

10,00 0 0 0 1,000 200 −

9,60 8,40 0,20 0,40 11.31 21,80 0,196 0,371 0,981 0,928 320 440

Q0 senα

0 990

5360 800

10640 15

10560 16

10000 0

Q0 cosα

990

1000

37

−

−

−

−

−

−

−

H sen α H ⋅ y

660 660 0

583 729 3359

6,40 0,60 30,96 0,514 0,858 1160 160 10240 204 82 995 137 480 801 5971

346 866 7837

183 915 8956

0 933 9330

183 915 8956

346 866 7837

480 801 5971

583 729 3359

660 660 0

N (kN )

1650

4159

6175 6053

7852

8940

9330

9019

8000

6321

3789

566

Q (kN )

330

417

515 −343

62

0

52

94

M (kNm)

0

2001

4269

397

−

tg α α sen α cos α Q0 (k ) M 0 (kNm)

H cos α

−

78

309

200

261

28,0

36,0

−

−

−

−

−

−

−

−

6,40 3,60 0,60 0,80 30,96 38,66 0,514 0,625 0,858 0,781 560 680

8960 63

7440 163

314

408

−

200

32,0

131

−

−

−

−

−

2803

1604

670

0

−

0

−

−

−

−

−

−

−

−

1,00 45 0,707 0,707 800

5440 350

2960 425

0 566

480

−

40,0

−

531

531

−

399

−

− − −

−

566

−

0

Fonte: próprio autor

Após a determinação de todos os esforços solicitantes em todas as seções, traçamos os diagramas de esforço normal, esforço cortante e de momento fletor do arco, conforme a figura 18. N ( kN ) − Tração ( + ) 1

2

A

3

4

5

6

D

7

8

9

B

C

566 1650

( −)

4159

3789

6175

6053

7852

8000 8940 9330

6321

9019

Q ( kN ) 515

( +)

417 330

52

C A

D

( ) −

343

170

309

261

200

131

62

94

B


531

(

M kN ⋅ m

) 397

( −)

399

C A

B

D

( +) 2001

670 1604

4269 2803

Figura 18 - Diagramas de esforços solicitantes do arco tri articulado Fonte: próprio autor

ATIVIDADE Acesse a(s) Atividade(s) de Fixação no material didático online da disciplina.


171

Síntese Nesse módulo você reviu como determinar as reações de apoio, os esforços solicitantes, esforço normal, esforço cortante e momento fletor de estruturas associadas . Agora você também é capaz de analisar estruturas como as Vigas Gerber, que são casos particulares de estruturas associadas. Assim como fazer a análise dos arcos tri articulados. Assim, você está apto a traçar os diagramas utilizando as convenções de sinais consideradas universalmente das estruturas acima mencionadas.

Referências AMARAL, Otávio Campos do. Estruturas Isostáticas. 7ª Edição; Belo Horizonte, 2003. 473 p. BEER, Ferdinand Pierre; JOHNSTON, E. Russell. Mecânica vetoril para engenheiros: vol.1: estática. 5ª ed. rev.. São Paulo: Makron Books, c1991. 793 p. KRIPKA, Moacir. Análise estrutural para engenharia civil e arquitetura - Estruturas isóstáticas. São Paulo. 2ª edição, Editora PINI, 2011. 240 p. FONSECA, Adhemar; MOREIRA, Domício Falcão. Estática das construções: estruturas isostáticas: problemas e exercícios: vol1. 2ª ed. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1966. 312p. HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. 10ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall. c2005, 540p. MACHADO JR, E. F. Introdução à isostática. São Carlos: EESC-USP, 1999. ROCHA, Anderson Moreira da. Teoria e práticas das estruturas: vol.1 : isostática. Rio de Janeiro: LIVRARIA CIENTÍFICA. 1973. 300p. SUSSEKIND, José Carlos. Curso de análise estrutural: vol1 : estruturas isostáticas. 6ª ed.. Porto Alegre: Globo, 1983. 259 p.

172

Teor. Estrut Mod11

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