Curso de Teor¶Ia Cu¶Antica de Campos

´ TICA CURSO CURSO DE TEOR TEOR´ IA CUANTIC AN A DE CAMPOS CAMPOS H. FALOMIR ALOMIR DEPAR DEPART TAMENTO DE F´ ISICA FACUL ACULTAD DE CIENCI CIENCIAS AS EXACT EXACTAS AS - UNLP UNLP

Notas Not as sobre sobr e Integrale Integ raless Funcional unci onales es en Mec´ anica anica Cu´ antica antica y Teor´ eor´ıa Cu´ antica anti ca de Campo Cam poss

´ nica Cuantica ´ ntica Integr Integrale ales s Funci Funciona onales les en Mec Mecanica a a

1.

Consideremos un sistema cu´ antico antico de un unico u ´ nico grado de libertad descrito por el par de operadores conjugados P y Q, [P, Q] =

(1.1)

−i ,

cuya evoluci´ on on temporal est´ a determinada por el operador Hamiltoniano P 2 (1.2) + V ( H (P, Q) = V (Q) . 2m Los operadores P y Q tienen sistemas completos de autovectores ,

|  |  ∈ R, Q|q  = q |q  , q ∈ ∈ R ,

P p p = p p p , p

(1.3)

1 = 1 =

que satisfacen

 |  |  | |  |

dp p p p , dq q q , ı

p q  e (1.4) p p p = δ ( p p ) , q  q = δ (q q  ) , q p p = . 2π  Estamos interesados en la amplitud de probabilidad de transici´ on on entre un estado

 |

−

 |

|

 |  √

−



inicial caracterizado por el vector a q inicial inicial a tiempo tinicial y un estado final

|



correspondiente correspondiente a q final tiempo t final, la cual, para un potencial independiente f inal a tiempo t del tiempo y en la representaci´ on on de Schr¨ odinger, odinger, est´ a dada por ı H (tfinal tinicial ) (1.5) q final q inicial f inal , tfinal q inicial inicial , tinicial := q final f inal e  inicial .

−  |   |− | Sea N ∈ ∈ N y t = (t − t )/N . Teniendo en cuenta que ı ı H (t t ) H t − − − (1.6) = e  e  final



inicial

final

inicial

N

 1

Actualizado el 5 de mayo de 2006.

H. Falomir

2

y las relaciones de completitud, Eq. (1.3), podemos escribir

q

final f inal , tfinal

=

(1.7)

× q

N N −1

  dq 1 . . .

| q

inicial inicial , tinicial

dq N N −1

=

ı − q | e  H t |q  × N N −1

N N

ı ı ı H t H t − − − | e  |q  . . . q | e  |q  q | e  H t |q  , N N −2

2

1

1

0

donde hemos llamado q 0 = q inicial inicial y q N N = q final f inal . Como l´ımN →∞ →∞ face

t = 0, cada factor en el integrando del segundo miembro satis

l´ım q n+1

(1.8)

N →∞

ı − | e  H t |q  = δ (q − q n

de modo que podemos suponer que, para N

n+1 ) ,

n

 1, ese elemento de matriz es

apreciablemente no nulo s´ olo olo para valores de q n+1 en un entorno de q n . Empleando la f´ ormula ormula de Haussdorf, 1 [A, B ] + . . . − eA + B = eA eB e 2 ,

(1.9)

donde los puntos suspensivos representan términos erminos c´ ubicos y de orden superior en A y B , podemos escribir ı H t − e  = (1.10)

−

 −



2

   −  −

1 ı P ı t V ( V (Q) t e  2m e  e 2 2

ı t 

P 2 , V ( V (Q) + . . . 2m ,



donde ahora los puntos suspensivos representan r epresentan términos erminos de d e orden orde n ( t)3 (es decir, O(N −3 )) o superior.



Path Integrals

3

En esas condiciones, condiciones, suponiendo que V que V ((q ) sea se a una un a funci´ fu nción on suave su ave de su s u argumen ar gumen-to, podemos adoptar la siguiente aproximaci´ on: on: ı H t q n+1 e  q n =

|−





= q n+1

ı P 2 ı t V ( V (Q) t e  2m e  q n (1 + O (N −2 )) =

|−

(1.11)

=



dpn q n+1

−∞

ı

n

n

−



dpn  pn = e 2 π  −∞ ∞



2

n

pn (q n+1 dpn e  −∞ 2π 



 | 

ı p ı t V (q )t −  − (1 + O(N | p p  e  2m  p |q  e  V (

ı

∞

=

 − n

∞



| 

−2

n

)) =

ı pn 2 ı q n) t V ( V (q n ) t e  2m e  (1 + O(N −2 )) =

−

 −







− q − H ( p , q ) t t (1 + O(N

q n+1

n

n

n

−2

)) ,

donde hemos empleado la Eq. (1.4) y p2 (1.12) H ( p, q ) = + V ( V (q ) 2m es el Hamiltoniano cl´ asico asico del sistema. Reemplazando en la Ec. (1.7) obtenemos

q


(1.13)

| q


ı e



=

    dq 1 . . .

dq N N −1

dp0 . . .

dpN −1

N −1

 {

t pn q ˙n

n=0

donde donde hemos llamad llamadoo q ˙n = (q n+1

− H ( p , q )} n

n

(1 + O (N −1 )) ,

engase en cuenta que en el producto − q )/t. Téngase n −2

de N de N factor factores es de la forma forma (1 + O (N )) hay N hay N t´ término erm inoss de d e orden ord en O O((N −2), origen de la correcci´ on on de orden O(N −1 ).

Nótese otese que la suma en el exponente corresponde a la acci´ on cl´ cl ´ asica as ica (en la formulaci´ on on hamiltoniana) hamiltoniana) tfinal

(1.14)

S [q [q (t)] :=



{

dt p( p(t) q ˙(t)

tinicial

( p((t) q (t))} , − H ( p

de una trayectoria trayectoria en el espacio de fase en la que la part´ part´ıcula une los puntos q n y

t con velocidad constante, manteniendo valores

q n+1 en un intervalo de tiempo

constantes de la variable conjugada, p = p = p n , en cada intervalo de tiempo (siempre

H. Falomir

4

que pueda despreciarse la variaci´ on del potencial V (q ) en cada tramo de la trayectoria). Por su parte, las integrales sobre las variables q 1 , . . . , qN −1 , p0 , . . . , pN −1 corresponden a sumar las contribuciones de la totalidad de tales trayectorias.

→ ∞ del segundo miembro de la anterior ecuación se indica

El l´ımite para N formalmente como

q

f inal , tfinal

(1.15)

ı

 D D

q p

=

| q

inicial , tinicial

=

tfinal



e  tinicial

{

dt p(t) q ˙(t)

− H ( p(t), q (t))}

,

lo que se interpreta como una suma de contribuciones correspondientes a la exponencial de

ı 

veces la acci´ o n clásica de aquellas trayectorias del espacio de

fase, ( p(t), q (t)), que unen los puntos q inicial y q final en el intervalo de tiempo (tfinal

−t

inicial )

∈ N, son rectificables en el anterior

y que, para todo valor de N

sentido. 1.1.

Integrales de camino en el espacio de configuraci´ on. Las variables

pn pueden ser eliminadas de la Ec. (1.13) mediante integraci´ on, lo que equivale a calcular los elementos de matriz q  e−

 |

ı P 2

 2m

t

|q . Para ello debemos considerar

expresiones de la forma de integrales de Fourier,



ı



(1.16)

ı t k −  2m

∞

dk ık q = e e 2π −∞



donde



 −

dp  pn q I ( q ) := e −∞ 2π  ∞



p n 2 t 2m =

2

,

q = q − q . n+1

n

Pero como



ı t 2 k e 2m = 1,

(1.17)

 −     −

 

∀k ∈ R,

la anterior expresión debe ser entendida como la transformada de Fourier de la distribuci´ on regular

(1.18)

e

 −

ı t k2 2m = l´ım+ e ε→0

 −

ı t(1 2ıε) 2m



k2 ,

donde la convergencia débil del segundo miembro est´ a garantizada por la convergencia uniforme en cada compacto sobre la recta real. Teniendo en cuenta la

Path Integrals

5

continuidad de la Transformaci´ on de Fourier respecto de la convergencia débil, podemos escribir

∞



I ( q ) = l´ım+

(1.19)

ε→0

ε→0





= l´ım+ (1 + ıε)

=

ı t κ2 2m =

   −

ı t κ2 2m ,

dκ ıκ q (1 + ıε) e e −e−ıπ/4 ∞ 2π



2

− ıε)k]

   −

dκ ıκ q (1 + ıε) e e −(1−ıε)∞ 2π



e−ıπ/4 ∞

ε→0

ı t [(1 2m

dk ık q e e −∞ 2π



(1−ıε)∞

= l´ım+ (1 + ıε)

   −



donde hemos rotado el camino de integraci´ o n desde una recta que pasa por el origen con una ligera pendiente negativa a otra con pendiente -1, aprovechando que el integrando es exponencialmente decreciente sobre los arcos entre ambas. En consecuencia, llamando ξ = e

ıπ/4



t

2m

κ, tenemos

2



I ( q ) = l´ım+ ε→0

(1.20) = l´ım+ ε→0

e−ıπ/4

 

t(1−2ıε)

2m

∞

dξ e 2π −∞



ı 2m e  t(1 2ıε)

 −

ı

−ξ + 2ξ



ı P 2 = q  e  2m

 | −

eıπ/4 q

 

2

m q 2 2 t(1 2ıε)

  −

t |q  .

t(1−2ıε)

2m

 √

π = 2π

=

H. Falomir

6

Reemplazando en la Ec. (1.11), obtenemos en definitiva para el elemento de matriz1

q

n+1

ı − |e  H t|q  = n

l´ım+

ε→0

(1.23) ı

× e 





m t(1

 − 2ıε) ×

2πı 

2

− q ) − t(1 − 2ıε)V (q )  − 2ıε)

m(q n+1 2 t(1

n

n



1 + O(N −2 ) .





Señalemos que, a los efectos de obtener expresiones bien definidas, todo sucede como si hubiera sido necesario introducir una parte imaginaria negativa en la variable temporal,

t → t(1 − 2ıε) = (t

final

(1.24)

−t

inicial )(1

− 2ıε) ,

N la que debe tender a cero s´ olo al final del cálculo. En la medida en que las expresiones resultantes sean funciones anal´ıticas en el semiplano inferior abierto de la variable T := (tfinal

(1.25)

−t

inicial )(1

− 2ıε) ,

una forma alternativa (y equivalente) de operar ser´ıa considerar un intervalo de tiempo eucl´ıdeo

β := ı T

(1.26)

con T en el semieje imaginario negativo (de modo que β > 0), para tomar al final del cálculo la extensión anal´ıtica al valor f´ısico,

→ ı(t

β

(1.27) con (tfinal 1A

final

−t

− ı0) ,

inicial )(1

−t

inicial ) > 0.

partir de esta expresión podemos precisar qué se entiende por un potencial suavemente

|

− q | crece, la exponencial se vuelve fuertemente oscilante

variable . En efecto, cuando q n+1

n

debido al t´ ermino cuadr´ atico, por lo que el valor que la distribuci´ on que ella define toma sobre una función suave dependerá fundamentalmente de sus valores en un entorno de radio

|q − q | ≈

(1.21)

n+1

n

   2 t m

=

2 (tfinal

−t

inicial )

Nm

.

En esas condiciones, podremos despreciar la variación del potencial V (q ) en ese entorno si ella da lugar a términos de orden superior al de los de O (N −1 ) que estamos reteniendo, (1.22)

t 



  | |

|V (q )

2t

m

=

2

m

V  (q ) ( tfinal

|

−t

inicial )

lo que se satisface para todo q si V (q ) tiene una deriva acotada.

3 2

3 2

N − = o (N −1 ) ,

Path Integrals

7

Nótese finalmente que, en una teor´ıa relativista, esto ser´ıa equivalente al cambio t

(1.28)

≡ x → x √ g 0

0

00

= x 0 (1

− 2ıε) ,

donde la componente g 00 de la métrica es tomada en el semiplano inferior abierto del plano complejo (esto implica que g 00 sea tomada en el semiplano superior abierto, lo que selecciona autom´ aticamente el propagador de Feynman ).

La amplitud de probabilidad de transici´ on de la Eq. (1.13) queda entonces expresada como

q

f inal , tfinal

ε→0

e

dq 1 . . .

N −1

ı 

inicial , tinicial

=

     −  −   −  −  = l´ım+

(1.29)

| q

t(1

dq N −1

m 2

2ıε)

n=0

q n+1 t(1

 −

2πı 

m t(1

2ıε)

N 2

×

2

q n 2ıε)

V (q n )

(1 + O(N −1 )) .

La suma en el argumento de la exponencial (para ε = 0) corresponde a la funcional acci´ on cl´ asica (en la formulaci´ on Lagrangiana), tfinal

S [q (t)] :=

(1.30)



dt

tinicial



m q ˙(t)2 2

− V (q (t))



,

de una trayectoria poligonal que en el espacio de configuraci´ on se inicia en el punto q inicial en el instante tinicial y termina en q final a tiempo tfinal, por la cual la part´ıcula une los puntos pr´ oximos q n y q n+1 en el intervalo de tiempo

t mo-

viéndose con velocidad constante, siempre que pueda despreciarse la variaci´ on del potencial durante cada uno de esos tramos de trayectoria. Por su parte, las integrales sobre las posiciones intermedias representan una suma de contribuciones de la forma e

ı 

S [q(t)]

por cada una de tales trayectorias2 (a menos de términos de

O(N −1 )), con una medida de integraci´ on que resulta independiente del potencial , N −1

dµn [q (t)] :=

(1.31)

  dq n

n=1 2Se˜ nalemos

m t(1

 − 2ıε)

2πı 



N 2

.

que, con el mismo grado de aproximación, podr´ıamos reemplazar la trayectoria

poligonal por otra conformada, por ejemplo, por arcos de trayectorias clásicas que unan los puntos q n y q n+1 en el intervalo de tiempo

t. En efecto, la diferencia en el valor de S [q (t)] sólo

contribuir´ıa con términos de O(N −1 ) al valor del integrando. En este caso, el argumento de la exponencial ser´ıa

ı 

veces el m´ınimo valor de la acci´ on clásica calculada sobre trayectorias que



pasan por los puntos q n en los instantes tn = t inicial + n t.

H. Falomir

8

→ → ∞ del segundo miembro de la Ec. (1.29) se indica formal-

El l´ımite ımit e para par a N mente como

q

|



final f inal , tfinal q inicial inicial , tinicial =

(1.32)

(qfinal , tfinal )



(qinicial, tinicial)

ı

[q (t)] , Dq e  S [q

lo que se interpreta interpreta como una suma o integral de de contribuciones de la forma e forma e

ı 

S [ S [q (t)]

sobre todas las trayectorias continuas en el espacio de configuraci´ on on que se inician en el punto q punto q inicial instante t inicial y terminan en el punto q punto q final inicial en el instante t f inal en el instante tfinal, tomada con una medida de integraci´ on on

consistente con la de la Ec. (1.31) Dq consistente

(aplicable a la rectificaci´ on de tales trayectorias). on

Esta representaci´ representaci´ o n de la amplitud de probabilidad de transici´ on on o n como una integral funcional proporciona una clara relaci´ on on entre entre la Mec´ anica anica Clásica asica

y la Mecánica anica Cuántica. antica. En E n efecto, si consideramos el l´ımit ım itee cl´ cl ´ asico, caracterizado caracterizado por



nas variaciones en la trayectoria, δq (t), producen → 0, vemos que pequeñas

grandes variaciones en el exponente de e de e

ı



S [ S [q (t)]

(es decir, en la acci´ on on clásica asica medida

en unidades de  ): ): 1

(1.33)



δS [q [q ] =

1 



dt

δS [q [q ] δq (t) . δq (t)

En consecuencia, la contribuci´ on a la integral del segundo miembro de la Ec. (1.32) on proveniente del entorno de cada trayectoria se promedia r´ apidamente a cero, con la sola excepción o n de las trayectorias trayectorias cl´ asicas , que hacen estacionaria a la acci´ on on S [q [q (t)] (es decir, para las cuales

δS [q ] = δq( δq (t)

0).

En consecuencia podemos decir que, mientras que todas las trayectorias en el espacio de configuraci´ configuracion oń que conectan la posici´ on inicial con la final en el intervalo on de tiempo disponible contribuyen al comportamiento cuántico antico de la part´ part´ıcula con un peso e

ı 

S [ S [q ]

en la integral funcional, en el l´ımite cl´ asico asico

→ → 0 las trayectorias



clásicas asicas que satisfacen esa condici´ on quedan singularizadas de modo tal que on ı

(1.34)

1.2.

q

|

final f inal , tfinal q inicial inicial , tinicial

[q  ≈ e  S [q

cl´ cl´ asica asica ]

× constante .

Valores alores medios medios de productos productos de operador operadores es ordenados ordenados cronol cronol´ ´ ogiogi-

camente. Supongamos que queremos calcular el elemento de matriz de cierta

Path Integrals

9

O tomada en el instante t, con t

final >

magn ma gnit itud ud f´ısic ıs icaa

t > tinicial, entre los esta-

dos final e inicial que estamos considerando:

q


(1.35)

ı − | e  H (t

final

q

final f inal

|O

H (t)

|q


=

− t) O e−  ı H (t − t

inicial )

S

|q

inicial inicial

,

corre spondiente operador o perador en la descripción on de Heisenberg mienO (t) es el correspondiente tras que O lo es en la descripción on de Schr¨ odinger. odinger. donde

H

S

Empleando la relaci´ on de completitud de la Ec. (1.3) y la representaci´ on on on como

integral funcional de la Ec. (1.32), podemos escribir para este elemento de matriz

       × dq 

(1.36)

  dq  q final f inal , tfinal q , t q

dq 

=

(qfinal , tfinal )

dq 



(q  , t)

S

ı

(qinicial , tinicial )

final , t)

[q (·)] (t, t Dq e  S [q

inicial )

O

Supongamos por simplicidad que el operador autovectores de Q, 

S sea



S

=

(qfinal , tfinal )

   × dq

H

(q, t)

inicial inicial

ı

(qinicial, tinicial)

inicial

[q (·)] (t Dq e  S [q

final , t)

ı

(q, t)

[q (·)] (t, t Dq e  S [q

O(q )×

inicial )

,

lo que convenimos en denotar por

q

|O

(qfinal , tfinal )

ı


(1.39) =




H (t)

|q


[q (·)] (t Dq e  S [q



diagonal en la base de



final

S

.

on num´ erica erica de la variable q), entonces O(q ) es cierta función q , t |O (t)|q , t  = final f inal

=

q |O |q  ×

q |O |O |q  = O(q ) δ (q − q )

(1.37)

(1.38)


[q (·)] (t Dq e  S [q ı

(q  , t)

(donde



|   |O |q  q , t|q

=

final , tinicial )

O (q (t))

H. Falomir

10

e interp interpreta retarr como una integr integral al sobre sobre traye trayector ctorias ias en cuyo cuyo integr integrando ando aparece aparece además as como factor el valor que la funci´ on on

O(q ) toma cuando su argumento es el

valor de la coordenada por la que pasa la trayectoria en el instante t.

O

Consideremos cierto n´ umero umero de operadores

| 

en la base q ,

(k) S



q |O |O |q  = O

(1.40)

(k)

(k) H (t),

(q ) δ (q

k = 1, 2, . . . , n, n, diagonales



− q ) ,

tomados en ciertos instantes t instantes t k . Para su producto ordenado cronol´ ogicamente, ogicamente,

(1.41)

T

donde tin

O

(1) H (t1 )

(2) H (t2 ) . . .

O

≥ t ≥ · ··· · ≥ t ≥ t in−1

(n) H (tn )

O

i1 ,

i2



:=

(in ) H (tin ) . . .

O

(i2 ) H (ti2 )

O

(i1 ) H (ti1 ) ,

O

la representaci´ on como integral funcional de la on

Ec. (1.39) se generaliza directamente a

q


(1.42) =

|T

(qfinal , tfinal )




O

Dq

 O O | · O  O   O  

(1) H (t1 )

ı

e 

(2) H (t2 ) . . .

S [q [q ( )]

(1)

donde el orden ord en de los factor fa ctores es (numéricos) erico s) miembro es irrelevante.

1.3. 1.3.

(1.43)

(n) H (tn )

q (t1)

(k)

(2)



q inicial inicial , tinicial =

q (t2) . . .

O

(n)

 

q (tk ) en el integrando integrando del segundo

Ejempl Ejemplo: o: el oscil oscilado ador r arm´ arm´ onico. onico. Consideremos el potencial

V ( V (Q) =

q (tn ) ,

m 2 2 ω Q , 2

de modo que el Lagrangiano resulte cuadr´ atico. atico.

Path Integrals

11

Tomando3  = 1 y un tiempo eucl´ıdeo β = ıT > 0, a partir de las Ecs. (1.5) y (1.29) podemos escribir

q | e−ıT H |q  = q |e−βH |q  = f

i

f

i

(1.45) N −1

−

×e

 

β m N n=0 2

N 2 (q n+1 β 2

2

− q ) n

N −1

     dq n

n=1

mN 2πβ

N 2

×

+ ω 2 q n 2

(1 + O(N −1 )) ,

donde la suma en el argumento de la exponencial es positiva definida (para β > 0). Desarrollando el cuadrado de la diferencia, es un ejercicio directo llevar esta integral múltiple a la forma

−βH

q | e f

(1.46)

|q  = e i

N −1

  ×

       −     − mN 2β

dq n e

q f 2

+ 1+

mN 2+ 2β

βω N

2

2

N −1

βω N

q i 2

mN 2πβ

×

i,j=1

×

mN (q f q N −1 + q 1 q i ) β e 1 + O(N −1 ) ,

3Las unidades naturales (





= 1 , c = 1) corresponden a cambiar las escalas de las distintas

magnitudes seg´ un



S

S

←  ,

S

←

m



p 

mc 

,

← p  ,

←  E c ,

E

= l 0 ,

[ct] = l 1 ,

← ct ,

t

(1.44)

2

q i M ij q j

n=1

×

N

mc

     

p  

= l −1 ,

= l −1 ,

E = l −1 ,  c

donde l es una escala de referencia con unidades de longitud.

H. Falomir

12

donde la matriz M es autoadjunta (simétrica) para β > 0, positiva definida y sus elementos de matriz est´ an dados por

−

M ij = δ i, j

(1.47)

1

   2+

βω 2 N

(δ i, j −1 + δ i, j+1 ) .

Cambiando la escala de las variables de integraci´ on de modo que xn

→

q n

(1.48)

     mN 2β

2+

,

βω 2 N

y definiendo

yi :=

       

mN 2β

2+

(1.49) yf :=



βω 2 N

mN 2β

2+



βω 2 N

q i ,

q f ,

la Ec. (1.46) se lleva a la forma

−βH

q | e f

|q  = e

−

mN 2β

i

     q f 2

1 2

+ 1+

βω N

2

q i 2

− N 2−1

       × mN 2πβ

(1.50)

π 2+

βω N

2

×

×

N −1 N −1

  ×

−

dxn e



xi M ij x j

i,j=1

e2 (yf x N −1 + x1 yi ) 1 + O(N −1 ) .



n=1



La integral m´ ultiple de la segunda l´ınea del segundo miembro de esta igualdad puede escribirse como N −1

(1.51)

I N −1 :=

 

n=1

¯t M ¯ x + y¯t x ¯ + +¯ xt y¯ , dxn e x

−

Path Integrals

13

donde

  

x¯ :=

(1.52)

x1 x2 .. . xN −1

  

,

y¯ :=

  

  

yi 0 .. . yf

.

Completando cuadrados en el argumento de la exponencial y teniendo en cuenta que la medida de integraci´ on es invariante frente a traslaciones y que M es llevada a la forma diagonal mediante una transformaci´ on ortogonal, Rt MR = diag(λ1 , λ2 , . . . , λN −1 ) ,

(1.53)

con λk > 0 para todo k, tenemos I N −1

t −1 := e y¯ M y¯

N −1

 

¯ t t ¯ dxn detR e x R MR x =

−

n=1

(1.54)

t

−1

= e y¯ M y¯

N −1

∞

 

−∞

n=1

−

dxn e

2 λnxn

t

−1

= e y¯ M y¯

N −1

 

n=1

π = λn

t −1 1 N −1 = ey¯ M y¯ π 2 (detM )− 2 .

Debemos entonces calcular el determinante de la matriz M y de cuatro de los elementos de su matriz inversa. Llamemos A =

(1.55) La matriz M tiene la forma

  − 

1

(1.56)

M =

A

0 .. .

1

  

1 < . 2

2+

βω 2 N

0

0

...

−A

0

...

−A

. .. ...

−A 1

−A ...

1 ...

...

  

=: M N −1 ,

y su determinante es una función de N que satisface (1.57)

DN −1 := detM N −1 = 1 DN −2

− (−A) (−A D

N −3 )

.

Además, para N = 2, 3 tenemos (1.58)

D1 = 1 ,

D2 = 1

2

−A

,

de modo que resulta consistente con la anterior relaci´ on definir D0 = 1.

H. Falomir

14

Estas relaciones pueden resumirse en

   Dk

(1.59)

=

Dk−1

 

2

−A

1 1

Dk−1

,

Dk−2

0

de donde resulta que

   Dk

(1.60)

=

Dk−1

1 1

−A

k−1

 

2

0



D1 = 1 D0 = 1

.

La matriz en el segundo miembro de la Ec. (1.59) tiene por autovectores a



(1.61)

−A

1 1

   

2

µ±

0

µ±

= µ ±

1

1

,

con autovalores reales

0

 ± √ −    





1 µ± = 2

(1.62) En esas condiciones,



(1.63)

2

−A

1 1

1

4A2 > 0 .

1

= U

µ+

0

0

µ−

U −1 ,

donde (1.64)

U =

con det U = µ + (1.65)



µ+ µ− 1

1

−µ

− = B.



1 1

U −1 =

,

1 µ+

−µ

µ+

k

−

1

−µ

−

−1

µ+



,

Entonces,

−A

2

k

  = U

0

0 µ−

0

k



U −1 .

Reemplazando en la Ec. (1.60) y teniendo en cuenta que µ+ + µ− = 1, obtenemos (1.66)

  Dk

Dk−1

=

1 µ+

−µ

−



µ+

k+1

µ+ k

−µ −µ

− −

k+1 k



,

de modo que µ+k+1 Dk = µ+

(1.67)

−µ −µ

−

k+1

.

−

Por su parte, lo elementos de matriz necesarios de M −1 son (1.68) y (1.69)

−1 M N −1

−1 = M N −1 1,1

        −1 M N −1 1,N −1

=

= N −1,N −1

−1 M N −1 N −1,1 =

−

( 1)

DN −2 DN −1

N −2 (

−A)

N −2

DN −1

AN −2 = DN −1

Path Integrals

 1, podemos aproximar A = 1− +

15

Ahora bien, para N

    −    −  ∓    −    √ − −  ∓      − − −    1 2

(1.70)

N 2

AN −2 = 22−N 1 Similarmente,

βω

µ± = 21 e± N (1.71) µ+

−µ

−

=

de donde resulta que µ±

N

e±βω = N 2

(1.72)

µ+

βω 2 N

4A2 =

1

µ−

DN −1

1

+ O (N −4 )

βω 2 N

4

(βω)3 3

+ O (N −4 ) ,

1 + O N −3 2 N

(βω)2 (βω)4 + 2N 8N 2

1

(βω)3 3N 2

1

2N βω

βω +

(βω)2 12N

,

+

+ O N −3 .

3βω + (βω)3 4N

 −  −    −     

cosh(βω) + 2N DN −2 =2 DN −1

O (N −6 ) ,

3 8

(βω)

sinh(βω) = 2N −1

sinh(βω) = 2N

(1.73)

βω 3 N

1 24

βω N

cosh(βω) + N −1 2

Entonces,

βω 4 N

+ O (N −2 ) = 22−N (1 + O (N −1)) .

(βω)2 1 + 2N 8

N

1 4

βω 2 N

1 2

1

1

N

βω 2 N

1 2

+

+ O N −2 ,

βω coth(βω) + O N −2 N

AN −2 2βω = 1 + O N −2 DN −1 N sinh(βω)

,

.

Finalmente, reemplazando estos resultados en la Ec. (1.50), es inmediato verificar que

q | e−βH |q  = f

i

(1.74)

 −

×e

mω 2 sinh βω

 



mω 2π sinh(βω)

q i 2 + q f 2 cosh(βω)



1 2

×    

− 2q q

i f

1 + O N −1

.

H. Falomir

16

→ ∞ y la extensión anal´ıtica en β desde valores reales positivos hacia β → ı(T − ıε), con T = t − t ∈ R y ε > 0, obtenemos para Tomando ahora el l´ımite para N

f

i

el elemento de matriz del operador de evoluci´ on del oscilador arm´ onico el l´ımite (débil) ı − q | e  T H |q  = f

l´ım

i

ε→0+

(1.75) ı

× e 



mω 2sin[(T ıε)ω]

−



1 2

mω 2πı  sin[(T

− ıε)ω]

 

×

q i 2 + q f 2 cos[(T



− ıε)ω] − 2q q



i f

,

donde hemos restituido la constante  . Señ alemos que el argumento de la exponencial en el segundo miembro de la +

→0

anterior ecuaci´ on (en el l´ımite ε

ı

) es



veces la acció n de la trayectoria

cl´ asica que comienza en el punto q i en el instante t i y termina en q f en el instante

tf , como puede verificarse f´ acilmente. Esa es una caracter´ıstica de los Lagrangianos cuadráticos.

1.4.

La funci´ on de partici´ on . Volviendo a la Ec. (1.74), podemos construir la

funci´ on de partici´ on del oscilador arm´ onico para una temperatura dada en térmi-

nos del tiempo eucl´ıdeo por T emp =



, donde kB es la constante de Boltzman:

kB β

∞

      −

Z (β ) := Tr e−

β 

H

=

−∞

=

(1.76)



mω 2π  sinh(βω)

=



1 2

∞

dq e

=

=

1 2

∞

 

1 2 sinh



[cosh(βω)

 

mω βω tanh 2 dq e 

−

−∞

βω 2



βω − e 2 = = βω − 1−e

1 βω(n + ) 2 = e

− n=0

mω  sinh βω

−∞

mω 2π  sinh(βω)

∞

β H − dq q | e  |q  =

− ∞

e

n=0

+ 21 ) kB T emp .

 ω (n

2

− 1] q

q 2 =

=

Path Integrals

17

En el caso general podemos escribir Z (β ) := Tr (1.77) ∞

=

−∞

(q,0)

β

 0

Dq e

dq



e

1

(q,β )

 

β H

 −      −

=

m dτ q ˙(τ )2 + V (q (τ )) 2 ,



lo que se denota por β

1

(1.78)

Z (β ) =

m dτ q ˙(τ )2 + V (q (τ )) 2 ,

  D −   0

qe



dado que corresponde a integrar sobre ciertas trayectorias cerradas en el espacio

∈ [0, β ].

de configuración (q (β ) = q (0)), parametrizadas por el tiempo eucl´ıdeo τ Nótese que en el l´ımite cl´ asico, 

→ 0, las principales contribuciones a la función

de partici´ on provienen de los m´ınimos de la acci´ on eucl´ıdea β

S E [q (τ )] :=

(1.79)

m dτ q ˙(τ )2 + V (q (τ )) , 2

  0



que es una funcional acotada por abajo si la funci´ on potencial V (q ) también lo es. Para el oscilador arm´ onico tenemos (1.80)

Z (β ) =

 D

m q e 2

−

β

 

dτ q ˙(τ )2 + ω 2q (τ )2

0



.

Supongamos que las trayectorias sobre las que se suma no son s´ olo cerradas sino también periódicas, es decir, que satisfacen adem´ as que q ˙(β ) = q ˙( 0). En esas condiciones, integrando por partes en la integral del argumento de la exponencial (lo que no produce términos de borde) obtenemos que, formalmente, (1.81)

Z (β ) =

 D

m q e 2

−

β



dτ q (τ )

0

∂ τ 2

−

+ω

2



q (τ )

.

Para rectificaciones de las trayectorias en N tramos, el argumento de la exponencial se reduce a una forma cuadr´ atica de los puntos intermedios q n , que es una versi´ on discretizada del producto escalar β

(1.82)



q (τ ), Dω q (τ ) =

donde el operador diferencial (1.83)

 

dτ q (τ )

0

Dω =

2 τ

−∂

−

+ ω2

∂ τ 2 + ω 2 q (τ ) ,



H. Falomir

18

está definido sobre el espacio de funciones peri´ odicas en el intervalo [0, β ] , y la integral m´ ultiple se hace respecto de cierta medida de integraci´ on que, como hemos señalado, es independiente del potencial (independiente de ω en el presente caso). El resultado de la integral m´ ultiple será el determinante de dicha forma cuadr´ atica

−1/2, multiplicado por cierto factor, producto de la medida. Entonces, en el l´ımite N → ∞, cabe esperar que el resultado de la integral funcional sea (cierta versi´ on regularizada de) la potencia −1/2 del determinante elevado a la potencia

funcional del operador diferencial Dω as´ı definido, a menos de un factor independiente del potencial. Consideremos el problema de autovalores de Dω : Dω ψλ (τ ) = (1.84)

−

∂ τ 2 + ω 2 ψλ (τ ) = λ ψλ (τ ) ,



ψ˙ λ (β ) = ψ˙ λ (0) .

ψλ (β ) = ψ λ (0) ,

Esto corresponde a un problema de Sturm - Liouville autoadjunto, con un espectro real discreto y cuyos autovectores forman un sistema ortogonal completo: ψλ (τ ) = e (1.85)

√ ⇒ β λ − ω

√ ±ıτ λ − ω

2

= 2πn

2

√ con e ±ıβ λ − ω

,

⇒ λ = n

  2πn β

2

=1

2

+ ω2 ,

n

∈ Z.

Consideremos el producto

          N

N

λn =

(1.86)

n=1

n=1

2πn β

N

2

β ω 2πn

1+

n=1

2

.

Mientras que el primer factor (independiente de ω) diverge cuando N segundo tiene un l´ımite finito,

                                  ∞

(1.87)

→ ∞ , el

1+

n=1

β ω 2πn

∞

2

= exp

log 1 +

n=1

2

β ω 2πn

2sinh = βω

βω 2

.

En esas condiciones, tomando una frecuencia de referencia ω0 , podemos definir el determinante del operador Dω Dω−01 como (1.88)

Det Dω Dω−01 := l´ım

N →∞

2

ω ω0 2

N

n=1

1+ 1+

βω 2 2πn βω 2 2πn

2

=

de donde resulta que (1.89)

Z (β, ω) = Det Dω Dω−01 Z (β, ω0 )

− 12

.

sinh

sinh

βω 2 βω 0 2

2

,

Path Integrals

19

Este ejemplo muestra que la integral funcional sobre trayectorias peri´ odicas es, en el caso de Lagrangianos cuadr´ a ticos y a menos de una constante de proporcionalidad, una representaci´ o n formal del determinante funcional del operador diferencial que aparece en la acci´ on eucl´ıdea (con dominio en ese subespacio de funciones peri´ odicas). Finalmente, recordemos que ∞

−

Z (β ) :=

(1.90)

e βE n ,

n=0

donde los E n son los autovalores del Hamiltoniano H . Entonces, para β Z (β )

−βE 0

 e

→ ∞,

, donde E 0 es el autovalor correspondiente al estado fundamental.

→ ∞ − −

En consecuencia, para T y ε > 0, ı T (1 ıε)H (1.91) Tr e 





ı −  0| e  T (1 − ıε)H |0 ,

| 

donde 0 es el estado fundamental de H . Por lo tanto, teniendo en cuenta la Ec. (1.78), vemos que la amplitud de probabilidad de persistencia del vac´ıo puede ser representada mediante la integral funcional ı

0, t → ∞| 0, t → −∞ =

(1.92)

f

i

∞

m dt q ˙(t)2 2 −∞

   D qe



− V (q (t))



,

donde se suma sobre las contribuciones de las trayectorias que se cierran al cabo de un tiempo infinito. 1.5.

on de Heisenberg, Potenciales dependientes del tiempo. En la descripci´

los operadores evolucionan seg´ un la ecuación

O˙

(1.93)

H (t) =

ı 



O 

H P H (t), QH (t); t ,

H (t)

.

Cuando el Hamiltoniano es polinómico en P y Q, y tiene una dependencia expl´ıcita en el tiempo que puede separarse de la forma (1.94)



 

 



H P H (t), QH (t); t = H 0 P H (t), QH (t) + H int QH (t); t ,

el operador H int (t) = H (t)

− H (que supondremos de soporte compacto en el 0

on de interacci´ on mediante la transformaci´ tiempo) permite definir la descripci´ on

unitaria (1.95)

O (t) = U (t)O I

I

H (t)U I (t)

†

,

H. Falomir

20

donde U I (t) satisface

(1.96)

U ˙I (t) =

−  ı H

int





QI (t); t U I (t) , l´ım U I (t) = 1 . t→−∞

Como consecuencia, los operadores en esa descripci´ on evolucionan seg´ un la ecuación

O˙ (t) =  ı

(1.97)

I



O 

H 0 P I (t), QI (t) ,

I (t)

.

En esas condiciones, la teor´ıa de perturbaciones dependientes del tiempo permite

|



expresar la amplitud de probabilidad de transici´ o n del estado q i , ti al estado

| q , t  (donde Q (t)| q, t = q | q, t), como la serie asintótica que se obtiene a partir i

i

I

del desarrollo del orden cronol´ ogico de la exponencial en el elemento de matriz

q , t | U (t , t )| q , t   f

(1.98)

f

T exp ∞

=

n=0

× q , t f

I

f

i

i

i

tf

     | − |   −   ×    | |  

 q , t f

f

f

ı

 ti

( ı/ )n n!

H int QI (t); t dt tf

q i , ti :=

tf

dt1 . . .

ti

dtn

ti

QI (tn ); tn T H int QI (t1 ); t1 . . . Hint



q i , ti .

Sea L(q, q ˙; t) el Lagrangiano correspondiente al Hamiltoniano H ( p, q ; t), y L0 (q, q ˙) el correspondiente a H 0( p, q ). Entonces,

(1.99)

Lint (q ; t) =

−H

int (q ; t) .

Path Integrals

21

Recurriendo al resultado obtenido para los elemento de matriz de un producto de operadores ordenados cronol´ ogicamente4, Ec. (1.42), podemos escribir

q , t |T exp f

f

ı

(qf ,tf )



(1.100)

(qi ,ti )

ı

dt L0 (q (t), q ˙(t))

ı



q i , ti =

tf

dt Lint (q (t); t)

e  ti

=

ı

(qf ,tf )

=

 | 

H int QI (t); t dt

 ti

tf



e  ti

Dq

tf

−  

Dq e  S [q (t)] ,



(qi ,ti )

donde tf

(1.101)

S [q (t)] =

 



dt L q (t), q ˙(t); t

ti

es la acción clásica del sistema.

Nuevamente, este resultado se interpreta como la suma de contribuciones de la forma e

ı 

S [q(t)]

provenientes de trayectorias que van de (q i , ti ) a (q f , tf ), integradas

con una medida que no depende del potencial. 1.6.

Ejemplo: el oscilador arm´ onico forzado. El Hamiltoniano de un osci-

lador arm´ onico sometido a la acci´ on de una fuerza externa dependiente del tiempo es P 2 m ω2 2 + Q Q F (t) , 2m 2 donde F (t) es una funci´ on del tiempo a valores numéricos.

−

H (P, Q; t) =

(1.102)

Nos interesa calcular

q , t f

(1.103)

(qi ,ti )

f

ı

(qf ,tf )



Dq

tf

  |   T exp tf

e  ti

dt

ı

 ti

|

QI (t) F (t) dt

m q ˙(t)2 2

−



q i , ti =

m ω2 q (t)2 + q (t) F (t) 2 .



Para ello consideraremos primero un tiempo eucl´ıdeo β > 0, para luego tomar

→ ıT (1 − ıε), donde T = t − t

la extensión anal´ıtica del resultado a β

f

i

yε>

0. Supondremos entonces que F (τ ) es una funci´ on real, suficientemente suave, 4T´ engase

en cuenta que la descripción de Heisenberg se reduce a la descripción de interacción

cuando H int

≡ 0, de manera que lo que mostramos para la primera cuando el Hamiltoniano no

depende expl´ıcitamente del tiempo también vale para la segunda.

H. Falomir

22

−

definida en el intervalo [0, β ] e idénticamente nula fuera del intervalo abierto (δ, β δ ), con δ > 0.

Teniendo en cuenta que la medida de integraci´ on, Ec. (1.31), resulta invariante frente a traslaciones, en la integral funcional del segundo miembro de la Ec. (1.103) hacemos el cambio q (τ )

(1.104)

→ q (τ ) + x(τ ) ,

donde β

x(τ ) :=

(1.105)



Gβ (τ, τ  ) f (τ  ) ,

0



donde f (τ ) := F (τ )/m y Gβ (τ, τ ) satisface

−

(1.106)

∂ τ 2 + ω2 Gβ (τ, τ  ) = δ (τ





− τ ) ,

Gβ (0, τ  ) = 0 = G β (β, τ  ) .

En consecuencia, x(τ ) satisface la ecuaci´ on ∂ τ 2 + ω 2 x(τ ) = f (τ )

−

(1.107)



y condiciones de Dirichlet en los extremos del intervalo de tiempo eucl´ıdeo, de manera que la traslaci´ on no modifica los puntos inicial y final de la trayectoria q (τ ). Entonces, reemplazando en la expresi´ on de la acción eucl´ıdea obtenemos m S E [q (τ ) + x(τ )] = 2 β

+m

        −

(1.108)

dτ q ˙(τ )2 + ω 2q (τ )2 +



0

dτ ∂ τ [q (τ ) x(τ )] ˙ + q (τ )

x ¨(τ )2 + ω 2x(τ )2

˙ + x(τ ) dτ ∂ τ [x(τ ) x(τ )]

¨(τ ) + ω 2 x(τ ) x

0

m + 2

β

  − − 

β

0

m = 2

β

dτ q ˙(τ )2 + ω 2 q (τ )2 + m [q f x(β ˙ )

0

m 2

β

β

dτ

0

 

− f (τ )

+

− 2 f (τ )

=

˙ − q x(0)] − i

dτ  f (τ ) Gβ (τ, τ  ) f (τ  ) .

0

Nótese que el primer término del miembro de la derecha corresponde a la acci´ on eucl´ıdea del oscilador arm´ onico libre , mientras que toda la dependencia de la fuerza externa F (τ ) est´ a contenida en el segundo y tercer término, cuya contribuci´ on a la

Path Integrals

exponencial de

−

1 

23

veces la acci´ on puede factorizarse fuera de la integral funcional

por no depender de la trayectoria. La función de Green G β (τ, τ  ) admite el siguiente desarrollo respecto del sistema

   2 β

sin

nπ β



τ , n = 1, 2, . . . , ortonormal y completo5 en L2 (0, β ):

2 β

Gβ (τ, τ  ) =

(1.111)

       nπ nπ  τ sin τ β β 2 nπ + ω2 β

sin

∞

n=1

,

donde las condiciones de contorno en la Ec. (1.106) est´ an garantizadas por la convergencia uniforme de esta serie. En consecuencia, β

∞

β

 



dτ

(1.112)

0





dτ f (τ ) Gβ (τ, τ ) f (τ ) =

0

f n 2

  n=1

nπ β

,

2

+ ω2

∈ R son los coeficientes del desarrollo en senos de la fuerza externa,

donde los f n

                   

(1.113)

f (τ ) =

nπ τ β , β/2

sin

∞

f n

n=1

Por su parte,

β

x(τ ) =

0

(1.114)

2 dτ  β

∞

=

n=1

5En

f n =

n=1

sin

f n

nπ β

β

2

2

+ ω2

dτ f (τ )2 .

0

nπ nπ  τ sin τ β β 2 nπ + ω2 β

sin

n=1

∞

∞

f (τ  ) =

nπ τ β , β/2

efecto, 2

(1.109)

β

β

n π τ = δ n n , β

     sin

0

nπ τ sin β



n, n = 1, 2, . . .

Similarmente, (1.110)

2 β

β

n π τ = δ n n , β

     cos

0

nπ τ cos β



n, n = 0, 1, 2, . . .

H. Falomir

24

de modo que su derivada es

    ∞

x(τ ) ˙ =

(1.115)

  

nπ nπ f n cos τ β β , nπ 2 β/2 + ω2 β

n=1

dado que (como consecuencia de (1.113)) esta serie converge absoluta y uniformemente. Consideremos el l´ımite de estas expresiones para βω

 1, para lo que conviene

→ τ + β/2. Para la función de Green obtenemos nπ nπ cos (τ − τ ) − cos (τ + τ + β ) 1 β β

redefinir τ



∞



Gβ (τ, τ ) =

(1.116)

β



∞



∞



dE

nπ ı (τ β e

 − nπ β

2

=

=

+ ω2





− τ ) − eıE (τ + τ + β ) E 2 + ω2

−∞



+ ω2

nπ ı (τ + τ  + β ) e β



− τ )

eıE (τ



2

nπ β

n=1

1 = 2β n=−∞

1 = 2π

   



+O

  1 βω

,

donde hemos empleado la f´ ormula de suma de Euler - Maclaurin. El integrando en el miembro de la derecha de la Ec. (1.116) presenta polos simples en E =

±ı ω, de modo que la integral se resuelve cerrando el camino

de integraci´ on en el plano complejo de la variable E . Para el primer término, el 

− τ > 0 y el polo en E = −ı ω para

camino debe encerrar el polo en E = ı ω si τ 

− τ < 0, lo que conduce a

τ

1 e ω τ 2ω



− | − τ | .

(1.117)

En cuanto al segundo término, el camino de integraci´ on debe ser cerrado por el semiplano superior, lo que conduce a una contribución

− 21ω e−ω (τ + τ + β ) 

(1.118)

que se anula exponencialmente r´ apido cuando β crece.

→ ∞ la función de Green se reduce a θ(τ − τ ) −ω (τ − τ ) θ(τ − τ ) −ω (τ − τ ) (τ − τ ) = e + e , 2ω 2ω

Entonces, en el l´ımite β (1.119)

G∞











Path Integrals

25

mientras que su derivada resulta (1.120)

∂ τ G∞





− τ ) e−ω (τ − τ ) + θ(τ − τ ) e−ω (τ − τ ) , (τ − τ ) = − 2 2 θ(τ







lo que muestra que ∞



x(τ ) ˙ =

(1.121)





− τ ) f (τ ) ,

∂ τ G∞ (τ

−∞

| | → ∞ .

para f (τ ) de soporte compacto, se anula exponencialmente cuando τ En definitiva, podemos escribir ∞

   ∞|     − × D q f ,

T exp

∞

dτ

−∞

|

QI (τ ) F (τ ) dτ

 −∞

∞

1 e 2m

(1.122)

1

dτ  F (τ ) G∞ (τ

(qf ,∞)

∞

 −∞

qe

−∞ =





− τ ) F (τ )

−∞

1

q i ,

(qi ,−∞)

dτ

×

m q ˙(τ )2 + ω 2 q (τ )2 2 .





Transformemos ahora esta expresi´ on a tiempo minkowskiano mediante el cambio

→ ıt(1 − ı0),

τ

q f ,

(1.123)

∞

   ∞|     × D ı

T exp

ı e 2m

 −∞

∞

∞

dt

−∞

|

QI (t) F (t) dt

dt F (t) GF (t

−∞

ı

(qf ,∞)

qe



−∞ =





− t ) F (t )

∞

m dt q ˙(t)2 2 −∞



(qi ,−∞)

q i ,

2

− ω q (t)

× 2



,

donde F (t) es una funci´ on suave de soporte compacto y (1.124)

GF (t) := ı l´ım+ G∞ (ıt(1 ε→0

−

ı ıε)) = θ(t) e ı ω t + θ( t) eı ω t 2ω

corresponde al propagador de Feynman .



−

−



Esto muestra que la extensi´ on anal´ıtica desde tiempos eucl´ıdeos, necesaria para dar sentido a la integral funcional, implica la propagaci´ on de las frecuencias positivas hacia el futuro y de las frecuencias negativas hacia el pasado.

H. Falomir

26

Tomando q f = q i = q en la Ec. (1.123) e integrando en q obtenemos la amplitud de probabilidad de persistencia del vac´ıo,

ı

Tr T exp



= 0,

(1.125)

I

=

QI (t) F (t) dt

0,

∞

 −∞ ∞

ı e 2m

∞

−∞ =

dt F (t) GF (t

dt

−∞

 |

H H (t) dt

 −∞

ı

T exp

 ∞| 0, −∞

= 0,

∞

 −    ∞|  

−∞





− t ) F (t )

,

donde hemos tenido en cuenta la Ec. (1.92) y el hecho de que F (t) es de soporte

| | → ∞ los estados estacionarios son los del

compacto (de manera que para t Hamiltoniano libre H 0 ).

 ∞| 0, −∞

En consecuencia, teniendo en cuenta que para el sistema libre 0, (estrictamente, exp

ı

−  

I

=1

→ ∞), dado que ése es el estado de menor

E 0 T , con T

energ´ıa, vemos que la amplitud de probabilidad de transici´ on de vac´ıo a vac´ıo en

presencia de una fuerza externa dependiente del tiempo puede ser expresada como

ı

Z [F (t)] := 0

(1.126)

 D

qe

ı = e 2m

∞

 

 −∞

dt

∞

∞

  dt

−∞

−∞

m q ˙(t)2 2

−

m ω2 q (t)2 + q (t) F (t) 2 =

dt F (t) GF (t







− t ) F (t )

,

donde la integral funcional se extiende sobre un conjunto de trayectorias cerradas.

Path Integrals

27

Consideremos ahora una variaci´ on infinitesimal de la fuerza externa, δF (t), de soporte compacto. A primer orden podemos escribir

Z [F (t) + δF (t)] = 0

 ∞| T exp

= 0,

 −∞

qe

 −∞

×

QI (t) F (t) dt

∞

ı

 −∞

∞

ı

=

ı

  ×    D   × 1+

(1.127)

∞

 

dt QI (t) δF (t)

m q ˙(t)2 2

dt

ı

1+

−

|

0,

m ω2 q (t)2 + q (t) F (t) 2



∞

 −∞

−∞ =

dt q (t) δF (t)



×

,

de donde resulta que la derivada funcional

[F (·)] = −ı δ ZδF (t) 0

 ∞| T

= 0,

(1.128)

ı =

 D

qe

∞

     exp ∞

 −∞

ı

 −∞

QI (t ) F (t ) dt

m  2 q ˙(t ) 2

dt

−

 | QI (t)

0,

−∞ =

m ω 2 2 q (t ) + q (t ) F (t ) 2 q (t) .



Este resultado se generaliza inmediatamente al caso de derivadas funcionales de orden superior, (1.129)

δ n 0 [F ( )] ( ı ) = δF (t1 ) . . . δ F (tn)

−

0, ∞| T ı

 D

qe

∞

     ı

exp ∞

 −∞

 −∞

dt

n

Z ·

QI (t ) F (t ) dt

m  2 q ˙(t ) 2

−



|

QI (t1 ) . . . QI (tn )

m ω2 2 q (t ) + q (t ) F (t ) 2



0,

−∞ =

q (t1 ) . . . q (t n) .

H. Falomir

28

Estas relaciones nos permite dar un desarrollo asint´ otico para la amplitud de probabilidad de persistencia del vac´ıo para el caso de un potencial polin´ omial V (q ) arbitrario. En efecto, si 1 V (q ) = m ω 2 + V int (q ) , 2

(1.130)

resulta inmediato mostrar que ı

 D

qe

=e

donde H = +

P 2 2m mω2 2

dt

− V (q (t))



=

T →∞

∞

 −∞

m q ˙(t)2 2

ı HT − l´ım 0| e  | 0 =

  − − ı

P 2 2m

 −∞

=

(1.131)

H 0 =

∞

 

V int

ı

δ  δF (t)



dt

Z [F (·)] 0

 

, F ≡0

|  y la funcional Z [F (·)] está dada en la Ec. (1.126).

+ V (Q), el vector 0 es el estado fundamental del Hamiltoniano 0

El desarrollo formal de la exponencial en el miembro de la derecha de la anterior igualdad, tomado hasta cierto orden en el potencial de interacci´ on V int y aplicado a la funcional

Z [F (·)], permite obtener un desarrollo asintótico en el cual aparece 0

naturalmente la funci´ on de Green de Feynman, lo que corresponde al desarrollo en diagramas de Feynman de la Teor´ıa Cuántica de Campos.

Los resultados hasta aqu´ı obtenidos se generalizan directamente al caso de varios grados de libertad.

2.

Trayectorias en el espacio de Bargmann - Fock

Cambiando la escala de los operadores P y Q seg´ un (2.1)

→

P

√

m  ω P ,

Q

→





mω

Q ,

de modo que los operadores P y Q resultantes sean herm´ıticos y sin dimensiones, con un conmutador (2.2)

[P, Q] =

−ı ,

Path Integrals

29

el Hamiltoniano del oscilador arm´ onico se reduce simplemente a H 0 =

(2.3)

 ω

P 2 + Q2 .



2



Los correspondientes operadores de creaci´ on y destrucci´ on se definen como6 a :=

(2.5)

Q + ıP , 2

a† :=

√

Q

− ıP , √ 2

donde a † es el adjunto de a, y se satisface que



1 H 0 =  ω a† a + 2

a, a† = 1 ,

 

(2.6)



.

Los autovectores del operador (no herm´ıtico) a,

|

a z =

(2.7)

Q + ıP z = z z , 2

√ | 

|

∈ C ,

con z = x + ıy

son los llamados estados coherentes del oscilador armónico. Empleando la representaci´ on de estos operadores en el espacio de configuraci´ on obtenemos

  √

1 d q a z = a q z = q + ψz (q ) = z ψz (q ) , dq 2

||

(2.8)

|

|

donde ψ z (q ) = q z . Esta ecuaci´ on implica que d log ψz (q ) = dq

(2.9)

√ 2 z − q =

d dq

√

2 z q

−

q 2 2



,

de donde resulta que (2.10)

ψz (q ) = K (z ) exp

−

q 2 + 2

√ 2 z q ∈ L (R, dq ) , ∀ z ∈ C ,



2

donde K (z ) es una constante de normalizaci´ on dada por z¯z z 2 K (z ) = π −1/4e 2 e 2 ,

−

(2.11) donde z¯ = x 6De

(2.4)

−

− ıy.

donde resulta que Q =

a† + a

√ 2

y

P = ı

a †

√ −2 a .

H. Falomir

30

{|  ∈ C} constituye un sistema (sobre)completo

Puede verificarse que el conjunto z , z

H. En efecto, d¯ z dz q |z z |q  = 2πı

en el espacio de Hilbert

 − 

∞

dx

−∞

dy

−∞

×

 − √ √ − √ −  −    − √  − −  − −

3/2

2π = 3/2 δ π

∞

1 2 2  q + q 2 e 2 e 2 x e 2 x(q + q ) + ı 2 y(q

× π1 (2.12)



 

1 2 q + q 2  q ) e 2

2 (q

∞

q  ) =

 2 dx e 2 x e 2 x(q + q ) =

−∞

∞

δ (q q  ) = π 1/2

u2

du e

2 u q + q 2 = δ (q

q  ) ,

−∞

≡ 2ıdxdy.

donde hemos usado que d¯ z dz

Por lo tanto, tenemos la siguiente descomposici´ on espectral de la identidad, I =

(2.13)

d¯ z dz z z , 2πı

|  |

|  ∈ H puede ser escrito como z dz |ψ = d¯2πı |z z |ψ .

y cualquier vector ψ (2.14)





Esto implica que la correspondiente funci´ on de onda est´ a dada por (2.15)

| 

ψ(q ) := q ψ =

con



d¯ z dz q z z ψ = 2πı

 |  | 

∞

(2.16)

z |ψ =



∞

 |  | 

dq z q q ψ =

−∞





d¯ z dz ψz (q ) z ψ , 2πı

dq ψz (q )∗

| 

z¯z − ψ(q ) = e 2 f (z¯ ) ,

−∞

donde (2.17)

f (z¯ ) := π −1/4

∞



− z¯ − 2 q √ 2 z¯ + q

1 dq e 2

−∞



2

2



ψ(q )

es una función anal´ıtica entera de la variable z¯ . En efecto, tenemos que

 √  −  − √    ≤  √  −  − √  ≤   ∞

dq

2 q

n

1 e 2

q 2

2

2 q 2 z¯

ψ(q )

−∞

(2.18)

∞

dq

−∞

2 q

2n

e

q 2

q 2(¯ z + z )

ψ(q )

2

,

Path Integrals

31

de modo que converge absoluta y uniformemente en todo compacto del plano complejo z¯ . Por lo tanto, la integral en el miembro de la derecha de la Eq. (2.17) tiene derivadas continuas de todo orden. Por su parte, la norma del vector de estado puede escribirse como



2

ψ = ψ|ψ =

(2.19)

d¯ z dz ψ z z ψ = 2πı

 |  | 



d¯ z dz e z¯z f ∗ (z )f (¯ z ) . 2πı

−

Además, teniendo en cuenta que (2.20)

∞

z |w =



∞

 |  | 

dq z q q w =

−∞

1 1 z¯z + z¯ 2 ww + ¯ w2 1 = e 2 e 2 π

√

1 − = e 2

− 



z¯z + z¯ 2

−

−∞

  −

( z¯ + w) q + 2 q 2

∞

dq e

 | 



2

√

−∞



z¯z z¯z f (¯ z ) = e 2 z ψ = e 2 z¯z = e 2

dq ψz (q )∗ ψw (q ) =

1 1 ww + ¯ w2 (¯ z + w)2 e 2 e2 = e

−

resulta que f (z¯ ) satisface la relaci´ on

(2.21)







=

¯ − 12 (¯zz + ww) e z¯w ,

dw¯ dw z w w ψ = 2πı

 |  | 

1 ww ¯ (¯ zz + ww) ¯ dw ¯ dw e 2 e z¯w e 2 f (w) ¯ 2πı

−

=



dw ¯ dw z¯w e 2πı

−

¯ f (w) − ww ¯ .

|

Vemos entonces que la proyecci´ on de los vectores de estado ψ sobre los vectores

| 

de la base de estados coherentes z corresponde a efectuar una transformaci´ on unitaria (isometr´ıa con inversa),

|ψ ↔ f (¯z )

(2.22)



o, eqivalentemente, ψ(q )

↔ f (¯z ) ,



H (o bien, L (R, dq )) en un espacio de Hilbert formado por funciones

que aplica

2

enteras de la variable z ¯, de cuadrado integrable sobre el plano complejo respecto de la medida (2.23)

d¯ z dz 2πı

ucleo reproductor e−z¯z , y dotado de un n´

zw. P (¯ z, w) := e ¯

H. Falomir

32

El producto escalar en este espacio, que llamaremos de Bargmann - Fock , está dado por

ψ|χ =

(2.24)

1



d¯ z dz ψ z z χ = 2πı

 |  | 



d¯ z dz e z¯z f ∗ (z ) g(¯ z ) , 2πı

−

donde g(¯ z ) = e 2 z¯z z χ .

|

En esta realizaci´ on del espacio de Hilbert los operadores de creaci´ on y destrucción tienen la siguiente representaci´ on: †

†

   

†

z |a |ψ = a|z  |ψ = z |z  |ψ = z¯ z |ψ

(2.25)

a† f (¯ z )

⇒

= z¯ f (¯ z ) ,

y †

ψ a χ = a† ψ

(2.26)

=

d¯ z dz ∗ e z¯z z¯ f (¯ z ) g(¯ z ) 2πı

   −   || | |  −  − −   − ⇒ χ =

d¯ z dz z e z¯z f ∗ (z )g(¯ z ) = 2πı

d¯ z dz 2πı

d¯ z dz e z¯z f ∗ (z ) ∂ z¯ g(¯ z ) 2πı

=

∂ z¯ e z¯z f ∗ (z ) g(¯ z )

z ) a g(¯

= ∂ z¯ g(¯ z ) ,

Entonces a†

(2.27)

≡ z¯

y

a

≡ ∂ , z¯

y se satisface que a, a†

 

(2.28)

= [∂ z¯, ¯ z ] = 1 .

Con esta representaci´ on, el operador Hamiltoniano del oscilador arm´ onico resulta (2.29)



1 H0 =  ω a a + 2 †

 

1 =  ω z¯ ∂ z¯ + 2

y el operador n´ umero (2.30)

N = a † a =

z¯ ∂ z¯ .



,

Path Integrals

33

Naturalmente, ambos son operadores herm´ıticos en el espacio de Bargmann Fock, lo que es fácil de ver integrando por partes en el producto escalar d¯ z dz e z¯z g ∗(z ) (¯ z ∂ z¯ f (¯ z )) = 2πı

=

(2.31)

 −  − −   − −   −  − d¯ z dz 2πı

∂ z e z¯z g ∗ (z ) (∂ z¯ f (¯ z )) =

d¯ z dz 2πı

=

∂ z z e z¯z g ∗(z ) f (¯ z ) =

=

d¯ z dz e z¯z (z ∂ z g ∗(z )) f (¯ z ) = 2πı

=

d¯ z dz e z¯z (¯ z ∂ z¯ g(¯ z ))∗ f (¯ z ) . 2πı

El estado de vac´ıo se define por (2.32)

z¯z 0 = e 2 z a 0 = a f 0(¯ z ) = ∂ z¯ f 0 (¯ z )

| | 

⇒

f 0 (¯ z )

≡ 1,

donde f 0 (¯ z ) est´ a correctamente normalizado dado que (2.33)



d¯ z dz 1 e z¯z f 0 (z ) 2 = 2πı π

− |

|

∞

∞

  dx

−∞

−∞

dy e −



x2 + y 2 = 1 .



Por su parte, los estados excitados est´ an dados por (2.34)

z¯z z¯z n n a† z¯ n a† f n (¯ z ) = e 2 z n = e 2 z 0 = f 0 (¯ z ) = . n! n! n!

 | 

 | √ |  √

√

Resulta evidente que (2.35)

z¯ n z ) = z¯ ∂ z¯ = n f n(¯ z ) N f n (¯ n!

√

y (2.36)

H0 f n (¯ z )

 

=  ω n +

1 f n (¯ z ) . 2

Es inmediato verificar que los estados estacionarios as´ı obtenidos (que forman un sistema completo) son ortonormales. En efecto, sin pérdida de generalidad

H. Falomir

34

≥ m en el producto escalar z dz −z¯z z √ n! √ z¯m! e = n| m = d¯2πı

podemos suponer que n

=

(2.37)

√ n!1 m!

=

m

d¯ z dz ( ∂ z¯)n e z¯z z¯ m = 2πı

1 n! m!

√

n

   −  − {

−



d¯ z dz z¯z e (∂ z¯)n z¯ m = δ n m . 2πı

}

Finalmente, se˜ nalemos que la evoluci´ on temporal de la funció n de onda en el espacio de Bargmann - Fock, f (z¯ ), está dada por z¯z e 2 z e

ı ı Ht − −  |  |ψ = e  H t f (¯z ) =

(2.38)

ı ı − − ωt −ıωt ¯ ωt z ∂ f (¯ = e 2 e z ) = e 2 f (e z¯

2.1.

−ıωt

z¯ ) .

Operadores en el espacio de Bargmann - Fock. Consideremos ahora

H, que tiene un desarrollo de la forma

un operador A, definido en ∞

(2.39)

A =

∞

 |  |

|  |

n n A m m =

n,m=0

|

 |

n An m m .

n,m=0

Entonces, de la Ec. (2.34) obtenemos ∞

z | A |w = (2.40)

z¯z ww ¯ − − = e 2 e 2

 | 

n,m=0

∞



 | 

z n An m m w =

An m

n,m=0

z¯ n wm = e n! m!

√ √

¯ − z¯2z e − ww 2 A(¯ z, w) ,

donde hemos llamado ∞

(2.41)

A(¯ z, w) :=



n,m=0

An m

z¯ n wm n! m!

√ √

que, para An m suficientemente bien comportado, será una funci´ on anal´ıtica de z¯ y de w.

Path Integrals

35

La acci´ on de A sobre un vector de estado puede describirse como



z | A |ψ = z¯z − = e 2

(2.42)



dw ¯ dw z A w w ψ 2πı

 | |  | 

dw ¯ dw ¯ A(¯z, w) f (w) e ww ¯ 2πı

−



⇒ A f (¯z ) =

⇒

dw¯ dw ¯ A(¯ e ww z, w) f (w) ¯ . 2πı

−

De ese modo, A act´ u a sobre el espacio de Bargmann - Fock como un operador integral de n´ ucleo A(¯ z, w).

En particular, el n´ ucleo del operador identidad est´ a dado por ∞

I (z¯, w) =

(2.43)



z¯ n wm = n! m!

√ √

δ n m

n,m=0

∞

 n=0

(¯ z w)n = e z¯ w , n!

que es precisamente el n´ ucleo reproductor del espacio. Similarmente, se puede ver que el n´ ucleo de la composici´ on de dos operadores está dado por (A B)(¯ z, v) =

(2.44)



dw ¯ dw ¯ A(¯ e ww z, w) B(w, ¯ v) . 2πı

−

La traza del operador A se define por ∞

Tr A :=

∞

 |

n A n =

n=0

(2.45) =



d¯ z dz n z z A n = 2πı n=0

  |  |  | |     |  | |  | |

d¯ z dz z A 2πı

|

∞

n n

z =

n=0

d¯ z dz z A z . 2πı

Haciendo uso de la Ec. (2.40) obtenemos (2.46)

Tr A =



d¯ z dz e z¯z A(¯ z, z ) . 2πı

−

Para llevar al operador A al orden normal , a partir de la Ec. (2.39) escribimos ∞

(2.47)

A =



n

An m

n,m=0

Señalemos que (2.48)

†

a† am 0 0 . n! m!

√ |  | √

| 00| ≡ : e −a a :=

∞

( 1)n † a n!

−   n=0

n

an .

H. Falomir

36

En efecto, tenemos que el conmutador



: e a a :, a† =

n=0

∞

(2.49)

=

∞

( 1)n † a n!

 −    − −   − − ⇒ †

( 1)n † a n!

n=0

n

n

an , a† =

† a† : e a a :

n an−1 =

† : e a a : a † = 0 .

−

⇒ Entonces,

† : e a a : n = 0 , para n > 0 ,

−

(2.50)

|

mientras que † : e a a : 0 = 0 .

−

(2.51)

| |

Por lo tanto, la Ec. (2.47) puede ser escrita como ∞

n



A =

† a† am a a : e := n! m!

√ − √

An m

n,m=0

(2.52) ∞

=

( 1)k k!

∞

∞

An m † (n+k) (m+k) AN n nm a a =: a† am , n! m! n! m! n,m=0

 −  √ k=0

n,m=0

 √

lo que define los coeficientes AN n m del desarrollo de a en orden normal. Teniendo en cuenta la representaci´ on de los operadores de creaci´ on y destrucci´ on en el espacio de Bargmann - Fock, Ec. (2.27), podemos escribir que ∞

Af (¯z ) =

(2.53)

AN nm z¯ n ∂ z¯m f (¯ z ) , n! m!

 √

n,m=0

o bien, empleando el n´ ucleo reproductor del espacio, Ec. (2.21),

Af (¯z ) = (2.54)

=





∞

dw ¯ dw AN nm ww ¯ zw f (w) e z¯ n ∂ z¯m e ¯ ¯ = 2πı n! m! n,m=0

−

dw ¯ dw ¯ z¯w e ww + 2πı

−

=



 √  ∞

n,m=0

AN nm

n

√ n! m! z¯ w

m



dw ¯ dw ¯ z¯w AN (¯ e ww + z, w) f (w) ¯ , 2πı

−

f (w) ¯ =

Path Integrals

37

donde el n´ ucleo auxiliar AN (¯ z, w) se obtiene del desarrollo de A en orden normal cambiando a †

→ z¯ y a → w.

A también puede ser escrito

De all´ı surge que el n´ ucleo del operador integral como

zw AN (¯z, w) , A(¯ z, w) = e ¯

(2.55)

lo que simplifica su c´ alculo. Además, reemplazando en la expresi´ on de la traza, Ec. (2.46), también resulta que Tr A =

(2.56)

2.2.



d¯ z dz N A (¯z, z ) . 2πı

Integrales de camino en el espacio de Bargmann - Fock. Estamos

ahora en condiciones de considerar el n´ ucleo del operador de evoluci´ o n de una part´ıcula en su representaci´ on como operador integral sobre el espacio de Bargmann - Fock. Supondremos que el Hamiltoniano de una part´ıcula sometida a la acci´ on de un potencial V (Q) = 21 m ω2 Q2 + . . . , donde los puntos suspensivos representan términos de o´rdenes diferente del cuadr´ atico (que pueden incluso tener una dependencia suave en el tiempo), ha sido expresado en términos de los operadores a† y a y llevado al orden normal, H = H a† , a; t = : H a† , a; t : .

   

(2.57)

Entonces, el operador de evoluci´ on de la descripci´ on de Sch¨ odinger correspondiente a un intervalo de tiempo infinitesimal (t +

t, t) está dado por

ı H a , a; t t − ı U (t) = e  = 1 − H a , a; t t + O(t ) ,  †

(2.58)

 

2

†

 

donde los dos primeros términos del desarrollo del miembro de la derecha est´ an expresados en orden normal. El correspondiente n´ ucleo auxiliar es (2.59)

ı H (¯ z, w; t) t − (¯ z, t + t; w, t) = e 

U N

y para su n´ ucleo como operador integral tenemos (2.60)

U (z¯, t +

t; w, t) = e

z¯w



−  ı H (¯z, w; t) t

1 + O( t2 ) ,







1 + O( t2 ) .





H. Falomir

38

De la composici´ o n de operadores sobre el espacio de Bargmann - Fock, Ec. (2.44), resulta que (2.61)



U (z¯, t + 2 t; w, t) = =

=



×



d¯ η dη e η¯η U (z¯, t + 2 t; η, t + 2πı

−



z¯η d¯ η dη e η¯η e 2πı

−

1 + O( t2)



−  ı H (¯z, η; t + t) t e η¯w −  ı H (¯η, w; t) t ×

  2

t) U (¯η, t + t; w, t) =

=

1 1 (¯ zη + η¯w) (¯ z d¯ η dη e2 e2 2πı

{ − η¯)η − η¯(η − w)} ×

ı − × e  {H (¯z, η; t + t) + H (¯η, w; t)} t



1 + O( t2 )

Para un intervalo de tiempo finito, (ti , tf ), tomando





t =

2

tf −ti N

.

con N

 1,

podemos escribir para el n´ ucleo del operador de evoluci´ on de la descripci´ o n de Sch¨ odinger

N −1

U (¯ zf , tf ; z i , ti ) =

n=1

N −1

(2.62)

ı

×e

1 (¯ zf z N −1 + z¯1 z i ) e2

        −  −

×e

z¯n +1 z¯n 2ı t

t



n=1

ı

z n

z¯n

z n

− z 2ıt

n−1



N −1

 −  

d¯ zn dz n 2πı

t

H (¯ z n+1, z n ; tn )

n=0





1 + O(N −1) ,

donde hemos llamado tn := t i + n t, z 0 := z i y z¯N := z¯f .



×

×

Path Integrals

39

→ ∞ del miembro de la derecha será denotado por

El l´ımite para N

1 z¯f z (tf ) + z¯ (ti )z i [¯z (t), z (t)] e 2



z¯(tf )=¯ zf

U (¯ zf , tf ; z i , ti ) =



D

z(ti )=zi

ı

(2.63)

×e

tf

   −  −        − dt

 ti



z¯˙ (t)z (t)

2ı

tf

ı

T exp

z¯ (t)z ˙ (t)

 ti





×

H (¯ z (t), z (t); t)

dt H a† , a; t



(¯ z f , z i ) ,

lo que se interpreta como una suma de contribuciones provenientes de trayectorias continuas en el plano complejo, (z (t), ¯ z (t)), que satisfacen las condiciones (inicial y final respectivamente) z (ti ) = z i y z¯ (tf ) = z¯f . Nótese que z¯ (t) no es la compleja conjugada de z (t), de manera que z¯ (ti ) es el valor (no condicionado ) que adopta de la trayectoria z ¯(t) en t = ti . Similarmente, z (tf ) es el valor que la trayectoria z (t) toma en t = tf . En consecuencia, el primer factor exponencial en el integrando del segundo miembro depende de la trayectoria y no puede ser extra´ıdo fuera de la integral funcional. Señalemos que el argumento de la exponencial en el integrando del segundo miembro de la Ec. (2.63) puede ser entendido (a menos de t´ erminos de borde) como la acci´ on clásica de la part´ıcula expresada en términos de las combinaciones linealmente independientes de la coordenada y el impulso dadas por z =

(2.64) En efecto,

 

tf

  dt

ti

(2.65)

mω p q + ı 2 mω



z¯˙ (t)z (t)

2ı

−

=



,

z¯ =

  −  mω q 2

mω z¯ (t)z ˙ (t) = 4ı

−



tf 1 p q + 2 ti

tf



dt

ti

ı

p mω

.

2ı p q ˙ p˙ q = mω



−



tf

 

dt p q˙ .

ti

Por su parte, la medida de integraci´ on as´ı expresada se reduce a d¯ z dz mω 2ı dpdq = dpdq = , 2πı 4πı  mω 2π 

 

(2.66)

lo que muestra que se trata de una suma de contribuciones provenientes de trayectorias sobre el espacio de fase, con condiciones iniciales especificadas para la p combinaci´ on q + ı mω y finales para q





p ı mω .

− 

H. Falomir

40

En particular, esto muestra que la convergencia de las integrales en el segundo miembro de la Ec. (2.62) requiere (como anteriormente) de la introducción de una parte imaginaria negativa en la variable temporal: t

→ t(1 − ıε), con ε > 0.

Estos resultados se extienden directamente al caso de varios grados de libertad. Para el c´ alculo efectivo de integrales funcionales en esta formulaci´ on (también llamada holomorfa ) es necesario recurrir al siguiente resultado. Consideremos una matriz no singular M cuya parte herm´ıtica, positiva definida. Entonces, si llamamos

¯= Z

(2.67)





z¯1 z¯2 . . . z¯N

,

Z =

¯ y W , tenemos que y similarmente para W

  N

d¯ zn dz n 2πı n=1

(2.68)

  

  

z 1 z 2 .. . z N

1 2

M + M † , sea





,

−

¯ ¯ ¯ ¯ −1 e ZMZ + W Z + ZW = (det M )−1 eW M W .

En efecto, si M = H + ıA, con H, A matrices herm´ıticas y H positiva definida, entonces una transformaci´ on unitaria U 1 seguida de un cambio en la escala de las

→ 1, donde 1 es la matriz identidad de

variables de integraci´ on permite llevar H

× N :

N

H = U 1† diag(h1 , h2 , . . . , hN ) U 1 ,

(2.69)

con hi > 0 para i = 1, 2, . . . , N . Esas dos transformaciones tienen asociado un Jacobiano igual a (det H )−1 , e implican el cambio ¯ W

→ W ¯ = W¯ U

(2.70)



→ W =

W

† 1







diag (h1 , h2 , . . . , hN )

diag (h1, h2 , . . . , hN )



− 12

− 12



,

U 1 W .

Por lo tanto, en lo que sigue es suficiente considerar M = 1 + ıA1 , donde



A1 = diag(h1 , h2, . . . , hN )

(2.71)



− 12

U 1 A U 1†



diag (h1, h2 , . . . , hN )

− 12



.

Pero A1 = A †1 tambi´ en es llevada a una forma diagonal y real por cierta transformación unitaria U 2 , A1 = U 2† diag (a1 , a2 , . . . , aN ) U 2 ,

(2.72)

∈ R, para i = 1, 2, . . . , N .

con ai

Path Integrals

41

¯  = W ¯  U † y W  = U 2 W  , podemos escribir la integral De ese modo, llamando W 2 múltiple ultiple como N

  N

dz z¯n dz n 2πı n=1

(2.73) =

 − e

¯  Z + z z¯k (1 + ıak )z k + W + Z¯ W  =

k=1

¯  diag (1 + ıa + ıa1 , 1 + ıa2 , . . . , 1 + ıa + ıaN ) e W diag



det(1 + ıA1 )

¯ det H + ıA = e W H + det(H det(H + + ıA) ıA)



donde hemos usado las Ec. (2.70 - 2.71).

−1





−1

W  =

W ,

Finalmente, multiplicando por (det H )−1 obtenemos el segundo miembro de la Ec. (2.68). 2.3. 2.3.

ıβ y haciendo uso de la − t → −ıβ y

La func funci´ i´ on on de partici´ on. on. Tomando tf

i

Ec. (2.46), obtenemos la siguiente representaci´ on on para la funci´ on on de partici´ on o n de un sistema descrito por un Hamiltoniano independiente del tiempo, β

Z (β ) = Tr e−

=

β

×e

dτ

 0

=



H

=

z¯(β )=¯ )=¯ z

dz¯ dz zz e z¯z 2πı 1

(2.74)

dz¯ dz zzz e ¯z U (z, z¯, ıβ ; z, 0) = 2πı

    −  D    − −

−

1 z¯ z (β ) + z z¯ (0) (0) z [¯z z (τ ) τ ), z (τ )] τ )] e 2



z (0)=z (0)=z



2

dz¯ dz 2πı

z z¯ (τ ) τ )z ˙ (τ ) τ )

z¯(β )=¯ )=¯ z

  D   − 1

× e

−

 0

z (0)=z (0)=z

z z¯˙ (τ ) τ )z (τ ) τ ) + H z z¯ (τ ) τ ), z (τ ) τ )

   −×

z¯ (0) (0) [¯z z (τ ) τ ), z (τ )] τ )] e z

 ×  =

z z¯ z

β

dτ



 z z¯ (τ ) τ )z ˙ (τ ) τ ) + H + H

z z¯ (τ ) τ ), z (τ ) τ )



,

donde hemos integrado por partes el término ermino z z¯˙ (τ ) τ )z (τ ) τ ) en el argumento de la exponencial. La integral funcional resultante puede ser interpretada como una suma de contribuciones provenientes de un conjunto de trayectorias continuas en el plano comple-





jo, z z¯ (τ ) τ ), z (τ ) τ ) , donde la condición on final para la primera es la compleja conjugada

H. Falomir

42

de la condici´ on on inicial para la segunda segund a (valores sobre los cuales también en se integra finalmente). Señalemos nalemos que tambi´ t ambi´ en en es e s posible p osible expresar e xpresar formalmente la funci´ on de partici´ on on como una suma sobre trayectorias no condicionadas, siempre que se introduzcan deltas de Dirac que impongan las anteriores condiciones,

  D  −   − ×     − −    −  D ×     −

Z (β ) =

dz¯ dz

[¯z z (τ ) τ ), z (τ )] τ )] δ z

× (2.75)

z z¯ z e

 0

dτ

 z z¯ (τ ) τ )z ˙ (τ ) τ ) + H + H

z z¯ (0) (0)

ı

1

×e

 0

z z¯ (β )

ı

[¯z z (τ ) τ ), z (τ )] τ )] e

=

z z¯ (β )

β

1

z¯ (0) (0) e z

z (0) (0) δ z z¯

z z¯ (τ ) τ ), z (τ ) τ )

=

z (0) (0)

β

dτ

 z z¯ (τ ) τ )z ˙ (τ ) τ ) +

H z z¯ (τ ) τ ), z (τ ) τ )

.

Pero, a partir de esta expresi´ on, se puede argumentar que al integrar sobre on, todos los posibles valores que z (τ ) τ ) puede tomar en τ τ = 0 se origina un factor



ıδ z z¯ (0) (0)



olo contribuyen a la funci´ on on de partici´ on on las − z z¯ (β ) , lo que sugiere que sólo

trayectorias z z¯ (τ ) τ ) cerradas .

Integrando por partes el término ermino z ¯(τ ) τ )z ˙ (τ ) τ ) en la segunda exponencial del integrando de la Ec. (2.74) se llega a la misma conclusión on para la trayectoria z (τ ). τ ). Por lo tanto, la función on de partición on admite ser representada formalmente como una integral funcional sobre trayectorias complejas cerradas, lo que expresaremos como β

1

(2.76)

Z (β ) =

 D

[¯z z (τ ) τ ), z (τ )] τ )] e

  −  0

dτ



+ H  z z¯ (τ ) τ )z ˙ (τ ) τ ) + H



z z¯ (τ ) τ ), z (τ ) τ )

.

Esta interpretaci´ on se ve reforzada al considerar un Hamiltoniano cuadr´ on atico, H =  ωzz z¯z , para el cual β

(2.77)

Z 0 (β ) =

 D

[¯z z (τ ) τ ), z (τ )] τ )] e

 − 0

dτ z z¯ (τ ) τ ) [∂ τ τ + ω ] z (τ ) τ )

.

Por lo que hemos visto anteriormente, esta integral funcional toma el valor de la inversa del determinante funcional (regularizado) del operador diferencial de

Path Integrals

43

primer orden D = [∂ τ τ + ω] definido sobre un dominio de funciones que satisfacen la condici´ on on de contorno z (β ) = z (0). (0). El adjunto de ese operador resulta ser el operador D† = [ ∂ τ τ + ω ] con dominio

−

de definición on en el conjun conjunto to de funcion funciones es que tambi tambi´én en satisfa satisfacen cen la propieda propiedad d z z¯ (β ) = z z¯ (0). (0). Dado que la función on de partici´ on toma valores no negativos, podemos definir el on resultado de la integral funcional de la Ec. (2.77) como proporcional a la potencia 1 2

− 

del determinante funcional de la composici´ on D on D † D =

2 τ τ

−∂

+ ω2 , la que sólo olo

es posible en el dominio restringido (pero denso) de las funciones peri´ odicas (es decir, las que satisfacen adem´ as as que z  (β ) = z  (0)). Tenemos entonces que

 − ∼

Z 0 (β )

(2.78)

Det

∂ τ τ 2

+ω

2

 

− 12

c.c. per. per.

,

con lo que recuperamos el resultado resultado obtenido en la Ec. (1.89) del primer cap´ cap´ıtulo. 2.4. 2.4.

Ejempl Ejemplo: o: el oscila oscilador dor arm´ arm´ onico forzado en el espacio de Bargmann onico

- Fock. Consideremos el Hamiltoniano dependiente del tiempo de la forma

H (a† , a; t) =  ω a† a

†



(2.79)

∗

f (t) a − f (t) a − f (

de donde resulta que el n´ ucleo ucleo auxiliar auxiliar H N (¯z, z, w; t) = H ( H (z, z¯, w; t) =  ω ¯ zw

{

(2.80)



,

∗

f (t) z z¯ − f (t) w} . − f (

Reemplazando en la Ec. (2.63) obtenemos (2.81) z¯(tf )=¯ zf

U ( U (z z¯ f f , tf ; z i , ti ) =



z (ti )=z )=zi

tf

ı

×e

   dt

ti

1 z z¯˙ (t)z (t) 2ı

D

1 z z¯f f z (tf ) + z z¯ (ti )z i [¯z z (t), z (t)] e 2

− z z¯ (t)z ˙ (t)



−

[ω ¯ z z (t) z (t)



×



∗

f (t) z z¯ (t) − f (t) z (t)] − f (

.

Busquemos las trayectorias trayectorias cl´ asicas de este sistema f´ısico, vale decir, aquellas





trayectorias z z¯ (t), z (t) que satisfacen las condiciones inicial y final especificadas en los l´ l´ımites de la integral funcional y que hacen que el argumento de la exponencial exp onencial en el integrando tome un valor extremo. Esas trayectorias est´ an determinadas por las ecuaciones 1 δ  δ z z¯ (t) (2.82)

tf

   ti

dt



2ı

= ı z ˙ (t)

z z¯˙ (t )z (t )





− z z¯ (t )z ˙ (t )

− ω z (t) + f ( f (t) = 0 ,

H z z¯ (t ), z (t ); t

− 

z (ti ) = z i ,



=

H. Falomir

44

y 1 

(2.83)

δ δz (t)

tf

   

dt

2ı

ti

=

z¯˙ (t )z (t )





− z¯ (t )z ˙ (t )

H z¯ (t ), z (t ); t

− 

∗

−ı z¯˙ (t) − ω ¯z (t) + f (t) = 0 ,



=

z¯ (tf ) = z¯f ,

cuyas soluciones son t

 

z (t) = z e −ıω (t − t ) + ı i

i

(2.84) z¯ (t) = z¯ e −ıω (t − t) + ı f

f

−

dt e ıω (t

ti

tf



− t ) f (t ) ,

 dt e ıω (t

−

t



− t) f (t ) . ∗



Reemplazadas en el argumento de la exponencial obtenemos tf

      −   −   −   − ı



dt

 ti

2ı

ı = 2

tf

ı = 2 (2.85)

z¯˙ (t)z (t) tf

ti

tf

{

− t) + ı

dt f (t) z i e ıω (t ∗

tf

i

tf

tf

dt

ti

tf

 

−t )+ı

t

t



 

dt e−ıω (t − t) f (t ) 

−

dt e ıω (t

ti

∗





− t ) f (t ) 

+

=

− t)f (t) + f (t) e −ıω (t − t )z −

dt z¯ f e ıω (tf

ti

1 2

=

}

dt f (t) z¯f e ıω (tf

ti

ı = 2

H z¯ (t), z (t); t

dt f (t) z¯ (t) + f ∗ (t) z (t) =

ti

ı + 2

− z¯ (t)z ˙ (t)



− 



∗

∗

dt f (t)

ti

i





θ(t − t ) e −ıω (t − t ) +







+θ(t − t) e −ıω (t − t) 

i



f (t ) .

Por su parte, el exponente del otro factor en el integrando del miembro de la derecha de la Ec. (2.81) (que s´ olo depende de los valores en los extremos) evaluado en las soluciones clásicas resulta ser 1 z¯ f z (tf ) + z¯ (ti )z i = z¯f e ıω(tf ti ) z i + 2 (2.86) ı tf + dt z¯f e ıω(tf t) f (t) + f ∗ (t) e ıω(t ti ) z i 2 ti



 



−

−

−

− −

−



.

Path Integrals

45

La suma de los miembros de la derecha de las Ecs. (2.85) y (2.86) da ı veces la





acción clásica evaluada en las trayectorias cl´ asicas, S z¯f , tt ; z i , ti . −ıω(tf −ti )

, − ıε) con ε > 0, los factores e tienden exponencialmente a cero cuando t → ∞ y t → −∞,

Nótese que, con t cambiado por t(1 e −ıω(tf −t) y e −ıω(t−ti )

f

i

de modo que el segundo miembro de la Ec. (2.86) tiende a 0, mientras que del miembro de la derecha de la Ec. (2.85) sólo sobrevive el término ∞

ıω

(2.87)

∞

  dt

−∞

dt f ∗ (t) GF (t

−∞





− t ) f (t ) ,

donde la funci´ on de Green de Feynman ha sido definida en la Ec. (1.124). Ahora bien, aprovechando que la medida de integraci´ on en la integral funcional de la Ec. (2.81) es invariante frente a traslaciones, hacemos el cambio en las variables de integraci´ on z¯ (t)

¯ y z (t) → z (t) + w(t), con w(t ) = 0 y → z¯ (t) + w(t) i

w(t ¯ f ) = 0. Teniendo en cuenta las ecuaciones que satisfacen las soluciones cl´ asicas, Ecs. (2.82) y (2.83), obtenemos para el n´ ucleo del operador de evoluci´ on ı U (¯ zf , tf ; z i , ti ) = e

 



(2.88)

S z¯f , tt ; z i , ti



×

tf

ı

w(t ¯ f )=0

 ×

w(ti )=0

¯ w(t)] e D [w(t),

− ω) w(t)

dt w(t) ¯ (ı∂ τ

ti

,

donde toda la dependencia en z¯f y z i está contenida en el primer factor. La integral

N (t − t ), puede ser

funcional remanente, que corresponde a un factor constante

−

f

i

interpretada como proporcional a la potencia ( 1) del determinante funcional

− ω) con dominio de

(regularizado) del operador diferencial de primer orden (ı∂ τ

definición en las funciones que satisfacen la condición de Dirichlet en t = t i , w(ti ) = 0.

N (t − t ) considerando el caso en que f (t) ≡

Podemos determinar esa constante

f

i

0, para el cual la acción cl´ asica se reduce simplemente a (ver Ecs. (2.85) y (2.86)) (2.89)

ı 

−

− t )z .

S z¯f , tt ; z i , ti = z¯f e ıω(tf





i

i

H. Falomir

46

− → −ıβ , tenemos que la función de partición del oscilador armónico

Tomando tf ti

libre (descrito por el Hamiltoniano  ω a† a, sustra´ıda la energ´ıa del vac´ıo) es Z (β ) =

N (−ıβ )

=

(2.90)





d¯ z dz z¯z e U z¯, ıβ ; z, 0 = 2πı

−





−

  − − −

e βω z

d¯ z dz z¯ 1 e 2πı

∞

N (−ıβ )

=

N (−ıβ ) = 1 − e −βω

=

−

e βωn ,

n=0

N (−ıβ ) = 1 ⇒ N (T ) = 1.

de donde resulta que Por lo tanto,

ı U (¯ zf , tf ; z i , ti ) = e

(2.91) que, con ti =

−

T 2





S z¯f , tt ; z i , ti



y t f = T 2 , se comporta para T

→ ∞ como

U (¯zf , (2.92)

∞

ıω = e

∞; z , −∞) =

∞

  dt

−∞

i


−∞





− t ) f (t )

.

Tomando la traza del operador de evoluci´ on obtenemos l´ım

T →∞

(2.93)

d¯ z dz z¯z e U (¯ z , T /2; z, T /2) = 2πı

 −   ∞

ıω = e

∞

dt

−∞

−


−∞





− t ) f (t )

.

Teniendo en cuenta que el término de acoplamiento con la fuente externa es (2.94)

+ ıP − ıP −  f (t) Q √ = − f (t) a −  f (t) a = − f (t) Q √ 2 2 †

=



−

∗

∗

mω  (f (t) + f ∗ (t)) 2





mω

Q + ı





2mω

vemos que tomando f (t) real e identificando (2.95)

F (t) =

√

2mω  f (t) ,

(f (t)

∗

− f (t))

√

mω  P ,

Path Integrals

47

el segundo miembro de la Ec. (2.93) resulta ∞

ıω

ı = e 2m

dt f (t) GF (t

dt

e (2.96)

∞

    −∞

∞

−∞

∞

dt

−∞

dt F (t) GF (t

−∞





− t ) f (t ) 

=



− t ) F (t )

=

Z [F (t)] , 0

con lo que recuperamos el resultado de la Ec. (1.125) para la funcional generatriz. 3.

´ nicos Integrales Funcionales para Sistemas Fermi o

Consideremos un oscilador fermi´ onico, sistema de un u ´ nico grado de libertad cuyo Hamiltoniano est´ a dado por7 1 † H =  ω aa 2



(3.4)

†

− aa

 

=  ω a† a

 − 1 2

,

donde los operadores de creaci´ on y destrucci´ on satisfacen a, a† = a a† + a† a = 1 ,

a2 = 0 ,

 

(3.5)

2

a† = 0 ,

lo que implica que el espacio de estados es bidimensional. En efecto, el estado de

| 

vac´ıo 0 se define por

|

a 0 = 0,

(3.6)

mientras que el estado con una part´ıcula se obtiene como †

| 1 = a | 0 ,

(3.7) y satisface a† 1 = 0.

|

7En

la representación j = 12 del grupo SU (2), los generadores satisfacen 2

3 4

− 14 + J = 21 + J ,

J + J − = J 2

− J

J − J + = J 2

− J − J = 43 − 14 − J = 21 − J ,

(3.1)

3

+ J 3 =

3

3

2

3

3

3

3

de modo que (3.2)

{

}

J + J − + J − J + = J + , J − = 1 ,

con J + 2 = 0, J −2 = 0. Por lo tanto, una realización de este sistema cuántico corresponde a una part´ıcula de spin 12 inmersa en un campo magnético constante B , cuyo Hamiltoniano está dado por (3.3)

H = 2 µBJ 3 = 2µB



donde µ es el factor giromagnético de la part´ıcula.

J + J −

−

1 , 2



H. Falomir

48

Por analog´ıa con el desarrollo efectuado en la secci´ on anterior para un grado de libertad bos´ onico, buscamos una realizaci´ on de este espacio de estados de un grado de libertad fermi´ onico en términos de funciones anal´ıticas de cierta variable η¯, f (η¯), sobre las cuales el operador de creaci´ on a† act´ u e como el operador de multiplicaci´ o n por η¯, η) a† f (¯

(3.8) Pero en este caso a†

2



= η¯ f (¯ η) .

= 0, lo que implica que η¯2 = 0. En consecuencia, η¯ no

es una variable compleja sino un elemento nilpotente . Dado que el espacio de estados es complejo, introducimos un elemento conju†

gado 8 de η¯, η = (¯ η ) , que supondremos independiente de η¯ y que, naturalmente, †

también resulta nilpotente, dado que η 2 = (¯ η 2 ) = 0. Requiriendo que combinaciones lineales de η y η¯ también sean nilpotentes resulta (3.10)

(A η + B ¯ η )2 = A B (η ¯ η + η¯ η) = 0 ,

∀ A, B ∈ C ,

de modo que

{η, ¯η} := η ¯η + η¯ η = 0 .

(3.11)

Se dice que elementos nilpotentes y anticonmutantes como η y η¯ generan un algebra de Grassman . ´

Con estas propiedades, las funciones anal´ıticas de la variable η¯ se reducen simplemente a funciones lineales, (3.12)

∈ C ,

f (η¯) = f 0 + f 1 ¯ η,

con f 0, f 1

las que forman un espacio lineal bidimensional (que es lo adecuado a la situaci´ on que queremos describir). Las funciones anal´ıticas más generales de η y η¯ se reducen a polinomios de grado dos con coeficientes complejos de la forma (3.13)

F ( η¯, η) = F 00 + F 10 ¯ η + F 01 η + F 11 ¯ ηη,

∈ C ,

Fij

que forman un espacio lineal de dimensi´ on 22 = 4. 8Supondremos que

esta conjugaci´ on tiene las siguientes propiedades: dados dos elementos de

¯, y sus conjugados, η y ξ , entonces esa naturaleza, η¯ y ξ (3.9)

η¯ ¯ ξ

†



= ξ η ,

A ¯ η + B ¯ ξ





†

= A ∗ η + B ∗ ξ ,

∀ A, B ∈ C .

Path Integrals

49

A partir de las propiedades de las variables de Grassman es también posible definir un producto distributivo y asociativo para estas funciones. Sobre los elementos de este espacio lineal se definen operaciones lineales de derivaci´ on mediante las reglas

¯ η¯, η) = F 10 + F 11 η , ∂F ( (3.14) ∂F ( η¯, η) = F 01

− F

η. 11 ¯

Nótese que, para toda funci´ on F ( η¯, η) tenemos que ¯ η¯, η) = F 1 1 = ∂ ∂F (



(3.15)

  

−∂ ¯ {∂F ( η¯, η)} ,

de modo que estas operaciones de derivaci´ on anticonmutan entre s´ı, ¯ ∂ = ∂¯ ∂ + ∂ ∂ ¯ = 0. ∂,

(3.16)

Además, son operadores nilpotentes, dado que ¯2 F ( η¯, η) = 0 = ∂ 2 F ( η¯, η) , ∂

(3.17)

¯2 = 0 = ∂ 2 . cualquiera que sea F ( η¯, η). Entonces, ∂ También tenemos que, para toda F ( η¯, η), ¯ η¯F ( η¯, η) = ∂ ¯ F 00 ¯ ∂ η + F 01 ¯ η η = F 00 + F 01 η ,

{

(3.18)

}

{

}

mientras que (3.19)

¯ η¯, η) = η¯ F 10 + F 11 η = F 10 ¯ η¯ ∂F ( η + F 11 ¯ ηη,

de modo que





{

¯ η = 1. ∂, ¯

   

(3.20) Similarmente, (3.21)

}

¯ η = 0, ∂,

{∂, η} = 1 ,

{∂, ¯η} = 0 .

Podemos definir las funciones anal´ıticas de η¯ (o de η) mediante estas operaciones de derivaci´ on, imponiendo (por ejemplo) que (3.22)

∂f = 0

⇒

f = f (¯ η ) = f 0 + f 1 ¯ η.

El espacio lineal bidimensional que conforman estos vectores puede constituirse en un espacio eucl´ıdeo isomorfo al espacio de estados del grado de libertad fermiónico si se lo estructura con un producto escalar definido como (3.23)

(f, g) := f 0 ∗ g0 + f 1 ∗ g1 = f g ,

|

H. Falomir

50

donde g(¯ η ) = g 0 + g1 ¯ η , y los vectores de estado corresponden a las combinaciones lineales

|f  = f | 0 + f | 1 , |g = g | 0 + g | 1 .

(3.24) 3.1.

0

1

0

1

Integraci´ on sobre variables de Grassman. Para seguir con la analog´ıa

con el espacio de Bargmann - Fock, buscamos representar (formalmente) este producto interior como una integral en las variables η¯ y η. Para definir esta operaci´ on, le imponemos que sea lineal e invariante frente a traslaciones en η¯. La primera condici´ on implica que



(3.25)

d¯ η f (¯ η ) = f 0



d¯ η 1 + f 1



d¯ η ¯ η,

lo que muestra que es suficiente determinar dos integrales , la de 1 y la de η¯. ¯ es otro elemento del a´lgebra de Grassman La segunda condición significa que, si ξ independiente de η¯ y η (nilpotente y que anticonmuta con ellos), entonces

      ¯ = d¯ η η¯ + ξ

(3.26)

d¯ η ¯ η +

¯= d¯ η 1 ξ



d¯ η  η¯ ,

donde hemos usado la linealidad de esta operaci´ on. Pero esto implica que d¯ η1 = 0.

(3.27)

Y como no queremos que la operación en la Ec. (3.25) sea idénticamente nula, debemos tomar

 

(3.28)



d¯ η ¯ η = 0.

Como tenemos la libertad de normalizar esta integral de modo que (3.29)

d¯ η ¯ η = 1 ,

¯. En efecto, la operaci´ on as´ı definida coincide con la derivaci´ on ∂



(3.30)

¯ ( η¯) , d¯ η f ( η¯) = f 1 = ∂f

∀ f (η¯) .

Similarmente, adoptamos (3.31)



dη 1 = 0 ,

para toda f (η).



dη η = 1

⇒



dη f (η) = ∂f (η) ,

Además, para una función arbitraria de ambas variables de Grassman tenemos (3.32)

  dη

d¯ η F ( η¯, η)

  =

¯ η¯, η) dη F 10 + F 11 η = F 11 = ∂ ∂F (

{

}

Path Integrals

51

y (3.33)

  d¯ η

dη F ( η¯, η)

lo que justifica escribir

  =

{ − F ¯η} = −F

d¯ η F 01

11

11

¯ ( η¯, η) , = ∂∂F

{d¯η ,dη} = 0 .

(3.34) Por otra parte, es evidente que



(3.35)

¯ η¯, η) = 0 = d¯ η ∂F (



dη∂F ( η¯, η) ,

de modo que la integral de una derivada es siempre cero. Finalmente, (3.36)



d¯ η η F ( η¯, η) = ∂¯ η F ( η¯, η) =

−η ¯∂ F ( η¯, η) =

de manera tal que

 − η

d¯ η F ( η¯, η) ,

{d¯η, η} = 0 = {dη, ¯η} .

(3.37)

Frente a una transformaci´ on lineal de las variables de Grassman,

    η¯

(3.38)

= A

η

¯ ξ ξ

,

donde A es una matriz compleja no singular, una función arbitraria F ( η¯, η) se transforma seg´ un (3.39)

¯ ξ . F ( η¯, η) = F A11 ¯ ξ + A12 ξ, A21 ¯ ξ + A22 ξ =: G ξ,



    

En particular, el término cuadr´ atico se transforma en

F 11 ¯ η η = F 11 A11 ¯ ξ + A12 ξ A21 ¯ ξ + A22 ξ =



(3.40)

= F 11 (A11 A22

−A

12

⇒

A21 ) ¯ ξ ξ = F 11 (det A) ¯ ξ ξ

⇒

G11 = F 11 (det A) .

En consecuencia, como el resultado de la integral no puede depender del cambio de variables, ésta debe estar acompa˜ nada de un Jacobiano (que supondremos num´ erico) que haga que, para toda funci´ on F ( η¯, η), sea

  

d¯ η d η F ( η¯, η) =

(3.41) =



¯ ξ = dξ¯d ξ J ( A) G ξ,

−F

11

−J (A) G

11

=

=

−J (A) F (det A) . 11

H. Falomir

52

Por lo tanto, J (A) = (det A)−1

(3.42)

(que es la inversa del Jacobiano correspondiente a una transformaci´ on lineal de variables complejas). Con esas reglas de integraci´ on, podemos ahora representar el producto escalar introducido en la Ec. (3.23) entre las funciones (3.43)

f (¯ η ) = f 0 + f 1 η¯ y g(¯ η ) = g 0 + g1η¯

como la integral sobre variables de Grassman

 = (3.44)

−

† d¯ η d η e η¯η f (¯ η ) g(¯ η) =



d¯ η dη (1

=

− η¯η)

 



f 0∗ + f 1∗η g0 + g1 η¯ =



 

d¯ η dη f 1∗ g1 η η¯



∗ 0 0

− f g ¯ηη



=

= f 1∗ g1 + f 0∗ g0

≡ (f, g) .

Nótese la analog´ıa formal con el producto escalar en el espacio de Bargmann Fock. 3.2.

Operadores en la representaci´ on de estados mediante variables de

on a† corresponde en esta repreGrassman. Recordemos que el operador de creaci´ sentaci´ on del espacio de estados del grado de libertad fermi´ onico a la multiplicación por el elemento de Grassman η¯, η) a† f (¯

(3.45)

= η¯ f (¯ η) .

Para hallar su operador adjunto debemos considerar el producto escalar

    − †

a f, g =

(3.46)

=

=



d¯ η d η e −η¯η

d¯ η d η e η¯η (¯ ηf 0 )† g1 ¯ η=

−

¯ η) = d¯ η d η e η¯η f (¯ η )† ∂g(¯

†

†

   −  − a

f (¯ η ) g(¯ η) =

d¯ η dη ¯ η η f 0∗ g1 =

d¯ η d η e η¯η f (¯ η )† a g(¯ η) ,

Path Integrals

53

de donde resulta que ¯ η) . = ∂g(¯

η) a g(¯

(3.47) Por lo tanto,

a†

(3.48)

≡ η¯ ,

a

≡ ∂¯ ,

de modo que (3.49)

a†

2

= 0,

a2

a, a†

¯ η = 1. = ∂, ¯

   

= 0,

En esta representaci´ on, el Hamiltoniano del oscilador fermi´ onico se escribe como (3.50)

H(a† , a)



=  ω a† a

  − 1 2

=  ω η¯ ¯ ∂

 − 1 2

y sus autovectores, que constituyen un sistema ortogonal y completo en este espacio, son simplemente

−  2ω ,

f (0) (¯ η ) = η¯ 0 = 1 ,

η) H f (0) (¯

=

f (1) (¯ η ) = η¯ 1 = η¯ ,

η) H f (1) (¯

=+

(3.51)

 ω

2

,

|  | 

correspondientes a 0 y 1 respectivamente. En efecto, (3.52) para i, j = 0, 1.



−

† d¯ η d η e η¯η f (i) (¯ η ) f ( j) (¯ η ) = δ ij ,

 

En el caso general, un operador A tiene la expresi´ on 1

(3.53)

A =

| 

 |

n Anm m ,

n,m=0

|  f ) + | 1 (A

|

|

y su acción sobre un vector de estado arbitrario f = f 0 0 + f 1 1 resulta (3.54)

|  |

A f = 0 (A00 f 0 + A01

10 f 0 +

1

A11 f 1 ) .

Obtenemos el mismo efecto en la representaci´ on mediante variables de Grassman introduciendo un operador integral (3.55)

Af (¯η) :=

cuyo n´ ucleo esté dado por



¯ ¯) dξ¯d ξ e ξξ A (¯ η, ξ ) f (ξ

−

1

(3.56)

A (¯ η, ξ ) =



n,m=0

η¯ nAnm ξ m .

H. Falomir

54

En efecto, 1

Af (¯η) =



n

η¯ Anm

n,m=0

¯ ¯) = dξ¯d ξ e ξξ ξ m f (ξ



−

1

(3.57)

=



η¯ n Anm δ m0 f 0 + δ m1 f 1 =

{

n,m=0

}

= η¯ 0 A00 f 0 + A01f 1 + η¯ 1 A10 f 0 + A11 f 1 .

{

}

{

}

En particular, para el operador identidad tenemos 1

 

I (¯ η, ξ ) =

(3.58)

η ξ , η¯ n ξ n = 1 + η¯ ξ = e ¯

n=0

n´ ucleo reproductor de este espacio:

(3.59)

¯ η ξ ¯ dξ¯d ξ e ξξ e ¯ f (ξ ) .

f (¯ η) =

−

Nótese que esta expresi´ on puede escribirse como ¯ η ξ ¯ dξ¯d ξ e −ξξ e ¯ f (ξ ) =

(3.60)



=

    − 

dξ¯ dξ η¯ ξ

¯ ξ ¯ dξ

¯ f (ξ ¯) = − ξξ



¯) , η¯ f (ξ

lo que da una representaci´ on para la delta de Dirac en el espacio de las funciones de una variable de Grassman, ¯ δ ξ

¯ ξ

 − ≡ − 

(3.61)

η¯

η¯ .

La composici´ on de operadores est´ a realizada en este espacio mediante la composici´ o n de sus n´ ucleos, (3.62)

(AB) (¯ η, ξ ) =



−

¯σ A (¯ d¯ σdσe σ η, σ) B (¯σ, ξ ) ,

como puede verificarse f´ acilmente.

Por su parte, la traza del operador est´ a dada por Tr A = A 00 + A11 = (3.63) =



− {



−

d¯ η d η e η¯η A (¯ η, η) =

d¯ η d η e η¯η A00 + A10 ¯ η

−

−A η−A 01

ηη 11 ¯

}.

Nótese el cambio de signo en el segundo argumento del n´ ucleo.

Path Integrals

55

El proyector sobre el estado fundamental puede escribirse como †

| 00| = 1 − a a = : e

(3.64)

−a† a

:,

como puede comprobarse f´ acilmente. Podemos llevar al operador A de la Ec. (3.53) al orden normal escribiendo 1



A =

a†

n

n,m=0

(3.65) 1

=



Anm : a

m

| 0 A 0| a

† n −a† a

e

nm

=

1 m

a :=

n,m=0



n

† m AN nm a a ,

n,m=0

lo que define los coeficientes AN nm del desarrollo en orden normal. En esas condiciones, el operador A en el espacio de funciones de η¯ tiene la expresión 1

A=

(3.66)



¯m AN η n ∂ nm ¯

n,m=0

que, aplicada a una función f (¯ η ) y empleando la expresión del operador identidad, Ec. (3.59), conduce a

Af (¯η) =

(3.67)



1

¯ η ξ dξ¯d ξ e −ξξ e ¯



¯) , AN η n ξ m f (ξ nm ¯

n,m=0

de donde resulta que el n´ ucleo del operador integral se obtiene de la expresi´ on del operador en orden normal, reemplazando a† núcleo reproductor, η ξ A (¯ η, ξ ) = e ¯

(3.68)

→ η¯ y a → ξ , y multiplicando por el

1



AN η nξ m nm ¯

n,m=0

(expresión enteramente similar a la que obtuvimos en el caso bos´ onico, Ec. (2.55)). Vemos entonces que esta representaci´ on del espacio de estados de un grado de libertad fermi´ onico nos permite un desarrollo estrechamente an´ alogo al del caso bosónico. También puede generalizarse f´ acilmente al caso de un n´ umero finito N de grados de libertad, mediante la introducci´ on de N variables de Grassman y sus conjuga-

{

}

das, η¯i , ηi , i = 1, 2, . . . , N , con las propiedades (3.69)

{η¯ , ¯η } = 0 , {η¯ , η } = 0 , {η , η } = 0 , ∀ i, j = 1, . . . , N . i

j

i

j

i

j

H. Falomir

56

El conjunto de funciones de estas 2N variables de Grassman forman un espacio lineal de dimensión 22N , sobre el cual pueden definirse operaciones lineales de derivaci´ on e integraci´ on con las propiedades de anticonmutaci´ on

¯i , ¯ ∂ η j = δ ij ,

  (3.70)

¯i , η j = 0 , ∂

  {      ≡  ¯i , ¯ ∂ ∂ j = 0 ,

d¯ ηi

}

{∂ , η } = δ ,

∂ i , ¯ η j = 0 ,

¯i , ∂ j = 0 , ∂ ¯i , ∂

i

j

ij

{∂ , ∂ } = 0 , i

j

≡ ∂ ,

dηi

i

{d¯η , d¯η } = 0 , {d¯η , dη } = 0 , {dη , dη } = 0 . i

j

i

j

i

j

Por su parte, el espacio de vectores de estado de los N grados de libertad es

{

}

isomorfo al subespacio de las funciones anal´ıticas de las variables η¯1 , . . . , ¯ ηN , de dimensión 2N , estructurado con un producto escalar dado por

(3.71)



    − N

d¯ η1 dη1 . . . d¯ ηN dη N exp

η¯i ηi

†

f ( η¯) g (¯ η) .

i=1

En las aplicaciones resulta necesario considerar integrales de gaussianas sobre variables de Grassman, de la forma N

(3.72)

I =

 

† † † d¯ ηn dηn e η A η + η ξ + ξ η ,

−

n=1

donde

(3.73)

†

η =



η¯1 η¯2 . . . η¯N



,

η =

  

η1 η2 .. . ηN

  

,

y similarmente para ξ † y ξ , y donde A es una matriz compleja no singular arbitraria.

Path Integrals

57

Completando cuadrados y teniendo en cuenta que la medida de integraci´ on ha sido construida de manera que resulte invariante frente a traslaciones, obtenemos †

−1

I = e ξ A ξ

N

 

† d¯ ηn dηn e η A η =

−

n=1

†

−1

= e ξ A ξ

(3.74)

N

 

N

d¯ ηn dηn

n=1

† −1 = e ξ A ξ

( 1)k † η Aη k!

−   k=1

N

( 1)N † d¯ ηn dηn η Aη N ! n=1

−

 

k

N

 

=

,

dado que los términos de mayor orden se anulan por contener m´ as de 2N factores anticonmutantes, y a la integral s´ olo contribuyen los términos con exactamente 2N elementos de Grassman (todos distintos). Cada factor η † A η en el integrando contribuye a cada término no nulo con un

   

factor ηi† Aij η j , y cada contribuci´ on de la forma de un producto de N de tales factores puede ser obtenida de N ! formas distintas, dado que pares de variables de Grassman conmutan entre s´ı, Podemos entonces escribir †

−1

I = e ξ A ξ

N

 

d¯ ηn dηn ( 1)N

−

n=1

N

× (3.75)

       η1† A1i1 ηi1

η2† A2i2 ηi2

i1 ,i2 ,...,iN =1

† −1 = e ξ A ξ

  ...

×

sign

i1 ,i2 ,...,iN =1

† ηN AN iN ηiN



=

N

d¯ ηn dηn η¯1 η1 η¯2 η2 . . . η¯N ηN ( 1)N

−

n=1

N

×

i1 i2 . . . iN 1

2 ...

N



×

A1i1 A2i2 . . . ANiN =

† −1 = det A e ξ A ξ .

 

Nótese que la integraci´ on sobre variables de Grassman no presenta los problemas de convergencia que hemos encontrado en el caso de variables reales o complejas (no ha sido necesario requerir la positividad de la parte herm´ıtica de la matriz A).

H. Falomir

58

Integrales funcionales para sistemas fermi´ onicos. Dada la estrecha

3.3.

analog´ıa de esta formulaci´ on con la correspondiente al caso bos´ onico, podemos operar de manera similar. Consideremos el Hamiltoniano de un grado de libertad fermi´ onico expresado en orden normal, H a† , a; t = : H a† , a; t : ,

   

(3.76)

expresió n a lo sumo cuadr´ atica en los operadores de creaci´ on y destrucci´ on (que también puede tener una dependencia suave en el tiempo). Dadas las propiedades de anticonmutaci´ on de estos operadores, supondremos que el acoplamiento en los términos lineales de H se da con objetos que anticonmutan con a † y a (y también con los elementos del a´lgebra de Grassman). Entonces, el operador de evoluci´ on de la representaci´ on de Sch¨ odinger para un intervalo de tiempo infinitesimal (t +

t, t) está dado por

ı H a , a; t t − ı U = e  = 1 − H a , a; t t + O(t ) ,  †

 

(3.77)

2

†

 

de modo que el n´ ucleo del correspondiente operador integral, a menos de correc2

t , es

ciones del orden

U (¯ η, t +

(3.78)

t; ξ, t) = e

η¯ ξ

−  ı H (¯η, ξ ; t) t



1 + O( t2 ) .





De la Ec. (3.62) para el n´ ucleo de la composici´ on de dos operadores obtenemos para el cuadrado de U (3.79)



U (¯ η, t + 2 t; ξ, t) = =

=



×



−

dη¯1 dη1 e η¯1 η1 U (η¯, t + 2 t; η1 , t +

−

dη¯1 dη1 e η¯1 η1 e



2

1 + O( t )



η¯η 1

  2

=

t) U (η¯ , t + t; ξ, t) = 1

−  ı H (¯η, η ; t + t) t e η¯ ξ −  ı H (η¯ , ξ ; t) t × 1

1

1 1 (¯ ηη 1 + η¯1 ξ ) (¯ η dη¯1 dη1 e 2 e2

1

{ − η¯ )η − η¯ (η − ξ )} ×

ı − × e  {H (¯z, η; t + t) + H (¯η, w; t)} t



1

1

1

1 + O( t2 )





2

1

,

Path Integrals

59

donde estamos suponiendo que los distintos términos de H son pares en el n´ umero de objetos anticonmutantes.

Para un intervalo de tiempo finito, (ti , tf ), tomando

t =

tf −ti N

con N

 1,

podemos escribir para el n´ ucleo del operador integral correspondiente al operador de evoluci´ on de la descripci´ on de Sch¨ odinger 1 ( η¯f ηN −1 + η¯1 ηi ) e2

        −  − N −1

U (¯ ηf , tf ; ηi , ti ) =

d¯ zn dz n

n=1

N −1

ı

(3.80)

×e

η¯n+1 η¯n 2ı t

t



n=1

ı

×e

η¯n

−η 2ıt

n−1



×

N −1

 −  

ηn

ηn

×

t

H (¯ ηn+1 , ηn ; tn) 1 + O(N −1 ) ,



n=0





donde hemos llamado tn := t i + n t, η0 := η i y η¯N := η¯f .

Si bien, como hemos se˜ nalado, las integrales sobre variables de Grassman no presentan los problemas de convergencia que en el caso bos´ onico nos llevaron a introducir una parte imaginaria negativa en la variable temporal, nada nos impide hacerlo aqu´ı también, puesto que los resultados que se obtienen son anal´ıticos en

− t ).

T = (tf

i

→ ∞ del miembro de la derecha será denotado por

El l´ımite para N

η¯(tf )=¯ ηf

U (η¯f , tf ; ηi , ti ) =



η(ti )=ηi

ı

(3.81)

×e

tf

D

1 η¯f η(tf ) + η¯(ti )ηi [¯ η (t), η(t)] e 2



   −  −        −

 ti

dt



2ı

T exp

η¯˙ (t)η(t)

ı

tf

 ti

η¯(t)η(t) ˙

dt H a† , a; t

H (¯ η (t), η(t); t)

(¯ ηf , ηi ) ,





×



H. Falomir

60

lo que se interpreta como una suma de contribuciones provenientes de trayectorias continuas a valores en un a´lgebra de Grassman9, (η(t), ¯ η (t)), que satisfacen las condiciones (inicial y final respectivamente) η(ti ) = η i y η¯(tf ) = η¯f . Nótese que η¯(t) no es la conjugada de η(t), η¯(t) = (η(t))† , de manera que η¯(ti ) es



el valor (no condicionado ) que adopta de la trayectoria η(t) ¯ en t = t i . Similarmente, η(tf ) es el valor que la trayectoria η(t) toma en t = tf . En consecuencia, el primer factor exponencial en el integrando del segundo miembro depende de la trayectoria y no puede ser extra´ıdo fuera de la integral funcional. 3.4.

on de partici´ on de un graLa funci´ on de partici´ on. Para calcular la funci´

do de libertad fermi´ onico descrito por un Hamiltoniano independiente del tiempo,

− t ) → −ıβ en la anterior representación del núcleo del operador

tomamos (tf

i

de evoluci´ on como integral funcional y empleamos la expresi´ on hallada en la Ec. (3.63) para la traza de un operador,

   − − −  −  D    −  ×        − − ×   D    −  ×      − Z (β ) = Tr e−

β 

=

¯ )=¯ ξ(β η

d¯ η dη e η¯η

=

H

d¯ η dη e η¯η U (¯ η, ıβ ; η, 0) =

1 η¯ ξ (β ) ¯(τ ), ξ (τ ) e 2 ξ

¯ ξ (0) η

ξ(0)=−η

β

1

(3.83)

e



dτ

 0

¯(τ ) ξ ˙(τ ) ξ

2

=

¯ )=¯ ξ(β η

=

¯˙(τ ) ξ (τ ) + H ξ ¯(τ ), ξ (τ ) ξ

d¯ η dη

η ξ (β ) ¯(τ ), ξ (τ ) e ¯ ξ

η

ξ(0)=−η

β

1

× e

 0

dτ

¯(τ ) ξ ˙(τ ) +  ξ

¯(τ ), ξ (τ ) H ξ

,

¯˙(τ )ξ (τ ) en el argumento de la exdonde hemos integrado por partes el término ξ ponencial. La integral funcional resultante puede ser interpretada como una suma de contribuciones provenientes de un conjunto de trayectorias en el plano complejo, 9Por

ejemplo, si el álgebra de Grassman está generada por los elementos nilpotentes y anti-

{

}

conmutantes σ ¯k , σk ; k = 1, 2, . . . , podemos construir trayectorias continuas tomando (3.82)

η¯(t) =



¯ k (t) σ ¯ k , h

k

η (t) =



hk (t) σk ,

k

donde las funciones a valores complejos ¯hk (t) , hk (t) ; k = 1, 2, . . . son continuas.





Path Integrals



61

¯(τ ), ξ (τ ) , donde la condici´ ξ o n final para la primera es ( 1) por la conjugada



−

de la condición inicial para la segunda (valores sobre los cuales también ha de integrarse finalmente). También en este caso es posible expresar formalmente la funci´ on de partici´ on como una suma sobre trayectorias no condicionadas si se introducen deltas de Dirac (ver Ec. (3.61)) que impongan las condiciones que pesan sobre las trayectorias y se integra sobre los valores que ellas toman en los extremos del intervalo de tiempo eucl´ıdeo,

  D     − ×     − −       − D ×      −

Z (β ) =

¯(τ ), ξ (τ ) ξ

d¯ η dη

β

1

×

(3.84)

η ξ (β ) e ¯

η e

 0

dτ

¯(β ) ξ (0) + η ξ

¯(τ ) ξ ˙(τ ) + H  ξ

η¯

¯(τ ), ξ (τ ) ξ

=

ξ (β ) ξ (β ) + ξ (0) ¯(τ ), ξ (τ ) e ¯ ξ

=

1

×e

 0

β

dτ

¯(τ ) ξ ˙(τ ) +  ξ

¯(τ ), ξ (τ ) H ξ

.

¯(β ) sólo contribuye el segundo Ahora bien, a la integral sobre los valores de ξ término del desarrollo del primer factor exponencial en el integrando, ¯ (3.85) e ξ (β ) ξ (β ) + ξ (0) = 1 + ¯ ξ (β ) ξ (β ) + ξ (0) ,



de modo que (3.86)

 −

 

    

ξ (β ) ξ (β ) + ξ (0) = ¯(β ) dξ (β ) e ¯ dξ



dξ (β ) ξ (β ) + ξ (0) ,

lo que corresponde a imponer sobre las trayectorias ξ (τ ) que sus valores en los extremos satisfagan ξ (β ) =

(3.87)

−ξ (0) .

¯(τ ) ˙ξ (τ ) en la segunda exponencial del inteIntegrando por partes el término ξ ¯(τ ), es grando de la Ec. (3.84) se llega a la misma conclusi´ on para la trayectoria ξ ¯(β ) = decir, ξ

−ξ ¯(0).

Por lo tanto, la funci´ on de partici´ on de un grado de libertad fermi´ onico admite ser representada formalmente como una integral funcional sobre trayectorias a valores en un a´lgebra de Grassman, cuyos valores en los extremos del intervalo de tiempo eucl´ıdeo [0, β ] son opuestos por su signo.

H. Falomir

62

Esta interpretaci´ on se ve reforzada al considerar un Hamiltoniano cuadr´ atico, ¯ ξ ) =  ω ¯ H (ξ, ξξ , para el cual tenemos simplemente β

(3.88)

Z 0 (β ) =

 D 

¯(τ ), ξ (τ ) e ξ



 −

¯(τ ) [∂ τ + ω] ξ (τ ) dτ ξ

0

.

Por lo que hemos visto anteriormente, esperamos que el valor de esta integral funcional sea proporcional al determinante funcional (regularizado) del operador diferencial de primer orden D = [∂ τ + ω] definido sobre un dominio de funciones que satisfacen la condici´ on de contorno ξ (β ) =

−ξ (0).

El adjunto de ese operador resulta ser el operador D† = [ ∂ τ + ω] con dominio

−

de definici´ on en el conjunto de funciones que también satisfacen la propiedad ¯(β ) = ξ ¯(0). ξ

−

Dado que la función de partición toma valores no negativos, podemos definir el resultado de la integral funcional de la Ec. (3.88) como proporcional a la potencia 1 2



2 τ

del determinante funcional de la composici´ on Lω = D † D =

+ ω 2, com-

−∂

posici´ on que s´ olo es posible en el dominio restringido (pero denso) de las funciones antiperi´ odicas (es decir, las que satisfacen adem´ as que ξ  (β ) =

entonces que Z 0 (β )

(3.89)

 − ∼ Det

∂ τ 2

+ω

2



c.c. antiper.



1 2



−ξ (0)). Tendr´ıamos

.

Consideremos el problema de autovalores de ese operador de Sturm - Liouville, Lω ψλ (τ ) = (3.90) ψλ (β ) =

−

∂ τ 2 + ω 2 ψλ (τ ) = λ ψλ (τ ) ,



ψλ (β ) =

−ψ (0) , λ

 λ

−ψ (0) ,

cuyas soluciones son

√ − ± ıτ λ ω ψ (τ ) = e λ

(3.91)

⇒ β √ λ − ω

2

= (2n + 1)π

2

√ − ± ıβ λ ω con e

,

⇒λ

n

=



2π(n + 21 ) β



2

=

−1

2

+ ω2 ,

n

∈ Z.

Un análisis similar al realizado en la Sección 1.4 conduce a que N

(3.92)

1 Det Lω L− ım ω0 := l´

 

N →∞

2

2

            

n=1

1+

βω 2π(n+ 12 )

1+

βω 2π(n+ 12 )

2

=

cosh

cosh

βω 2 βω 0 2

2

.

Path Integrals

63

Teniendo en cuenta que este es un sistema de s´ olo dos estados, vemos que βω βω − Z (β ) = e 2 + e 2 = 2cosh

(3.93)

0

de donde resulta que Z 0 (β, ω) 1 = Det Lω L− ω0 Z 0 (β, ω0 )

βω 2

  

(3.94) 3.5.

  1 2

.

Ejemplo: el oscilador fermi´ onico forzado. Consideremos el Hamilto-

niano dependiente del tiempo H (a† , a; t) =  ω a† a



(3.95)

¯ a − f (t) a − f (t) †



,

¯ son funciones suaves a valores en un a´lgebra de Grassman. donde f (t) y f (t) Reemplazado en la Ec. (3.81) obtenemos (3.96) η¯(tf )=¯ ηf

U (¯ ηf , tf ; ηi , ti ) =



D

η(ti )=ηi

tf

ı

× e

    dt

ti

1 η¯˙ (t) η(t) 2ı

1 η¯f η(tf ) + η¯(ti ) ηi [¯ η (t), η(t)] e 2



˙ − η¯(t) η(t)

−



×



¯ η(t) ω ¯ η (t) η(t) + η¯(t) f (t) + f (t)

.



Las trayectorias z¯ (t), z (t) que hacen que el argumento de la exponencial en el integrando tome un valor extremo y que satisfacen las condiciones inicial y final especificadas en los l´ımites de la integral funcional son soluciones de las ecuaciones 1 

(3.97)

δ δ ¯ η (t)

tf

   dt

ti



2ı

= ı η(t) ˙ y 1 

(3.98)

δ δη(t)

tf

η¯˙ (t )η(t )

dt

ti

2ı



η¯˙ (t )η(t )

= ı η¯˙ (t) + ω ¯ η (t)

H η¯(t ), η(t ); t

˙ ) − η¯(t )η(t

− ω η(t) + f (t) = 0 ,

   



− 





H η¯(t ), η(t ); t

− 

η¯(tf ) = η f ,

cuyas soluciones son η(t) = e −ıω (t − t ) η + ı i

i

(3.99) η¯(t) = η¯ e −ıω (t − t) + ı f

f

t

 

−

dt e ıω (t

ti

tf

t



− t ) f (t ) ,

 (t ıω  ¯ dt f (t ) e 

=

η(ti ) = η i ,

˙ ) − η¯(t )η(t

¯ = 0, − f (t)



−



− t) .



=

H. Falomir

64

Reemplazando estas soluciones en el argumento de la exponencial obtenemos tf

  

ı



dt

 ti

2ı

ı = 2 ı = 2 (3.100)

ı + 2

tf

η¯˙ (t)η(t) tf

˙ − η¯(t)η(t)

H η¯(t), η(t); t

 



ti

dt η¯f e ıω (tf

tf

t) + ı

ti

−

t

¯ dt f (t) e ıω (t

ti ) η + ı

t

i

dt η¯f e ıω (tf tf

tf

dt

ti

− t )η −

−

t ) e ıω (t

ti



+θ(t − t) e −ıω (t − t) 





−

t) f (t) + f (t) ¯ e ıω (t

¯ dt f (t) θ(t



f (t)+

− t ) f (t )

ti

1 2

− t)



−

dt e ıω (t

ti

tf



¯  ) e ıω (t dt f (t

ti

ı = 2

=

¯ η(t) = dt η¯(t) f (t) + f (t)

  − −    − −    − −    − − tf



− 



i

i

=





− t )+

f (t ) .

El exponente del primer factor en el integrando del miembro de la derecha de la Ec. (3.96) (que s´ olo depende de los valores de las trayectorias en los extremos del intervalo de tiempo) evaluado en las soluciones de la Ec. (3.99) se reduce a 1 η¯f η(tf ) + η¯(ti ) ηi = η¯f e ıω(tf 2 (3.101) ı + 2

tf





  dt

ti

−

− t ) η + i

i

¯ e −ıω(t − t ) η η¯ e −ıω(t − t) f (t) + f (t) f

f

i

i



.

La suma de los miembros de la derecha de las Ecs. (3.100) y (3.101) da ı veces la acción del grado de libertad fermi´ onico evaluada en las trayectorias cl´ asicas ,





S η¯f , tt ; ηi , ti .

−

Al igual que en el caso bos´ onico, cambiando t por t(1 ıε) con ε > 0, los factores

e −ıω(tf −ti ) , e −ıω(tf −t) y e −ıω(t−ti ) tienden exponencialmente a cero cuando tf

→ ∞

→ −∞, de modo que el segundo miembro de la Ec. (3.101) tiende a 0, mientras

y ti

que del miembro de la derecha de la Ec. (3.100) s´ olo sobrevive el término ∞

(3.102)

ıω

∞

  dt

−∞

−∞

¯ GF (t dt f (t)





− t ) f (t ) ,

Path Integrals

donde G F (t

65



− t ) es la función de Green de Feynman, Ec. (1.124).

Teniendo en cuenta que la medida de integraci´ on de la integral funcional de la Ec. (3.96) ha sido definida de manera que resulte invariante frente a traslaciones, ¯(t) y podemos hacer el cambio en las variables de integraci´ on η¯(t) η¯(t) + ξ η(t)

→

→ η(t) + ξ (t), con ξ (t ) = 0 y ξ ¯(t ) = 0. i

f

Empleando las ecuaciones que determinan los extremos de la acci´ on, Ecs. (3.97) y (3.98), obtenemos para el n´ ucleo del operador de evoluci´ on ı U (¯ ηf , tf ; ηi , ti ) = e

 



(3.103)

S η¯f , tt ; ηi , ti tf

¯ f )=0 ξ(t

 ×

ξ(ti )=0

D

¯(t), ξ (t) e ξ



ı



×

¯(t) (ı∂ τ dt ξ

− ω) ξ (t)

ti

,

donde toda la dependencia en η¯f y ηi está contenida en el primer factor. La integral

N (t − t ), puede

funcional remanente, que corresponde a un factor constante

f

i

ser interpretada como proporcional al determinante funcional (regularizado) del

− ω) con dominio de definición en las

operador diferencial de primer orden (ı∂ τ

funciones que satisfacen la condici´ on de Dirichlet en t = t i , w(ti ) = 0.

N −

Aqu´ı también podemos determinar la constante (tf ti ) considerando el caso ¯ en que f (t) 0 y f (t) 0, para el cual la acci´ on evaluada en sus extremos se

≡

≡

reduce a (ver Ecs. (3.100) y (3.101)) ı

(3.104)



−

− t )η .

S z¯f , tt ; z i , ti = η¯f e ıω(tf





i

i

− → −ıβ , tenemos que la función de partición del oscilador fermióni-

Tomando tf ti

co libre (descrito por el Hamiltoniano

 ω a† a,

con la energ´ıa del vac´ıo sustra´ıda)

es Z 0 (β ) =

(3.105)



N (−ıβ )

=

N (−ıβ )

=



−

d¯ η dη e η¯ η U η¯, ıβ ; η, 0 =

 

d¯ η dη η ¯ η





− −

βω η d¯ η dη e η¯ η e η¯ e =

−

1 + e −βω = N (−ıβ )



N (−ıβ ) = 1 ⇒ N (T ) = 1.

de donde resulta que

− −



1 + e −βω



,

H. Falomir

66

Por lo tanto, ı 

U (¯ ηf , tf ; ηi , ti ) = e

(3.106) que, con ti =

−

T 2



S η¯f , tt ; ηi , ti



y t f = T 2 , se comporta para T

→ ∞ como

U (¯ ηf , (3.107)

∞

ıω = e

∞; η , −∞) = i

∞

  dt

−∞


−∞





− t ) f (t )

.

Tomando la traza del operador de evoluci´ on obtenemos l´ım

T →∞

 −  

d¯ η dη e η¯ η U (¯ η ,T/2; η, T /2) = ∞

(3.108)

ıω = e

∞

dt

−∞

Z 0




−∞

= donde

− −

Z 0







− t ) f (t )

=

¯ f (t) , f (t),



¯ f (t) es la funcional generatriz del sistema fermi´ onico. f (t),



Las derivadas funcionales del segundo miembro respecto de las fuentes externas permiten calcular valores medios de vac´ıo de productos de operadores de creaci´ on y destrucci´ on ordenados cronol´ ogicamente.

4.

´ ntica de Campos Integrales Funcionales en Teor´ ıa Cua

La acci´ on clásica de un campo escalar real ϕ(x), de masa m y sin autointeracci´ on, acoplado a una fuente externa (escalar) de soporte compacto j(x) est´ a dada por (4.1)

I 0 [ϕ, j] =

  d4 x

1 (∂ϕ(x))2 2

−



,



:,

1 2 m ϕ(x)2 + j(x) ϕ(x) 2

de la que se deduce el operador Hamiltoniano es H (t) = H 0 (4.2) H 0 =

  d3 x :

 −

d3 x j(x) ϕS (x) ,

1 1 1 πS (x)2 + ( ϕS (x))2 + m2 ϕS (x)2 2 2 2

∇

Path Integrals

67

donde el orden normal est´ a tomado respecto de los operadores de creaci´ on y destrucción del campo10, a k† y a k respectivamente, que satisfacen las reglas de conmutaci´ on (para simplificar la notaci´ on adoptamos las unidades naturales , en las que

 =

1 y c = 1 - ver nota al pie Nro. 3) a k, ak 

(4.3) con ω k :=

†

 



− 

= 2 ω k δ  k

k  ,

 k2 + m2 , y en términos de los cuales los operadores correspondientes

a los campos conjugados (en la descripción de Sch¨ odinger) tienen el desarrollo ϕS (x) =

1

3

(2π) 2

(4.4) πS (x) =

d3 k 2 ω k

       

−ı

(2π)

3 2

a k e

ı  k· x

+

d3 k  ω k a k eı k·x 2 ω k

 a k† e−ı k·x

 

k· x † −ı   k e

−a

,

,

donde se integra sobre el espacio de impulsos lineales respecto de una medida invariante frente a transformaciones de Lorentz 11.

En efecto, resulta un ejercicio directo verificar que las reglas de conmutaci´ on de la Ec. (4.3) implican las relaciones can´ onicas de conmutaci´ on entre los campos conjugados, [πS (x), ϕS (y )] = (4.6)

−ı δ (x − y) ,

[πS (x), πS (y )] = 0 = [ϕS (x), ϕS (y)] . En términos de operadores de creación y destrucci´ on, el operador Hamiltoniano del campo libre se reduce a H 0 =

(4.7)

10El

| 

espacio de Fock del campo escalar se construye a partir del estado de vac´ıo Ω0 , caracte-

|  | Ω .

rizado por la condición a k Ω0 = 0 ,

| Ω  = a N

11En

(4.5)

d3 k ω k a k† a k , 2 ω k

  

k 1

†

ak † . . . ak 

efecto,

2

N

†

∀  k ∈ R , mediante la aplicación de operadores de creación, 3

0

d3 k 2 ω k

   ·  ( )=

d4 k θ(k0 ) δ k2



2



− m (·) .

H. Falomir

68

mientras que para el término de acoplamiento con la fuente externa tenemos

 −      −     −

d3 x j(x) ϕS (x) =

3

(4.8)

=

a k

dk 2 ω k

(2π)

d3 k 2 ω k

=



d3 x j(x) eı k·x +

3 2

a k† (2π)

3 2





d3x j(x) e−ı k·x



,

−

f ( k, t) a k†

f ( k, t) a k + f ( k, t) a k† ∗



=

donde f ( k, t) =

1

∗

(2π)

3 2

(4.9) f ( k, t) =

1 (2π)

 

3 2



d3 x j(x, t) eı k· x ,



d3 x j(x, t) e−ı k·x .

En definitiva, (4.10)

H



d3 k 2 ω k

    

a k† , a k; t

=

ω k a k† a k

−

f ( k, t) a k ∗



.

Este Hamiltoniano resulta diagonal en los modos normales del campo, de modo que una generalizaci´ on directa de la representaci´ on como integral funcional del núcleo del operador de evoluci´ o n de la descripci´ o n de Sch¨ odinger para un solo grado de libertad, Ec. (2.63), nos permite representar U z¯f ( k), tf ; z i ( k), ti = d3 k 2 ω k

1 e2

(4.11)

z¯( k,tf )=¯ zf ( k)

  D  ×      × ×         − −   −           − 

× exp

ı

z¯ f ( k)z ( k, tf ) + z¯ ( k, ti )z i ( k)

tf

d3 k 2 ω k

z( k,ti )=zi ( k)

z¯ ( k, t), z ( k, t)

dt

ti

1 z¯˙ ( k, t)z ( k, t) 2ı

z¯ ( k, t)z ˙ ( k, t)

H z¯ ( k, t), z ( k, t); t tf

T exp

ı

ti

dt H a k† , a k; t

z¯f ( k), z i ( k) .

Path Integrals

69

Por su parte, una generalizaci´ on directa del resultado encontrado para un grado de libertad en las Ecs. (2.91) y (2.85 - 2.86) conduce a que d3 k 2 ω k

    

  

U z¯f ( k), tf ; z i ( k), ti = exp tf

+ı

−

(4.12)

1 2

tf

tf

  − dt

ti

∗



dt f ( k, t) θ(t 

∗

ti

i

i





 k

 k

i



i



− t ) e −ıω (t − t )+

+θ(t − t) e −ıω (t − t) 

4.1.

− t )z ( k)+

− t)f ( k, t) + f ( k, t) e −ıω (t − t )z ( k) −

dt z¯f ( k) e ıω k(tf

ti

−

z¯f ( k) e ıω k(tf



 k



f ( k, t )

.

Operador de dispersi´ on. Como estamos suponiendo que j( x, t) es de

| |

soporte compacto, existe un T finito tal que para t > T la fuente es nula y el Hamiltoniano de la Ec. (4.2) se reduce al del campo libre, H 0 . En esas condiciones, el operador de evoluci´ on de la descripción de interacci´ on est´ a dado por

−

U I (tf , ti ) = e ıH 0 tf U (tf , ti ) e ıH 0 ti ,

(4.13)

on (o matriz S ) se define como y el operador de dispersi´

S 0 [ j] := l´ım

(4.14)

l´ım U I (tf , ti ) .

tf →∞ ti →−∞

Ahora bien, en la representaci´ on holomorfa de la integral funcional para la teor´ıa del campo escalar, los operadores de creaci´ on est´ an representados mediante el producto por la funci´ on a valores complejos z¯ ( k), de modo que las relaciones de conmutaci´ on de la Ec. (4.3) requieren que a k†

(4.15)

→ z¯ ( k) ,

→ 2ω

a k

δ

 k

δ z¯ ( k)

.

En efecto,



(4.16)

2ω k

δ δ z¯ ( k)



−

, z¯ (k  ) = 2ω k δ  k

k  .

Entonces, de la Ec. (4.7) vemos que el Hamiltoniano H 0 está realizado en el espacio de Bargmann - Fock para el campo escalar por el operador (4.17)

H = 0

d3 k δ = ω k z¯ ( k) 2ω k 2 ω k δ z¯ ( k)

  



d3 k ω k

δ δ log z¯ ( k)

,

H. Falomir

70

generador de las traslaciones en la variable log z ¯( k) en la cantidad ω k. En esas condiciones, actuando con el operador e ıH 0t sobre una funcional de z¯ ( k) se obtiene eı

(4.18)

H tF 0

z¯ ( k) = F e ıω kt z¯ ( k) .

  



En consecuencia, a partir de la Ecs. (4.13) y (4.12) obtenemos

−

U I z¯ f ( k), tf ; z i ( k), ti = U e ıω ktf z¯f ( k), tf ; e ıω kti z i ( k), ti =



      d3k 2 ω k

= exp tf

(4.19)

    −

+ı

z¯ f ( k) z i ( k)+

−

dt z¯f ( k) e ıω kt f ( k, t) + f ∗ ( k, t) e ıω kt z i ( k)

ti

1 2



tf

tf

dt

ti



dt f ( k, t) θ(t 

∗

ti

 k





− t ) e −ıω (t − t )+ 

+θ(t − t) e −ıω (t − t) 

−



 k



f ( k, t )

.

El n´ ucleo auxiliar del operador de evoluci´ on de la descripci´ on de interacci´ on se obtiene multiplicando la anterior expresi´ on por la inversa del n´ ucleo reproductor del espacio de Bargmann - Fock (ver Ec. (2.55)), que en el presente caso se escribe como (4.20)

exp

d3 k z¯ f ( k) z i ( k) 2 ω k

   



,

lo que compensa exactamente el primer término del argumento de la exponencial en el segundo miembro de la Ec. (4.19). En definitiva, para el n´ ucleo auxiliar del operador de dispersi´ on obtenemos la expresión (4.21) S 0N = exp

∞

d3 k 2 ω k

       − 1 2

ı





z¯f ( k), z i ( k) =

−

dt z¯f ( k) e ıω kt f ( k, t) + f ∗ ( k, t) e ıω kt z i ( k)

−∞

∞

∞

dt

−∞



dt f ( k, t) θ(t 

∗

−∞



+θ(t − t) e −ıω (t − t) 

 k



− t ) e −ıω (t − t )+ 



f ( k, t )

 k



,

−

Path Integrals

71

a partir de la cual podemos obtener la expresi´ on de este operador en orden normal mediante el cambio S 0N

(4.22)



 −→  

z¯f ( k), z i ( k)

: S 0N a k† , a k : = S 0 .

En términos de la fuente externa j(x) podemos escribir ı

(4.23) = ı

∞

d3 k 2 ω k

       

dt z¯f ( k) e ıω kt f ( k, t) =

−∞

d3 k e ı k x z¯ f ( k) , 2 ω k

1

4

d x j(x, t)

(2π)

3 2

·

y similarmente ı (4.24) = ı

∞

d3 k 2 ω k

    −     −

dt f ∗ ( k, t) e ıω kt z i ( k) =

−∞

d x j(x, t)

d3 k e ı k x z i ( k) , 2 ω k

1

4

3 2

(2π)

·

 

expresiones en las que hemos introducido el tetravector k := ω k ,  k , que satisface k2 = ω 2  k 2 = m 2 . k

−

Por su parte, para el u´ltimo término en el argumento de la exponencial en el segundo miembro de la Ec. (4.21) tenemos ∞

d3 k 2 ω k

∞

     − 1 2

(4.25)

dt

−∞

+ θ(t ı = 2

donde la expresi´ on escalar

∗

−∞

 t) e ıω k (t

− −

  d4 x

d3 k 2 ω k

   

=

1 l´ım (2π)4 ε→0+

−

−

−

t ) e ıω k (t 





− x ) j(x ) ,

θ(t) e −ı k · x + θ(−t) e ı k · x



− · −

e ık x dk 2 k m2 + ıε 4

es la funci´ on de Green de Feynman del operador de Klein - Gordon, (4.27)



∂ 2 + m2 GF (x) = δ (x) .





− t )+

t) f ( k, t ) =

d4x j(x) GF (x

ı GF (x) = (2π)3 (4.26)

 − 

dt f ( k, t) θ(t 



=

H. Falomir

72

Reemplazando en la expresi´ o n del n´ ucleo auxiliar del operador de dispersi´ on dada en la Ec. (4.21) obtenemos S 0N (4.28)



 

= exp ı

  

z¯f ( k), z i ( k) =

ı d4 x j(x) ϕas (x) + 2

d4 x



d4 y j(x) GF (x

− y) j(y)

− ·



donde el campo cl´ asico asint´ otico definido como (4.29)

ϕas (x) :=

d3 k 2 ω k

   

1 3

(2π) 2

·

,

e ı k x z¯ f ( k) + e ı k x z i ( k)

es una soluci´ on de la ecuación homogénea de Klein - Gordon, ∂ 2 + m2 ϕas (x) = 0 ,



(4.30)



determinada por condiciones de contorno de Feynman , vale decir, condiciones ini-

→ −∞) para las frecuencias positivas (e (para t → +∞) para las frecuencias negativas (e ). ciales (para t

−ı k·x

) , y condiciones finales

ı k ·x

Nótese que la expresi´ on encontrada para

S 0N





z¯f ( k), z i ( k) es covariante relati-

vista , y que en ella ha aparecido naturalmente la funci´ on de Green de Feynman.

Finalmente, la expresi´ on del operador de dispersi´ on en orden normal se obtiene como S 0 [ j(x)] = : S 0N a k† , a k : = (4.31)

 

= : exp ı

   Z

d4 x j(x) ϕI (x)

0 [ j(x)]

:

,

donde el campo clásico asint´ otico ϕas (x) aparece reemplazado por el operador de campo en la descripci´ on de interacci´ on ,

−

ϕI (x) = ϕ I (x, t) = e ıH 0t ϕS (x) e ıH 0 t = (4.32) =

1 (2π)

3 2

d3 k 2 ω k

   

a k† e ı k

· x + a e −ı k · x  k



,

también soluci´ on de la ecuación de Klein - Gordon homogénea, y donde (4.33)

Z [ j(x)] = exp 0

   ı 2

d4 x

d4 y j(x) GF (x

es la funcional generatriz del campo escalar libre. En particular, para el valor medio de vac´ıo tenemos (4.34)

Ω | S [ j(x)] | Ω  = Z [ j(x)] , 0

0

0

0



− y) j(y)

Path Integrals

de modo que

73

Z [ j(x)] representa la amplitud de probabilidad de persistencia del 0

vac´ıo en presencia de la fuente externa.

Teniendo en cuenta que la teor´ıa de perturbaciones conduce a

 T exp

S 0 [ j(x)]

(4.35)

  ı

4

d x j(x) ϕI (x)



,

vemos que de la igualdad (4.31) se deduce de inmediato el teorema de Wick (que relaciona productos de campos libres en orden cronol´ ogico con productos en orden normal). En particular, el propagador del campo escalar est´ a dado por

Ω | T {ϕ (x) ϕ (y)}| Ω  = −ı G (x − y) .

(4.36)

0

I

I

0

F

Similarmente,

Ω | T {ϕ (x ) ϕ (x ) . . . ϕ (x )} | Ω  = 0

I

−

2N

= ( ı)

(4.37)



I

2

I

2N

δ δ ... δj(x1 ) δj(x2N )

( ı)N = N GF (xk1 2 N ! permut.

−

1

−x

k2 ) GF (xk3

0

Z [ j] 0



=

j(x)≡0

−x

k4 ) . . . GF (xk2N −1

−x

k2N ) ,

donde la suma se realiza sobre las permutaciones de los 2N argumentos de los

{

}

campos, x1, x2, . . . , x2N , mientras que el valor medio del producto cronol´ ogico de un n´ umero impar de operadores de campo es nulo. De la expresi´ on para la funcional generatriz, Ec. (4.33), y de la Ec. (4.27) resulta que ∂ x2 + m2

(4.38) = ∂ x2 + m2



  

 −  Z ı

d4 y GF (x

δ δj(x)

·)] =

0 [ j(

− y) j(y) Z [ j(·)] = j(x) Z [ j(·)] , 0

0

de manera que el operador de dispersi´ on dado en la Ec. (4.31) tambi´ en puede ser escrito como S 0 [ j(x)] = (4.39)

 

= : exp ı

d4 x ϕI (x) ∂ x2 + m2



 −  ı

δ δj(x)

:

Z [ j(x)] , 0

expresión que nos facilitar´ a dar una soluci´ on perturbativa para la funcional generatriz en el caso de campos en autointeracci´ on.

H. Falomir

74

4.2.

Operador de dispersi´ on para campos en autointeracci´ on. Conside-

remos ahora un campo escalar en autointeracci´ on descrito por la acci´ on (4.40)

I [ϕ, j] =

  d4 x

1 (∂ϕ(x))2 2

−

1 2 m ϕ(x)2 2



− V (ϕ(x)) + j(x) ϕ(x)

,

donde supondremos que el potencial V (ϕ) es polin´ o mico y que cada uno de sus monomios tiene un coeficiente dependiente de las coordenadas de soporte compacto (que tenderá a cubrir todo el espacio de Minkowski al final del c´ alculo). As´ı, para

|t| > T el campo será libre y podremos definir correctamente la representación de interacci´ on.

En esas condiciones, la teor´ıa de perturbaciones nos provee del siguiente desarrollo asintótico (en las constantes de acoplamiento) para el operador de dispersi´ on,

  ·  − −  −    −  − 

S [ j( )]

(4.41)

= exp

T exp ı

d4x V

ı

= exp

ı

d4x [ j(x) ϕI (x)

δ ı δj(x)

T exp

d4 x V

ı

δ δj(x)

V (ϕI (x))]

ı



=



d4 x j(x) ϕI (x)

=

S 0 [ j(x)] .

Empleando la Ec. (4.39) y teniendo en cuenta que las derivadas funcionales respecto de la fuente externa conmutan entre s´ı y con las derivadas respecto de las coordenadas, podemos escribir S [ j(x)] = (4.42)

 

= : exp ı

d4 x ϕI (x) ∂ x2 + m2



 −  ı

δ δj(x)

:

Z [ j(x)] ,

donde la funcional generatriz de funciones de Green del campo escalar en autointeracción, (4.43)

Z [ j(x)], tiene el desarrollo asintótico (en los acoplamientos) δ Z [ j(x)]  exp −ı d x V −ı δj(x) Z [ j(x)] .

   4



0

Estas expresiones, obtenidas de la formulaci´ on de la Teor´ıa Cu´ antica de Campos en términos de integrales funcionales, son id´ enticas a las que resultan de la formulaci´ on operacional (Cuantizaci´ on Can´ onica), de manera que este desarrollo asint´ otico puede ser representado en términos de diagramas de Feynman . De hecho, las reglas de Feynman pueden ser derivadas de las Ecs. (4.43) y (4.33).

Path Integrals

4.3.

75

La funcional generatriz como integral funcional sobre los campos

o n del n´ ucleo del operador de evoluci´ on conjugados. A partir de la representaci´ de la Ec. (4.11), y teniendo en cuenta la relaci´ on que lo liga al n´ ucleo del operador de dispersi´ on, Ecs. (4.13) y (4.14), podemos escribir





S 0 z¯f ( k), z i ( k) =

−

l´ım U e ıω ktf z¯f ( k), tf ; e ıω kti z i ( k), ti =

= l´ım



tf →+∞ ti →−∞

z¯ ( k, tf ) = e ıω ktf z¯f ( k)

 −            

= l´ım

l´ım

z ( k, ti ) = e ıω kti z i ( k)

1 2

d3 k 2 ω k

tf →+∞ ti →−∞

(4.44)

× exp × exp

d3 k 2 ω k

ı

D



×  × − 

z¯ ( k, t), z ( k, t)

z¯ ( k, tf )z ( k, tf ) + z¯ ( k, ti )z ( k, ti )

tf

dt

ti

1 z¯˙ ( k, t)z ( k, t) 2ı

− z¯ ( k, t)z ˙ ( k, t)

−ω ¯z ( k, t)z ( k, t) + f ( k, t) z ( k, t) + f ( k, t) z¯ ( k, t) ∗

 k

.

Reemplazando f ( k, t) en términos de la fuente externa j(x) (ver Ec. (4.9)) obtenemos





S 0 z¯f ( k), z i ( k) = z¯ ( k, tf ) = e ıω ktf z¯f ( k)

 D × −        × ×         × − −      −      = l´ım

l´ım

tf →+∞ ti →−∞

(4.45)

exp

exp

d3 k 2 ω k

1 2

d3 k 2 ω k

ı

z¯ ( k, t), z ( k, t)

z ( k, ti ) = e ıω kti z i ( k)

z¯ ( k, tf )z ( k, tf ) + z¯ ( k, ti )z ( k, ti )

tf

dt

ti

ω k ¯z ( k, t)z ( k, t)

1 z¯˙ ( k, t)z ( k, t) 2ı tf

exp ı

dt

z¯ ( k, t)z ˙ ( k, t)

d3 x j(x) ϕ(x)

ti

donde el campo ϕ(x) es definido como (4.46)

ϕ(x) :=

1

(2π)

3 2

d3 k 2 ω k

  z¯ ( k, t) e−ı k·x + z ( k, t) eı k· x .

,

H. Falomir

76

Definiendo el campo conjugado π(x) como π(x) :=

(4.47)

d3 k  ω k z¯ ( k, t) e−ı k·x 2 ω k

   

ı (2π)

3 2



,

1 1 1 π(x)2 + ( ϕ(x))2 + m2 ϕ(x)2 2 2 2



ı  k· x

− z ( k, t) e

resulta un ejercicio directo comprobar que

     d3 x

H 0 [π(x), ϕ(x)] = (4.48)

∇

=

d3 k ω k z¯ ( k, t) z ( k, t) . 2 ω k

= Similarmente, 1 2

(4.49) 1 = 2ı

    

d3x [π(x) ϕ(x) ˙

d3 k 2 ω k

˙ ϕ(x)] = − π(x)

z¯˙ ( k, t) z ( k, t)

−



z¯ ( k, t) z ˙ ( k, t) .

Entonces, el exponente en el segundo factor en el integrando del segundo miembro de la Ec. (4.45) es (a menos de términos de borde) ı veces la acci´ on cl´ asica del campo escalar libre evaluada en [π(x), ϕ(x)], I 0 [π(x), ϕ(x)] := (4.50)

tf

=

   dt

ti

1 2

d3 x [π(x) ϕ(x) ˙



˙ ϕ(x)] − H [π(x), ϕ(x)] − π(x) 0

,

de modo que el n´ ucleo del operador de dispersi´ on puede representarse como





S 0 z¯f ( k), z i ( k) = z¯ ( k, tf ) = e ıω ktf z¯f ( k)

 D −      ×    ×

= l´ım

l´ım

tf →+∞ ti →−∞

(4.51)

exp

1 2

z ( k, ti ) = e ıω kti z i ( k)

d3 k 2 ω k

×

z¯ ( k, t), z ( k, t)

 × 

z¯ ( k, tf )z ( k, tf ) + z¯ ( k, ti )z ( k, ti ) tf

exp ı I 0 [π(x), ϕ(x)] + ı

dt

ti

d3 x j(x) ϕ(x)

,

donde la integral funcional se interpreta como una suma de contribuciones provenientes de configuraciones de los campos conjugados sometidos a condiciones de

Path Integrals

77

contorno que corresponden a requerir un comportamiento asint´ otico libre (superposici´ on de ondas planas) para las frecuencias positivas en el l´ımite t para las frecuencias negativas en el l´ımite t

→ +∞.

→ −∞ y

Teniendo en cuenta las Ecs. (4.13), (4.31) y (4.34), y recordando que la convergencia de las integrales requiere la introducci´ on de una parte imaginaria negativa en la variable temporal (que, en el l´ımite de la traza, hace dominante la contribución del vac´ıo), vemos que

Z [ j(x)] = 0

 | −

l´ım Ω0 e ıH 0 tf U I (tf , ti ) e ıH 0 ti Ω0 =

l´ım

| 

tf →+∞ ti →−∞

l´ım Tr U (tf , ti ) =

= l´ım

tf →+∞ ti →−∞

−

×e (4.52)

 D 

w( ¯  k), w( k)

d3 k w( ¯  k) w( k) 2 ω k U w( ¯  k), + ; w( k),

  



∞

×

 −∞

d3 k w( ¯  k) w( k) 2 ω k

    D      × D ×      × ×     ×

= l´ım

w( ¯  k), w( k) e

l´ım

tf →+∞ ti →−∞

z¯( k,tf )=w( ¯  k)

d3 k 2 ω k

×

z¯ ( k, t), z ( k, t)

z( k,ti )=w( k)

1 e2

−

=

w( ¯  k)z ( k, tf ) + z¯ ( k, ti )w( k)

tf

exp ı I 0 [π(x), ϕ(x)] + ı

dt

d3x j(x) ϕ(x)

.

ti

Argumentos similares a los invocados en el caso de un u ´ nico grado de libertad (ver Secci´ on 2.3) sugieren que a esta integral funcional s´ olo contribuyen configuraciones de z¯ ( k, t) y z ( k, t) (y, por lo tanto, de ϕ(x, t) y π(x, t)) que se cierran

− t . Para ellas los términos de borde se

al cabo del intervalo de tiempo T = tf

i

cancelan exactamente con la medida de integraci´ on de la traza. Por otra parte, el cambio de variables de integraci´ on







z¯ ( k, t), z ( k, t)

→

ϕ(x, t), π(x, t) va acompa˜ nado de un Jacobiano constante , dado que la relaci´ on

entre ellas es lineal (ver Ecs. (4.46) y (4.47)).

H. Falomir

78

En consecuencia, incorporando ese factor constante en la medida de integraci´ on, podemos representar formalmente a la funcional generatriz del campo escalar sin autointeracci´ on como una integral funcional sobre trayectorias cerradas de los campos conjugados, cuyo integrando es la exponencial de ı veces la acción clásica del campo,

Z [ j(x)] = 0

(4.53)

  

 D

d4 x

[π(x), ϕ(x)] exp ı

1 ( ϕ(x))2 2

− ∇

−

π(x) ϕ(x) ˙

1 2 m ϕ(x)2 + j(x) ϕ(x) 2



− 21 π(x) − 2

.

Integrando sobre el campo π(x) (aprovechando la dependencia cuadr´ atica en este campo conjugado y generalizando lo hecho en la Secci´ on 1.1) obtenemos

Z [ j(x)] = 0

(4.54) =

 D

   d4 x

[ϕ(x)]exp ı

1 (∂ϕ(x))2 2

−

1 2 m ϕ(x)2 + j(x) ϕ(x) 2



,

donde hemos incluido un factor constante en la medida de integraci´ on y el argumento de la exponencial es ahora ı veces la acción clásica del campo escalar acoplado a la fuente externa, escrita como la integral de su densidad Lagrangiana, d4 x

I 0[ϕ, j] =

(4.55)

4.4.

 L



0 (ϕ(x), ∂ϕ(x)) + j(x) ϕ(x) .

Funciones de Green generales de la teor´ıa. De las Ecs. (4.35) y (4.31)

vemos que tenemos la siguiente representaci´ on para los valores medios de vac´ıo de productos cronol´ ogicos de operadores de campo en la descripci´ on de interacci´ on,

Ω | T 0

(4.56)

   e

ı

d4 x j(x) ϕI (x)

= ( ı)2N

−

ϕI (x1 ) . . . ϕI (x2N )

 |

−

 D

δ δ ... δj(x1 ) δj(x2N )

| 

Z [ j] = 0

[ϕ(x)] e ıI 0 [ϕ, j] ϕ(x1) . . . ϕ(x2N )



Ω0 =

δ δ ... Ω0 S 0 [ j] Ω0 = δj(x1 ) δj(x2N )

= ( ı)2N

=

  |

Path Integrals

que, para j(x)

79

≡ 0, se reduce a Ω | T {ϕ (x ) . . . ϕ (x )}| Ω  = 0

I

(4.57) =

 D

[ϕ(x)] e

ı



1

d4 x

I

2N

0

L (ϕ(x), ∂ϕ(x)) 0

ϕ(x1) . . . ϕ(x2N ) .

Empleando el desarrollo asint´ otico de la Ec. (4.43) y la representaci´ o n de la Ec. (4.54), podemos escribir para la funcional generatriz del campo escalar en autointeracci´ on

    − − Z  D      D −   D   L  d4 x V

ı

[ j(x)]

(4.58)

e

=

d4 x

=

[ϕ(x)] e ıI 0 [ϕ, j]

1 2 m ϕ(x)2 2



 

− V ϕ(x) +

[ϕ(x)] e ıI [ϕ, j] ,

d4 x j(x) ϕ(x) =

I [ϕ, j] = I [ϕ] +

(4.59)

δ δj(x)

1 (∂ϕ(x))2 2

d4 x

[ϕ(x)]exp ı

+ j(x) ϕ(x)

donde

ı

(ϕ(x), ∂ϕ(x)) + j(x) ϕ(x)

es la acci´ o n clásica del campo escalar en autointeracci´ o n acoplado a la fuente externa, escrita como la integral de su densidad Lagrangiana. Consideremos ahora el producto ordenado cronol´ ogicamente de n operadores de campo en la descripci´ on de Heisenberg (con autointeracci´ on y en presencia de la fuente externa), (4.60)

{

}

T ϕH (x1 )ϕH (x2 ) . . . ϕH (xn ) = ϕ H (x1 )ϕH (x2 ) . . . ϕH (xn )

si t 1 > t2 > .. . > tn. Teniendo en cuenta que ϕH (x, t) = U I (t)† ϕI (x, t) U I (t) ,

(4.61)

donde U I (t) admite el desarrollo asint´ otico t

(4.62)

U I (t)

 T exp

   ı

dt

−∞

d3 x [ j(x) ϕI (x)

− V (ϕ (x))] I



,

H. Falomir

80

podemos escribir (4.63) ϕH (x1 )ϕH (x2 ) . . . ϕH (xn) = = U I (T )† U I (T, t1)ϕI (x1 )U I (t1 , t2 )ϕI (x2 ) . . . ϕI (xn )U I (tn, T )U I ( T )

−

    T

ı

×T

e

dt

d3 x [ j(x) ϕI (x)

−T

− V (ϕ (x))] I

| |

ϕI (x1 )ϕI (x2 ) . . . ϕI (xn )

→ ∞ obtenemos (x ) . . . ϕ (x )}  S [ j] ×

{

(4.64)

×T

   e

ı

d4 x [ j(x) ϕI (x)

Ahora bien, para j(x) (4.65)

2

H

− V (ϕ (x))] I

0

†

n

ϕI (x1 )ϕI (x2 ) . . . ϕI (xn )

H (x1 )ϕH (x2 ) . . . ϕH (xn )

0

 Ω | S [ j = 0] T

−

U I ( T ) ,

 

.

≡ 0 el valor medio de vac´ıo de la anterior expresión es

Ω | T {ϕ †

I

 

para todo T > tk , k = 1, . . . , n. En el l´ımite T T ϕH (x1 )ϕH

†

−  U (T ) ×

 −   ı

e

d4 x V (ϕI (x))

} | Ω |  0 j=0

ϕI (x1 )ϕI (x2 ) . . . ϕI (xn )

  |



Ω0 .

Y si suponemos que el estado de vac´ıo del campo en autointeracci´ on es estable (en

| 

efecto, si Ω0 es el estado de m´ınima energ´ıa del campo, éste no puede decaer en el tiempo), entonces debe ser S [ j = 0] Ω0 = e ıθ Ω0 ,

| 

(4.66) con θ

| 

∈ [0, 2π) dado por e ıθ = Ω0 S [ j = 0] Ω0 =

 |

(4.67)

|  Z [ j = 0] .

En consecuencia, tenemos que

Z [ j = 0] Ω | T {ϕ

H (x1 )ϕH (x2 ) . . . ϕH (xn )

0

(4.68)

 Ω | T 0

 −   e

ı

d4 x V (ϕI (x))

}| Ω |  0 j=0

ϕI (x1 )ϕI (x2) . . . ϕI (xn)

  |



Ω0 .

Path Integrals

81

Finalmente, haciendo uso de las Ecs. (4.41), (4.42), (4.43) y (4.58), obtenemos para los productos de operadores de campo en la descripci´ on de Heisenberg ordenados cronol´ ogicamente la expresi´ on

Z [ j = 0] Ω | T {ϕ

H (x1 )ϕH (x2 ) . . . ϕH (xn )

0

}| Ω |

0 j=0

δ δ = ( ı)n ... Ω0 S [ j] Ω0 δj(x1 ) δj(xn)

−

 |

δ δ = ( ı) ... δj(x1) δj(xn )

−

(4.69)

 D    − − =

4

ı

e

n

d x V

|

 Z  [ j]



( ı)n

−

=

j=0

=

j=0

[ϕ(x)] e ıI [ϕ] ϕ(x1 ) . . . ϕ(xn )

δ ı δj(x)

=



δ δ ... δj(x1 ) δj(xn )

Z [ j] 0

 

.

j=0

El desarrollo asint´ otico (en las constantes de acoplamiento) del miembro de la derecha de esta ecuaci´ on conduce al desarrollo perturbativo de las funciones de Green generales de la teor´ıa , definidas como

G(n) (x1 , x2 , . . . , xn ) := Ω0 T ϕH (x1 ) . . . ϕH (xn )

 | {

(4.70) =

1 δ δ ( ı)n ... [ j = 0] δj(x1 ) δj(xn )

Z

−

} | Ω |

 Z  [ j]

0 j=0

=

.

j=0

Estas son funciones simétricas de sus argumentos cuyo desarrollo puede ser representado gr´ aficamente mediante diagramas de Feynman (ver Apéndice A). En

Z [ j = 0] en el denominador del miembro de la derecha de la

particular, el factor

Ec. (4.70) cancela la contribuci´ o n de los subdiagramas de vac´ıo a la función de Green.

H. Falomir

82

Formalmente, la funcional generatriz de funciones de Green de la teor´ıa admite el siguiente desarrollo en serie de Taylor funcional ,

Ω | T exp 0

∞

=

ı



d4 x j(x) ϕH (x) j=0

       n=0

(4.71)

ın n!

 

=

n=0

×

1 n!

d4x1 . . . d4 xn j(x1 ) . . . j(xn )

...

×

Z [ j] Z [ j = 0]

δ δ ... δj(x1 ) δj(xn)

lo que justifica su denominación.

4.5.



Ω0 =

d4 x1 . . . d4 xn j(x1) . . . j(xn ) G(n) (x1 , . . . , xn ) =

... ∞

|

 |

Ecuaci´ on de movimiento para

  j=0

=

Z [ j] , Z [ j = 0]

Z [ j]. El desarrollo perturbativo de Z [ j]

permite justificar una serie de manipulaciones formales a las que es posible someter a las integrales funcionales, como cambios de variables o integraciones por partes . Por ejemplo, consideremos un cambio infinitesimal en las variables de integración, ϕ(x) = χ(x) + εF [χ, x) ,

(4.72)



| |  1, y F [χ, x) es cierta funcional con dependencia de la

donde ε = 0 con ε

posici´ on, que supondremos admite un desarrollo en potencias del nuevo campo χ(x). En ese caso, la relación entre ϕ(x) y χ(x) puede ser invertida a un dado orden en los campos, de manera que esta transformaci´ on es no singular. Tenemos entonces

∼

δϕ(x) = δχ(x) + ε (4.73) =

  d4 y

δ (x

−



d4 y

δF [χ, x) δχ(y) = δχ(y)

δF [χ, x) y) + ε δχ(y)



δχ(y) ,

Path Integrals

83

de modo que el Jacobiano de la transformaci´ on es

 

∼

J [χ] = Det δ (x

−

= exp Tr log δ (x

(4.74)

≈ 1 + ε Tr



δF [χ, x) δχ(y)



δF [χ, x) y) + ε δχ(y)

 ∼ =

x) − y) + ε δF [χ, δχ(y)

= 1 + ε



=

δF [χ, x) d4 x δχ(y)

Entonces, de la representaci´ on de la Ec. (4.58) resulta que

Z [ j] = =

 D

=

[ϕ(x)] e ıI [ϕ, j] =



[χ(x)] e ıI [χ, j] 1 +

d4 x F [χ, x)

[ j] + ε

y=x

∼

 ∼ D     Z D ε

.

[χ(x)] J [χ] e ıI [χ + εF [χ, x), j] =

=

(4.75)

 D



4

dx

δI [χ, j] δF [χ, x) + δχ(x) δχ(y)

 

=

y=x

δ [χ(x)] F [χ, x) e ıI [χ, j] δχ(x)





,

lo que debe ser cierto para todo ε peque˜ no y cualquiera que sea la funcional F [χ, x). Por lo tanto, la integral funcional (sobre trayectorias cerradas) de una derivada funcional simpre es nula. Además, el coeficiente de ε también puede ser escrito como (4.76)

 

δI [χ, j] δF [χ, x) d4 x F [χ, x) + δχ(x) δχ(x)



χ→(−ı

δ δj

)

Z [ j] = 0 ,

lo que debe ser cierto para toda funcional F [χ, x). En particular, para una traslación r´ıgida arbitraria de la variable de integraci´ on, (4.77)

F [χ, x)

≡ f (x) ,

δF [χ, x) δχ(y)

≡ 0,

H. Falomir

84

debe satisfacerse para todo x que



(4.78) =

δI [χ, j] δχ(x)

 − 



χ→(−ı

∂ 2 + m2

δ δj

ı

δI [χ] δχ(x)

Z [ j] =

)

 −

   Z  −  −  Z

δ δj(x)

[ j] =

+ j(x)

χ→(−ı

+ V 

δ δj

)

δ δj(x)

ı

j(x)

[ j] = 0 .

Esta expresi´ on constituye una ecuaci´ on cu´ antica de movimiento para la funcional generatriz que, habida cuenta de su desarrollo de Taylor funcional, Ec. (4.71), impone una serie de relaciones entre las funciones de Green generales de la teor´ıa. Ap´ endice A.

Diagramas de Feynman

A partir de la definici´ on de las funciones de Green generales, Ec. (4.70), la teor´ıa de perturbaciones conduce al desarrollo asint´ otico δ δ [ j = 0] G(n) (x1 , x2 , . . . , xn ) = ( ı)n ... δj(x1 ) δj(xn)

Z

−

∞

(A.1)

( ı)l l!

  −  l=0

d4 y1 . . .

n

× (−ı)

 − d4 yl V

 −  Z    δ ı δj(y1)

δ δ ... δj(x1 ) δj(xn )

...V

0 [ j]

 Z  [ j]

j=0

δ ı δj(yl )



×

.

j=0

Para fijar ideas, consideremos el potencial de interacci´ on V (ϕI (y)) =

(A.2)

λ : ϕI (y) 4!

4

: .

Para este caso, las funciones de Green con un n´ umero impar de argumentos son nulas, mientras que para las otras es necesario el c´ alculo de valores medios de vac´ıo de productos cronol´ ogicos de la forma

Ω | T 0

(A.3)



4

 

ϕI (x1 ) . . . ϕI (x2n ) : ϕI (y1 )

= ( ı)n

−



contrac.

GF (z k1

− z

:

   · ·· | : ϕI (yl )

k2 ) . . . GF (z k2N −1

4

:



Ω0 =

− z

k2N ) ,

donde 2N = 2n + 4l y la suma se realiza sobre todas las posibles contracciones entre pares de campos no contenidos en un mismo orden normal dentro del orden cronológico del miembro de la izquierda (Teorema de Wick - Ver Ecs. (4.31) y (4.35)).

Path Integrals

85

De esa manera, cada término del desarrollo perturbativo de la Ec. (A.1) puede

{

}

ser asociado a un diagrama en el cual los puntos x1 , . . . , x2n , y1 , . . . , yl están

−ı G (z − z ). Las l´ıneas externas nacen en uno de los puntos externos {x , . . . , x }, mientras que las l´ıneas internas unen dos de los vértices { y , . . . , y }. unidos por l´ıneas correspondientes a los propagadores , 1

1

F

i

j

2n

l

El n´ umero de l´ıneas (internas o externas) que salen de cada vértice depende

de la interacci´ o n; en el presente caso ese n´ umero es cuatro. El haber tomado la interacci´ on en orden normal hace que no haya l´ıneas que se cierren sobre el mismo vértice. Además, para esta autointeracci´ on, a cada vértice corresponde un factor

−ı λ/4!.

Entonces, para calcular las contribuciones de orden l de la teor´ıa de perturbacio-

nes a la funci´ on de Green G (2n) (x1, . . . , x2n) se deben considerar todos los posibles diagramas con 2n l´ıneas externas y l vértices, descartando aquellos que contienen subdiagramas de vac´ıo, es decir, partes no conexas del diagrama sin l´ıneas ex-

ternas (s´ olo propagadores entre vértices), ya que su contribuci´ on se ve cancelada

Z [0] en el miembro de la izquierda de la Ec. (A.1).

exactamente por la del factor

Finalmente, se debe integrar sobre todas las posibles posiciones de los l vértices, dividir por l! y sumar las contribuciones de todos esos diagramas.

Reemplazando los propagadores por sus transformadas de Fourier (ver Ec. (4.26)) e integrando primero sobre las posiciones de los vértices, obtenemos las reglas de Feynman en el espacio de impulsos .

Eso conduce a asociar con cada l´ınea del diagrama un propagador de la forma (A.4)

k2

−

ı , m2 + ı0

donde k es el tetraimpulso transportado por la l´ınea , y a cada uno de los l vértices una delta de Dirac que impone la conservaci´ on local de esos impulsos,

  4

(A.5)

4

(2π) δ

ki

i=1

donde la suma en el argumento de la delta se hace sobre los impulsos entrantes al vértice considerado.

La invariancia traslacional de la teor´ıa permite factorizar una de esas deltas para dar cuenta de las conservaci´ on global del tetraimpulso ,

  2n

(A.6)

2π4 δ

pi

i=1

H. Falomir

86

donde la suma se realiza sobre los 2n impulsos pi entrantes al diagrama a través de las E l´ıneas externas. Finalmente, se debe integrar sobre los I impulsos transportados por las l´ıneas internas,



(A.7) Pero l

d4 k1 . . . (2π)4



d4 kI (2π)4

− 1 de estas integrales se realizan trivialmente debido a la presencia de

− 1 deltas de conservación local del tetraimpulso restantes. En consecuencia, sólo restan por realizar L = I − l +1 integraciones sobre impulsos internos, n´ umero las l

que coincide con el de los circuitos independientes , o loops , que es posible trazar sobre el diagrama. A.1.

n alar que, a un dado orden l Funciones de Green conexas. Cabe se˜

de la teor´ıa de perturbaciones, habr´ a contribuciones a la funci´ o n de Green de 2n argumentos que provengan de diagramas no conexos , formados por subdiagramas conexos que representan contribuciones a funciones de Green de menor n´ umero de

≤ l.

argumentos y de orden

En consecuencia, a un dado orden l de la teor´ıa de perturbaciones, las funciones de Green completas pueden construirse recursivamente a partir de las funciones de Green conexas , definidas como la suma de las contribuciones provenientes de

diagramas de Feynman conexos uńicamente, (A.8)

(2n)

G

(x1 , . . . , x2n )

= G (2n) C (x1 , . . . , x2n ) +

 

|

|

G(C α ) ( x α ) ,

∪{x}α ={x} α

{}

donde la suma se realiza sobre todas las particiones del conjunto de 2n argumentos

{x}, | α | es el número de elementos en cada subconjunto y las funciones de Green conexas que aparecen en el producto est´ an evaluadas al orden l, reteniéndose de ese (2)

producto términos de hasta ese orden. En particular, GC (x1 , x2 ) = G (2) (x1 , x2 ). En esas condiciones, se define la funcional generatriz de funciones de Green conexas como ∞

(A.9)

ı

W [ j] :=

ın n!

  n=2

d4 x1 . . .



(n)

d4 xn GC (x1 , . . . , xn) j(x1) . . . j(xn ) ,

de modo tal que (A.10)

−

δ δ (n) ı GC (x1 , . . . , xn ) = ( ı)n ... δj(x1) δj(xn )

−

 W  [ j]

j=0

.

Path Integrals

87

La relaci´ on dada en la Ec. (A.8) permite verificar que eı

(A.11)

A.2.

W [ j] ≡ Z [ j] . Z [ j = 0]

Elementos de matriz del operador S . La amplitud de probabilidad

{

}

de transición de un estado inicial con n part´ıculas de impulsos p1 , . . . , pn a un

{

}

estado final con m part´ıculas con impulsos q 1, . . . , qm está dada por el elemento de matriz (A.12)

q , . . . , q ; +∞| S [ j = 0] | p , . . . , p ; −∞ = q , . . . , q ; +∞|× 1

× : exp

m

  ı

1

d4 x ϕI (x) ∂ x2 + m2



n

1

 −  | δ ı δj(x)



: p1 , . . . , pn ;

m



−∞ Z [ j(x)]

∀

.

j=0

Si los impulsos son tales que q j = pi , i, j, a ese elemento de matriz s´ olo contribuye el orden n + m del desarrollo de Taylor de la exponencial dentro del orden normal (dado que son necesarios n operadores de destrucci´ on y m de creaci´ on para obtener un resultado no nulo), de donde resulta que esa amplitud de probabilidad queda expresada como la transformada de Fourier (en todos sus argumentos) de ∂ x21 + m2 . . . ∂ x2n+m + m2 G(n+m) (x1, . . . , xn+m) ,



(A.13)

 



evaluada en los valores f´ısicos de los impulsos entrantes y salientes (para los cuales tenemos que p2i = m 2 , q j2 = m 2 ). Pero los operadores de Klein - Gordon en esa expresi´ on corresponder´ıan al producto por n

m

 −

p2i

(A.14)

+m

i=1

2

  −

q j2 + m2 ,



j=1

que es nulo para los valores f´ısicos de los tetraimpulsos, lo que muestra que a la amplitud de probabilidad de transici´ on sólo contribuye el residuo de la transformada de Fourier de la funci´ on de Green,

  n+m

(A.15)

F 

(n+m)

G

4



(x1 , . . . , xn+m ) = (2π) δ

ki

˜ (n+m) (k1 , . . . , kn+m ) , G

i=1

en el polo m´ ultiple que ella presenta para valores on-shell de sus argumentos. En particular, la transformada de Fourier de la funci´ on de Green de dos puntos (el propagador completo ) debe ser de la forma (A.16)

−ı G˜

(2)

(k)

≈ k −1 m + O(1) , 2

2

H. Falomir

88

para k2

2

≈ m , donde m es la masa f´ısica de las part´ıculas.

Consideremos ahora una funci´ on de Green conexa con N patas externas, calculada a cierto orden de la teor´ıa de perturbaciones. Su transformada de Fourier ˜ (2) (ki ) asociadas a recibe, en particular, las correcciones a las funciones de Green G esas patas externas (hasta el orden que estamos considerando), las que presentan polos para valores on-shell de los impulsos entrantes. Esos polos son cancelados por los factores ( ki2 + m2 ) provenientes de los operadores de Klein - Gordon, de

−

modo que lo que contribuye a la parte conexa de las amplitudes de probabilidad de transición son en realidad las funciones de Green truncadas de la teor´ıa, definidas como

 N

(A.17)

) ˜ (N G trunc. (k1 , . . . , kN ) :=



˜ (2) (ki ) G

i=1

−1

˜ (N ) (k1 , . . . , kN ) . G C

Esto corresponde a la suma (hasta el orden considerado) de todos los diagramas de Feynman conexos truncados , es decir, aquellos en los que se desechan tanto los propagadores correspondientes a las l´ıneas externas como las correcciones radiativas a las mismas, elementos a los que no se atribuye ning´ un factor para el cálculo de la contribuci´ on del diagrama.

A.3.

Funciones propias - Acci´ on efectiva. Un diagrama conexo truncado

se dice propio (o irreducible de una part´ıcula 12) si sigue siendo conexo luego de cortar una cualquiera de sus l´ıneas internas. Los diagramas propios son los elementos fundamentales de la teor´ıa de perturbaciones, puesto que a partir de ellos es posible construir cualquier otro diagrama combin´ andolos mediante el reemplazo sus patas amputadas por correcciones ra˜ (2) . diativas al propagador G Tienen la particularidad de que todo loop de un diagrama reducible está contenido en uno de sus subdiagramas propios, por lo que es posible integrar sobre los impulsos internos de cada uno de esos subdiagramas sin que los dem´ as se vean involucrados. En particular, es necesario y suficiente eliminar las divergencias ultravioletas de las funciones propias para eliminarlas completamente de la teor´ıa. Las funciones propias pueden ser derivadas de una funcional generatriz llamada

W [ j].

acci´ on efectiva , que resulta ser la transformada de Legendre funcional de 12En

inglés, one-particle irreducible .

Path Integrals

89

En efecto, definamos la funcional de j (A.18) ϕ[ j](x) := ∞

=

 n=2

ın−1 (n 1)!

−



d4 x1 . . .



W

δ [ j] = δj(x) (n)

d4 xn−1 GC (x, x1 , . . . , xn−1 ) j(x1 ) . . . j(xn−1 ) .

Como G(2) as bajo orden de la teor´ıa de perC (x, y) se reduce a GF (x, y) al m´ turbaciones, ella define un operador integral con inversa (perturbativa). En esas condiciones, la relaci´ on entre ϕ y j puede ser invertida como una serie de potencias funcional en la primera, para obtener (A.19) j[ϕ](x) =

∞

 n=2

−1 (n − 1)!



4

d x1 . . .



d4xn−1 Γ(n) (x, x1 , . . . , xn−1 ) ϕ(x1 ) . . . ϕ(xn−1 ) .

W [ j] se define como W [ j] = W [ j] − d x j(x) δ δj(x)

La transformada de Legendre funcional de Γ[ϕ] := (A.20)



=

  −

 

4

W [ j[ϕ]]

j= j[ϕ]

d4 x j[ϕ](x) ϕ(x) ,

y se verifica que

(A.21)

δ Γ = δϕ(x)

  W d4 y

δ [ j] δj(y) δj(y) δϕ(x)

−

δj(y) ϕ(y) δϕ(x)

− j(y) δ (y − x)



=

−

= j[ϕ](x) , donde hemos empleado la regla de derivaci´ on funcional en cadena. En definitiva, la acción efectiva ∞

(A.22)

Γ[ϕ] =

1 n!

  n=2

d4 x1 . . .



d4 xn Γ(n) (x1 , . . . , xn ) ϕ(x1 ) . . . ϕ(xn ) ,

donde los coeficientes Γ(n) (x1 , . . . , xn ) (funciones simétricas de todos sus argumentos) son las funciones propias de la teor´ıa. Esto puede verificarse tomando derivadas funcionales sucesivas respecto de ϕ de ambos miembros de la Ec. (A.18) y teniendo en cuenta la Ec. (A.19).

H. Falomir

90

Desarrollo en loops . El desarrollo perturbativo de las funciones de Green

A.4.

puede ordenarse de acuerdo al n´ umero de loops de los diagramas, lo que puede entenderse como un desarrollo semi-clásico. Consideremos un diagrama conexo con E l´ıneas externas, I l´ıneas internas y V vértices. Seg´ un las reglas de Feynman en el espacio de impulsos, a cada vértice le corresponde un factor (2π)4 δ (



ki ) que impone la conservaci´ on local del tetraim-

pulso. Una de ellas puede ser factorizada para dar cuenta de la conservaci´ on global

− 1 restantes dejan un número

del impulso en el diagrama, mientras que las V L = I

(A.23)

− V + 1

de impulsos independientes sobre los cuales ha de integrarse. Recuperando la constante  en la Ec. (4.58), vemos que la expresi´ o n de Z [ j] corresponde a la suma de contribuciones de la forma exp las distintas configuraciones del campo ϕ(x).



ı

 

I [ϕ] + ı j ϕ sobre 

Podemos eliminar la constante  de los términos cuadr´ aticos del Lagrangiano 1 2

→  ϕ(x), de modo que 1 1 (ϕ,∂ϕ) + j ϕ → L (ϕ,∂ϕ) − V  ϕ +  j ϕ , L  

mediante el cambio de escala del campo ϕ(x) (A.24) donde

  1 2

0

1 2

L (ϕ,∂ϕ) es el Lagrangiano del campo escalar libre. 0

Ese cambio de escala introduce un Jacobiano constante (que puede ser absorbido en la medida de integraci´ on), y un factor  en el propagador del campo,



δ2 Z 0 [ j] . δj 2 j=0

Cambiemos también la escala de las constantes de acoplamiento de manera tal 1

que se compensen los factores adicionales de  2 , dejando al término de interacci´ on completo multiplicado por un factor  −1 . Por ejemplo,

  3

(A.25)

g 3 λ 4 ϕ + ϕ 3! 4!

 − 2 g

→

3!

3 2



(  −2 λ) ϕ + 4! 3

2



ϕ4 .

En esas condiciones, cada l´ınea del diagrama de Feynman queda multiplicada por un factor  , mientras que cada vértice gana un factor  −1 . En consecuencia, el diagrama queda multiplicado por un factor  E +I −V . Ahora bien, teniendo en cuenta que de la Ec. (A.23) resulta que I podemos escribir (A.26)

E +I −V



=  E +L−1 ,

− V = L − 1,

Path Integrals

91

de modo que las contribuciones a una dada funci´ on de Green (E fijo) est´ an caracterizadas por una potencia de  que crece con el n´ umero de loops del correspondiente diagrama. En particular, la contribuci´ on de un diagrama propio (irreducible y truncado) a la función de vértice Γ(n) queda pesada por un factor  L−1 . En una teor´ıa para la cual V (ϕ) est´ a dada por un uńico monomio en el campo, el n´ umero de loops cuenta el n´ umero de vértices y este desarrollo coincide con el perturbativo en potencias de la uńica constante de acoplamiento presente. Por ejemplo, para V (ϕ) = λ ϕ4 /4!, el n´ umero de l´ıneas que sale de cada vértice es 4, y esas l´ıneas pueden ser externas (que llegan a un vértice) o internas (que unen dos vértices). Por lo tanto, (A.27)

4V = E + 2I

− E 2

⇒

I = 2V

y la potencia de  correspondiente al diagrama es E + L

(A.28)

− 1 = E + I − V = E 2 + V .

Pero en el caso en que V (ϕ) sea la suma de varios monomios, el desarrollo en loops es un desarrollo en una constante que multiplica a todos los t´ erminos de interacci´ on. Eso mantiene en cada orden del desarrollo las relaciones entre los distintos términos, preservando (formalmente) las simetr´ıas de V (ϕ). Consideremos ahora las contribuciones a la acci´ on efectiva Γ[ϕ] del campo escalar con una autointeracción cu´ artica al orden m´ as bajo del desarrollo en loops (0-loops o nivel ´ arbol ). ˜ (2) = ı/ G ˜ (2) , tenemos Para la funci´ on de vértice propio de dos puntos, Γ ˜ (2) (k) = k 2 Γ 0

(A.29)

−m

2

,

de modo que (A.30) (2) Γ0 (x

− y) = =



d4 k (2π)4

 

d4 k ı(k x + k y) e (2π)4 δ (k + k ) k2 4 (2π)

d4k ı k (x e (2π)4

· − y)

·



k2

−m

·

2

 − =

que ı veces la inversa del propagador de Feynman.



∂ x 2 + m2 δ (x



2

−m

− y) ,



=

H. Falomir

92

Su contribuci´ on a la funcional Γ[ϕ] está dada por 1 2! (A.31)

=

  −    −   −  (2)

d4 x

d4 y Γ0 (x

1 2!

=

y) ϕ(x) ϕ(y)

d4 x ϕ(x) ∂ x 2 + m2 ϕ(x) =

1 2

d4 x

∂ϕ(x)2

m2 ϕ(x)2 .

Al mismo orden del desarrollo en loops, el resto de las transformadas de Fourier de las funciones propias se reducen simplemente a menos los valores de las constantes de acoplamiento que aparecen en el Lagrangiano original. En nuestro caso, sólo tenemos la contribuci´ on de (4) ı ˜ Γ0 (k1 , k2, k3 , k4 )

(A.32)

=

  −

λ 4! = 4!

ı

−ı λ ,

de manera tal que (A.33) Γ(4) 0 (x1 , x2 , x3 , x4 ) = =



d4 k1 . . . (2π)4



d4 k4 ı (k1 x1 + e (2π)4

·

=

··· + k · x ) (2π) 4

4

4

δ (k1 +

··· + k ) (−λ) = 4

−λ δ (x − x ) δ (x − x ) δ (x − x ) . 1

2

1

3

1

4

Su contribuci´ o n a Γ[ϕ] es 1 4! (A.34)



4

d x1 . . .



(4)

d4x4 Γ0 (x1 , x2, x3, x4) ϕ(x1 ) . . . ϕ(x4 ) =

=

−

λ 4!



d4 x ϕ(x)4 .

En definitiva, la funcional Γ[ϕ] al orden de 0-loops coincide con la acci´ on clásica del campo, (A.35)

Γ[ϕ] =

  d4 x

1 (∂ϕ(x))2 2

−

1 ϕ(x)2 2

lo que justifica el nombre de acci´ on efectiva . En ese sentido, la relaci´ on (A.36)

δ Γ[ϕ] = j(x) δϕ(x)

−

− V (ϕ(x))



+

O( ) ,

Curso de Teor¶Ia Cu¶Antica de Campos

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