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4.
Si el producto de dos números es n y uno de ellos no admite divisores comunes con n, entonces el otro es
n.
Ejemplos:
DIVISIBILIDAD:
4.A= 9
3.B= 7
Es la parte de la aritmética, que estudia las condiciones que debe reunir un número, para que sea divisible por otro. Se dice que un número “A” es divisible por otro “B”, cuando al dividir “A” entre “B”, la división resulta entera y exacta (residuo es cero).
A es divisible por B A
B q
A= 9
B= 7
Observaciones: 1.
Todo número entero posee divisores y múltiplos. Ejemplo: Divisores de 40 1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40 Múltiplos de 40 0; 40; 80; 120; 160; 200; 240; ...
2.
El cero es múltiplo de todo número, excepto de si mismo.
3.
La unidad es divisor de todo número entero positivo, se le llama “divisor universal”.
1.
En la siguiente secuencia: 1; 2; 3; 4; 5; .......... ; 400 A) ¿Cuántos son múltiplos de 5? B) ¿Cuántos son múltiplos de 3? C) ¿Cuántos son múltiplos de 15? D) ¿Cuántos no son múltiplos de 5 ni de 3?
2.
Del 1 al 2000, ¿cuántos números son divisibles entre 13 pero no entre 7?
3.
¿Cuántos números de 4 cifras son múltiplos de 17 y terminan en 2?
4.
Dadas tres cifras significativas a; b y c, la expresión:
0
Ejemplo: 40 5 8 0
40
es múltiplo de es divisible por es divisor de
5
Notación: Para denotar que “A” es divisible por “B”, escribiremos: A es múltiplo de B
A = B B es divisor de A
PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD 1.
La adición o sustracción de números múltiplos de n,
da por resultado un n .
ab ac bc ba ca cb es siempre divisible por:
n – n = n
n + n + n = n
5.
Un número de la forma ab (2a) (2b) , es siempre divisible por:
6.
En un barco habían 180 personas, ocurre un naufragio y de los sobrevivientes, 2/5 fuman, 3/7 son casado y los 2/3 son ingenieros. Determinar cuántas personas murieron en dicho accidente.
7.
En una fiesta donde habían 120 personas entre damas, caballeros y niños. El número de caballeros que no bailaban en un momento era igual a la tercera parte del número de damas, el número de niños era la quinta parte del número de damas y la cuarta parte del número de damas fue con vestido blanco. ¿Cuántas damas no bailaban en ese momento?
2.
Si multiplicamos un n por una constante entera, el
producto sigue siendo un n .
n .K= n 3.
....... K es entero
Si elevamos a un número entero y positivo, un múltiplo
de n, el resultado es n .
n
K
= n
....... K es entero
Av. Universitaria 1875 Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) – Teléfono: 261-8730
8.
¿Cuántos términos de la siguiente serie son múltiplos de 38? 181; 182; 183; 184; ..............; 18 1000
6.
¿Cuántos números de cuatro cifras son múltiplos de 7 y terminan en 1? A) 125 B) 1286 C) 1280 D) 128 E) 129
9.
En la sucesión: 1210; 1211; 1212; 1213; ...........; 1299
7.
¿Cuántos números de 3 cifras que terminan en 1, son múltiplos de 7? A) 10 B) 9 C) 8 D) 12 E) 13
8.
¿Cuántos múltiplos de 8, cuya cifra de 1er orden es 2, existen entre 190 y 1452 en el sistema decimal? A) 21 B) 11 C) 22 D) 34 E) 32
9.
¿Cuántos números entre 3000 y 4000 son 7 pero no
¿Cuántos términos son 15 ?
10. Hallar el valor de “a” en: 5a6a4 23
11. Hallar el menor valor de abcd , tal que: abcd = 19 y cd = CA (ab) .
11 ? A) 120
12. Encontrar el valor de “a” si el siguiente numeral:
B) 125
C) 130
D) 135
E) N.A.
94a6a es divisible por 37.
10. Si a un número de 3 cifras se le resta el mismo número pero con las cifras invertidas, la diferencia es divisible necesariamente por: A) 7 B) 2 C) 5 D) 11 E) 13
13. ¿Cuántos números de 3 cifras que terminan en 2 son divisibles entre 6? 14. Hallar un número entero que en el sistema decimal es
11. Si en un número de dos cifras, el dígito de las decenas es el doble del dígito de las unidades, entonces dicho número no es necesariamente divisible por A) 3 C) el dígito de las unidades B) 4 D) 9 E) 21
de la forma abcd , sabiendo que es divisible por 13 y además cd = 3 (ab 2) 15. A una convención de profesionales asistieron 400 personas entre americanos y europeos. Entre los europeos la sexta parte son abogados, los 3/8 son ingenieros y los 5/11 son médicos. Si de los americanos 5/17 son varones, ¿cuántas profesionales americanas mujeres asistieron a la convención?
12. A una función del teatro asistieron 140 personas. La quinceava parte de los caballeros usaba bigote y la diecinueveava parte de las damas eran rubias. ¿Cuántas mujeres más que varones asistieron? A) 50 B) 55 C) 58 D) 60 E) 65
2
13. Hallar la suma de las cifras de a , si 9a688 = 17 . A) 8 B) 5 C) 6 D) 0 E) 9 1.
14. Si: a74 3a8 52a = 19k, hallar el valor de k + a. A) 65 B) 69 C) 67 D) 71 E) 68
Del 1 al 360, ¿cuántos números son divisibles por 3, pero no por 9? A) 120 B) 80 C) 60 D) 40 E) N.A.
15. Indique la suma de los valores que toma ab en:
2.
3.
4.
5.
¿Cuántos números del 1 al 800 no son 7 ni 3 ? A) 312 B) 361 C) 342 D) 458 E) 446
23 ab + 17 = 7 . A) 764 B) 438
¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 4 pero no de 6? A) 40 B) 36 C) 31 D) 28 E) 150
C) 686
D) 654
E) N.A.
D) 4
E) 8
16. Cuántos valores toma “x” en:
+
31x + 25 = 37 ; x Z < 200 A) 6 B) 7 C) 5
¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 8 pero terminan en cifra 4? A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24
17. Si el número abcd es divisible por 17 y cd + 6 = 3 ab , calcular: a + b + c + d. A) 10 B) 11 C) 12
¿Cuántos números de 4 cifras hay tales que al disminuirles 10 unidades, sean múltiplos de 9? A) 1000 B) 950 C) 900 D) 1010 E) 1100 -2-
D) 13
E) 14
Teoría de la Divisibilidad
18. Hallar el menor “N” tal que:
29. El complemento aritmético de un número de siete
N= 7 +3 A) 59 B) 45
y
4N = 15 + 13 C) 46 D) 52 E) 31
cifras es un 11 + 5, el número será:
19. Cuántos múltiplos de 1200 hay en la serie: 750; 1201; 750; 1202; 750; 1203; ....... ; 750; 13800 A) 1231 B) 1200 C) 1354 D) 1473 E) 1575
A) 11 + 7
C) 11 + 5
B) 11 + 3
D) 11 + 6
E) No se puede determinar
30. ¿Cuántos números impares de 3 cifras son divisibles entre 25? A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21
20. Cuántos números de la secuencia son 21 en: 181 ; 182 ; 183; ...... 18600 A) 84 B) 85 C) 86 D) 100 E) 116
31. ¿Cuántos números pares enteros y positivos que sean
19 hay entre 2000 y 2980? A) 25 B) 26 C) 27
21. En una multiplicación el producto es 13 + 3. Si uno de
D) 28
E) 29
los factores es 13 + 11, el otro factor será:
A) 13 + 8
C) 13 + 4
B) 13 + 5
D) 13 + 9
32. El número de enteros divisibles por 3 y por 7 que hay entre 130 y 290 es: A) 7 B) 8 C) 9 D) 6 E) 5
E) N.A.
33. Hallar la cantidad de números pares menores que 100 y que no sean múltiplos de 5. A) 49 B) 30 C) 40 D) 50 E) 29
22. Hallar el residuo de dividir el siguiente producto entre
14: ( 14 + 8) ( 14 + 9) ( 14 + 11) A) 6 B) 7 C) 8
D) 9
34. Cuántos múltiplos de 30 hay en: 24, 48, 72, 96, ................, 24000 A) 18 B) 19 C) 17
E) 5
23. Cinco números al dividirse por 24, dieron como residuo 22, 7, 10, 19 y 3. ¿Cuál es el residuo de dividir la suma de dichos números entre 24? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) N.A.
C) 21
D) 99
36. ¿Cuántos números de 2 cifras son múltiplos de 2 y 3 pero no de 5? A) 13 B) 16 C) 11 D) 12 E) 10
E) 33
25. Un vendedor tiene 6 cestas que contienen huevos: en unas hay huevos de gallina y en otras de codorniz. El número de huevos de cada cesta es: 8, 12, 21, 23, 24 y 29. El vendedor decía: “si vendo esta cesta, me quedaría el cuádruple de huevos de gallina que de codorniz”. ¿A qué cesta se refería? A) 12 B) 21 C) 23 D) 24 E) 29
37. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 3 ó 4 pero no de 12? A) 425 B) 144 C) 288 D) 375 E) 350 38. Por S/. 240 se han comprado cuadernos de S/. 38 cada uno y lapiceros a S/. 17 cada uno. ¿Cuántos objetos se han comprado? A) 12 B) 7 C) 8 D) 5 E) 10
26. A una reunión asistieron 103 personas de los cuales 4/15 de los hombres bailaban y la séptima parte de las mujeres usaban falda. ¿Cuántas mujeres no bailaban? A) 6 B) 8 C) 10 D) 11 E) 20
39. Hallar un número entero que en el sistema decimal es de la forma abcd , sabiendo que es divisible por 13 y además cd = 3 (ab 2) A) 1551 B) 1654 C) 1345
27. Sean a, b, c cifras diferentes entre sí. Luego la suma de todos los números de cifras que se pueden formar serán siempre múltiplos de: I. 2 II. 11 III. 3 A) I B) II C) III D) I y II E) I, II, III
E) 1963
calcular la suma de cifras del mayor valor de zw , si
xy no es múltiplo de 17. A) 13 B) 8 C) 9 D) 4
D) 1921
40. Al sumar xy . zw con xy3 se obtiene un 17 – 14,
28. Si CA (aa) 7 , hallar “a”. A) 1 B) 2 C) 3
E) 20
35. ¿Cuántos números múltiplos de 5 pero no de 3 existen entre 220 y 990? A) 51 B) 94 C) 102 D) 154 E) 208
24. ¿Porqué número no es siempre divisible la diferencia de abc y cba ? A) 9 B) 11
D) 21
D) 11
E) 10
E) 5 -3-
Teoría de la Divisibilidad
