IN71A: Economía y Políticas Públicas I Guía Auxiliar 9 – Teoría de Juegos y Oligopolio Profesor: Pablo González Auxiliar: José Miguel Sanhueza –
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I. Comente las siguientes afirmaciones afirmaciones
1.
¿Qué es una “estrategia dominante”? dominante”? ¿Qué es una “estrategia dominada”? dominada”?
Una estrategia dominante es un curso de acción que siempre será el mejor para un jugador, independiente independiente de lo que haga el otro. Bajo la misma lógica, una estrategia dominada será aquella que nunca sea la mejor opción para un jugador, independiente de lo que haga el otro.
2.
¿Qué es un “equilibrio de Nash”?
Conjunto de estrategias o de acciones con las que cada jugador obtiene los mejores resultados posibles, dadas las acciones de sus competidoras. Dicho de otra forma, es una situación en la que ningún jugador tiene incentivos para alejarse de su estrategia actual dado lo que está haciendo el otro. 3. ¿En qué sentido el problema problema de la colusión oligopólica es similar, en cuanto a estructura, estructura, al dilema del prisionero? En el sentido en que en ambas situaciones los jugadores están mejor en el equilibrio cooperativo que en el equilibrio no cooperativo (o de Nash), pero el equilibrio cooperativo es inestable porque hay incentivos a no respetar el acuerdo, es decir, no es un equilibrio de Nash 4. En un mercado duopólico cuando se observa que disminuye la cantidad total producida se puede concluir concluir que las empresas empresas se han coludido coludido para obtener obtener mayores mayores ganancias. ganancias. No necesariamente. Esto también ocurre cuando las empresas compiten por cantidad (competencia de Cournot). También puede ocurrir en el caso de una competencia de Stackelberg, donde existe competencia por cantidad entre una empresa líder y una seguidora. En ambos casos, se produce más que en un monopolio y a menor precio, pero el precio sigue siendo superior y la cantidad inferior a la situación de competencia perfecta. perfecta. 5. Suponga que N firmas compiten según el modelo de Bertrand, con bienes homogéneos. Por lo tanto, mientras mayor sea el número (N) más próximos estaremos a observar los resultados de eficiencia del equilibrio de competencia perfecta. En el modelo de Bertrand (competencia por precios), para que los resultados en términos de eficiencia sean equivalentes a los de competencia perfecta, deben cumplirse dos supuestos: que se trate de bienes homogéneos, y que los costos marginales de las firmas involucradas sean iguales y constantes. El número de firmas no es relevante para estos efectos, por lo tanto la afirmación es falsa (de hecho, la afirmación sí es correcta para el modelo de competencia de Cournot).
II. Ejercicios 1. Considere una empresa en el mercado de las telecomunicaciones que enfrenta la competencia de una sola firma. Suponga que la compañía sabe que tiene tres opciones y que su rival también tiene las mismas opciones: Coludirse (C), Hacerse la Guerra (G) o la opción de Discutir (D), que permite aplazar las decisiones hacia el futuro. Los retornos de cada opción para cada firma son los que aparecen en la tabla.
a) ¿Es posible que alguna empresa elija Discutir?, ¿Por qué? No, porque eligiendo C o G, las firmas están siempre mejor que escogiendo D, es decir, formalmente, D es una estrategia débilmente dominada. b) ¿Cuál es la mejor respuesta que podría dar la firma 2 si la firma 1 elije Coludirse? Si firma 1 elige C, las opciones que analiza la firma 2 so n:
En cuyo caso, queda claro que la alternativa que le entrega mayor beneficio es irse a la guerra, por lo que sería su mejor respuesta en este caso. c) Encuentre el equilibrio de Nash Para encontrar el Equilibrio de Nash (EN), debemos iterativamente identificar las mejores respuestas de cada firma, para toda posible estrategia del otro. Luego, las combinaciones de estrategias en que coincidan ambas firmas al usarlas como mejor respuesta simultáneamente, corresponden a los EN del juego. En este caso, con rojo marcamos las mejores respuestas de la firma 1 y con azul las de la firma 2:
De acá vemos que hay un único EN, que corresponde a la combinación (G,G), es decir, las firmas se irán a la guerra. d) Determine si las empresas son capaces o no de coludirse. Explique el por qué de ese resultado. La colusión no es factible porque, partiendo desde esa configuración, ambas firmas tienen incentivos a cambiar estrategia y ganar más. Dichos incentivos llevan siempre al equilibrio de Nash que encontramos en la parte anterior (G,G). 2. Una señora busca ayuda porque un asaltante intenta robarle su cartera. En el momento en que ocurre está situación, sólo 2 personas están cerca del hecho como para poder prestar ayuda: A y B. Ellos deben decidir simultáneamente si ayudarla o no. A y B obtienen una utilidad de 3 si ambos ayudan a la señora en conjunto. Si en cambio uno de ellos la ayuda y el otro no, quien ayude obt iene una utilidad de 4 (por el mayor reconocimiento social al quedar como héroe) y quien no ayude obtiene una utilidad de 1 (por ser testigo del acto de valentía). El costo personal de ayudar a la señora es de 1. Si nadie ayuda, asuma que ambos obtienen una desutilidad de -1 por no haber ayudado. Escriba la matriz de pagos de este juego. Encuentre el equilibrio de Nash.
En este juego los dos jugadores A y B tienen dos estrategias de ayudar (A) o no ayudar (NA) a la señora. Para representar el juego en forma normal se construye la matriz con los pagos correspondientes a cada uno de los estados. En el caso que A y B ayudan ambos obtienen una utilidad de 3 pero incurren en un costo de 1 por lo que los pagos serán (2,2). En el caso que A ayuda y B no ayuda, A obtiene 4 y B obtiene 1 ya que la señora fue ayudada. Pero sólo A incurre en el costo de ayudar. Luego los pagos son (3,1) El caso que A no ayuda y B ayuda es análogo al anterior y los pagos son (1,3) En el caso que ninguno ayuda los pagos son (-1,-1) ya que ninguno hizo algo.
El equilibrio de Nash está dado por la opción en que ambos jugadores ayudan (A,A). 3. Diez estudiantes del MGPP salen a cenar en un restaurante que ofrece dos platos: pollo y langosta. El pollo cuesta 2500 mientras que la langosta 10000. La disposición a pagar por el pollo de cada estudiante es de 3000, mientras que la disposición a pagar por la langosta es de 5000. Normas sociales exigen que se reparta la cuenta entre los diez estudiantes, pagando todos lo mismo, sin importar si pidieron pollo o langosta. Además, todos deben elegir pollo o langosta, y se considera de pésimo gusto no pedir nada o retirarse de la mesa antes de que llegue la cuenta. a) ¿Qué debería pedir cada estudiante para que el excedente total de los consumidores sea el mayor posible?
Claramente todos deberían pedir pollo, porque así quedarán con un excedente total de 5.000 (cada uno tendrá un excedente de 500, porque el pollo cuesta 2.500 y tienen una disposición a pagar de 3.000) b) Si los demás estudiantes piden pollo, ¿Qué le conviene más a Ud., pedir pollo o langosta?
Si los otros 9 han pedido pollo, entonces la cuenta (sin considerarme a mí) es de $22.500 (9*2.500). Si yo pido pollo, la cuenta total será de $25.000 y cada uno pagará $2.500. Mi excedente será de $500 al igual que todos. Si yo pido langosta, la cuenta total será de $32.500 y cada uno pagará $3.250. Mi excedente será de $1.750 (5.000 3.250). Por lo tanto, preferiré pedir langosta dado que todos han pedido pollo, así mis compañeros me financiarán el gusto de comerme una langosta. c) Si los demás estudiantes piden langosta, ¿Qué le conviene más a Ud., pedir pollo o langosta?
Si los otros 9 han pedido langosta, entonces la cuenta (sin considerarme a mí) es de $90.000 (9*10.000). Si yo pido pollo, la cuenta total será de $92.500 y cada uno pagará $9.250. Mi excedente será negativo de $6.250 (pagué 9.250 por un pollo que valoro en 3.000!). Si yo pido langosta, la cuenta total será de $100.000 y cada uno pagará $10.000. Mi excedente será negativo de $5.000 (5.000 10.000) al igual que el de todos mis compañeros. Por lo tanto,
dado que todos han pedido langosta, mi estrategia preferida será pedir langosta igual, así tendré un excedente menos negativo. d) ¿Es equilibrio de Nash que todos pidan pollo?
Dada la respuesta de la parte b, vemos que NO es equilibrio de Nash que todos pidan pollo. Si los otros 9 han pedido pollo, yo preferiré pedir langosta. e) ¿Es equilibrio de Nash que todos pidan langosta?
Dada la respuesta de la parte c, vemos que si es equilibrio de Nash que todos pidan langosta. Si los otros 9 pidieron langosta, mi estrategia será pedir langosta también. 4. En el proceso Rentas 2015, un individuo puede decidir hacer o no hacer su declaración de impuestos. El beneficio de no hacerlo se halla en que, si el SII no le efectúa una fiscalización, entonces se ahorra el pago de impuestos. Sin embargo, si el SII lo detecta sin declaración por medio de una fiscalización entonces debe cancelar, además de los impuestos correspondientes, una multa por evasión fiscal. Suponga que R es la renta del individuo, I son los impuestos que debe pagar en su declaración, M es el valor de la multa y C es el costo de realizar una fiscalización.
a) Describa el juego en forma normal (matriz) El juego posee dos agentes: El individuo y el SII. Estrategias del individuo: Pagar (P) o evadir (E). Estrategias del SII: Fiscalizar (F) o no fiscalizar (NF). Los pagos dependiendo de cada situación, quedan resumidos en la siguiente tabla:
b) Muestre y explique si el juego tiene un equilibrio de Nash. Como se puede apreciar en la tabla, no existe ningún equilibrio de Nash para este juego, pues no es posible encontrar una combinación en que ambos jugadores coincidan usando las respectivas estrategias como mejor respuesta a lo que hace el otro. Esto es, no existe una combinación de estrategias tal que ambos agentes estén simultáneamente conformes con sus pagos, en el sentido de no tener incentivos a cambiar de estrategia (por parte de al menos alguno de ellos). Esto genera que en la búsqueda de equilibrios, siempre hay un agente que estaría cambiando de estrategia, infinitamente
5. Un mercado está compuesto por dos empresas idénticas e independientes, las que compiten a la Cournot. La función de costo total de cada firma “i” es igual a C(Qi) =2Qi 2 , para i=1,2. La demanda de mercado está dada por Q(P) = 20-5P, donde Q = Q 1+Q 2 a) Obtenga el equilibrio del mercado duopólico, indicado precio, cantidad producida por cada firma y beneficios netos de cada empresa.
Para obtener el equilibrio es necesario encontrar las funciones de reacción de cada firma que se derivan del proceso de maximización de utilidades de éstas. Para la firma 1:
De la demanda de mercado Q(P) = 20 − 5P obtenemos una expresión para el precio en función de la producción total
Pero Q = q1 + q2
El problema de optimización de la firma 1 es:
El problema de optimización se resuelve derivando la función de utilidad respecto de la cantidad q1, e igualando a cero: es decir, encontrando el punto en que el aporte adicional de utilidad que reporta la última unidad producida es 0 (momento en el cual se deja de producir).
Derivando e igualando a cero, se tiene:
Donde q1(q2) es la función de reacción de la firma 1 Para la firma 2 la lógica es exactamente la misma. Se tiene que el problema de optimización de la firma 2 es:
Derivando e igualando a cero, se tiene:
Donde q2(q1) es la función de reacción de la firma 2. El equilibrio se encuentra donde las funciones de reacción de las firmas se intersectan. Es decir, donde q1 = q2
La producción total corresponde a Q = q1 + q2
Y el precio de equilibrio a:
El beneficio la firma i con i=1,2 es:
b) Suponga que las dos firmas se fusionan y que mediante sinergias lograrán ser más eficientes productivamente. La nueva función de costo total de la empresa fusionada sería C(q)=q 2. Obtenga el precio y nivel de producción observado en el mercado bajo colusión.
Notar que con la fusión de las firmas, en el mercado quedará operando una sola firma que actuará como monopolio. Entonces, el problema de optimización de la firma fusionada es:
Luego derivando e igualando a cero:
El precio y la utilidad monopólica se definen a continuación
6. Un mercado está compuesto por dos empresas que compiten a lo Bertrand. Las empresas tienen costos unitarios fijos de c1=50 y c2=30 respectivamente. La demanda del mercado es q = 100 - 2p. Encuentre el equilibrio del duopolio.
El modelo de Bertrand tiene dos supuestos: que se trate de bienes homogéneos, y que los costos marginales de las firmas involucradas sean constantes e iguales. En este caso no lo son, por lo cual el mercado es copado en un 100% por la empresa de menor costo (c2=30), siendo ese el precio que se fija.
Dicha empresa produce la cantidad que le permita maximizar su utilidad. Se sabe que la demanda es q = 100 – 2p, o lo que es lo mismo, p = 50 – q/2. Luego, el problema de optimización de la firma es: Max π Max π Max π Max π
= p*q – c2*q = (50-q/2)*q – 30q = 50q – q2/2 – 30q = 20q – q2/2
Luego, al resolver este problema de optimización (derivando e igualando a cero) se tiene que: ∂π/∂q = 20 – q = 0 -q = -20 q=20 7 . En el mercado del Pisco la empresa “Capel” captura la mayor parte del mercado, dejando a otras pequeñas empresas con porcentajes muy menores en su participación. Considere que el mercado del Pisco se comporta según el Modelo de Stackelberg con la empres a “Capel” como líder y otras dos empresas como seguidoras. La función de costos de la empresa líder es: C(q) = cq La función de costos de las empresas seguidoras es: C(q) = aq 2 /2 La curva de demanda en el mercado del Pisco esta dada por la siguiente expresión: Q D = A – P a) ¿Cuál es la regla de decisión para las firmas seguidoras?
Considerando la función de costos de las empresas seguidoras que se explicita en el enunciado, se tiene que para las firmas seguidoras la utilidad es:
Y la condición de maximización es:
− = −
Luego, dado que las firmas seguidoras son dos, la cantidad total de las firmas seguidoras es:
b) ¿Qué maximiza la firma líder?
Para la firma líder se tiene: = ∙ − ∙
La cantidad producida por la empresa líder (Q L) la podemos conocer a partir de la cantidad total demandada (QL, expresada en el enunciado del ejercicio) y la cantidad producida por las firmas seguidoras (Q S, ejercicio anterior)
Luego, conociendo QL se puede reemplazar en la función de utilidad de la empresa líder:
Al tratarse de una empresa dominante, la firma determina un precio al cual se someten el resto de las firmas del mercado. Luego, para maximizar, la firma líder lo hace respecto del precio.
c) ¿Cuál es el equilibrio de mercado?
De la ecuación anterior puedo obtener el precio de mercado:
Luego reemplazando en la expresión de cantidad para la firma líder se tiene:
Cantidad seguidoras
Por último la cantidad de mercado estará dada por: ∗ = +
