Tema 8: Ecuación punto-pendiente de una recta.
ÍNDICE 1. PENDIENTE
2
DE UNA RECTA
1.1. Definición .................................................................................................................................................... 2 1.2. Cálculo de la pendiente ........................................................................................................................... 2 1.3. Pendiente + y - .......................................................................................................................................... 2
2. ECUACIÓN
PUNTO-PENDIENTE DE LA RECTA
3
2.1. Definición ................................................................................................................................................... 3 2.2. Casos de ecuación punto-pendiente de la recta ............................................................................. 3 2.2.1. Dada la gráfica de una función
3
2.2.2. Dado 1 punto y la pendiente “m”
4
2.2.3. Dados 2 puntos
5
2.2.4. Dada 1 punto y la ordenada en el origen “n”
6
2.2.5. Dada la pendiente “m” y la ordenada en el origen “n”
6
2.2.6. Dado 1 punto y el vector director
7
v
2.2.7. Dado 1 punto y la inclinación de la recta “tg”
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1. PENDIENTE
DE UNA RECTA
1.1. Definición La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX.
1.2. Cálculo de la pendiente
m tg
Pendiente dado el ángulo:
Pendiente dado el vector director de la recta:
Pendiente dados dos puntos:
m
m
v2 v1
y 2 y1 x2 x1
1.3. Pendiente + y Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo.
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Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo.
2. ECUACIÓN
PUNTO-PENDIENTE DE LA RECTA
2.1. Definición Dado un punto P(x0,y0) y una pendiente m, la ecuación punto-pendiente de la recta se define
como:
y y 0 m x x0
2.2. Casos de ecuación punto-pendiente de la recta Halla la ecuación punto-pendiente de la recta según las siguientes condiciones: 1) Dada la gráfica de una función. 2) Dado 1 punto y la pendiente “m”. 3) Dados 2 puntos. 4) Dada la ordenada en el origen “n” y 1 punto. 5) Dada la pendiente “m” y la ordenada en el origen “n”. 6) Dado 1 punto y el vector director
v.
7) Dado 1 punto y la inclinación de la recta “tg”.
2.2.1. Dada la gráfica de una función Dada la gráfica de una función, hallar la ecuación punto-pendiente de la recta. A partir de la gráfica de una función dada, se eligen 2 puntos A y B para hallar la pendiente “m”. Con los dos puntos se tiene un triángulo. Los catetos son los usados en el cálculo de la pendiente. Después, se elige uno de los dos puntos A y B, el que se quiera, y la pendiente hallada “m”.
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Ejemplo 1:
Los puntos son: A(-1,1) y B(1,5) La pendiente se calcula como:
m
yB y A 5 1 4 2 x B x A 1 1 2
Se elige el punto A(-1,1) y m=2 La ecuación punto-pendiente de la recta:
y 1 2 x 1 ; y 1 2 x 1
Ejemplo 2:
Los puntos son: A(1,4) y B(3,0) La pendiente se calcula como:
m
yB y A 0 4 4 2 xB x A 3 1 2
Se elige el punto A(1,4) y m=-2 La ecuación punto-pendiente de la recta:
y 4 2 x 1
2.2.2. Dado 1 punto y la pendiente “m” Es el caso más fácil. Dado 1 punto A y la pendiente “m”, hallar la ecuación punto-pendiente de la recta.
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Ejemplo 1: El punto es: A(0,-3) La pendiente es: m=-5 La ecuación punto-pendiente de la recta:
y 3 5 x 0 ; y 3 5 x
Ejemplo 2: El punto es: A(-4,8) La pendiente es: m
3 2
La ecuación punto-pendiente de la recta: y 8
3 3 x 4 ; y 8 x 4 2 2
2.2.3. Dados 2 puntos Dados 2 puntos A y B, hallar la ecuación punto-pendiente de la recta. Lo 1º que hay que hacer es hallar la pendiente “m” con los 2 puntos A y B,
m
y 2 y1 . x2 x1
Después, se elige uno de los dos puntos A y B, el que se quiera, y la pendiente hallada “m”.
Ejemplo 1: Los puntos son: A(1,-3) y B(-5,2) La pendiente se calcula como:
m
Se elige el punto B(-5,2) y m
y B y A 2 3 5 5 xB x A 5 1 6 6
5 6
La ecuación punto-pendiente de la recta: y 2
5 5 x 5 ; y 2 x 5 6 6
Ejemplo 2: Los puntos son: A(-2,-3) y B(4,2) La pendiente se calcula como:
m
Se elige el punto B(-2,-3) y m
y B y A 2 3 5 5 x B x A 4 3 6 6
5 6
La ecuación punto-pendiente de la recta: y 3
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5 5 x 2 ; y 3 x 2 6 6
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2.2.4. Dada 1 punto y la ordenada en el origen “n” Dada 1 punto A y la ordenada en el origen “n”, hallar la ecuación punto-pendiente de la recta. Lo 1º que hay que hacer es hallar la pendiente “m” con la ecuación explícita
y mx n .
Con el punto A se sustituye en la ecuación explícita. Después, se elige uno de los dos puntos A y B, el que se quiera, y la pendiente hallada “m”.
Ejemplo 1: El punto es: A (5,-3) La ordenada en el origen es: n=-1 La ecuación explícita es:
3 m 5 1 ; 3 1 5m ; 2 5m
Se despeja la pendiente: m
2 5
Se elige el punto A(5,-3) y m
2 5
La ecuación punto-pendiente de la recta: y 3
2 2 x 5 ; y 3 x 5 5 5
Ejemplo 2: El punto es: A (-4,7) La ordenada en el origen es: n=6 La ecuación explícita es:
7 m 4 6 ; 7 6 4m ; 1 4m
Se despeja la pendiente: m
1 1 4 4
Se elige el punto A(-4,7) y m
1 4
La ecuación punto-pendiente de la recta: y 7
1 1 x 4 ; y 7 x 4 4 4
2.2.5. Dada la pendiente “m” y la ordenada en el origen “n” Es el caso fácil. Dada la pendiente “m” y la ordenada en el origen “n”, hallar la ecuación punto-pendiente de la recta. Lo 1º que hay que hacer es obtener el punto A y, para ello, se elige la “x” para hallar “y” con la ecuación explícita y mx n . Con los valores “x”, “m” y “n” se sustituyen en la ecuación explícita. Después, se cogen el punto hallado A y la pendiente “m”.
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Ejemplo 1: La pendiente es: m=7 La ordenada en el origen es: n=-3 Se elige x=1 La ecuación explícita es: y 7 1 3 ; y 7 3 ; y 4 Se tienen el punto A(1,4) y m=7 La ecuación punto-pendiente de la recta:
y 4 7 x 1
Ejemplo 2: La pendiente es: m=7 La ordenada en el origen es: n=-3 Se elige x=-2 La ecuación explícita es:
y 7 2 3 ; y 14 3 ; y 17
Se tienen el punto B(-2,-17) y m=7 La ecuación punto-pendiente de la recta:
y 17 7 x 2 ; y 17 7 x 2
2.2.6. Dado 1 punto y el vector director v Es el caso más fácil. Dado 1 punto A y el vector director
v , hallar la ecuación punto-pendiente de la recta.
Lo 1º que hay que hacer es hallar la pendiente “m” con el vector director
v v1 ,v2 , m
v2 . v1
Después, se coge el punto A y la pendiente hallada “m”.
Ejemplo 1: El punto es: A(-1,3) El vector director es: La pendiente es:
m
v =(2,5)
v2 5 v1 2
La ecuación punto-pendiente de la recta: y 3
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5 5 x 1 ; y 3 x 1 2 2
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Ejemplo 2: El punto es: A(2,-5) El vector director es: La pendiente es:
m
v =(-3,4)
v2 4 4 v1 3 3
La ecuación punto-pendiente de la recta: y 5
4 4 x 2 ; y 5 x 2 3 3
2.2.7. Dado 1 punto y la inclinación de la recta “tg” Es el caso más fácil. Dado 1 punto A y la inclinación de la recta “tg”, hallar la ecuación punto-pendiente de la recta. Lo 1º que hay que hacer es hallar la pendiente “m” con
m tg .
Después, se coge el punto A y la pendiente hallada “m”.
Ejemplo 1: El punto es: A(-2,-3) La inclinación de la recta es de 45° La pendiente es:
m tg tg 45 1
La ecuación punto-pendiente de la recta:
y 3 1 x 2 ; y 3 x 2
Ejemplo 2: El punto es: A(-9,0) La inclinación de la recta es de 35° La pendiente es:
m tg tg 35 0,7
La ecuación punto-pendiente de la recta:
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y 0 0,7 x 9 ; y 0,7 x 9
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