TEMA 8 INTRODUCCIÓN I NTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD 1.INTRODUCCIÓN, FENÓMENOS ALEATORIOS Y SUCESOS Inferencia estadística, es decir, para inferir datos a una población a partir de los resultados extraídos de una muestra de la misma. Uno de los objetivos de la ciencia consiste en describir y predecir y sucesos que ocurren a nuestro alrededor. Una de manera de hacerlo es mediante construcción de datos matemáticos. Estos modelos matemáticos conocidos como distribuciones de probabilidad. La más habitual es la denominada Distribución Normal o de Gauss y que a ella se ajustan buena parte de los fenómenos naturales, económicos y sociales. En los fenómenos naturales existen patrones de comportamiento que se denominan determinísticos (puesta sol, fuerza objeto cae suelo..), estos comportamientos están determinados por leyes más o menos complejas descubiertas por el hombre. Un suceso es determinísitico cuando al repetirlo en idénticas condiciones da siempre el mismo resultado y que es de carácter aleatorio cuando al reproducirlo en las mismas condiciones no siempre se obtiene un mismo resultado. Los sucesos determinísticos se predicen aplicando el modelo o fórmula matemática que los regula, para predecir sucesos aleatorios, al no existir una fórmula con exactitud, es necesario un procedimiento que aproxime el resultado satisfactoriamente mediante un modelo matemático relativamente sencillo, este es el cometido de la teoría de la probablilidad. Experimentos Experimentos o fenómenos aleatorios: son los que al repetirlos bajo análogas condiciones, no se puede predecir el resultado que se va a obtener porque éste depende del azar, se verifican tres condiciones: 1. Se puede repetir indefinidamente en las m ismas condiciones 2. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener. 3. El resultado que se obtenga, e 1, e2…. Pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles E(e 1, e2..) comportamiento A cada uno de los resultados posibles, e 1, e2.. se le denomina suceso elemental, también se les llama resultado básico, elemental, comportamiento
individual o punto muestral. Espacio muestral o espacio de comportamientos: comportamientos: es el conjunto formado por todos los sucesos o resultados posibles de un experimento aleatorio. Se designa por E o Ω (moneda E=cara, cruz, dado E= 1,2,3,4,5,6)si E tiene un número finito de n, de elementos, el número de sucesos n
de E es 2 Se denomina suceso aleatorio a cualquier subconjunto de E, suele denotarse con letras mayúsculas. Al conjunto de todos los sucesos que ocurren en un experimento aleatorio se le llama espacio de sucesos y se designa por S.
Tipos de sucesos aleatorios: Sucesos elementales: elementales : son los que están formados por un solo resultado del experimento. Ej suma de los dados sea igual a 10 Sucesos compuestos: compuestos : son los que están formados por dos o más resultados del experimento, es decir, dos o más sucesos elementales. Suceso seguro: seguro: es el que ocurre siempre que se realice el experimento aleatorio. Coincide con el espacio muestral, al tirar los dados y an otar la suma, el suceso seguro E es que el resultado sea mayor o igual a 2 y ,menor que 12. Suceso vacío imposible: imposible : es el que nunca se verifica. Se representa por Ø. En nuestro ejemplo cualquier valor menor que 2 y mayor que 12.
Sistema completo de sucesos se dice que un conjunto de sucesos A1,A2… constituyen un sistema completo cuando se verifica que: -
A1 A2
… An = E
O
A1 A2 … An son incompatibles 2 a 2. Si tiramos dado no podemos sacar 1 y 2, solo 1. Operaciones con sucesos
Unión de sucesos
A B
Es el suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B (suceso que se verifica cuando se realiza A ó B).
Intersección de sucesos
A ∩ B
Es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y de B (suceso que se verifica cuando se realizan simultáneamente los sucesos A y B).
Diferencia
A – A – B
Es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B (suceso que se verifica cuando se verifica A y no se verifica B).
Ᾱ
Dado un suceso A, denotaremos mediante Ᾱ al suceso que se verifica cuando no se
suceso contrario
E – A Ᾱ = E –
verifica A; por ende, se verifica A
Sucesos incompatibles
A ∩ B = Ø
Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningún elemento
Suceso
complementario
o
Ᾱ = E y A ∩ Ᾱ = Ф.
común. Diferencia simétrica
A Δ B
Dados dos sucesos A y B denotaremos mediante A Δ B al suceso que se verifica cuando o bien se verifica A y no se verifica B, o bien se verifica B y no se verifica A.
Propiedades en los sucesos Propiedad
Unión
Intersección
Conmutativa
AB=BA
A ∩ B = B ∩ A
Asociativa
A (B C) = (A B) C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Idempotente
AA=A
A ∩ A = A
Simplificación
A (B ∩ C) = A
A ∩ (B
A) = A
Distributiva
A (B ∩ C) = (A B) ∩ (A C)
A ∩ (B
C) = (A ∩ B)
Elemento neutro
AØ=A
A ∩ E = A
Absorción
AE=E
A ∩ Ø = Ø
Leyes de Morgan
El suceso contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus sucesos contrarios:
El suceso contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus sucesos contrarios: ̅ = Ᾱ ∩ ̅
̅
= Ᾱ
̅
(A ∩ C)
Algebra de sucesos: El álgebra de sucesos S es una familia de sucesos definida mediante los siguientes axiomas: Axioma 1º: Ω ϵ E. -
Axioma 2º: Si A, B ϵ S, entonces A Axioma 3º: Si A ϵ S, entonces Ᾱ ϵ S.
-
B ϵ S.
1.INTRODUCCIÓN, FENÓMENOS ALEATORIOS Y SUCESOS a.
Probabilidad clásica o a priori: es una probabilidad inicial . La probabilidad de A es la fracción de n A/n. Ej. 2/6 probalidad de sacar 2 en dados.
Regla de Laplace : la probabilidad de un suceso aleatorio S i es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos o elementos posibles del experimento.
PA = Numero de resultados favorables a Si Numero de resultados posibles de E Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idénticas condiciones este cociente tiende a un número fijo. Esta propiedad es conocida como ley de los grandes números, establecida por Jakob Bernouilli. Probabilidad a posteriori o frecuencial: es una probabilidad experimental. b.
PA =
A: es el suceso cuya probabilidad se desea obtener n: es el número de veces que se repite el experimento (lanzamiento del dado) n A: es el número de veces que aparece el resultado A. n A/n: es la frecuencia relativa. Lim: es el límite de la frecuencia relativa a medida que el número de lanzamientos se aproxima a infinito.
Probablidad axiomática : este concepto de probabilidad basado en un cojunto de axiomas, que formulamos de la siguiente forma: c. Sea S un espacio muestral (conjunto de todos los posibles sucesos de un determinado experimento) y A un determinado suceso de S (cualquier elemento o subconjunto de S), diremos que P es una función de probabilidad en el espacio muestral S si se sat isfacen los tres axiomas siguientes: Axioma 1: P(A) es un número real tal que P(A) ≥ 0 para todo suceso A de S, es decir, la probabilidad de cualquier suceso en un experimento es siempre mayor o igual que 0. Axioma 2: P(S) = 1, es decir, la probabilidad de todos los sucesos posibles de un experimento es igual a 1. Axioma 3: Si, A, B, C, … es una sucesión de sucesos mutuamente excluyentes de S, la probabilidad asociada a la unión de todos ellos (que en un experimento ocurra de ellos) es igual a la suma de s us probabilidades. P (A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) =1/6+1/6+1/6=3/6 De estos tres axiomas se deducen los siguientes teoremas: Teorema 1: Si definimos el suceso complementario de A, A, como aquel que está formado por todos los puntos o sucesos del espacio muestral S que no están en A, entonces la probabilidad de A será igual a : P(A) = 1 – P(A) Teorema 2: Sea A un suceso de S. Siempre se verifica que la probabilidad de que ocurra está comprendida entre 0 y 1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 - Teorema 3: si Ф es el suceso nulo, entonces se verifica que: P(Ф) = 0 ya que Ф e s el suceso complementario de S. Probabilidad de sacar 7 es 0. Estos tres teoremas dan lugar a un conjunto de propiedades que permiten abordar la mayor parte de los problemas que plantea el cálculo de la probabilidad de que ocurra un fenómeno aleatorio; las principales son las siguientes: 1.- P(Ᾱ) = 1 – P(A)=5/6-1 2.- P(Ф) = 0. P(7)=0 3.- Si A está contenida en B (A B) entonces: a) P(B) = P(A) + P(A – B) prob A + prob de la parte de B que no es A, teniendo en cuenta que A está contenida en B b) P(A) ≤ P(B) Bes A más otras cosas 4.- Si A1, A2, …, Ak son incompatibles dos a dos, entonces: P(A1 U A2 U … Ak) = P(A1) + P(A2) + … + P(Ak) 3/6=1/6+1/6+1/6 5.- Propiedad de la unión: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) P(1º2)=P1+P2-P(1y2)=1/6+1/6-0=2/6 6.- Si el espacio muestral E es finito y un suceso es A = {x 1, x2, …, xk} entonces: P(A) = P(x1) + P(x2) + … + P(xk) Ejemplos 8.1 y 8.2
8.3 Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes. La probabilidad condicionada permite asignar probabilidades introduciendo informaciones previas acerca del experimento o ciertas creencias subjetivas que se dispongan sobre el mismo.
Probabilidad Condicionada. Dados dos sucesos A y B, con P(B) > 0 se define la probabilidad condicionada de A (Probabilidad de A condicionada a que haya ocurrido el suceso B), como: P(A/B) = P(A ∩ B) P(B)
Sucesos dependientes e independientes. Dos sucesos A y B se dice que son independientes si p(A) = p (A/B). En caso contrario, p(A)
Probabilidad de la intersección o probabilidad compuesta: Si los sucesos son dependientes P(A ∩ B) = P(A) x P(A/B) = P(β) x P(A/B) Si los sucesos son independientes P(A ∩ B) = P(A) x P(B) Teorema de la probabilidad total. Sea un sistema completo de sucesos : P(B) = P(B ∩ A 1) + P(B ∩ A2) + … = ∑ P(B ∩ A i) Expresión que es conocida como la Fórmula de la Probabilidad Total. La regla de Bayes. Sea A1, A2, …, An, un sistema completo de sucesos tal que: Entonces para cualquier evento B, por el Teorema de la probabilidad total, se tiene q ue: P(B) = P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) + … + P(An) P(B/An)
Ejemplos 8.3 y 8.4
p(A/B), se dice que son dependientes
