Tema 3 Descripcion Estadistica Del Oleaje

Inge In gen nier ie r´ıa Mar´ıtim ti ma

Oscilaciones de corto periodo: Oleaje. Descripci´ on Est Es tad´ıstica ic a Apuntes de Clase MOS, MDM, AMF, ABA Grupo de Dinámica amica de Flujos Ambientales, Ambientales, Universidad Universidad de Granada. Granada.

Curso 2012–2013

Índice 1. Introducci´ Introducci´ on on

1

2. An´ alisis alisis de series temporales en el dominio del tiempo 2.1. Definic Definici´ i´ on de una ola individual: cortes por cero . . . . . . on 2.2. Alturas y periodos perio dos de ola caracter´ caracter´ısticos . . . . . . . . . . 2.3. Distribu Distribuci´ ci´ on de alturas de ola individuales . . . . . . . . . on 2.4. Distribu Distribuci´ ci´ on on del periodo de onda . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Distribu Distribuci´ ci´ on conjunta de alturas de ola y periodos . . . . on

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

3. An´ alisis alisis de series temporales en el dominio de la frecuencia frecuencia 3.1. Altura de ola y perio do caracter´ caracter´ısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Anchura Anchura del espectro espectro y validez validez de la distribu distribuci´ ción on de Rayleigh 3.1.2. Altura de de ola significan significante te y periodo de de pico . . . . . . . . . . 3.1.3. 3.1.3. Distrib Distribuci´ uci´ on conjunta espectral de alturas de ola y periodos . on 4. An´ alisis alisis extremal (de altura de ola) 4.1. Nivel Nivel de de dise˜ dise˜ no no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. 4.1.1. Period Periodo o de retorn retorno o . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Probabilidad Probabilidad de encuen encuentro tro . . . . . . . . . 4.1.3 4.1.3.. Dise˜ Dise˜ no no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Procedimiento Procedimiento general general . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Conjun Conjunto to de datos datos . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Distribuciones Distribuciones candidatas candidatas . . . . . . . . . . . . . 4.5. M´ etodos etodos de a juste . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1. 4.5.1 . M´ etodo eto do de m´ınimos ınimos cuadrados cuadra dos . . . . . . 4.5.2. M´ etodo etodo de máxima axima verosimilitud . . . . . 4.5.3. 4.5.3. Bondad Bondad del ajuste . . . . . . . . . . . . . 4.6. Altura Altura de ola ola de dise˜ dise˜ no no . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1. Reg´ Reg´ımenes medios y extremales . . . . . . 4.6.2. 4.6.2. Proble Problema ma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Fuentes uentes de incertidumbre incertidumbre e intervalo intervalo de confianza

i

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

1 2 4 5 9 10

. . . .

12 12 12 13 13

. . . . . . . . . . . . . . .

15 15 16 16 17 17 18 20 21 21 22 23 24 25 25 28

4.7.1. Interv Intervalo alo de confianza confianza de la altura altura de ola ola de diseño no xT . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.8. Periodo Periodo de onda onda de dise˜ dise˜ no no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.9. 4.9. An´ An´ alisis alisi s extremal ext remal multiparam´ multipar amétrico etric o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5. Pr´ acticas actica s Descripci´ Descri pci´ on on Estad´ ıstica ıstica del Olea je 5.1. Enunciados Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31 31

Ap´ Ap´ endi en dice cess

35

A. Variable aleatorias A.1. Una variable variable aleatoria aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.1. Funci´ on de densidad de probabilidad Gaussiana . . on A.1.2. Desviaciones Desviaciones respecto del comportamiento comportamiento Normal Normal A.1.3. Estimaci´ on on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. Dos variables variables aleatorias aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.1. Funci´ on densidad de Gauss bidimensional . . . . . on A.3. Procesos estoc´ estoc´ asticos asticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.1. Caracterizaci´ Caracterizaci´ on on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.2. Procesos estaciona estacionarios rios . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.3. Procesos Gaussian Gaussianos os . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.4. Procesos Gaussianos Gaussianos y estacionarios estacionarios . . . . . . . . A.3.5. Procesos Erg´ odicos odicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.6. La elevaci´ elevaci´ on on de la superficie libre . . . . . . . . . .

ii

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

35 35 37 38 39 39 40 41 41 43 43 43 44 45

4.7.1. Interv Intervalo alo de confianza confianza de la altura altura de ola ola de diseño no xT . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.8. Periodo Periodo de onda onda de dise˜ dise˜ no no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.9. 4.9. An´ An´ alisis alisi s extremal ext remal multiparam´ multipar amétrico etric o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5. Pr´ acticas actica s Descripci´ Descri pci´ on on Estad´ ıstica ıstica del Olea je 5.1. Enunciados Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31 31

Ap´ Ap´ endi en dice cess

35

A. Variable aleatorias A.1. Una variable variable aleatoria aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.1. Funci´ on de densidad de probabilidad Gaussiana . . on A.1.2. Desviaciones Desviaciones respecto del comportamiento comportamiento Normal Normal A.1.3. Estimaci´ on on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. Dos variables variables aleatorias aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.1. Funci´ on densidad de Gauss bidimensional . . . . . on A.3. Procesos estoc´ estoc´ asticos asticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.1. Caracterizaci´ Caracterizaci´ on on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.2. Procesos estaciona estacionarios rios . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.3. Procesos Gaussian Gaussianos os . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.4. Procesos Gaussianos Gaussianos y estacionarios estacionarios . . . . . . . . A.3.5. Procesos Erg´ odicos odicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.6. La elevaci´ elevaci´ on on de la superficie libre . . . . . . . . . .

ii

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

35 35 37 38 39 39 40 41 41 43 43 43 44 45

Palabras clave oleaje, altura de ola, periodo, significante, diseño, no, extrem e xtremo, o, reg re g´ımenes, ımenes , funci´ func ión on de distribución, on, función on densidad, Rayleigh.

Bibliogr og raf´ıa B´ asi as ica Holthuijsen, Holthuijsen, L.H., 2007. Waves in Oceanic and Coastal Waters . Cambridge University Press. Goda, Y. Random Seas and Design of Maritime Structures . 2010. Vol.33 World Scientific Pub. Co. Inc. Recomendacione Recomendac ioness para obras o bras mar´ m ar´ ıtimas ıtim as ROM1.0 (2009).

Stive, Stive, M.J.F. 1986 Extreme shallow water conditions . Delft Hydraulics, Intern Report H533. G.I.O.C. 1986 Documentos de referencia SMC. Vol. I. Din´ Universidad de Cantabria. Cantabria. amicas.. Universidad Liu Z. and P. Frigaard, 2001. Generation and Analysis of Random Waves . Aalborg Universitet. Universitet. Quintero, D. y M. Ortega-Sánchez. anchez. 2012. Anteproyecto Marina Playa Granada . Grupo de Dinámica amica de Flujos Ambientales de la Universidad de Granada.

iii

1.

Intr In trod oduc ucci ci´ ´ on on

Los cient ci ent´´ıficos suelen estar interesados interesa dos en la din´ di námica amica y cinemática atica de la onda, cómo omo son generadas por el viento, por qué rompen romp en y cómo omo interaccionan con los contornos y las corrientes. Los ingenieros normalmente diseñan nan y gestionan estructuras o sistemas naturales en el entorno marino como plataformas offshore, barcos, diques, playas. El comportamiento de estas entidades están an ampliamente afectadas por el oleaje y otras ondas, as´ as´ı que es necesario necesario un conocimiento conocimiento de ellas a fin de diseñar nar y gestionar adecuadamente. En este Tema se pretende dar una introducción a la descripción on estad´ıstica ıstica del oleaje, concretamente, a la observación, on, an´ alisis alisis y predicción on de las ondas de gravedad superficiales generadas por el viento (oleaje). (olea je). Este t´ıtulo tan largo es necesario, porque ondas superficiales hay muchas y de muy diverso origen. Las ondas oceánicas pueden ser descritas a varias escalas espaciales, desde los centenares de metros a los miles de kil´ ometros ometros o más, as, y temporales, desde unos pocos segundos (un periodo de onda) hasta los miles de años nos (variabil (variabilidad idad clim´ atica). En general, cuando hablemos de oleaje nos atica). estaremos refiriendo a oscilaciones del nivel del mar entre tres y treinta segundos. Como hemos visto el oleaje puede describirse describirse en términos erminos de series series temporales temporales o mediante su descripción on equivalente en el dominio de la frecuencia. Por tanto, no es de extra˜ nar nar que la descripción on estad´ estad´ıstica pueda hacerse desde ambos puntos de vista. En este curso nos centraremos más as en la descripción on a partir de las series temporales, aunque aunque algunos algunos conceptos conceptos espectrales espectrales serán an introducidos a lo largo del Tema.

2.

Analisis a ´lisis de series temporales en el dominio del tiempo

El análisis alisis de las series temporales de elevación on de la superficie libre pueden llevarse a cabo tanto en el dominio del tiempo como en el espacio. En esta sección trataremos del análisis alisis temporal. Se admite, asumiendo linealidad, que η el desplazamiento vertical de la superficie libre con respecto a un nivel de referencia fijo es un proceso gaussiano y ergódico. odico. Elegido el nivel de referencia adecuadamente, para que µη = 0, η sigue un modelo de probabilidad de Gauss de media nula y desviación on t´ıpic ıp icaa ση , es decir, una Normal 2 N (0 N (0,, ση ). ση es la varianza del proceso y, asimismo, cuantifica su contenido energético etico (que depende esencialmente de la amplitud al cuadrado),

p( p(η ) =

  √ − −  1

ση2 2π

exp

2 ση2 = ηrms = Esp (η

η2 2ση2

(1)

µη )2 ,

donde ηrms es el desplazamiento medio cuadrático. atico. Este modelo matemático-estad´ atico-estad´ıstico deja de ser adecuado cuando el olea je comienza a ser asim´ asimétrico etrico con respecto respecto al nivel nivel medio, medio, tal y como ocurre o curre en profundidade profundidadess reducidas y en la zona de rompientes; en esta situación, on, la no-linealidad impera, y el 1

proceso es no gaussiano. No obstante, en muchas de las aplicaciones prácticas el modelo gaussiano es una aproximaci´ on suficiente.

2.1.

Definici´ on de una ola individual: cortes por cero

Mediante un análisis directo de los datos brutos pueden identificarse las olas individuales. Una ola individual, que no la elevación de la superficie libre (que ser´ıa un η(t) concreto), está definida por dos cortes por cero sucesivos. Los cortes se refieren a un cero, que es un valor de referencia, t´ıpicamente el valor promedio. Se consideran los cortes por cero de valores positivos a negativos, estos son, los pasos por cero descendentes. Se define un corte por cero hacia valores negativos entre las muestras n 1 y n cuando se cumple que η(tn−1 ) > 0 y η(tn ) < 0 (Fig. 2). En resumen, una ola es el perfil de la elevación entre cada dos pasos por cero descendentes consecutivos. Otras definiciones de ola son posibles, por ejemplo, definiendo los cruces por cero ascendentes, esto es, hacia arriba. Si la elevación de la superficie libre se considera un proceso estoc´ astico Gaussiano no importa si se toman los cruces ascendentes o descendentes, puesto que las caracter´ısticas estad´ısticas ser´ıan simétricas1 . Sin embargo, es com´ un adoptar la definici´ on de cruces por cero descendentes puesto que estimaciones visuales de la altura de la cresta, referida al seno precedente se considera la altura de la ola. Ademá s, en una ola que rompe, el frente, que es relevante en el proceso de rotura, est´ a incluido en la definición de los cruces hacia abajo (bajo tales condiciones, las ondas no son simétricas y las diferencias entre cruces hacia abajo o cruces hacia arriba se hacen importantes). En la Fig. 1 se muestran los cruces por cero detectados en un registro de oleaje de 7 min a 4 Hz de frecuencia de muestreo. En este caso se han detectado 106 cortes por cero de positivo a negativo, lo que da 105 ondas individuales. La altura de la onda individual se define como el rango de alturas, esto es, la diferencia de altura máxima y m´ınima entre dos cortes por cero. Véase Fig. 2. La caracterizaci´ on de las olas del registro de oleaje se basa en promediar las alturas de ola y periodos. Esto requiere que la duración del registro sea lo suficientemente corta como para garantizar la estacionariedad y la homogeneidad, pero tambi´ en lo suficientemente larga como para obtener unos promedios aceptables. Normalmente, se emplean intervalos de 30 min ó 1 hora2 .

−

1

¿Seguro? Piénsese. Seg´ un la ( ROM1.0 , 2009), a los efectos prácticos y con las restricciones impuestas, se admite que en un estado se produce un conjunto de manifestaciones del agente o agentes que pertenecen a un proceso aleatorio estacionario y homog´ eneo, y que los descriptores estad´ısticos temporales y espaciales son invariantes. Esta descripci´ on se denomina de corta duración (o a corto plazo). Es habitual denominar estado de mar al estado de oleaje cuando sus propiedades estad´ısticas son ergódicas. Sin embargo, en estas Recomendaciones se opta por generalizar estas definiciones, otorgando a cada una de ellas el ambito de aplicación de su denominación, oleaje, nivel del mar, atmosférico y meteorol´ ´ ogico. As´ı el estado de nivel del mar incluye las manifestaciones lentas de la superficie libre del mar. El estado meteorológico incluye el conjunto de manifestaciones de los agentes climáticos forzados p or la actividad atmosférica: viento, presi´ on atmosférica, oleaje y marea meteorológica y, en su caso, meteomaremotos. 2

2

Figura 1: Detección de los cruces por cero en un registro de oleaje en el Golfo de Cádiz.

Figura 2: Altura y periodo de ondas individuales definidas por cortes hacia valores negativos.

3

2.2.

Alturas y periodos de ola caracter´ısticos

La elevación de la superficie libre mostrada en las Fig. 1 tiene má s de 100 olas individuales. La pregunta es cuá l coger a la hora de diseñar una estructura, o bien ¿cu´ al es la altura representativa de esa serie temporal? Para ello se consideran las siguientes definiciones: La altura y periodos medios se definen sobre todo el registro, es decir, son la media de alturas y periodos de todas las ondas individuales. Estos son H = 1/N N k=1 H k N y T = 1/N k=1 T k , respectivamente. A veces se denota el periodo como T z . En el caso que seguimos de ejemplo H = 0,39 m y T = 3,93s. La altura de ola cuadr´ atica media H r.m.s. se define como





H r.m.s. =

     1 N

N

H k2 .

(2)

k=1

2 An´ alogamente, el periodo es T r.m.s. = 1/N N k=1 T k . Esta medida puede ser relevante para proyectos en los que la energ´ıa de la onda sea importante. Recuérdese que la energ´ıa de una onda es proporcional a su amplitud al cuadrado. En el ejemplo que seguimos del registro de oleaje del Guadalquivir se obtiene H r.m.s. = 0,46 m y T r.m.s. = 4,47s. Se define la ola m´ axima como aquella que tiene la máxima altura de ola H max . En nuestro caso es la ola n´ umero 101 y tiene H max = 1,08 m y el periodo correspondiente a esa altura es T Hm ax = 9,55 s. La ola máxima se selecciona como onda de diseño para estructuras en las que es importante y muy sensible a la carga de ola, por ejemplo, en diques verticales. Nótese que H max es una variable aleatoria con la distribución dependiente del número de ola individuales. Las alturas y periodos caracter´ısticos definidos anteriormente son quiz´ a s los más obvios. Sin embargo, no se usan a menudo puesto que los resultados que arrojan se parecen muy poco a las alturas y periodos estimados visualmente. Por eso se define la altura de ola significante . Se define la altura de ola significante3 como la altura promedio del tercio de alturas mayores del registro de oleaje. Se expresa como

H 1/3

1 = N/3

N/3



H k ,

(3)

k=1

donde el ´ındice k no representa la secuencia temporal de las olas, sino la posición la ola, estando ordenadas de mayor altura mayor a menor altura. El periodo se define igualmente como el periodo promedio del tercio de olas cuya altura es mayor, i.e. N/3 T 1/3 = 3/N k=1 T Hk . En el caso de ejemplo analizado H 1/3 = 0,67 m y T 1/3 = 5,80s. 3



“Significante” es una mala traducción de “Importante”.

4

La altura de ola significante H 1/3 , o a veces también definida como H s , se usa en la mayor´ıa de las aplicaciones como ola de diseño4 . La raz´ on es que antiguamente las estructuras eran dise˜ nadas basándose en la observación visual de la olas. La altura de ola significante H 1/3 est´ a pr´ oxima al valor observado visualmente, lo cual resulta útil puesto que recoge las experiencias previas de ingenier´ıa. El concepto de altura de ola y periodo significantes es importante y muchas situaciones. Sin embargo, dos parámetros proporcionan, l´ ogicamente, una descripción limitada de las condiciones del oleaje. Por ejemplo, dos condiciones de oleaje distintas (un mar mezclado, irregular, mar de viento y un swell, regular con olas suaves, mar de fondo) pueden presentar las mismas alturas de ola y periodos significante. Para distinguir ambas situaciones se requieren más par´ ametros, por ejemplo, altura y periodos significantes para mar de viento y de fondo por separado. Los puntos WANA de Puertos del Estado5 proporcionan esos par´ ametros en ambas condiciones. Esto se hace a veces, pero en general unos pocos parámetros no determinan un´ıvocamente unas condiciones de oleaje. Una descripción completa (en el sentido estad´ıstico) del oleaje requiere un an´ alisis espectral basado en la hipótesis que el movimiento aleatorio de la superficie libre puede tratarse como la suma de un gran número de armónicos. A veces también se usa H 1/10 definida como la media aritmética de las N/10 alturas de ola mayores del registro6 , esto es,

H 1/10

1 = N/10

N/10



H k ,

(4)

k=1

donde el ´ındice k no es el ´ındice que representa la secuencia temporal de las olas, sino el orden de la ola, estando ordenadas de altura mayor a menor. Igualmente se N/10 define el periodo T H1/10 = 10/N k=1 T Hk , i.e. como la media de los N/10 periodos correspondientes a H 1/10. En el caso de ejemplo analizado H 1/10 = 0,91 m y T 1/10 = 6,78 s. Lógicamente H 1/10 > H 1/3 y T 1/10 > T 1/3 . La altura de ola con probabilidad de excedencia de un α % se denota H α % . Por ejemplo, H 0,1 % , H 1 % , etc.



2.3.

Distribuci´ on de alturas de ola individuales

En vez de mostrar todas y cada una de las altura de ola individuales, es más u ´ til mostrar un histograma de muestre el número de olas obtenidos en varios intervalos de altura de ola. La Fig. 3 muestra el histograma de los datos de oleaje de la boya del Guadalquivir. Para comparar alturas de ola en diferentes localizaciones, el histograma de la Fig. 3 se adimensionaliza según H/H y n/(N ∆H/H ), donde N es el número de olas y ∆H es 4

Al proyectar una obra se dimensiona de modo que sea capaz de soportar la acción de temporales con altura menor o igual a la altura de diseño. 5

http://www.puertos.es/oceanografia_y_meteorologia/redes_de_medida/index.html

6

Estas alturas y periodos caracter´ısticos son interesantes puesto que pueden definirse en términos del espectro de onda.

5

Figura 3: Histogramas de altura de ola y periodo. El tamaño de bin es para la altura de ola ∆H = 0,052 m y para el periodo ∆T = 0,47s. tama˜ no del bin (el subintervalo). El resultado, la densidad de probabilidad, se puede ver en la Fig. 4. Cuando ∆H/H 0 la densidad de probabilidad tiende a una curva continua. Resultados teóricos y experimentales muestran que la densidad de probabilidad sigue, aproximadamente, una función de distribución de Rayleigh7 . Se dirá entonces que las alturas de ola individuales siguen una distribución de Rayleigh. La función densidad de probabilidad de Rayleigh f R (x) (0, + ) es8

→

∈

∞

2

x −x f R (x) = 2 e 2σx2 , σx

(5)

N´ otese que la función dada en la Eq. 5 está normalizada9 . Seg´ un Goda (2010) la aproximaci´ on de Rayleigh es una buena aproximación en aguas profundas y para un número de ondas muy superior a 100. Cuando la rotura de ola tiene lugar, la distribuci´ on de alturas de ola difiere de la dada por la distribución de Rayleigh. Para ese caso, correcciones emp´ıricas a la distribución de Rayleigh han sido propuestas, e.g. (Stive , 7

La función de Rayleigh fue derivada originalmente por Lord Rayleigh a finales del s.XIX para describir la distribuci´ on de la intensidad del sonido emitido desde un número infinito de fuentes. LonguetHiggins solo verific´ o la aplicabilidad de la distribución de Rayleigh para oleaje irregular cuyos periodos y alturas presentaban pocas fluctuaciones tanto en los periodos como en las alturas (Goda , 2010). Sin embargo, las olas reales en el mar pueden presentar fluctuaciones importantes en periodos de ola individuales. Hasta ahora no se ha desarrollado una teor´ıa exacta para olas reales. 8 Para las crestas tiene esta forma. La amplitud de las crestas, en una aproximación muy burda, es ηcresta ∼ H/2 (Holthuijsen , 2007). La función de densidad de Rayleigh es algo diferente para alturas de ola (véase Eq. 6). 9 La normalizaci´ on no es hacer directamente x ≡ H/H , sino imponiendo que la integral en todo el + dominio es 1. Es inmediato comprobar que 1 = 0 f R (x)dx. Véase Fig. 4.



∞

6

1986). Para mar de fondo, con un oleaje de alturas de ola H se tiene las siguientes función densidad de probabilidad y función de distribución expresadas en términos de H rms 2



H − H 2 f R (H ) = 2 2 e H rms , H rms

H

F R (H ) = Prob H < H, H

{

∈ (0, +∞)} =

0





f R (H )dH = 1

−e

−

H 2 2 H rms

(6)

.

Tambi´ en puede expresarse utilizando la altura de ola media H como par´ ametro de la distribución, quedando π H − π4 H 22 e H , f R (H ) = 2 H 2 F R (H ) = 1

−e

−

π H 2 2 H 2

(7)

.

o en función de la altura de ola significante H s 2

H −2,005 H H s2 , f R (H ) = 4,01 2 e H s F R (H ) = 1

−e

2

2,005 H 2

−

(8)

H s

.

Asumiendo que la distribución de Rayleigh es una aproximació n de la distribuci´ on de alturas de ola individuales 10 , las alturas caracter´ısticas H 1/10, H 1/3 , H r.m.s. y H α % pueden expresarse en términos de H manipulando la Eq. 5. Las relaciones son las siguientes11 : H 1/10 = 2,03 H , H 1/3 = 1,60 H , H r.m.s. = 1,13 H y H 2 % = 2,23 H . Seg´ un estas relaciones es posible expresar la Eq. 6 en t´ erminos de otras alturas de ola caracter´ısticas. Por ejemplo, en t´ erminos de la altura de ola significante ser´ıa 2 −2,010·(H/H s ) F R (H ) = 1 e . Véase la Tabla 1.

−

10

Al considerar la función de Rayleigh como función de distribución de la altura de ola se está admitiendo que ésta es igual a dos veces la amplitud y que cada una de las olas son sucesos estad´ısticamente independientes. En los casos en los que esto no sea aceptable, es necesario definir la distribución de alturas de ola como una distribución conjunta de dos amplitudes separadas por un intervalo de tiempo determinado. Para este caso en particular, estas dos amplitudes consideradas estad´ısticamente independientes deb er´ıan estar separadas p or el semiper´ıodo medio del pro ceso. La distribución de Rayleigh sobreestima, habitualmente, las probabilidades de presentación de las alturas mayores y menores del ´ registro. Las razones de esta desviación se atribuyen a no cumplir las hipótesis iniciales. Estas se refieren a la anchura espectral, la independencia estad´ıstica entre olas sucesivas y la nolinealidad y asimetr´ıa del oleaje. En general, la función de distribución de Rayleigh no se ajusta muy bien a los histogramas obtenidos experimentalmente para valores de ε> 0,5. Sin embargo, los descriptores estad´ısticos obtenidos de la aplicación de la distribución de Rayleigh pueden ser usados con notable fiabilidad. 11 La demostración se deja como ejercicio al lector.

7

Figura 4: Histogramas de altura de ola y periodo normalizados. La curva continua es la función de densidad de probabilidad de Rayleigh. Para ajustar los periodos, no obstante, no suele usarse una distribución de Rayleigh. Son t´ıpicas, tal y como se describe en el apartado 2.4, las funciones de Bretschneider. Asumiendo una función de distribución de Rayleigh, está claro que debe haber relaciones entre las Eqs. 6, 7 y 8, dadas a trav´ es de las relaciones entre H s , H , H rms y H max. Por ejemplo, para un registro ordenado de N olas se verifica que

Prob(h

≥ H ) = N i ,

(9)

donde i es el n´ umero de orden de la ola, considerando i = 1 para la ola de altura mayor e i = N para la ola de altura menor. Despejando de la Eq. 8 se tiene

  

1 H = H s ln 2

N i

1/2

.

(10)

Para el caso i = 1, que se corresponde con H = H max se obtiene una relación

H max

 

1 = H s ln N 2

1/2

,

que, para N = 3000, se obtiene aproximadamente H max obtener sus relaciones para, por ejemplo, H 1/10 y H 1/100 .

8

(11)

≈ 2,00H s. El lector puede

H/H r.m.s. 1,0

H/ m0 2 2

√ √

H/H s 0,706

Moda, H

1/ 2

2

0,499

Mediana, H

(ln 2)1/2 π/2 1,416 1,80 2,359 ?

(8ln2)1/2 2π 4,005 5,091 6,672 ?

0,588 0,626 1,00 1,271 1,666 ?

Altura

H r.m.s.

√



Media, H

Significante, H s

H 1/10 H 1/100 H max

√

√

Tabla 1: Relaciones entre estad´ısticos de la distribución de Rayleigh (ROM1.0 , 2009). m0 es el momento espectral de orden cero. A menudo es interesante conocer la probabilidad de excedencia (Prob(H  H q en el a˜ no medio)), esto es, la probabilidad q de que una altura de ola exceda un cierto valor H q . Empleando la definición de F R será

q = 1

− F R(H q ) = e

−

H q2 2 H rms

,

(12)

donde F R es la función de distribución de alturas de ola individuales. La altura umbral H q se puede obtener despejando de la expresión anterior, H q = H rms

   ln

1 , q

(13)

siendo q = 1/n, la proporci´ on de olas mayores que H q .

2.4.

Distribuci´ on del periodo de onda

A diferencia de las distribuciones de ola, el periodo de las olas ha recibido mucha menos atención en la literatura. Sin embargo, el dise˜ no de las estructuras mar´ıtimas requiere una estimaci´ on fiable de la distribución de periodos del oleaje12 o, mejor a´ un, de la distribución conjunta de las alturas de ola y periodos de las olas de un estado de mar. En realidad, no hay una expresión generalmente aceptada para la distribuci´ on del periodo. Lo que s´ı se observa es que, en un tren de olas, la distribución es más estrecha que la de correspondiente para la altura de ola y que los datos presentan una dispersión en el rango 0.5-2.0 veces el periodo de ola medio. Sin embargo, cuando mar de fondo y mar de viento coexisten, el la distribución de periodos es más ancha, a menudo 12

¿Por qué?

9

Figura 5: Funciones densidad (izquierda) y de distribución (derecha) de Bretschneider para T z = 6,5 s. bimodal, con dos picos para cada tipo de oleaje. Por tanto, el periodo de ola no tiene un comportamiento tan universal como la altura de ola con su distribución de Rayleigh. No obstante, a veces se emplea la función densidad de probabilidad y la distribución de periodos de Bretschneider que son, respectivamente, T 3 −0,675 f B (T ) = 2,7 4 e T z

 

F B (T ) = 1

−e

0,675

−

T T z

(14)

4

  T T z

4

.

(15)

La Fig. 5 muestra un ejemplo de las funciones densidad y de distribución de Bretschneider para T z = 6,5 s.

2.5.

Distribuci´ on conjunta de alturas de ola y periodos

Si la altura de ola y el periodo fueran estad´ısticamente independientes, la funci´ on 13 densidad de probabilidad conjunta ser´ıa simplemente el producto de f conjunta (H, T ) = f R (H ) f B (T ), a saber, el producto de la pdf de Rayleigh para la altura de ola f R (H ) y la pdf de, por ejemplo, Bretschneider para el periodo f B (T ). Pero no es el caso, puesto que H y T están relacionados. Seg´ un Goda, las Eqs. 24 y 27 reflejan las caracter´ısticas de la distribución conjunta de alturas de ola y periodos. Olas con alturas menores en un registro de oleaje pueden presentar periodos más cortos, mientras que olas de alturas mayores que la media no parecen mostrar ninguna correlaci´ on con el periodo de onda, aunque, sin embargo, lo

·

13

Los art´ıculos de Rice citados en (UC , 2000) sobre ruidos blancos Gaussianos son la base para todas las distribuciones conjuntas de altura de ola - periodo existentes. Las diferencias entre las distribuciones dependen de las hipótesis y técnicas adoptadas.

10

Figura 6: Diagrama de dispersión en el punto WANA-46 de Puertos del Estado, en el Golfo de Cádiz. que muestra la Fig. 6 parece querer decirnos que existe un periodo m´ınimo por debajo del cual no hay olas. En la práctica la distribución conjunta de altura de ola y periodo es de gran importancia. Desafortunadamente, tampoco hay una distribuci´ on generalmente aceptada para la distribuci´ on conjunta, incluso aunque hay algunos llamados “diagramas de dispersión” basados en el registro de oleaje. Tales diagramas dependen fuertemente del emplazamiento. La relación entre H s y T s se simplifica a menudo como T s = αH sβ , asignando valores apropiados14 a α y β . En la Fig. 6 se muestra T p (no T s ) frente a H s mostrando una relación más complicada (2D). En la Fig. 6 es claro la existencia de un T p m´ınimo para un H s dado. 14

En aguas canadienses, α = 4,43 y T s = 0,5

11

Figura 7: Espectro de la varianza con área m0 y frecuencia de pico f p = 1/T p , donde T p es el periodo de pico.

3.

An´ alisis de series temporales en el dominio de la frecuencia

3.1.

Altura de ola y periodo caracter´ısticos

El espectro de la varianza, ilustrado en la Fig. 7, no dice nada de cómo ser´ an las olas individuales. Ahora veremos cómo estimar la altura de ola caracter´ıstica y el perio do a partir del espectro de la varianza. El momento de orden-n, mn se define como



∞

mn =

f n S (f ) df .

(16)

0



∞

As´ı, por ejemplo, el momento de orden 0 es m0 = 0 S (f ) df , que es en realidad el área ba jo la curva del espectro, relacionado con el contenido energ´ etico del tren de ondas. 3.1.1.

Anchura del espectro y validez de la distribuci´ on de Rayleigh

De la definició n de mn se puede ver que cuanto mayor sea orden del momento, mayor peso se pone en las frecuencias más altas del espectro. Con el mismo m0 , un espectro más ancho da valores mayores de momentos de órdenes superiores (2 n). Cartwright y Longuett-Higgins (1956) definieron el parámetro de anchura como

≤

=

 1

−

m22 , m0 m4 12

(17)

a partir de un análisis teórico de la distribución estad´ıstica de la altura de las crestas del oleaje. El valor de  (0, 1). Se ha probado teóricamente que Spectrum width parameter Wave height distribution  = 0 narrow spectrum (SWELL) Rayleigh distribution  = 1 wide spectrum (SEA) Normal distribution El valor de  suele ser del orden de 0.4-0.5. Se encuentra que la distribución de Rayleigh es una muy buena aproximaci´ on y además es conservativa, puesto que la distribución de Rayleigh proporciona una altura de ola ligeramente mayor para cualquier nivel de probabilidad dado. Otra posible definición de la anchura espectral es

∈

ν =



m0 m2 m21

− 1.

(18)

Se probó teóricamente que es inversamente proporcional al número medio de olas en un grupo. La Eq. 18 indica que cuando la energ´ıa está concentrada en una sola frecuencia, entonces ν 0. Cuando la energ´ıa est´ a dispersa en muchas frecuencias ν 1. Un valor t´ıpico en temporales es de 0.3.

→

→

3.1.2.

Altura de ola significante y periodo de pico

Cuando la altura de ola sigue una distribución de Rayleigh, i.e. cuando  = 0 (oleaje tipo Swell), la altura de ola significante puede derivarse teóricamente a partir del espectro de la varianza como

√

H m0 = 4 m0 .

(19)

Por eso se denota con el sub´ındice del momento de orden 0. La altura significante espectral está relacionada con el contenido energético del oleaje. En realidad, para valores de  = 0,4 0,5, una buena estimaci´ o n de la altura de ola significante es H m0 = 3,7 m0 . La frecuencia de pico f p se define sencillamente como la frecuencia a la cual la función s(f ) es máxima. El periodo de pico T p = 1/f p coincide aproximadamente con el periodo de ola significante.

√

3.1.3.

−

Distribuci´ on conjunta espectral de alturas de ola y periodos

Longuet-Higgins (1975, 1983) (citado en (UC , 2000)) definió el periodo y alturas de ola con el criterio de pasos ascendentes por cero. La distribución obtenida asume que el espectro es de banda estrecha (mar de fondo o Swell), donde ν es el parámetro de la anchura espectral definido en Eq. 18. La función densidad se expresa en función de las variables adimensionales H a = H/ m0 y T a = T /T , siendo T el periodo medio relacionado con la frecuencia media ω = 2πm 0 /m1 :

√

13

Figura 8: Función densidad conjunta altura de ola - periodo de Longuet-Higgins para dos valores del parámetro de anchura espectral ν . Nótese que las bandas espectrales son más anchas donde hay mayor variabilidad en los valores de H y T .

f Ha ,T a = C L

  −   −   H a T a

2

H a2 1 1+ 2 8 ν

exp

1 T a

1

2

,

(20)

donde

C L =

√ 4ν 2π



1 . 1 + (1 + ν 2 )−1/2



(21)

En la Fig. 8 se representan diagramas de contorno para la función densidad de la Eq. 20 para anchuras espectrales ν = 0,2 y ν = 0,6. Como puede verse, para anchuras espectrales pequeñas, la distribució n es más simétrica alrededor de T a = 1 (alrededor del periodo medio). La función densidad de probabilidad para (s´ olo) los periodos puede derivarse a parir de la distribución de probabilidad conjunta H T dada en Eq. 20, integrando en H en todo su dominio. De esta manera, se obtiene la distribución de periodos como una distribuci´ on marginal. El resultado es

−

√

  − 

4C L 4π 1 f LH (T a ) = 1 + T a2 ν 2

14

1

1 T a

2

3/2

−

,

(22)

donde T a = T /T . Como puede comprobarse, la distribución es asimétrica lo cual est´ a de acuerdo con las observaciones. La moda de la distribución T decrece con la anchura espectral ν de acuerdo con la expresión15





Ta =

2 √ −1 + 9 + 8ν 2 .

(23)

Asimismo, se ha observado (hecho emp´ırico) que los par´ ametros de los periodos caracter´ısticos están interrelacionados. Del an´ alisis de datos de campo, se verifica que T max /T 1/3 = 0,6

− 1,3 , T 1/10 /T 1/3 = 0,9 − 1,1 , T 1/3 /T = 0,9 − 1,4 .

(24) (25) (26)

Simplificando a´ un más (Goda (Goda , 2010)), T max

≈ T 1/10 ≈ T 1/3 ≈ 1,2T .

(27)

La relación T 1/3 /T da sólo una indicación puesto que este valor está afectado por la forma del espectro del oleaje.

4.

An´ alisis extremal (de altura de ola)

La altura de ola de diseño (Liu et al. , 2001) se representa a menudo por la altura de ola significante H s , que es una variable aleatoria. Var´ıa con respecto al tiempo y a la localización. Si una estructura debe ser construida en una zona del mar donde se dispone de medidas de altura de ola a largo plazo, la pregunta que el ingeniero debe hacerse es cómo determinar la altura de ola de dise˜ n o. El análisis extremal da la respuesta, i.e. proporciona un método para determinar la altura de ola de dise˜ no, basado en la importancia de la estructura (nivel de diseño) y el análisis estad´ıstico de un registro de oleaje de largo plazo.

4.1.

Nivel de dise˜ no

El nivel de diseño se representa por un periodo de retorno o probabilidad de encuentro. 15



Demuéstrese. Basta recordar que T representa el valor más probable de la distribución.

15

4.1.1.

Periodo de retorno

Para definir adecuadamente el periodo de retorno T es necesario establecer la siguiente notación. X : Altura de ola significante, que es una variable aleatoria. x Es una realización particular de X . F (x) Es la función de distribución acumulada de X , F (x) = Prob(X

≤ x).

t N´ umero de a˜ nos de observación de X n N´ umero de observaciones en un periodo de t a˜ nos. λ Intensidad de muestreo λ = n/t La probabilidad de no excedencia de x es F (x), es decir, la probabilidad acumulada de que X no exceda el valor de x. De modo complementario, la probabilidad de excedencia es 1 F (x), asumiendo que la función F est´ a debidamente normalizada. En otras palabras, con probabilidad 1 F (x) una altura de ola significante será mayor que x. Si el n´ umero total de observaciones (realizaciones de X ) es n, el número de observaciones donde X > x es

−

−

n

k=

 i=1

Prob(X

≤ x) = n (1 − F (x)) = tλ (1 − F (x)) .

(28)

Luego el periodo de retorno T de una realización x se define como T = t k=1 =

|

1 , λ (1 F (x))

(29)

−

es decir, en promedio, se excederá el valor x una vez cada T a˜ nos. También se define x como un evento de T a˜ nos. 4.1.2.

Probabilidad de encuentro

Basándose en el hecho que, en promedio, x será superada una vez cada T a˜ nos, la probabilidad de excedencia de x en 1 a˜ no será de 1/T . Por tanto, la probabilidad de no excedencia de x en 1 a˜ no será Prob(X x) = 1 1/T ; en dos a˜ nos Prob(X x) = 2 L (1 1/T ) ; y en L años Prob(X x) = (1 1/T ) . La probabilidad de encuentro, i.e., la probabilidad de excedencia de x en la vida de una estructura de L años de vida es

−

≤

p = 1

≤ −

−

− −  1 T

1

16

≤

L

,

(30)

que, en el caso de un valor grande de T puede aproximarse por

p = 1 4.1.3.

− −  L

e− T

1

L

.

(31)

Dise˜ no

Tradicionalmente el nivel de diseño para la altura de ola de dise˜ no fue la altura de ola correspondiente a un cierto valor periodo de retorno. Por ejemplo, si la altura de ola de dise˜ no correspondiente con un periodo de retorno de 100 a˜ nos es 10 m, el significado f´ısico es que, en promedio, estos 10 m de altura de ola de diseño serán excedidos una vez cada 100 a˜ nos. En el diseño de estructuras costeras basado en la fiabilidad, es mejor emplear la probabilidad de encuentro, i.e. la probabilidad de excedencia dentro de la vida útil de la estructura de la altura de ola de diseño. Por ejemplo, si la vida útil L de una estructura se estima en 25 años, la probabilidad de encuentro para la altura de diseño de 10 m es

p = 1

− −  ≈ 1

1 T

25

22 % .

(32)

Esto significa que estos 10 m de altura de ola de diseño serán excedidos con un 22 % de probabilidad en los 25 años de vida u ´ til de la estructura.

4.2.

Procedimiento general

En la práctica, los ingenieros deben determinar la altura de ola de dise˜ no correspondiente a un cierto periodo de retorno, a partir de un registro (medido o de pronóstico) de oleaje a largo plazo. El procedimiento general para llevar a cabo esa tarea podr´ıa ser el siguiente: 1. Seleccionar los datos extremos (alturas de ola) del conjunto de datos. 2. Seleccionar varias distribuciones teóricas que se ajusten a los datos extremos. 3. Ajuste de las distribuciones a datos extremos por un método adecuado de ajuste (p.ej. m´ınimos cuadrados). 4. Elegir la distribuci´ on que mejor se ajuste a los datos. 5. Calcular la altura de ola de diseño para un periodo de retorno dado. 6. Determinar el intervalo de confianza de la altura de ola de diseño para cuantificar la variabilidad de la muestra (errores).

17

4.3.

Conjunto de datos

Los datos de oleaje originales suelen obtenerse t´ıpicamente de medidas directas mediante boyas o a partir de predicciones basadas en datos meteorol´ ogicos. La mayor´ıa de los registros no cubren má s de 10 a˜ nos de observación (véase Puertos del Estado, http://www.puertos.es/) o 40 si hablamos de predicciones basadas en modelos. En la práctica, suelen usarse tres conjuntos de datos de altura de ola extremal: Conjunto de datos completo: Contienen todas las medidas directas de altura de

ola, usualmente equiespaciadas en el tiempo. Series anuales: Consisten en series de datos cuyo contenido son las mayores alturas

de ola por cada a˜ no. an compuestas por las mayores alturas de ola registrada por Series parciales: Est´ tormenta/borrasca, dado un umbral inferior. El umbral es determinado a partir de la localización de la estructura y la experiencia ingenieril. Véase ROM0.0. El m´ etodo que se emplea con estas series de datos es el m´ etodo de picos sobre ease Fig. 9. umbral (POT, Peak Over Threshold). V´ Es habitual que las series temporales obtenidas con instrumentos de medida tengan intervalos de tiempo en los que, por labores de conservación o fallos técnicos, presenten lagunas de informaci´ on. En estos casos, se procurará aplicar t´ ecnicas de relleno de datos para completar la serie temporal, entre ellas, técnicas estad´ısticas, correlaci´ on con otras variables de estado, o relaciones f´ısicas, debidamente contrastadas, entre variables (ROM1.0 , 2009). Los conjuntos de datos extremales, basados en datos de oleaje originales, deben cumplir las siguientes condiciones (para que la muestra sea significativa) 16 : Independencia: No debe haber correlaciones entre los datos. Las series de datos

anuales y las series parciales 17 verifican la condición de independencia puesto que los datos vienen de distintos temporales 18 . Homogeneidad: Los datos extremales deben pertenecer a la misma población es-

tad´ıstica, e.g., todos los datos extremales proceden de olas generadas por viento. Estacionariedad: Debe haber una climatolog´ıa a largo plazo estacionaria. Estudios

de datos de oleaje en el Mar del Norte de los últimos 20 a˜ nos parecen mostrar una tendencia en los datos medios que muestra una no-estacionariedad. Se observan variaciones promedio de décadas a décadas o incluso en periodos más largos. Sin embargo, la hipótesis de estacionariedad estad´ıstica parece razonable y realista para prop´ ositos ingenieriles, puesto que las variación a esas escales suele ser 19 peque˜ na . 16

Ejemplo de las encuestas de intención de voto. En este caso hay que tener cuidado al separar entre temporales. 18 ¿Est´ an los temporales correlacionados? 19 ¿Qu´ e pasa con las predicciones del Intergovernmental Panel on Climate Change (IPCC)? 17

18

Figura 9: Para la obtenci´ on de los reg´ımenes extremales anuales de oleaje en profundidades indefinidas, definidos como la distribuci´ on de valores máximos locales o los picos de tormentas que superan un determinado umbral de una variable de estado de mar en profundidades indefinidas frente al puerto de Motril, se han utilizado los datos de los puntos WANA 2019013. Se ha usado el m´ etodo de Picos Sobre Umbral (POT, Peaks Over Threshold). Para ello se han fijado la altura de ola umbral correspondiente a 3 m (linea horizontal azul), correspondiente al valor que es superado en menos del 1 % del tiempo en el año medio. Para garantizar la independencia estad´ıstica entre temporales, se ha supuesto que la duración m´ınima entre temporales debe ser superior a 48 horas. De esta manera se han obtenido 51 eventos extremales respectivamente, en los 14 años meteorol´ ogicos analizados (Quintero et al. , 2012).

19

El conjunto de datos completo, no cumple el requisito de independencia entre los datos, puesto que existen correlaciones no nulas entre los diferentes estados de mar. (Goda , 2010) encontr´ o coeficientes de correlación de 0.3-0.5 para alturas de ola significante medidas durante 20 minutos con un espaciado temporal de 24 horas. Además, es interesante el caso de la ola de diseño con una probabilidad de no excedencia muy elevada (la cola superior de la distribución de probabilidad). Si la distribución de ajuste elegida no es la correcta, los valores de cola superior de la distribución no serán realistas (estar´ an mal estimados), puesto que existen correlaciones entre los datos. Por estas razones no suelen usarse los registros completos de datos para el análisis extremal. La mayor´ıa de los ingenieros prefieren las series parciales por encima de las series anuales. Por una parte, es una muestra de datos mucho más numerosa y, por otra, lo normal es que el análisis de las series parciales den como resultado una altura de ola de dise˜ no mayor, lo que implica un diseño más conservador de la estructura.

4.4.

Distribuciones candidatas

Generalmente las distribuciones exponencial, la de Weibull, la de Gumbel, la de Frechet, la de Pareto y la Log-normal son las distribuciones teóricas que mejor suelen ajustarse a los datos. Las acumuladas son las siguientes 20 : Exponencial: F E (x) = Prob(X < x) = 1

−e

( x AB ) , −

−

(33)

Weibull (stretched exponential21 ): F W (x) = Prob(X < x) = 1

−e

k

( x AB ) , −

−

(34)

Gumbel: −

F G (x) = Prob(X < x) = e

e

( x AB ) −

,

(35)

Generalizada de Pareto: F P (x) = Prob(X < x) = 1 Log-normal:

−  −   − 1 + C

F L (x) = Prob(X < x) = Φ

x

B

1/C

−

,

A

ln(x) B A

,

(36)

(37)

Generalizada de valores extremos: F GEV (x) = Prob(X < x) = e−(1+C 20 21

x−B A

−

)

1/C

,

(38)

Las “no acumuladas” se obtienen derivando e´stas en virtud del teorema fundamental del cálculo. Téngase en cuenta que Matlab TM define la Weibull sin el parámetro de localización.

20

donde X es la variable aleatoria, en este caso una altura de ola caracter´ıstica, que podr´ıa ser la altura de ola significante H s o el diezmo H 1/10 o la altura de ola máxima H max , dependiendo del conjunto de datos; la variable x representa una u ´ nica realización de la variable aleatoria X ; y F es la función de probabilidad acumulada complementaria, i.e. la probabilidad de no excedencia (frecuencia acumulada). Los parámetros A, B y k son par´ ametros ajustables de las distribuciones. En la distribución Log-normal A y B representan, respectivamente, la desviación estándar y la media de X . La función Φ representa una distribución Normal. En la Generalizada de Valores Extremos A representa el par´ ametro de escala (anchura), B el parámetro de localización y C es un par´ ametro de forma. Para C = 0 esta distribución se reduce a una Gumbel, para C > 0 es una Fréchet o Fisher-Tippet II y para C < 0 toma la forma de una Weibull 22 .

4.5.

M´ etodos de ajuste

Cuatro métodos de ajuste de las colas que generalmente se emplean son el método de máxima verosimilitud, el método del momento, el de los m´ınimos cuadrados y el gráfico visual. Los más comunes son el de máxima verosimilitud y el de m´ınimos cuadrados. 4.5.1.

M´ etodo de m´ınimos cuadrados

Las Eqs. 34 y 35 pueden escribirse como X = A Y + B ,

·

(39)

donde Y es la variable aleatoria reducida de acuerdo a Y = ( ln(1

−

− F ))1/k ,

(40)

para la distribución de Weibull y, para la de Gumbel, Y =

− (− ln F ) ,

(41)

El procedimiento de interpolaci´ on por m´ınimos cuadrados es el siguiente 1. Reordenar los extremos (p.ej. n datos) en orden descendente: xi , i = 1, 2, . . . , n 2. Asignar una probabilidad de no excedencia F i a cada xi mediante una fórmula para representaci´ on Q-Q23 , por lo que se obtiene un conjunto de pares ( F i , xi ). 22

Se deja como ejercicio al lector determinar las propiedades estad´ısticas más notables de estas distribuciones (medias, l´ımites de los par´ ametros, momentos, funciones densidad, tasas de fallo, etc. 23 es. Un gráfico Q-Q es una t´ ecnica grá fico para el análisis de Plotting position formula en ingl´ diferencias entre la distribuci´ on de una población de la que se ha extra´ıdo una muestra aleatoria y una distribuci´ on teórica usada para la comparación. Cuando se emplea un m´ etodo de ajuste, una fórmula

21

3. Calcular el correspondiente valor de Y mediante las Eqs. 40 y 41, obteniendo un nuevo conjunto de datos (yi , xi ) 4. Determinar los coeficientes de regresi´ on de la Eq. 39 mediante Cov (Y, X ) , V ar (Y ) B = X AY ,

A=

1 n

(43)

   −  ·  −   

V ar (Y ) = Cov (Y, X ) =

− 2 yi − Y ,

n

(42)

1 n

i=1

n

yi

Y

xi

X ,

i=1

1 X = n Y =

1 n

n

xi ,

i=1 n

yi .

i=1

En el caso de la distribución de Weibull, varios valores de k son predefinidos y, entonces, se ajustan los valores de A y B. Los valores finales de los tres parámetros son escogidos basados en la bondad del ajuste. 4.5.2.

M´ etodo de m´ axima verosimilitud

La distribución de Weibull biparamétrica es

F W (x) = Prob(X < x) = 1

−e

x−x A

k

 

−

,

(44)

donde x es la altura de ola umbral, que debe ser inferior que la m´ınima altura de ola en el conjunto de datos extremales. Si no contamos inicialmente con información respecto de los datos, varios umbrales deben probarse y seleccionar finalmente en que mejor se ajuste. La estimación de máxima verosimilitud de k se obtiene resolviendo la siguiente ecuación mediante un procedimiento iterativo para representaci´ on Q-Q debe emplearse, la cual se usa para asignar una probabilidad de no-excedencia a cada valor extremo de la altura de ola. Son especiales cuando se trabaja con muestras muy pequeñas. La probabilidad de no-excedencia F i asignada a la realizaci´ on xi puede determinarse basándose en tres principios estad´ısticos diferentes, a saber, frecuencia de las muestras, distribución de la frecuencia y el i 0,44 estad´ıstico de orden. Dos ejemplos t´ıpicos podr´ıan ser (1) para una Gumbel (Gringorton) F i = 1 − n+0,12 −

i 0,3 0,18/k y (2) para una Weibull (Petrauskas) F i = 1− n+0,21+0,32/k , donde i es el ´ındice de la muestra (ordenada), n es el n´ umero total de muestras y k una constante. Este punto se considera, para este curso, un tema avanzado y no será tratado aqu´ı. −

−

22

N

N + k



  − −  N

ln(xi

i=1



− x ) = Nk

N x )k i=1 (xi N i=1 (xi

i=1

ln (xi

− x )k 



−x).

(45)

La estimaci´ on de máxima verosimilitud para A es

A=

1 N

1/k

N

x )k

(xi

.

(46)

i=1

Para la distribución de Gumbel, la estimació n de máxima verosimilitud de A se obtiene resolviendo la siguiente ecuación mediante un proceso iterativo: N



xi − A

e(

)=

i=1

  −  1 N

N

N

xi

A

i=1

xi

e− A .

(47)

i=1

La estimaci´ on de máxima verosimilitud de B es

B = A ln 4.5.3.

Bondad del ajuste





N

xi N − A e i=1



.

(48)

Para ver qué distribució n se ajusta mejor o peor se determina el coeficiente de correlaci´ on lineal , que se define como

ρ=

Cov (X, Y ) . V ar (X ) V ar (X )



(49)

Este coeficiente se emplea como criterio para la comparación de la bondad del ajuste. Sin embargo, ρ est´ a definido en un dominio lineal (y, x) donde la variable reducida y es dependiente de la función de distribución. Por tanto, la interpretación de este criterio es en este caso menos clara. Con las funciones de distribución ajustadas, las alturas de ola correspondientes a la probabilidad de no-excedencia de las alturas de ola observadas pueden calcularse (Eq. 51 y 52). El error relativo promedio E , definido como 1 E = n

n

| i=1

xi,estimado xi,observado , xi,observado

−

23

|

(50)

es un criterio sencillo y aceptable con una clara interpretación. E = 5 % significa que, en promedio, la estimación central de la altura de ola se desv´ıa de la altura de ola observada por un 5 %. Obviamente, cuanto más peque˜ no sea E , mejor será el ajuste. El test de hipótesis estad´ıstica puede igualmente emplearse para la comparació n de la bondad del ajuste de cada distribución.

4.6.

Altura de ola de dise˜ no

La altura de ola de diseño xT es la altura de ola correspondiente a un periodo de retorno T . Las distribuciones de Weibull y Gumbel (Eq. 34 y Eq. 35, respectivamente) se reescriben, respectivamente, como

− F ))1/k + B ,

(51)

x = A ( ln( ln(F ))) + B .

(52)

x = A ( ln(1

−

y

− −

Definiendo la intensidad de la muestra λ como

λ=

número de datos extremos , número de a˜ nos de observación

(53)

y empleando la definición de periodo de retorno T , se tiene

T = o F = 1

1 λ(1

− F ) ,

(54)

− λT 1 . Introduciendo la Eq. 54 en las Eqs. 51 y T

x =A

−   ln

1 λT

52, se obtiene

1/k

+B,

(55)

para la distribución de Weibull y

T

x =A

− −  −  ln

ln 1

1 λT

1/k

+B,

(56)

para la de Gumbel. Ahora x se expresa como xT puesto que x representa la altura de ola correspondiente a un periodo de retorno T . Los parámetros A, B y k son par´ ametros de ajuste.

24

Figura 10: Diferencia entre la estad´ıstica a corto plazo y a largo plazo (extremal). 4.6.1.

Reg´ımenes medios y extremales

La Fig. 10 ilustra la diferencia entre la estad´ıstica a corto plazo y a largo plazo. En general hablaremos de Reg´ımenes medio y extremal según lo siguiente: Cuando estudiamos el régimen medio estamos interesados en conocer la probabilidad de que en un a˜ no medio la H rms (por ejemplo) no supere un valor dado H . Buscamos Prob(H rms H en el a˜ no medio). Si disponemos de N tal a˜ no medio, podremos calcular F (H rms ) = i=1 ti /t , donde t es la duración del a˜ no y ti son los intervalos donde H rms H en el a˜ no medio.

R´ egimen medio:

≤

≤



En este caso estamos interesados en conocer la probabilidad de que en un año cualquiera H rms no supere un valor de H dado. Esto es, Prob(H rms máxima del a˜ no H ).

R´ egimen extremal o de temporales:

≤

4.6.2.

Problema

Se han identificado 17 tormentas en un periodo de 20 a˜ nos. La lista de alturas significantes, ordenadas por orden de magnitud, se muestran en la tabla siguiente (Liu et al. , 2001): Se requiere encontrar la altura de ola de diseño que tenga el 5 % de probabilidad de excedencia dentro de la vida de la estructura de 25 años. Los pasos para realizar el análisis son los siguientes: 1. Calcule la intensidad de la muestra λ mediante la Eq. 53. Sol. λ = 17/20. 2. Calcule el periodo de retorno T mediante la Eq. 32. Sol. T

25

≈ 487 años.

id. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Significante xi 9.32 8.11 7.19 7.06 6.37 6.15 6.03 5.72 4.92 4.90 4.78 4.67 4.64 4.19 3.06 2.73 2.33

Prob. no-exc. F i 0.970 0.911 0.852 0.794 0.735 0.676 0.617 0.558 0.500 0.441 0.382 0.323 0.264 0.205 0.147 0.088 0.029

Tabla 2: Pares altura de ola significante (xi ) - probabilidad de no excedencia (F i ). Para determinar F i se ha hecho uso de la función de MatlabTM probplot(). 3. Asigne una probabilidad de no-excedencia F i para cada valor observado de altura de ola de acuerdo, por ejemplo, a la fórmula Q-Q de Weibull (apartado 4.5.1, nota a pie de página) y dibuje los resultados en un papel probabil´ıstico Q-Q de Weibull. Haga uso de la función de MatlabTM probplot() (concretamente probplot(’weibull’,xi). Sol. Los resultados de aplicar esta función a los datos observados xi se muestran en la segunda columna de la Tabla 2 y en la Fig.11, panel superior izquierdo, puntos negros. El resultado es un par (xi , F i ). 4. Ahora vamos a a justar distribuciones te´ oricas al par (xi , F i ). En este caso, considere las distribuciones de Weibull (Eq. 34) y Generalizada de Valores Extremos (GEV) (Eq. 38) como las candidatas al mejor ajuste. Determine los parámetros de ajuste correspondientes a cada distribución con un intervalo de confianza al intervalos de confianza al 95 %. Haga uso de las funciones gevfit(), wblfit() y probplot(). Dibuje las curvas resultantes del ajuste sobre el resultado anterior (Fig.11, panel superior izquierdo) y además pinte dos nuevas gráficas en papel probabil´ıstico (con variables reducidas) Weibull y GEV para cada caso. Sol. Los resultados se muestran también en la Fig.11, paneles superior izquierdo y derecho e inferior izquierdo. Los resultados del ajuste de la GEV con gevfit() son C = 0,2151, A = 1,7254 y B = 4,7270, y sus respectivos intervalos de confianza al 95 % son ( 0,5744, 0,1441), (1,1776, 2,5279) y (3,8037, 5,6503). Los resultados del ajuste con la distribución de Weibull con wblfit() son A = 6,0533 y k = 3,2659, y sus respectivos intervalos de confianza al 95 % son (5,1912, 7,0586) y (2,2631, 4,7131).

−

−

26

Figura 11: Ajustes de las distribuciones de Weibull y GEV a los datos mostrados en la Tabla 2 (Liu et al. , 2001). 5. Compare la bondad de los dos a justes de acuerdo al valor del error relativo (Eq. 50). El valor de la altura de ola observado es xi , dado en la Tabla 2. Los valores de altura de ola estimados xi,estim se obtienen cruzando los valores de F i correspondientes a xi por la funciones teóricas GEV (Eq. 38) y de Weibull (Eq. 34) ajustadas en el apartado anterior. Sol. La función GEV presenta un error de 4,73 % frente al 5 % de la de Weibull. Como en este caso la distribución de GEV presenta menor error, se la considera como el mejor ajuste y representativa de la altura de ola extremal. El error relativo se indica tambi´ en en la Fig.11. 6. Realice una gráfica que muestre la altura de ola observada xi frente el periodo de retorno T correspondiente. Para ello haga uso de la Eq. 29. Represente en la misma gr´ afica los ajustes de Weibull y GEV y las bandas de error de los ajustes al 95 % de confianza. Emplee para esto u ´ ltimo los intervalos de confianza dados para los par´ ametros de ajuste A, B y C . Sol. Los resultados se muestran en la Fig.11. 7. Finalmente, calcule la altura de ola de diseño xT correspondiente al periodo de retorno T determinado en el punto segundo. Sol. Se obtiene en este caso x487 = 10,55m.

27

4.7.

Fuentes de incertidumbre e intervalo de confianza

Como se puede observar las bandas de error en Fig.11 son bastante amplias. Algunas fuentes de incertidumbre sobre la altura de ola de diseño pueden son las siguientes: variabilidad en las muestras debido a un tamaño de muestra limitado, error directamente relacionado con la medida (error observacional), error en la elección de la distribución como representante de la distribución a largo plazo (que es desconocida), error en la elección del umbral, métodos de ajuste, etc. La incertidumbre en los dos primeros casos pueden considerarse mediante simulación numérica en la determinación de la altura de ola de diseño. Datos de oleaje contienen errores de medida. El error observacional puede proceder, por ejemplo, de un mal funcionamiento del aparato, o de no-linealidades en las medidas de acelerómetros y sensores de presión. Errores de predicción en modelos computacionales pueden ocurrir cuando los campos de presión atmosférica se convierten a campos de viento y éstos, as su vez, se convierten a datos de oleaje. La precisión en estos casos depende de los datos originales y, por supuesto, de los modelos y algoritmos numéricos. Por regla general, no son fiables los datos obtenidos mediante inspecci´ on visual. El error viene dado por C , la desviación estándar sobre el valor medio. Los modernos métodos de adquisición de datos han reducido C por debajo de 0.1. 4.7.1.

Intervalo de confianza de la altura de ola de dise˜ no xT

Si sobre los datos pesan incertidumbres, e.g. la variabilidad de la muestra, la altura de ola de diseño xT presentar´ a un error asociado24 ∆xT . Al fin y al cabo es una variable aleatoria. La forma más sencilla de estimar el intervalo de confianza es hacer uso de las barras de error de los parámetros al hacer el ajuste, e.g. C ∆C . El problema es que la altura de ola de diseño es extremadamente sensible a los parámetros de ajuste, lo cual da lugar a alturas de ola de diseño enormemente grandes. Otra forma de obtener un intervalo de confianza más realista es mediante simulación Monte Carlo. Para fijar ideas asumamos, por ejemplo, que la altura de ola extremal sigue una distribuci´ on Gumbel.

±

±

F = F X (x) = P (X < x) = exp( exp( ((x

−

− − B)/A))) ,

(57)

donde X es la altura de ola extremal, la cual es una variable aleatoria, x es una realizaci´ on concreta de X y A y B son los parámetros de localización y anchura, respectivamente, de la distribución. Debido a la incertidumbre en la medida, los parámetros A y B son de nuevo variables aleatorias. Para tener en cuenta la incertidumbre debida a la variabilidad de las muestras se procede de la siguiente manera. Una muestra de alturas de ola xi de tama˜ no N se ajusta a una distribuci´ on Gumbel, obteniéndose los parámetros Averdadero y Bverdadero, asumiendo que son los valores verdaderos. A continuación, 24

Pues cuestiones de seguridad, normalmente se considera sólo el signo positivo del error.

28

Figura 12: Altura de ola de dise˜ no vs. periodo de retorno. Se muestra la distribución (normal) obtenida mediante simulación Monte Carlo para un periodo de retorno de 100 a˜ nos. Tomado de Liu et al. (2001). 1. Genere un n´ umero aleatorio uniformemente distribuido entre 0 y 1. Cruce la probabilidad de no-excedencia F i con los valores de los parámetros obtenidos, a saber,

−1 xi = F X (F i ) = Averdadero[ ln( lnF i )] + Bverdadero ,

− −

(58)

y obtendrá el valor extremal xi correspondiente. 2. Repita el paso anterior N veces. Con esto, obtendrá una nueva muestra de N alturas de ola cuya distribució n es la Eq. 57, esto es, una distribución Gumbel con los parámetros Averdadero y Bverdadero. 3. Ajuste la muestra resultante a una distribución Gumbel y obtenga los nuevos parámetros A y B. 4. Calcule la altura de ola xT correspondiente con un periodo de retorno T mediante la Eq. 56. 5. Repita los pasos de (2) a (4), digamos, 10000 veces, por lo que obtendrá 10000 valores de xT . 6. Elija la altura de ola correspondiente al intervalo de confianza especificado.

29

4.8.

Periodo de onda de dise˜ no

No hay ninguna teor´ıa para determinar el periodo de onda de diseño correspondiente a la altura de ola de diseño debido a la complejidad y a la dependencia de la zona de estudio de la distribución conjunta entre altura y periodo de ola. La Fig. ?? muestra dos ejemplos del diagrama de dispersión representando la distribución conjunta entre la altura de ola significante H s y el periodo medio T m y con el nivel de agua en reposo z, respectivamente. Los números en el diagrama de dispersión representan el número de observaciones que caen dentro del correspondiente intervalo. En la práctica, varios periodos de onda dentro de un rango realista, dados en función de la altura de ola de dise˜ no, se asignan para conformar el estado del mar de diseño. Mediante consideraciones teóricas y experimentos de laboratorio se conviene en algunos casos en seleccionar



130H s < T p < g

4.9.



280H s . g

(59)

An´ alisis extremal multiparamétrico

Un estado de mar se caracteriza por un estado estacionario en el que las alturas de ola H s , periodos T m , dirección θ y nivel medio h0 est´ an bien definidos (estos son los cuatro par´ ametros m´ as importantes en el dise˜ no de estructuras mar´ıtimas). También resulta de importancia la duraci´ on de un estado de mar y, en ocasiones, la forma del espectro. Los parámetros no son independientes entre s´ı, por lo que es necesario analizar el efecto en la estructura de las posibles combinaciones entre los parámetros, especialmente si son varios los más importantes. Burcharth 1993 ha propuesto el siguiente principio para un análisis extremal multiparamétrico. Para el caso general en el que haya varias variables importantes pero los coeficientes de correlación no se conozcan, el mejor método de probabilidad conjunta ser´ıa establecer una estad´ıstica a largo plazo para la respuesta que se busque, e.g. para el run-up, el empuje de la onda sobre un espaldón, etc. Si asumimos que las variables de importancia son H s , T m , θ y h0 es necesario obtener una serie de datos plurianuales de estas variables mediante observaciones o mediante modelos computacionales: (H s,i , T m,i , θi , h0,i ) para i = 1, 2, 3 . . . n. Para cada conjunto de datos, la respuesta del sistema a estos valores se calcula a partir de las fórmulas que definen la respuesta. Si, por ejemplo, estamos interesados en el run-up, Ru , que viene dado por una expresión cerrada, se determina el conjunto de datos Ru,i = Ru,i (H s,i , T m,i , θi , h0,i )).

(60)

La estad´ıstica a largo plazo para Ru,i puede obtenerse ajustando a los datos una distribuci´ on extremal adecuada (análisis extremal)

30

N´ u m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5.

Altura H ( m) 0.54 2.05 4.52 2.58 3.20 1.87 1.90 1.00 2.05 2.37

Periodo T (s) 4.2 8.0 6.9 11.9 7.3 5.4 4.4 5.2 6.3 4.3

N´ um. 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Altura H ( m) 1.03 1.95 1.97 1.62 4.08 4.89 2.43 2.83 2.94 2.23 2.98

Periodo T (s) 6.1 8.0 7.6 7.0 8.2 8.0 9.0 9.2 7.9 5.3 6.9

Pr´ acticas Descripci´ on Estad´ıstica del Oleaje

5.1.

Enunciados

1. Usando los datos de la Tabla 1a , se pide: a ) Determinar alturas y periodos de ola máximos (H max, T max ), significantes (H s , T s ), medios (H z y T z ) y cuadráticos medios (H rms y T rms ). b) Dado el valor de H z , obtenido en el punto anterior, y asumiendo que las olas siguen una distribuci´ on de Rayleigh, determinar H rms 1,13 H z , H s

≈



≈

1,414 H rms y H max H s 12 ln N . ¿Cuáles piensa usted que son las razones para las diferencias entre los resultados de los puntos 1 y 2?

≈

c ) Dibujar un histograma de las alturas de ola empleando un tama˜ no de subintervalo de 1 m. d ) Calcular el valor de f R (H ) en el centro de cada uno de los subintervalos y superponer la función de densidad sobre el histograma. Asuma que la escala de equivalencia es f R (H ) n/(N ∆H ) donde n es el número de ocurrencias en cada subintervalo.

∼

e ) Determinar la altura de ola con probabilidad de excedencia del 1 % asumiendo que el oleaje se ajusta a la distribución de Rayleigh siguiente f R (H ) = 2

H −(H/H rms )2 e 2 H rms

(61)

siendo H rms la calculada en el punto primero. 2. An´ alisis del R´ egimen Medio de oleaje frente a la costa de Motril (Punto WANA 2019013). Esta pr´ actica es similar a la realizada anteriormente para el análisis del r´ egimen medio de viento. La carpeta proporcionada a los alumnos contiene los siguientes archivos: 31

a ) ’WANA T 2019013 (Motril).dat’ suministrado por Puertos del Estado25 . En la cabecera del archivo se explica el contenido del mismo. Como puede comprobarse, se dispone de un conjunto de datos por cada estado de mar de 3 horas desde 1996. b) ’Clima medio de oleaje WANA 2019013.pdf’. Contiene un an´ alisis pormenorizado del clima mar´ıtimo en régimen medio de los datos de oleaje contenidos en el archivo de datos ’WANA T 2019013 (Motril).dat’. c ) ’Info conjunto datos INT WANA.dat’. Este archivo, tambi´ en de Puertos del Estado, recoge una descripci´ on general del conjunto de datos sintéticos WANA. ´ d ) ’wind rose.m’. Este es una u ´ til función26 realizada en MatlabTM y descargable desde Matlab Central27 que permite hacer rosas de oleaje indicando dirección y altura significante espectral. Para esta práctica deber´ a realizar las siguientes actividades: a ) Cargue en el espacio de trabajo de Matlab el archivo ’WANA T 2019013 (Motril).dat’. b) Cree un vector de tiempos t a partir de los datos de a˜ no, mes, d´ıa y hora. Haga uso de la función de Matlab datenum para expresar el vector de tiempos en d´ıas julianos. c ) Cree otros tres vectores para la altura significante espectral H m0 (columna 5), el periodo de pico espectral T p (columna 7) y direcció n media de procedencia del oleaje θ (columna 8). d ) Realice las siguientes figuras tratando de responder las preguntas propuestas: 1) Tres gr´ aficas que representen los datos de (a) altura de ola significante y (b) periodo de pico en función del tiempo y (c) altura significante frente a periodo de pico28 . Emplee el comandos plot . ¿Qué informaci´ on nos aportan estas figuras? ¿Por qué existe un periodo m´ınimo para cada altura de ola? 2) Represente H m0 y θ conjuntamente mediante una rosa de viento. La instrucci´ o n est´ andar es wind rose(dir, wind, ’dtype’, ’meteo’). ¿Cu´ al o cuáles son las direcciones predominantes de procedencia del oleaje? ¿C´ omo se relacionan estas direcciones con las del viento obtenidas en la pr´ actica del Tema anterior? ¿En qu´ e dirección se han presentado las alturas significantes mayores? ¿Podr´ıa estimar cu´ al es la dirección media del oleaje durante todo el registro? 25 26

http://www.puertos.es/oceanografia_y_meteorologia/redes_de_medida/index.html Realizada por MMA 26-11-2007, [email protected]. IEO, Instituto Espa˜ nol de Oceanograf´ıa, La Co-

ru˜ na. 27 http://www.mathworks.es/matlabcentral/ 28 Esta informaci´ on resultar´ au ´ til en la parte de Aprovechamiento de energ´ıas marinas impartida p or el Profesor Antonio Moñino.

32

3) Realice sendos histogramas con los datos de periodo de pico y altura de ola. Emplee la función hist() de MatlabTM . ¿Podr´ıa decir cuál es la altura de ola significante más probable? ¿Y la mayor del registro? ¿Cuál es su valor y cuándo tuvo lugar? ¿Significa esto que no es posible observar una altura de ola significante mayor que la máxima del registro? e ) Para el estudio del R´ egimen medio adem´ as se analizan estad´ısticamente los valores de altura de ola de todos los estados de mar del archivo ’WANA T 2019013 (Motril).dat’ ajustando una función de densidad y de distribución a los datos. Ajuste por tanto los datos de altura de ola H m0 mediante una Función Densidad y Función de Distribución de Valores Extremos Generalizada . Esta u ´ ltima viene dada por F GEV (H m0 ; k,σ,µ) = e

1+k

−

H m0 −µ σ

−



1/k

,

(62)

donde k es el parámetro de forma, µ el parámetro de localización y σ es el parámetro de escala (anchura). Como ayuda, recuerde que Matlab TM ya implementa funciones que permiten hacer el ajuste de manera rápida y sencilla. En su estudio, haga uso de las funciones de Matlab TM siguientes 1) gevfit() para obtener los parámetros de ajuste y sus respectivos intervalos de confianza. ¿Qué valores de k, σ y µ resultan? ¿Cu´ ales son sus respectivos intervalos de confianza? 2) gevpdf() para representar, con esos parámetros, la función densidad de probabilidad te´ orica. Compare la gr´ afica resultante con el histograma de datos de velocidad del viento. Tenga en cuenta que el histograma debe estar debidamente normalizado para que pueda realizarse la comparaci´ on. ¿En qué parte de la curva se produce el mejor ajuste? 3) Represente los datos en papel probabil´ıstico con gevplot() para responder mejor a las preguntas del punto anterior. 4) ecdf() para determinar la función de distribución emp´ırica de los datos de velocidad del viento. 5) gevcdf() para representar la funci´ on de distribución teórica. f ) ¿Hubiera cre´ıdo conveniente usar una función de distribución de Rayleigh para ajustar estos datos? Explique su respuesta. 3. An´ alisis del R´ egimen Extremal de olea je frente a la costa de Motril (Punto WANA 2019013). Para el estudio del régimen extremal, a ) Determine las alturas de ola significante mayores de cada a n ˜ o. Haga uso de TM las funciones Matlab max() y find(). b) Presente en una tabla los datos obtenidos. ¿Pueden considerarse independientes las muestras? ¿Y las del análisis de régimen medio anterior, con una separaci´ on cada 3 horas? 33

c ) Ajuste a los máximos anuales una función de densidad y de distribución Generalizada de Pareto, cuya expresi´ on general es

F GP (H m0 ) =

 Prob (H m0

1 < H m0 ) = σ



H m0 1+k σ

−µ



(1+1/k)

−

.

(63)

Para ello, siga la misma metodolog´ıa que en el caso de régimen medio, pero haciendo uso de las funciones de Matlab TM gpfit(), gppdf(), ecdf(), gpcdf() y gpplot() (y dfittool()). Matlab no estima el valor umbral. d ) Determine la curva Periodo de Retorno frente a H m0 .

34

Figura 13: Un valor de la elevación η (1) (t1 ) en un instante dado de tiempo.

Ap´ endices A. A.1.

Variable aleatorias Una variable aleatoria

La elevación de la superficie libre en presencia de ondas en un instante y en un lugar dados serán tratados como variables aleatorias (Holthuijsen , 2007), en el sentido que el valor exacto no puede ser predicho. Por ejemplo, como ocurre en un canal de ensayos de oleaje generado por viento (Fig. 13), a pesar de que aqu´ı es posible controlar y preparar experimentos bajo las mismas condiciones (en principio). En un punto A del canal, un sensor de presión mide la elevación de la superficie libre en función del tiempo. En un momento dado t1 , medido desde la puesta en marcha del forzamiento por viento, la superficie libre en esa ubicación tiene un valor η (1) (t1 ). El super´ındice (1) indica el n´ umero del experimento (otros experimentos seguirán). Si el experimento fuera repetido, este valor (en la misma posición en el mismo instante de tiempo desde que se activa el viento) ser´ıa η (2) (t1 ). Si de nuevo fuera repetido

35

se obtendr´ıa η (3)(t1 ) y as´ı sucesivamente. El valor de la superficie libre en este punto no puede, por tanto, predecirse y será una variable aleatoria. En esta sección, denotaremos una variable aleatoria x por x. La superficie libre en otros tiempos será , lógicamente, igualmente impredecible: η(t1 ), η(t2 ), η(t3 ), etc. Una variable aleatoria est´ a totalmente caracterizada por su funci´ on densidad de probabilidad p(x), que se define tal que la probabilidad de que la variable aleatoria x alcance un valor entre x y x + dx sea



x+dx

Prob(x < x

≤ x + dx) =

p(x )dx = p(x)dx .

(64)

x

Se sigue que la probabilidad de que x sea menor o igual que x (la probabilidad de no-excedencia ) sea



x

Prob(x

≤ x) =

p(x )dx

−∞

≡ P (x) .

(65)

La distribución complementaria es la probabilidad de excedencia, esto es, la probabilidad de que la variable aleatoria x exceda el valor x:



+∞

Prob(x

≥ x) =

p(x )dx = 1

x

− P (x) .

(66)

A P (x) se la denomina funci´ on de distribuci´ on (acumulada) de x (véase Fig. 14). El Teorema Fundamental del Cálculo proporciona la relaci´ on entre P y p, siendo la segunda la derivada de la primera. Toda la información relativa a la variable aleatoria x está contenida en la función densidad y en la función de distribución. Puesto que la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor inferior a + es del 100 %, se sigue la función p(x) debe estar adecuadamente normalizada 29 . Por ello, se impone ∞ que −∞ p(x )dx = 1. La función rec´ıproca P −1 de la función de distribución P , i.e. la función que proporciona el valor de una variable aleatoria x para una probabilidad de no-excedencia dada, se escribe como x(P ) = P −1 (x) y se denomina funci´ on cuantil . El valor medio de x puede definirse en términos de la función densidad de probabilidad p(x) como el momento centrado de primer orden30 , dividido por el momento centrado de orden cero. Se denomina valor esperado de x y se denota E x :

∞



{}

m1 E x = µx = = m0

{}

29

 

+∞

−∞

x p(x)dx

+∞

−∞

p(x)dx

.

(67)

En estad´ıstica las probabilidades se dan como fracciones de la unidad y no como porcentajes. + El momento centrado n-´ esimo de una función densidad h(x) es, por definición, mn = (x − µx )n h(x) dx. La función h(x) puede ser cualquier función, no necesariamente una función de densidad de probabilidad. 30



∞

−∞

36

Figura 14: Ejemplo de función densidad y la función de distribuci´ on acumulada correspondiente. Puesto que



+∞

−∞

p(x)dx = 1 se tiene



+∞

E x =

{}

x p(x)dx .

(68)

−∞

La esperanza o la media de la función densidad puede interpretarse grosso modo como la posición de la función en el eje real. La función densidad de probabilidad debe caracterizarse adicionalmente mediante sus momentos de orden superior. El segundo, tercer y cuarto momento se emplean para definir, respectivamente, el ancho o la varianza, la inclinación o la asimetr´ıa (el sesgo) y la kurtosis o lo picuda que es la función densidad. El momento de segundo orden se define como

σx2



− µx )

{

}

= E (x

2

 

+∞

=

−∞

(x

− µx)2 p(x)dx = E

 − x2

µ2x = m2

− m21 .

(69)

A σx2 se le denomina varianza y a σx desviación t´ıpica de x, que representa el ancho de la función densidad de probabilidad. Definiciones alternativas de la media, la anchura, asimetr´ıa y kurtosis pueden definirse en términos de las funciones cuantiles 31 . Los promedios de funciones de x tambi´ en se definen como valores esperados. Por +∞ ejemplo, E f (x) = −∞ f (x) p(x)dx es el valor esperado de f (x). A.1.1.



Funci´ on de densidad de probabilidad Gaussiana

Muchos procesos en la naturaleza se comportan de tal manera que, aproximadamente, siguen una función de densidad Gaussiana, a saber, 31

Los momentos en este caso ser´ıan β r =

 P x(P )dP . Las medidas β 1 0

r

r

37

se denominan L-momentos.

Figura 15: Funciones de densidad con los parámetros mostrados en la figura para una población femenina (linea continua) y masculina (linea discontinua) de un determinado pa´ıs.

p(x) =

1

√

σx 2π

e

−

(x−µx )2 2 2σx

.

(70)

Un ejemplo, relacionado con las alturas de la población masculina y femenina de un determinado pa´ıs, distribuidas seg´ un una Normal, puede verse en la Fig. 15. Una explicació n teórica de la amplia aplicabilidad de esta distribución la proporciona el Teorema del L´ımite Central , el cual, expresado en términos sencillos, establece que la suma de un número elevado de variables aleatorias independientes (no necesariamente gaussianas o si hay una o varias dominantes) y de varianza finita está distribuida seg´ un una distribución de probabilidad Gaussiana. Puesto que muchos fenómenos naturales tienen por origen muchas causas, es razonable encontrar que la densidad obtenida sea Gaussiana. La función densidad de probabilidad Gaussiana se denomina a menudo función densidad de probabilidad Normal (puesto que aparece por doquier). No es la u ´ nica función densidad que responde a fenómenos naturales o, más bien, se detectan desviaciones significativas del comportamiento Normal debido a correlaciones entre las variables aleatorias. Hay otras, como la de Pareto, la de Rayleigh, etc. Nótese que se ha definido σx independientemente de la distribución considerada. La funció n de distribuci´ on o la función densidad gaussiana queda un´ıvocamente determinada por solo la media y la varianza. A.1.2.

Desviaciones respecto del comportamiento Normal

El sesgo y la kurtosis están relacionadas con no-linealidades en el campo de oleaje. El sesgo en la función de densidad de η es una medida estad´ıstica de la asimetr´ıa vertical, ´ caracterizada por crestas cortas y peraltadas y senos largos y planos. Estas son t´ıpicas 38

de profundidades reducidas. La kurtosis define estad´ısticamente el apuntamiento de la distribuci´ on con respecto a la distribución normal. A.1.3.

Estimaci´ on

Es habitual que que el promedio de una variable aleatoria, u otro momento, no se estime a partir de la función densidad de probabilidad p(x) sino a partir de un conjunto finito de muestras tomadas de x, es decir, a partir de un cierto número de realizaciones o experimentos de x. Esto está relacionado con la Ley (estad´ıstica) de los Grandes N´ umeros. Tal conjunto de muestras se denomina colectividad o ensemble , y el promedio se denomina promedio en la colectividad y se denota en esta sección como . Por ejemplo,

·

µx σx

2

≈ (x − x) 

1 = N

1 x = N

≈ 

N



xi

(71)

i=1

  −   N

x2i

x 2,

i=1

donde N es el número de muestras. Nótese que esto son sólo estimaciones, las cuales siempre diferirán de los valores esperados. A estas diferencias se las denominan errores de muestreo.

A.2.

Dos variables aleatorias

Una pareja de variables aleatorias (x, y) está totalmente caracterizada por la funci´ on de densidad de probabilidad conjunta p(x, y). En analog´ıa con Eq. 64 se define p(x, y) como la probabilidad de que la variable aleatoria x se encuentre entre x y x + dx y la y entre y e y + dy (simult´ aneamente), esto es

  x+dx

Prob(x < x

≤ x + dx, y < y ≤ y + dy) =

x

y+dy

p(x , y )dx dy  = p(x, y) dxdy.(72)

y

Las dos variables aleatorias pueden no estar relacionadas entre s´ı. Si este es precisamente el caso, se dice que las variables son independientes y la función densidad factoriza32 , verificando p(x, y) = px (x) py (y). En otro caso, estar´ıan relacionadas. Se dice entonces que una variable es dependiente de la otra. Cuando la relación entre ellas es lineal , se dice que las variables están correlacionadas33 (véase Fig. 16). El grado de correlación (lineal), i.e. el grado el que el par de variables aleatorias (x, y) se agrupa en torno a una l´ınea, se cuantifica con el coeficiente de correlaci´ on γ x,y , que se define como la covarianza normalizada C x,y de las dos variables: 32 33

Compruébese que esta propiedad se traslada a la función de distribución. Pintando una variable frente a otra la relación es una l´ınea recta.

39

Figura 16: Variables aleatorias independientes (panel izquierdo, velocidad del viento en Vigo frente a elevación de la superficie libre en Motril), descorrelacionadas pero dependientes (panel central, elevación y corriente en un mismo punto) y aprox. correlacionadas linealmente (panel derecho, temperatura del agua y ox´ıgeno disuelto). En realidad, entre éstas u ´ ltimas, y en contra de lo que aparentemente pudiera parecer, la relación tampoco es lineal sino exponencial (ley de Henry, i.e la solubilidad de un gas en un fluido es proporcional a la presión parcial del gas).

γ x,y =

C x,y , σx σy

(73)

verificando 1 γ x,y 1, donde la covarianza es el valor esperado del producto de x e y referidos a sus respectivos valores medios 34 ,

− ≤

≤



C x,y = E (x



− µx)(y − µy )

.

(74)

Para las variables mostradas en la Fig. 16, la covarianza35 y el coeficiente de correlación36 (lineal) para cada caso son, respectivamente, C Wind,η = 0,0054 y γ Wind,η = 0,0030 (independientes), C u,η = 0,405 y γ u,η = 0,819 (dependientes) y C O2 ,T = 2,014 y γ O2 ,T = 0,918 (dependientes y correlacionadas).

−

−

−

−

A.2.1.

Funci´ on densidad de Gauss bidimensional

La función densidad de Gauss bidimensional, o distribución Normal bivariante, para el par de variables aleatorias (x, y) es



1

p(x, y) = 2πσ x σy 34

 − 1

2 γ x,y

e

−

1 2 1−γ x,y



(y−µy )2 (x−µx )(y−µy ) (x−µx )2 −γ x,y + 2 2 σx σy 2σx 2σy

 



.

(75)



Cuando dos variables aleatorias x e y son independientes, se verifica que E x · y = E {x} · E y . Esto sugiere que una buena medida para estimación de la correlación entre dos variables es C x,y = E x · y − E {x} · E yy , esto es, lo mostrado en la Eq. 74. 35 En Matlab, Cxy = cov(x, y). 36 En Matlab, gxy = corrcoef (x, y).

 

 

40

A.3. A.3.1.

Procesos estoc´ asticos Caracterizaci´ on

Las variables aleatorias no sólo pueden ser dependientes, relacionadas o correlacionadas. Tambi´ en pueden estar ordenadas de alg´ un modo, i.e. las variables existen en ´ alg´ un tipo de secuencia. Esta es una noción u ´ til cuando muchas más de dos variables aleatorias est´ an presentes es un proceso. Por ejemplo, la estatura de los alumnos de la clase (considerados como variables aleatorias) se ordenan según la configuraci´ on 2D del aula. La ordenación puede ser espacial o temporal. Normalmente, en nuestro caso, nos ce˜ niremos a ordenaciones temporales. As´ı, definimos proceso estoc´ astico como un 37 concepto matem´ atico que sirve para caracterizar una sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable, generalmente el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribuci´ on de probabilidad y, entre ellas, pueden estar correlacionadas o no. Otros ejemplos, aparte del oleaje, de procesos estocásticos son las ondas s´ısmicas o las fluctuaciones bursátiles. Un ejemplo de proceso estocástico en 1D es el canal de oleaje de la sección A.1. La medida empieza en t = 0 cuando el viento empieza a soplar sobre el agua en reposo y el siguiente conjunto de datos de elevaciones η observadas en el punto A es una función del tiempo. Los valores son impredecibles y este conjunto es un ejemplo de una ordenación (temporal) de muchas variables aleatorias. N´ otese que en una secuencia temporal x(ti ), la variable aleatoria x en tiempo t1 es una variable aleatoria distinta que x medida en tiempo t2 (véase Fig. 17). Un experimento es una realización del proceso estocástico η(t1 ), η(t2 ), η(t3 ), . . . η(ti ), . . . . Obviamente, cuando la elevación de la superficie libre en un momento dado (un ti ) es grande, una fracción de segundo despu´ es, la elevaci´ on también será grande. Esto significa que las elevaciones a tiempos cortos están relacionadas y probablemente correlacionadas. S´ olo despu´ es de un intervalo suficientemente largo del tiempo la correlación (la relación) entre ambas se habrá perdido, esto es, cuando el intervalo ti t j sea mucho mayor que el periodo caracter´ıstico de la onda. Seg´ un se muestra en la Fig. 17, cada η(tk ) sigue, en principio, distribuciones diferentes (no estacionario). Es má s, es fácil imaginar que las variables aleatorias η(tk ) dependen de las variables aleatorias de tiempos anteriores. Están relacionadas (incluso correlacionadas). Luego para caracterizar correctamente estos estados no solo es necesario determinar las funciones densidad p(η(tk )), k, sino tambi´ en las funciones de densidad conjuntas p(η(t j ), η(tk )), j, k. Bajo condiciones muy contraladas, es de esperar que habiendo superado el periodo transitorio se alcance algún tipo de equilibrio (estad´ıstico), i.e. estacionario. En realidad, la no estacionariedad y la no homogeneidad es dominante y raras veces se alcanza un estado estacionario y homogéneo. El experimento puede repetirse a discreción una y otra vez. En tal caso, habrá tantas realizaciones del proceso estocástico η(t1 ), η(t2 ), η(t3 ), . . . η(ti ), . . . como experimentos (Fig. 17), donde cada η(ti ) es una variable aleatoria. Como cualquier variable aleatoria, η(ti ) está caracterizada por una función de densidad de probabilidad. Esto implica

−

∀

∀

37

Aqu´ı está el orden...

41

Figura 17: Un conjunto de N realizaciones de la elevación de la superficie libre en funci´ on del tiempo en la ubicación A de la Fig. 13. Los experimentos son estad´ısticamente idénticos (sistema igualmente preparado, con el mismo viento, etc.). Las funciones densidad de probabilidad se han determinado promediando en la colectividad (no es un promedio temporal). Adaptado de (Holthuijsen , 2007).

42

que, para caracterizar estad´ısticamente la superficie libre en ese instante de tiempo ti , esta función densidad de probabilidad es requerida en cada instante de tiempo ti . Para caracterizar las elevaciones como un proceso estocástico, se necesitan adicionalmente a tiempo ti todas las funciones de densidad de probabilidad conjunta p(η(ti ), η(t j )), t j . N´ otese que hay una infinidad de instantes ti , y que cada uno requiere de tales funciones, puesto que hay infinitos momentos t j .

∀

A.3.2.

Procesos estacionarios

Si despu´ es de un tiempo, la elevaci´ on en el punto A es “constante” en un sentido estad´ıstico (Fig. 17), todas las caracter´ısticas de las ondas son independientes del tiempo y el proceso se dice estacionario 38 . La estacionariedad de un proceso simplifica la descripción puesto que solo son necesarias las caracter´ısticas estad´ısticas en un s´ olo instante de tiempo39 . Concretamente, las condiciones estacionarias establecen que ∂p(η(t))/∂t = 0, luego p(η) es independiente del tiempo, es decir, es invariante frente a una traslaci´ on temporal. La condición an´ aloga para variables que están ordenadas en el espacio se denomina homogeneidad . Si solo las medias y las varianzas son constantes en el espacio y en el tiempo, el proceso se llama débilmente estacionario o débilmente homogéneo, es otro caso se dirá simplemente estacionario o estacionario en sentido estricto. A.3.3.

Procesos Gaussianos

Si todas las funciones de densidad de probabilidad (conjunta o no) de un proceso estocástico (estacionario o no) son Gaussianas, el proceso se dice que es un proceso estoc´ astico Gaussiano. Un proceso Gaussiano es relativamente f´ acil de describir, puesto que solo se requieren los promedios de cada pareja de variables aleatorias y su covarianza. Escribiendo el par de variables aleatorias de la Eq. 74 como x = x(t1 ) = x(t) y y(t2 ) = x(t2 ) = x(t + τ ), se puede escribir la covarianza como C x,x = E (x(t) µx (t)) (x(t + τ ) µx (t + τ )) = C (t, τ ). La covarianza puede verse entonces como una función del tiempo y del intervalo temporal τ . A C (t, τ ) se la denomina función covarianza. Puesto que las dos variables pertenecen al mismo proceso, a la función C (t, τ ) también se la denomina funci´ on auto-covarianza .

{

A.3.4.

−

·

−

}

Procesos Gaussianos y estacionarios

Un proceso Gaussiano y estacionario es incluso más simple de describir: só lo se requieren la media y las covarianzas para un instante de tiempo dado (puesto que son idénticos para todos los tiempos). La auto-covarianza es entonces (sólo) una función del intervalo de tiempo τ y, si el promedio de la variable se considera nulo (como es habitual en ondas de superficie), puede escribirse C (t, τ ) = E x(t)x(t + τ ) . Nótese que la auto-covarianza para τ = 0 es la varianza del proceso E x2 (t) . 38 39

{ 

}

Pero las caracter´ısticas estad´ısticas pueden a´ un depender de los intervalos de tiempo ti − tj . Incluyendo las relaciones con las variables aleatorias en cualquier intervalo de tiempo.

43

A.3.5.

Procesos Erg´ odicos

Si el promedio temporal (o espacial) da el mismo resultado que promediar sobre una colectividad de realizaciones, se dice que el proceso es erg´ odico. La media y la varianza (si µx = 0) de un proceso ergódico puede estimarse como

µx σx2

≈ x(ti) = b − a



b

1

2

≈ (x(ti))  = b − a



b

1

x(t)dt

(76)

(x(t))2 dt ,

(77)

a

a

y la auto-covarianza (si µx = 0) como

C (τ )



b

1

≈ x(t)x(t + τ ) = b − a

x(t)x(t + τ )dt ,

(78)

a

donde denota el promedio en la colectividad y b a es la longitud del intervalo de tiempo (duración) sobre la que se realiza el promedio temporal. El s´ımbolo aproximadamente igual en las igualdades anteriores refleja el hecho que, habitualmente, el promedio en la colectividad se realiza con un número de ensayos N finito y que el promedio temporal se lleva igualmente a cabo en un intervalo finito. En general se tiene

·

−

≈

1



b

f (x(ti)) = b − a

f (x(t))dt .

(79)

a

Y esto para cualquier ti . Se sigue de la definición, que todo proceso ergódico es un proceso estacionario. El inverso no es cierto. No todos los procesos estacionarios son erg´ odicos. Por ejemplo, el encendido de un interruptor que produce una corriente continua (impredecible), cuyo valor podr´ıa estar distribuida seg´ un una Normal, i.e. el valor de la corriente es extra´ıdo de una distribución de probabilidad normal, produce un proceso estocástico estacionario (valores impredecibles y con caracter´ısticas estad´ısticas constantes en el tiempo). Sin embargo, no es un proceso ergódico puesto que el promedio temporal en cada realización es diferente del promedio temporal en otra realización. La superficie libre del oleaje (aleatorio), en condiciones estacionarias, generado por viento es un proceso estocástico erg´ odico (en la aproximaci´ on lineal), as´ı que todos los promedios que se necesiten para describir las ondas pueden estimarse a partir de promedios temporales. Esto es afortunado, puesto que no es fácil generar en el mar idénticas condiciones y sistemas idénticamente preparados para realizar los promedios en la colectividad. Básicamente, ergódico significa que la evolución temporal de η explora todas las posibles configuraciones, esto es, todos los posibles valores que pueden obtenerse en las distintas realizaciones. En cualquier caso, dadas las limitaciones de trabajar en el océano, se asumir´ a sin más las hipótesis ergódica que, en la mayor´ıa de los casos, es imposible comprobar. 44

A.3.6.

La elevaci´ on de la superficie libre

La evolución temporal de la elevación de la superficie libre generada por viento se trata a menudo como un proceso estocástico Gaussiano. Datos de campo han corroborado que es una aproximación muy razonable, pero tambi´ en este hecho está apoyado en resultados teóricos: la superficie libre en cualquier instante de tiempo ti puede verse como la suma de un enorme conjunto de armónicos generados independientemente unos de otros40 y que han viajado sin interaccionar hasta el emplazamiento ( en la aproximaci´ on lineal (Holthuijsen , 2007)). El teorema del l´ımite central asegura que, en tal caso, la distribución resultante debe ser Gaussiana. Ondas con un marcado peralte, u ondas que verifican η/h 1 interaccionan entre s´ı y, por tanto, no son independientes. Desviaciones respecto del modelo Gaussiano ocurren por tanto en el mar, en particular, en la zona de surf (v´ ease Fig. ?? como ejemplo). Por otra parte, para garantizar ergodicidad y estacionariedad se realiza el análisis estad´ıstico (a corto plazo) sobre muestras de datos en un intervalo temporal reducido, no superior a 30min ó 1hora, seg´ un el caso. Si consideramos que una determinada propiedad del oleaje, por ejemplo, el desplazamiento de la superficie libre con respecto al nivel medio, es un proceso ergódico, las propiedades estad´ısticas del proceso pueden ser obtenidas mediante un registro los suficientemente extenso (pero no muy extenso t < 30 min) de la citada propiedad en un sólo punto del océano. Si adem´ as, el proceso en cuestión es gaussiano, la estad´ıstica del mismo podrá ser definida mediante los dos primeros momentos estad´ısticos de la serie temporal: media y varianza. El oleaje que se registra en un punto dado del mar, es el resultado de diferentes procesos de generación, propagaci´ on y disipación. Estos procesos, asociados a la dinámica atmosférica y oceánica, no son nunca estacionarios ni homogéneos (no erg´ odicos), por lo que, en sentido estricto, el oleaje tampoco lo es. Sin embargo, si nos limitamos a áreas reducidas y a periodos de tiempo pequeños, la inercia de los procesos presentan escalas espaciales y temporales mayores, por lo que el proceso puede ser considerado erg´ odico (a esas escalas reducidas). Entonces, si se dispone de un registro continuo de oleaje para realizar un análisis estad´ıstico bien definido es necesario dividir el registro en secciones temporales de, como dec´ıamos, de 30 min ó 1 hora de tal modo que en esos subintervalos se considere el oleaje erg´ odico ( estacionario). Las propiedades estad´ısticas del oleaje en esos subintervalos no cambian, dir´ıamos que son “constantes” en un sentido estad´ıstico. Esas propiedades estad´ısticas definen el estado de mar y lo caracterizan temporal y espacialmente. De esta manera, en cada estado de mar se sustituye el registro temporal continuo de oleaje por una información estad´ıstica más reducida. Dentro de cada estado de mar, las propiedades estad´ısticas del oleaje vienen definidas por los momentos estad´ısticos obtenidos del proceso ergódico (y estacionario) en lo que se denomina An´ alisis del o n en el tiempo de estos parámetros estad´ısticos Oleaje a Corto Plazo. La variaci´ de los estados de mar constituye lo que se denomina curva de estados de mar. Es t´ıpico caracterizar un estado de mar mediante la altura significante H s y el periodo medio T . La estad´ıstica que se realiza con la curva de estados de mar (formada por una

∼

⇒

40

Por ejemplo, por viento turbulento en distintas localizaciones.

45

Tema 3 Descripcion Estadistica Del Oleaje

Recommend Documents