Técnicas y teoremas para el análisis de circuitos eléctricos

Instituto Tecnológic o de Piedras Negras

Alumnos

Uzziel David Espinoza Delgado #13430157 Hugo Emilio Reyes Hernández

Conceptos e investigación sobre #13430062 los temas de la Unidad 1 de la Materia. Modo de Evaluación 30 % Examen 40% Trabajos  Investigación de temas de la unidad.  Recopilación de Información.  Trabajos varios. 30% Prácticas  Problemas/Teoría/Actividades Practicas

Circuitos Eléctricos y Electrónicos

Unidad 1


Unidad 1

Técnicas y teoremas para el análisis de circuitos eléctricos

Temas

Pagin a

1.1. Divisor de voltaje y corriente.

3

1.2. Transformación de fuentes.

5

1.3. Análisis de mallas.

9

1.4. Análisis de nodos.

11

1.5. Linealidad y superposición.

13

1.6. Teoremas de Thévenin y Norton.

16

1.7. Teorema de la máxima transferencia de potencia.

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1.8. Teorema de Reciprocidad.

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Reglas de divisor de voltaje y corriente (Ingles) Bibliografía

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Uzziel Espinoza Delgado Hugo Emilio Reyes Hernández

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1.1 Divisor de voltaje y corriente.

El divisor de voltaje más simple consta de dos resistencias conectadas en serie. Se utilizan los divisores de voltaje en casos en que los voltajes son demasiado grandes y en que existe la necesidad de dividir tales voltajes.

Se puede calcular los voltajes y resistencias utilizando la ecuación proporcional siguiente: Al igual el divisor de corriente consiste en dos resistencias conectadas en paralelo. Se puede calcular las corrientes y resistencias usando la ecuación proporcional siguiente:

Divisor de voltaje


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El voltaje Vs(t) se divide en los voltajes que caen en las resistencias R1 y R2.Esta fórmula sólo es válida si la salida v2(t) está en circuito abierto (no circula corriente por los terminales donde se mide v2(t)).

Divisor de corriente

Análogamente, la corriente Is(t) se divide en las corrientes que atraviesan las dos inductancias.


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Ejemplo:


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1.2. Transformación de fuentes. La transformación de fuentes es otra herramienta para simplificar circuitos, permitiendo la combinación de resistencias y fuentes. La transformación de fuentes es el proceso de reemplazar una f t u en e de voltaje Vs en serie con una resistencia R, por una fuente de corriente Is en paralelo con una resistencia R o viceversa.

La flecha de la fuente de la corriente se dirige hacia la terminal terminal positiva positiva de la fuente de voltaje voltaje.

La transformación de una fuente no es posible cuando es el caso de una fuente de ideal.

Si el voltaje o la corriente asociada con una resistencia particular particular se emplea como una variable variable de control control para una fuente dependiente, o es la respuesta deseada de un circuito, la resistencia no debe incluirse en las transformaciones.


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La meta consiste en combinar todas las fuentes de corriente y todas las fuentes fuentes de voltaje voltaje en el circuito circuito. Fuente de voltaje/Fuente de corriente

Para transformar una fuente práctica de voltaje en una fuente práctica de corriente se calcula la corriente de la fuente ideal como:

Y se conecta la fuente de corriente en paralelo con una resistencia Fuente de corriente/Fuente de voltaje

Para transformar una fuente práctica de voltaje en una fuente práctica de corriente se calcula la corriente de la fuente ideal como:


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Y se conecta la fuente de corriente en paralelo con una resistencia

Ejemplo:

1. Calcular IL en la fuente práctica de corriente 2. Transformar la fuente práctica de corriente en una fuente práctica de voltaje 3. Calcule IL si RL= 80 ohms en la fuente práctica de voltaje 4. Calcule la potencia suministrada por la fuente ideal en cada caso 5. ¿Qué valor de RL absorberá la máxima potencia? 6. ¿Cuál es el valor de la potencia máxima?

Solución:


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1.3. Análisis de mallas. El análisis de malla consiste en escribir las ecuaciones LVK alrededor de cada malla en el circuito, utilizando como incógnita las corrientes de malla. Las n ecuaciones simultaneas de un circuito con n mallas pueden ser escritas en forma de matriz. La ecuación de matriz resultante puede resolverse por varias técnicas. Una de ellas es el método de determinantes o regla de Cramer.

Rii representa la suma de todas las resistencias a través de las cuales pasa la corriente Ii de malla, o dicho de otra manera, la suma de todas las resistencias que pertenecen a la malla i. Rij representa la suma de todas las resistencias a través de las cuales pasan las corrientes de malla Ii e Ij . El signo de Rij es + si las corrientes están en la misma dirección a través de cada resistencia, y el signo Rij de − es si están en direcciones opuestas. Debemos hacer hincapié en que la matriz de resistencias es simétrica, es decir Rij = Rji . La matriz o vector de corriente no requiere explicación. Estas son las incógnitas en el método que se está describiendo. La matriz o vector de voltajes tenemos que Vi es la suma algebraica de todas las fuentes que pertenecen a la malla i usando el criterio de la señal pasiva. Definición de MALLA: Conjunto de ramas que forman una trayectoria cerrada y que tiene las siguientes propiedades: 1. Cada nodo une solamente dos ramas. 2. El conjunto no encierra a otra rama. Es por tanto un lazo que no encierra o atraviesa ninguna rama. Ejemplo:

Puesto que una malla es un tipo particular de lazo, sigue cumpliendo la ley de voltajes de Kirchoff. Se obtienen tantas ecuaciones independientes como mallas halla en el circuito (si se eligieran lazos al azar, podríamos llegar a ecuaciones dependientes). Uzziel Espinoza Delgado Hugo Emilio Reyes Hernández

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En una red, si tenemos b ramas y n nodos, se cumple que el número de mallas es: Por tanto, tenemos b-n+1 ecuaciones independientes analizando por mallas.

Red resistiva de dos mallas. Tomamos la misma dirección de referencia para las corrientes de ambas mallas: en el sentido de las agujas de reloj.

Aplicando la Ley de Voltajes de Kirchoff a cada malla, poniendo los voltajes de la fuente en un miembro de la ecuación y los de rama en otro; y sustituyendo el voltaje en cada resistencia por la expresión de la ley de Ohm:

En forma matricial:

Hay que apreciar que: a. El signo de VS1, VS2 es positivo si es subida de tensión y negativo si es caída, según la dirección de referencia de la malla. b. Los términos de la diagonal principal (r 11, r22) son la suma de todas las resistencias propias de cada malla. c. Los términos fuera de la diagonal principal son la suma de las resistencias de la rama común a ambas mallas, pero con signo negativo (esto se debe a que el sentido de referencia de la malla contigua es contrario). Los elementos de la matriz R tienen dimensión de resistencia.


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Ejemplo:

1.4. Análisis de nodos. Es un método general de análisis de circuitos en donde los voltajes son las incógnitas que deben obtenerse. En general, una elección conveniente para el voltaje es el conjunto de voltajes de nodo. Puesto que un voltaje se define como el existente entre dos nodos, es conveniente seleccionar el nodo en la red que sea nodo de referencia, y luego asociar un voltaje a cada uno de los demás nodos. Comúnmente se elige como nodo de referencia al nodo al que se conecta la mayor cantidad de ramas. Las ecuaciones del análisis nodal se obtienen aplicando LCK en los nodos salvo el de referencia. De forma matricial podemos plantear el sistema de ecuaciones de la siguiente manera:


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Gii contiene la reciproca de todas las resistencias conectadas al nodo i. Gij representa la reciproca (o inversa) de todas las resistencias de las ramas que unen al nodo i y al nodo j. La matriz o vector de voltajes de nodo no requiere explicación. Estas son las incógnitas en el método que se está describiendo. Los elementos χi del vector de la derecha representan las corrientes de impulsión. Es decir, χi será la suma algebraica de las corrientes impulsoras que estén relacionadas con el nodo i. Las corrientes impulsoras son aquellas ramas que presenten fuentes de intensidad o bien ramas con fuentes de voltaje y resistencia asociada a dicha rama (Ii = Vi/Ri) de forma que tomaremos valor positivo si la corriente llega al nodo correspondiente y daremos un valor negativo en caso contrario.

Circuito de dos nodos En este caso las variables desconocidas son los voltajes de los nodos.

En realidad hay tres nodos pero, sólo generan dos ecuaciones independientes. Esto es debido a que lo que calculamos son diferencias de voltaje, no voltajes absolutos. Por ello se dan los voltajes respecto al nodo de referencia (nodo del que no se escribe la ecuación, cuyo valor de voltaje se considera cero). Aplicando la ley de corrientes de Kirchoff en los nodos, separando corrientes de fuentes y de ramas; y sustituyendo la corriente en cada conductancia por la expresión de la ley de Ohm:

En forma matricial:


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Análogamente al análisis por mallas: a. El signo de IS1, IS2 es positivo si es entrante al nodo y negativo si es saliente. b. Los términos de la diagonal principal (g11, g22) son las sumas de todas las conductancias conectadas a ese nodo. c. Los términos fuera de la diagonal principal, gij, son la conductancia que conectan los nodos i y j, con signo negativo. Si la red no tiene generadores dependientes, la matriz es simétrica (g ij = gji).

Ejemplo:

1.5 Linealidad y superposición. LINEALIDAD Y SUPERPOSICIÓN. La linealidad es una propiedad de un tipo de funciones características que permiten facilitar la solución de las mismas; particularmente en circuitos eléctricos, da lugar a dos poderosos métodos de análisis. Una función se dice lineal si cumple con dos principios fundamentales; estos son la proporcionalidad y la superposición. Para que cualquier elemento dentro de un circuito, sistema o ecuación sea lineal debe cumplir con los dos principios planteados anteriormente, si cumple uno solo de ellos no es lineal y por lo tanto no se puede acceder a las facilidades dadas para los circuitos lineales.


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Proporcionalidad. Si se tiene una función conformada por una única variable independiente, se dice que esta función es proporcional cuando al multiplicar la variable independiente

por

una

constante

(K)

también

se

ve

multiplicada

la

variable dependiente por el mismo valor de (K) o viceversa.

Se dirá que la variable dependiente (Y) es proporcional con respecto a la variable dependiente (X) cuando se conserva la igualdad al multiplicar por (K) ambas variables.

Debe ser claro que este es el caso de la ley de Ohm:

Si en una resistencia se eleva la corriente dos veces, es porque la tensión subió en la misma proporción, o si la tensión bajo a la tercera parte de su valor inicial es porque la corriente también lo hizo en la misma proporción. Como conclusión de esta primera sección, se diría que las resistencias son elementos proporcionales porque la tensión y la corriente sobre ellos se comportan de manera proporcional. Más adelante se demostrara que la resistencia

es

lineal,

es

decir,

que

además

de

la

proporcionalidad,

cumple con el principio de la superposición. En los circuitos eléctricos se encontraran otros elementos adicionales a la resistencia que también cumplen con el principio de proporcionalidad, es

el

caso

de

la

inductancia

La ley de Ohm para la inductancia es:


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y

la

capacitancia.

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Si se multiplica la corriente i(t) por una constante (k) el valor de la tensión aparecerá multiplicado por el mismo valor (k).

P o r l o t a n t o , l a i n d u c t a n c i a e s u n e l e m e n t o p r o p o r c i o n a l . Tod a s l a s relaciones

que

independiente

tengan sea

la

misma

derivada

y

forma,

es

multiplicada

decir, donde por

una

la

variable

constante,

serán

proporcionales, se dice entonces que la derivada cumple con el principio de

la

proporcionalidad.

La ley de Ohm para la capacitancia es:

Se demostrara que la capacitancia es lineal de la misma forma que la inductancia.

Siempre

que

se

multiplique

la

corriente

en

la

capacidad

por

una

constante (k) se multiplicará también su tensión con la misma razón o proporción. Esto quiere decir que la capacidad cumple con el principio de la proporcionalidad.

El teorema de superposición sólo se puede utilizar en el caso de circuitos eléctricos lineales, es decir circuitos formados únicamente por componentes lineales (en los cuales la amplitud de la corriente que los atraviesa es proporcional a la amplitud de voltaje a sus extremidades). El teorema de superposición ayuda a encontrar: 

Valores de voltaje, en una posición de un circuito, que tiene más de una fuente de voltaje.



Valores de corriente, en un circuito con más de una fuente de voltaje.


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Este teorema establece que el efecto que dos o más fuentes tienen sobre una impedancia es igual, a la suma de cada uno de los efectos de cada fuente tomados por separado, sustituyendo todas las fuentes de voltaje restantes por un corto circuito, y todas las fuentes de corriente restantes por un circuito abierto. Por ejemplo, si el voltaje total de un circuito dependiese de dos fuentes de tensión:

1.6 Teoremas de Thevenin y Norton Teorema de Thevenin En la teoría de circuitos eléctricos, el teorema de Thévenin establece que si una parte de un circuito eléctrico lineal está comprendida entre dos terminales A y B, esta parte en cuestión puede sustituirse por un circuito equivalente que esté constituido únicamente por un generador de tensión en serie con una impedancia, de forma que al conectar un elemento entre los dos terminales A y B, la tensión que cae en él y la intensidad que lo atraviesa son las mismas tanto en el circuito real como en el equivalente. El teorema de Thévenin fue enunciado por primera vez por el científico alemán Hermann von Helmholtz en el año 1853,1 pero fue redescubierto en 1883 por el ingeniero de telégrafos francés Léon Charles Thévenin (1857–1926), de quien toma su nombre.2 3 El teorema de Thévenin es el dual del teorema de Norton. Cálculo de la tensión de Thévenin Para calcular la tensión de Thévenin, Vth, se desconecta la carga (es decir, la resistencia de la carga) y se calcula VAB. Al desconectar la carga, la intensidad que atraviesa Rth en el circuito equivalente es nula y por tanto la tensión de Rth también es nula, por lo que ahora VAB = Vth por la segunda ley de Kirchhoff. Debido a que la tensión de Thévenin se define como la tensión que aparece entre los terminales de la carga cuando se desconecta la resistencia de la carga también se puede denominar tensión en circuito abierto. Cálculo de la resistencia (impedancia) de Thévenin La impedancia de Thévenin simula la caída de potencial que se observa entre las terminales A y B cuando fluye corriente a través de ellos. La impedancia de Thévenin es tal que:


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Siendo corriente


el voltaje que aparece entre los terminales A y B cuando fluye por ellos una y

el voltaje entre los mismos terminales cuando fluye una corriente

Para calcular la impedancia de Thévenin se puede reemplazar la impedancia de la carga por un cortocircuito y luego calcular la corriente ( IAB ). Como por el cortocircuito la tensión VAB es nula, la tensión de Thévenin tiene que ser igual a la tensión de Rth. La impedancia de Thévenin ( Rth = Zth ) será

De esta manera se puede obtener la impedancia de Thévenin con mediciones directas sobre el circuito real a simular. Otra forma de obtener la impedancia de Thévenin es calcular la impedancia que se "ve" desde los terminales A y B de la carga cuando esta está desconectada del circuito y todas las fuentes de tensión e intensidad han sido anuladas. Para anular una fuente de tensión, la sustituimos por un circuito cerrado. Si la fuente es de intensidad, se sustituye por un circuito abierto. Para calcular la impedancia de Thévenin, debemos observar el circuito, diferenciando dos casos: circuito con únicamente fuentes independientes (no dependen de los componentes del circuito), o circuito con fuentes dependientes. Para el primer caso, anulamos las fuentes del sistema, haciendo las sustituciones antes mencionadas. La impedancia de Thévenin será la equivalente a todas aquellas impedancias que, de colocarse una fuente de tensión en el lugar de donde se sustrajo la impedancia de carga, soportan una intensidad. Para el segundo caso, anulamos todas las fuentes independientes, pero no las dependientes.

Introducimos una fuente de tensión (o de corriente) de prueba ( ) entre los terminales A y B. Resolvemos el circuito, y calculamos la intensidad de corriente que circula por la fuente de prueba. Tendremos que la impedancia de Thévenin vendrá dada por

Dado el Circuito Uzziel Espinoza Delgado Hugo Emilio Reyes Hernández

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Ejemplo: Hallar el equivalente de Thevenin en bornas de la resistencia R (sin incluirla). Queremos obtener un circuito de la forma:

Quitamos la resistencia R y vemos cual es el voltaje que hay entre los nodos a y b. El valor obtenido será el voltaje de Thevenin.

Se puede comprobar que la rama del resistor de 4 Ω no afecta.


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Para hallar la resistencia de Thevenin anulamos las fuentes independientes y calculamos la resistencia vista desde los nodos a y b.

El circuito Thevenin es:

equivalente

de

Teorema de Norton El teorema de Norton para circuitos eléctricos es dual del teorema de Thévenin. Se conoce así en honor al ingeniero Edward Lawry Norton, de los Laboratorios Bell, que lo publicó en un informe interno en el año 1926.1 El alemán Hans Ferdinand Mayer llegó a la misma conclusión de forma simultánea e independiente. Establece que cualquier circuito lineal se puede sustituir por una fuente equivalente de intensidad en paralelo con una impedancia equivalente. Al sustituir un generador de corriente por uno de tensión, el borne positivo del generador de tensión deberá coincidir con el borne positivo del generador de corriente y viceversa.


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Una caja negra que contiene exclusivamente fuentes de tensión, fuentes de corriente y resistencias puede ser sustituida por un circuito Norton equivalente. Cálculo del circuito Norton equivalente El circuito Norton equivalente consiste en una fuente de corriente INo en paralelo con una resistencia RNo. Para calcularlo: 1. B INo.

Se calcula la corriente de salida, IAB, cuando se cortocircuita la salida, es decir, cuando se pone una carga (tensión) nula entre A y B. Al colocar un cortocircuito entre A y toda la intensidad INo circula por la rama AB, por lo que ahora IAB es igual a

2.

Se calcula la tensión de salida, VAB, cuando no se conecta ninguna carga externa, es decir, cuando se pone una resistencia infinita entre A y B. RNo es ahora igual a VAB dividido entre INo porque toda la intensidad INo ahora circula a través de RNo y las tensiones de ambas ramas tienen que coincidir ( VAB = INoRNo ). Circuito Thévenin equivalente a un circuito Norton Para analizar la equivalencia entre un circuito Thévenin y un circuito Norton pueden utilizarse las siguientes ecuaciones:

Cálculo del equivalente Norton Para calcular la corriente de Norton, cortocircuitamos:


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Analizando aisladamente el circuito de dos mallas:

La resistencia es la misma que para el equivalente de Thevenin. El circuito equivalente es:


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Como se puede observar, se cumple:

1.7. Teorema de la máxima transferencia de potencia. En ingeniería eléctrica, electricidad y electrónica, el teorema de máxima transferencia de potencia establece que, dada una fuente, con una resistencia de fuente fijada de antemano, la resistencia de carga que maximiza la transferencia de potencia es aquella con un valor óhmico igual a la resistencia de fuente. También este ayuda a encontrar el teorema de Thevenin y Norton. El teorema establece cómo escoger (para maximizar la transferencia de potencia) la resistencia de carga, una vez que la resistencia de fuente ha sido fijada, no lo contrario. No dice cómo escoger la resistencia de fuente, una vez que la resistencia de carga ha sido fijada. Dada una cierta resistencia de carga, la resistencia de fuente que maximiza la transferencia de potencia es siempre cero, independientemente del valor de la resistencia de carga. Se dice que Moritz von Jacobi fue el primero en descubrir este resultado, también conocido como "Ley de Jacobi".

Maximizando transferencia de potencia versus eficiencia de potencia El teorema fue originalmente malinterpretado (notablemente por Joule) para sugerir que un sistema que consiste de un motor eléctrico comandado por una batería no podría superar el 50% de eficiencia pues, cuando las impedancias estuviesen adaptadas, la potencia perdida como calor en la batería sería siempre igual a la potencia entregada al motor. En 1880, Edison (o su colega Francis Robbins Upton) muestra que esta suposición es falsa, al darse cuenta que la máxima eficiencia no es lo mismo que transferencia de máxima potencia. Para alcanzar la máxima eficiencia, la resistencia de la fuente (sea una batería o un dínamo) debería hacerse lo más pequeña posible. Bajo la luz de este nuevo concepto, obtuvieron una eficiencia cercana al 90% y probaron que el motor eléctrico era una alternativa práctica al motor térmico. En esas condiciones la potencia disipada en la carga es máxima y es igual a:


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La condición de transferencia de máxima potencia no resulta en eficiencia máxima. Si definimos la eficiencia como la relación entre la potencia disipada por la carga y la potencia generada por la fuente, se calcula inmediatamente del circuito de arriba que

Las fuentes de voltaje reales tienen el siguiente circuito equivalente: Donde V = I x Ri + VL Si el valor de Ri (resistencia interna en las fuentes de alimentación) es alto, en la carga aparecerá solamente una pequeña parte del voltaje debido a la caída que hay en la resistencia interna de la fuente. Si la caída en la resistencia interna es pequeña (el caso de las fuentes de tensión nuevas con Ri pequeña) casi todo el voltaje aparece en la carga.

¿Cuál es la potencia que se entrega a la carga? Si en el circuito anterior Ri = 8 Ohmios, RL = 8 Ohmios y V = 24 Voltios I = V / Ri + RL = 24 / 16 = 1.5 amperios. Esto significa que la tensión en RL es: VRL = I x R = 1.5 x 8 = 12 Voltios. Este dato nos dice que cuando la resistencia interna y RL son iguales solo la mitad de la tensión original aparece en la carga (RL). La potencia en RL será: P = I2 x RL = 1.52 x 8 = 18 Watts (vatios), lo que significa que en la resistencia interna se pierde la misma potencia. Si ahora se aumenta y disminuye el valor de la resistencia de carga y se realizan los mismos cálculos anteriores para averiguar la potencia entregada a la carga se puede ver que esta siempre es menor a los 18 Watts que se obtienen cuando RL = Ri (recordar que Ri siempre es igual a 8 ohmios). - Si RL = 4 ohmios I = V / Ri + RL = 24 / 12 = 2 amperios P = I2 x RL = 22 x 4 = 16 Watts - Si RL = 12 ohmios I = V / Ri + RL = 24 / 20 = 1.2 amperios P = I2 x RL = 1.22 x 12 = 17.28 Watts


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Así se se concluye que el teorema de máxima entrega de potencia dice: La potencia máxima será desarrollada en la carga cuando la resistencia de carga RL sea igual a la resistencia interna de la fuente Ri Cuando es importante obtener la máxima transferencia de potencia, la resistencia de carga debe adaptarse a la resistencia interna en las fuentes de voltaje.

1.8 Teorema de reciprocidad Este teorema dice que: Si en un punto “a” de una red lineal pasiva se inserta una fuente de voltaje ideal que produce una corriente I, en otro punto “b” de la red, la misma fuente insertada en el segundo punto (“b”), producirá la misma corriente I en el primer punto. (“a”) El teorema de reciprocidad es aplicable a cualquier red lineal pasiva, sin importar como sea su configuración. Ejemplo: En el siguiente circuito se tiene una fuente de voltaje en corriente directa de 10 Voltios, entre 1 y 2, que alimenta una red de resistencias. En la segunda malla de la red, entre los puntos 3 y 4, se inserta un amperímetro para medir la corriente. Una vez armado el circuito se ve que en la segunda malla hay una corriente de 20 mA. Si ahora se cambian de posición la fuente de voltaje y el amperímetro, quedando la fuente de voltaje entre los puntos 3 y 4, y el amperímetro entre los puntos 1 y 2, como se muestra en el segundo diagrama: Se observa que en el amperímetro se lee una corriente de 20 mA. En conclusión se puede afirmar que: "El hecho de intercambiar la posición relativa de los puntos de inserción de la fuente de voltaje y del amperímetro no modifica los valores medidos".


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Voltage and Current Division Rules


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Técnicas y teoremas para el análisis de circuitos eléctricos

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