12/Noviembre/2010
Instituto Tecnológico de Morelia
José María Morelos Morelos y Pavón Equipo: 09120782 Ramos Albarrán Fernando Fernando 08121065 Fuentes Martínez Bonifacio Iván 09120762 Estrada Calderón José Antonio 08121071 Zúñiga Salinas David David Asesor: M. C. J. Luis Lemus D.
Circuitos Eléctricos 1
[PRÁCTICA #5: TEOREMAS DE THÉVENIN Y NORTON] División de Estudios Profesionales: Ingeniería Eléctrica
OBJETIVO: Comprobar mediante el análisis, práctica y simulación por computadora, los Teoremas de Thévenin y Norton. E identificar que su equivalente es un circuito sencillo, que en ocasiones nos ayuda a
determinar los parametros de un elemento dentro un sistema complejo.
INTRODUCCIÓN: Teorema de Thévenin
El teorema de Thévenin establece que si una parte de un circuito eléctrico está comprendida entre dos terminales a y b, esta parte en cuestión puede sustituirse por un circuito equivalente que esté constituido únicamente por una fuente de voltaje en serie con una resistencia, de forma que al conectar un elemento entre las dos terminales A y B, la tensión en él y la intensidad que lo atraviesa son las mismas tanto en el circuito real como en el equivalente de Thévenin, comúnmente a esta parte se le llama llama carga. Para calcular la resistencia de Thévenin se debe desconectar la carga, así las terminales a y b quedan en circuito abierto de modo que la resistencia de Thévenin será la resistencia de entrada en las terminales a y b. Para ello se deberán de desactivar las fuentes de tensión o corriente. Si la red contiene solo fuentes tensión o corrientes independientes se apagaran teniendo en cuenta que para desconectar una fuente de tensión se pone en corto circuito y a la fuente de corriente en circuito abierto. Si el circuito tiene fuentes dependientes están se dejaran intactas ya que contienen la variable de control del circuito y se deberá excitar con una fuente de tensión de 1V o una fuente de corriente de 1A en las terminales a y b. La resistencia quedará expresada por medio medio de la Ley de Ohm como voltaje sobre corriente, por ejemplo si se excita con una fuente de voltaje
1V, se tendrá que encontrar la corriente
El voltaje de Thévenin es el voltaje entre las terminales a y b, cuando se desconecta la carga, y el circuito se deja intacto, se analiza
el
circuito
mediante
cualquier método de análisis de circuitos, para hallar el voltaje de los nodos.
Ya que tenemos el Circuito Equivalente de Thévenin, podemos calcular parámetros
como voltaje, corriente, potencia, entre otros, en la resistencia de carga
Teorema de Norton
El teorema de Norton establece que una parte del circuito conectado a dos terminales a y b, se puede remplazar por el equivalente de Norton el cual consta de una fuente de corriente conectada en paralelo con una resistencia. Para calcular la corriente de Norton, se debe calcular la corriente a través de las terminales a y b en corto circuito. La resistencia de Norton es igual a la de Thévenin por lo que se procede de la misma manera. Conexiones especiales
Un tipo de conexión especial, corresponde a la conexión delta y estrella. Para reducir circuitos a veces es necesario hacer transformaciones delta – estrella o viceversa. Para transformar de delta a estrella de puede usar la formula siguiente:
La fórmula puede interpretarse como el producto de las resistencias adyacentes a la resistencia en cuestión dividida entre la suma de todas las resistencias que conforman a la delta. Para transformar de estrella a delta se puede usar las siguientes formulas:
Y se interpreta como la suma del producto de todas contra todas, entre la opuesta. Para obtener los equivalentes de Norton y Thévenin, el circuito se puede analizar por el análisis de mallas, análisis de nodos, transformación de fuentes, etc. Estos teoremas de circuitos eléctricos son aquellas técnicas derivadas de las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm que permiten resolver de una manera más simple cierto tipo de circuitos. Algunos con aplicaciones más particulares que otros, facilitan el estudio de los circuitos eléctricos. Pendiente e Inclinación
Una ecuación lineal describe una línea recta (L), cuya inclinación es el menor de los ángulos que dicha recta forma con el semieje x positivo y se mide desde el eje x positivo a la recta L, en sentido
antihorario, si L fuera paralela al eje x, su inclinación sería cero. La pendiente tangente del ángulo de inclinación. En estas condiciones inclinación. La pendiente de la recta que pasa por dos puntos es:
y
Pendiente:
Inclinación:
( )
de una recta es la
, siendo
el ángulo de
DESARROLLO: Se diseñó un circuito eléctrico, el cual contiene fuentes de voltaje y resistencias conectadas entre sí. Se analizó teóricamente por medio del método de análisis de mallas, los equivalentes de Thévenin y Norton, para obtener el valor de la corriente
y el voltaje
, después se analizó el
circuito en el programa PSpice para determinar los valores simulados y compararlos posteriormente con los obtenidos en el laboratorio. Por último se evaluaron los respectivos porcentajes de error.
Material a) 1 Tablilla de conexión. b) 2 Fuentes de voltaje de C.D.
c) 3 Resistores de 100 , 2 resistores de 150 d) 3 Multímetros digitales
y 1 resistor de 820
e) 10 Cables telefónicos f)
Conectores banana – banana
g) Conectores banana – telefónico h) 1 Adaptador
Análisis Teórico Análisis por el Método de Mallas Mallas
Aplicando LVK obtenemos las ecuaciones de malla:
Malla
:
Ec.(1)
Malla
Malla
:
Ec.(2)
:
Ec.(2)
Expresamos ahora estas ecuaciones en forma matricial:
Por medio de la Regla de Cramer, primeramente calculamos el determinante de la matriz principal
.
| | | ] [ ] [ ] [ ] | | [ ] [ [ | |
Sustituimos el vector de constantes en la columna 1 de la matriz principal, y calculamos el
determinante
.
Calculamos el determinante
y el determinante
columna 2 y 3 de la matriz mat riz principal respectivamente.
, sustituyendo el vector de constantes en la
] [ ] [ | | ] [ ] [ Obtenemos entonces, las corrientes de malla:
La corriente de malla
es la misma corriente que pasa por la resistencia
mismo sentido, entonces:
El voltaje
se obtiene aplicando la Ley de Ohm a la resistencia
Análisis por el Equivalente Equivalente de Thévenin
Resistencia de Thévenin La resistencia de Thévenin de Norton
y Resistencia de Norton es igual a la resistencia
, por tal motivo calcularemos solo la
resistencia de Thévenin
, le damos un valor de 0V a
las fuentes de voltaje y estas se comportaran como un cortocircuito. Después separamos el circuito de carga; es decir, desconectamos
de los nodos a y b. Nuestro
circuito se interpreta de la siguiente forma, en el que solo habrá que calcular la resistencia equivalente entre las terminales a y b.
:
va en sentido opuesto
, por que va en el
Las resistencias
se encuentran conectadas en
estrella, para eso hacemos una tranformación a delta donde obtendremos
.
Se reduce el circuito de la siguiente forma
Las resistencias
quedan en serie,
y por lo tanto se suman.
Esta resistencia
queda en paralelo con la resistencia
La resistencia de Thévenin es la resistencia equivalente
, e igual a la resistencia de Norton.
Voltaje de Thévenin
:
Para calcular el voltaje de Thévenin
, desconectamos la resistencia de carga
de los nodos a y
b, dejamos intactas las fuentes de voltaje y calculamos el voltaje entre las terminales a y b, este voltaje será el voltaje de Thévenin. Para encontrar el voltaje en dichos nodos, primeramente analizamos por mallas el circuito.
Malla
Malla
:
Ec.(1)
:
Despejamos
Sustituyendo
) (
en la ecuación 1:
en la ecuación 2, obtenemos el e l valor de
:
Ec.(2)
Y susutituyendo el valor de
Como la corriente
en cualquiera de las dos ecuaciones, obtenemos el valor de
es negativa, en realidad va en sentido se ntido contrario, por lo que la corriente corr iente
positiva y corresponde a la corriente de malla m alla
Aplicando Ley de Ohm en el resistor
Como el resistor
encontramos el voltaje
está conectado a la referencia, el voltaje
C. Ahora aplicamos Ley de Ohm en el resistor
es
.
corresponde al voltaje del nodo
para obtener el voltaje
Para encontrar el voltaje en el nodo a, tenemos esta ecuación.
.
La diferencia de potencial entre el nodo a y b, nos da como resultado el voltaje de Thévenin, el potencial del nodo b es cero, por lo tanto el voltaje del nodo a, es el voltaje de Thévenin
Con el equivalente de Thévenin podemos calcular la corriente y el voltaje de la resistencia de
carga. Aplicamos el divisor de voltajes para calcular e l voltaje
Con Ley de Ohm, calculamos la corriente
Análisis por el Equivalente Equivalente de Norton
Corriente de Norton
:
Para calcular la coriente de Norton
, desconectamos la resistencia
de carga
de los nodos a y b,
dejamos intactas las fuentes de voltaje y calculamos la corriente de cortocitcuito entre las terminales a y b, esta corriente será la corriente de
Norton.
Para
encontrarla
analizamos por mallas el circuito.
Malla
Malla
Malla
:
Ec.(1)
:
Ec.(2)
Ec.(3)
:
El sistema queda expresado en forma matricial de la siguiente forma:
] | | | [ ] ] [ [ ] [ ] | | [ [ ] [
Con Regla de Cramer, obtenemos el determinante de la matriz principal
La única corriente que nos interesa es
.
, ya que esta corriente es la de cortocircuito, o sea, la
corriente de Norton, por lo tanto, sustituimos la tercera columna de la matriz principal por el vector de las constantes, y realizamos el determinante
Calculamos la corriente de Norton
.
Con el equivalente de Norton podemos calcular la corriente y el voltaje de la resistencia de carga.
Aplicamos el divisor de corrientes para calcular el vo ltaje
Con Ley de Ohm, calculamos voltaje
Valores obtenidos:
Para obtener el voltaje
Análisis Práctico: de la resistencia de carga, se conecto un voltímetro en paralelo con
dicha resistencia, para obtener la corriente
de la resistencia de carga se le conectó un
amperímetro en serie a ésta. Posteriormente se desconectó la resistencia de carga, y se midió la diferencia de potencial
entre los nodos donde se encontraba ésta, conectando un voltímetro
en dichos nodos, de igual forma se midio la corriente
. Por último se cortocircuitaron las fuentes
de voltaje (independientes) y se midió con un ohmetro la resistencia entre los nodos donde se encotraba la resistencia de carga. Los datos obtenidos fueron los siguientes:
Análisis por PSpice Parámetros Voltaje y Corrriente de
**** 11/12/10 02:57:46 0 2:57:46 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ******** ************** ****** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 5\Schematic1 - Copy.sch **** CIRCUIT DESCRIPTION **** ****************************************************************************** * Schematics Version 9.1 - Web Update 1 * Fri Nov 12 02:57:46 2010 ** Analysis setup ** .OP .OP * From [PSPICE NETLIST] section of pspiceev.ini: .lib "nom.lib" .INC "Schematic1 - Copy.net" **** INCLUDING "Schematic1 - Copy.net" **** * Schematics Netlist * R_R1 N2 N1 813 V_V3 N1 N3 5V R_R4 N4 N3 98.8 V_V1 N5 N2 15V R_R2 N5 N4 150.3 R_RL N7 N3 101.3 R_R3 N6 0 100.5 V_V2 N5 N6 15V R_R5 0 N4 150.5 v_V4 N7 0 0
**** RESUMING "Schematic1 - Copy.cir" **** .INC "Schematic1 - Copy.als" **** INCLUDING "Schematic1 - Copy.als" **** * Schematics Aliases * .ALIASES R_R1 R1(1=N2 2=N1 ) V_V3 V3(+=N1 -=N3 ) R_R4 R4(1=N4 2=N3 ) V_V1 V1(+=N5 -=N2 ) R_R2 R2(1=N5 2=N4 ) _ _ _ _
_(N1=N1) _(N2=N2) _(N3=N3) _(N4=N4)
R_RL R_R3 V_V2 R_R5 v_V4
RL(1=N7 2=N3 ) R3(1=N6 2=0 ) V2(+=N5 -=N6 ) R5(1=0 2=N4 ) V4(+=N7 -=0 )
_ _(N5=N5) _ _(N7=N7) _ _(N6=N6)
.ENDALIASES **** RESUMING "Schematic1 - Copy.cir" **** .probe .END **** 11/12/10 02:57:46 0 2:57:46 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ******** ************** ****** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 5\Schematic1 - Copy.sch **** SMALL SIGNAL BIAS SOLUTION TEMPERATURE = 27.000 DEG C **** ****************************************************************************** NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE ( N1) 6.2771 ( N2) -3.7667 ( N3) 1.2771 ( N4) 3.7433 ( N5) 11.2330 ( N6) -3.7667 ( N7) 0.0000 VOLTAGE SOURCE CURRENTS NAME CURRENT V_V3 -1.235E-02 V_V1 -1.235E-02
V_V2 v_V4
-3.748E-02 1.261E-02
TOTAL POWER DISSIPATION 8.09E-01 WATTS **** 11/12/10 02:57:46 0 2:57:46 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 5\Schematic1 - Copy.sch **** OPERATING POINT INFORMATION TEMPERATURE = 27.000 DEG C ****************************************************************************** JOB CONCLUDED TOTAL JOB TIME .05
Resistencia de Thévenin
**** 11/12/10 00:28:11 0 0:28:11 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ******** ************** ****** * C:\Users\TOITO\Documents\INSTITUTO TECNOLOGICO DE MORELIA\Schematic1 - Copy.sch **** CIRCUIT DESCRIPTION **** ****************************************************************************** * Schematics Version 9.1 - Web Update 1 * Fri Nov 12 00:28:04 2010 ** Analysis setup ** .DC LIN I_Ip 0 1 0.1 .STMLIB "Schematic1 - Copy.stl" * From [PSPICE NETLIST] section of pspiceev.ini: .lib "nom.lib" .INC "Schematic1 - Copy.net" **** INCLUDING "Schematic1 - Copy.net" **** * Schematics Netlist * R_R2 N2 N1 150 R_R1 N4 N3 820 R_R4 N1 N5 100 V_V3 N3 N5 5V V_V1 N2 N4 15V V_V2 N2 N6 15V R_R3 N6 0 100 R_R5 0 N1 150 I_Ip 0 N5 **** RESUMING "Schematic1 - Copy.cir" **** .INC "Schematic1 - Copy.als"
R_R2 R_R4 V_V1 R_R3 IIp
**** INCLUDING "Schematic1 - Copy.als" **** * Schematics Aliases * .ALIASES R2(1=N2 2=N1 ) R_R1 R1(1=N4 2=N3 ) R4(1=N1 2=N5 ) V_V3 V3(+=N3 -=N5 ) V1(+=N2 -=N4 ) V_V2 V2(+=N2 -=N6 ) R3(1=N6 2=0 ) R_R5 R5(1=0 2=N1 ) Ip(+=0 -=N5 )
_ _(N1=N1) _ _(N3=N3) _ _(N5=N5)
_ _(N2=N2) _ _(N4=N4) _ _(N6=N6)
.ENDALIASES **** RESUMING "Schematic1 - Copy.cir" **** .probe .END JOB CONCLUDED TOTAL JOB TIME .03
200V
(500.000m,88.243) 100V
(300.000m,54.310)
0V 0A
0.1A
0.2A
0.3 A
0. 4A
0.5A
0.6A
0.7 A
V(Ip:-) I_Ip
Corriente de Norton
0. 8A
0 .9A
1. 0A
**** 11/12/10 03:39:50 ********* *********** ** Evaluation PSpice (Nov 1999) 1999 ) *********** ************** *** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 5\002.sch **** CIRCUIT DESCRIPTION **** ****************************************************************************** * Schematics Version 9.1 - Web Update 1 * Fri Nov 12 03:39:49 2010 ** Analysis setup ** .OP .OP * From [PSPICE NETLIST] section of pspiceev.ini: .lib "nom.lib" .INC "002.net" **** INCLUDING 002.net **** * Schematics Netlist * V_V1 N5 N2 15V R_R1 N2 N1 813 V_V3 N1 N3 5V R_R4 N4 N3 98.8 R_R5 0 N4 150.5 V_V2 N5 N6 15V R_R3 N6 0 100.5 R_R2 N5 N4 150.3 v_V5 N3 0 0 **** RESUMING 002.cir **** .INC "002.als"
V_V1 V1(+=N5 -=N2 ) V_V3 V3(+=N1 -=N3 ) R_R5 R5(1=0 2=N4 ) R_R3 R3(1=N6 2=0 ) v_V5 V5(+=N3 -=0 ) _ _(N5=N5) _ _(N2=N2) _ _(N1=N1)
**** INCLUDING 002.als **** * Schematics Aliases * .ALIASES R_R1 R1(1=N2 2=N1 ) R_R4 R4(1=N4 2=N3 ) V_V2 V2(+=N5 -=N6 ) R_R2 R2(1=N5 2=N4 ) _ _(N3=N3) _ _(N4=N4) _ _(N6=N6)
.ENDALIASES **** RESUMING 002.cir **** .probe .END **** 11/12/10 03:39:50 ********* *********** ** Evaluation PSpice (Nov 1999) ********* ************** ***** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 5\002.sch **** SMALL SIGNAL BIAS SOLUTION TEMPERATURE = 27.000 DEG C **** ****************************************************************************** NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE ( N1) 5.0000 ( N2) -4.0956 ( N3) 0.0000 ( N4) 3.0979 ( N5) 10.9040 ( N6) -4.0956
VOLTAGE SOURCE CURRENTS NAME CURRENT V_V1 -1.119E-02 V_V3 -1.119E-02 V_V2 -4.075E-02 v_V5 2.017E-02 TOTAL POWER DISSIPATION 8.35E-01 WATTS **** 11/12/10 03:39:50 ********* *********** ** Evaluation PSpice (Nov 1999) ******** ************** ****** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 5\002.sch **** OPERATING POINT INFORMATION TEMPERATURE = 27.000 DEG C **** ****************************************************************************** JOB CONCLUDED TOTAL JOB TIME .02 Voltaje de Thévenin
**** 11/12/10 02:59:14 ********* *********** ** Evaluation PSpice (Nov 1999) ********* ************** ***** * C:\Users\TOITO\Documents\INSTITUTO TECNOLOGICO DE MORELIA\Schematic1 - Copy.sch **** CIRCUIT DESCRIPTION ****************************************************************************** * Schematics Version 9.1 - Web Update 1 * Fri Nov 12 02:59:13 2010 ** Analysis setup ** .OP .STMLIB "Schematic1 - Copy.stl" * From [PSPICE NETLIST] section of pspiceev.ini: .lib "nom.lib"
.INC "Schematic1 - Copy.net"
R_R2 R_R4 V_V1 R_R3
**** INCLUDING "Schematic1 - Copy.net" **** * Schematics Netlist * N2 N1 150 R_R1 N4 N3 820 N1 $N_0001 100 V_V3 N3 $N_0001 5V N2 N4 15V V_V2 N2 N6 15V N6 0 100 R_R5 0 N1 150
**** RESUMING "Schematic1 - Copy.cir" **** .INC "Schematic1 - Copy.als" **** INCLUDING "Schematic1 - Copy.als" **** * Schematics Aliases * .ALIASES R_R2 R2(1=N2 2=N1 ) R_R4 R4(1=N1 2=$N_0001 ) V_V1 V1(+=N2 -=N4 ) R_R3 R3(1=N6 2=0 ) _ _(N1=N1) _ _(N3=N3) _ _(N6=N6)
R_R1 R1(1=N4 2=N3 ) V_V3 V3(+=N3 -=$N_0001 ) V_V2 V2(+=N2 -=N6 ) R_R5 R5(1=0 2=N1 ) _ _(N2=N2) _ _(N4=N4)
.ENDALIASES **** RESUMING "Schematic1 - Copy.cir" **** .probe .END **** 11/12/10 02:59:14 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ******* ************** ******* * C:\Users\TOITO\Documents\INSTITUTO TECNOLOGICO DE MORELIA\Schematic1 - Copy.sch **** SMALL SIGNAL BIAS SOLUTION TEMPERATURE = 27.000 DEG C **** ****************************************************************************** NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE ( N1) 4.8274 ( N2) 11.7820 ( N3) 8.4094 ( N4) -3.2182 ( N6) -3.2182 ($N_0001) 3.4094 VOLTAGE SOURCE CURRENTS NAME CURRENT V_V3 -1.418E-02 V_V2 -3.218E-02
V_V1
-1.418E-02
TOTAL POWER DISSIPATION 7.66E-01 WATTS **** 11/12/10 02:59:14 0 2:59:14 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\TOITO\Documents\INSTITUTO TECNOLOGICO DE MORELIA\Schematic1 - Copy.sch **** OPERATING POINT INFORMATION TEMPERATURE = 27.000 DEG C **** ****************************************************************************** JOB CONCLUDED TOTAL JOB TIME .03
CONCLUSIONES Y COMENTARIOS: Error absoluto: Es la diferencia entre el valor experimental y el valor exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor experimental o inferior (la resta sale positiva o negativa). Las unidades del error absoluto son del mismo orden que los valores que intervienen en su cálculo.
Error relativo: Es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto. Si se se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Pude ser positivo o negativo, esto lo determina el signo del error absoluto. No tiene unidades.
Porcentajes de error PSpice – Prácticos.
Los siguientes porcentajes de error se obtienen con los valores obtenidos con PSpice, estos corresponden a los valores exactos. Los valores experimentables corre sponden a los valores obtenidos mediante la medición (Prácticos) .
VALOR EXPERIMENTAL
VALOR EXACTO
Porcentajes de error Análisis Teórico – Prácticos. Los siguientes porcentajes de error se obtienen con los valores obtenidos en el análisis teórico , estos corresponden a los valores exactos. Los valores experimentables corresponden a los valores obtenidos mediante la medición.
VALOR EXPERIMENTAL
VALOR EXACTO
Porcentajes de error análisis teórico - PSpice. Los siguientes porcentajes de error se obtienen con los valores obtenidos en el análisis teórico , estos corresponden a los valores exactos. Los valores experimentables corresponden a los valores obtenidos mediante el análisis de PSpice.
VALOR EXPERIMENTAL
VALOR EXACTO
1) Los teoremas de Thévenin y Norton son una herramienta muy útil en el análisis de circuitos, ya que cuando se requieren conocer los parámetros de un elemento dentro de un sistema complejo, se pueden obtener sus equivalentes para facilitar el análisis. 2) El ángulo
indicado de la recta obtenida por el análisis en PSpice, en realidad es un
ángulo muy pequeño, solo que en las gráfica mostrada se observa un ángulo mayor debido a que la escala de corriente es diferente a la de voltaje, se tuvo que ampliar o darle un
“zoom” para observar mejor los datos, el ángulo correspondería con el de la gráfica, si la
escala fuera la misma en ambos ejes. 3) Algunos errores son negativos por que el valor exacto es mayor que el valor experimental, y algunos valores son casi nulos ya que el valor exacto y el valor experimental son aproximadamente iguales.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS: I.
Manual de Prácticas de Laboratorio de Circuitos Eléctricos I; M. I. J. Luis Lemus D.; Departamento de Ingeniería Eléctrica I.T.M.
II.
Circuitos Eléctricos de CD; M. I. J. Luis Lemus D.; Departamento de Ingeniería Eléctrica I.T.M.
III.
Fundamentos De Circuitos Eléctricos; Charles K. Alexander & Matthew N. O. O. Sadiku; 3ra. Edición; McGraw Hill
