UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
INGENIERÍA AMBIENTAL
UNIDAD 3 TAREA 7 - EJERCICIOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA, SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS GRUPO: 301301A_363
PRESENTADO POR: ELIZABETH CRISTINA TASCON - COD. 1116233166 DULCINEA CARDONA – COD COD LUZ MARITZA CORREA - COD
TUTOR DEL CURSO: PABLO EDILSON MUÑOZ CERON
PALMIRA, NOVIEMBRE 2017
INTRODUCCIÓN El conocimiento matemático imprescindible y necesario en todo ciudadano para incorporarse en forma activa y crítica en su vida social, laboral y política y para interpretar la información necesaria en la toma de decisiones y desarrollar acciones que contribuyan efectivamente en su preparación para mejor desempeño laboral y profesional; por lo tanto la enseñanza está orientada a apoyar a los estudiantes en el desarrollo de competencias matemáticas, científicas, tecnológicas, lingüísticas, ciudadanas y laborales para su futuro desempeño profesional. La geometría analítica o llamada también “Geografía Matemática” es la ciencia que combina el Álgebra y la Geometría para describir figuras geométricas planas desde el punto de vista algebraico y geométrico. Esto se podría resumir diciendo que dada gráfica, se debe encontrar una ecuación que la describa matemáticamente, o dando el modelo matemático, hacer la figura que la muestre gráficamente. En este orden de ideas, el trabajo a desarrollar será el análisis de diversas figuras geométricas como la recta, la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola, a las cuales se les describirá los parámetros que las explican claramente. Se estudiarán las ecuaciones canónicas, la general y finalmente el análisis de la ecuación general de segundo grado. Además se analizará la traslación de ejes coordenados y algunas aplicaciones de éste tipo de figuras.
Problema 1. Para los puntos a y b determinar la respectiva distancia euclidiana, para el punto c determinar la coordenada solicitada.
. , , − − √ ≈ ,
.− , , − + − √ ≈ ,
Problema 2.Demostrar que:
a. Centro b. Focos c. Vértices 4x2-9y2-16x+18y-9 = 0 4(x2-4x)-9(y2-2y) -9=0 4(x2-4x+3)-9(y2-2y+1) = 9+12-9
representa una hipérbola y determine:
4(x+2)2-9(y-1)2 = 12 [(y-1)2/2] – [(x+2)2/-12/4] = 1
Centro = (-2,1) Vertice = {(-2,1 +
√ 2
); (-2,1 -
√ 2
)}
Focos: C=
√ 2
- (12/4)
Comprobación en Geogebra:
Problema 3. Demostrar que es la ecuación de una elipse y determine: a.
Centro
b.
Focos
c.
Vértices
Ecuación canónica de una elipse
ℎ Centro
25 100 16 96 156 Factor común
25 4 16 6 156 25 4 4 4 16 6 9 9 156 25 4 4 100 16 6 9 144 156 25 2 16 3 156 100 144 25 2 16 3 400 254002 16400 3 440000 1 162 3 25 2;3
Completamos los cuadrados perfectos con respecto a
Focos
ℎ, ⟹ 2,3 3 2,6 2,6 ℎ, ⟹ 2,3 3 2,0 2,0 Vértices
1625 9
Entonces
25 ⟶ √ ±√25 ±5 16 ⟶ √ ±√ 16 ±4 9 ⟶ √ ±√ 9 ±3 h,ka ⇒ 2,3 5 2,8 2,8 h,ka ⇒ 2,3 5 2,2 2, 2 h b,k ⇒ 2 4,3 2 ,3 2 , 3 h b,k ⇒ 2 4,3 6 ,3 6 ,3
c. La distancia entre dos puntos es 7, uno de los puntos es W(3, x) y el otro es Q(7,6). ¿Cuál es el valor de la coordenada x en el punto W?.
, , ² ² ² ² ² √ √ ≈ , Problema 4. Dada la ecuación, identificar centro, vértices y focos.
7 1 9 16 25
Formulas:
- Centro(h, k) - Vértice[ (h, k + a) ; (h, k - a) ] - Focos[ (h, k + c) ; (h, k - c) ] c = √[ (a)^2 - (b)^2]
⇒
Corresponde a una elipse en el eje y Centro = (-9,7) Vértices = {(-9,7 + 7) ; (-9,7-7)} = {(-9, 14) ; (-9,0)}
Focos
√25 16 √ 9 3
Foco{(-9 , 7 + 3) ; (-9 , 7 - 3)}
Foco = Foco {(-9 , 10) ; (-7 , 4)}
Comprobación Geogebra:
Problema 5. Demostrar que la ecuación
4 64 0
Es una circunferencia. Determinar:
a. Centro b. Radio Procedemos a agrupar términos semejantes.
4 64 4 2 64 2
Completamos los respectivos cuadrados
Fórmula para completar cuadrado.
Completando el cuadrado se tiene que:
2 64 2 ℎ : , :√
Buscamos igualar a la ecuación a su forma canónica, con esto demostramos que es una circunferencia.
Reemplazando tenemos que:
Comprobación con Geogebra
Problema 6. Demostrar que la ecuación comprobar con Geogebra. Determine:
4 6 13 0
a) Vértice b) Foco c) Directriz
Igualamos la expresión:
4 6 13 0
, Representa una parábola,
Procedemos a calcular o completar el cuadrado.
La ecuación de una parábola
( ) 4x 4
4p h 3 3 , 4 4 1
Y simplificando, tenemos que:
Por lo tanto, el vértice es:
Ahora tenemos que:
Tenemos que
Ahora calculamos la directriz.
Focos
Comprobación en Geogebra
, , ,
Problema 7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto .
5.5 4.94 38.5 0 Despejamos y:
8,0
y es perpendicular a la recta
5,5 4,94 38,5 0 4,5,954 7,8 4,5,954 1 4,5,954 4,5,954 8 4,94 39,52 ,,,
Ecuación punto pendiente:
Problema 8. Una circunferencia corta al eje x en dos puntos, tiene de radio 7 unidades, el centro está en y pasa por el punto . Hallar la ecuación general de dicha circunferencia.
5,k
12,6 7 5 12 6 49 49 6 60 6
Ecuación general de la circunferencia
5 6 49 10 25 12 36 49 0
Problema 9. Resolver la siguiente sumatoria y comprobar con Geogebra.
∑=− − [50 3] [51 3] [52 3] [533] [543] [51 3] 31 2 30 2 31 2 322 332 34 2 5 3 ∑=− 3 2 12 12 85 1698 583211 279841 14 5 3 ∑=− 3 2 20542.55 Comprobación con Geogebra
Problema 10. Resolver la siguiente Productora y comprobar con Geogebra.
Desarrollo:
∏=−
∏=− 5 [1 5][0 5][1 5][2 5][3 5][4 5] 5][5 ∏=− i 5 456133269130 ∏=− i 5 447782400
Comprobación con Geogebra
CONCLUSIONES Se puede concluir que se desarrolló la competencia de describir e interpretar de una manera analítica y críticamente los diversos tipos de geometría analítica, sumatorias y productorias, esto se hizo a través de tutoriales con modelos de casos con los que se pudo resolver los problemas y comprobarlos con las herramientas del geómetra. Se analizó las diferentes gráficas y se identificó los parámetros que las identifican, se aplicó fórmulas canónicas, y fórmulas generales y campos de aplicación.
BIBLIOGRAFIAS Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 285 – 347. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/11583 Tematica: Geometría Analítica Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 348 – 354. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/11583 Tematica: Sumatorias Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 360 – 372. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/11583
