Sucesiones y Sumatorias
SUCESIÓN Es un Conjunto C onjunto de términos ordenados: ordenados: figuras, números, letras, o la combinación de ambos (alfanuméricas), etc. basada en una secuencia lógica llamada ley de formación. Esta secuencia es la que nos permite diferenciar un elemento de otro, a estos elementos se les denomina términos de la sucesión. a 1 , a 2 , a 3 .......... ....., a n 1 4 4 4 4 2 4 4 4 4 3 " n " términos
Donde : a1 = Primer término a2 = Segundo término a3 = Tercer término ................................... an = Enésimo término o último término Ejemplo:
a1 , a2 , a3,
...
,
an
5, 10, 17,
.... ,
an
En este caso la ley de formación está dada por la ecuación: Es decir, si queremos hallar el 3°, 4° y 19° término, tenemos: 52 + 1 = 26 26 a4 = a3 = 4 2 + 1 = 17 17
a n
= ( n + 1)2 + 1
a19
= 20 2 0 2 + 1 = 40 1
Serie
: Se conoce conoc e con este nombre, a la l a suma indicada de los términos de una un a sucesión: Dada una sucesión s ucesión numérica: a
1 1
,a 4
2
,a
...............,a
3 4 4 2 4 " n " t é r m i n
4
4 3
n
o s
Se define como serie a la suma indicada de estos términos S
= a 1 + a 2 + a 3 + . . . . . . . . . . . . . . . + an 1 4 4 4 4 2 4 4 4 4 3 " n " té r m in o s
Ejemplo :
Para la suma de los 20 primeros términos de la sucesión anterior tenemos: Suma = Suma = S = 2 + 5 + 10 + 17 + ... + 401
Clases de Sucesiones: Sucesiones: 1.
Sucesión Aritmética: Es Es aquella en la cual cada término se obtiene obtiene por diferencia diferencia o adición de un valor constante o variable, al término anterior. Así: a1, a2, a3, a4, a5, ...
Sucesión dada
± b1, ± b2, ± b3, ± b4,... ± c1
Primera fila de razones
± c2 ±c3
Segunda fila de razones
11
Ejemplo:
5, 6,
9, 14, a5, ...
+1
+3 + 5 +b4, ... +2
+2 +2
En este caso se usa la fórmula de la Sucesión Polinomial General, la cual es: an
= a 1 + b 1
donde: an
= 5 +1
-1
n
1!
+ c1
a1 = 5;
(n - 1)(n - 2 ) 2!
b1 = 1;
+L
y
c1= 2.
(n - 1) + 2 (n - 1)(n - 2 ) + L 1!
2!
an = n2 – 2n + 6
desarrollando se obtiene:
La cual es la ley de formación, llamado también enésimo término, que es el que da origen a cada uno de los términos que componen la sucesión: Por ejemplo, para hallar el 4º y 20º término se procede así:
Þ a4 = 14
a4 = 42 –2(4) + 6 ·
a20 = 202 – 2(20) + 6 Þ a20 = 366
Si la Razón Aritmética es constante en la primera fila de razones, a la sucesión se le denomina PROGRESIÓN ARITMÉTICA , sucesión lineal o sucesión aritmética de primer grado. Así: a1, a2, a3, a4 , a5, ... donde ± r ± r ±r
±r ±r
a1 = 1º término
r = razón aritmética = an – an-1 Ejemplo:
a1, 7, +4
a2, 11,
a3, a4, a5, ...... 15 , 19, 23 , …… +4
+4
+4
an = a1 + r(n - 1)
+4
Por ejemplo, para hallar el 5º y 20º término se procede así: a5 = 7 + 4(5-1) a5 = 23
a20 = 7 + 4(20-1) a20 = 83
La suma de los elementos de una Progresión Aritmética; se puede calcular por la fórmula: S n
a + = éê 1 ë 2
an ù
úû . n
Por ejemplo: Para sumar los cinco (5) primeros términos:
S(5) = éê 7 + 23 ùú ë 2 û
Para sumar los veinte (20) primeros términos: S(20) = éê 7 + 83 ùú ë 2 û
12
5 = 75 20 = 900
·
2.
Si la Razón Aritmética es constante en la segunda fila de razones, a la sucesión se le denomina sucesión cuadrática o sucesión aritmética de segundo grado.
Sucesión Geométrica: Es aquella en la cual cada término se obtiene por multiplicación de un valor constante o variable, al término anterior. Así:
a1, a2, a3, a4, a5, ... xb1, xb2, xb3, xb4, ... xk
Ejemplo
xk
xk
2, 4, 16, 128, a5,
...
X2, x4, x8, xb4 x2
x2
x2
Por ejemplo si se desea hallar el 5º término , se procede de la siguiente manera: Þ Primero hallamos: b4 = 2 (8) b4 = 16 Luego hallamos el quinto término: a5 = 128(16) Þ a5 = 2048 ·
Si la Razón Geométrica es constante en la primera fila de razones, a la sucesión se le denomina PROGRESIÓN GEOMÉTRICA . a1, a2, a3, a4 , a5, ... xk xk xk xk
Para hallar el término general se usa la siguiente fórmula: donde: a1 = 1º término;
an = último término;
a n
= a 1 .r n-1
r = razón geométrica =
an a n-
1
Ejemplo:
3, 6, 12 a4 , a5, ... x2 x2 x2 x2
Por ejemplo para hallar el 4º y 11º término se procede así: a1 = 3 r =2
Þ Þ
a4
= a1 .r 4-1
a4
= 3 .(2) 4 -1 = 24
a4
a11
Þ Þ
= a1 .r 11-1
= 3 .(2)11-1 a11 = 3072 a11
Para calcular la suma de los "n" primeros términos de una progresión geométrica; se utiliza la siguiente fórmula: é
n
ù
Sn = a1 ê r - 1ú êë r - 1 úû
13
3.
é 11 ù S(11) = 3 ê 2 - 1ú = 6141
4 S(4) =3 é 2 - 1ù = 45
Ejemplo :
ê ë
2
- 1 úû
êë 2 - 1 úû
Sucesión Armónica o Progresión Armónica : Es una secesión numérica en la cual se cumple que cada término a partir del segundo es media armónica del término que le precede y del término que continua. Sea la sucesión armónica: t1; t2; t3; t4; t5; ……. t
2
=
2 t .t 1
t
1
+
3
t
;
t
3
=
3
tn
En general: “
=
2 t .t 2
t
+
2
4
t
t
;
4
=
4
2 t .t
3 5
t
3
+ t5
2 t n -1 . t n + 1 t n -1
+ t n +1
Fórmula de Recurrencia”
Observación: - Para poder construir una progresión armónica debemos tener, como mínimo 2 términos consecutivos cuales quiera de la progresión. Las inversas de los términos de una progresión armónica forman una progresión aritmética (la progresión armónica no deberá tener elemento nulo). Ejemplo: 1. Si invertimos los términos la sucesión armónica:
1 4
;
1 7
;
1 10
;
1 13
;......
Obtendremos la sucesión aritmética: 4; 7; 10; 13; ……. 4.
Sucesión Combinada o mixta : Cuando en su Ley de Formación existen razones aritméticas y geométricas. Así: a1, a2, a3, a4 , a5, ... xk ±r xk ±r Ejemplo
1,
Þ Þ también:
2, 5, 10, 13, a6 a7... x2 +3 x2 +3 x2
+3
= 13(2) = 26 + 3
= 26 = 29
a6 a7
Þ Þ
a6 a7
a1, a2, a3, a4 , a5, ... xb1, xb2, xb3, xb4, ... ±k
Ejemplo
1,
±k
±k
2, 8, 48, 384, a5 ... X2, x4, x6, x8, b5 +2
+2
+2 +2
14
5.
b5 = 8+2
Þ b5 = 10
a5 = 384(10)
Þ a5 = 3840
Sucesión Alternada : Cuando sus términos pertenecen a 2 o más sucesiones que se intercalan en una sola. Así: ±c
±c
±c
a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8 , ..., an xk
xk
xk
Ejemplo: x2 2,
1,
x2
x2
4, 4,
8, 7 ,
+3
+3
x2 16,
a9
+3
a8 = 7 + 3 a9 = 16 (2) 6.
a8,
Þ a8 = 10 Þ a9 = 32
Sucesiones Literales : Sus términos están formados considerando: · · ·
El orden de las letras del abecedario. Completando alguna palabra conocida o parte de ella. Iniciales de palabras conocidas y relacionadas entre sí, según un orden establecido.
Observación: Las letras CH y LL se consideran cuando por lo menos una de ellas aparece en la sucesión o en las alternativas. Ejemplos: 1.- Hallar la letra que sigue en la siguiente sucesión: b, d, g, k,........ a) l
b) n
c) ñ
d) o
e) p
Resolución: Primero se observa si están las letras Ch y Ll tanto en la sucesión como en las alternativas al ver que están ausentes luego se elige el siguiente abecedario: a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,.... b
c +1
d
e
f +2
g
h
i
j
k
l
m
+3
n
ñ
+4
Rpta.-alternativa d 2.- Hallar la letra siguiente en la sucesión: b, d, g, j,........ a) l
b) ll
c) m
d) n
15
e) ñ
o
Resolución: Primero se observa si están las letras Ch y Ll tanto en la sucesión como en las alternativas al ver que está la letra ll en las alternativas, luego se elige el siguiente abecedario: a,b,c,ch,d,e,f,g,h,i,j,k,l,ll,m,n,.... b
c ch d e f
g
+2 +2 Rpta.-alternativa b
h i
j
+2
k l ll +2
3.- Hallar la letra siguiente en la sucesión: O, T, N, E, I, M, A, N, O, Z, A, ........ a) T
b) O
c) R
d) Q
e) P
Resolución: En este caso se nota que si leemos en sentido opuesto (de derecha a izquierda), se forma la palabra RAZONAMIENTO, por lo cual la letra que faltaría sería la R. O, T, N, E, I,
M, A, N, O, Z, A,
R
Rpta.-alternativa c 4.- Que letra completa la sucesión: E, F, M, A, M, J, ....... a) Z
b) K
c) L
d) J
e) A
Resolución: En este caso las letras son las iniciales de los meses del año, por ejemplo:E (Enero), F (Febrero), M(Marzo), A(Abril), M(mayo), J(Junio), continuaría J(Julio) Rpta.-alternativa d 6.
Sucesiones Alfanuméricas : Sus términos están formados por letras y números. Ejemplo : Hallar el término siguiente en la sucesión 3a, 5c, 7f, 9j,....... a) 16q
b) 32n
Resolución: 3 , 5 , 7, 9,... a, c, f, j,....
c) 64m
d) 16ñ
e) 11ñ
se observa que el número que sigue es se observa que la letra que sigue es la ñ
9+2=11
Entonces la respuesta es 11ñ; alternativa ( e ) 7.
Sucesiones Especiales Numéricas : Pertenecen todas aquellas sucesiones no consideradas anteriormente. Ejemplo: hallar el término siguiente en la sucesión 1, 2, 3, 5, 8, 13......... Resolución: a3
= (a1 + a 2 ) Þ a3 = (1 + 2) Þ 16
a3
=3
a7 = (a5 + a6 ) Þ a7 = (8 + 13) Þ a7 = 21 Ejemplo: hallar el sexto término en la sucesión
2, 3, 5, 7, 11, ......... a) 12
b) 13
c) 15
d) 17
e) 19
Resolución: Se observa que los números todos son primos, por lo que el siguiente primo es el trece (13) Rpta.-alternativa b 8.
Sucesión No Lineales: Son aquellas en que la razón no es constante, para resolver estos ejercicios se tiene que encontrar primero una Ley de Formación que cumpla por lo menos con los dos primeros términos de la sucesión, luego los términos restantes estarán en función de una constante “K” y el número de términos “n”. Ejemplo: ¿Qué número sigue en la sucesión? - 4; - 2; 0; 14; 52; …. a) 126
b) 136
Resolución: -4; - 2; 0; +2
+2
c) 154
14; 52; +14
d) 127
e) 129
.
…
+ 38
Los 3 primeros términos de la sucesión están formando una P.A. de razón 2, cuya fórmula general es: tn = 2n – 6. Esta fórmula sólo cumple hasta n = 3, luego a dicha fórmula le agregamos un término que sea igual a cero (se anule) para los 3 primeros términos de la sucesión. Este será de la forma: k(n–1)(n–2)(n–3). Luego la “Ley de Formación” será. tn = (2n
6) + k(n-1)(n-2)(n-3)
Calcularemos “k” haciendo: n = 4
–
t4 = (2 x 4 – 6) + k(4 – 1)(4 – 2)(4 – 3) 14 = 2 + k(3)(2)(1) 12 = 6k ® k = 2 Luego:
tn = (2n-6) + 2(n-1)(n-2)(n-3)
Se pide: t6 = (2x6–6) + 2(6-1)(6-2)(6-3) = 126 Rpta.-alternativa a Nota:
a) n! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ……n b) n! = n x (n-1) (n-2) (n-3)! c) C 0n = 1 d) C 1n = n e) C nn = 1
17
SUMATORIAS Proviene de SUMA primera operación fundamental. La notación usual es: S = sigma, usando límites superior e inferior para indicar donde empieza y termina. Definición: Si n Î Z+, a1, a2, ..., an son números reales entonces la suma de estos "n" números a k ( k Î Z + ) se denota y se expresa por: n
å a k = a1 + a 2 + L + a n
k =1
Donde: k = 1 es el límite inferior k = n es el límite superior 8
å K
2
Ejemplo:
= 32 + 4 2 + 5 2 + L + 8 2
k =3
Donde: 3 es el límite inferior K2 =Ley de formación.
8 es el límite superior
Propiedades: I.
Número de términos de una sumatoria. n
å a ; tiene [(n - R ) + 1] términos
k = R
V.
2
- (k - 1) 2 ) = 82 - 2 2
n
å
n
(ak + bk - ck ) =
k =1
Ejemplo
n
å å
ak k =1
+
k =1
k
k = 3
n
Es decir, tiene 13 términos.
å c.a
VI.
n
k
k =1
3
k =1
m
k =1
9
9
9
k =1
k =1
k =1
= cå ak , c: constante.
n
k
k
k =1
k =1
å
k
4
k =1
= 5å k 3 , k =1
VII.
å c = c(n - r + 1), c: constante k = r
Ejemplo:
5
k =1
9
å k
åa = åa
( k -h)
k
4
k =5 +1
n+h
k =0
n
k =m +1
= å k 4 +
n
5 es constante.
k
k =1
9
7
å 5k
å ck
å a = å a + å a , "n > 1
Ejemplo 7
-
Ejemplo: å (k 3 + k 2 - k ) = å k 3 + å k 2 - å k
å a ; tiene [(15 - 3) + 1] términos n
n
bk
k =1
9
15
III.
å (k k = 3
k
II.
8
Ejemplo:
, h
ÎZ
k =h
12 +3
12
å k = å (k 3
k = 0
3
- 3)
k = 3
12
å
5 = 5(12 - 4 + 1),
n +1
k = 4
VIII.
5 es constante n
IV.
å (a k =R
k
å
n
ak
=
k =1
- a( k -1) ) = an - a( R -1)
Ejemplo:
18
k
+ a n+1
k =1
8 +1
å k =1
es llamada la Propiedad “TELESCÓPICA"
åa
8
k 2
= å k 2 + (8 + 1) 2 k =1
Casos : 1. Suma de los "n" primeros números naturales positivos. n n(n + 1) k = 1+ 2 + 3 + L + n =
å
2
k =1
8
å k = 1 + 2 + 3 +
Ejemplo
L
+8 =
8(8 + 1) 2
k =1
=36
2. Suma de los "n" primeros números naturales pares positivos. n
n
k =1
k =1
å 2k = 2å k = 2(1 + 2 + 3 + 8
L
8
å 2k = 2å k = 2(1 + 2 + 3 + k =1
L
+ n) = n(n + 1)
+ 8) = 8(8 + 1) =72
k =1
3. Suma de "n" números naturales impares consecutivos. a)
n
å k =1
2
+ (2n - 1)ù 2 ú =n 2 ë û
(2k - 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + L + (2n - 1) = éê 1
o también:
1 + 3 + 5 + 7 + ... +
é1+ m ù m=ê ú ë 2 û
2
2 2 1 + 3 + 5 + 7 ... + 15 = éê 1+ 15 ùú = éê 16 ùú = ë 2 û ë2û
Ejemplo :
82
= 64
4. Suma de cuadrados de los primeros "n" números naturales positivos. n n(n + 1) (2n + 1) n(n + 1)(2n + 1) = k 2 = 12 + 2 2 + 3 2 + L + n 2 = x
å
2
k =1 8
å k
2
= 12 + 2 2 + 3 2 + L + 8 2 =
3
6
8(8 + 1)(2(8) + 1) 6
k =1
8(9)(17 )
=
6
= 204
5. Suma de cubos de los primeros "n" números naturales positivos. 2 n n(n + 1)ù é 3 3 3 3 3 k = 1 + 2 + 3 +L+ n = ê ú ë 2 û k =1
å
8
Ejemplo: å k
3
k =1
2
8(8 + 1) ù = 1 + 2 + 3 + L + 8 = éê = 36 2 = 1296 ú ë 2 û 3
3
3
3
6. Suma de infinitos términos en una Progresión Geométrica decreciente. a1
+ a 2 + a3 + a 4 + L + a n + L Suma =
a1
1 - r
Decreciente
Donde:
a1 : El 1er. término (máximo valor). Ejemplo: Hallar la suma de :
r:
E = 1 + 1 + 1 + ....... + ¥
1
3
6
a1 =
12
La razón entre 2 términos consecutivos; ;
3
x ½ x½ 1
Entonces:
E=
3 1-
1
Þ E =
2 3
2
19
r=
1 2
0
n
7.
å k (k + 1) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 +
L
+ n (n + 1) =
n(n + 1) ( n + 2)
3
k =1
Ejemplo :
7
7x8x9
k =1
3
å k(k + 1) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + L + 7x8 =
n
8.
å(
k k + 1)(k + 2) = 1 x 2 x3 + 2 x 3 x 4 + 3 x 4 x5 + L + n( n + 1)(n + 2)
=
= 168
n (n + 1) ( n + 2)( n + 3)
4
k =1
7
å
Ejemplo :
k ( k + 1)
= 1 x 2 x3 + 2 x 3 x4 + 3 x 4 x5 + L + 7 x8 x9 =
7 x 8 x 9 x10 4
k =1
= 1260
å k (k 1+ r ) = 1r éêë 1n - m 1+ r úùû m
9.
k = n
Ejemplo : Hallar E = 7 + 7 + 7 + ....... 7 5(8) 8(11) 11(14) 32(35) Solución: E = 7 éê 1 - 1 ùú = 2/5 8 - 5 ë 5 35 û 1
10. S =
1 .2 .3
+
4 (n
K = 1
12.
S
=
+
1
+ ... +
3 .4 .5
n (n
n
å
1
+
2 .3 .4
=
S
11.
1
+
n (n
+
1 a1
·
+
a2
1 )( K
+
1 )( n
+
2)
2 )...( K
1
·
a2
+ r
+
a3
+
...
+
=
1 r
æ ç ç è
P)
=
1 P
é êP ë
n ! (n
+
P )!
ù ú û
1 an - 1
+ r
S
2)
3)
1 K ( K
+ 1 )( n +
·
an
+ r
1 a
-
1
1 a
n
ö ÷ ÷ ø
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.
Encuentre a) 2
a b c x
b) 3
RESOLUCIÓN De la progresión, se cumple: Luego: 60 = a3 +37 à a = 2 También:
2b7 = b0 + cc;
2 (37) = 30 + C=4 2ab
cc
= yx + b0;
; 44 =
de la siguiente progresión aritmética: yx; ab; b 0; b 7; cc c) 4 d) 5 e) 6
2b0 = ab + b7 ® b = 3
2b7 = 30 + cc
cc
2 ( 23 ) = yx
+ 30
16 = yx ; y = 1; x = 6 a + b + c – x = 2 + 3 + 4 – 6 = 3 Rpta.- alternativa ( b )
20
2. ¿Qué número continúa? 1; 2; 4; 10; 34; 154; ____ b) 924 c) 877
a) 816 RESOLUCIÓN 1, 2,
4;
1
2
6
x2 Luego:
10;
x3
34, 154;
24 x4
120
d) 874
e) 74
…
720
x5
x6
154 + 720 = 874 Rpta.- alternativa ( d )
3. Calcule el valor de: S = 9 + 12 + 17 + 24 + ... + 177 a) 814 b) 910 c) 873 d) 913 e) 923 RESOLUCIÓN Se pide el valor de S = 9 + 12 + 17 + 24 + ... + 177 Hallamos la forma general que relaciona a todos los sumandos de S, asociando a cada uno de ellos con un término de una sucesión notable (números cuadrados, cubos, triangulares, etc.).Por ejemplo, con los cuadrados: 1° 2° 3° 4° ... 13 ° S = (1 + 8) + (4 + 8 ) + (9 + 8 ) + (16 + 8 ) + ... + (1 69 + 8 ) 2 2 2 2 2 S = (1 + 8) + (2 + 8) + (3 + 8) + (4 + 8) + ... + (13 + 8) Ordenamos la serie S así
(
S = 1
2
8 + 8 + 8 + 8 + . . . + 8) + 2 2 + 32 + 4 2 + . . . +132 ) + (1 44 4 244 4 3
144 4 4 4 244 4 4 4 3 suma de cuadrados
13 sumandos
13 x 14 x 27 + 13 x 8 6 S = 923
Rpta.- alternativa ( e )
S =
a)
2 + 6 +10 +14 + .. . + 38
S =
4. Calcular:
3 + 9 + 15 + 21 + . . . + 69
25
b)
54
24
c)
55
25
d)
27
26 53
e)
50 54
RESOLUCIÓN Se trata de dos series aritméticas:
-2
; 2
+
6
+ 10 +
# term
-3
; 3
+
9
=
38
14
+ .. . + 38 =
- (- 2 ) 4
=
69
- (- 3) 6
200 432
=
x10
= 200 (3 + 69) 2
Rpta.- alternativa ( a )
x12
= 12
= Luego : S =
2
= 10
+ 15 + .. . + 69 =
# term
(2 + 38)
432
25 54
21
