Universidad Autónoma de Querétaro Fac acul ulttad de C ont ontad adur uría ía y Admin Adminis isttrac ación ión Invest Inv estig ig ac ión de O perac ion iones, es, Ejer Ejercc icios de model modelado ado Este mater ma teriia l fue fue el e la bo rad o po porr: L.A . Diana G uz uzmán mán Me dina
Diseñó: Diana G uz uzmán mán Medina
Lic icenc enciatur iatura en en Administ Administrac ión Fac ultad de de Contadurí C ontaduría a y Administ Administrac ión Prog ogrrama de Educ ducac ación ión a Di Dis stanc ancia ia (EDAD) (EDAD) C entro Univer niversi sittario, Querét Q uerétaro, Méxic México o MMIX
De los siguientes ejercicios se te pide identificar las variables del problema, cuál es la función objetivo y sus restricciones, ergo, el modelo del problema. Ejemplo:
Reddy Mikks Company es una pequeña fábrica de pinturas que produce colorantes para interiores y exteriores de casas para su distribución al mayoreo. Se utilizan dos materiales básicos, A y B, para producir las pinturas. La disponibilidad máxima de A es de 6 toneladas diarias; y la de B es de 8 toneladas por día. Los requisitos diarios de materias primas por tonelada de pintura para interiores y exteriores se resumen en la siguiente tabla: Toneladas de materia prima por tonelada de pintura
Materia prima A Materia prima B
Exterior
Interior
1 2
2 1
Disponibilidad máxima (toneladas) 6 8
Un estudio del mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que la de pintura para exteriores en más de una tonelada. El estudio señala asimismo, que la demanda máxima de pintura para interiores está limitada a dos toneladas diarias. El precio al mayoreo por tonelada es $3,000 para la pintura de exteriores y $2,000 para la pintura de interiores. ¿Cuánta pintura para exteriores e interiores debe producir la compañía todos los días para maximizar el ingreso bruto? Paso 1: busca las incógnitas (variables) del problema: X 1 = Toneladas de pintura para exteriores producidas diariamente X 2 = Toneladas de pintura para interiores producidas diariamente
Paso 2: Establecer las restricciones que deben imponerse a las variables a fin de satisfacer
las limitaciones del sistema. El problema de Reddy Mikks impone restricciones sobre el uso de materias primas y sobre la demanda. La restricción del uso de materias primas se puede expresar en forma verbal como: ( ) ≤ ( á )
Las restricciones matemáticamente, observando los datos del problema quedarían así: + 2 ≤ 6 (Materia prima A) 2 + ≤ 8 (Materia prima B)
La restricción sobre la demanda, se expresaría en forma verbal c omo: Cantidad en exceso de pinturas para interiores sobre exteriores
≤ 1 í
Demanda de pintura para interiores
≤ 2 í
Matemáticamente: − ≤ 1 Exceso de pintura para interiores sobre exceso de pintura para exteriores ≤ 2 Demanda máxima de pintura para interiores Paso 3: Determinar cuál es el objetivo (meta) que se necesita alcanzar para determinar la
solución óptima (mejor). Como cada tonelada de pintura para exteriores se vende en $3,000, el ingreso bruto obtenido de la venta de x 1 toneladas es 3 x 1 miles de unidades monetarias. De igual manera, el ingreso que se obtiene de vende x 2 toneladas de pintura para interiores es 2 x 2 miles de unidades monetarias. Suponiendo que las ventas de pintura para exteriores e interiores son independientes, el ingreso total se convierte en la suma de los dos ingresos. Entonces la función objetivo sería:
Maximizar
= 3 + 2
El modelo asociado es: Maximizar = 3 + 2 Sujeto a (S.a) = + 2 ≤ 6 2 + ≤ 8 − ≤ 1 ≤ 2 ≥ 0, ≥ 0
Función objetivo
Restricciones Prueba de No negatividad
NOTA: La expresión verbal de las restricciones es opcional. EJERCICIOS
1. Un agricultor dispone de 300 hectáreas de tierra fértil para los cultivos A y B. El costo de A es de $80 por hectárea, mientras que el cultivo de B cuesta $120 la hectárea. El agricultor tiene un máximo de $14,800 disponibles para trabajar la tierra. Cada hectárea del cultivo A necesita 40 horas de trabajo y cada hectárea del cultivo B, 50. El agricultor dispone de un máximo de 6600 horas de trabajo. Si espera lograr una ganancia de $300 por la hectárea del cultivo A y $400 por hectárea del cultivo B, ¿Cuántas hectáreas de cada cultivo debe plantar para maximizar su ganancia?
El modelo asociado es:
2. Un fabricante de muebles tiene 12 unidades de madera y 48 horas disponibles, durante las cuales fabricará sillas decorativas. Con anterioridad, se han vendido dos modelos, de manera que se limitará a producir éstos. Estima que el modelo I requiere 4 unidades de madera y 14 horas del tiempo disponible, mientras el modelo II requiere 2 unidades de madera y 16 horas. Los precios de los modelos son $240 y $160, respectivamente. ¿Cuántas sillas de cada modelo debe fabricar si desea maximizar su ingreso e n la venta? El modelo asociado es:
3. Una firma de contadores públicos especializados en preparar liquidaciones y pago de impuestos y auditorías en empresas pequeñas. El interés es saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente, de tal manera que obtengan los máximos ingresos. Se dispone de 800 horas para trabajo directo y dirección y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y dirección y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuestos requiere de 8 horas de trabajo directo y dirección y 5 horas de revisión y produce un ingreso de 100 dls. Se pueden realizar tantas auditorías como se desee, pero el máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60. El modelo asociado es:
