TAREA #1 PROGRAMACIÓN LINEAL APLICADA Problemas 14 y 23, Capítulo 9 del texto Modelos Cuantitativos para Ingenieros, 11ed
JORGE ANDRÉS PAVÓN C. 05/07/2016
PROBLEMA 1 EJERCICO #14, PAGINA 399, METODOS CUANTITATIVOS PARA INGENIEROS, 11eEd El gerente de producción de Classic Boat Corporation debe determinar cuántas unidades del modelo Classic 21 producir durante los siguientes cuatro trimestres. La empresa tiene un inventario inicial de 100 latas Classic 21 y la demanda para los cuatro trimestres es 2 000 unidades en el trimestre 1, 4 000 en el 2, 3 000 en el 3 y 1500 en el 4. La empresa tiene una capacidad de producción limitada en cada trimestre. Es decir, hasta 4 000 unidades pueden producirse en el trimestre 1, 3 000 en el 2, 2 000 en el 3, y 4000 en el 4. Cada lata guardada en inventario en los trimestres 1 y 2 incurre en un costo de mantenimiento en inventario de $250 por unidad; el costo de mantenimiento para los trimestres 3 y 4 es $300 por unidad. Los costos de producción para el primer trimestre son $10,000 por unidad; se espera que este precio aumente 10% cada trimestre debido a los incrementos en los costos de mano de obra y del material. La gerencia especificó que el inventario final para el trimestre 4 debe ser por lo menos de 500 latas. a. Formule un modelo de programación lineal que se utilice para determinar el programa de producción que minimizará el costo total de cumplir con la demanda en cada trimestre sujeto a las capacidades de producción en cada trimestre y también al inventario final requerido en el trimestre 4. b. Resuelva el programa lineal formulado en el inciso a). Luego elabore una tabla que muestre el número de unidades a fabricar para cada trimestre, el inventario final y los costos incurridos. c. Interprete cada uno de los precios duales que corresponden a las restricciones elaboradas para satisfacer la demanda en cada trimestre. Con base en estos precios duales, ¿qué consejo le daría al gerente de producción? d. Interprete cada uno de los precios duales que corresponden a la capacidad de producción en cada trimestre.
SOLUCIÓN Resumen de Datos: ACTUAL INVENTARIO DEMANDA CAP. PRODUCCIÓN COSTO DE MTTO COSTO DE PRODUCC
1er TRIMISTRE
2do TRIMISTRE
3er TRIMISTRE
2000 4000 250 10000
4000 3000 250 11000
3000 2000 300 12100
100
4to TRIMISTRE 500 1500 4000 300 13310
Función Objetivo: 1) ¿Qué es lo que busco? Minimizar el costo total de cumplir con la demanda en cada trimestre sujeto a las capacidades de producción en cada trimestre y también al inventario final requerido en el trimestre 4. 2) Costos que se tiene: *Costos de mantenimiento *Costos de producción
3) Variables *Cantidad de producción ::: X * Inventario ::: I 4) Considerando lo anteriormente expuesto se tiene: () = ∗ + ∗
Donde, Cm = Costo de mantenimiento Cp = Costo de producción i = periodo de tiempo, siendo 1 = actual, 2 = 1er trimestre, 3 = 2do trimestre, 4 = 3er trimestre, y, 5 = 4to trimestre (min) = 10000 ∗ 2 + 11000 ∗ 3 + 12100 ∗ 4 + 13310 ∗ 5 + 250 ∗ 2 + 250 ∗ 3 + 300 ∗ 4 + 300 ∗ 5
Restricciones: 1) No negatividad X2 X3 X4 X5 I2 I3 I4 I5
>= >= >= >= >= >= >= >=
0 0 0 0 0 0 0 0
2) Demanda 2 − 1 − 2 = 2000 ∶∷ 2 − 2 = 1900 3 + 2 − 3 = 4000 4 + 3 − 4 = 3000 5 + 4 − 5 = 1500
3) Capacidad 2 ≤ 4000 3 ≤ 3000 4 ≤ 2000 5 ≤ 4000
4) Inventario 5 ≥ 500
POM-QM 1) Tabla de Datos
2) Solución Obtenida
SOLUCIONES: b)
1er TRIMISTRE 2do TRIMISTRE 3er TRIMISTRE 4to TRIMISTRE
UNID. FABRICAR
INV. FINAL
COST. PROD
COST. INV
4000
2100
10000
250
$
40.525.000,00
3000
1100
11000
250
$
33.275.000,00
2000
100
12100
300
$
24.230.000,00
1900
500
13310
300
$
25.439.000,00
COSTO TOTAL
$ 123.469.000,00 c) Teniendo en cuenta que los valores sombra para las restricciones sobre satisfacer la demanda en cada trimestre se tiene:
Precio Sombra/Unidad 1er TRIMISTRE 2do TRIMISTRE
$ $
- 12.510,00 -12.760,00
3er TRIMISTRE 4to TRIMISTRE
$ $
-13.010,00 -13.310,00
Es así que, la recomendación para el gerente es que si desea satisfacer la demanda, lo haga durante el primer trimestre donde el costo de perdida es más bajo que en los otros trimestres, sin embargo, se debe evaluar cuando ingreso nos otorgaría el aumentar en una unidad la capacidad de producción a fin de conocer si es viable económicamente dicho camino. d) Teniendo en cuenta que los valores sombra para las restricciones sobre capacidad de producción en cada trimestre se tiene: Precio Sombra/Unidad 1er TRIMISTRE 2do TRIMISTRE
$ $
2.510,00 1.760,00
3er TRIMISTRE
$
910,00
4to TRIMISTRE
$
-
Es así que, la recomendación en este caso para el gerente es que incremente su capacidad de producción durante el primer trimestre, ya que las ganancias obtenidas en aquel periodo son mayores que en los siguientes.
PROBLEMA 2 EJERCICO #23, PAGINA 404, METODOS CUANTITATIVOS PARA INGENIEROS, 11eEd EZ-Windows, Inc. fabrica ventanas de remplazo para empresas que se dedican a la remodelación de casas. En enero, la empresa produjo 15,000 ventanas y terminó el mes con 9 000 en inventario. Al equipo directivo de EZ-Windows le gustaría desarrollar un programa de producción para los tres meses siguientes. Desde luego, un programa de producción suave es deseable debido a que mantiene a los empleados actuales y proporciona una operación similar cada mes. Sin embargo, dados los pronósticos de ventas, las capacidades de producción y de almacenamiento, el equipo directivo piensa que un programa de producción suave con la misma cantidad de producción no sea posible cada mes.
El departamento de contabilidad de costos de la empresa estima que el aumento en la producción por ventana de un mes a otro incrementará los costos totales $1.00 por cada incremento unitario en el nivel de producción. Además, la disminución de la producción en una unidad de un mes al siguiente incrementará los costos totales $0.65 por cada disminución unitaria en el nivel de producción. Ignorando los costos de producción y acarreo de inventario, formule y resuelva un modelo de programación lineal que minimice el costo de cambiar los niveles de producción al tiempo que se satisfacen los pronósticos mensuales de ventas.
SOLUCIÓN Resumen de Datos: 1)
VENTAS REALIZADAS INVENTARIO PRONOSTICO DE VENTAS CAP. PRODUCCIÓN CAP. ALMACENAMIENTO
REALIZADO ENERO 6000 9000 15000
PRONÓSTICO FEBRERO MARZO
15000 14000 6000
16500 14000 6000
ABRIL
20000 18000 6000
2) $ΔProducción :: $1/unid si se incrementa de mes a mes, y, $0.65/unid si decrementa de mes a mes 3) Planeación de Producción Suave 4) Costos de producción y acarreo de inventario despreciables.
Función Objetivo: 1) ¿Qué es lo que busco? Minimizar los costos de cambiar los niveles de producción al tiempo que se satisfacen los pronósticos mensuales de ventas. 2) Planteamiento general para cada respecto a la demanda será:
(Vv) = �−1 + Donde, I = Inventario Pr = Capacidad de producción i = cada mes, siendo 1= enero, 2 = febrero, 3= marzo, y, 4 = abril 3) El costo de producción de es:
ó = ∗ Sin embargo, ya que la producción varía de un periodo de tiempo a otro (mes a mes), asumimos que ambos estados pueden coexistir entre sí en un periodo de tiempo pequeño, por lo tanto:
= + Pero como la producción tiene un costo asociado a producción en incremento o decremento respecto al mes anterior, así:
$ = $1 ∗ + $0.65 ∗
4) Utilizando la información anterior más los costos relacionados a la variabilidad en incremento o decremento y utilizando una simbología más simple se tiene:
= [( 1 + 2 + 3 + 0.65 ∗ 1 + 0.65 ∗ 2 + 0.65 ∗ 3)] Donde, X = Incremento = Pri S = Decremento = Prd
Restricciones: Si bien, la función objetivo es simple, cabe denotar que las variables de la misma están en función de otras más, por lo tanto se tiene 1) No negatividad I1 I2 I3 I4 Vv1 Vv2 Vv3 Vv4 X1 X2 X3 S1 S2 S3
>= >= >= >= >= >= >= >= >= >= >= >= >= >=
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2) Capacidad
1 = 15000 2 ≤ 14000 3 ≤ 14000 4 ≤ 18000 3) Inventario
1 = 9000 2 ≤ 6000 3 ≤ 6000 4 ≤ 6000 4) Demanda
2 2 = 6000 + 2 3 3 = 16500 3 + 4 4 = 20000
5)
I+D
2 1 + 2 = 15000 3 2 3 + 3 = 0 4 3 4 + 4 = 0 POM - QM 1) Tabla de Datos
2) Solución Obtenida
