Guia 1 Programacion Lineal

UNIVERSIDAD MAYOR FACULTAD DE INGENIERIA

GUIA 1 Ejercicio Ejercicio 1: Una fábrica puede producir dos tipos de aceite para automóviles: normal y Premium. Para obtener cada uno de estos productos se agregan tres tipos de aditivo: K1, H4 y SP, a un aceite base. La cantidad de aditivo que requiere cada tipo de aceite y la cantidad disponible disponible se muestran muestran en la siguiente tabla:

Activo

Cantidad Cantida d De Aditivo (Cm3/Lts) (Cm3/Lts) Norma l P re mium

Disponibilidad (Cm3)

K1

0. 02

0. 01

100

H4

0. 03

0. 02

70

SP

0. 02

0. 05

50

P re cio ($/Lts)

800

2. 400

a) Formul Formule e un modelo modelo de Programac Programación ión Lineal Lineal que permit permita a decidi decidirr la cantidad cantidad de cada uno de los dos tipos de aceite que es conveniente producir, de modo que no se exceda la disponibilidad de los aditivos y se maximice el ingreso total. b) Resuelva Resuelva el modelo formulado formulado en a) a) c) Determi Determine ne gráfic gráficame amente nte,, cuánto cuánto debe ser el mínim mínimo o precio precio del aceit aceite e normal normal para que sea conveniente producirlo. d) Determi Determine ne cuánto cuánto puede puede disminui disminuirr la disponib disponibili ilidad dad de K1 y H4 sin altera alterarr la solución óptima. e) Cons Consid ider ere e que un prov proveedor eedor le ofre ofrece ce 10 lts lts adic adicio iona nale les s del del aditi aditivo vo SP a un prec precio io de $500 $500.0 .000 00.. Usan Usando do el conc concep epto to de prec precio io somb sombra ra,, deci decida da si es conveniente para la fábrica aceptar esta propuesta. Justifique su respuesta.

Material confeccionado po p or Pe P edro Pe P eña Ca C arter

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UNIVERSIDAD MAYOR FACULTAD DE INGENIERIA Ejercicio 2: Una empresa ha decidido fabricar un ensamblaje de Merlot y Cabernet, la calidad de esta mezcla variará según la proporción con la que las cepas sean mezcladas. Se sabe que un litro de la cepa merlot vale en el mercado USD 10, en cambio la cepa cabernet vale USD 15. Los costos de producción equivalen a USD 10 por unidad, además asuma que no hay pérdida de material en el proceso de mezclado. La cantidad máxima que se puede mezclar en forma diaria es de 100 Litros. Se sabe además, que el precio de venta de este ensamblaje será de USD 30. Por último, por decisión técnica del enólogo a cargo, se ha determinado que la cantidad de litros de merlot usados en la mezcla, debe ser al menos el doble que la usada de cabernet y además la cantidad de litros disponible diarios de cada vino en el mercado asciende 70 Lts de Merlot y 30 de Cabernet. a) Formule un modelo de Programación Lineal que permita determinar cuánto se debe comprar de cada cepa de manera de maximizar el retorno total. b) Resuelva el modelo propuesto por usted en a) de forma gráfica. Indique claramente el dominio de puntos factibles que definen las diferentes restricciones, curvas de nivel de la función objetivo y la solución óptima del problema. c) Alternativamente, resuelva el problema mediante el Método Simplex. (Ayuda: Reformule el modelo en el formato estándar empleando sólo variables de holgura y no use dos fases) d) Determine cuánto podría variar el retorno del Merlot, manteniendo constante el precio del cabernet, de forma que la actual solución óptima no cambie. e) Si se aumentase la capacidad de producción de litros diarios de 100 a 120, ¿Cuál sería el impacto en la función objetivo?. Y Si dicha capacidad bajará de 100 a 80,¿Qué ocurriría?. Si se pudiese comprar más litros de Merlot en el mercado, ¿Hasta cuanto estaría dispuesto a comprar?.

Material confeccionado por Pedro Peña Carter

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UNIVERSIDAD MAYOR FACULTAD DE INGENIERIA Ejercicio 3: Un productor tabaquero posee 85 hectáreas (ha) de terreno para plantar dos variedades de tabacos Virginia y Procesado. La variedad Virginia tiene un ingreso de 9.600 USD/ha y necesita 3 horas/ha de uso de maquinaria y 80 horas/ha de mano de obra. Además, el Estado limita su explotación a 30 ha como máximo. La variedad Procesado tiene un ingreso de 7.500 USD/ha y utiliza 2 horas/ha de uso de maquinaria y 60 horas/ha de mano de obra. La cooperativa local le ha asignado 190 horas de uso de maquinaria, pero solo se dispone de 5.420 horas de mano de obra a 12 USD/hora. a) Formule un modelo de Programación Lineal que permita determinar cuánto se debe plantar de cada variedad de tabaco de manera de maximizar la utilidad total (Hint: Ingreso ≠ Utilidad).

b) Hallar la solución óptima y valor óptimo del modelo propuesto, mediante resolución gráfica. Indicar claramente el dominio de soluciones factibles, curvas de nivel y dirección de crecimiento de las mismas. c) Determine cuánto podría variar la utilidad por hectárea del tabaco Virginia, manteniendo constante la utilidad por hectárea del tabaco procesado, de forma que la actual solución óptima no cambie. Para este caso determine el intervalo de variación de la utilidad total. d) Si se aumentase la disponibilidad de horas máquina de 190 a 200, ¿Cuál sería el impacto en el valor óptimo encontrado por usted en b)?. Y si dicha capacidad bajará de 190 a 180, ¿Qué ocurriría?. Responda lo anterior utilizando el concepto de precio sombra. e) Si se pudiese contratar más mano de obra disponible en el mercado, ¿Cuántas horas de mano de obra en total estaría dispuesto a utilizar? ¿Cuál sería el aporte adicional de esas horas extras que utilizaría en términos monetarios? Responda lo anterior utilizando el concepto de precio sombra.


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UNIVERSIDAD MAYOR FACULTAD DE INGENIERIA Ejercicio 4: A un grupo de artesanos se le presenta la oportunidad exportar cinturones de piel de salmón al mercado europeo. Clasifican los cinturones en dos tipos A y B. A por alta calidad y B por baja calidad. De acuerdo a sus estimaciones tendrían una utilidad de 4,0 euros por cinturón tipo A y 3,0 euros por el tipo B. La confección de un cinturón tipo A les requiere el doble de tiempo que uno tipo B. Si confeccionaran sólo cinturones tipo B podrían hacer 1 000 diarios. En todo caso, el abastecimiento de piel es suficiente para confeccionar un total combinado de 800 cinturones diarios. Los cinturones usan un diferente tipo de hebilla según su calidad. Se pueden abastecer de 800 hebillas elegantes al día para los cinturones tipo A y 700 hebillas corrientes al día para los cinturones tipo B. Uno de los artesanos es un ex compañero de enseñanza media y le pide que le ayude a resolver el problema de cuántos cinturones de cada tipo fabricar para maximizar sus ganancias. a) Plantear el problema como un problema de programación lineal. Señalar, definir y explicitar (verbalizar) cada uno de los componentes del modelo b) Resuelva el modelo propuesto por usted en a) de forma gráfica. Indique claramente el dominio de puntos factibles que definen las diferentes restricciones, curvas de nivel de la función objetivo y la solución óptima del problema. Interpretar resultados según la solución gráfica. c) Resuelva Alternativamente, resuelva el problema mediante el Método Simplex. (Ayuda: reformule el modelo en el formato estándar empleando sólo variables de holgura y no use dos fases.) d) ¿Cuánto representa para el grupo de artesanos contar con un socio más que permite aumentar en un 10% la capacidad de producción? e) ¿Cómo cambia la decisión si la utilidad por cinturón tipo A aumenta en un euro por cinturón?. ¿Cuál es el límite de cambios de precios del cinturón tipo A para que no cambie la solución encontrada en b) f)

Una de las máquinas del proveedor de hebillas elegantes tiene una falla y éste sólo puede proveer 500 hebillas por semana. Modifique el programa de producción según esta limitación.


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UNIVERSIDAD MAYOR FACULTAD DE INGENIERIA Ejercicio 5 : La cadena de suministro de la firma A&P consiste de 3 plantas, 2 bodegas y 4 centros de distribución. Las capacidades de cada planta y los costos unitarios de transporte (en dólares) para la presente semana se resumen en la siguiente tabla: Bodega1 Bodega2 Capacidad Planta1

5

8

500

Planta2

9

6

500

Planta3

6

7

300

Por su parte, las unidades demandadas en cada centro de distribución y los respectivos costos de transporte (en dólares) desde ambas bodegas a estos mismos centros se muestran a continuación: Centro D.1 Centro D.2 Centro D.3 Centro D.4 Bodega1

7

5

-

5

Bodega2

4

7

8

-

demanda

200

300

400

200

Adicionalmente se permite el envío de unidades entre las bodegas a un costo de transporte de 3 dólares por unidad y, que de ser conveniente, se puede considerar el traslado directo de unidades desde la Planta2 al Centro de Distribución 3, a un costo de transporte de 10 dólares por unidad. Por último, considere que por la calidad de la ruta y conexiones no está considerado el transporte de unidades desde la Bodega1 al Centro de Distribución 3 y desde la Bodega2 al Centro de Distribución 4. Formule un modelo de Programación Lineal que permita minimizar los costos totales de transporte al tiempo que cumpla con los requerimientos de demanda y condiciones impuestas en el problema. (La formulación debe ser dada in extenso para ser implementada posteriormente en Solver de Excel)


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UNIVERSIDAD MAYOR FACULTAD DE INGENIERIA Ejercicio 6 : Un fondo de pensiones tiene los siguientes compromisos al final de cada uno de los próximos 8 años, expresados en millones de dólares:

Estas obligaciones serán cubiertas con los flujos de dinero que genera la compra de bonos (o más precisamente de una fracción de los mismos) hecha sólo al inicio del primer año, instrumentos que tienen las siguientes características:

Asuma que el dinero de los cupones (pagados al final de cada año), así como el valor del bono en su fecha de vencimiento (valor nominal al final del año de su madurez), se recibe en igual proporción a la inversión realizada en cada caso. Los dineros remanentes de cada año se pueden guardar en una cuenta bancaria que paga un 4% anual al final de cada año. Formule un modelo de Programación Lineal que permita minimizar el costo total de la inversión a realizar en la compra de bonos al inicio del primer año, de modo de dar cumplimiento a las obligaciones del horizonte de planificación.


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Ejercicio 7: Ecopetrol produce tres tipos de gasolina y cada una de estas se hace a partir de la mezcla de tres tipos de crudo. Los precios de compra por barril de crudo y los precios de venta por barril de gasolina son los siguientes:

Los tres tipos de crudo difieren en la relación de octanaje y en el contenido de sulfuros y se muestran a continuación:

A su vez, cada gasolina debe poseer ciertos estándares en cuanto a la relación de octanaje y al contenido de sulfuros la cual debe ser:

Los clientes de Ecopetrol requieren las siguientes cantidades diarias de cada una de las gasolinas:


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Hay que considerar que la refinería puede producir a lo sumo 14000 barriles diarios de crudo, además Ecopetrol sólo puede comprar 5000 barriles de cada crudo por día. Se estima que el costo de transformar un barril de crudo en uno de gasolina es de US $4. Adicionalmente se tiene la opción de hacer publicidad para estimular la venta, para lo cual se estima que cada dólar gastado en publicidad diariamente en un tipo particular de gasolina, aumenta la demanda diaria de esta en 10 barriles. Formule el problema de programación lineal que permita maximizar las utilidades diarias para Ecopetrol.


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UNIVERSIDAD MAYOR FACULTAD DE INGENIERIA Ejercicio 8: Una compañía local que opera un sistema de potencia térmica está considerando incrementar su capacidad de generación para satisfacer su demanda esperada en el periodo 2010-2014. Actualmente la compañía tiene una capacidad de generación de 600 MW que asume conservará durante dicho periodo. De acuerdo a las estimaciones, las capacidades requeridas para el periodo de planificación son las siguientes: Año

2010

Demanda estimada (MW)

670

2011 2012 2013 2014 720

800

900

1020

La compañía puede incrementar su capacidad de generación comprando la cantidad que desee de 3 tipos diferentes de generadores. El costo de adquirir, instalar y operar cada tipo de generadores se resume en la siguiente tabla: Costo de adquisición Tipo de generador e instalación MM$/MW

Costo de Operación MM$/MW/año

Carbón

50

1

Petróleo

100

0.9

Gas

170

0.8

Asuma que se puede adquirir la cantidad que se desee de cualquier tipo de generador en cualquier año. Sin embargo, una vez que un generador es adquirido en un año determinado este debe estar en funcionamiento tanto en ese periodo como en los futuros, al menos en un 50% de su capacidad. Por último, asuma que es posible no satisfacer toda la demanda en cualquier año pagando un costo de falla de 2.5MM$/MW/año. Formule un modelo de optimización que permita determinar el plan de expansión de capacidad de la compañía al mínimo costo posible.


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UNIVERSIDAD MAYOR FACULTAD DE INGENIERIA Ejercicio 9 : Dado el siguiente problema: Máx C 1 X 1  C 2 X 2  C 3 X 3

X 1  2 X 2  X 3  B1

2 X 1  X 2

 3 X 3  B2

X 1 , X 2 , X 3 

0

El gerente de operaciones que hace uso de este problema ha tomado las mejores estimaciones a su alcance para los parámetros C1, C2, C3, B1 y B2. Enseguida utilizo el método simplex, cuyos resultados se muestran en la siguiente tabla final del método (Las ultimas columnas representan las respectivas variables de holgura).

Determine los valores de los parámetros que no fueron revelados inicialmente, conjuntamente con el valor óptimo de la función objetivo.

Ejercicio 10: Suponga que se tiene un cierto problema de Programación Lineal, en variables x=(x1; x2; x3; x4) en su forma estándar, y que en la aplicación del Método Simplex se ha obtenido la siguiente tabla:

i) Identificar la solución básica y dar condiciones que garantizan la factibilidad de dicha solución básica. ii) Dar condiciones que garanticen la optimalidad de la solución básica y la unicidad de dicho óptimo. iii) Dar condiciones que garanticen que el problema es no – acotado. iv) Indicar cuáles condiciones deben darse para hacer una iteración con a1 como pivote (x1 nueva variable básica). ¿Quién deja la base? v) Hacer una iteración del Simplex con x3 como nueva variable básica, indique los supuestos necesarios.


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UNIVERSIDAD MAYOR FACULTAD DE INGENIERIA Ejercicio 11: Estudiar para los distintos valores de α si el problema: Min

αx1 + x2

s.a.

3x1 + 2x2 ≥ 6 x1 + 6x2 ≥ 8 x1, x2 ≥ 0

Tiene solución óptima y en caso afirmativo discutir si es única o son infinitas.


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