PRESENTACION La presente monografía está dirigida a la investigación y estudio de la resolución de triángulos rectángulos, como también oblicuángulos con sus diferentes casos de estudio y las distintas herramientas usadas para su resolución. Inicialmente surge la trigonometría como una disciplina integrante de la geometría, actualmente la trigonometría es independiente y forma parte de la matemática. Surge la trigonometría para resolver problemas relacionados con la navegación, agrimensura, el cálculo de distancias, trayectorias, etc. Todo en base de a la resolución de triángulos estableciéndose relaciones entre las longitudes de los lados de un triángulo y las medidas angulares del mismo, estableciéndose de esta manera las herramientas para su resolución como las funciones trigonométricas, el teorema de !itágoras, el teorema de los senos, el teorema de los cosenos y el teorema de la sumatoria de los ángulos internos. "ctualmente la trigonometría se aplican en diferentes campos de conocimiento, sean estas teorías o practicas# su aplicación la podemos observar en toda clase de fenómenos, por e$emplo en los vibratorios como la ac%stica# la electricidad y por supuesto la investigación atómica. !or los &ue la suma de los tres ángulos de un triángulo es '()*. +os de los ángulos son, necesariamente, agudos. l tercero puede ser también agudo, o bien recto u obtuso. Si los tres ángulos son agudos el triángulo se llama acutángulo, si tiene un ángulo recto, rectángulo y obtusángulo si el mayor de sus ángulos es obtuso.
Página 1
OBJETIVOS
Objetivo Holístico. "sumir la importancia de los triángulos en la resolución de problemas &ue se presentan en nuestra vida cotidiana.
Objetivo especifico
•
stablecer un procedimiento a seguir en la resolución de triángulos. stabl stablecer ecer la aplica aplicació ción n prácti práctica ca de los triáng triángulos ulos emplea empleando ndo diverso diversoss
•
materiales. +eterminar +eterminar los diferente diferentess casos &ue se pueden presentar presentar en la resolución resolución
•
de triángulos. +ar e$emplos para una me$or comprensión de la resolución de triángulos
•
JUSTIICACI!N.
Página 2
n la trigonometría esta se basa en una metodología activa con procesos
n la trigonometría esta se basa en una metodología activa con procesos interactivos, utili-ando gráficos dinámicos y diversos recursos &ue contribuyen al aprendi-a$e por descubrimiento y facilita el traba$o para un me$or entendimiento. l informe presentado siguiente va a dar un conocimiento general sobre lo &ue es la resolución de triángulos y sus aplicaciones. n el cual se dará las pautas necesarias para poder resolver los e$ercicios y así poder aplicarlos en la vida diaria. s necesario acordar &ue en el siguiente traba$o abordaremos temas de gran importancia en las matemáticas específicamente en el área de trigonometría donde daremos a conocer los temas de resolución.
"ATERIA#ES "$te%i$les p$%$ el p%o&ecto Página 3
•
o$as bon
•
o$as bon
•
/lips
•
0olígrafos
•
Lápices
"$te%i$l p$%$ l$s $plic$cio'es •
•
•
1enesta "serrín 2b$etos
"$te%i$les p$%$ l$ e(posici)' •
!aleógrafos
•
3a&uetas
•
3anteles
•
3esa
•
Silla
•
4arpa
•
o$as blancas y color
He%%$*ie't$s •
Ti$eras
•
5eglas
•
Transportadores
•
Lápices
•
!egamento
•
Scorch
Página 4
"ARCO TE!RICO RESO#UCI!N +E TRI,NU#OS . TRI,NU#O Se denomina así a la figura geométrica plana determinada por tres segmentos &ue se interceptan en sus e6tremos, es decir, de tres lados y tres ángulos. /.
E#E"ENTOS Los elementos de un triánguloson Los ángulos ",0 y 4 7&ue siempre se representan en letrasmay%sculas8 Los ladosa, b
y c 7&ue se representan en letras min%sculas8
V:%tices
#$4os
Son los puntos de origen de los segmentos.
Son los segmentos de la poligonal. Se designan por las dos letras de sus e6tremos coronadas por un pe&ue9o tra-o
Se nombran con may%sculas A8 B8 C ... ;.
letras
0.
:
:
:
"0,
04,
4",
...
:
:
;<,
<=
por una letra min%scula 7$8 b8 $
c9 &ue vértice
opuesto 7A8 B8 C9.
C#ASIICACION +E TRI,NU#OS Seg%n el punto de vista e6isten dos formas de clasificar a los triángulos.
0..
Se12' s3s l$4os Se puede clasificar en
0... T%i5'13lo e63il5te%o
Son a&uellos ánguloscuyos tres lados tienen la misma medida,son iguales.
0./. T%i$'13lo is)sceles Se denominaasí a a&uel triangulo &ue tiene solo dos lados iguales.
Página 5
$
c 7es 4isti'to9 0./.. T%i$'13lo esc$le'o Se denomina así al triangulo &ue tiene sus tres lados diferentes.
$>b>c
0.0. Se12' s3s 5'13los !odemos clasificar en Triángulos rectángulos Triángulos oblicuángulos • •
=. Cl$ses 4e 5'13los =.. A'13lo $134o Se denominaasí a a&uel ángulo &ue mide menos de >)*
Página 6
=./. A'13lo obt3so Se denominaasí al ángulo &ue mide más de >)* 4.2.1. T%i5'13los
4.2.1.1.
%ect5'13los
+efi'ici)'
n geometría, se llama t%i5'13lo %ect5'13lo a todo triángulo &ue posee un ángulo recto, es decir, un ángulo de >) grados. Las ra-ones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo es un enfo&ue de la trigonometría plana. n particular, en un triángulo rectángulo, se cumple el llamado teorema de !itágoras ya conocido por los babilonios.
=./../. Ele*e'tos
4e los t%i5'13los %ect5'13los
los principales elementos del triángulo rectángulo son
Página 7
a =
es la hipotenusa,
b=
el cateto mayor,
c=
el cateto menor, la altura relativa a la hipotenusa,
h= m=
la proyección del cateto b y
n=
la proyección del cateto c.
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto. Se llaman catetos a los dos lados menores, los &ue conforman el ángulo recto. Solo si la medida de los tres lados son n%meros enteros, estos constituyen un trío de nombre terna pitagórica.
=./..0.
P%opie4$4es
•
Todo triángulo rectángulo tiene e6actamente dos ángulos agudos.
•
La hipotenusa es mayor &ue cual&uiera de los catetos.
•
La hipotenusa es menor &ue la suma de los dos catetos.
•
!ara efectos de área, un cateto cual&uiera se puede considerar como base y el otro cateto como altura.
=./..=.
Tipos 4e t%i5'13lo %ect5'13lo
Página 8
6isten dos tipos de triángulo rectángulo •
T%i5'13lo %ect5'13lo is)sceles los dos catetos son de la misma longitud, los ángulos interiores son de ?@A?@A>). n este tipo de triángulo, la hipotenusa mide
veces la longitud del cateto.
Triángulo rectángulo isósceles. •
T%i5'13lo %ect5'13lo esc$le'o los tres lados y los tres ángulos tienen diferente medida. Bn caso particular es a&uél cuyos ángulos interiores miden C)AD)A>), en este tipo de triángulo, la hipotenusa mide el doble del cateto menor, y el cateto mayor
veces la longitud del cateto menor.
Triángulo rectángulo escaleno. •
T%i5'13lo %ect5'13lo 4e l$4os co'sec3tivos las medidas de sus lados tienen C, ? y @ unidades de longitud. "parece en las culturas del cercano oriente 0abilonia y gipto. istórico, %til y didáctico, adaptable a un geo plano.Sin lados consecutivos es el triángulo de lados &ue miden @,'E y 'C unidades de longitud, menos conocido &ue el anterior.
=./..?.
RESO#UCI!N +E TRI,NU#OS RECT,NU#OS
Página 9
5esolver un triángulo consiste en dados tres elementos y entre ellos almenos uno deberá ser lado hallar los restantes tres elementos. Tratándose de un triángulo rectángulo esté tiene un dato implícito &ue es el ángulo de >)*. !or lo tanto para resolver esta clase de triángulossolo es necesario conocer Fdos elementos y entre ellos almenos uno tiene &ue ser lado.
=./..?.. P%opie4$4es
p$%$ l$ %esol3ci)' 4e t%i5'13los
%ect5'13los
a
Teo%e*$ 4e Pit51o%$s
2
2
+ b =c
Sen ∝=
cat op× ∝ hip
cos ∝=
cat ady × ∝ hip
Ty ∝=
3'cio'es t%i1o'o*:t%ic$s
catop× ∝ cat ady × ∝
=
cat ady × ∝ catop×α
Sec ∝=
hip cat ady ×α
Csc ∝=
hip cat op× α
Cty ∝
Teo%e*$ 4e l$ s3*$to%i$ 4e 5'13los
2
a + b + c =180 º
=./..?... El teo%e*$ 4e Pit51o%$s l teorema de !itágoras establece &ue en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa 7el lado de mayor longitud del triángulo
Página 10
rectángulo8 es igual a la suma de los cuadrados de los catetos 7los dos lados menores del triángulo, los &ue conforman el ángulo recto8.
=./..?../. 3'cio'es t%i1o'o*:t%ic$s Las funciones trigonométricas se definen com%nmente como el cociente entre dos
lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son e6tensiones del concepto de ra-ón trigonométrica en un triángulo rectángulo tra-ado en una circunferencia unitaria 7de radio unidad8. +efiniciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su e6tensión a valores positivos y negativos, e incluso a n%meros comple$os. 6isten seis funciones trigonométricas básicas. Las %ltimas cuatro, se definen en relación
de
las
dos
primeras
funciones,
aun&ue
se
pueden
definir
geométricamente o por medio de sus relaciones. "lgunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utili-an actualmente# por e$emplo el ver seno 7' G cos H8 y la e6 secante 7sec H G '8. /unción
"breviatura
Seno
sin 7sen8
4oseno
4os
Tangente
tan
4otangente
ctg 7cot8
Secante
Sec
4osecante
csc 7cosec8
Página 11
!ara definir las ra-ones trigonométricas del ángulodel vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario &ue contiene a este ángulo. l nombre de los lados de este triángulo rectángulo &ue se usará en los sucesivo será •
La hipotenusa 7h8 es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
•
l cateto opuesto 7a8 es el lado opuesto al ángulo
•
l cateto adyacente 7b8 es el lado adyacente al ángulo
.
.
Todos los triángulos considerados se encuentran en el !lano uclidiano, por lo &ue la suma de sus ángulos internos es igual a radianes 7o '()J8. n consecuencia, en cual&uier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre ) y KE radianes. Las definiciones &ue se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango '8 l seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa l valor de esta relación no depende del tama9o del triángulo rectángulo &ue eli$amos, siempre &ue tenga el mismo ángulo
, en cuyo caso se trata de
triángulos seme$antes. E8 l coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa
Página 12
C8 La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente
?8 La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto
@8 La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente
D8 La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto
=./..?..0. Teo%e*$ 4e l$ s3*$to%i$ 4e 5'13los la suma de los ángulos internos de un triangulo suman '() grados, es decir, en cual&uier triangulo sumas el valor de sus tres ángulos internos y esta te dará siempre '() grados, ósea &ue si tienes el valor de dos de estos ángulos el tercero lo encuentras restándole a '() la suma de los ángulos &ue conoces. " 0 4 M '()* =./..@. CASOS +E ESTU+IO PARA #A RESO#UCI!N +E TRI,NU#OS
RECT,NU#OS !ara la resolución de los triángulos rectángulos se nos puede presentar los siguientes casos
CASO +ATOS CONOCI+OS I +ado la hipotenusa y un ángulo agudo Página 13
II
+ados un ángulo agudo y un cateto
III
+ado la hipotenusa y un cateto
IV
+ado un cateto y el otro cateto
$emplos
=./...
,REA +E# TRIANU#O
l 5%e$ 4e 3' t%i5'13lo es igual a b$se po% $lt3%$ p$%ti4o po% / .
#$ $lt3%$ es la %ect$ pe%pe'4ic3l$% tra-ada desde un v:%tice $l l$4o op3esto 7o su prolongación8.
=./...
PER"ETRO +E UN TRIANU#O
n matemáticas, el pe%í*et%o es la suma de las longitudes de los lados de una figura geométrica. l perímetro es la distancia alrededor de una figura de dos dimensiones, o la medición de la distancia en torno a algo# la longitud de la frontera. La palabra viene del griego peri 7alrededor8 y metro 7medida8. l término puede ser utili-ado tanto para la distancia o longitud, como para la longitud del contorno Página 14
de una forma. l perímetro de un círculo se llama longitud de la circunferencia.La mitad del perímetro es el semiperímetro. 4alculando el perímetro tiene considerables aplicaciones prácticas. l perímetro se puede utili-ar para calcular la longitud de la valla re&uerida para rodear un patio o $ardín. l perímetro de una rueda 7la circunferencia8 describe hasta dónde va a rodar en una revolución. +el mismo modo, la cantidad de la herida cadena alrededor de un carrete está relacionada con el perímetro de la bobina. l pe%í*et%o 4e 3' t%i5'13lo es igual a la s3*$ de sus tres l$4os.
T%i5'13lo E63il5te%o
T%i5'13lo Is)sceles
T%i5'13lo Esc$le'o
=././.T%i5'13los oblic35'13los Bn triángulo oblicuángulo es a&uel &ue no es recto ninguno de sus ángulos, por lo &ue no se puede resolver directamente por el teorema de !itágoras, el triángulo oblicuángulo se resuelve por leyes de senos y de cosenos, así como el &ue la suma de todos los ángulos internos de un triángulo suman '() grados.
=././..
E#E"ENTOS +E UN TRI,NU#O OB#ICU,NU#O
Los elementos de un triángulo oblicuángulo son los tresángulos", 0 y 4 y los treslados respectivos, opuestos a los anteriores, a, b y c. Página 15
=./././. RESO#UCI!N +E
TRI,NU#OS OB#ICU,NU#OS
La resolución de triángulos oblicuángulos consiste en hallar tres de sus elementos, lados o ángulos, cuando se conocen los otros tres 7uno de los cuales ha de ser un lado8. sta unidad didáctica pretende &ue el alumno se familiarice con los distintos casos de resolución y llegue a ad&uirir la habilidad para saber de antemano si el problema va a tener o no solución y cuantas soluciones puede encontrar. La posibilidad de manipulación de los elementos hasta llegar a la construcción del Triángulo facilitará la comprensión de las propiedades &ue han de cumplir los elementos de un triángulo cual&uiera
=././.0. HERRRA"IENTAS PARA #A RESO#UCI!N TRI,NU#OS OB#ICU,NU#OS
Teo%e*$ 4e l$ s3*$to%i$ 4e 5'13los A D B D C < F Página 16
+E
Teo%e*$ 4el se'o $/ < b/ D c/ - /GbGcGCos A b/ < $/ D c/ - /G$GcGCos B
Teo%e*$ 4el cose'o
c/ < $/ D b/ - /G$GbGCos C
$9 Teo%e*$ 4e l$ s3*$to%i$ 4e 5'13los La suma de los ángulos internos de un triangulo suman '() grados, es decir, en cual&uier triangulo sumas el valor de sus tres ángulos internos y esta te dará siempre '() grados, ósea &ue si tienes el valor de dos de estos ángulos el tercero lo encuentras restándole a '() la suma de los ángulos &ue conoces.
AD B DC < F b9 Teo%e*$ 4el se'o n trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos. Bsualmente se presenta de la siguiente forma
Si en un triángulo ABC , las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c , entonces
Página 17
c9 Teo%e*$ 4el cose'o
l teorema del coseno es una generali-ación del teorema de !itágoras en los triángulos rectángulos &ue se utili-a, normalmente, en trigonometría. l teorema relaciona un lado de un triángulo cual&uiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados +ado un triángulo "04, siendo N, O, P, los ángulos, y a, b, c , los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces
n la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominación no obstante relativamente tardía. n francés, sin embargo, lleva el nombre del matemático persa Qhiyath alARashi &ue unificó los resultados de sus predecesores.'
Página 18
=././.0. CASOS +E ESTU+IO PARA #A RESO#UCI!N +E TRI,NU#OS OB#ICU,NU#OS =././.=. CASO +ATOS CONOCI+OS
INC!NITAS
I
#os t%es l$4os $8 b8 c
#os t%es 5'13los A8 B8 C
II
U' l$4o & los 5'13los $4&$ce'tes $8 B8 C
+os l$4os & 3' 5'13lo b8 c8 A
III
+os l$4os & el 5'13lo fo%*$4o $8 b8 C
U' l$4o & 4os 5'13los c8 A8 B
IV
+os l$4os & el 5'13lo op3esto $ 3'o 4e ellos $8 b8 A
C$so . Resolve% 3' t%i5'13lo co'ocie'4o los t%es l$4os
Página 19
C$so /. Resolve% 3' t%i5'13lo co'ocie'4o 3' l$4o & 4os 5'13los $4&$ce'tes $ :l
C$so 0. Resolve% 3' t%i5'13lo co'ocie'4o 4os l$4os & el 5'13lo co*p%e'4i4o
Página 20
C$so =. Resolve% 3' t%i5'13lo co'ocie'4o 4os l$4os & 3' 5'13lo op3esto
sen 0 '. o hay solución sen 0 M ' Triángulo rectángulo sen 0 U '. Bna o dos soluciones
Alt3%$ +ado un triángulo se denomina altura al segmento &ue une al vértice con su lado opuesto a su prolongación y es perpendicular a
Suponemos conocidos los lados a y b y el ángulo " opuesto al lado a. l lado a es un segmento unido por un e6tremo al lado b y &ue podemos girar libremente pinchando el e6tremo 0 del mismo y arrastrando ya representa este un control. La distancia hMb.sen " entre el vértice 4 y la recta " es determinante para &ue se pueda o no formar el triángulo. $9 Si el 5'13lo op3esto 4$4o es *e'o% 63e le $lt3%$ & $4e*5s es *e'o% 63e el ot%o l$4o 4$4o e'to'ces 'o $& t%i$'13lo 63e se fo%*e & po% lo t$'to 'o e(iste sol3ci)'.
b
b
Página 21
∄
b9
c9
49
B=hyb
Byhyb
B>a
=>
Página 22
∃
∃
∃
2
3
E' 3' $'13lo obt3so e9
f9
B y a => ∃ solución
B < a => no tiene
Página 23
APLICACIONES Este material aser! n!s ay"#ara a $!#er me#ir a las $ers!nas l!s !b%et!s& et' !n este material $!#rem!s #em!strar la im$!rtania ("e tiene el est"#i! #e la res!l"i)n #e triáng"l!s'
Mateiales
*a#eras Pegament! +n t"b! ret! +n trans$!rta#!r ,"eras
2"a!ea
#tans$ota! o
Poce!i"iento 1' - "na ma#era $lana !lar el !tr! #e#a.! #e ma#era al entr!' 2' En la $arte #e arriba #e $!ner el trans$!rta#!r !n la t"era y el t"b! $ara ("e el t"b! y el trans$!rta#!r tengan m!/imient!' 3' P!nerl! en a$liai)n !ta el trans$!rta#!r n! tiene ("e estar s"el! a$retar la t"era'
Página 24
CONC#USI!N.
Se puede apreciar &ue la resolución de triángulos son muy importantes para poder encontrar medidas &ue no se pueden resolver directamente o &ue poseen obstáculos de por medio como un cerro, un lago, etc. Las diferentes formas de resolución y sus herramientas son elementos fundamentales para dar solución y &ue facilitan el encontrar la respuesta a nuestra incógnita, si la persona tiene el conocimiento de las herramientas y los elementos de la resolución de triángulos podrá resolver estos e$ercicios y aplicarlos en la vida con facilidad.
Página 25
RECO"EN+ACIONES.
!ara tener é6ito en la resolución de triángulos debe conocer previamente los diferentes casos &ue se puedan presentar al resolver esta clase de e$ ercicios. !ara tener una me$or comprensión y aplicación del tema es necesario los conceptos básicos y las herramientas utili-adas en la resolución de triángulos, si estas no se aplican adecuadamente no se llegara al resultado esperado e6acto. s necesario tener conocimientos anteriores al tema como la manipulación algebraica ya &ue es una habilidad básica y necesaria para estudiar cual&uier rama de la matemática.
Página 26
BIB#IORAIA
•
S4"B3. Trigonometría plana y esférica, +IT25I"L LI05T"+.
•
5!T2, 4elina. análisis matemático.
•
•
•
L2+2V2, elson# 0+2<" ernando. 3atemática progresiva, ditorial orma. 4olombia '>(?.
KKWWW.WiXipedia.com KK matemáticas resolución de triángulos rectángulosKK
KKWWW.WiXipedia.com oblicuángulosKK
KK
matemáticas
Página 27
resolución
de
triángulos
