Institución Educativa Municipal Ciudad de Pasto
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TALLER
ÁREA
MATEMATICAS MATEM ATICAS
GRADO
DOCENTE
JORGE FIGUEROA MONTENEGRO
DIEZ
PERIO DO
I
TALLER Nº
5
RELACIONES T RIGONO RIGONOMETRTICAS METRTICAS EN EL TRIANGULO RECTANGULO ACTIVI AC TIVIDA DAD: D:
¿Cómo se clasifican los triángulos respecto de sus lados lados y de sus ángulos? (Representa gráficamente)
¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un triángulo?
¿Qué es una razón matemática?
¿Qué es un triángulo rectángulo?
ELEMENTOS DEL TRIANGULO RECTANGULO. Tipos de triángulos rectángulos Existen dos tipos de triángulo rectángulo:
Triángulo rectángulo i sósceles sósceles : los dos catetos son de la misma longitud, los ángulos interiores son de 45-45-90. En este tipo de triángulo, la hipotenusa mide
veces la longitud del cateto.
Triángulo rectángulo escaleno : los tres lados y los tres ángulos tienen diferente medida. Un caso particular es aquél cuyos ángulos interiores miden 30-60-90, en este tipo de triángulo, la hipotenusa mide el doble del cateto menor, y el cateto mayor longitud del cateto menor.
veces la
Teor Teor ema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Pitágoras ( c²=a²+b² c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas De la ecuación pitagórica se deducen las siguientes fórmulas:
ACTIVI AC TIVIDA DAD: D: 1. La hipotenusa de un triángulo triángulo rectángulo mide 30 cm y uno de sus catetos mide 10.8 cm. Hallar la medida del otro cateto. 2. En un triángulo rectángulo se sabe que la medida de sus catetos es respectivamente 8.5 cm y 15 cm. Calcular la medida de la hipotenusa. 3. Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared? 4. Un terreno tiene forma de un triángulo rectángulo, el lado más largo mide 25 m y otro de sus lados mi de 15 m. se desea colar una malla al rededor. ¿Cuántos metros de malla se necesitan? 5. Se ha extendido un cuerda desde lo alto de un árbol hasta el piso. Si el árbol tiene una altura de 4,35 m y la del pie del árbol al punto sobre el piso es 5,25 m. ¿Cuál es la medida de la cuerda?
Án Á n g u l o s y l ado ad o s en el t r i áng án g u lo r ect ec t áng án g u l o En todo triángulo rectángulo, se identifica para los ángulos agudos:
Cateto Cateto opu esto al ángul ángul o: Es el lado que está al frente del ángulo. Cateto Cateto adyacente al ángulo : Es el lado que forma el ángulo. Hipotenusa: Es el lado más largo del triángulo. Observar la gráfica.
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ACTIVIDAD: Al observar un trián gulo rectángul o, sus vértices se nombran con letras mayúsculas y el lado opuesto con la minúscula que le corresponde a ese vértice. Los ángulos pueden nombrarse con la letra del vértice o con las letras griegas, etc. De esta manera indicar para cada ángulo agudo de cada triángulo cuales son: cateto opuesto, cateto adyacente y la hipotenusa correspondientes.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Los cocientes entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, se denominan razones trigonométricas. Cada una recibe un nombre especial. Observemos en el triángulo:
ACTIVIDAD 1. Determinar las razones trigonométricas de los ángulos agudos en los siguientes triángulos rectángulos:
2. En un triángulo rectángulo se sabe que tan
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3. Se sabe que en un triángulo rectángulo el sen
, determinar las demás razones trigonométricas.
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encontrar las demás razones trigonométricas.
4. Observar la gráfica y calcular los valores que faltan. A=90º , B= 35º , a=18 cm , b=? , c=? , C=? (Sugerencia: utilice las razones trigonométricas)
SOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS Solucionar un triángulo es hallar la lo ngitud de todos sus lados, la medida de sus ángulos, el perímetro y su área.
Caso I: Se conocen un ángulo agudo y la hipotenusa.
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Ejemplo: Resolver el triángulo conociendo: a = 45 m y B = 22°. C = 90° - 22° = 68° b = a sen 22°
b = 45 · 0.3746 = 16.85 m
c = a cos 22°
c = 45 · 0.9272 = 41.72 m
Caso II: Se conoce un cateto y un ángulo agudo.
Resolver el triángulo conociendo: b = 5.2 m y B = 37º C = 90° - 37° = 53º a = b/sen B
a = 5.2/0.6018 = 8.64 m
c = b · cotg B c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m
Caso III: Se conoce la hipotenusa y un cateto.
Resolver el triángulo conociendo: a = 415 cm y b = 280 cm. sen B = 280/415 = 0.6747
B = arc sen 0.6747 = 42° 25′
C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′ c = a cos B c = 415 · 0.7381 = 306. 31 cm
Caso IV: Se conocen los dos catetos.
Resolver el triángulo conociendo: b = 33 cm y c = 21 cm tg B = 33/21 = 1.5714
B = 57° 32′
C = 90° − 57° 32′ = 32° 28′
a = b/sen B a = 33/0.8347 = 39.12 m
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RESOLUCION DE PROBLEMAS CON TRIANGULOS RECTANGULOS La trigonometría de los triángulos rectángulos se utiliza frecuentemente para encontrar la altura de un objeto de manera indirecta. De Igual manera figuras geométricas donde esté presente triángulos rectángulos. Para resolver un problema de este tipo, mide el ángulo desde la horizontal hasta tu recta de visión, cuando veas la parte superior o inferior del objeto. Si miras hacia arriba, medirás el ángulo de elevación. Si miras hacia abajo, medirás el ángulo de depresión.
ACTIVIDAD: Utilizando la modelación matemática resolver las siguientes situaciones relacionadas con un triángulo rectángulo. 1. Hallar el perímetro y el área de la siguientes figuras:
2. Una escalera de 3,2 m de longitud se recuesta sobre una pared formando con el piso un ángulo de elevación de 38º. ¿Cuánto mide la pared?
3. Calcular la aproximadamente medida del ángulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante que va, desde la punta del poste hasta el piso, y que tiene un largo de 13.75 m 4. Desde un punto de observación situado a 5 m del pie de un árbol se observa la parte superior de este con un ángulo de elevación de 50º. Calcular su altura.
5. Un árbol está sostenido por un alambre que se extiende desde 1.5 pies debajo de la parte superior del árbol hasta una estaca en el suelo. El alambre mide 24 pies de largo y forma un ángulo de 58° con el suelo. ¿Qué altura tiene el árbol? 6. Un dirigible que está volando a 80 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 20°. ¿A qué distancia del pueblo se halla? (Haz el dibujo) 7. Desde un punto, situado a cierta distancia de una torre de 160 m. de altura, se mide su ángulo de elevación resultando éste de 58º. ¿A qué distancia está el punto de observación? (Haz el dibujo) 8. Calcula la altura de la torre si el observador está a 7 m de la base de la torre, el ángulo de elevación con el que está observando la cúspide es de 60° y la altura del observador es de 1,8 m. 9. Un edificio proyecta una sombra de 150 m. cuando el sol forma un ángulo de 20º 30' sobre el hori zonte. Calcular la altura del edificio. 10. El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de depresión de 12°. Un buzo es bajado 40 metros hasta el fondo del mar. ¿Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontra r los restos del naufragio?
