Escuela de Física
Profesor: Cristian David Ariza Ariza
TALLER FISICA 2 (22953)
N°6, CAMPO MAGNETICO TEMA: CAPÍTULO V. CAMPO MAGNÉTICO (2 semanas) Magnetismo, imanes, flujo magnético. Definición de B: Ley de Biot-Savart . Cálculo de B debido al conductor largo rectilíneo. Cálculo de B debido a: espira circular, solenoide. Ley circuital de Ampere . Aplicaciones de la Ley de Ampere. Fuerza magnética sobre cargas aisladas en movimiento; fuerza de Lorentz . Trayectoria de las partículas cargadas en un campo magnético externo. Fuerza magnética sobre un elemento de corriente en un campo magnético externo. Par y energía de una espira en un campo magnético externo. Fuerza entre elementos de corriente. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A) 1.
4.
Un disco metálico puede girar alrededor de un eje EE‘. Se instala una pila en la forma de la figura, estableciendo los contactos con la periferia de la rueda y con el eje por medio de escobillas que permiten el giro de la rueda sin perder el contacto. La corriente circula en el sentido de la flecha, el radio OA hace de conductor. Puesta la rueda en un campo magnético cuya dirección es la del eje, se pone a girar sola. ¿Por qué?
FUERZA DE LORENTZ: APLICACIONES
Un alambre homogéneo de 50 cm de longitud y 10 g de masa, por el que circula una intensidad de corriente I , se encuentra «sumergido» en un campo magnético de inducción B = 0,2 T (perpendicular al plano de la figura y que entra en la página). Determinar la magnitud y dirección de I para que se mantenga en equilibrio y no caiga por su peso.
5.
2.
Un hilo conductor DF por el que circula una corriente producida por la pila P se puede deslizar a lo largo de los hilos CD y EF sobre los que descansa. Variamos la posición del cuadro, poniéndolo vertical. Si la intensidad de la corriente es adecuada, el hilo DF no caería. ¿Por qué?
3.
En la experiencia del problema anterior realizada en el vacío la inducción magnética B es de 1,96 X 10 .-2 T y la intensidad de la corriente es 5 A. Calcular la masa de cada cm del hilo DF para que no caiga por su peso.
La masa de la rueda de Barlow del problema anterior es de 20 g. La experiencia se hace en el vacío; el campo magnético es de 2 X 10 .-3 T y la intensidad de la corriente es de 1 A (ambos los supondremos constantes con el tiempo). Calcular la velocidad angular de la rueda a los 10 s de iniciado su movimiento. En el platillo de una balanza de Cotton 6. colocamos una pila de FEM 1 V que alimenta un circuito de resistencia total 1 Ω . El circuito está en el seno de un campo magnético producido por un electroimán NS de forma que la inducción magnética entre sus polos es perpendicular a los hilos que hay entre las piezas polares. Antes de establecer contacto entre pila y circuito se coloca en el otro platillo de la balanza una tara, de mayor masa que la existente en A , y se equilibra la balanza mediante pesas de masa M 1 = 15,830 g. Se hace circular la corriente y para mantener el equilibrio de la balanza hay que modificar las pesas de A ; la masa de ellas, conseguido el equilibrio, es M 2 2 = 15,730 g. La longitud del hilo EF es 9,8 cm. La experiencia se realiza en vacío. Calcular la introducción magnética entre los polos del electroimán.
1
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7.
El cuadro rectangular de la figura adjunta puede girar alrededor del eje Z y transporta una corriente de 10 A en el sentido indicado. 1) Si el cuadro se encuentra en un campo magnético uniforme de inducción 0,2 T paralelo al eje Y , calcular la fuerza ejercida sobre cada lado del cuadro y el momento necesario para mantener el cuadro en la posición indicada. 2) La misma cuestión cuando el campo es paralelo al eje X . 3) ¿Qué momento sería necesario aplicar al cuadro para que permaneciera en equilibrio en el caso en que éste pudiese girar alrededor de un eje que pasase por su centro, paralelamente al eje Z?
8.
Por una bobina circular de 3 cm de radio que posee 15 espiras, circula una corriente de 1 A. ¿Cuánto trabajo se necesita para hacerla girar en el interior de un campo magnético externo de inducción 2 T, desde una posición en que ϕ = 0 , hasta otra en la que ϕ = π rad? ( ϕ es el ángulo que forma la normal al plano de la espira con el vector inducción magnética). 9. El momento dipolar de una espira plana viene dado por la expresión: m = 2 i .-3 j + k Am2 y se encuentra sumergida en un campo magnético de inducción: B = i + 3 j + 2 k T. Calcular: 1) El momento del par de fuerzas a que se encuentra sometida la espira. 2) La energía potencial que posee. 10. Comprobar que una partícula de carga q y masa M moviéndose en trayectoria circular de radio R y con velocidad angular w equivale a una
espira circular del mismo radio por la que circula wq una intensidad de corriente cuyo valor es I = . 2π Expresar esta I en función del momento angular de la partícula ( L ) y calcular el momento magnético del sistema. 11. Un electrón penetra normalmente en un campo magnético uniforme de inducción 15 X 10 .-4 T (e = -1,6 X 10 .-19 C; m e = 9,1 X 10 .-31 kg). La velocidad es de 2 X 10 6 m/s. Calcular: 1) La fuerza que actúa sobre el electrón. 2) El radio de la órbita que describe. 3) El tiempo que tarda en recorrer dicha órbita. 12. Se lanza un electrón con una velocidad de v = 10 5 km/s en el interior de un campo magnético, normalmente a la dirección de la inducción B , cuyo valor es de 10 .-2 T. (Masa del electrón: 9,1 X 10 .-31 kg. Carga: -1,6 X 10 .-19 C.) Se pide: 1) Demostrar que el electrón seguirá una trayectoria circular con un movimiento uniforme, y calcular el radio de la trayectoria y el número de Hz. 2) Calcular la energía del electrón a su entrada en el campo. 3) Calcular la variación de potencial V que debe experimentar ese electrón para pasar del reposo a la velocidad v . 13. Sobre un protón que posee una energía cinética de 4,5 MeV actúa en dirección normal a su trayectoria un campo magnético uniforme de inducción 8 T. (Masa del protón: 1,67 X 10 .-27 kg. Carga: 1,6 X 10 .-19 C.) Determinar: 1) Valor de la fuerza que actúa sobre él. 2) El radio de la órbita descrita. 3) Número de vueltas que da en 1 s. 14. Calcular el radio de la trayectoria y el semiperíodo al penetrar un electrón, un protón o un deuterón con velocidad de 10 7 m/s en un campo magnético uniforme de inducción 2 X 10 .-2 T; la velocidad y el campo son perpendiculares entre sí y supondremos invariables las masas de las partículas citadas, con la velocidad. (Masa del electrón: 9,1 X 10 .-31 kg. Carga del protón y del electrón en valor absoluto: 1,6X10 .-19 C. Masa del protón aproximadamente igual a la masa del neutrón: 1,67X ´ 10.-27 kg.) 15. Los deuterones que son acelerados por un generador de Van de Graaff a una diferencia de potencial de 4 X 10 5 V, penetran normalmente a un campo magnético uniforme, y describen circunferencias de 13 cm de radio. Calcular el valor de la inducción magnética y el período del movimiento circular descrito (tomar los datos necesarios del problema anterior). 16. ¿Qué trayectoria sigue un electrón al penetrar en un campo magnético de forma que las direcciones de la velocidad y el campo no sean perpendiculares ni coincidan? ¿Y si coinciden? 17. En un determinado instante una carga de 2 μ C posee una velocidad v = 2 i .-3 j + 2 k m/s en una región en la que existen un campo eléctrico E = 2
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TALLER FISICA 2 (22953) i .- j + 2 k V/m y un campo magnético de inducción B = 3 i + 2 j + k T. Calcular la fuerza total ejercida sobre la carga en ese momento. 18. Un ciclotrón tiene una frecuencia de oscilación (frecuencia de la tensión alterna aplicada a las «des») de 10 7 Hz y el radio de las «des» es de 50 cm (m p = 1,67X 10 -27 kg; e = 1,6X 10 -19 C). 1) ¿Qué campo magnético se necesita para acelerar los protones generados en el centro sin velocidad inicial? 2) ¿Cuál es la energía de los protones resultantes? 19. Un ciclotrón tiene un radio de 40 cm, sus «des» se encuentran sometidas a una tensión alterna de 5 X 10 4 V, y el valor de su inducción magnética es 1,5 T. Calcular: 1) La velocidad adquirida por un deuterón, puesto en reposo en el centro del ciclotrón, a su salida. 2) El número de vueltas descritas por el deuterón. 20. ¿Qué condición es la necesaria para que una partícula electrizada que se mueve rectilíneamente siga en su trayectoria rectilínea, estando sometida a un campo eléctrico y a otro magnético perpendiculares entre sí y perpendiculares a su velocidad? 21. Se aplica una diferencia de potencial de 100 V a las armaduras de un condensador, planas, paralelas, horizontales, separadas por 1 cm de distancia, y en el vacío. Calcular: 1) La intensidad del campo eléctrico entre dichas láminas. 2) La capacidad del condensador, si la superficie de cada lámina es de 0,5 m2 . 3) Se lanza horizontalmente un electrón entre las láminas con una velocidad de 10 7 m/s y se aplica un campo magnético perpendicular a dicha velocidad. Calcular la inducción de este campo magnético para que el electrón no se desvíe, y determinar su dirección. 4) Calcular el radio de la órbita circular descrita por el electrón cuando se suprime el campo eléctrico. 22. Una partícula a penetra en un campo magnético de inducción B = 1,6i T, con una velocidad v = 3 X 10 5 k m/s. Calcular el vector campo eléctrico que hace que la partícula a siga moviéndose a lo largo del eje OZ . 23. En el esquema representado en la figura de un espectrógrafo de masas ideado por Bainbridge, F es una fuente de iones acelerados a través de un potencial de algunos miles de voltios, que penetran en un «selector de velocidades» constituido por un condensador plano en el que se mantiene un campo eléctrico y perpendicularmente a él un campo magnético, que sólo deja pasar a aquellos iones que poseen una determinada velocidad v . Por encima de AA ’ existe un campo magnético perpendicular al plano de la figura que hace que los iones de diferentes masas e igual carga describan distintas trayectorias circulares, incidiendo sobre una placa fotográfica que una vez revelada nos dará el espectro de masas. En el supuesto de que el campo
eléctrico entre las placas del condensador sea de 200 V/m, el campo magnético en ambas regiones descritas sea de inducción 0,1 T, y el manantial emita iones de los tres isótopos de magnesio, 24 25 26 Mg , 12 Mg y 12 Mg , con dos cargas positivas; 12 calcular la distancia entre las líneas formadas por los tres isótopos sobre la placa fotográfica ( x 1 y x 2 en la figura).
24.
Determinar la FEM Hall que se produce en una cinta de cobre (suponiendo para este metal un electrón libre por átomo) de 0,2 cm de espesor, y por la que circula una intensidad de corriente de 5 A, cuando se aplica un campo magnético uniforme de inducción 1,5 T, perpendicular a la cinta. Densidad del cobre: 8,95 g /cm3 ; masa atómica: 63,5 g/mol.
B) LEY DE BIOT Y SAVART 25. Determinar la inducción magnética en el punto O del circuito cerrado de la figura.
26.
Determinar, aplicando la ley de Biot y Savart, la inducción magnética creada por una corriente rectilínea indefinida en un punto a una distancia a del hilo. 27. Tenemos un hilo conductor recto y muy largo. A la distancia de 10 cm de él y en un punto P colocamos un magnetómetro de forma que su posición de equilibrio (NS) esté en el mismo plano del hilo como se indica en la figura. Hacemos circular una corriente y el imán, girando en un plano horizontal (su eje es vertical) se desvía 45° con respecto a su primer equilibrio. Calcular la intensidad de la corriente que circula por el hilo. La 3
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TALLER FISICA 2 (22953) componente horizontal del vector inducción del campo magnético terrestre tiene por valor: Bt = 10 .-5 T y μ 0 = 4 π /10 7 N/A2 .
P27
P28 28. La figura nos representa cuatro hilos conductores muy largos y paralelos que transportan una intensidad de corriente de 5 A (en A y B la corriente es saliente del papel y en C y D entrante). Determinar el vector inducción magnética en el punto P situado en el centro del cuadrado ( μ 0 =
4 π /10 7 N/A2 . ). 29. La figura nos representa dos hilos muy largos y paralelos que llevan corrientes de intensidades I 1 e I 2 perpendiculares al plano del papel hacia afuera. Determinar el vector inducción magnética en el punto P en función de I 1, I 2, a b y c .
P29
P32 30. Por integración de la ley de Biot y Savart, calcular el valor de la inducción magnética creada en el centro de un circuito cuadrado de lado l por el que circula una intensidad I . Realizar el cálculo para l = 20 cm, I = 10 A y μ 0 = 4 π /10 7 N/A2 . .
31.
Calcular la inducción magnética creada en el centro de un circuito en forma de hexágono regular de perímetro 36 cm, cuando circula por él una corriente capaz de depositar por electrólisis de nitrato de plata 10,062 g de este metal en 16 min y 40 s. (E = 0,001118 g). 32. Calcular el flujo magnético que atraviesa el cuadro rectangular de la figura. DATOS: I = 2 A, a = 5 cm, b = 10 cm, d = 5 cm. 33. Determinar la velocidad de variación de flujo cuando el cuadro de la figura del problema anterior se desplaza hacia la derecha con velocidad
de 3 m/s en su plano, en el instante en que se encuentra el lado b a 10 cm del hilo. 34. Calcular, aplicando la ley de Biot y Savart, la inducción magnética creada en el centro de un circuito circular de radio R por el que circula una intensidad de corriente I . 35. En el plano del meridiano magnético (plano vertical que pasa por el eje de un magnetómetro en equilibrio en el campo magnético terrestre; ver figura) está colocado un circuito circular de 12,56 cm de radio. Cuando por él circula una corriente de 2 A la aguja magnética apoyada en un eje vertical gira un ángulo de 45° . Calcular la componente horizontal de la inducción magnética terrestre.
P35
P40 36. Por una bobina circular de espiras estrechamente arrolladas de 20 cm de radio, circula una corriente de 10 A que produce un campo magnético en su centro de inducción 1,6 X 10 .-4 T. Determinar el número de espiras que posee la bobina. 37. En el modelo de Bohr para el átomo de hidrógeno, el electrón describe órbitas circulares alrededor del núcleo de 5,28X 10 .-11 m. Calcular el valor de la inducción magnética producida por el electrón en el centro del átomo de hidrógeno. 38. Un anillo de radio R , está cargado homogéneamente con una densidad lineal de carga λ y se encuentra girando alrededor de su eje con una velocidad angular constante w. Determinar el valor de la inducción magnética en un punto de su eje situado a una distancia a de su centro. 39. Determinar la inducción magnética creada por un circuito circular de radio R en un punto del eje y a una distancia a de su centro, cuando circula por él una intensidad de corriente I . 40. Las bobinas de Helmholtz son un montaje, que consiste en dos bobinas paralelas y coaxiales del mismo radio, igual número de espiras y separadas entre sí una distancia igual a su radio (ver Fig.), por las que circula la misma intensidad de corriente en el mismo sentido. Calcular B en el punto medio P y en el centro de una cualquiera de ellas. 41. Dos circuitos cirulares, paralelos y coaxiales, de radios 6 y 10 cm, transportan corrientes de sentido contrario e intensidades 4 y 2 A respectivamente, y distan entre sí 8 cm. Calcular: 1) El punto de su eje en donde la inducción del campo magnético es nula. 2) El valor 4
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TALLER FISICA 2 (22953) de la inducción magnética resultante en el punto medio del segmento que une sus centros. 42. Dos conductores paralelos, rectos y que se pueden considerar como indefinidos están recorridos por sendas corrientes eléctricas; la separación entre ambos es de 15 cm. Por uno de ellos pasan 54 000 C cada hora y por el otro una corriente de 10 A; las dos corrientes son del mismo sentido. Determinar: 1) El valor y sentido de la fuerza que actúa por cada cm de longitud de conductor. 2) La inducción magnética creada por el primer conductor, en un punto a 20 cm de él. 3) Si la corriente del primer conductor pasa a través de un voltámetro con agua acidulada, ¿cuántos gramos de hidrógeno se desprenden en cada hora? DATOS: 1 F = 96 500 C. H = 1 . 43. Dos largos y fijos conductores paralelos están separados 10 cm; por uno M pasa una corriente de 30 A, y por el otro N una de 40 A. Si las corrientes son de sentidos opuestos, determinar: 1) El valor de la inducción magnética resultante en una línea del plano de los dos conductores, paralela a ellos y a igual distancia de ambos. 2) El valor de la inducción magnética en una línea paralela a los conductores y situada a 5 cm de M y 15 cm de N y en su plano. 3) ¿Cuál es la fuerza por unidad de longitud sobre un conductor paralelo a ambos, en su plano y a igual distancia de ellos y por el que pasa una corriente de 5 A, en el mismo sentido de la que pasa por el conductor M ? 44. Por un solenoide recto de longitud l y radio R y que tiene arrolladas n espiras circula una intensidad de corriente I . Determinar: 1) La inducción magnética en su interior, en un punto de su eje, aplicando la ley de Biot y Savart. 2) La inducción magnética en uno cualquiera de los extremos del solenoide y en un punto del eje cuando l >>R . 3) La inducción magnética en su interior cuando se verifica que l >>R (solenóide recto e indefinido). 45. La sección transversal de un toroide de 30 cm de radio interno, es cuadrada de 10 X 10 cm y tiene enrolladas 1 000 vueltas de un hilo conductor que transporta una corriente de 1 A. Calcular: 1) La inducción magnética en su interior. 2) El flujo magnético a través de su sección transversal.
C) PROPIEDADES GENERALES DEL CAMPO MAGNÉTICO. LEY DE AMPERE 46.
Demostrar que el flujo magnético que atraviesa una superficie cilíndrica, cerrada y coaxial con una línea de corriente rectilínea e indefinida recorrida por una intensidad de corriente I , es cero. 47. Sea una esfera conductora hueca con un orificio por el que pasamos un hilo conductor que unimos a la pared opuesta de la esfera. Suponiendo
que por el hilo conductor pasa una corriente I y vuelve por la esfera uniformemente repartida, calcular la inducción magnética en el interior y exterior de la esfera. 48. Aplicando la ley de Ampère, determínese la inducción magnética en el interior de un solenoide recto y largo con N espiras por unidad de longitud cuando por él circula una corriente de intensidad I . 49. Calcular el porcentaje de error que se comete al utilizar la fórmula B = μ 0 IN en el cálculo de la inducción magnética en el centro de un solenoide recto de 35 cm de longitud y 2 cm de radio. 50. Hallar la inducción magnética en el interior de una bobina toroidal de n espiras recorridas por una intensidad I . Demostrar que para la misma bobina la inducción magnética en el exterior es nula. (Supondremos que la diferencia entre el radio externo e interno del toroide es despreciable frente al radio interno.) 51. Aplicando la ley de Ampère, determínese la inducción magnética creada por un hilo conductor rectilíneo indefinido de diámetro d y que transporta una intensidad I : 1) En un punto que diste r del conductor para r > d /2 . 2) En un punto que diste r del conductor para r < d /2 . 52. Por un tubo conductor recto de radios interior y exterior a y b , circula una corriente de intensidad I en dirección axial, y distribuida uniformemente por toda su sección recta. Calcular la inducción magnética en un punto que dista r del eje cuando: 1) 0 < r < a . 2) a < r < b . 3) b < r . 53. La figura nos representa dos hilos rectos, largos, coaxiales, aislados y metálicos. Por el hilo interior de radio a, circula una corriente I, por el que le rodea, de radio interno a y externo 2a , circula una corriente igual y opuesta, distribuida uniformemente por toda su sección recta. Calcular la inducción magnética en un punto que dista del eje r, cuando: 1) 0 < r < a . 2) a < r < 2a . 3) r < 2a .
54.
Un cable coaxial muy largo está constituido por dos conductores, el interior es un cilindro de radio 0,2 cm y transporta una corriente de 50 A; el exterior es un tubo de radio interno 0,4 cm y externo 0,6 cm y transporta una corriente de 50 A en sentido contrario a la que circula por el hilo interno. Las intensidades de corriente están distribuidas uniformemente en sus secciones transversales. Determinar el valor de la inducción magnética en puntos que distan del eje: 0,1 cm. 0,3 cm, 0,5 cm y 0,7 cm.
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