Taller 6

´ Universidad Universidad Andres es Bello Bello

Curso: Curso: Semest Semestre: re: Profesores:

Facultad acultad de Ingenier´ ıa

Ingenier´ıa Civil Industrial

ICI 2204 - M´ etodos etodos matem´ matematicos ´ aticos 1-2018 1-2018 Diego Beneventti - Samantha Reid Juan Carlos Vel´ asquez asquez

Taller 6 Plazo: Viernes 15, 23:59 Instrucciones: 

S´ olo olo se permitir´an an grupos de m´ınimo 3 integrantes integrantes y m´aximo aximo 4 integrantes, o de lo contrario existir´a una penalizaci´ on on en la nota.

  El

taller se entrega de manera virtual en el aula virtual en la secci´on ”Entrega de Trabajos” en el apartado ”Taller 6”.

Nombre Integrantes: Integrantes:

1.

Ejer Ejerci cici cio o 1 (20 (20 pun punto tos) s)

Para la siguiente ecuaci´ on on diferencial:

y =  y  ∗  sin(  sin(x)3 

0  ≤  x  ≤  2 y(0) = 1 Se tiene la siguiente soluci´ on exacta para la ecuaci´ on on on diferencial anterior: (x)∗cos(x)2 −3 3

cos

y  =  e

2

∗ e 3

Por lo tanto se pide: a) Encontrar Encontrar y (2) a trav´ es es del M´etodo etodo de Euler con un h = 0,5, adem´ as as de calcular el error verdadero respectivo. b) Resolver Resolver con Runge Kutta Kutta orden 2, adem´ as de calcular el error verdadero. as

Respuesta (a) Primero, Primero, se obtiene el valor valor an´ alitico reemplazando en la ecuaci´ alitico on: on: (x)∗cos(x)2 −3 3

2

cos

y (x) = e

∗ e 3

y(0, (0,5) = 0, 0,897589 y (1) = 0, 0,755212 y(1, (1,5) = 0, 0,716616 y(2) = 0, 0,699524 Luego, obtener la soluci´ on on mediante Euler:

y (0, (0,5) = y(0)  y (0) + f  + f (0;1) (0;1) ∗  0,  0,5 = 1 + 1  ∗  sin(0)  sin(0)3





 ∗  0,  0,5

= 1 + (0)  ∗  0,  0,5 = 1 y(1) = y = y(0 (0,,5) + f  + f (0 (0,,5;1) ∗  0,  0,5 = 1 + 1  ∗  sin(0  sin(0,,5)3





 ∗  0,  0,5

= 1 + (0, (0,110195) ∗  0,  0,5 = 1 + 0, 0,055098 = 1, 1,0551 y (1, (1,5) = y(1)  y (1) + f  + f (1;1 (1;1,,0551) ∗  0,  0,5 = 1,0551 + 1,0551 ∗  sin(1)  sin(1)3





 ∗  0,  0,5

= 1,0551 + (0, (0,628653) ∗  0,  0,5 = 1,0551 + 0, 0,314327 = 1, 1,36943 = y(1 (1,,5) + f  + f (1 (1,,5; 1,36943) ∗  0,  0,5 y(2) = y = 1,36943 + 1,36943 ∗  sin(1  sin(1,,5)3



= 1,36943 + (1, (1,35916) ∗  0,  0,5 = 1,36943 + 0, 0,67958 = 2, 2,04901 Y los porcentajes de error, para cada iteraci´on, on, son:

t (0, (0,5) = 11, 11,4096% t (1) = 39, 39,7091% t (1, (1,5) = 91, 91,0968% t (2) = 192, 192,915%



 ∗  0,  0,5

(b) Ahora se resuelv resuelvee por RK 2 , con el mismo h = 0,5: 

C´ alculo alculo de y de  y (0, (0,5): k1  =  f (  f (xi ; yi ) = f (0  f (0;; 1) = 0 k2  =  f (  f (xi + h  +  h;; yi + hk  +  hk1 ) = f (0  f (0,,5; 1 + 0 ∗  0,  0,5) = f (0  f (0,,5; 1) = 0,110195  h y (0, (0,5) = y(0)  y (0) + (k1 + k  +  k2 ) = 1 + 0, 0,25 ∗  (0 + 0, 0,110195) = 1, 1,02755 2



C´ alculo alculo de y de  y (1): k1  =  f (  f (xi ; yi ) =  f (0  f (0,,5; 1,02755) = 0, 0,113231 k2  =  f (  f (xi + h  +  h;; yi + hk  +  hk1 ) =  f (1;1  f (1;1,,02755 + 0, 0,113231 ∗  0,  0,5) = f (1;1  f (1;1,,08417) = 0, 0,645974 h = y(0 (0,,5) + (k1 + k  +  k2 ) = 1, 1 ,02755 + 0, 0,25 ∗  (0,  (0,113231 + 0, 0,645974) = 1, 1,21735 y(1) = y 2



C´ alculo alculo de y de  y (1, (1,5): k1  = f   =  f ((xi ; yi ) =  f (1;1  f (1;1,,21735) = 0, 0,725325 k2  = f   =  f ((xi + h  +  h;; yi + hk  +  hk1 ) =  f (1  f (1,,5; 1,21735 + 0, 0,725325 ∗  0,  0,5) = f (1  f (1,,5; 1,58001) = 1, 1,56817 h y(1, (1,5) = y(1)  y (1) + (k1 + k  +  k2 ) = 1,21735 + 0, 0,25 ∗  (0,  (0,725325 + 1, 1,56817) = 1, 1,79072 2



C´ alculo alculo de y de  y (2): k1  = f   =  f ((xi ; yi ) =  f (1  f (1,,5; 1,79072) = 1, 1,7773 k2  = f   =  f ((xi + h  +  h;; yi + hk  +  hk1 ) =  f (2;1  f (2;1,,79072 + 0, 0,5 ∗  1,  1,7773) = f  = f (2;2 (2;2,,67937) = 2, 2,01442  h y (2) = y = y(1 (1,,5) + (k1 + k  +  k2 ) = 1,79072 + 0, 0,25 ∗  (1,  (1,7773 + 2, 2,01442) = 2, 2,73865 2

Y los porcentajes de error, para cada iteraci´on, on, son:

t (0, (0,5) = 14, 14,4789% t (1) = 61, 61,1931% t (1, (1,5) = 149, 149,886% t (2) = 291, 291,502%

2.

Ejer Ejerci cici cio o 2 (20 (20 pun punto tos) s)

A continuaci´ on, se da la siguiente ecuaci´ on, on on diferencial:



y = y  −  x 0  ≤  x  ≤  2 y(0) = 1 a) Aplicar Aplicar Taylor Taylor orden 3 con un h=0.5. h=0.5. b) Resolver Resolver ecuaci´ ecuaci´ on diferencial mediante Runge Kutta orden 4. on

Respuesta (a) El m´etodo etodo de tercer orden es: 



y(xi + h  +  h)) =  y(  y (xk ) + y + y (xk )h + y  + y (xk )

h2 h3 + y (xk ) 2! 3! 

Primero se calculan las derivadas: 

dy d(y  −  x)  x) ydy xdx y = = = − dx dx dx dx = 1  ∗  (y  (y  −  x)  x) =  y  −  x  −  1 



y =  y  −  x  −  1 Y luego se procede a calcular desde 0 a 2 con un tama˜ no no de paso de 0.5: 0,52 0,53 y(0, (0,5) = y(0)  y (0) + y + y (0)h (0)h + y  + y (0) + y (0) 2 6 0,52 0,53 = 1 + (y (y0  −  x0 )  ∗  0,  0,5 + (y ( y0  −  x0  −  1) + (y (y0  −  x0  −  1) 2 6 = 1 + (1  −  0)  ∗  0,  0,5 + (1  −  0  −  1)  ∗  0,  0,125 + (1 −  0  −  1)  ∗  0,  0,0208 = 1, 1,5 





0,52 0,53 y (1) = y = y(0 (0,,5) + y + y (0, (0,5) + y + y (0, (0,5) + y (0, (0,5) 2 6 = 1,5 + (1, (1,5  −  0,  0,5) ∗  0,  0,5 + (1, (1,5 −  0,  0,5 −  1)  ∗  0,  0,125 + (1, (1,5 −  0,  0,5  −  1)  ∗  0,  0,0208 





=2 0,52 0,53 y(1, (1,5) = y(1)  y (1) + y + y (1) + y + y (1) + y (1) 2 6 = 2 + (2  −  1)  ∗  0,  0,5 + (2  −  1  −  1)  ∗  0,  0,125 + (2 −  1  −  1)  ∗  0,  0,0208 





= 2,5 0,52 0,53 + y (1, (1,5) 2 6 = 2,5 + (2, (2,5  −  1,  1,5) ∗  0,  0,5 + (2, (2,5 −  1,  1,5 −  1)  ∗  0,  0,125 + (2, (2,5 −  1,  1,5  −  1)  ∗  0,  0,0208 



= y(1 (1,,5) + y + y (1, (1,5) + y + y (1, (1,5) y (2) = y =3



(b) Ahora se resuelv resuelvee por RK 4 , con el mismo h = 0,5: 

C´ alculo alculo de y de  y (0, (0,5): k1  =  f (  f (xi ; yi) =  f (0  f (0;; 1) = 1 −  0 = 1 k2  =  f (  f (xi + 0, 0 ,5  ∗  h;  h; yi + 0, 0 ,5  ∗  k1  ∗  h)  h) =  f (0  f (0,,25; 25; 1 + 0, 0,5  ∗  1  ∗  0,  0,5) = f (0  f (0,,25;1 25;1,,25) = 1 k3  =  f (  f (xi + 0, 0 ,5  ∗  h;  h; yi + 0, 0 ,5  ∗  k2  ∗  h)  h) =  f (0  f (0,,25;1 25;1,,25) = 1 k4  =  f (  f (xi + h  +  h;; yi + h  +  h  ∗  k3 ) = f (0  f (0,,5;1 + 0, 0,5  ∗  1) = f (0  f (0,,5; 1,5) = 1  1 1 y(0, (0,5) = y(0)  y (0) + (k1 + 2  ∗  (k  (k2 + k  +  k3 ) + k + k4 ) = 1 + ∗ (1 + 2  ∗  (1 + 1) + 1)  ∗  0,  0,5 = 1,5 6 6



C´ alculo alculo de y de  y (1): k1  =  f (  f (xi ; yi ) = f (0  f (0,,5; 1,5) = 1 k2  =  f (  f (xi + 0, 0 ,5  ∗  h;  h; yi + 0, 0 ,5  ∗  k1  ∗  h)  h) = f (0  f (0,,75;1 75;1,,5 + 0, 0 ,5  ∗  1  ∗  0,  0,5) = f (0  f (0,,75;1 75;1,,75) = 1 k3  =  f (  f (xi + 0, 0 ,5  ∗  h;  h; yi + 0, 0 ,5  ∗  k2  ∗  h)  h) = f (0  f (0,,75;1 75;1,,75) = 1  +  h;; yi + h  +  h  ∗  k3 ) =  f (1;1  0,5) = f (1 k4  =  f (  f (xi + h  f (1;1,,5 + 1  ∗  0,  f (1;; 2) = 1  1  1 y(1) = y = y(0 (0,,5) + (k1 + 2  ∗  (k  (k2 + k  +  k3 ) + k + k4 ) = 1, 1 ,5 + ∗ (1 + 2 + 2 + 1)  ∗  0,  0,5 = 2 6 6



C´ alculo alculo de y de  y (1, (1,5): k1  =  f (  f (xi ; yi) =  f (1  f (1;; 2) = 1 k2  =  f (  f (xi + 0, 0 ,5  ∗  h;  h; yi + 0, 0 ,5  ∗  k1  ∗  h)  h) =  f (1  f (1,,25; 25; 2 + 0, 0,5  ∗  1  ∗  0,  0,5) = f (1  f (1,,25;2 25;2,,25) = 1 k3  =  f (  f (xi + 0, 0 ,5  ∗  h;  h; yi + 0, 0 ,5  ∗  k2  ∗  h)  h) =  f (1  f (1,,25;2 25;2,,25) = 1 k4  =  f (  f (xi + h  +  h;; yi + h  +  h  ∗  k3 ) = f (1  f (1,,5;2 + 1  ∗  0,  0,5) = f (1  f (1,,5; 2,5) = 1  1  1 y(1, (1,5) = y(1)  y (1) + (k1 + 2  ∗  k2 + 2  ∗  k3 + k  +  k4 ) = 2 + ∗ (1 + 2 + 2 + 1)  ∗  0,  0,5 = 2,5 6 6



C´ alculo alculo de y de  y (2): k1  =  f (  f (xi ; yi ) = f (1  f (1,,5; 2,5) = 1 k2  =  f (  f (xi + 0, 0 ,5  ∗  h;  h; yi + 0, 0 ,5  ∗  k1  ∗  h)  h) =  f (1  f (1,,75;2 75;2,,5 + 0, 0 ,5  ∗  1  ∗  0,  0,5) = f (1  f (1,,75;2 75;2,,75) = 1 k3  =  f (  f (xi + 0, 0 ,5  ∗  h;  h; yi + 0, 0 ,5  ∗  k2  ∗  h)  h) =  f (1  f (1,,75;2 75;2,,75) = 1 k4  =  f (  f (xi + h  +  h;; yi + h  +  h  ∗  k3 ) = f (2;2  f (2;2,,5 + 2, 2 ,5  ∗  0,  0,5) = f (2  f (2;; 3) = 1  1 1 y (1, (1,5) = y(1)  y (1) + (k1 + 2  ∗  k2 + 2  ∗  k3 + k  +  k4 ) = 2,5 + ∗ (1 + 2 + 2 + 1)  ∗  0,  0,5 = 3 6 6

3.

Ejer Ejerci cici cio o 3 (20 (20 pun punto tos) s)

Si se supone que el arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad, se puede modelar la velocidad de un objeto que cae como un paracaid paracaid´´ısta, por medio de la ecuaci´ ecuaci´ on diferencial siguiente: dv c =  g  − d v2 dt m Donde v  es la velocidad (m/s), t  = tiempo(s), g  es la aceleraci´on on de la gravedad (9.81 m/s2 ), cd = coeficiente de arrastre de segundo orden (kg/m) y m  = masa (kg). Resuelva para la velocidad y distancia que recorre un objeto de 90 kg con coeficiente de arrastre de 0.225 kg/m. Si la velocidad inicial es de 0 m/s (asumiendo que parti´ o desde t=0), se desea obtener la velocidad cuando hayan pasado 4 segundos (con 1 segundo de paso). Obtenga la soluci´ on on con m´etodo eto do de Euler Eul er y m´etodo eto do de RK de cuarto orden.

Respuesta Se pide resolver la siguiente ecuaci´ on on diferencial: dv = 9,8  −  0,  0,0025 ∗  v 2 dt (a) Luego, Luego, obtener la soluci´ soluci´ on on mediante Euler:

v(1) = v = v(0) (0) + f  + f (0;0) (0;0) ∗  1 = 0 + (9, (9,8 −  0,  0,0025 ∗  02)  ∗  1 = 0 + (9, (9,8) ∗  1 = 9, 9 ,8 v(2) = v = v(1) (1) + f  + f (1;9 (1;9,,8) ∗  1 = 9, 9 ,8 + (9, (9,8  −  0,  0,0025 ∗  (9,  (9,8)2 )  ∗  1 = 9, 9 ,8 + (9, (9,5599) ∗  1 = 19, 19,3599 v(3) = v = v(2) (2) + f  + f (2;19 (2;19,,3599) ∗  1 = 19 1 9,3599 + (9, (9,8  −  0,  0,0025 ∗  (19,  (19,3599)2 ) ∗  1 = 19 1 9,3599 + (8, (8,86299) ∗  1 = 28, 28,2229 v(4) = v = v(3) (3) + f  + f (3;28 (3;28,,2229) ∗  1 = 28 2 8,2229 + (9, (9,8  −  0,  0,0025 ∗  (28,  (28,2229)2 ) ∗  1 = 28 2 8,2229 + (7, (7,80867) = 36, 36,0316

(b) Ahora se resuelv resuelvee por RK 4 , con el mismo h = 1: 

C´ alculo alculo de v de  v(1): (1): k1  =  f (  f (ti ; vi ) = f (0  f (0;; 0) = 9, 9,8 k2  =  f (  f (ti + 0, 0 ,5  ∗  h;  h; vi + 0, 0 ,5  ∗  k1  ∗  h)  h) = f (0  f (0,,5; 0 + 0,5  ∗  9,  9,8) = f (0  f (0,,5; 4,9) = 9, 9,73998 k3  =  f (  f (ti + 0, 0 ,5  ∗  h;  h; vi + 0, 0 ,5  ∗  k2  ∗  h)  h) = f (0  f (0,,5; 4,87) = 9, 9,74071 k4  =  f (  f (ti + h  +  h;; vi + h  +  h  ∗  k3 ) =  f (1;0  f (1;0 + 1 ∗  9,  9,74071) = f  = f (1;9 (1;9,,74071) = 9, 9,5628 1 v (1) = v = v(0) (0) + (k1 + 2  ∗  (k  (k2 + k  +  k3 ) + k +  k4) 6  1 = 0 + ∗ (9,  (9,8 + 2  ∗  (9,  (9,73998 + 9, 9,74071) + 9, 9,5628) = 9, 9,7207 6



C´ alculo alculo de v de  v(2): (2): k1  = f   =  f ((ti ; vi ) =  f (1;9  f (1;9,,7207) = 9, 9,56377 k2  = f   =  f ((ti + 0, 0 ,5  ∗  h;  h; vi + 0, 0 ,5 ∗  k1  ∗  h)  h) =  f (1  f (1,,5; 9,7207 + 0, 0,5  ∗  9,  9,56377) = f  = f (1 (1,,5;14 5;14,,5026) = 9, 9,2742 k3  = f   =  f ((ti + 0, 0 ,5  ∗  h;  h; vi + 0, 0 ,5 ∗  k2  ∗  h)  h) =  f (1  f (1,,5;14 5;14,,3578) = 9, 9,28463 k4  = f   =  f ((ti + h  +  h;; vi + h  +  h  ∗  k3 ) =  f (2;9  f (2;9,,7207 + 1 ∗  9,  9,28463) = f  = f (2;19 (2;19,,0053) = 8, 8,897  1 v (2) = v = v(1) (1) + (k1 + 2  ∗  (k  (k2 + k  +  k3 ) + k + k4 ) 6  1 = 9,7207 + ∗ (9,  (9,56377 + 2 ∗  (9,  (9,2742 + 9, 9,28463) + 8, 8,897) = 18, 18,9838 6



C´ alculo alculo de v de  v(3): (3): k1  = f   =  f ((ti ; vi ) =  f (2;18  f (2;18,,9838) = 8, 8,89904 k2  = f   =  f ((ti + 0, 0 ,5  ∗  h;  h; vi + 0, 0 ,5 ∗  k1  ∗  h)  h) =  f (2  f (2,,5;18 5;18,,9838 + 0, 0,5  ∗  8,  8,89904) = f  = f (2 (2,,5;23 5;23,,4333) = 8, 8,4272 k3  = f   =  f ((ti + 0, 0 ,5  ∗  h;  h; vi + 0, 0 ,5 ∗  k2  ∗  h)  h) =  f (2  f (2,,5;23 5;23,,1974) = 8, 8,4547 k4  = f   =  f ((ti + h  +  h;; vi + h  +  h  ∗  k3 ) =  f (3;18  f (3;18,,9838 + 8, 8,4547) = f  = f (3;27 (3;27,,4385) = 7, 7,91782  1 v (3) = v = v(2) (2) + (k1 + 2  ∗  (k  (k2 +  ∗k3 ) + k + k4 ) 6  1 = 18 18,,9838 + ∗ (8,  (8,89904 + 2 ∗  (8,  (8,4272 + 8, 8,4547) + 7, 7,91782) = 27, 27,4139 6



C´ alculo alculo de v de  v(4): (4): k1  = f   =  f ((ti ; yi ) = f (3;27  f (3;27,,4139) = 7, 7,9212 k2  = f   =  f ((ti + 0, 0 ,5  ∗  h;  h; vi + 0, 0 ,5 ∗  k1  ∗  h)  h) =  f (3  f (3,,5;27 5;27,,4139 + 0, 0,5  ∗  7,  7,9212) = f  = f (3 (3,,5;31 5;31,,3745) = 7, 7,3391 k3  = f   =  f ((ti + 0, 0 ,5  ∗  h;  h; vi + 0, 0 ,5 ∗  k2  ∗  h)  h) =  f (3  f (3,,5;31 5;31,,0835) = 7, 7,38454 k4  = f   =  f ((ti + h  +  h;; vi + h  +  h  ∗  k3 ) =  f (4;27  f (4;27,,4139 + 7, 7,38454) = f  = f (4;34 (4;34,,7984) = 6, 6,77268  1 v (4) = v = v(3) (3) + (k1 + 2  ∗  (k  (k2 +  ∗k3 ) + k + k4 ) 6  1 = 27 27,,4139 + ∗ (7,  (7,9212 + 2 ∗  (7,  (7,3391 + 7, 7,38454) + 6, 6,77268) = 34, 34,7708 6