UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS FACULTAD DE INGENIERÍA PROYECTO CURRICULAR DE INGENIERÍA ELÉCTRICA DOCENTE: MSc. Ing. NÉSTOR A. HERNÁNDEZ M. FECHA: SEPTIEMBRE 05 DE 2013 NOMBRE DE LA ASIGNATURA: TALLER No : TÍTULO: BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA
ECUACIONES DIFERENCIALES 2 Ecuación de Ricatti, Sustituciones y Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden • NAGLE/SAFF/ZINDER ECUACIONES DIFERENCIALES ADISSON WESLEY. 3ª. Edición. • C.H.EDWARDS,JR/DAVID E.PENNEY. ECUACIONES DIFERENCIALES ELEMENTALES PENTICE HALL TERCERA EDICIÓN. • ZILL G. DENNIS ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES. GRUPO EDITORIAL IBEROAMÉRICA. 3ª. Edición.
OBJETIVO: Al terminar este taller el estudiante estará en capacidad aplicar las ecuaciones diferenciales a diferentes eventos ingenieriles tales como: La ley de interés continuo; ley de enfriamiento de Newton, Ecuación de continuidad; Mecánica Clásica; Circuitos Eléctricos; Funciones logísticas, etc. PREGUNTAS CONCEPTUALES: Para aplicar las ecuaciones diferenciales a problemas textuales es fundamental tener claridad en la solución de las diferentes ecuaciones diferenciales de primer orden. Al resolver la ecuación que describe el comportamiento del fenómeno, se obtendrá una solución general, la cual servirá para encontrar la solución o diferentes
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soluciones particulares de acuerdo a la sustitución ordenada de la condiciones iniciales o condiciones e frontera que se dan al margen del lema. EJERCICIOS PROPUESTOS
Hallar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales: 1. x 2 2.
dy + y 2 = xy dx
dy = −2 − y + y 2 dx
y 3. (1 + e )
yi = 2
dy + ex y = 0 dx
4. xe y y′ − 2e y = x 2 5.
dy 4 1 = − 2 − y + y2 dx x x
2 6. ( x −1)
yi =
2 x
dy 2 + 2 y = ( x +1) dx
7. y′′ + 2 y ( y′) 3 = 0 8.
dy = e 2 + (1 + 2e x ) y + y 2 dx
yi = −e x
PROBLEMAS DE APLICACIÓN 9. Una persona solicita un préstamo de $8 000 para comprar un automóvil, El prestamista carga el interés a una tasa anual del 10%. Si se supone que el interés se compone de manera continua y que el deudor efectúa pagos continuamente con una cuota anua) constante k, determine la cuota de pago k necesaria para cubrir el adeudo en tres años. Determine también cuánto interés se paga durante el periodo de tres años.
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10. Suponga que la temperatura de una taza de café obedece la ley de Newton del enfriamiento. Si el café tiene una temperatura de 200°F cuando acaba de servirse y un minuto después se ha enfriado hasta 190°F en un recinto cuya temperatura es de 70°F, determine cuándo el café alcanza una temperatura de 150°F. 11. El comprador de una casa no puede pagar más de $800,000 mensuales por la hipoteca. Suponga que la tasa de interés anual es de 9% y que el término de la hipoteca es de 20 años. Suponga que el interés se compone continuamente y que también los pagos se hacen en la misma forma. a) Determine la cantidad máxima que este comprador puede solicitar en préstamo. b) Determine el interés total que se paga durante el término de la hipoteca. 12. Un jubilado tiene invertida una suma S(t) de modo que obtenga interés a una tasa anual r, compuesto continuamente. Los retiros para sus gastos se hacen a razón de k dólares anuales; suponga que los retiros se hacen continuamente. a) Si el valor inicial de la inversión es S0, determínese S(t) en cualquier momento. b) Si se supone que S 0 y r son fijos, determine la cuota de retiro k 0, a la que S(t) permanecerá constante. c) Si k sobrepasa el valor k0 hallado en el inciso b), entonces S(t) disminuirá y, finalmente, será cero. Encuentre el tiempo T en el que S(t) = 0. d) Determine T si r = 8% y k = 2 k0. e) Suponga que una persona que se jubila con un capital S 0 desea retirar fondos a una cuota anual k por no más de T años. Determine la cuota máxima posible de retiro. f) ¿De cuánto debe ser una inversión inicial para permitir un retiro anual de $12 000 dólares durante 20 años, si se supone una tasa de interés del 8%? 13. Suponga que la población de la Tierra cambia con una rapidez proporcional a la población actual. Además, se estima que en el instante t = 0 (1650 de nuestra era), la población de la Tierra era de 600 millones (6.0 x 10 8); en el instante t =
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300 (1950 D.C.), la población era de 2.8 miles de millones (2.8 x 10 9). Encuentre una expresión que dé la población de la Tierra en cualquier instante. Si se supone que la población máxima que la Tierra puede sostener es de 25 miles de millones (2.5 x 1010), ¿cuándo se alcanzará este límite? 14. Suponga que, a medianoche, se descubre un cuerpo con una temperatura de 85°F, y que la temperatura ambiente es constante de 70°F. El cuerpo se envía rápidamente (suponga que instantáneamente) a la morgue, en donde la temperatura ambiente se mantiene a 40°F. Al cabo de una hora se encuentra que la temperatura del cuerpo es de 60°F. Estime el momento de la muerte. 15. Inicialmente un tanque contiene 120 litros de agua pura. Al tanque entra a razón de 2 litros/min, una mezcla que contiene una concentración de yg/litro de sal y la mezcla bien revuelta sale del tanque ala misma razón. Encuentre una expresión en términos de y para la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante t. Halle también la cantidad límite de sal en el tanque t
∞.
16. Considere un tanque usado en ciertos experimentos de hidrodinámica. Después de realizar un experimento, el tanque contiene 200 litros de una solución de colorante con una concentración de 1 g/litro. A fin de preparar el siguiente experimento, el tanque debe lavarse con agua limpia que fluye a razón de 2 litros/min y la solución bien revuelta sale a la misma razón. Halle el tiempo que transcurrirá antes de que la concentración de colorante en el tanque alcance el 1% de su valor original. 17. En el instante t = 0, un tanque contiene Q0 lb de sal disueltas en 100 gal de agua; ver la 2.5.1. Supóngase que al tanque está entrando agua que contiene ¼ lb de sal por galón, a razón de 3 gal/min, y que la solución bien revuelta está saliendo del tanque con la misma rapidez. Encontrar una expresión para la cantidad de sal Q(t) que hay en el tanque en el instante t.
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18. Una persona joven sin capital inicial invierte k dólares anuales a una tasa de interés anual r. Suponga que las inversiones se hacen continuamente y que el interés también se compone de manera continua. a) Determine la suma S(t) acumulada en cualquier instante t. b) Si r = 7.5%, determine k de modo que se disponga para su retiro de un millón de dólares en 40 años. c) Si k = $2 000 anuales, determine la tasa de interés r que debe obtenerse a fin de contar con un millón de dólares disponibles en 40 años. Sugerencia: Aplique el método de Newton o algún otro procedimiento numérico apropiado en el inciso c). 19. El Pb-209, isótopo radioactivo del plomo, se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad presente en cualquier tiempo (t) y tiene una vida media de 3.3 horas. Si al principio había 1 gramo de plomo, ¿cuanto tiempo debe transcurrir para que se desintegre 90%? 20. El uranio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay 10g y después de 2 horas se ve que ha perdido el 5% de su masa original, hallar: a) la ecuación que representa la cantidad restante en cualquier tiempo t b) la cantidad de uranio después de 5 horas. 21. Un espécimen de carbono encontrado en Stonehenge, resultó contener 63% de c14 de una muestra de carbono actual de la misma masa. ¿Cuál es la edad de la muestra? 22. Se sabe que cierto material se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente. Si después de 1 hora se observa que el 20% se ha desintegrado, hallar la vida media del material.
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23. En cualquier tiempo (t) la cantidad de bacterias en un cultivo crece a razón proporcional al número de bacterias presentes. Al cabo de 3 horas se observa que 400 individuos. Después de 10 horas hay 2000 especímenes. ¿cuál era la cantidad inicial de bacterias? 24. Cuando pasa un haz vertical de luz por una sustancia transparente, la rapidez con que decrece la intensidad
I es proporcional a I(t), donde t representa el
espesor, en pies, del medio. En agua de mar clara, la intensidad a 3 pies bajo la superficie es de 25% de la intensidad inicial I 0 del haz incidente. ¿Cuál es la intensidad del haz a 15 pies bajo la superficie? 25. Un circuito serie RL esta alimentado por una fuente de voltaje 45 voltios 60Hz. Si la resistencia es de 1KΩ
y la inductancia es de 10mH. Halle la
corriente en el circuito después de 3 seg. Suponga que en el tiempo inicial la inductancia no mantiene ningún magnetismo remanente 26. En un circuito serie RC la resistencia es de 1MΩ y el condensador es de 1000µF si la fuente que lo alimenta es de 60 voltios y 50Hz calcule la corriente en el circuito después de 10mseg. Sabiendo que inicialmente el condensador esta completamente descargado. 27. Supóngase que un estudiante portador de un virus de gripe o influenza regresa a un campus universitario aislado que tiene 1000 estudiantes. Si se supone que la rapidez con que el virus se propaga es proporcional no sólo al número de alumnos no contagiados, determinar el número de estudiantes contagiados después de 6 días, sí además se observa que después de 4 días x(4)=50. 28. El número de supermercados C(t) en todo el país que usan un sistema de control por computadora de los horarios de salida se describe por medio del problema de valor inicial
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dC/dt =C(1-0.0005C), C(0)=1 donde t>0. ¿Cuántos supermercados estarán usando dicho sistema cuando t=10? ¿Cuántas empresas se estima que adoptará el nuevo procedimiento en el futuro? 29. El número de personas N(t) de una comunidad que verán cierto aviso publicitario se rige por la ecuación logística. Inicialmente N(0)=500 y se observa que N(1)=1000. Si se predice que el número límite de personas de la comunidad que verán el aviso es 50.000, determine N(t) en un instante cualquiera. 30. La población P(t) de un suburbio de una gran ciudad en un instante N(t) en un instante cualquiera se rige por el problema de valor inicial dP/dt = P(10-1 - 10-7), P(0)=5000 En donde t se mide en meses. ¿Cuál es el valor límite de la población? ¿En que momento será la población igual a la mitad de su valor limite? 31. Encuentre una solución de la ecuación logística modificada. dP/dt= P (a-bP) (1-cP-1), a, b, c>0 32. Resolver la ecuación: dP/dt = P(a - b ln P) 33. Si una población aumenta con una rapidez proporcional al número de personas que se tiene en un instante cualquiera, demuestre que el tiempo que la población demorara en duplicarse es T= (In2)/k, en donde k es una tasa positiva de crecimiento. Esta relación se conoce como ley de MALTHUS. 34. En marzo de 1976, la población mundial llego a los 4 mil millones. Una revista predijo que una tasa media de crecimiento anual es 1.8%, la población mundial será de 8 mil millones en 45 años más. ¿Cómo se comparara este valor con el predicho por el modelo que dice que la rapidez de crecimiento, en un instante cualquiera, es proporcional a la población presente? 35. Se bombea aire con un contenido de 0.06% de dióxido de carbono a una habitación cuyo volumen es 8000pie3. La rapidez con que el aire se bombea es 2000pie3/min; después el aire circula y se bombea hacia fuera de la habitación con la misma rapidez. Si hay una concentración inicial de 0.2% de dióxido de carbono, determine la cantidad que habrá posteriormente en la habitación cualquiera. ¿cuál es la concentración después de 10 min? ¿Cuál es la
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concentración de dióxido de carbono correspondiente al estado estacionario o estado de equilibrio? 36. Un objeto de masa 2 kg. se lanza desde el reposo de una plataforma a 30m sobre el agua y se deja caer bajo la influencia de la gravedad. Después de que el objeto golpea el agua, comienza a hundirse, con la gravedad jalándolo hacia abajo y una fuerza de flotación empujándolo hacia arriba. Suponga que la fuerza de la gravedad es constante, que no hay cambios en el momento del objeto al golpear el agua, que la fuerza de flotación es 0.5 del peso, y que la fuerza debida a la resistencia del agua es proporcional a la velocidad del objeto, con constante de proporcionalidad igual a 10 N-s/m en el aire y 100 N-s/m en el agua. Determine la ecuación del movimiento del objeto. ¿Cuál es la velocidad del objeto 1 minuto después de ser arrojado?
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