Carrera: Ingeniería en sistemas computacionales. c omputacionales. Catedrático: Raúl Federico Melo Flores. Asignatura: Álgebra.
Módulo: 5. Espacios vectoriales y transformaciones lineales. Tarea: 8. Espacios vectoriales, dependencia y
transformaciones. Alumno: Rodolfo Prieto Santiago Matrícula: A13000461
Realiza los siguientes ejercicios 1. Determine si el primer vector es una combinación lineal de los otros vectores. a) u=(-1,7): v=(1,-1), w=(2,4).
) (() Solución Si u es CL de v y w
escalares
u =
, veamos que esto sea cierto::
, de donde se obtiene el siguiente
sistema:
La matriz aumentada y por Gauss-Jordan, se tiene que:
,
=
Dado a que los escalares hacen que se cumpla u = podemos concluir que u si es convinación lineal de los vectores v y w
,
b) u=(8,13): v=(1,2), w=(2,3)
(()() )() Solución Si u es CL de v y w
escalares
u =
, veamos que esto sea cierto:
, de donde se obtiene el siguiente sistema:
,
La matriz aumentada y por Gauss-Jordan, se tiene que:
Dado a que los escalares hacen que se cumpla u = podemos concluir que u si es convinación lineal de los vectores v y w c) u=(-3,3,7): v=(1,-1,2), w=(2,1,0), z=(-1,2,1) Solución
Si u es CL de v, w y z
escalares
u =
, así, se tiene que:
,
[ ] [ ] de donde se obtiene el siguiente sistema :
La matriz aumentada y por Gauss-Jordan, se tiene que:
Dado a que los escalares hacen que se cumpla u = , podemos concluir que u si es convinación lineal de los vectores v, w y z
d) u=(-2,11,7): v=(1,-1,0), w=(2,1,4), z=(-2,4,1) Solución
Si u es CL de v, w y z sea cierto:
escalares
u =
, veamos que esto
de donde se obtiene el siguiente sistema :
La matriz aumentada y por Gauss-Jordan, se tiene que:
=
Dado a que los escalares hacen que se cumpla u = , podemos concluir que u si es convinación lineal de los vectores v, w y z
2. Determine si la primera matriz es una combinación lineal de las otras matrices. a)
Solución
Si A es CL de B,C,D
, veamos que esto sea cierto:
se
tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
La matriz aumentada
or Gaus-Jordan, se tiene ue:
Dado a que los escalares hacen que se cumpla A = , podemos concluir que A si es convinación lineal de las matrices B, Cy D
3. Demuestre que el conjunto de vectores son linealmente independientes en S= {u=(-2,3), v=(6,-9)} a) en R2. Solución
Para este caso, como son dos vectores, es fácil darse cuenta que v es p r o p o r c i o n a l a u, es decir, v = k u, donde: K = v , así, v = - 3u, es decir s o n , en consecuencia, podemos concluir que no son linealmente dependientes linealmente independientes. b) en R3. Solución
T={u=(1,0,2), v=(2,6,4), w=(1,12,2)}
()
Si los elementos de T son LI, debe de cumplirse que donde , además , veamos que esto sea cierto.
,
de manera directa, la matriz aumentada es:
| || | ()
Ahora bien, como A es de orden 3x4, si su determinante rango de A = R(a) = 3, lo que implica, que se tendrían 3 vectores renglón no nulos, de donde por Rouché Frobenius, podemos concluir que el sistema formado por A es compatible y determinado, es decir, se tendría la solución única y trivial , y como consecuencia los elelementos de T, serían LI. Veamos que esto ocurra:
Ahora bién, como A es singular , así, se tienen menos ecuacioes que incognitas, de donde, por Rouché Frobenius, podemos afirmar que el sistema formado por A, es compatible indeterminado (muchas soluciones), lo que implica que los elementos de T son linelamente dependientes, por tanto: Podemos concluir que los elementos de T, no son LI. 4. Determine los rangos de las siguientes matrices utilizando la definición de rango. Nota: Sabemos que rango de una matriz corresponde al orden del mayor determinante no
nulo que existe dentro de la matriz. Por comodidad, trabajré con esta definición. Así, tenemos que:
1
a) A= 2 Solución
3 6
( ) Coma A es de orden 2x2 que: = 0, ya que Ahora bien, como
, de lo contrario, R(A)=1 , asi, se tiene
es combinación lineal de
y por ser A de orden 2x2, podemos afirmar que R(A)=1
2 4 3 6
b) B=
() ()() Solución Como B es de orden 2x2
, de lo contrario, R(B)=1 , asi, se tiene
que:
Ahora bien, como
y por ser A de orden 2x2, podemos afirmar que R(B)=1
1 4 2 c) C= 0 1 5 0 0 1
() | |()() Solución
Como C es de orden 3x3 tiene que:
, de lo contrario, 0 < R(c)
, asi, se
, ya que C es triangular
Ahora bien, como
apostamos la vida que R(C)= 3
1 2 3 d) D= 4 5 6 7 8 9
() | |()()()()()()()()()() Solución Como D es de orden 3x3
Sarrus, se tiene que:
, de lo contrario, 0 < R(D)
, asi, por
() ()()()
Ahora bien, como si encontramos en D un determinante no nulo de orden 2, , así, tenemos que:
Dado a que hemos encontrado en D un determinante no nulo de orden 2, afirmamos que R(d) = 2 5. Determine la forma escalonada reducida de cada una de las siguientes matrices.
Determine una base para el espacio renglón y el rango de cada matriz. 1 3 2 a) A= 2 6 4 1 3 2
1 1 8 b) B= 0 1 3 1 1 2
6. Determine el vector de coordenada u respeto a la base dada B en R2. a) 5,1 : B 1, 0 , 0,1 b) 7, 5 : B 1, 1 , 3,1
7. Determine el vector de coordenada u respeto a la base dada B en R3. a) 4,0, 2 : B 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1
8. ¿La función f x x 5 pertenece al espacio vectorial generado por
g x x 1, h x x 3 ?
2 9. ¿La función f x 3x 5x 1 pertenece al espacio vectorial generado por
g x 2 x2 3, h x x2 3x 1 ?
10. Determine si el conjunto siguiente son linealmente dependientes. f , g , h , donde f x 2x2 1, g x x2 4 x, h x x2 4 x 1
11. Muestre que la transformación T : R2 R2 , definida por T x, y 2x, x y es lineal.
Determine las imágenes de los elementos 1, 2 y 1, 4 bajo esta transformación.
12. Sea T : U V una transformación lineal definida con respecto a las bases
1, v
v
2
u1, u 2 y
, v 3 de U y V de la siguiente manera:
T u1 2v1 v2 3v3,
T u2 v1 2v2 v3
Encuentre la matriz de T con respecto a estas bases. Utilice esta matriz para determinar la imagen del vector u 4u 7u . 1
1
13. Usando la matriz 0
2
0
2
defina la reflexión sobre que eje se da. Si usa el punto bajo 1 1 x '
x
esta transformación. Recuerde Matriz T . y ' y 1 0 0 14. Usando la matriz 0 1 0 defina la reflexión. Si usa el punto 0 0 1
transformación.
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