Carrera: Ingeniería en sistemas computacionales. Catedrático: Raúl Federico Melo Flores. Asignatura: Álgebra. Módulo: 2. Álgebra Tarea: 4. Matrices elementales y aplicaciones. Alumno: Rodolfo Prieto Prieto Santiago Matrícula: A13000461
a) Usando matrices elementales, encuentre la inversa de las siguientes matrices. 7 A 2
7 5 3 B 4 2 3 4 8 6
5
9
Solución Si A y B son invertibles entonces sus respectivos determinantes esto ocurra:
| | ||
| | ||
, veamos que
= (7x9)-(2x5)= 63-10= 53 -5(-2)(-8)+3(3)(4)+7(6)(4)-[4(-2)(7)+3(6)(-5)+4(3)(-8)]= 124-[- 242]= 124+242= 366
Como ningún determinante es cero, tenemos la certeza de que ambas matrices tienen inversa, por lo que el conjunto de matrices elementales ( que nos permiten obtener , lo obtendré buscando la forma escalonada reducida por Gauss-Jordan en ambas matrices, veamos como nos queda:
Matrices elementales para A y cálculo de
7
7
5 + 2 + 53 7
* * * * =
=
Ahora bien, si
=
de acuerdo a las operaciones elementales de la reducción
anterior, se tienen las siguientes matrices elementales: ,
,
,
, por lo que:
Verificación
( )+ 7 5 *2 9 ( )+ *72 59*
(( )+ * )+ =
=
Nota:
∴
se realizó en Excel, y también se cumple que
=
Dado a que la verificación se cumple, podemos afirmar que
4 + 4 + 52 5 425 + 83 432 + 75 + 35 + Matrices elementales para B y cálculo de
[ ] [ ] [ ]
Ahora bien, si
de acuerdo a las operaciones elementales de la reducción
anterior, se tienen las siguientes matrices elementales:
, por lo que:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Verificación
∴
Dado a que la verificacion se cumple, podemos afirmar que la inversa de B,
obtenida por el producto de matrices elementales es
b) Codifique el mensaje
*43 32
“RETIRADA”
[
]
usando la matriz.
Solución
Primero verificaré por determinante que la matriz sea invertible, ya que de no serlo, no puede usarse para codificar. Así, se tiene que determinante de Como
| |
| | 42 33 8+9
, la matriz es invertible, por tanto, puede usarse para codificar.
Como siguiente paso, usaré la siguiente correspondencia de valores:
Ahora bien, como la matriz A, es de orden 2 x 2, entonces, el grupo de matrices no codificadas deben de ser de orden 1 x 2, lo que implica que hay que separar el mensaje dado en grupos de 2, veamos como nos queda:
19 5 21 9 19 1 4 1 R E T I R A D A Así, el grupo de matrices no cifradas de orden 1 x 2 es el siguiente: RETIRADA
, que al multiplicarlas a la derecha por la matriz A, se obtiene el siguiente grupo de matrices cifradas o codificadas:
9 5*43 32 2 9 *43 32 9 *43 32 4 *43 32 ∴
Matrices codificadas
Del grupo de matrices codificadas, se sigue que el CRIPTOGRAMA del mensaje RETIRADA es: 91 -67 111 -81 79 -59 19 -14
Nota: para decodificar el mensaje, hay que multiplicar cada matriz codificada por c) Codifique el mensaje “LOS ALEMANES ESTAN LLEGANDO” usando la matriz. 1 2 B 2
2
1
3
1
1
0
Primero verificaré por determinante que la matriz sea invertible, ya que de no serlo, no puede usarse para codificar.
||3+22+223++22 +2 ||
Así, se tiene que determinante de es:
Como
, la matriz es invertible, por tanto, puede usarse para codificar.
Como siguiente paso, usaré la siguiente correspondencia de valores:
Ahora bien, como la matriz B, es de orden 3 x 3, entonces, el grupo de matrices no codificadas deben de ser de orden 1 x 3, lo que implica que hay que separar, considerando poner 0 en los espacios, el mensaje dado en grupos de 3, veamos como nos queda: [12
L [5
16
20]
O
S
7
1]
E G A
[0
12]
1
0 A [14
N
4
L 16]
D O
[5
13
E M
1]
[14
5
20]
A
N
E
S
[0
5
0 E
20]
S
[21
1
14]
T
A
N
[0
12
12]
0
L
L
Así, el grupo de matrices no cifradas de orden 1 x 3 es el siguiente: [12
16
20]
[0
1
12]
[5
7
1]
[14
4
16]
[5
13
1]
[14
5
20]
[0
5
20]
[21
1
14]
[0
12
12]
Que al multiplicarlas a la derecha por la matriz B, se obtiene el siguiente grupo de matrices cifradas o codificadas: Matrices codificadas
2 23 4 7 2 4 8 2 2 2 2 3 22 3 3 2 23 29 49 9 2 2 2 2 3 6 43 39 2 23 3 5 25 2 2 2 2 3 5 45 36 2 23 3 6 2 4 22 2 2 3 7 3 3 2 23 4 34 2
[12
16
20]
[0
1
12]
[5
13
1]
[14
5
20]
[0
5
20]
[21
1
14]
[0
12
12]
[5
7
1]
[14
4
16]
∴
Del grupo de matrices codificadas, se sigue que el CRIPTOGRAMA del mensaje LOS ALEMANES ESTÁN LLEGANDO es:
4 72 48 -22 3 13 29 49 19 -16 43 39 -30 15 25 -5 45 36 0 36 24 17 31 13 -10 40 34 Nota: para decodificar el mensaje, hay que multiplicar cada matriz codificada por
d) Diga cuales de las siguientes matrices son estocásticas y cuales no. Si una matriz no es estocástica diga por qué. A= 43 4 1
1
1
2 B 1 2 1
1 12
1 0 C 0
0 1 0
0
1 0
0 D 12 12
3 8 1 8 1 2
0
0
1
Solución
Sea un elemento cualquiera de las matrices A, B, C o D, entonces, para que éstas sean estocásticas, debe de cumplirse que 0 , además que cada columna debe de sumar 1, y las matrices deben de ser de orden n x n, veamos que esto ocurra:
Para A Se observa que se cumple la condición de que 0 , pero la suma de los elementos de la 2da columna es 2 > 1, por lo que se concluye que A no es estocástica. Para B Se observa que el elemento estocástica.
2
[0, 1], y esto basta para concluir que B no es
Para C Se observa que C es de orden 3 x 3, además , y además la suma de cada columna es 1, por lo que se concluye que C es estocástica. Para D Se observa que D es de orden 3 x 3, además , y además, la suma de cada columna es 1, por lo que se concluye que D es estocástica.
e) Construya un modelo de movimiento de población entre las ciudades, los alrededores y las áreas no metropolitanas de Estados Unidos. Sus poblaciones respectivas son 58 millones, 142 millones y 60 millones. La matriz estocástica que da las probabilidades de los movimientos es
Solución Sea la matriz de probabilidades P =
963 98 55 98
Ahora bien, como las poblaciones respectivas ente las ciudades, los alrededores y las áreas no metropolitanas son de 58 millones, 142 millones y 60 millones respectivamente, entonces, la matriz de población actual es:
58 42 6
Ahora bien, si hacermos el producto PX, obtenemos la población en cada una de las tres áraeas, por tanto, el modelo que representa la población en cada área en un año es:
PX=
Así, al cabo de un año, las ciudades tendrán la misma población, los alrededores tendrán 141, 200,000 y las áreas no metropolitanas tendrán 60,800,000 Ahora bien si P se mantine invariable en cada año, entonces, el modelo que determina el número de población por área es:
, donde n = número de años y n es natural
