GUÍA DIDÁCTICA
UNIDAD
8
Funciones. Propiedades Pr opiedades globales 2
O S E
CONTENIDO
1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 Su Suge gerrenc encias ias di didác dáctic ticas as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3 Actividades de ref refuerzo uerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
*Esta programación programación y la concreción curricular de tu Comunidad Autónoma Autónoma podrás encontrarlas encontrarlas en el CD Programación y en www.smconectados.com.
Programación de aula Unidad
8 Funciones.
Propiedades globales
Esta unidad se dedica al estudio de las funciones y supone un avance en el aprendizaje de los alumnos para describir fenómenos presentados en forma de tablas o gráficamente. El curso pasado se trabajó la representación de puntos en el plano cartesiano, la definición de función mediante tablas, gráficas y fórmulas, así como los conceptos de variable dependiente y variable independiente. En este curso se incrementan los contenidos relativos a funciones, introduciendo el dominio y el recorrido, la continuidad y discontinuidad, el crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos, estudiándolos de un modo intuitivo, y siempre a través de la gráfica de la función. Como las gráficas están presentes en multitud de áreas y fenómenos de la vida cotidiana y sirven para representar e interpretar la relación existente entre dos magnitudes de una manera clara y visual, trataremos de utilizar ejemplos extraídos del mundo que nos rodea, en concreto de los medios de comunicación, ya que estos suelen utilizar los gráficos para acompañar multitud de noticias.
OBJETIVOS 1.
2.
3.
Interpretar relaciones funcionales sencillas dadas en forma de tabla, gráfica, a través de una expresión algebraica o mediante un enunciado.
Comprender el concepto de dominio y recorrido, continuidad y discontinuidad de una función.
Comprender los conceptos de crecimiento y decrecimiento, así como de máximo y mínimo local.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
1.1
Construir e interpretar gráficas dadas por tablas o fórmulas.
1.2
Reconocer e interpretar enunciados que correspondan a funciones sencillas de la vida cotidiana.
COMPETENCIAS BÁSICAS
• Lingüística
Identificar las variables dependiente e independiente.
• Matemática
2.2
Describir el dominio y el recorrido de una función a través de su gráfica.
• Tratamiento de la información y competencia digital
2.3
Estudiar la continuidad de una función, indicando los puntos de discontinuidad.
• Autonomía e iniciativa personal
3.1
Estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función a través de su gráfica.
3.2
Reconocer los máximos y mínimos locales de una función a través de su gráfica.
2.1
• Interacción con el mundo físico
CONTENIDOS • Ejes de coordenadas, origen de coordenadas, eje de abscisas y eje de ordenadas • Coordenadas cartesianas. Abscisa y ordenada
• Continuidad de una función. Puntos de discontinuidad
• Representación de puntos en el plano
• Función creciente. Función decreciente. Función constante
• Relaciones dadas por fórmulas, tablas y gráficas
• Máximos y mínimos
• Variable independiente. Variable dependiente
• Valoración de las funciones para interpretar situaciones de la vida cotidiana y otras ciencias
• Concepto de función • Imagen • Dominio de una función • Recorrido de una función • Representación gráfica de funciones 2
• Puntos de corte con los ejes
Unidad 8
Funciones. Propiedades globales
• Sensibilidad y gusto por la claridad y el orden en la representación de datos y su representación en gráficas • Valoración crítica del uso del lenguaje gráfico en informaciones y argumentaciones sociales, políticas y económicas
Programación de aula
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1.
Conocimientos previos
Para poder calcular los valores de la variable dependiente a través de la fórmula de la función, los alumnos deben comprender el significado del valor numérico de una expresión algebraica y, por tanto, deben do minar la jerarquía de las operaciones. Los alumnos también deben tener soltura con la transcripción al lenguaje algebraico para poder obtener la fórmula de funciones sencillas a través de un enunciado concreto. 2.
Previsión de dificultades
Los alumnos presentan dificultades en la interpretación de las expresiones simbólicas que describen la relación funcional entre variables. También podemos encontrar dificultades a la hora de la interpretación del crecimiento y decrecimiento de funciones, ya que los alumnos no entienden por qué hay que referirlo al eje de abscisas. Para ello deberemos hacer numerosos ejemplos que representen situaciones cotidianas, para que así tenga sentido la monotonía de las funciones. 3.
Vinculación con otras áreas
Como ya dijimos en la introducción, siempre podemos encontrar ejemplos de funciones en todas las áreas del currículo y en situaciones cotidianas. De hecho, en multitud de disciplinas se trata de encontrar modelos funcionales que describan diferentes fenómenos, para poder extraer conclusiones y hacer predicciones. 4.
Esquema general de la unidad
El uso de un sistema de ejes cartesianos permite la representación de puntos en el plano y, como consecuencia, la gráfica de una función. Es así como comienza la unidad para dar paso a la información dada por una fórmula, tabla o gráfica. Todo ello lleva a los conceptos de función, dominio y recorrido. Una vez estudiados y asimilados estos, se estudian las representaciones gráficas de funciones, concretándose en el paso de una tabla a una gráfica y de una fórmula a una gráfica, entreteniéndonos en los puntos de corte con los ejes. La unidad acaba con el estudio de las propiedades globales de las funciones: continuidad y discontinuidad, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos. 5.
COORDENADAS CARTESIANAS Relación entre Tablas
Fórmulas
Gráficas
FUNCIÓN Variables
Propiedades
Dominio
Crecimiento
Recorrido
Máximos - Mínimos
Temporalización
Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones:
1.ª Introducción. Desarrolla tus competencias. Coordenadas cartesianas 2.ª Fórmulas, tablas y gráficas 3.ª Funciones. Dominio y recorrido 4.ª Representación gráfica de funciones 5.ª Continuidad. Puntos de discontinuidad 6.ª Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos 7.ª Actividades de consolidación 8.ª Pon a prueba tus competencias En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ej ercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.
Funciones. Propiedades globales
Unidad 8
3
Programación de aula
CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y, en general, la resolución de problemas contextualizados, desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias comunicación escrita.
Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. En esta unidad se puede considerar que se trabajan aspectos de las tres subcompetencias matemáticas: razonamiento y argumentación, resolución de problemas y uso de elementos y herramientas matemáticos. Debido a que las gráficas se usan de una manera habitual en la vida real para describir fenómenos, en esta unidad se trabajará particularmente el descriptor conocer y aplicar herramientas matemáticas para interpretar y producir información.
Competencia para la interacción con el mundo físico En esta unidad se desarrollan las subcompetencias conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico y medio natural y desarrollo sostenible.
Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital A lo largo de la unidad aparecen en “Librosvivos” y “En la red” varias referencias para realizar actividades interactivas y buscar información con el fin de desarrollar y ampliar los contenidos de la unidad, desarrollando el descriptorbuscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad de la subcompetencia obtención, transformación y comunicación de la información. Al tener que interpretar datos dados en tablas para poderlos expresar de una forma más clara en una gráfica y tener que interpretar gráficas para poder sacar conclusiones sobre la relación existente entre dos magnitudes, también desarrollaremos el descriptor organizar la información, relacionarla y sintetizarla, transformándola en esquemas de fácil comprensión .
Competencia para la autonomía e iniciativa personal Se trabaja la subcompetencia liderazgo al tener que exponer trabajos en público, defenderlos y admitir las críticas.
Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate en relación con las actividades señaladas.
4
Unidad 8
Funciones. Propiedades globales
Programación de aula
TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.
COMPETENCIA
1. nivel de concreción 2.º nivel de concreción Lingüística
DESCRIPTOR
DESEMPEÑO
3. nivel de concreción
4.º nivel de concreción
SUBCOMPETENCIA
er
Comunicación escrita
er
Aplicar de forma efectiva habilidades lingüísticas y estrategias no lingüísticas para interactuar y producir textos escritos adecuados a la situación comunicativa.
– Redacta un diario de viajes.
Pon a prueba tus competencias: Analiza e interpreta, 6 – Analiza datos de un climograma.
Razonamiento y argumentación
Interpretar y expresar con claridad y precisión distintos tipos de información, datos y argumentaciones, utilizando vocabulario matemático.
Resolución de problemas
Seleccionar las técnicas adecuadas para calcular resultados, y representar e interpretar la realidad a partir de la información disponible.
Matemática
Desarrolla tus competencias, I – Utiliza el lenguaje de las funciones.
Pon a prueba tus competencias: Analiza e interpreta, 3 Planifica tu viaje, 2 – Deduce el dato que falta.
Pon a prueba tus competencias: Analiza e interpreta, 1 – Dibuja una gráfica a partir de una tabla.
Pon a prueba tus competencias: Analiza e interpreta, 3 Uso de elementos y herramientas matemáticos
Conocer y aplicar herramientas matemáticas para interpretar y producir información.
– Reconoce la velocidad como función del espacio y el tiempo.
Pon a prueba tus competencias: Planifica tu viaje, 3 – Calcula velocidades medias.
Pon a prueba tus competencias: Analiza e interpreta, 5 Conocimiento y valoración del desarrollo científicotecnológico
Conocer y valorar la aportación del desarrollo de la ciencia y la tecnología a la sociedad.
– Conoce la relación entre las diferentes unidades de temperatura y longitud.
Actividades 57 y 68 – Relaciona las diferencias climáticas con la situación geográfica.
Interacción con el mundo físico Medio natural y desarrollo sostenible
Conocer y entender el espacio físico en el que se desarrolla la vida y la actividad humana.
Desarrolla tus competencias – Interpreta datos en función del clima de España.
Pon a prueba tus competencias: Analiza e interpreta, 3 – Construye gráficas que representan situaciones reales.
Organizar la información, relacionarla y sintetizarla, transformándola en esquemas de fácil comprensión.
Tratamiento de la información y competencia digital
Obtención, transformación y comunicación de la información
Liderazgo
– Interpreta gráficos y extrae información de ellos.
Actividades 8, 47 y 66 – Visita la página librosvivos.net.
Actividades 6, 12 y 41 Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.
Autonomía e iniciativa personal
Pon a prueba tus competencias: Analiza e interpreta, 2
Desarrollar la empatía, valorar las ideas de los demás y ser capaz de afirmar y defender los derechos del grupo.
– Utiliza Internet para realizar actividades y buscar información.
En la red Pon a prueba tus competencias: Planifica tu viaje, 3 a 6 – Valora de forma crítica el trabajo de los demás.
Desarrolla tus competencias, II
Funciones. Propiedades globales
Unidad 8
5
Programación de aula
EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores: • Educación para la salud: ejemplo 4. • Educación para el consumidor: actividades 20, 69 y 70. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Hay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto están clasificados por un código de colores según su dificultad: verde, nivel básico; naranja, nivel me dio, y rojo, de alguna dificultad. De esta forma, el profesor podrá adaptar el contenido de la unidad bien a las características particulares de la clase, bien a las específicas de cada grupo de alumnos dentro de la misma. Además, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno: • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas. MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores
• Cuadernos de matemáticas. 1.º de ESO: N.º 4: Proporcionalidad, gráficas y estadística – Unidad 8. Tablas, gráficas y proporcionalidad Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso s o c i f á r g o i l b i B
SM
Otros
t e n r e t n I
s e s l a o i r r t e O t a
m
6
Unidad 8
SM
Otros
• Cuaderno de refuerzo de Matemáticas. 2.º de ESO. “Aprende y aprueba” – Unidad 9. Gráficas y funciones • Cuadernos de matemáticas. 2.º de ESO: N.º 4: Proporcionalidad, funciones y estadística – Unidad II. Funciones • Cuadernos de matemáticas para la vida. 2º de ESO – El Museo del Prado, ¿Cuánto contaminamos?, Residuos inteligentes y Bosques en llamas • Cuadernos de investigaciones matemáticas. 2º de ESO – Unidad 7. Funciones a nuestro alrededor AZCÁRATE, C., y DEULOFEU J.: Funciones y gráficas, Maeva, Madrid, 2008. www.smconectados.com www.librosvivos.net
Funciones y gráficas del tema de funciones del libro de 2.º de ESO del CIDEAD. www.e-sm.net/2esomatprd14
• Dominó de funciones, de Materiales para construir las Matemáticas en la ESO. Proyecto Sur • El programa Excel puede servir para representar funciones dadas mediante tablas • Cuaderno de evaluación de competencias
Funciones. Propiedades globales
Sugerencias didácticas Entrada En la entrada pueden verse tres paisajes correspondientes cada uno de ellos a un clima diferente. Los alumnos podrían pedir información al profesor de sociales sobre los diferentes climas que existen y sus características. A partir de esta información podrían tratar de asociar cada imagen a su clima. Podríamos dividir la clase en grupos y que cada grupo elaborase una ficha sobre los diferentes climas que hay, asociando a cada uno de ellos su climograma e indicando en qué zonas del planeta se dan, para así identificar, a la vista del climograma de la actividad I, qué tipo de clima hay en Buenos Aires. Además de apreciar la relación que tiene la interpretación de gráficas con el estudio del clima, podemos advertir a los alumnos que el estudio de los datos que se toman en las estaciones de climatología sirve para predecir, con ayuda de la inferencia estadística, el tiempo que va a hacer en los próximos días.
– Si la primera coordenada es nula, significará que solo nos movemos verticalmente, y si es nula la segunda, nos moveremos solo en horizontal. – Si ambas coordenadas son nulas, significa que no nos desplazamos y entonces nos quedamos parados en el origen. • Conviene que identifiquemos los cuadrantes con los signos de las coordenadas de los puntos que están sobre ellos, escribiendo sobre unos ejes, dibujados en la pizarra: – (+, +) sobre el primer cuadrante. – (−, +) sobre el segundo cuadrante. – (−, −) sobre el tercer cuadrante. – (+, −) sobre el cuarto cuadrante. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
2 a 4 y 42 a 45
Medio
5 y 46
Desarrolla tus competencias I.
En el texto de entrada se describe brevemente cómo se elabora un climograma, por lo que los alumnos podrán interpretar sin problema el que aparece en la actividad. Aprovecharemos esta actividad para introducir conceptos que se desarrollan en la unidad, como crecimiento y decrecimiento y máximos y mínimos. Los alumnos podrían describir brevemente la evolución de la temperatura media incluyendo en su informe estos conceptos. A la vista del informe que elaboren se darán cuenta de que, efectivamente, los meses de menor temperatura en Buenos Aires coinciden con los meses de máxima temperatura de su ciudad.
II.
Para realizar esta actividad será necesario llevar al aula el climograma de nuestra ciudad, para que así los alumnos puedan realizar una comparativa con el clima de Buenos Aires.
III.
A los alumnos no les costará deducir por sí mismos que en enero en Buenos Aires es verano.
IV.
Con esta actividad trabajaremos la competencia para la autonomía e iniciativa personal, en concreto la subcompetencia liderazgo, ya que los alumnos, al comparar su trabajo con el realizado por los demás compañeros, deberán valorar el trabajo de los otros y elegir la gráfica que esté mejor.
1. Coordenadas cartesianas • En 1.º de ESO ya se trabajó en la representación de puntos en el plano, pero algunos alumnos seguirán encontrando dificultades. Les cuesta identificar la abscisa y la ordenada. Para evitarlo, les podemos relacionar las coordenadas del punto con desplazamientos. Partiendo del origen: – La primera ordenada nos indica desplazamiento hacia la derecha si es positiva y hacia la izquierda si es negativa. – La segunda coordenada nos indica desplazamiento hacia arriba si es positiva y hacia abajo si es negativa.
2. Fórmulas, tablas y gráficas • En este epígrafe se resumen las tres formas en las que se puede expresar la relación existente entre dos magnitudes dependientes. • Es importante hacer hincapié en la elección de la variable independiente. Por ello pediremos a los alumnos que nos den ejemplos de relaciones entre magnitudes presentes a su alrededor, indicando cuál sería la variable independiente y cuál la dependiente. Si tuvieran dificultades, pueden tomar ejemplos del enlace que se sugiere en el margen. • En el ejemplo, la relación viene dada por una fórmula y a partir de ella pueden elaborarse la tabla y la gráfica. Sin embargo, es preciso hacer notar a los alumnos que en otros casos, a partir de la tabla o la gráfica, no puede obtenerse la fórmula, como ocurre en el ejercicio 8. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
8 a 10 y 64
Medio
11, 47 y 48
Alto
49, 71 y 73
3. Funciones, dominio y recorrido • Con el concepto de función se formalizan las diferentes formas de expresar una relación entre magnitudes vistas en el apartado anterior. • Conviene poner varios ejemplos gráficos para que los alumnos distingan cuándo una gráfica representa una función o no, asimilando de esta forma el concepto de función. • Los conceptos de dominio y recorrido de una función aparecen por primera vez. Pueden resultarles abstractos, por ello conviene que nos detengamos en los ejemplos 4 y 5 para describir el dominio y el recorrido de las funciones que en ellos aparecen. Funciones. Propiedades globales
Unidad 8
7
Sugerencias didácticas
• Para que identifiquen el dominio en una función dada por una gráfica podemos indicarles que recorran los ejes coordenados con un bolígrafo en posición vertical, y siempre y cuando el boli corte la gráfica, el punto por el que corte el boli al eje de abscisas pertenecerá al dominio. • Para indicar el recorrido de una función dada por una gráfica, haremos lo mismo que con el dominio, solo que aquí recorreremos los ejes verticalmente con el bolígrafo en posición horizontal.
en el mundo físico es el cambio de unidades en diferentes sistemas de medida. En estos ejercicios se indica el cambio con medidas de temperatura y con medidas de longitud. Podemos aprovechar la ocasión para que los alumnos busquen cuáles serían las funciones que permiten el cambio de kilos a onzas en las unidades de masa.
6. Crecimiento y decrecimiento
ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
15, 16, 50, 51 y 65
Medio
17, 18, 52 y 53 19
Alto
57 y 68. Un ejemplo claro de cómo las funciones interactúan
4. Representación gráfica de funciones • Los alumnos no tendrán problemas a la hora de representar los pares de puntos que aparecen en una tabla. • Si la función viene dada por una fórmula, bastará con que los alumnos elaboren la tabla de valores correspondiente, pero fijándose en qué valores son los que puede tomar la variable independiente. Una vez obtenida la tabla, seguirán los mismos pasos que en el caso anterior. • El problema surgirá a la hora de determinar si los puntos representados pueden unirse o no, dependiendo de los valores que puede tomar la variable independiente. Para que vean esta diferencia utilizaremos los ejemplos 6 y 7: mientras que en el primero sí pueden unirse, en el segundo no. • Una vez que los alumnos hayan representado la función, no tendrán problemas para indicar los puntos de corte. Sin embargo, si la función viene dada mediante una fórmula, podremos encontrar dificultades en el caso del punto de corte con el eje X , ya que los alumnos deberán resolver la ecuación resultante f ( x ) 0.
• Para que los alumnos comprendan intuitivamente los conceptos de crecimiento y decrecimiento podemos pedirles que se imaginen que están sobre una bicicleta recorriendo la gráfica de la función de izquierda a derecha. Los tramos de bajada se corresponderán con los tramos donde la función decrece, y los tramos de ascensión, con los de donde la función crece. Después de esta comparación no encontraremos problemas a la hora de definir formalmente estos conceptos. • Es importante hacer ver a los alumnos que para estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función debemos recorrer la variable independiente de izquierda a derecha y ver qué pasa con las imágenes. • Los conceptos pueden dejarse claros con el ejemplo, prestando atención al tramo constante de la gráfica para hacer ver a los alumnos que ahí la función no crece ni decrece, y sobre todo, que una función, cuando no crece, no necesariamente decrece, y viceversa. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
32, 33 y 58
Medio
34, 35 y 61
Alto
72
=
ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
21 y 22
Medio
23 a 28, 54, 55 y 67 a 69 56, 57 y 74 a 77
Alto
5. Continuidad y discontinuidad
• Para que los alumnos comprendan el concepto de máximo y mínimo podemos utilizar un símil parecido al que utilizamos para el crecimiento y decrecimiento, que se imaginen que van caminando sobre la gráfica y que están en una cadena montañosa: en el momento que pasen de subida a bajada estarán sobre una cima, y cuando deje n de bajar para volver a ascender estarán en el fondo de un barranco.
• Podemos empezar el epígrafe con la idea intuitiva de continuidad de una función dada en el margen. De esta manera entenderán mejor la idea de “salto”.
• Conviene relacionar la idea de máximo con el punto donde la función pasa de crecer a decrecer, y la de mínimo con el punto donde la función pasa de decrecer a crecer.
• Sería interesante relacionar la continuidad de una función con la posibilidad de unir todos los puntos una vez representados los pares de la tabla de valores.
• Es importante hacer la distinción de dónde se alcanza el máximo o el mínimo con el valor máximo o mínimo que toma la función. Podemos ilustrar esto con ayuda del ejemplo diciendo que es en julio cuando menos llueve con acumulación de unos 4 litros por metro cuadrado.
• A los alumnos aventajados les recomendaremos que visiten la página que viene en el enlace del margen, donde mediante gráficas podrán ver distintos tipos de discontinuidades que podemos encontrar. ACTIVIDADES POR NIVEL
8
7. Máximos y mínimos
Básico
29
Medio
30 y 31
Unidad 8
Funciones. Propiedades globales
• A la vista de los ejemplos, los alumnos se darán cuenta de que, tal y como hemos definido el máximo y el mínimo, una función puede tener infinitos, pero que a lo sumo solo uno de ellos será el mayor máximo o el menor mínimo. En el ejemplo 12 puede verse claramente cuando se dice que el máximo de precipitación anual se alcanza en octubre.
Sugerencias didácticas
• A partir de este momento pueden realizarse actividades de representación de funciones que abarquen todas las propiedades globales estudiadas, dando así una visión de conjunto y haciendo ver a los alumnos la cantidad de información contenida en una función.
ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
37, 39, 59, 60 y 66
Medio
40, 62 y 70
Alto
63
Organiza tus ideas • En esta página nos encontramos un esquema de los conceptos que se han desarrollado a lo largo de toda la unidad. El esquema se divide en cuatro bloques: coordenadas, definición de función, formas de representar una función y propiedades globales de una función. • Para que los alumnos aprovechen la parte referida a las propiedades globales de una función, podemos pedirles que representen en una hoja cuadriculada una función describiendo por el revés todas las propiedades globales desarrolladas en la unidad. Una vez que hayan terminado, se pueden intercambiar las funciones representadas y pedir a cada alumno que describa las propiedades de la función que le ha entregado su compañero.
Actividades de ampliación Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolverlos, dado que no son problemas guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante, aunque al comienzo les asuste un poco.
Pon a prueba tus competencias
Para resolver las actividades 1 y 2 podríamos dibujar en la pizarra unos ejes coordenados, situando en el eje de abscisas los días, y en el de ordenadas, las temperaturas. Una vez que estén dibujados, iremos sacando a los alumnos de uno en uno a la pizarra para que vayan representando los distintos valores. De esta forma, de un simple vistazo pueden decir cuáles fueron las temperaturas máximas y mínimas, y además, cuándo se alcanzaron. La actividad 4 no resultará difícil, ya que al ver cómo se han completado las primeras columnas, completar el resto es fácil. Lo único que deberíamos advertirles es que tengan la tabla completa antes de dibujar los ejes, ya que esta les marcará la escala y división de los ejes. Una vez que tengan la gráfica dibujada les indicaremos que las gráficas tiempo-espacio sirven para interpretar la velocidad de un móvil, en este caso la velocidad del coche en el que viaja Sara. Podemos completar la actividad pidiéndoles que calculen la velocidad media de cada día, y una vez que tengan todas las velocidades diarias, que calculen la media de estas y la comparen con lo que han obtenido en la actividad 5. Con la última actividad trabajaremos la subcompetencia escrita y en general la competencia de aprender a aprender, ya que los alumnos tendrán que mostrar su creatividad y admitir que puede haber relatos mejores que el suyo propio. PLANIFICA TU VIAJE. ¿DISTANCIA O TIEMPO?
Para realizar las actividades aquí propuestas, los alumnos deben manejar con soltura la interpretación de tablas de contenidos. Las actividades 1 y 2 van encaminadas a que se den cuenta de que cuanta más población tiene una ciudad, sus infraestructuras están más desarrolladas. El enlace que aparece en la actividad 3 es de la página de Google Maps, que permite calcular itinerarios de viajes, indicando la duración de los mismos. A la vista de la gráfica y teniendo en cuenta que Pedro solo dispone de un fin de semana, los alumnos podrán contestar a la pregunta. Para realizar las actividades 5 y 6 necesitaríamos acceso a internet. Si el aula dispone de proyector y conexión a internet, podríamos proyectar el mapa en la pantalla y responder a las cuestiones conjuntamente.
ANALIZA E INTERPRETA. EL VIAJE DE SARA
Esta actividad es continuación de la entrada, ya que requiere que los alumnos investiguen sobre los diferentes climas que podemos encontrar en España.
En la página 16 presentamos una matriz de evaluación que el profesor puede utilizar para evaluar el grado de consecución de las competencias básicas trabajadas a lo largo de esta unidad. Además, en www.smconectados.com puede descargar una aplicación informática que le facilitará esta tarea.
Funciones. Propiedades globales
Unidad 8
9
Actividades de refuerzo Unidad
8 Funciones.
Propiedades globales
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los objetivos principales que los alumnos deberían alcanzar son: • Conocer el concepto de función. • Construir e interpretar gráficas. • Identificar características de una función: dominio, continuidad, crecimiento, máximos y mínimos. • Resolver problemas usando relaciones funcionales. Las actividades que se proponen pretenden estimular y usar la intuición de los alumnos para resolverlas. Se intenta, al menos, que recuerden los conceptos más básicos de la unidad y los afiancen para poder continuar con el estudio de las funciones que se hace en el siguiente tema.
ACTIVIDAD DE GRUPO Gráficas engañosas
Proporcionamos a los alumnos los datos de la tabla siguiente. x
2
4
6
8
10
y
3
5
7
9
11
Formamos tres grupos, cada uno de ellos realizará la gráfica variando la escala. El primer grupo representará los datos con la misma escala para los dos ejes de coordenadas; el segundo, variando la escala del eje X , y el tercero, variando la escala del eje Y . Una vez terminado este trabajo, pediremos a los alumnos que comenten las tres gráficas. Se pretende que aprecien que con los mismos datos se pueden dar diferentes visiones según convenga. Resulta interesante debatir lo que ocurre con gráficas que aparecen en los distintos medios de comunicación.
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.
Empezando por el extremo inferior izquierdo, las coordenadas son: ( 2, 3), ( 2, 3), (2, 3), (2, 2), ( 1, 2), ( 1, 1), (1, 1), (1, 0), ( 1, 0), ( 1, 1), (2, 1). −
−
−
2.
−
−
−
−
−
a) Sí es una función continua. No hay ningún salto en la gráfica.
Y
b) Crece entre x 1
O
−
=
1 y x
Es constante entre x X
1
=
=
3 y entre x 3 y x
−
=
=
4 y x
=
1 y entre x
5.
=
3 y x
=
4.
c) El camino de vuelta se puede ver en trazo discontinuo.
No se trata de una función, ya que para cada valor de x hay dos valores de y .
3.
4.
a) Juan
c) Sara
b) Daniel
d) Julia
Dominio de la función de x Crece entre x
=
0 y x
=
=
0 a x
4 y entre x
Por tanto, tiene un máximo en x
=
=
=
16. Recorrido de la función de y 11 y x
=
16. Decrece de x
4 y un mínimo en x
=
=
=
4 a x
0 a y
=
=
7.
11.
11.
En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.
10
Unidad 8
Funciones. Propiedades globales
Más recursos en tu carpeta
ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 1.
8
Funciones. Propiedades globales
Indica las coordenadas que determinan los vértices de la siguiente letra. Y
1
O
2.
X
1
En el punto (−3, −3) hay un hormiguero. Una hormiga ve comida en el punto (5, 2); primero avanza horizontalmente hasta (1, −3); luego, en diagonal hasta (3, −2); después, en horizontal hasta (4, −2), y por último, en diagonal hasta donde está la comida. Representa en unos ejes de coordenadas el recorrido de la hormiga. a) ¿Has dibujado una función continua? ¿Por qué? b) Indica dónde es creciente y dónde constante. c) Traza en la misma gráfica el camino de vuelta de la hormiga al hormiguero, sabiendo que vuelve en línea recta. ¿El resultado es una función? ¿Por qué?
3.
Sara, Juan, Daniel y Julia han quedado en la piscina, cada uno va a ir en su bici. • Sara acelera hasta alcanzar los 15 km/h, mantiene la velocidad un tiempo y después acelera hasta 25 km/h y mantiene la velocidad hasta la piscina. • Juan acelera hasta alcanzar los 20 km/h y después mantiene esa velocidad hasta llegar a la piscina. • Daniel acelera hasta llegar a 30 km/h y mantiene esa velocidad durante un rato, después frena hasta los 15 km/h, que mantiene hasta llegar a la piscina. • Julia acelera hasta 35 km/h e inmediatamente frena hasta 15 km/h, manteniendo esta velocidad hasta la piscina. Asocia la gráfica que corresponde a cada uno.
a)
O
4.
b)
Y
X
c)
Y
O
X
d)
Y
O
X
Y
O
X
Indica el dominio, el recorrido y los intervalos donde la siguiente gráfica es creciente y decreciente, y señala los máximos y mínimos. Y
e l b a i p o c o t o f
1
O
1
X
a n i g á P
Funciones. Propiedades globales
Unidad 8
11
Actividades de ampliación Unidad
8 Funciones.
Propiedades globales
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Se proponen actividades de cierta dificultad, que profundizan en los contenidos de esta unidad. Se trata de que los alumnos dominen los conceptos básicos del análisis de funciones, que seguirán trabajando en cursos superiores. En el siguiente tema se estudian en profundidad las funciones de proporcionalidad directa e inversa, por lo que no procede la ampliación de los contenidos por esta vía.
ACTIVIDAD DE GRUPO Analizando carreras
Para esta actividad, previamente hay que pedir a los alumnos que busquen, en periódicos, revistas o internet, perfiles de etapas de vueltas ciclistas o circuitos de fórmula 1 o motociclismo. El trabajo consiste en que cada grupo elabore la gráfica de la velocidad que puede llevar un corredor según la etapa. En el caso de la fórmula 1 o motociclismo, la velocidad que lleve el coche de carreras o la motocicleta según el circuito. Cada grupo debe analizar las propiedades globales de las gráficas que ha elaborado. Sería muy interesante una pequeña puesta en común, para que los alumnos aprendan a utilizar correctamente el lenguaje matemático propio de esta unidad y así expliquen sus conclusiones a sus compañeros.
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.
a) A tuvo los mismos gastos que F . A
4.
y B tuvieron los mismos ingresos.
Podría corresponder a la anotación de los dos equipos de un partido de baloncesto.
b) Gastos: A = F < E < D < B < C
b) Sí, son funciones, ya que a cada minuto le corres-
Ingresos: A = B < C < D < E < F
ponde una única puntuación de cada equipo.
c) F ahorró más. 2.
a) Se relacionan puntos y minutos.
c) No tiene sentido unir los puntos, ya que un equipo no
Aunque es una respuesta abierta, la gráfica se tiene que parecer a la siguiente.
puede llevar 10,5 puntos. d) Crece permanentemente. No puede haber decreci-
miento, ya que esto querría decir que a ese equipo le han quitado puntos, lo cual no es posible.
Y
e) El resultado fue de 109 a 101. 1 O
X
1
s 28 o r t e 24 M 20 16 12 8 4
3.
a)
O 1 2 3 4 5
a i c 8 n e 6 r e f i 4 D 2 O
Horas
A–B
4
8
12 1 6 20 2 4 28 3 2 36 4 0
–4
Minutos
b) Como se ve en la gráfica, tarda 5 horas en ascen-
der la pared.
En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.
12
Unidad 8
Funciones. Propiedades globales
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ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN 8
Unidad 1.
Funciones. Propiedades globales
Se muestran en la siguiente gráfica los gastos e ingresos de 6 familias en un año. s o t s a G
C B
D E A
F
1 O
Ingresos
1
a) ¿Qué familias tuvieron los mismos gastos? ¿Y los mismos ingresos? b) Ordena las familias por orden de menor a mayor gasto, y después, de menores a mayores ingresos. c) ¿Qué familia consiguió ahorrar más? 2.
Dibuja una gráfica con las siguientes características.
• Dominio de x
=
• Recorrido de x
8 hasta x
−
=
1 hasta x
=
=
7 5
• Continua • Mínimo en ( 4, 1) y en (4, 2) −
• Máximo en ( 1, 4) −
• Un tramo constante desde x 3.
=
1 hasta x
=
3
Un caracol quiere subir una pared de 28 metros. En la primera hora sube 12 metros, pero en la segunda descansa y se escurre 4 metros hacia abajo. Después vuelve a subir 12 metros en la tercera hora y a bajar 4 en la cuarta. Siguiendo este proceso: a) Representa la función que relaciona el tiempo, en horas, con la distancia, en metros, a la que se encuentra del suelo. b) ¿Cuántas horas tarda en lograr ascender toda la pared?
4.
En un periódico aparece la siguiente gráfica. a) ¿Qué magnitudes se relacionan?
s o t n u 100 P
A B
80
A B
¿A qué situación podría corresponder dicha gráfica? b) ¿Son funciones? ¿Por qué?
60
c) ¿Tiene sentido unir los puntos?
40
d) ¿Cuándo crece y cuándo decrece?
¿Por qué?
20
e) ¿Cuál fue el resultado final? O
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
Minutos
A partir de los datos que puedes obtener en las gráficas, realiza una nueva en la que representes la diferencia de puntos a favor de A a lo largo del tiempo.
e l b a i p o c o t o f a n i g á P
Funciones. Propiedades globales
Unidad 8
13
PROPUESTA de EVALUACIÓN 8
Unidad
Funciones. Propiedades globales
APELLIDOS:
NOMBRE:
FECHA:
1.
CURSO:
Representa los siguientes puntos en los ejes de coordenadas. A(2, 3); B(
2.
1, 2); C(0, 3); D( 2, 1); E ( 4, 2)
−
−
−
−
−
Representa los siguientes puntos en un eje de coordenadas, indicando a qué cuadrante pertenecen. O(0, 0); P (
3.
GRUPO:
3, 3); Q(1, 1); R(4, 2); S(0, 2); T ( 4, 1); U ( 3, 0)
−
−
−
−
−
−
Halla la fórmula que corresponde a los datos contenidos en la siguiente tabla y represéntala. N.º de sobres de cromos Precio en euros
1
2
3
4
0,35
0,70
1,05
1,40
4.
En la función de la actividad anterior, ¿cuántos sobres de cromos puedes comprar con 7 euros? Y si compras 12 sobres, ¿cuánto te cobrarán?
5.
Dada la función f ( x )
=
x −
4, halla los valores que se indican.
a) f (4)
c)
x para
que f ( x )
b) f ( 1)
d)
x para
que f ( x )
−
=
2 2
= −
6.
Escribe la fórmula del área de un triángulo de base 4 centímetros en función de su altura.
7.
Una función transforma cada número en su cuádruplo y le resta una unidad. a) Escribe la fórmula que corresponde a la función y elabora una tabla. b) Representa la función y razona si es continua. c) Estudia su crecimiento y decrecimiento e indica si tiene máximo o mínimo. d) Halla los puntos de corte con los ejes.
8.
Ramón sale de su casa para ir al instituto, que está a 1200 metros, a las 8.00; a las 8.10 se para 5 minutos a 600 metros de su casa para esperar a su amigo Serafín; luego, juntos llegan al instituto a las 8.25 y esperan a que comiencen las clases a las 8.30. a) Representa la distancia recorrida por Ramón en función del tiempo. b) Indica los tramos de crecimiento y decrecimiento.
e l b a i p o c o t o f a n i g á P
14
c) Analiza si es una función continua o discontinua. d) Indica si tiene máximo o mínimo. e) Halla los puntos de corte con los ejes. f) Si no se parara a esperar a su amigo, ¿a qué hora llegaría Ramón al instituto?
Unidad 8
Funciones. Propiedades globales
Propuesta de evaluación Unidad
Funciones. Propiedades globales
8
SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1.
7.
Y
a) La fórmula es f ( x ) = 4 x − 1
A (2, 3) E (–4, 2) 1
B (4, 0)
O
−2
−1
0
1
2
f ( x )
−9
−5
−1
3
7
b) Se trata de una función continua.
X
1
x
D (–2, –1)
Y C (0, –3)
2.
Y
1 O
P (–3, 3) Q (1, 1)
1
U (–3, 0)
O T (–4, –1)
X
1
X
1 S (0, –2)
R (4, –2)
c) La función es creciente. O
4
es del 1.er cuadrante; R, del 2.º; T , del 3.º, y P , del 4.º Q
U pertenece al semieje negativo de abscisas, está entre
el 2.º y el 3.º cuadrante. está en el semieje negativo de las ordenadas entre los cuadrantes 3.º y 4.º S
3. f ( x ) = 0,35 x , donde x es el número de sobres de cromos. ) € (
1
d) Corta los ejes en (0, −1) y , 0.
es el origen de coordenadas.
8.
a)
s o r1200 t e1000 M
800 600 400
200 O
5
10
15
20
25
30
Minutos
Y
o i c e r P
b) La función crece hasta que x = 10 minutos, luego
es constante hasta x = 15 minutos, vuelve a crecer hasta x = 20 minutos y es constante hasta x = 30 minutos.
1,40 1,05
0,70 0,35 O
c) Es una función continua. 1 2 3 4
N.º de sobres
d) No tiene máximo ni mínimo. e) El único punto de corte con los ejes es O(0, 0).
4.
Con 7 euros se pueden comprar 20 sobres de cromos. Por 12 sobres nos cobrarán 4,20 euros.
5.
a) f (4) = 0
c) x = 6
b) f (−1) = −5
d) x = 2
6. f (x ) =
f) Llegaría a las 8.20.
4⋅ x = 2 x 2
Funciones. Propiedades globales
Unidad 8
15
SOLUCIONARIO
2
O S E