Carrera: Ingeniería en sistemas computacionales. Catedrático: Raúl Federico Mela Flores. Asignatura: Álgebra. Módulo: 1. Álgebra Tarea: 2. Sistemas de ecuaciones y aplicaciones. Alumno: Rodolfo Prieto Prieto Santiago Matrícula: A13000461
Realiza los siguientes ejercicios . a) Determine
si las matrices están en forma escalonada reducida. Si una matriz no está en esa forma, explique el por qué.
1
0
0
1
1.
Se observa que en ambos renglones, el primer elemento delantero diferente de cero (pivote) es un 1, además todos los elementos, en su caso, arriba y abajo de los pivotes son nulos, por lo tanto, la matriz es escalonada reducida.
2 4
1 3 0 2 0 0 1 9
2.
3.
1
0
2
4
1
3
Se observa que en ambos renglones, el primer elemento delantero diferente de cero (pivote) es un 1, sin embargo, el elemento por 9 arriba del pivote de la segunda columna no es cero , por tanto, la matriz no es escalonada reducida . 8
1 3 0 4 4. 0 0 2 9
1 5. 0 0
1 6. 0 0
0
0
0
1
6
0
0
1
1
0
0
0
Se observa que en ambos renglones, el primer elemento delantero diferente de cero (pivote) es un 1, además todos los elementos, en su caso, arriba y abajo de los pivotes son nulos, por lo tanto, la matriz es escalonada reducida.
Se observa que en el renglón 2, el primer elemento delantero no nulo es 2, y esto basta para afirmar que la matriz no es escalonada reducida.
Se observa que en los 3 renglones, el primer elemento delantero diferente de cero (pivote) es un 1 , además todos los elementos, en su caso, arriba y abajo de los pivotes son nulos or lo tanto la matriz es escalonada reducida .
Se observa que el renglón nulo está en la parte inferior , además, en los renglones 1 y 2, el primer elemento no nulo es 1, y en su caso, los elementos arriba y debajo de dichos pivotes son ceros, por tanto, la matriz es escalonada reducida.
b) Cada una de las matrices siguientes están en forma escalonada reducida. Encuentre la
solución (si existe) de cada uno de los sistemas de ecuaciones.
1 7. 0 0
0
5
0
6 2
1
0
0
1
1 8. 0 0
0
3
1 9. 0 0
4
1
2
0
0
8 0
0
5
0
1
7
0
0
1 0
, , + + , , ), ∀ ∈
Se observa que el sistema es compatible determinado, es decir, tiene solución única y ésta es: o la terna ordenada (5, 6, 2)
Se observa que: y , es decir, el sistema tiene infinitas soluciones dependientes de , y todas ellas se representan por (
Dado que en el último renglón de la matriz se tiene 0 = 1, lo cual es una contradicción, por tanto, podemos afirmar que el sistema no tiene solución
( + ) + , , , ), ∀ , ∈
y , es decir, el 1 3 2 0 4 Se observa que: 10. 0 0 0 1 7 sistema tiene infinitas soluciones dependientes de , y todas 0 0 0 0 0 ellas se representan por (
c) Resuelve (si es posible) cada uno de los siguientes sistemas de tres ecuaciones con tres
variables usando el método de eliminación de Gauss-Jordan. x1 4 x2 3 x3 1 11. 2 x1 8 x2 11x3 7
x1 6 x2 7 x3 3
Solución
23 → → 11 +2 3
+
2 → 2 13→→ 22++ 31
→1 3 3 + 1 3 →
2↔ 3
=1
Podemos afirmar que la solución del sistema es (2, -1, 1)
, ,
, o la terna ordenada
x1 x2 x3 7 12. 2 x1 3x2 x3 18
x1 x2 3x3 1 Solución
13 → → 22 ++ 13
2 3→ → 1 1++ 3 2
+
De la última matriz se observa que ya no se puede reducir más, también se observa que hay más incógnitas que ecuaciones, por lo que el sistema tiene infinitas soluciones. También se sigue que:
+ ∀ ∈, + , )
, todas las la soluciones del sistema se representan por: (
d) Resuelva (si es posible) cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones homogéneos
usando el método de eliminación de Gauss-Jordan. 2 x1 x2 3 x3 0 13. x1 2 x2
0 x2 x3 0
Solución
2↔ 1
2 → 1 2
+
2 → 2 → 1 3+ 1
3 → 2 + 3
3 → 3
→ 33++ 21 21 →
, , , , Podemos concluir que la única solución del sistema es ordenada (0, 0, 0) 14.
, ó la terna
3 x1 x2 x3 x4 0 5 x1 x2 x3 x4 0
Solución
Dado a que el sistema tiene más incógnitas que ecuaciones, éste tiene infinitas soluciones, veamos cuáles son:
1 → 1
, ∀ ,, ∈, , )
2 → 1 2
+
13 13 13
13 3
13 23
2 → 2
1 → 2 + 1
13 13 13 13 3
Esta matriz ya está en la forma escalonada reducida y de ella se infiere que:
, podemos concluir que todas las soluciones del sistema se representan por:
(
e) Encuentre el polinomio de grado dos, cuya grafica pasa a través de los puntos dados. y ax 2 bx c 15. (1, 2), (2, 2), (3, 4)
Solución: Como los puntos satisfacen al polinomio, entonces al sustituir x = 1, 2 y 3 en dicho
polinomio, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales en las variables a, b y c (coeficientes), veamos cuál es el valor de cada una de ellas. Para (1, 2) Para (2, 2) Para (3, 4)
22 ++ ++ 2 ++ ++ ++ ++
Ahora bien, resolviendo por Gauss-Jordan, los valores para a, b y c son:
23 → → 11 ++ 23
2 1 → 2+ 1 2 → 3 → 2 + 3 2 → 3 + 2
1 → 3 + 1
De la última matriz se sigue que a = 1, b = -3 y c = 4, verifiquemos que esto sea cierto:
+++ ++(()) +(()) ++ ++ + ++ + 2 ()++ + Para Para Para
Ahora bien, como la verificación se cumple, podemos afirmar que la expresión del polinomio que pasa por los puntos dados es: y = , así, el valor de y cuando x =4 es: , por lo que se tiene el punto (4, 18).
Podemos afirmar que la expresión del polinomio que pasa por los puntos (1, 2), (2, 2), (3, 4) es y = , y el valor de y cuando x = 4 es 18
16. (1, 8), (3, 26), (5, 60) . ¿Cuál es el valor de y cuando x = 4? Solución: Como los puntos satisfacen al polinomio, entonces al sustituir x = 1, 3 y 5 en dicho
polinomio, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales en las variables a, b y c (coeficientes), veamos cuál es el valor de cada una de ellas.
2 2++ ++ 2 ++ ++ ++ ++
Para (1, 8)
Para (3, 26) Para (5, 60)
Ahora bien, resolviendo por Gauss-Jordan, los valores para a, b y c son:
23 → →11++ 2 3
2 → 2
13 → → 22++ 31
3 → 3
1 1 43 233 43 3 2333 [ 3 43]
1 → 3 + 1 2 → 3 + 2
4 13 2313 3 3
De la última matriz se sigue que a = 2, b = 1 y c = 5, verifiquemos que esto sea cierto:
22 ++ () +() +++ 2 ++ ()+()+++ ++ ( )+() +++ ++ ()2 ++++ ++ Para (1, 8)
=8
Para (3, 26) Para (5, 60)
Ahora bien, como la verificación se cumple, podemos afirmar que la expresión del polinomio , así, el valor de y cuando x =4 es: que pasa por los puntos dados es: y = , por lo que se tiene el punto (4, 41).
Podemos afirmar que la expresión del polinomio que pasa por los puntos (1, 8), (3, 26), (5, 60) es y = , y el valor de y cuando x = 4 es 41
f) Determine las corrientes en las ramas de la red eléctrica. Las unidades de corriente son
amperes y las unidades de resistencia son ohms.
Solución
Consideraciones previas: a) en una red con 2 nodos, la 1ra ley de Kirchhoff es posible aplicarla a cualquiera de los
nodos.
b) Para este caso, se supondrá que tanto
1 2
, salen del nodo B, por lo que aplicando la 1ra ley de Kirchhoff al nodo A, se tiene que:
1 +2 3 2 +2 +3 → + + 1, 2 3 ++ + 1, 2 3 → + 1 → 3 + 1 13 → 2 +2 3 1 2 →→ 2 + → + 2 3 2 3 1 3 12 12 1212 1212 12 3 , 1)
Aplicando la 2da ley de Kirchhoff a las mallas ABCA Y ABDA, y suponiendo que parte del nodo B, se tiene que: Malla ABCA
2)
Malla ABDA
3)
Por tanto, de 1, 2 y 3, se tiene el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales en las variables
Ahora bien, resolviendo por Gauss-Jordan el sistema anterior, encontraremos los valores de , veamos como nos queda:
De la última matriz se sigue que:
Amperes Amperes Amperes = 3 amperes dado al sentido elegido de la corriente
Podemos concluir que los valores de las corrientes que circulan por la red son
g) Determine la corriente a través de las diferentes ramas de la red eléctrica mostrada en la
siguiente figura. Sugerencia: suponga el sentido de las corrientes como desee, al final si una corriente resulta negativa, el resultado no está equivocado, simplemente el sentido que supuso era inverso.
D C
Solución
Consideraciones previas:
3
a) Para este caso, y por comodidad, se supondrá que las corrientes
B, por lo que llega a dicho nodo. b) Sólo se aplicará la 1ra ley de Kirchhoff al nodo B
1, 2
, salen del nodo
Por lo que aplicando la 1ra ley de Kirchhoff al nodo B, se tiene que:
+
Multiplicando por -1
+
1)
Aplicando la 2da ley de Kirchhoff a las mallas ABCA Y ABDA, y suponiendo que parte del nodo B, se tiene que:
1 +3 + → + 1, 2 3 + + 1, 2 3
2)
Multiplicando por -1, se tiene que
3)
Por tanto, de 1, 2 y 3, se tiene el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales en las variables
Ahora bien, resolviendo por Gauss-Jordan el sistema anterior, encontraremos los valores de , veamos como nos queda:
2 → 1 + 2
12 → → 3 +3 +2 1
2↔ 3
3 → 3
→ + 12 → 3 +3 3 1 34 55 [ ] 34 1 55 2 3 ,
De la última matriz se sigue que:
Amperes = 3.77 dado al sentido elegido de la corriente
Amperes = 6.11 dado al sentido elegido de la corriente
Amperes
Podemos concluir que los valores de las corrientes que circulan por la red son
