1
Studio di un circuito RLC serie
Claudio B. Caporusso, Flavio D’ippolito
Un circuito RCL è un circuito elettronico costituito solo da elementi passivi, quali resistori, induttori e condensatori. Data la sua particolare semplicità e il fatto che costituisce un oscillatore armonico quando attraversato da corrente alternato, si è studiato un circuito RCL serie (dove tutti gli elementi sono in serie tra loro) misurando la sua funzione di trasferimento e verificando la presenza della risonanza; inoltre si è verificato la presenza di un effetto, chiamato effetto pelle, causato dall’aumento della resistenza al passaggio della corrente in una induttanza all’aumentare della frequenza. Il circuito RCL studiato è rappresentato in Figura 1. Applicando le leggi di Kirchkoff al circuito si ottiene l’espressione
∫
(1)
Se si fornisce un segnale sinusoidale in ingresso Vi = V M cos ω0t e si deriva membro a membro la (1) si ottiene
Figura 1 Circuito RCL Serie
(2)
che è l’equazione di un oscillatore armonico oscillatore armonico forzato; la soluzione a regime di questa equazione è del tipo i(t) = IM cos (ωt + θ) poiché dopo un tempo ragionevole la soluzione dell’omogenea associata sarà diventata nulla a causa causa dello smorzamento. Dalla meccanica si sa che per ω = 1/√LC = ω 0 si ha il trasferimento massimo di energia per il sistema, ovvero il fenomeno della risonanza; questo si può notare anche dalla funzione di trasferimento del circuito A(ω) = Vo/Vi : infatti dalle leggi dei circuiti e dalla rappresentazione delle impedenze con il metodo simbolico si ricava
√
(3)
dalla (3) si calcolando modulo e fase
(4.1;4.2)
si nota subito che il massimo valore del modulo corrisponde appunto a ω = 1 /√LC. Abbiamo realizzato due circuiti RCL analoghi a quello in figura 1 con L = 2H ± 10% con associata una resistenza in continua RL = 170 Ω ± 10%, C = 1.5 nF ± 10% e R = 2.2 kΩ / 100 kΩ; kΩ; la pulsazione teorica prevista per i due circuiti è indipendente dal valore della resistenza e quindi è uguale e vale ω0 = 1/√LC = 18257.4 rad/s.
2
A
120
0
1,0
R = 100 k
0,9
R = 2.2 k
80
0,8
60
0,7
40
0,6
20
0,5
0
0,4
-20
0,3
-40 -60
0,2
-80
0,1 0,0 0,0
R = 100 k
100
R = 2.2 k
-100 0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Grafico 1 Andamento sperimentale del modulo e della fase della funzione di trasferimento per R = 2.2 k Ω (blu) e R = 100 kΩ (verde); la linea continua rappresenta l’andamento teorico previsto
Dal grafico 1 si nota come i dati sperimentali non coincidano perfettamente con quelli aspettati; questo è causato dall’effetto pelle, ovvero l’aumento del valore della resistività in un conduttore cilindrico , dovuto al fatto che la densità di corrente nei conduttori cala esponenzialmente dal centro verso l’esterno secondo un parametro che dipende da √ν; quindi all’aumentare della frequenza una sezione sempre più piccola del conduttore è percorsa da corrente. Per accordare i risultati teorici con i risultati sperimentali abbiamo considerato il valore di resistenza dell’induttanza RL pari a 7 kΩ, portando cosi la resistenza totale del circuito rispettivamente a 107 kΩ e a 9.2 kΩ; nella (3) considerando Z R = RL + R si ottiene
√
(5)
Con modulo e fase
(6.1;6.2)
2
Abbiamo effettuato il test del χ per vedere le relazioni funzionali che descrivono meglio i dati, i risultati numerici sono riportati in tabella 1: si può
2
F(ω)
Χ
A0 (RT = 2.2 kΩ) A0 (RT = 9.2 kΩ) A0 (RT = 100 kΩ) A0 (RT = 107 kΩ) Φ (RT = 2.2 kΩ) Φ (RT = 9.7 kΩ) Φ (RT = 100 kΩ) Φ (RT = 107 kΩ)
5531.76 27.52 53.71 18.74 377.01 43.31 19.95 28.39 2
Tabella 1 Valori della variabile Χ per le diverse funzioni
notare subito come l’introduzione della resistenza R L abbia migliorato la descrizione dei dati sperimentali. Nel grafico 2 sono rappresentati gli andamenti sperimentali e teo rici della funzione di trasferimento con e senza RL
3
R = 100 k
0
R = 2.2 k
120
1,0 100 0,9
80
0,8
60
0,7
40
0,6
20
0,5
0
0,4
-20 -40
0,3
-60
0,2
-80 0,1 -100 0,0 0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
1,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
1,5
2,0
2,5
w 80
0,9
60
0,8 40 0,7 20 0,6 0 0,5 -20 0,4 -40
0,3
-60
0,2 0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0,0
0,5
1,0
Grafico 2 Andamento del modulo e della fase della funzione di trasferimento per R = 2.2 k Ω e R = 100 kΩ. In tratteggiato la funzione prevista teoricamente senza considerare la resistenza dell’induttanza e in continuo quella con la resistenza dell’induttanza pari a 7 kΩ
2
Da ω0 = 1/√LC si ricava L = 1/ω0 C; inoltre dalla (6.1) ω = ω 0 implica A0=R/RT.; dai valori in tabella in appendice si può ricavare il valore di ω0 sperimentale per cui A0 è massima (cond. di risonanza): si ha ω 0 = 18470.59 ± 543.25 rad/s per il circuito con R = 2.2 kΩ e ω 0 = 18479.96 ± 543.25 rad/s. Con questi due valori si è calcolato il valore di L con relativo errore per i due circuiti e fatta la media pesata ottenendo L = 1.95 ± 0.14 H. Dai corrispettivi valori di A 0 (0.26 ± 0.02 per R = 2.2 kΩ e 0.92 ± 0.06 per R = 100 kΩ) e dalla formula precedente si ricava rispettivamente RT = 8.46 ± 0.65 kΩ e 108.70 ± 7.09 kΩ compatibili entrambi con i valori di R T usati in precedenza.
4
Appendice Dati e valutazione dell’errore
Dati relativi al circuito con R = 1 00 kΩ: Vi (V)
f.s. (V)
T(ms)
f.s. (ms)
V o (V)
f.s. (V)
ΔT (ms)
f.s. (ms)
0.96
0.04
2.6
0.02
0.26
0.01
0.52
0.02
0.96
0.04
1.56
0.02
0.44
0.04
0.26
0.02
0.96
0.04
0.96
0.04
0.62
0.02
0.12
0.02
0.96
0.04
0.62
0.02
0.76
0.04
0.05
0.01
0.96
0.04
0.5
0.02
0.84
0.04
0.024
0.004
0.96
0.04
0.42
0.02
0.88
0.04
0.008
0.004
0.96
0.04
0.36
0.01
0.88
0.04
0.004
0.002
0.96
0.04
0.34
0.01
0.88
0.04
0
0.002
0.96
0.04
0.32
0.01
0.88
0.04
-0.004
0.004
0.96
0.04
0.3
0.01
0.88
0.04
-0.008
0.004
0.96
0.04
0.24
0.01
0.84
0.04
-0.012
0.004
0.96
0.04
0.22
0.01
0.84
0.04
-0.012
0.002
0.96
0.04
0.18
0.01
0.8
0.04
-0.016
0.002
0.96
0.04
0.164
0.004
0.72
0.04
-0.018
0.002
0.96
0.04
0.152
0.004
0.68
0.04
-0.018
0.002
0.96
0.04
0.144
0.004
0.64
0.04
-0.02
0.002
ν (Hz)
ω (rad/s)
σ(ω)
ω/ω0
A
σ(A)
φ
σ(φ)
384.62
2416.61
18.58
0.13
0.27
0.02
72.00
2.82
641.03
4027.68
51.61
0.22
0.46
0.05
60.00
4.68
1041.67
6544.98
272.57
0.36
0.65
0.03
45.00
7.73
1612.90
10134.17
326.74
0.56
0.79
0.05
29.03
5.88
2000.00
12566.37
502.40
0.69
0.88
0.06
17.28
2.96
2380.95
14959.97
712.02
0.82
0.92
0.06
6.86
3.44
2777.78
17453.29
484.57
0.96
0.92
0.06
4.00
2.00
2941.18
18479.96
543.25
1.01
0.92
0.06
0.00
2.12
3125.00
19634.95
613.28
1.08
0.92
0.06
-4.50
4.50
3333.33
20943.95
697.78
1.15
0.92
0.06
-9.60
4.81
4166.67
26179.94
1090.28
1.43
0.88
0.06
-18.00
6.05
4545.45
28559.93
1297.52
1.56
0.88
0.06
-19.64
3.39
5555.56
34906.59
1938.27
1.91
0.83
0.05
-32.00
4.38
6097.56
38312.11
933.97
2.10
0.75
0.05
-39.51
4.49
6578.95
41336.75
1087.26
2.26
0.71
0.05
-42.63
4.87
6944.44
43633.23
1211.42
2.39
0.67
0.05
-50.00
5.19
5
Dati relativi a R = 2.2 kΩ: Vi (V)
f.s. (V)
T(ms)
f.s. (ms)
V o (V)
f.s. (V)
ΔT (ms)
f.s. (ms)
0.96
0.04
0.8
0.04
0.028
0.001
0.2
0.02
0.96
0.04
0.66
0.02
0.038
0.002
0.16
0.02
0.96
0.04
0.54
0.02
0.054
0.002
0.12
0.01
0.96
0.04
0.5
0.02
0.068
0.004
0.108
0.004
0.96
0.04
0.42
0.02
0.108
0.004
0.08
0.004
0.96
0.04
0.38
0.02
0.18
0.01
0.056
0.004
0.96
0.04
0.36
0.02
0.22
0.01
0.04
0.004
0.96
0.04
0.36
0.01
0.24
0.01
0.024
0.004
0.96
0.04
0.35
0.01
0.25
0.01
0.008
0.004
0.96
0.04
0.34
0.01
0.25
0.01
0
0.004
0.96
0.04
0.33
0.01
0.23
0.01
-0.016
0.004
0.96
0.04
0.32
0.01
0.18
0.01
-0.032
0.004
0.96
0.04
0.3
0.01
0.15
0.01
-0.036
0.004
0.96
0.04
0.29
0.01
0.14
0.01
-0.04
0.004
0.96
0.04
0.28
0.01
0.108
0.004
-0.044
0.004
0.96
0.04
0.24
0.01
0.064
0.002
-0.044
0.004
ν (Hz)
ω (rad/sec)
σ(ω)
ω/ω0
σ(ω/ω0)
A
σ(A)
φ
σ(φ)
1250.00
7850.00
392.50
0.43
0.00
0.03
0.00
90.00
10.06
1515.15
9515.15
288.34
0.52
0.00
0.04
0.00
87.27
11.23
1851.85
11629.63
430.73
0.64
0.00
0.06
0.00
80.00
7.30
2000.00
12560.00
502.40
0.69
0.00
0.07
0.01
77.76
4.24
2380.95
14952.38
712.02
0.82
0.00
0.11
0.01
68.57
4.73
2631.58
16526.32
869.81
0.91
0.00
0.19
0.01
53.05
4.71
2777.78
17444.44
969.14
0.96
0.00
0.23
0.01
40.00
4.58
2777.78
17444.44
484.57
0.96
0.00
0.25
0.01
24.00
4.06
2857.14
17942.86
512.65
0.98
0.00
0.26
0.02
8.23
4.12
2941.18
18470.59
543.25
1.01
0.00
0.26
0.02
0.00
4.24
3030.30
19030.30
576.68
1.04
0.00
0.24
0.01
-17.45
4.40
3125.00
19625.00
613.28
1.07
0.00
0.19
0.01
-36.00
4.64
3333.33
20933.33
697.78
1.15
0.00
0.16
0.01
-43.20
5.01
3448.28
21655.17
746.73
1.19
0.00
0.15
0.01
-49.66
5.25
3571.43
22428.57
801.02
1.23
0.00
0.11
0.01
-56.57
5.53
4166.67
26166.67
1090.28
1.43
0.00
0.07
0.00
-66.00
6.60
( ) ( )