CIRCUITO RLC Arancio Romina; Damian Piuselli; Zampetti Carla
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RESUMEN Se estudia un circuito RLC. El mismo está formado por una resistencia y un capacitor de valores conocidos, y una bobina. Primero se las conecta en serie y luego en paralelo. Como están alimentada por una fuente de corriente alterna y sinusoidal, estudiamos la consecuencia de la reactancia. La relación entre la impedancia y la corriente que circula, nos permite ver el desfasaje producido y determinar para que valor de frecuencia se encuentra la bobina y el capacitor en resonancia.
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INTRODUCCION Al utilizar una fuente de corriente alterna aparecen dos nuevos conceptos relacionados con la oposición al paso de la corriente eléctrica. Se trata de la reactancia y la impedancia. Un circuito presentará reactancia si incluye condensadores y/o bobinas. La naturaleza de la reactancia es diferente a la de la resistencia eléctrica, y la impedancia es la suma de la resistencia y reactancia. La tensión de la fuente queda definida de la siguiente manera. V
(1)
En corriente alterna la oposición al paso de la corriente eléctrica tiene dos componentes, una real y otra imaginaria. Dicha oposición ya no se llama resistencia sino impedancia, Z . La impedancia se expresa mediante un número complejo, por ejemplo de la forma a + jb, siendo a la parte real del número complejo y b su parte imaginaria. Una resistencia presenta una impedancia que sólo tiene componente real, ya que su componente imaginaria es de valor cero. (2)
El condensador en corriente alterna está continuamente cargandose y descargandose, mientras más lentamente varíe la tensión, frecuencia baja, más tiempo estará el condensador en estado de casi carga que en estado de casi descarga, con lo que generará una oposición alta al paso de la corriente. Para variaciones rápidas de la tensión, frecuencias altas, el efecto será el contrario y por tanto presentará una oposición baja al paso de la corriente. Podemos decir, que la naturaleza de este tipo de oposición es de carácter electrostático: la carga almacenada en el condensador se opone a que éste siga cargándose y esta oposición será mayor cuanto más carga acumule el condensador.
El circuito presentará una impedancia al paso de la corriente alterna dada por: (3)
donde Xc es la reactancia capacitiva que se calcula así: (4)
En el caso de la bobina, la naturaleza de la reactancia inductiva no es de carácter electrostático, sino de carácter electromagnético. Una bobina inducirá en sus extremos, debido a su autoinducción, una tensión que se opondrá a la tensión que se le aplique, al menos durante unos instantes. Ello provoca que no pueda circular corriente libremente. Cuanto mayor sea la velocidad de variación de la tensión aplicada mayor valor tendrá la tensión inducida en la bobina y, consecuentemente, menor corriente podrá circular por ella. Así, a mayor frecuencia de la tensión aplicada mayor será la reactancia de la bobina y, a la inversa, a menor frecuencia de la tensión aplicada menor será la reactancia de la bobina. La impedancia que presenta la bobina, y por ende el circuito, será la siguiente: (5)
siendo Xl la reactancia inductiva de la bobina, y se calcula así: (6)
1) Circuito RLC en serie
Debido a que están en serie, la inductancia del circuito es la suma de las tres mencionadas: (7)
Para relacionar esto con la tensión, analizamos parte por parte. La tensión en extremos del condensador será v, con lo que podemos poner que: V
(8)
Si ahora derivamos respecto al tiempo la expresión anterior, resulta que (9)
Reordenando términos, y teniendo en cuenta que cos a = sen ( a + 90º ), obtenemos finalmente que (10)
La expresión anterior supone un desfase de 90º en adelanto de la corriente que circula por el circuito respecto de la tensión en extremos del condensador. La corriente que circula por la resistencia está en fase con la tensión de la fuente. Y, para la bobina, cómo la autoinducción es:
(11)
Siendo v la tensión en extremos de la bobina podemos poner lo siguiente: V
(12)
Integrando los dos miembros de la igualdad resulta: (13)
tras reordenar y tener en cuenta la igualdad trigonométrica - cos a = sen ( a - 90º ), queda lo siguiente: (14)
Por tanto, la bobina en corriente alterna atrasa la corriente 90º respecto a la tensión presente en sus extremos. Ahora bien, si llamemos X a esa resta de reactancias ec.(7) podemos decir que, si X es negativa quiere decir que predomina en el circuito el efecto capacitivo. Por el contrario, si X es positiva será la bobina la que predomine sobre el condensador. En el primer caso la corriente presentará un adelanto sobre la tensión de alimentación. Si el caso es el segundo entonces la corriente estará atrasada respecto a v. Si X es cero, este sería un caso muy especial, en el cual se dice que están en resonancia, porque están en fase con la tensión de la fuente. Conocida Zt , la corriente se puede calcular mediante la Ley de Ohm y su descomposición en módulo y ángulo de desfase según: (15)
También por Ley de Ohm se calculan los módulos de las tensiones de los diferentes elementos (las fases respecto a i son siempre las mismas: 0º para vr , 90º para vl y -90º para vc). Concretamente,
Para el caso en el cual estemos suministrando una tensión en la cual las reactancias estén en resonancia, vale: (16)
A la frecuencia de resonancia el circuito se comportará como resistivo puro, ya que los efectos capacitivos e inductivos se anulan mutuamente. Una representación gráfica del fenómeno de la resonancia es la siguiente:
Lo aquí representado es el valor del módulo de la corriente que recorre el circuito según sea la frecuencia de la tensión de alimentación. Si se calcula la frecuencia de resonancia se verá que para los valores de la gráfica ésta es de 5033Hz, lo que corresponde con el máximo de la curva de la gráfica. Para frecuencia inferiores y superiores a la de resonancia el valor de la corriente será menor, lo cual es lógico ya que sólo para la frecuencia de resonancia la resta de reactancias será cero. Para frecuencias inferiores a la de resonancia predomina la reactancia capacitiva, siendo la inductiva la que predomina para frecuencias superiores a la de resonancia. 2) Circuito RLC en paralelo LC En este caso, R esta en serie y LC en paralelo, entonces, Zt = R +
1 R c + R l Esto lleva en el circuito que se ha escogido como ejemplo a:
(17)
(18)
y como
tendremos que
Por tanto el módulo de it y el desfase de ésta respecto a v vendrá dado por:
Por último, es evidente que v = vr = vc = vl . La resonancia en los circuitos RLC Con RL en paralelo:
Al igual que en los circuitos serie, también es posible hablar de resonancia en los circuitos paralelo. La condición de resonancia sigue siendo que Xc = Xl . Esto nos lleva en los circuitos paralelo a un comportamiento como el siguiente:
Esta es la gráfica del módulo de la corriente entregada por la fuente de tensión a un circuito similar al del apartado anterior. Sólo existe una diferencia, la inclusión en serie con el circuito de una resistencia cuya misión es limitar la corriente cuando el circuito se encuentra funcionando alejado de la frecuencia de resonancia. La expresión que proporciona la frecuencia de resonancia en un circuito paralelo RLC puede llegar a ser bastante más complicada que en el caso de su homólogo serie, pero si nos restringimos a un circuito tan simple como el del apartado anterior será la misma que la ya vista para el caso serie, o sea: [1]
MÉTODO EXPERIMENTAL Para la primera parte se conecta el dispositivo que se describe en la introducción según el siguiente dispositivo.
F igura
1. Se representa el dispositivo armado para el estudio del circuito RLC
Se conecta a un osciloscopio la señal de la tensión de la fuente y la señal de la corriente que pasa por la bobina. Se estudia como varia el desfasaje a medida que se hace variar a mano la frecuencia de la señal sinusoidal de la fuente. La primera idea apunta a intentar comprobar si la frecuencia en la cual entran en resonancia, coincide con la teórica según la ec. (16). Para ello se hace a mano visualizando la imagen en el osciloscopio, y, por otro lado, se cambia una funcionalidad en el osciloscopio al modo XY, para ver la relación existente entre V en X y I en Y. Se obtiene así lo que se llama Figura de Lissajous, en ella, una vez centrados los ejes, se observa como al entrar en resonancia la figura se convierte en una esfera, mientras que estando desfasadas se ve una elipse. De dicha elipse se pueden sacar los datos de la ordenada al origen y del valor máximo de Y obtenido. Estos se pueden relacionar con la amplitud de la onda y con el desfasaje. Posteriormente, se grafica la relación entre el potencial de la fuente y el potencial en la bobina, en función de la frecuencia. Allí se analiza el máximo del pico que corresponde con la frecuencia de resonancia y el ancho de ese pico en su altura media. Finalmente, para el circuito en paralelo, a causa de la falta de tiempo, solo se llega a hacer la parte visual de la experiencia. Se logra ver como varia el desfasaje hasta que entran en resonancia, para variar nuevamente, así como se aprecia la amplitud máxima en dicha frecuencia. Se cambia el modo del osciloscopio a XY, y se ven nuevamente la Figura de Lissajous. El diseño analizado se caracteriza a continuación.
F igura
2. Corresponde al circuito RLC, donde L y C están en paralelo y R e n serie a ellos.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN: Se midió la relación entre la amplitud en la caída de tensión en la resistencia VR , que es proporcional a la amplitud de la corriente que circula por el circuito (ley de Ohm) y la amplitud de la tensión entregada por la fuente V0 para diferentes frecuencias. Este cociente es máximo en la frecuencia de resonancia , cuando la corriente que circula por el circuito máxima. Los resultados se resumen en el siguiente gráfico:
F igura
3. Relación entre VR y V0 en función de la frecuencia. Se destaca el intervalo correspondiente al ancho de banda (en frecuencia).
Se puede observar que la curva alcanza un máximo de valor 1, lo cual está de acuerdo con el hecho de que en la frecuencia de resonancia la corriente que circula por el circuito es máxima, por lo tanto la caída de potencial en la resistencia debe ser máxima y esto vale cuando VR = V0. Un comportamiento que no se esperaba es que el centro del intervalo del ancho de banda (en frecuencia) no se corresponde con la frecuencia de resonancia. A partir de los datos se calculó el ancho de banda, la frecuencia angular de resonancia y el factor de calidad, que se comparan con los valores calculados a partir de las expresiones de la introducción. Estos resultados se muestran en la siguiente tabla:
Serie 1 Serie 2
Frecuencia de resonancia (w0) [1/seg] 10400 ± 60 10000 ± 100
Ancho de banda [1/seg] 15900 ± 400 14700 ± 200
Factor de calidad (Q) [adimensional] 0,65 ± 0,02 0,68 ± 0,02
1. Comparación de valores calculados a partir del grafico 1 (serie1) vs calculados a p artir de introduccion (serie2). T abl a
Se aprecia una diferencia significativa entre los valores calculados de ambas maneras para el ancho de banda y la frecuencia de resonancia. Sin embargo, los valores no son completamente disimiles y las desviaciones pueden deberse a una subestimación en los errores calculados, principalmente debido a los valores de inductancia y capacidad, de los cuales no se poseían errores y se los supuso iguales al 1% como valor estimativo. También puede atribuirse parte de la diferencia a los factores no considerados, como por ejemplo la resistencia adicional de los cables y conectores las cuales no fueron medidas. Se midió la diferencia de fase de la corriente y el voltaje de la fuente en función de la frecuencia, a partir de las mediciones de la figura de Lissajous en el osciloscopio. Se elaboró el siguiente gráfico:
F igura
4. Angulo de desfase entre la co rriente y el voltaje de la fuente en función de la frecuencia.
En el grafico se marcó el Angulo de desfase 0, que es el valor correspondiente a la frecuencia de resonancia. Para este valor de frecuencia la corriente circulante es máxima y el circuito RLC se comporta como un circuito puramente resistivo. Esto se puede ver en la ecuación (7). Para frecuencias menores a la frecuencia de resonancia el Angulo de desfase es negativo, y por lo tanto el voltaje adelante a la corriente y el circuito se comporta como un circuito inductivo. Para valores de frecuencia mayores a los de resonancia el angulo de desfase es positivo, la corriente adelanta al voltaje y el circuito se comporta como un circuito capacitivo. Estos últimos hechos se pueden deducir observado la parte imaginaria de la impedancia, llamada también reactancia:
Cuando la frecuencia es igual a la frecuencia de resonancia la reactancia se hace cero, para un valor de frecuencia mayor el primer término crece, el segundo decrece y la reactancia es positiva; debido a la ecuación (7) es desfase también es positivo. En el caso extremo donde la frecuencia es muy grande el segundo término tiende a cero y el circuito se comporta como un circuito puramente inductivo, es decir un circuito RL. De manera análoga se puede razonar el caso donde la frecuencia es muy pequeña.
BIBLIOGRAFÍA [1] R. Resnick, D. Halliday, Física para estudiantes de Ciencias e Ingeniería, 2da. Parte, ed. CECSA
