Uvod u stabilnost - dr Ratko Salatic

Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić

1

1

UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA

1.1

O STABILNOST KONSTRUKCIJA

Prve građevinske konstrukcije, kamene i zidane konstrukcije, su bile masivne konstrukcije. Razvojem nauke i tehnologije, za građevinske materijale počeli su da se koriste materijali koji su imali znatno bolje mehaničke karakteristike. Posledica primene savremenih materijala, kao što su čelik i beton, je da elementi konstrukcije više nisu morali da budu masivni, da bi obezbedili potreban kapacitet nosivosti. Elementi konstrukcije su postali "vitki". Vitki elementi dimenzionisani za potrebnu nosivost dobili su znatno veće deformacije i pomeranja pri eksploatacionim opterećenjima.

Slika 1.1 − Uticaj opterećenja na vitke konstrukcije

U slučaju opterećenja vitkih elemenata konstrukcije značajnim aksijalnim silama (Slika 1.1b), neophodno je uslove ravnoteže postaviti na deformisanoj konfiguraciji (Slika 1.1d), pa linearna teorija nije primenljiva u njihovom proračunu. Potrebna je teorija pomoću koje je moguće zadovoljavajućom tačnošću rešiti problem vitkih elemenata.

*

Proračun vitkih elemenata konstrukcije pri značajnim aksijalnim opterećenjima zahteva nelinearnu teoriju.

Predmet izučavanja Stabilnosti konstrukcija je razmatranje konstrukcija primenom nelinearne teorije. Pri tome rešavaju se dva osnovna zadatka: utvrđivanje kritičnog opterećenja i određivanje uticaja u konstrukcijama pri zadatom opterećenju. Nelinearna teorija je komplikovanija u svom proračunu od linearne teorije, jer je neophodno primeniti složeniji matematički aparat. Pored toga, princip superpozicije uticaja u konstrukciji za više slučajeva opterećenja, koji se često koristi u linearnoj analizi, ne može se više primeniti.

*

Princip superpozicije uticaja opterećenja u nelinearnoj teoriji se ne može primeniti.

Jednačine teorije štapa mogu se grupisati u tri grupe jednačina teorije štapa: − veze između unutrašnjih i spoljašnjih sila, − veze između deformacija i pomeranja, − veze između unutrašnjih sila i deformacija. Linearna analiza konstrukcija, zasnovana linearnoj teoriji štapa, bazira se na pretpostavkama koje obezbeđuju: − statičku linearnost, − geometrijsku linearnost, − materijalnu linearnost.

2


Za razliku od linearne teorije konstrukcija za nelinearnu analizu konstrukcija karakteristična je: − statička nelinearnost (velika pomeranja), − geometrijska nelinearnost (velike deformacije), − materijalna nelinearnost (nelinearna "σε" veza). U geometrijski nelinearnoj analizi konstrukcija važe: − nelinearne veze između deformacija i pomeranja, − nelinearne veze između unutrašnjih i spoljašnjih sila. Nelinearni modeli mogu biti različiti u zavisnosti da li su zasnovanih na: − opštoj geometrijski nelinearnoj teoriji, − geometrijski nelinearnoj teoriji (teorija II reda), − linearizovanoj teoriji II reda, − PΔ postupku.

Slika 1.2 − Primeri relacija napon-dilatacija (σε) kod materijalne nelinearnosti

Slika 1.3 − Primeri relacija sila-pomeranje (P ) kod geometrijske nelinearnosti


3

Da bi se proračun pojednostavio u Stabilnosti konstrukcija često se usvaja pretpostavka linearnog ponašanja materijala, pa se ta teorija naziva Teorija elastične stabilnosti. 1.1.1 Savremeni proračun građevinskih konstrukcija Savremeni proračun građevinskih konstrukcija u zavisnosti od vrste konstrukcije, odnosno elementa, najčešće se sprovodi na osnovu četiri kriterijuma:

Kriterijum čvrstoće Provera da li je stvarni napon manji od dozvoljenog.

Kriterijum upotrebljivosti Provera da li su maksimalne deformacione veličine manje od dopuštenih (granično stanje deformacija, granično stanje upotrebljivosti).

Kriterijum trajnosti Provera da li objekat kao celina ima potrebnu trajnost. Trajnost se vezuje za kvalitet i pouzdanost konstrukcije.

Kriterijum stabilnosti Provera lokalne i globalne stabilnosti konstrukcije. Utvrđuje se uspostavljanjem odnosa između kritičnih i stvarnih opterećenja. Kritična opterećenja određuju granična stanja stabilnosti.

*

Granična stanja stabilnosti se javljaju trenutno i bez najave.

1.2 POJAM STABILNOSTI KONSTRUKCIJA Stabilnost konstrukcije je sposobnost konstrukcije da očuva svoj prvobitni položaj i prvobitnu formu ravnoteže pri deformaciji, koja odgovara zadatom opterećenju, usled malih dodatnih poremećaja.

Stabilnost konstrukcije je sposobnost konstrukcije da se odupre slučajnim malim dejstvima i da samostalno uspostavi, potpuno ili delimično, svoj položaj i formu ravnoteže u deformisanom stanju, kada slučajna dejstva isčeznu. Dinamički kriterijum stabilnosti: Kritično opterećenje je najmanje opterećenje, pri kojem mali poremećaji izazivaju kretanje konstrukcije, koje nije ograničeno na neposrednu okolinu prvobitnog položaja. Kritično opterećenje se određuje iz diferencijalne jednačine kretanja slobodnih vibracija. Statički kriterijum stabilnosti: Kritično opterećenje je najmanje opterećenje, pri kojem pored prvobitnog (osnovnog) ravnotežnog položaja (forme ravnoteže) postoji bar još jedan drugi ravnotežni položaj (forma ravnoteže). U skladu sa definicijom razlikuju se stabilnost položaja konstrukcije i stabilnost forme ravnoteže u deformisanom stanju. Teorija stabilnosti konstrukcija ima za zadatak da odredi uslove pod kojima će konstruktivni sistem koji je u ravnoteži izgubiti svojstvo stabilnosti sistema. Nestabilnost je karakteristika pre svega konstrukcija sa "ekstremnom geometrijom", vitki linijski elementi, tanke ploče ili tanke ljuske. Potrebno je utvrditi parametar preko koga će se definisati stabilno, odnosno nestabilno stanje sistema. Uobičajeno je da to bude intenzitet spoljašnjeg opterećenja, a može biti i temperatura, odnosno neka druga veličina. Kada se zbog porasta opterećenja iscrpi stabilnost, konstrukcija nije sposobna da se dalje odupire opterećenju, tako da zbog malih uzroka može promeniti svoj položaj ili prvobitnu formu deformacije, a ponekad i jedno i drugo. Prema tome može postojati stabilan i nestabilan položaj konstrukcije, sta-


4

bilne i nestabilne forme ravnoteže u deformisanom položaju cele konstrukcije ili njenih pojedinih elemenata. Položaj konstrukcije i forma ravnoteže u deformisanom stanju smatraju se stabilnim, ako se pri svakom, proizvoljno malom, mogućem poremećaju ravnoteže i proizvoljno malim brzinama saopštenim konstrukciji, pojave mala odstupanja položaja i forme ravnoteže. Prelaz konstrukcije iz stabilnog u nestabilno stanje naziva se gubitak stabilnosti. Kritično stanje konstrukcije predstavlja granično stanje pri prelazu konstrukcije iz stabilnog u nestabilno stanje. Odgovarajuće opterećenje, koje izaziva kritično stanje konstrukcija, predstavlja kritično opterećenje. 1.2.1 Stabilnost položaja konstrukcije Do gubitka stabilnosti položaja dolazi posle promene spoljašnjih sila kada konstrukcija ne može dalje zadržati svoj prvobitni položaj, pa ga mora promeniti. Takvi su slučajevi sa preturanjem ili klizanjem potpornog zida, vodotornja i sličnih konstrukcija. U ovim slučajevima dolazi do narušavanja ravnoteže spoljašnjih sila koje deluju na konstrukciju, sa mogućnošću uspostavljanja ravnoteže tek u novom položaju konstrukcije. Za ilustrativno objašnjenje pojma stabilnosti položaja konstrukcije razmotriće se položaj kuglica na dnu udubljene sfere (Slika 1.4a), na vrhu ispupčene sfere (Slika 1.4b), kao i na horizontalnoj ravni (Slika 1.4c).

Slika 1.4 − Stabilnost položaja konstrukcije

Kuglici će se saopštiti proizvoljno malo početno pomeranje ili mala početna brzina. Neka se posle ovih poremećaja kuglica nađe u položajima, prikazanim ispekidanom linijom na Slici 1.4 prepuštena sama sebi. U slučaju prikazanom na Slici 1.4a, početna kinetička energija biće izgubljena radom na izdizanju kuglice, posle čega će se kuglica u jednom trenutku zaustaviti. Ravnoteža ne može biti uspostavljena, jer reakcija glatke sfere ima radijalni pravac, pa ne može uravnotežiti vertikalnu silu težine kuglice. Rezultanta težine kuglice i reakcije zida sfere biće usmerena ka početnom položaju kuglice, pa će se kuglica vraćati nazad u početni položaj. Zbog akumulirane kinetičke energije kuglica se neće zaustaviti u početnom položaju već se penje uza zid sfere na drugoj strani. Na taj način kuglica se kreće oko početnog položaja na dnu sfere, ne udaljujući se od njega. Trenje će trošiti energiju sve dok se kuglica ne zaustavi u početnom položaju. Na osnovu ovog razmatranja lako zaključuje se da je položaj kuglice na dnu udubljenja sfere stabilan. U slučaju kao na Slici 1.4b, rezultanta težine kuglice i reakcije zida glatke ispupčene sfere, usmerena je u smeru suprotnom od smera ka početnom položaju, što će izazvati udaljavanje kuglice od početnog položaja. Prema tome, položaj kuglice na vrhu ispupčene sfere jeste nestabilan. U trećem slučaju (Slika 1.4c), reakcija glatke ravni može uravnotežiti težinu kuglice, ali u idealnim uslovima, bez pojave trenja, početna kinetička energija ne može biti potrošena, pa će kuglica nastaviti sa udaljavanjem od početnog položaja. Prema tome, i položaj kuglice na glatkoj ravni, takođe je nestabilan. Ako se za početni poremećaj izabere samo početno pomeranje (Sliku 1.4c) tada će pomeranja kuglica ostati na svome mestu. Ona se ne vraća u polazni položaj, pa čak ne pokazuje ni tendenciju za povratak, mada se od početnog položaja neće ni udaljavati. Takav položaj kuglice naziva se indiferentnim.


Slika 1.5 − Stabilnost na sedlastoj površini

5

Ako se kuglica nalazi na sedlastoj površini (Slika 1.5), u odnosu na pomeranje duž linije - , položaj kuglice je nestabilan. Prema tome, položaj tela jeste stabilan samo ukoliko mu nije moguće saopštiti pomeranje koje bi njegov položaj kvalifikovalo kao nestabilan. Inače, ako je telo posle svakog pomeranja sposobno da se vrati u početni položaj, tada je njegov položaj stabilan.

Iz razmatranih primera zaključuje se da će pri udaljenju tela iz početnog položaja, sopstvena težina tela u stabilnom položaju vršiti negativan rad, a kod tela u nestabilnom položaju pozitivan rad. Kod tela u indiferentnom položaju taj rad na pomeranju jednak je nuli. Kako se pri vršenju negativnog rada energija povećava, a pri vršenju pozitivnog rada energije smanjuje, to je energija položaja tela minimalna kod stabilnog položaja, maksimalna kod nestabilnog položaja tela i konstantna kod indiferentnog položaja tela.

*

Energija položaja tela je minimalna kod stabilnog položaja, maksimalna kod nestabilnog položaja tela i konstantna kod indiferentnog položaja tela.

Na primeru kuglice prema Slici 1.6 može se ilustrovati zakon minimalne potencijalne energije sistema:

"Konzervativni elastični sistem je u stanju stabilne ravnoteže ako, i samo ako, potencijalna energija ima relativan minimum".

Slika 1.6 − Minimumi potencijalne energije sistema

Razmotriće se ploča na dva oslonca, na Slici 1.7, pri čemu oslonac može imati samo reakciju usmerenu naviše, što predstavlja primer jednostavne veze. Pomeranje koje ovako oslonjena ploča u smeru kazaljke dopušta, jeste obrtanje ploče oko oslonca časovnika. Ploča se nalazi u stabilnoj ravnoteži sve dok na nju deluje samo sopstvena težina. Ako se posle malog obrtanja ploče u smeru kazaljke časovnika, prepusti ploča sama sebi, sopstvena težina će vratiti ploču u početni položaj.

Slika 1.7 − Primer stabilnosti položaja konstrukcije

Ako se u tački nanese horizontalna sila , ravnoteža ploče ostaje ostane usmerena na i dalje stabilna sve dok reakcija oslonca manji od proizvoda /2. gore, to jest sve dok je proizvod /2 , reakcija oslonca postaje nula, rezultanta sila Kada je i prolazi kroz oslonac , pa će doći do kritičnog stanja koje je . uslovljeno kritičnom silom

1.2.2 Stabilnost forme ravnoteže Pod dejstvom početnih opterećenja, konstrukcija zauzima prvobitnu formu deformacije, kojoj odgovara prvobitna forma ravnoteže. Formu ravnoteže definiše sistem sila u konstrukciji koji je u ravnoteži i određen je brojem sila, pravcem i smerom svih sila.

6


Do gubitka stabilnosti formi ravnoteže konstrukcije u deformisanom stanju dolazi kada pri određenim vrednostima opterećenja, prvobitna forma deformacije konstrukcije postane nestabilna, pa prinudno prelazi u drugu formu, suštinski različitu od prvobitne koja može biti stabilna ili nestabilna. Za razliku od gubitka stabilnosti položaja, pri gubitku stabilnosti forme ravnoteže narušavaju se uslovi ravnoteže spoljašnjih i unutrašnjih sila, koji su odgovarali prvobitnom obliku deformacije. Nova ravnoteža se uspostavlja veoma brzo (skoro trenutno) u novom obliku deformacije.

Slika 1.8 − Gubitak forme ravnoteže kod zglavkasto oslonjenog štapa

Zglavkasto oslonjen štap na Slici 1.8a, pod dejstvom aksijalne sile pritiska, postaje nestabilan pri određenoj vrednosti sile pritiska (Slika 1.8b). U slučaju malih poremećaja, malo većeg opterećenja , štap se krivi i više ne vraća u početno pravolinijsko stanje. U ovom slučaju pravolinijska forma ravnoteže ustupa mesto krivolinijskoj formi ravnoteže. Dvozglobni kružni luk pod dejstvom radijalnog opterećenja održava svoj simetrični oblik deformacije sve dok intenzitet radijalnog opterećenja ne dostigne određenu vrednost, posle čega antimetrična forma ravnoteže zamenjuje simetričnu formu (Slika 1.9a). Nakon gubitka stabilnosti može doći do gubitka kapaciteta nosivosti gipkog trozglobnog luka (Slika 1.9b) u elastičnom području, bez smene formi deformacija sve do graničnog opterećenja , pri kome dolazi do stanja kada ravnoteža između spoljašnjih i unutrašnjih sila nije više moguća.

Slika 1.9 − Gubitak forme ravnoteže kod dvozglobnog i trozglobnog luka

1.3 LINEARNA STABILNOST, BIFURKACIONA STABILNOST Linearna stabilnost − definiše se homogenim jednačinama linearizovane teorije drugog reda, odnosno u formi konturnog svojstvenog problema, čijim rešenjem se dobija kritično opterećenje, odnosno najmanja vrednost aksijalne sile pritiska pri kojoj sistem gubi stabilan položaj. Nelinearna stabilnost u kojem je trenutku tangentna matrica krutosti singularna. Inkrementalno iterativni postupak, zasniva se na istoriji odgovora sistema tokom deformacije.


7

Usvajaju se pretpostavke o idealnom sistemu: − štapovi idealno pravi, − aksijalne sile su idealno centrične. Stabilnost konstrukcije može se definisati preko potencijalne energije sistema. Stabilnost konstrukcije takođe se može razmatrati preko krutosti sistema, s obzirom da je krutost sistema izvod potencijalne energije sistema po pomeranjima. Tako pozitivna krutost sistema odgovara stabilnom stanju, trenutak kada krutost postaje nula predstavlja kritično stanje konstrukcije, a negativna krutost konstrukcije ukazuje na nestabilno stanje. Ako je krutost konstrukcije data u matričnom obliku, matrica je pozitivno definitna (sve svojstvene vrednosti su pozitivne) za stabilno stanje. Stanje sistema, pored sistema sa kuglicom na zakrivljenoj površini, može se razmotriti na i primeru pitisnutog slobodno oslonjenog štapa (Slika 1.10). Štap može biti u stabilnom ili nestabilnom stanju u zavisnosti od intenziteta aksijalne sile pritiska , koja predstavlja kontrolni parametar sistema. Pretpostavljajući da je štap idealno prav, stabilno stanje sistema je ostvareno za male vrednosti sile , . Nakon dostizanja tog intenziteta odnosno sve dok se ne dostigne vrednost kritičnog opterećenja opterećenja uspostaviće se ravnoteža u novoj deformisanoj konfiguraciji.

Slika 1.10 − Primer stabilnosti slobodno oslonjenog pritisnutog štapa

Ako aksijalno opterećenje postane veće od kritične vrednosti, početna (prava) konfiguracija postaje nestabilna, i malo povećanje sile dovodi do velikih deformacija, što konačno rezultuje i kolapsom usled izvijanja štapa. Tačka nakon koje pri povećanju opterećenja dolazi do velikih deformacija naziva se tačka bifurkacije sistema (Slika 1.10b). Bifurkaciona stabilnost predstavlja grananje mogućih ravnotežnih stanja, pri čemu je jedno od tih stanja nestabilno. Ako štap ima početnu imperfekciju (Slika 1.11a), pri povećanju aksijalnog opterećenja, ugib počinje da se povećava od početnog ugiba kontinualno bez izražene tačke bifurkacije. (Slika 1.11b) Ova pojava se zove "divergencija ravnotežnog stanja". Ako materijal zadržava svojstvo elastičnosti, krutost štapa (data nagibom krive - je uvek pozitivna, pri čemu mala promena sile može izazvati velika pomeranja. Na Slici 1.11c prikazana je familija krivih - u zavisnosti od početne imperfekcije. Smanjenje krutosti nekog konstruktivnog elementa može nastati ili usled geometrijske ili usled materijalne nelinearnosti. Smanjenje krutosti usled geometrijske nelinearnosti ne prouzrokuje uvek i gubitak stabilnosti, ali prouzrokuje velike deformacije. S druge strane, velike deformacije mogu prouzrokovati i promene u mehaničkim karakteristikama konstruktivnog elementa, kao što je plastifikacija materijala. Znatna plastifikacija materijala često dovodi i do kolapsa elementa.


8

Slika 1.11 − Primer stabilnosti slobodno oslonjenog pritisnutog štapa sa imperfekcijom

Matematička formulacija bifurkacione stabilnosti predstavlja svojstven problem definisan jednačinom: det

·

0 ,

,

,

,

,

…

,

pri čemu, svojstvene vrednosti odgovaraju kritičnim silama, a svojstvene funkcije odgovaraju oblicima izvijanja.

Slika 1.12 − Kritične sile u bifurkacionoj stabilnosti

*

Problem bifurkacione stabilnosti je matematički definisan svojstvenim problemom.

1.4 METODE ODREĐIVANJE KRITIČNOG OPTEREĆENJA Određivanje kritičnog opterećenja je najčešće zasnovano na statičkom uslovu stabilnosti:

Kritično opterećenje se određuje iz uslova ravnoteže susedne konfiguracije. Konstrukciji se zadaje nova pretpostavljena (očekivana) forma deformacije, pa se određuje opterećenje, koje je u stanju da održi sistem u novom položaju ravnoteže.


9

Dve metode: direktna i energetska − Direktna metoda: Uslovi ravnoteže se postavljaju na novom pretpostavljenom položaju ravnoteže. Za kontinualni sistem postavljaju se diferencijalne jednačine ravnoteže, a za diskretni sistem postavljaju se algebarske jednačine ravnoteže, pa postoje dva postupka: − Postupak sa diferencijalnim jednačinama − Postupak sa algebarskim jednačinama −

Energetska metoda: Posle izvođenja sistema u blisko deformisano susedno stanje, izjednačuje se rad spoljašnjih sila sa prirastom potencijalne energije sistema, odnosno sa negativnim radom unutrašnjih sila. Kritična sila se određuje iz stava o stacionarnosti potencijalne energije.

Kritična vrednost opterećenja može se utvrditi i na osnovu utvrđivanja odgovora sistema - za slučaj nehomogenog problema, primenjujući teoriju drugog reda (Slika 1.13). U slučaju nehomogenog problema deluje poprečna sila . Veličina pomeranja odgovara pomeranju izračunatom 0). primenom teorije prvog reda (

Slika 1.13 − Određivanje kritične sile za slučaj nehomogenog problema

1.5 PRIMER ― PROBLEM PROBOJA RAVNOTEŽE Polazeći od pretpostavke o malim deformacijama i velikim pomeranjima izvesti jednačinu ravnoteže zadatog nosača (aproksimacija plitkog trozglobnog luka). Štapovi AC i BC smatraju se dovoljno aksijalno kruti da ne dođe do njihovog lokalnog izvijanja.

Dužina štapa u deformisanoj cos 2

sin sin

Izduženje štapa je: ∆ A sila u štapu je: ∆ Uslov ravnoteže glasi: 1 2

sin

0

konfiguraciji je:


10

sin 1

sin

· sin

Kombinacijom jednačina

dobija se:

,

1 · sin

2 ili smenom

1

2 1

2

1

sin

sin

Na Slici prikazana je veza između sile jednačini , a za 10 , 10

i pomeranja i 15°.

prema

Ako je sila monotono rastuća, tada će doći do skoka u pomeranju od tačke A do tačke B – prolom (snap trough). Kako je pojavu proboja teško predvideti i sprečiti, pa se preporučuje izbegavanje nosećih sistema koji imaju kritičnu konfiguraciju, iako prema kriterijumima kinematike konstrukcija ne pripadaju kategoriji mehanizama.

Uvod u stabilnost - dr Ratko Salatic

Recommend Documents