184287265.doc
Page 1 of 14
KALKULUS LANJUT
DERET FOURIER SINUS / COSINUS ½ JANGKAUAN
− Deret hanya mengandung suku-suku sinus atau cosinus saja , − Fungsi didefinisikan pada interval (0,L) { ½ jangkauan dari (-L,L)} kemudian untuk interval (-L,0) ditentukan sehingga fungsi dapat berupa fungsi ganjil atau genap.
− Deret Fourier Sinus ½ Jangkauan adalah Deret suku-suku Sinus, ( Deret yang suku-sukunya berupa fungsi-fungsi sinus saja ).
∞ (-1)n-1
Contoh : f(x) = 1 n=
sin n
nx
, f(x) = fungsi ganjil
pada (-L, L)
− Deret Fourier Cosinus ½ Jangkauan adalah Deret suku-suku Cosinus, ( Deret yang suku-sukunya berupa fungsi-fungsi cosinus saja ).
π
Contoh : ƒ(x) =
2
−
4 π
∞
∑ n
=1
cos (2n − 1) x (2n − 1)
2
,
f(x) f(x) = fungs fungsii gen genap ap
pada (-L, L)
− Suatu fungsi f(x) dalam interval (0, L) dapat diperderetkan dalam dua cara, baik Sinus maupun Cosinus.
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
SUMARDI H.S KALKULUS LANJUT
184287265.doc
Page 2 of 14
− Pada interval (-L, L) atau periode = 2 L (i). Deret Sinus ½ jangkauan merupakan fungsi ganjil, jadi a n = a0 = 0,
∞ ƒ(x) =
nπ x
bn sin
L
1 n=
dx
L
bn
∫
2
=
L
ƒ(x) sin
nπ x
dx
L
0
(ii). Deret Cosinus ½ jangkauan merupakan fungsi genap, jadi b n = 0,
ƒ(x) =
a0
2
an
∞
+ ∑
an cos
nπ x L
n =1
=
2
L
∫
ƒ(x) cos
L 0 a0
=
2
nπ x
dx
L
L
∫ ƒ
(x) dx
L 0
Contoh soal : Soal 1). Perderetkan ƒ(x) = x, 0 < x < π dalam deret fourier Sinus ½ jangkauan !
Jawab :
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
SUMARDI H.S KALKULUS LANJUT
184287265.doc
Page 3 of 14
Definisi fungsi ( f(x) = x ) diperluas sehingga menjadi fungsi ganjil dengan periode 2 π (perluasan ini dinamakan perluasan ganjil untuk ƒ(x))
Grafiks f(x) = x , 0 < x < π yang diperluas menjadi fungsi periodik dengan periode = 2 π untuk Deret Fourier Sinus adalah sebagai berikut:
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
SUMARDI H.S KALKULUS LANJUT
184287265.doc
Page 4 of 14
Grafiks f(x) = x, 0 < x < π
½ jangkauan.
ƒ(x)
π f(x) = x |
|
-π
π
0
|
|
π
x
-π
Periode 2 L = 2 π
Jadi L = π
Karena f(x) akan diperderetkan Deret Sinus, maka an = 0 a0 = 0
bn
=
2 L
∫ L
ƒ(x) sin
π
n x L
dx
( karena L = π ), maka
0
2 =
π
∫
π0
x sin nx dx
, (Rumus
∫ x sin ax dx
= -
x cos ax a
+
sin ax
a2
)
=
1 x . − n π
=
2 x − n π
=
− π cos nπ − 0 π n
2
cos
1 nx −1 − 2 sin n
π
nx 0
π
cos nx
1 + 2 sin nx n =0 0
2
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
SUMARDI H.S KALKULUS LANJUT
184287265.doc
=
Page 5 of 14
−
2 n
cos nπ
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
SUMARDI H.S KALKULUS LANJUT
184287265.doc
bn =
∴ bn = =
Page 6 of 14
−
−
2 n
cos nπ
2
cos nπ = (-1)
n
1 n genap = − 1 n ganjil
untuk n genap (b 2=-2/2 = -1, b 4=-2/4 = -1/2, .... )
n
2
untuk n ganjil ( b 1=2, b3=2/3, b5=2/5, ... )
n
⇒ uraian ƒ(x) menjadi deret fourier sinus :
∞ ƒ(x) =
bn sin nx 1 n=
= b1 sin x + b2 sin 2x + b 3 sin 3x + ... = 2 sin x − sin 2x + = 2 (sin x −
sin 2 x 2
2
sin 3x - ...
3
+
sin 3 x 3
−...( −1)
n
+1
sin
nx
n
....)
∞ (-1)n+1
= 2
nx
sin
1 n=
n
Soal 2). Perderetkan ƒ(x) = x, 0 < x < π dalam deret fourier Cosinus ½ jangkauan !
Jawab: Dalam deret fourier cosinus, definisi fungsi diperluas sehingga menjadi fungsi genap dengan periode 2 π (perluasan ini dinamakan perluasan genap untuk ƒ(x))
ƒ(x)
π
-π
π
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
x
SUMARDI H.S KALKULUS LANJUT
184287265.doc
Page 7 of 14
Karena f(x) diperderetkan Cosinus ( fungsi genap), maka bn = 0,
ƒ(x) = x, 0 < x < π ,
a0 2
an
1
=
=
( karena f(x), 0 < x < π ½ jangkauan )
π
∫
π 0
2
L=π
π
1 x 2 = 1 x dx = . π π 2 0 1
2
π
2
=
π
2
π
∫ ƒ
(x) cos nx dx
π 0
2
=
π
∫
x cos nx dx
π 0
2 1 1 x . sin nx − − 2 = π n n =0 =
1 2 π n 2
an = 0
=
−4 πn 2
π
cos
nx = 0
2 n π
2
π
cos
nx 0
(cos nπ − 1)
cos nπ = (-1)
untuk n genap (a2= a4= …=0)
untuk n ganjil (a 1=−
4
, a3=−
π
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
4 9π
n
1 n genap = − 1 n ganjil
, …)
SUMARDI H.S KALKULUS LANJUT
184287265.doc
Page 8 of 14
π Jadi
ƒ(x) =
2 = =
=
π
2 π
2
π
2 π
=
2
∞
+∑
an cos nx
n =1 a cos 4 x + ... a2 cos 2 x + a3 cos 3x + 4 + a1 cos x +
=0
4
−
cos x
π
−
4 π .
9
=0
cos 3x − …
4 cos x cos 3 x − 2 + 2 +... π 1 3
−
4 π
∞
∑ n
=1
cos (2n − 1) x (2n − 1) 2
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
SUMARDI H.S KALKULUS LANJUT
184287265.doc
Page 9 of 14
PEMBUKTIAN-PEMBUKTIAN
Soal 1). Tunjukkanlah bahwa sebuah fungsi genap f(x) dalam Fouriernya tidak mempunyai suku-suku sinus.
Jawab:
Metode 1:
Tidak terdapatnya suku – suku sinus terjadi jika b n = 0, n = 1,2,3,... Akan dibuktikan bahwa b n = 0 pada fungsi genap f(x), seperti berikut :
1 L
1
n xπ
0
1 L
n xπ
n xπ
∫ L− f x ( ) sin dx = ∫ − L f x ( ) sin dx + ∫ 0 f x ( ) sin dx L L L L L L
bn =
=
I1
+
....(1)
I2
Jika dibuat transformasi x = -u pada integral pertama ( I 1 ) di ruas kanan (1) maka diperoleh
dx = - du, batas-batas : x = - L
u = L, x = 0
n xπ 1 0 nπ u f x ( ) sin dx = f ( − u) sin − (− )du L − L L L L L
I1 =
1
∫
0
∫
u =0
=
Karena f(x) atau f(u) fungsi genap, maka f(-u) = f(u), sehingga diperoleh
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
SUMARDI H.S KALKULUS LANJUT
184287265.doc
Page 10 of 14
nπ u 1 I = ∫ f ( − u ) sin − du = − L L L 1
L
1
0
∫
L
f ( u )
0
sin
nπ u
du
L
Atau I 1
=−
1
L
∫ f ( x )
L
0
nπ x
sin
= - I2
dx
L
…………….. (2)
(2) masuk (1) diperoleh : b n = I1 + I2 = - I2 + I2 = 0
bn =
1 L
n xπ
atau
1 L
n xπ
0
L
− ∫ f x ( ) sin dx + ∫ f x ( ) sin dx = 0 L
0
L L
( Terbukti )
Metode 2 : Akan dibuktikan, jika f(x) fungsi genap, maka deretnya tidak mempunyai suku-suku sinus, dengan menggunakan definisi Deret Fourier dari f(x):
Andaikan
maka
a0
f(x) =
f(-x) =
2 a0
2
∞ + ∑ a n n −1
∞ + ∑ a −1
n
cos
cos
nπ x L
nπ x
n
+ bn
L
nπ x
sin
−b
sin n
L
nπ x L
Karena f(x) fungsi genap , maka f(-x) = f(x), sehingga diperoleh identitas :
a0 2
∞ + ∑ an n =1
a n ∑ n =1 ∞
cos
cos
nπ x L
nπ x L
+ bn
sin
∞ + ∑ bn n =1
nπ x a0 L
sin
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
=
nπ x L
2
∞ nπ x nπ x + ∑ − bn sin an cos L L n =1
nπ x ∞ nπ x a n cos − ∑ bn sin = ∑ L n=1 L n=1 ∞
SUMARDI H.S KALKULUS LANJUT
184287265.doc
diperoleh
diperoleh
Page 11 of 14
2
∞
∑
n =1
bn sin
f(x) =
a0
2
nπ x L
= 0,
atau
∞
+∑
an cos
n =1
∞
∑
n =1
bn sin
nπ x L
= 0,
sehingga
nπ x L
Terbukti jika f(x) fungsi genap maka Deretnya tidak mempunyai suku – suku sinus.
Dengan cara yang sama kita dapat menunjukkan bahwa uraian Fourier suatu fungsi ganjil tidak mempunyai suku–suku cosinus maupun konstan.
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
SUMARDI H.S KALKULUS LANJUT
184287265.doc
Soal 2).
Page 12 of 14
Jika ƒ(x) genap, buktikan bahwa
2 (a).
L
∫ 0
an =
L (b).
ƒ(x) cos
nπ x L
dx,
bn = 0
Bukti:
(a)
an =
1
1
L
∫ − L
ƒ(x) cos
L
L
∫ − L
L
ƒ(x)
nπ x
π
n x L
1
dx =
L
0
∫ −
L
ƒ(x)
nπ x
cos
L
+
dx
L
Misalkan x = -u, maka
1 L
1 L
0
∫ −
L
L
∫ 0
ƒ(x) cos
ƒ (u) cos
π
n x L
nπ u L
1 dx =
L
L
∫ 0
ƒ (-u) cos (
− nπu L
) du =
du
karena menurut definisi fungsi genap, ƒ (-u) = ƒ (u). Jadi
1 an =
L
2 L
L
∫ 0
L
∫ 0
ƒ (u) cos
ƒ(x) cos
π
n x L
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
nπ u L
1 du +
L
L
∫ 0
ƒ(x) cos
π
n x L
dx =
dx
SUMARDI H.S KALKULUS LANJUT
184287265.doc
Page 13 of 14
(b) Langsung diperoleh dengan Metode 1 di atas.
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Sebuah fungsi didefinisikan sebagai berikut : f(x) =
0
untuk π ≤ x ≤ 2π
1
untuk 0 < x ≤ π
Uraikanlah f(x) menjadi deret fourier sinus ½ jangkauan !
2. Sebuah fungsi didefinisikan sebagai berikut : f(x) =
0
untuk π ≤ x ≤ 2π
1
untuk 0 < x ≤ π
Uraikanlah f(x) menjadi deret fourier cosinus ½ jangkauan !
3. Sebuah fungsi didefinisikan sebagai berikut : f(x) =
1
untuk π ≤ x ≤ 2π
0
untuk 0 < x ≤ π
Uraikanlah f(x) menjadi deret fourier sinus ½ jangkauan !
4. Sebuah fungsi didefinisikan sebagai berikut : f(x) =
1
untuk π ≤ x ≤ 2π
0
untuk 0 < x ≤ π
Uraikanlah f(x) menjadi deret fourier cosinus ½ jangkauan ! 5. Buktikan deret fourier dari f(x) = x, 0 < x < 2 π adalah: f(x) = π - 2
sin x + sin 2 x + sin 3 x + ...... 2 3 1
6. Buktikan deret fourier dari f(x) = x, - π < x < π adalah:
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
SUMARDI H.S KALKULUS LANJUT
184287265.doc
f(x) = 2
Page 14 of 14
sin x − sin 2 x + sin 3x − ...... 2 3 1
7. Buktikan deret fourier dari f(x) = x 2, -π < x < π adalah: f(x) =
2 π
3
-4
cos x − cos 2 x + cos 3 x − ...... 2 2 2 2 3 1
8. Buktikan deret fourier dari f(x) = x ( π - x), f(x) =
2 π
6
-
cos 2 x + cos 4 x + cos 6 x + ...... 2 2 2 2 3 1
9. Buktikan deret fourier dari f(x) =
f(x) =
0 < x < π adalah:
1 0 < x < π − 1 − π < x < 0
adalah:
sin x + sin 2 x + sin 3 x + ...... 2 3 π 1 4
10. Buktikan deret fourier dari f(x) = π - x, -π < x < π adalah: f(x) = π - 2
sin x − sin 2 x + sin 3x − ...... 2 3 1
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
SUMARDI H.S KALKULUS LANJUT