CURSO: CÁLCULO II
Antiderivada - Integral Indefinida
Tema Tema : Docentes:
SOLUCIONARIO
En los siguientes ejercicios, halle las integrales dadas x 3
1)
∫ 3 dx Solución: 1 3 x 3 dx = x dx 3 3
∫
2)
∫
∫ ( 3 x
3
1 x 4
= ⋅
3 4
+ C =
x 4
12
+ C
+ 2 x + 5) dx
Solución:
∫ ( 3 x
3
+ 2 x + 5) dx = ∫ 3 x3 dx + ∫ 2 xdx + ∫ 5 dx = 3∫ x3 dx + 2∫ xdx + 5∫ dx x 4 x 2 3 = 3 ÷÷ + 2 ÷÷ + 5 x + C = x 4 + x2 + 5 x + C 4 4 2
3)
∫ ( y
2
+ y 4 + 2 ) dy
Solución:
∫ ( y
2
1
4)
∫ y
3
+ y + 2) dy = ∫ y 4
5)
∫
4
y 3
∫
1
+ C
dy + y dx + 2 dy =
3
+
y4
4
dy
Solución: 1 dy = y −3 dy 3 y
∫
2
∫
=
y −2
−2
+ C = −
2 y 2
x 2 + 3x + 2 ∫ x + 2 ÷÷ dx Solución:
x 2 + 3 x + 2 ( x + 2 ) ( x + 1) = d x ÷ ∫ x + 2 ÷ ∫ x + 2 dx = ∫ ( x + 1) dx
+ 2 y + C
= ∫ xdx + ∫ dx = 6)
∫ ( 3 x
2
+
x 2
2
+ x + C
+ 2) dx
5x
Solución:
∫ ( 3 x
2
+
5x
+ 2 ) dx = ∫ 3x 2dx + ∫
= 3∫ x
= x3 +
2 5 3
∫
1/2
dx + 5 x
x3 x3/2 dx + 2 ∫ dx = 3 ÷ + 5 3÷ 3 / 2÷÷ + 2 x + C
+ 2 x + C
∫ t + 5e ÷ dt 4
)
3/2
x
2
∫
5 xdx + 2dx
t
Solución: 4 + 5et dt = 4 dt + 5et dt = 4 1 dt + 5 et dt = 4ln t + 5 et ÷
!)
∫ t
5
1
∫ 3 x −
∫t
∫
3
y
%)
1 3
ln x − 5 x −1/2 dx +
ln x − 1# x1/2 − 2e− x /2
∫ ( e + 1)
∫
+C
1 1 1 + e − x /2÷ dx = ∫ dx − 5∫ 1/2 dx + ∫ e− x /2 dx 3 x x
= 1
∫ t
+ e− x / 2÷ dx x
Solución: 1 5 3 x − x
=
∫
2
∫
1
−1 / 2
e− x /2
=
1 3
x1/2 − x /2 1 / 2÷÷ − 2 e +"
ln x − 5
$"
dy
Solución:
∫ ( e 1#)
2 y
+ 2e + 1) dy = ∫ e y
2 y
∫
∫
dy + 2e dy + dy y
=
e 2 y
2
+ 2e y + y + C
e3 x ∫ 3 + 2sin x÷÷ dx Solución:
e3 x e3 x 1 ∫ 3 + 2sin x÷÷ dx = ∫ 3 dx + ∫ 2sin xdx = 3 ∫ e3 x dx + 2∫ sin xdx 1 e3 x 1 = ÷÷ − 2cos x + C = e3 x − 2 cos x + C 3 3 %
e− e− ( ∫ 11) #t
#&13t
+ 4 ) dt
Solución:
∫ e− ( e − # t
#&13t
+ 4 ) dt = ∫ ( e −#&15t + 4e −# t ) dt = ∫ e −#&15t dt + ∫ 4e −# t dt
=
e −#&15t
+ 4∫ e
−#&15
=−
2# −#&15t e 3
−# t
2# −#&15 t e −# t dt = − e +4 +C 3 −#
− 2##e−# t + C
( tan x − 3cos x ) dx 12) ∫ 2
Solución:
∫ ( tan x − 3cos x ) dx = ∫ tan xdx − ∫ 3cos xdx = ∫ ( sec x − 1) dx − ∫ 3cos xdx = ∫ sec xdx − ∫ dx − 3∫ cos xdx = tan x − x − 3sin x + C 2 + 2sin 2 x dx ( )÷ x ∫ 13) 2
2
2
2
Solución: 2 + 2sin 2 x dx = 2 dx − 2sin 2 x dx = 2 1 dx − 2 sin 2 x dx ( )÷ ( ) ( )
∫ x
∫x
∫
= 2ln x + 2
∫x
cos'2 x) 2
∫
+ C = 2ln x + cos'2 x) + C
3 z 2 + 2 z + 3 ∫ z ÷÷ dz 14) Solución:
3 z 2 + 2 z + 3 = dz ÷ ∫ z ÷ ∫
3z 2 z
+
2 z 3 z
3 + ÷÷ dz = ∫ 3z + 2 + ÷ dz z z
= ∫ 3 zdz + ∫ 2dz + ∫ = t− ( t ∫ 15) 1/2
2
− t + 2 ) dt
3 2
z 2
3 z
∫
∫
1
∫ z dz
dz = 3 zdz + 2 dz + 3
+ 2 z + 3ln z + C
Solución:
∫t− ( t 1/2
2
− t + 2 ) dt = ∫ ( t 3/ 2 − t1/2 + 2t −1/2 ) dt = ∫ t 3/ 2 dt − ∫ t1/ 2 dt + ∫ 2t −1/2 dt
=
t 5/2
−
t 3/2
+ 2∫ t −1/2 dt =
2
t5/2
5/ 2 3/ 2 5 2 2 = t 5/ 2 − t 3/2 + 4t1/2 + C 5 3
−
2 3
t3/2
+2
t 1/2
1/ 2
+C
∫ ( x3 − 2 x2 ) x − 5 ÷ dx 1
16)
Solución:
∫ ( x
3
1 2 3 2 3 2 − 2 x2 ) − 5 dx = ∫ ( x − 5 x − 2 x + 1# x ) dx = ∫ ( −5 x + 11 x − 2 x) dx ÷ x = ∫ −5 x3 dx + ∫11x2 dx − ∫ 2 xdx = −5 ∫ x3 dx + 11∫ x2 dx − 2 ∫ xdx −5 11 = x4 + x3 − x2 + C 4
∫ 1)
x3
−
3
+ 2 ÷ x
1 2
Solución:
∫
x
3
−
1 + 2÷ dx = ∫ x3/2 − 1/2 + 2÷ dx 2x x
1 2
= ∫ x =
2 5
3/2
x
dx −
5/2
∫
1 −1/2 x dx + 2
2 x1/2
− ÷÷ + 3 1 / 2
∫
2 dx =
2x + C =
2 5
x5/ 2
5/2 x5/2
−
−
1
x− ∫ 2
4 3
x1/2
1/2
+
∫
dx + 2 dx
2 x + C
(esuelve los siguientes ro*le+as 1) I(E./ 0A(IA& El ingreso +arginal derivado de la roduccin de q unidades de 2
cierto artculo es R ' q) = 4 q − 1&2 q dlares or unidad& .i el ingreso derivado de la roduccin de 2# unidades es de 3####, cu7l ser7 el ingreso eserado or la roduccin de 4# unidades8 Solución:
(ecuerde 9ue el ingreso +arginal es la derivada de la funcin del ingreso dR dq
R'q)
& Entonces,
= 4q − 1&2 q2 dR
: or tanto, R' q) de*e ser la antiderivada de R' q) =
dR
∫ dq
dq
=∫ '−1&2q 2 + 4q) dq = −
ara alguna constante C & El valor de C se deter+ina or el hecho de 9ue 3#### = R'2#) 3#### = −#&4 ( 2# )
3
, as 1&2 3
q3 +
4 2
q2 + C = − #&4 q3 + 2 q2 + C
R'2#) = 3#### & En articular,
+ 2 ( 2# ) 2 + C
⇒ C = 324## ;e a9u, el ingreso total es R' q) = −#&4 q3 + 2 q2 + 324## : el ingreso or la roduccin de 4# unidades es 3 2 R'4#) = −#&4 ( 4# ) + 2 ( 4# ) + 324## = 1####
2) "/.
− 24q + 4! dlares or unidad& .i el costo de roduccin de 1# de cierto *ien es unidades es de 5###, cu7l es el costo de roduccin de 3# unidades8 Solución:
(ecuerde 9ue el costo +arginal es la derivada de la funcin del costo total dC dq
C ' q) & Entonces,
= 3q 2 − 24q + 4! dC
: or tanto,
C ' q)
C ' q) =
de*e ser la antiderivada de
dC
∫ dq =∫ '3q
2
− 24q + 4!) dq = q3 −
dq
24 2
, as q
2
+ 4!q + k
= q3 − 12q 2 + 4!q + k ara alguna constante k & 'a letra k se e+le ara denotar la constante a fin de evitar confusin con la funcin del costo C ) El valor de k se deter+ina or el hecho de 9ue C '1#) = 5### & En articular, 5### = C '1#) 3 2 5### = ( 1# ) − 12 ( 1# ) + 4! ( 1# ) + k ⇒ k = 42# ;e a9u, la funcin del costo total es C 'q ) = q3 − 12q 2 + 4!q + 42# : el costo de roduccin de 3# unidades es 3 2 C '3#) = ( 3# ) − 12 ( 3# ) + 4! ( 3# ) + 42# = 2236# 3) =
de roduccin sea de q unidades& .e ha
deter+inado 9ue el costo +arginal corresondiente es de #&4q dlares or unidad& .uonga 9ue la utilidad del fa*ricante es 2### cuando en nivel de roduccin es de 25 unidades& "u7l es la utilidad del fa*ricante cuando el nivel de roduccin sea de 36 unidades8 Solución:
(ecuerde 9ue
utilidad +arginal = ingreso +arginal − costo +arginal
As, si
P 'q) ≡ utilidad +arginal R 'q) ≡ ingreso +arginal C 'q) ≡ costo +arginal
Entonces P 'q) = R ' q) − C ' q) = 2## q−1/2
− #&4 q >or otro lado, recuerde 9ue la utilidad +arginal es la derivada de la funcin utilidad Entonces,
P' x) &
dP dq
= 2##q −1/2 − #&4q dP
: or tanto, P' q) de*e ser la antiderivada de P' q) =
dP
∫ dq =∫ ( 2##q
−1/2
dq
, as
q1/2 − #&4 q ) dq = 2## ÷÷ − #&4 1 / 2
2 q
÷ + k
÷ 2
= 4##q1/2 − #&2 q2 + k ara alguna constante k & El valor de k se deter+ina or el hecho de 9ue P '25) = 2### & As, 2### = P '25) 1/2 2 2### = 4## ( 25 ) − #&2 ( 25 ) + k ⇒ k = 125 ;e a9u, la funcin utilidad es P' x) = 4## q1/2 − #&2 q 2 + 125 : la utilidad cuando el nivel de roduccin sea de 36 unidades es 1/2 2 P '36) = 4## ( 36 ) − #&2 ( 36 ) + 125 = 2265&! 4) "(E"I0IE
+
t ies/aAo
.i cuando se lant el 7r*ol @ste tena una altura de 2 ies, cu7l ser7 su altura dentro de 2 aos8 Solución: dh
a altura h't ) de un 7r*ol en cual9uier tie+o +uestra a continuacinC t 5/3 dh 2/ 3 h 't ) = ∫ dt = ∫ '#&2t + t ) dt = #&2 5 / 3÷÷ dt
= #&12t 5/3 +
2 3
t 3/2
t ,
se encuentra antiderivando
t 3/2 + ÷÷ + C 3 / 2
+ C
"o+o la altura del 7r*ol es h = 2 cuando t = # , se tiene 9ue 2 = h'#) 2 = #&12 ( # )
⇒
5/3
2
+ ( #) 3/2 + C 3
C = 2
;e a9u, h't ) = #&12t
5/3
+
2 3
t
3/2
+ 2
: la altura del 7r*ol dentro de 2 aos es h'2) = #&12 ( 2 )
5/3
2
+ ( 2) 3/2 + 2 = 124&6% + 3
dt co+o
se
5) "(E"I0IE/?A"ID& .e ha deter+inado 9ue la o*lacin P't ) de una cierta colonia de *acterias, t horas desu@s de iniciar la o*servacin, tiene un raBn de ca+*io dP dt
= 2##e#&1t + 15#e−#t
.i la o*lacin era de 2##### *acterias cuando inici la o*servacin, cu7l ser7 la o*lacin 12 horas desu@s8 Solución: dP
a o*lacin P't ) se encuentra antiderivando P 't ) =
dP
∫ dt dt = ∫ '2##e
#&1t
=
2##e#&1t #&1
+
dt
co+o se +uestra a continuacinC
+ 15#e−#t ) dt 15#e−#t
−#
+c
= 2###e#&1t − 5###e−#t + c "o+o la o*lacin es de 2##### cuando t = # , se tiene 9ue P'#) = 2##### = 2###e# − 5###e# + c ⇒ 2##### = −3### + c ⇒ c = 2#3### As, P 't ) = 2###e#&1t − 5###e−#t + 2#3### Entonces, desu@s de 12 horas, la o*lacin es P'12) = 2###e#&1'12) − 5###e−#'12) + 2#3### ≈ 2#6152 6) A>(E;IAFE&
a) "u7ntos asectos uede +e+oriBar
El nG+ero de asectos M 't ) 9ue uede +e+oriBar
=−
#&##5 3
t
3
+ #&2t 2 + C
dt
"o+o M 't ) es # cuando t = # 'ues al inicio de la rue*a aGn no ha +e+oriBada ningGn asecto de la lista dada), se tiene 9ue # = M '#)
#=−
#&##5
3 C = #
⇒
3
2
( # ) + #&2 ( # ) + C
As, M 't ) = −
#&##5 3
t
3
+ #&2t 2
a) ;esu@s de los ri+eros 1# +inutos, el nG+ero de asectos 9ue ha +e+oriBado es M '1#) = −
#&##5 3
3
2
( 1# ) + #&2 ( 1#) ≈ 1!&33
*) El nG+ero de asectos adicionales 9ue uede +e+oriBar en los siguientes 1# +inutos es H M = M '2#) − M '1#) #&##5 #&##5 3 2 3 2 = − ( 2# ) + #&2 ( 2#) ÷ − − ( 1#) + #&2( 1#) ÷ 3 3 ≈ 66&66 − 1!&33 ≈ 4!&33 ) ;E."/EA0IE
a) ;eter+ine una fr+ula ara la te+eratura de la carne desu@s de t horas& *) "u7l es la te+eratura desu@s de 2 horas8 c) .uonga 9ue la carne est7 descongelada cuando su te+eratura llega a 1#"& "u7nto tie+o transcurre hasta 9ue se descongela la carne8 Solución: dT
a te+eratura T 't ) de la carne en cual9uier tie+o t , se encuentra antiderivando co+o se +uestra a continuacinC T 't ) =
dT
∫ dt
dt = ' e−#&35t ) dt =
∫
= −2#e−#&35t + C
−#&35
e−#&35t + C
o "o+o la te+eratura de la carne es T = −4 " cuando t = # , se tiene 9ue −4 = T '#)
−4 = −2#e−#&35( # ) + C ⇒ C = 16 As, a) a fr+ula ara la te+eratura de la carne es t T 't) = −2# e−#&35 + 16 *) a te+eratura de la carne desu@s de 2 horas es −#&35( 2 ) + 16 = 6! °C T '2) = −2#e
dt
c) >ara encontrar el tie+o 9ue tiene 9ue transcurrir ara 9ue la carne se descongele, resolva+os la siguiente ecuacin
T 't ) = −2#e−#&35t + 16 = 1#
⇒ − 2#e−#&35t = −6 −#&35t
e
⇒
ln e −#&35t
(
=
3
⇒
1#
) = ln 1# ÷ 3
3 ⇒ − #&35t ln e = ln ÷ 1# 3 ⇒ − #&35t = ln ÷ 1# 3 ln ÷ ⇒ t = 1# −#&35 ⇒ t = 3&43%%hrs
