informe de topografia referente a la nivelación trigonométricaDescripción completa
Descripción: INTEGRACION
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material de trigonometria - C. T.Descripción completa
SOLUCIONARIO U1 S3 Integracion Por PartesDescripción completa
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Métodos de integración Integración de funciones con trinomio cuadrado perfecto. Integración por sustitución trigonométrica Ing. Ms. David Uscamayta Verástegui
Propósitos: Aplica las reglas de integración para resolver ejercicios de funciones con trinomio cuadrado perfecto. Aplica la sustitución trigonométrica para calcular integrales.
Integrales que contienen polinomios cuadráticos Muchas integrales que contienen una raíz cuadrada o una potencia negativa de un polinomio cuadrático ax2 + b x + c se pueden simplificar mediante el proceso de completar el cuadrado. (Trinomio cuadrado perfecto). Por ejemplo 2 2
x
2 x 2 ( x 1)
1
y por tanto, con la sustitución u = x + 1, du = dx, se obtiene
x
2
dx 2x 2
du u
2
1
a tan(u ) c
a tan(x 1) c
En general, el objetivo es convertir ax2+bx+c en una suma o en una diferencia de cuadrados u 2 a 2 o a 2 -u 2 para que se pueda usar tablas
PROBLEMAS Resolver los siguientes ejercicios
1. I = 2. I = 3. I =
INTEGRACIÓN MEDIANTE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA • Cuando un integrando contiene potencias enteras de “x” y potencias enteras de alguna de las expresiones:
a
2
x
2
a
2
x
2
x
2
a
2
• es posible que se puedan evaluar por medio de una sustitución trigonométrica.
CASO 1: Integrandos que contienen
a
2
x
2
En este caso utilizaremos la siguiente representación: A partir de ella, definimos
a
a2
x
x
aSen( )
x2 Identidad pitagórica
1 sen
2
2
cos
CASO 2: Integrandos que contienen
a
2
x
2
En este caso utilizaremos la siguiente representación: a
2
x
A partir de ella, definimos
2
x
x
aTan( )
a Identidad pitagórica
1 tan
2
2
sec
CASO 3: Integrandos que contienen
x
2
a
2
En este caso utilizaremos la siguiente representación: A partir de ella, definimos
x x
2
a
2
x
aSec( )
a Identidad pitagórica 2
sec
1 tan
2
PROCEDIMIENTO DE INTEGRACIÓN MEDIANTE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 1. Proponer la sustitución adecuada. 2. Reemplazar los términos en la integral a partir de la sustitución propuesta.
3. Resolver la integral equivalente obtenida al reemplazar los términos a partir de la sustitución propuesta. 4. Expresar la solución de la integral equivalente en términos de la sustitución original.
EJEMPLO: 1. Resolver:
dx x 16
x2
Seguiremos paso a paso con el proceso indicado. 2 2 a x Como el radical tiene la forma con a = 4, tenemos una integral del CASO 2. Procedimiento de solución: 1. El cambio indicado es: x 4Tan( ) Con ello, tenemos la siguiente representación gráfica:
x
4Tan( )
16 x 2
16 x 2
x
dx 4Sec2 d 16 16Tan2 16(1 Tan2 )
16Sec 2 4 2. Reemplazando los términos en la integral propuesta tenemos:
dx x 16 x 2
4Sec2 d 4Tan 4Sec
4Sec
Simplificando: 4Sec 2 d 4Tan 4Sec
dx x 16 x 2 dx
1 4
x2
x 16 dx
x 16 x 2
1 1 / Cos d 4 Sen / Cos
dx x 16
Sec d Tan
x2
1 1 d 4 Sen
1 Csc d 4
Esta última representa la integral equivalente.
3. Enseguida procedemos a resolver la integral equivalente. Como: Entonces:
dx x 16
x2
Cscudu
ln Cscu Cotu
c
1 Csc d 4
1 ln Csc 4
Cot
4. Expresando lo anterior en función de los términos originales, tenemos finalmente que: dx 1 16 x 4 ln c 2 4 x x x 16 x
c
EJEMPLO: 2. Resolver:
3. Resolver:
4. Resolver:
dx 2 3/ 2 x(x 4) 4x2 9 dx 2 x
dx x4 2 x2
PROBLEMAS: • Resolver: 1.
x
2.
2
25 x 2 3.
5.
dx
2
x 9 dx 4 x 2
1 x dx
4.
dx (1 x 2 )3 / 2
x2
9 x
6.
dx x2 4
dx
SINTESIS DE LA CLASE Sustituciones trigonométricas
