CURSO: CÁLCULO II Tema :
Integración por sustitución algebraica y por partes.
Docentes: José Ponte, Juan Ponte
SOLUCIONARIO I) CAMBIO DE VARIABLE 1) Hallar
ax bdx
Solución: Hágase el siguiente cambio de variable, u
ax b
du
adx
dx
1
du
a
Reemplazando en la integral dada, se tiene
ax b dx
2) Hallar
x
u
1
1
du
a
a
u
1/ 2
du
1u
3/ 2
a 3/ 2
2
C
ax b C 3/ 2
3a
2 x dx
Solución: Hágase el siguiente cambio de variable, u 2 x
du
xdx dx du 2 xdx
2 x
Reemplazando en la integral dada, se tiene
x
2 x
3) Hallar
x
dx
x
u
du
2 x
1 2
u
1/ 2
du
1 u3/ 2 2 3/ 2
C
1 3
2 x
2 3/ 2
C
2 x 1dx
Solución: En primer lugar, sea
u
2x
integrando contiene el factor u
2x 1
x
u
x
1.
Su diferencial es
, hemos de expresar
x
du
2dx ,
de aquí
en términos de
1
2
Ahora sustituyendo, se obtiene 1 u 1 du 1 1/ 2 3/ 2 1/ 2 x 2x 1 dx 2 u 2 4 u 1 u du 4 u u 1 u 5 / 2 u 3/ 2 1 2u 5/ 2 1 2u 3/ 2 C C 4 5 / 2 3 / 2 4 5 4 3
1
10
1
5/ 2
2 x 1
6
3/ 2
2x 1
C
du
u
, así
dx
du
2
. Como el
x
( x 1)
4) Hallar
2
dx
Solución: Hágase el siguiente cambio de variable, u
x 1
du dx
Reemplazando en la integral dada, se tiene x
( x 1)
2
dx
x
du
2
u
Ya que en la integral anterior aún está presente la variable x , esta se despeja del cambio de variable u x 1 , así se tiene x u 1 . Reemplazando en la integral anterior, resulta
x
( x 1)
2
dx
x u
u
ln u
3 x
5) Hallar
2
du
2
3
1 e x
1
u
2
du
u 1 1 2 2 du u 2 du u u u
C ln x 1
1
x
u 1
1 x 1
C
dx
Solución: En primer lugar, sea
u
x
Finalmente sustituyendo
3 x
2
3
1 e x
6) Hallar
x
dx
3
e
x
3
u
x
y
3x
2
x
. Su diferencial es
du en
du
3x
2
1 dx .
la integral dada se obtiene 3
1 dx e udu e u C e x x C
(2 ln x) dx x
Solución: Hágase el siguiente cambio de variable, u 2 ln x du
dx
dx xdu
x
Reemplazando en la integral dada, se tiene 2 (2 ln x) (2 ln x) 2 u u
dx
x
7) Hallar
xdu
x
udu
2
C
2
C
( x 2 1)dx x
3
3x
Solución: Hágase el siguiente cambio de variable, u
x
3
3 x du (3 x 2
du
3)dx dx
3( x 2 1) Reemplazando en la integral dada, se tiene 2 2 1 du 1 x 1 x 1 du
x
3
3 x
dx
u
3( x 2 1)
3
u
3
u
1 / 2
du
2 3
u
1/ 2
2
C ( x 3 3 x)1/ 2 C 3
8) Hallar
( a x ) 2 dx x
Solución: Hágase el siguiente cambio de variable, u
a
x
du
dx
dx
2 x
2 x du
Reemplazando en la integral dada, se tiene
a
x
2
dx
x
9) Hallar
u
1 1 1 2 x x
2
2 x du
x
2 u
2
du
2
u
3
3
C
2 3
a
x
3
C
2/3
dx
Solución: En primer lugar, sea
1
u
1.
Su diferencial es
du
dx
x
x
2
. Ahora, puesto que
dx es
parte de la
Ahora,
integral dada, podemos escribir dx
2
x du
Finalmente sustituyendo 1 1
x2 x 1
2/3
dx
u
y x2du en la integral dada se obtiene
1
2/3 2 2/3 x2 u x du u du 5/3
u
5/3
1 3 1 x C
5/3
10) Hallar
C
5
1 ln x
3
x
Solución: Hágase el siguiente cambio de variable, dx
u 1 ln x du
dx xdu
x
Reemplazando en la integral dada, se tiene
3
1 ln x
dx
x
11) Hallar
10 x
x
4
3
3
u
xdu
x
5x
u1/ 3 du
3 4
u
4/ 3
C
3 4
1 ln x C 4/3
dx
2
x 6
Solución: En primer lugar, sea puesto que
dx es
dx
u
4
x
2
6 . Su diferencial es
du
4x
parte de la integral dada, podemos escribir du
x
2 2 x
3
x
3
2 x dx
3
2 2x
x dx .
Finalmente sustituyendo
u
du
y
2 2 x
10 x
x
4
3
5x
dx
x2 6
12) Hallar
5 2 x
5 2
x
u
1 sin x
( x cos x)
2
4
1/2
3
x
dx
x2 6
3
x
5
en la integral dada se obtiene
2x
3
x
du
u
2 2 x
3
x
5 2
du u
5u
1/2 1/2 4 2 C 5 u C 5 x x 6 C 2 1/ 2 1/2
du
dx
Solución: Hágase el siguiente cambio de variable, u
x
du
cos x du (1 sin x)dx dx
1 sin x Reemplazando en la integral dada, se tiene du 1 sin x 1 sin x du 2
( x cos x)
2
dx
u
2
1 sin x
u
2
u
du
u
3
3
1
C x cos x 3 C 3
II) POR PARTES 1)
xe dx x
Solución: Se elige
u
y
dv como
sigue du dx x x v e dx e
u x x dv e dx Se sabe que udv uv vdu Así
xe dx xe e dx xe x
2)
x
x
x
e x C
x ln( x)dx Solución: Se elige
u
y
dv como
sigue
dx du u ln x x dv xdx v xdx x 2
2
Se sabe que
udv uv vdu Así
x ln( x)dx ln x 3)
x
2
x
x
2
2
2
2
ln x
x
1 2
2
2
dx x
xdx
x
2
2
ln x
x
2
4
C
sin xdx
Solución: Como de costumbre empiece haciendo
u x
2
y dv
sin xdx . A continuación elabore una
tabla de tres columnas como sigue. Signos
u
alternados
y sus derivadas 2
x
2 x
2
0
dv y
sus
antiderivadas sin x
cos x
sin x
cos x
Derivar hasta obtener una derivada nula La solución se obtiene multiplicando las expresiones según las líneas diagonales y sumando estos productos siguiendo los signos alternados. Así
x
sin xdx x 2 ( cos x) 2 x( sin x) 2 cos x C
2
x 2 cos x 2 x sin x 2 cos x C
4)
ln( x)dx Solución: Se elige
u
y
dv como
sigue
dx u ln x du x dv dx v dx x
Se sabe que
udv uv vdu Así
5)
dx
x x ln x dx x ln x x C
ln( x)dx ln x x
ln
2
x
( x)dx
Solución: Se elige
u
y
dv como
sigue
2 ln x dx u ln x du x dv dx v dx x 2
Se sabe que
udv uv vdu Así
x ln 2
2 ln x
x d x x 2 ln xdx x ln
ln 2 ( x)dx ln 2 x x
x
2
x ln 2 x 2 x ln x 2 x C
x 2( x ln x x) C
6)
( x 1)e
x 2
dx
Solución: Se elige
u
y
dv como
sigue
du dx u x 1 x x dv e dx v e 2
2
dx
e x
2
Se sabe que
udv uv vdu Así
( x 1)e
x 2
dx
( x 1)e x 2 e x 2 d x ( x 1)e x 2 e x 2 C
7)
e
x
sin(x )dx
Solución: Se elige
u
y
dv como
sigue
du cos xdx u sin x x x x dv e dx v e dx e Se sabe que
udv uv vdu Así:
e
x
sin( x)dx sin x e x
e
x
cos xdx
Para la segunda integral del lado derecho, apliquemos nuevamente integración por partes, así haciendo:
du sin xdx u cos x x x x dv e dx v e dx e Se tiene:
e
x
sin( x)dx sin x e x
e
x
cos xdx sin x e x cos x e x
e x sin x e x cos x e x sin xdx por lo tanto:
e
x
sin( x)dx e x sin x e x cos x
e
x
sin xdx
2 e x sin( x)dx e x sin x e x cos x x
e sin( x)dx x
e
sin x e x cos x 2
C
e
x
sin xdx
8)
(3 x 1)cos(x )dx Solución: Se elige
u
y
dv como
sigue du 3dx
u 3 x 1 cos dv xdx v cos xdx sin x Se sabe que
udv uv vdu Así
(3 x 1) cos xdx (3 x 1) sin x sin x 3d x (3 x 1) sin x 3 sin xd x (3 x 1) sin x 3 cos x C 9)
( x
2
3x 1)sin( x )dx
Solución: Como de costumbre empiece haciendo
u x
2
3x 1
y dv
sin xdx . A continuación elabore
una tabla de tres columnas como sigue. Signos
u
alternados
y sus derivadas
x
2
dv y
antiderivadas sin x
3x 1
2 x 3
sus
cos x
2 0
sin x
cos x
Derivar hasta obtener una derivada nula La solución se obtiene multiplicando las expresiones según las líneas diagonales y sumando estos productos siguiendo los signos alternados. Así
( x 2 3 x 1) sin xdx ( x 2 3 x 1)( cos x) (2 x 3)( sin x) 2 cos x C
( x 2 3 x 1) cos x (2 x 3) sin x 2 cos x C
10) (2 x 2 5x 2)e x dx
Solución: Como de costumbre empiece haciendo
u
2 x
2
2 y dv
5x
x
e dx .
A continuación elabore
una tabla de tres columnas como sigue. Signos
u
alternados
y sus derivadas 2 x
2
dv y
5x
antiderivadas x
2
e
4 x 5
e
4
e
0
e
sus
x
x
x
Derivar hasta obtener una derivada nula La solución se obtiene multiplicando las expresiones según las líneas diagonales y sumando estos productos siguiendo los signos alternados. Así:
(2 x
2
5 x 2)e x dx (2 x 2 5 x 2)e x (4 x 5)e x 4e x C (2 x 2 x 3)e x C
11) (2 x2 1) ln( x)dx
Solución: Se elige
u
y
dv como
sigue
dx du x 2 dv (2 x 1)dx v (2 x 2 1)dx x 2 x
u
ln x
Se sabe que
udv uv vdu Así
(2 x
2
1) ln( x)dx ln x ( x 2 x) ( x 2 x) ( x 2 x) ln x ( x 1)dx ( x x) ln x 2
x
2
2
x C
dx x
PROBLEMAS 1) VALOR DE LA TIERRA. Se estima que dentro de
t años,
el valor V (t ) de una hectárea de
tierra cultivable crecerá a una tasa de 0.4t 3
'(t )
V
0.2t 4 8000 dólares por año. Actualmente la tierra vale $500 por hectárea. a) Determine V (t )
b) ¿Cuánto valdrá la tierra dentro de 10 años?
Solución: a) El valor
V (t ) se
V (t ) V
determina integrando
'(t )dt
V
'(t ) con respecto a
t
. Así
3
0.4t
dt
4
0.2t 8000
Para realizar a integración, se emplea la sustitución u
0.2t
4
8000,
du
3
0.8t dt ,
3
t dt
du
0.8
,
y se obtiene V (t )
0.4t 3
4
0.2t 8000
0.4 0.8
0.2t
du
u 4
1 2
V
1/2
du
1
3
t dt
4
0.2t 8000
0.4
1/2 1u 1/2 C u C 2 1/ 2
1
du 0.8 u
500 cuando t
0,
así se tiene
V (0)
0.2 0
4
500
500 8000 C C 410.55
u
0.4
8000 C
Por dato del problema, 500
dt
8000 C
Por tanto V (t )
0.2t 4 8000 410.55
2) CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Se trasplantó un árbol y después de una tasa de
1
1
x 1
2
x
años este crecía a
metros por año. Después de 2 años el árbol alcanzó una altura de 5
metros. ¿Qué altura tenía cuando se trasplantó?
Solución: La altura del árbol, h( x) , se determina integrando
h '( x ) 1
1
x 1
2
con respecto a
x
. Así
1 dx dx h( x) h '( x )dx 1 dx dx x 2 2 x 1 2 x 1 x 1 Para efectuar esta integración, se emplea la sustitución (al segundo miembro del lado derecho) u x 1, du dx ,
y se obtiene h( x) x
x
dx
x 12 x u 2 x u 1
C se
2
u 1 du x 1 C
C
x 1
determina por el hecho de que
h(2)
5 . Así,
h(2) 1
52
1
C x
u
El valor de 5
du
C
2 1
5 2
1
C
3 5
5
C
3 10
C
3
De aquí, h( x )
1
x
x 1
10 3
Por lo tanto, la atura del árbol cuando este se trasplantó es h(0)
1
0
0 1
10 3
1
10 3
7
m
3
3) INGRESO. El ingreso marginal por la venta de será
0.01x R '( x ) 50 3.5xe R( x) ,
a) Determine
2
x
unidades de un cierto artículo se estima que
dólares por unidad, donde
suponiendo que
R(0)
R( x) es
el ingreso e dólares.
0.
b) ¿Qué ingreso se espera por la venta de 1000 unidades?
Solución: a) El ingreso
R( x ) se
determina integrando
R '( x)dx 50 3.5xe dx 50 x 3.5 xe
R( x)
0.01x
0.01 x2
dx
R '( x) con
respecto a
50dx 3.5xe 0.01x
2
x
. Así
dx
2
Para integrar el segundo miembro del lado derecho, se emplea la sustitución u
2
0.01x ,
du
0.02 xdx
xdx
du
0.02
,
y se obtiene R( x ) 50 x
3.5 xe 0.01 x
50 x El valor de
3.5
2
dx
50x 3.5 e 0.01 x
e du 50 x 175e 0.02 u
C se
u
2
xdx
du 50x 3.5 e u 0.02 2
C 50 x 175e 0.01x C
determina por el hecho de que R(0) 0 . Así,
0 R(0)
175e
0 50 0
0 175 C
C 175
0
0.01
2
C
Por tanto R( x) 50x 175e
0.01 x2
175
b) El ingreso por la venta de 1000 unidades es R(1000)
50 1000 175e
0.011000
2
175
$50175
4) CONCENTRACION DE UN MEDICAMENTO. La concentración
C (t ) en
miligramos por
centímetro cúbico (mg/cm3) de un medicamento en el torrente sanguíneo de un paciente es de 0.5mg/cm3 inmediatamente después de una inyección y t minutos más tarde disminuye a la tasa de C '(t )
0.01e0.01t
e
0.01t
1
mg/cm3 por minuto.
2
Se aplica una nueva inyección cuando la concentración es menor que 0.05 mg/cm 3. a) Determine una expresión para C (t ) . b) ¿Cuál es la concentración después de 1 hora?
Solución: a) El concentración C (t )
C (t ) se
determina integrando
0.01e0.01t
C '(t )dt
e
0.01t
1
2
C '(t ) con
respecto a t . Así
dt
Para realizar a integración, se emplea la sustitución 0.01t , du 0.01e0.01t dt , u e y se obtiene 1 1 0.01e0.01t 0.01t 0.01 C (t ) dt e dt du 2 2 2 0.01t 0.01t u 1 1 e e
u
2
du
u
Por dato del problema,
1
1
C
C
1 u
C
0.5 cuando t
1
C 1 0 , así se tiene e
0.01t
0.5 R(0)
1
0.5
e
1
0.5
0.01 0
C
1
C 1
2
C 0
Por tanto C (t )
1
e
0.01t
b) La concentración después de una hora (60 minutos) es 1
C (60) e
0.01 60
1
0.354 mg/cm3
5) CONTAMINACION DEL AGUA. Un derrame de petróleo en el océano tiene una forma aproximadamente circular, con radio R(t ) pies, t minutos después del inicio del derrame. E radio crece a una tasa de R '(t )
21
pies/min 0.07t 5 a) Determine una expresión para el radio
b) ¿Cuál es el área
A R
2
R(t ) ,
suponiendo que
R
del derrame después de 1 hora?
Solución: a) El radio
R(t ) se
determina integrando
21
R '( t ) con
respecto a t . Así
0.07t 5 dt
R(t ) R '(t ) dt
Para realizar a integración, se emplea la sustitución u
0.07t 5,
du
0.07dt
dt
du
0.07
,
y se obtiene R(t )
21
1
du
21
du
0.07t 5 dt 21 u 0.07 0.07 u
300ln u C 300ln 0.07 t 5 C El valor de C se determina por el hecho de que R(0) 0 . Así, 0 R(0)
5 C
0 300 ln 0.07 0
0 300 ln 5
C 482.83
C
Por tanto R(t ) 300ln
0.07t 5 482.83
b) La función área es A(t ) π R(t )
2 π 300ln 0.07t 5 482.83
2
Así el área del derrame después de una hora (60 minutos) es A(60)
π 300 ln 0.07 60 5 482.83
4144581.89 pies 2
2
0 cuando
t 0 .
6) OFERTA. El propietario de una cadena de comida rápida determina que si se ofertan x miles de unidades de una nueva comida el precio marginal a ese nivel de oferta estará dado por x p '(x) 2 x 3 dólares por unidad, donde
p( x ) es
el precio (en dólares) por unidad a la cual todas las
x
unidades se venderán. Actualmente, se ofertan 5000 unidades a un precio de $2.20 por unidad. a) Determine la función de oferta p( x) (precio). b) Si se ofertan 10000 alimentos a restaurantes en la cadena, ¿Qué precio unitario se deberá cobrar para que se vendan todas las unidades?
Solución: a) El precio p( x) se determina integrando p '( x) con respecto a
p( x) p '( x )dx
x
. Así
x
x 32 dx
Para realizar a integración, se emplea la sustitución u x 3,
du dx,
y se obtiene p( x)
x
x
x 32 dx u 2 du
Como el integrando contiene el factor u x
3x
x
, debemos de expresar
x en
términos de
u 3
Finalmente reemplazando u 3 en la última integral, se tiene u 3 1 3 1 3 p( x) 2 du 2 du du 2 du ln u 3 u 2du u u u u u u 1 3 3 ln u 3 C C ln u C ln x 3 1 u x 3 Por dato del problema, p 2.20 cuando x 5 , así se tiene
2.20 p(5)
2.20 ln(5 3) 2.20 ln(8) C
3 8
3 53
C
C
0.25
Por tanto p( x)
ln( x 3)
3 x 3
0.25
b) El precio que se debe cobrar par que se vendan 10000 ( x p(10)
ln(10 3)
p(10) ln(13) p(10)
$ 2.54
3 13
3 10 3
0.25
0.25
10 )
alimentos es
u
, así
