COMPLEMENTO DE MATEM'TICA I#(e#ie)*a
UNIDAD I: ARITMÉTICA SESIÓN 02: PLANTEO DE ECUACIONES. ECUACIONES. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
SOLUCIONARIO
Visita el vide!"lase e# el "a#al T$Cie#"ia. Planteo de ecuaciones:
Desarrolle los siguientes problemas %. Se pagó 108 soles por un libro, un lapicero y una billetera. La billetera costo 10 soles más que el libro y 43 soles menos que el lapicero. ¿uánto costó el libro! Sl$"i&# onstruimos un cua"ro con los "atos proporciona"os #recio $ $&10 $&10&43 3$&(3)108 3$&(3)108
Libro %illetera Lapicero 'otal 'otal *esol+ien"o la ecuación se tiene
3 x = 108 − 63 3 x = 45 x =
45 3
x = 15
2. #or ca"a - mone"as mone"as "e S./ tengo 3 mone"as mone"as "e S.-. S.-. Si gastara S. 30, ten"ra S. /0. ¿uántas mone"as tengo en total! Sl$"i&# #or ca"a - mone"as "e S./ tengo 3 mone"as "e S.-, signica que 2m 2mero ero "e mone" one"a as one"as "e S./ one"as "e S. 'otal 'otal
-5 35 /5
De la tabla se tiene 16k = 80 k =
1
D6#7*'762' D6 96297S S66S'*6 -01:;1
80 16
anti" an ti"a" "e "iner inero o por mone"as 105 (5 1(5
k = 5
#or lo tanto, el nmero "e mone"as es 5k = 5(5) = 25
+. a obteni"o un pro"ucto que se "i?erencia "el +er"a"ero en 11 (10. alcular "ic=o nmero. Sl$"i&# Sea @2A el nmero busca"o. 6l nmero se multiplica por /0 entonces se tiene /02 6l nmero se multiplica por / Bse ol+i"a "el ceroC entonces se tiene /2 La "i?erencia por causa "el error es 50 N − 5 N = 11610 45 N = 11610 N =
11610 45
N = 258
#or lo tanto, el nmero es -/8 ,. ¿uE =ora es!, si la mita" "el tiempo transcurri"o "es"e las 0F00 =rs es igual a la tercera parte "el tiempo que ?alta transcurrir para ser las 1F00 =rs! Sl$"i&# >ora inicial 0F
>ora e$acta $
Hora transcurrida = x-9
>ora nal 1F
Hora que falta transcurrida = 19- x
Del enuncia"o se tiene x − 9 2
=
19 − x 3
3 x − 27 = 38 − 2 x 5 x = 65 x = 13
#or lo tanto, son las 13 =oras o "e ?orma equi+alente es la 100p.m. -. arla tiene S. 1-0 y su =ermana no tiene "inero. ¿Dentro "e cuántos "as ten"rán lo mismo si arla "eposita S. 3 por "a y su =ermana empieGa a "epositar S. / por "a! 2
D6#7*'762' D6 96297S S66S'*6 -01:;1
Sl$"i&# Sea @$A los "as transcurri"os >H 1-0 0
7*L7 >6*727
D6#IS9' D97*9 3 /
Del cua"ro se tiene
D926* D62'* D6 @$A DJ7S 1-0&3$ /$
5 x = 120 + 3 x 5 x − 3 x = 120 2 x
= 120
x = 60
#or lo tanto, "entro "e (0 "as ambas ten"rán la misma canti"a" "e "inero. .
Sl$"i&#
osto osto "e la #recio 9ngreso por Kanancia unitario "e compra total unitario "e las +entas unitaria ca"a agen"a ca"a agen"a c $c)14-4 p -4F1,/ 9ngreso ) costo total & ganancia total I = C + G 2492 = 1424 + 15 x 2492 − 1424 = 15 x 1068 = 15 x
x =
1068 15
x = 712
Luego,
xc = 1424 712c = 1424 c=
1424 712
=2
ompra :1- agen"as al precio "e - soles ca"a una. 3
D6#7*'762' D6 96297S S66S'*6 -01:;1
/.
Sin retraso on retraso
>oras por 2mero "e 2mero "e camisas "a "as con?ecciona"as trabaa"o trabaa"os $ -0 100 $M-,/
-/
100
Los tiempos utiliGa"os en ambos casos para con?eccionar las 100 camisas son iguales. 6s "ecir 20 x = 25( x − 25) 20 x = 25x − 625 625 = 5 x x =
625 5
x = 125
#or lo tanto, trabaó 10 =oras por "a. . #ara ganar N-8 en la ri?a "e una lma"ora se =icieron F0 boletos, +en"iEn"ose nicamente :/ boletos y originan"o as una pEr"i"a "e N1:. alcular el costo "e ca"a boleto y el +alor "e la lma"ora. Sl$"i&# •
%oletos sobrantes F0;:/ ) 1/
•
•
on la canti"a" "e boletos que ?alta +en"er, se "ebe obtener la canti"a" que recupere los N1: que se está per"ien"o y an ganar N-8. 6ntonces por la +enta "e los 1/ boletos se obtiene una canti"a" "e "inero "e -8 & 1: ) 4/ 6ntonces el costo "e ca"a boleto es 45 15
•
=3
#or lo tanto, el costo "e la lma"ora es 90 × 3 − 28 = 270 − 28 = 242
*espuesta. 6l boleto cuesta N3 y "e la lma"ora es "e N-41. 6l mE"ico ciruano gana el triple que el ayu"ante, que gana el "oble "e la en?ermera. 6l mE"ico ciruano gana el "oble que el anestesista. Si en total ganan S. 1- 000. ¿uánto gana el anestesista! 4
D6#7*'762' D6 96297S S66S'*6 -01:;1
Sl$"i&# 2o se sabe cuánto gana la en?ermera 6l ayu"ante gana el "oble "e la en?ermera 6l mE"ico gana el triple "el ayu"ante 6l mE"ico gana el "oble "el anestesista De la tabla se tiene
6n?ermera 7yu"ante E"ico 7nestesista 'otal
simboliGación $ -$ ($ 3$ 1- 000
12 x = 12000
x = 1000
*espuesta. 6l anestesista gana 3 000 soles. %0.
Seg1n el enunciado, el precio que paga cada turista depende del n1mero de veces que incrementan los turistas 2de * en *3, luego sea4 56 de veces que incrementan los turistas 7 / 5
D6#7*'762' D6 96297S S66S'*6 -01:;1
8uego tenemos4 56 de turistas4 "# 9 */ Precio de venta4 %&# : (/ 2por persona3 ;ngreso4 2"# 9 */32 %&# : (/3 7 :%#/% 9<"#/ 9 %#"## Costo total4 -%#2"# 9 */3 9 (*## 7 &##/ 9 -(-## =tilidad4 ;>C 7 :%#/% 9<"#/ 9 %#"## > 2&##/ 9 -(-##3 7 :%#/% 9?"#/ 9 &@## 5os piden4
= 7 "*## :%#/ % 9?"#/ 9 &@## 7 "*## :%#/% 9?"#/ > -"## 7 # /% : -
inalmente4 Be donde4
8uego para allar el m'/imo n1mero de turistas tomamos / 7 -#, reempla)ando el n1mero m'/imo de turistas ser'4 "# 9 *2-#3 7 -?# cada uno pagar'4 %&# > (2-#3 7 $%%#.
%2.Se an comprado un determinado n1mero de focos aorradores por un costo total de SD. &#. Si se u!ieran comprado tres focos m's, el vendedor le a!ra eco un descuento de SD. - en cada uno el costo total a!ra sido el mismo. Betermine4 Cu'ntos focos aorradores se compraron0 Solución:
Sea /F4 cantidad de focosG F4 precio de cada foco. 1°caso ! yx = 60"""#1$
2° caso ! ( y − 1) ( x + 3)
= 60"""#2$
60 − 1 x + 3 = 60 ) ÷( x ⇒ ( 60 − x ) ( x + 3) = 60 x ⇒ x 2 + 3x − 180 = 0 ⇒ ( x + 15) ( x − 12 ) = 0 ⇒ x = −15 o x = 12
De #1$ en #2$ !
RESPUESTA4 Se compraron -% focos.
Ecuaciones lineales:
13. Resolver4
6
D6#7*'762' D6 96297S S66S'*6 -01:;1
2 x − 1 3
+ x =
−6 + 2 x 2
+
5x + 6 4
Solución:
on el obeto "e eliminar las ?racciones, multiplican"o amos miembros por ..B3,-,4C)1-
2 x − 1 + x = 12 −6 + 2 x + 5 x + 6 ÷ 2 ÷ 4 3 2 x − 1 + 12 x = 12 −6 + 2 x + 12 5 x + 6 12 ÷ 2 ÷ 4÷ 3 4 ( 2 x − 1) + 12 x = 6 ( −6 + 2 x ) + 3 ( 5 x + 6 ) 8 x − 4 + 12 x = −36 + 12 x + 15 x + 18 20 x − 4 = 27 x − 18 20 x − 27 x = −18 + 4 − 7 x = −14 −14 x = −7 x = 2 12
14. Resolver 7 11 −5 = + 2 x − 3 3 − 2 x 3 x + 5 Solución:
2otar que -$;3);B3;-$C %ener en cuenta que el deno&inador tiene que ser diferente de cero 'or lo cual se tiene!
3 − 2 x ≠ 0
3 x + 5 ≠ 0
3 ≠ 2 x
3 x ≠ −5
3
x ≠
2
≠ x
−5 3
Sacamos ..)B3;-$CB3$&/C 7(3 x + 5) + 11(3 − 2 x) −5 = −(3 − 2 x) ( 3 − 2 x ) (3 x + 5)
(3 − 2 x) (i&'lificando el t)r&ino
7
en a&*os &ie&*ros
D6#7*'762' D6 96297S S66S'*6 -01:;1
5=
7(3 x + 5) + 11(3 − 2 x) (3 x + 5)
5 ( 3 x + 5)
= 21x + 35 + 33 − 22 x 15 x + 25 = − x + 68 15 x + x = 68 − 25 16 x = 43 x =
43 16
Cst ttal C) costo +ariable& costo o )10/$&1(/0 I#()es 9) B#recio "e +entaC .B2mero "e uni"a"es +en"i"asC 7-1/$ Utilidad: U)9ngreso − osto total 7-1/$−B10/$&1(/0C 7-1/$−10/$−1(/0 7%%06 %-0 bC Determine el punto "e equilibrio "e la empresa.
6l punto "e equilibrio "e la empresa se "a cuan"o el "st ttal 7 I#()es Q es "ecir la $tilidad es "e) estosignifica que no se gana ni se pierde .
8
D6#7*'762' D6 96297S S66S'*6 -01:;1
0 = 110 x − 1650
1650 = 110 x 1650
= x 110 15 = x
Res4$esta: Se "eben pro"ucir y +en"er 1/ uni"a"es para que la compaPa no pier"a ni gane. cC uE utili"a" o pEr"i"a resultara al +en"er 100 pro"uctos. *eemplaGan"o $)100 en U = 110(100) − 1650 U = 11000 − 1650 U = 9350
Res4$esta: Si se +en"en 100 pro"uctos la compaPa ganará NF3/0 "C ¿uántas uni"a"es "ebe pro"ucir y +en"er la empresa para obtener una ganancia mensual "e N38/0!
= 110 x − 1650 3850 = 110 x − 1650 3850 + 1650 = 110 x 5500 = 110 x U
5500
= x 110 50 = x
Res4$esta: #ara obtener una ganancia mensual "e N38/0, se "ebe pro"ucir y +en"er /0 uni"a"es La sePora or"ero +a a in+ertir N:0000. 6lla quiere recibir un ingreso %. anual "e N/000. #ue"e in+ertir sus ?on"os en bonos "el gobierno a un (R o, con un riesgo mayor, al 8./R "e los bonos =ipotecarios. ¿ómo "ebera in+ertir su "inero "e tal manera que minimice los riesgos y obtenga N/000! Sl$"i&#: ; Sea 6 la canti"a" "e "inero in+erti"a en bonos "el gobierno,
!
6ntonces la canti"a" in+erti"a en bonos =ipotecarios es :0000 −$ 6+ x =
;
9
6l ingreso recibi"o por los bonos "el gobierno al (R es D6#7*'762' D6 96297S S66S'*6 -01:;1
6 100
x
8"5+(70000 − x)
;
6l ingreso recibi"o por los bonos =ipotecarios al 8./R es
=
85 1000
(70000 − x)
Da"o que el ingreso total recibi"o por los "os tipos "e bonos "ebe ser N/000 6 100
x +
85 1000
(70000 − x) = 5000
ultiplican"o ambos la"os por 1000 y "espeamos $ 60 x + 85(70000 − x) = 5000000
60 x + 5950000 − 85 x = 5000000 5950000 − 5000000 = 25 x 950000 = 25 x
950000
= x 25 38000 = x
Res4$esta:La sePora or"ero "ebera N38 000 en bonos "el gobierno y N3-000 en bonos =ipotecarios.
Sl$"i&#: ; Sea 6 la canti"a" "e "inero in+erti"a al (R, 6ntonces la canti"a" in+erti"a al :./R es -0000 −$
!
6+ x =
;
6l ingreso recibi"o al in+ertir al (R es "e
6 100
x
7"5+(20000 − x) =
;
6l ingreso recibi"o al in+ertir al :./R es "e
=
75 1000
(20000 − x)
Da"o que el ingreso total por aPo sea "e N1440 6 100
x +
75 1000
(20000 − x) = 1440
ultiplican"o ambos la"os por 1000 y "espeamos $ 10
D6#7*'762' D6 96297S S66S'*6 -01:;1
7"5 100
(20000 − x)
60 x + 75(20000 − x) = 1440000 60 x + 1500000 − 75 x = 1440000 1500000 − 1440000 = 15 x 60000 = 15 x
60000
= x 15 4000 = x
Res4$esta:Debe in+ertir N4000 al (R y N1(000 al :./R %.6l costo "e publicar ca"a copia "e una re+ista semanal es "e N-8. el ingreso "e las +entas al "istribui"or es N-4 por copia y "e los anuncios es "e -0R "el ingreso obteni"o "e las +entas en e$ceso "e 3000 copias. ¿uántas copias "eben publicarse y +en"erse ca"a semana para generar una utili"a" "e N1000! Sl$"i&#: Sea $)nmero "e re+istas publica"as y +en"i"as osto por publicar ca"a re+ista es N-8, entonces )-8$
; ;
9ngreso 'otal)9ngreso publici"a"BanunciosC
recibi"o
"e
los "istribui"ores &
9ngreso
recibi"o
por
9ngreso "e las +entas al "istribui"or -4$ 9ngreso por publici"a")-0R "el i#()es 8te#id de las ve#tas en e$ceso "e 3000 copias )-0R2,B6!+000CT I#()es Ttal)9ngreso "e las +entas al "istribui"or& 9ngreso recibi"o por publici"a" I
!
= 24 x + 20+ 24 ( x − 3000 )
UTILIDAD7IN9RESO TOTAL COSTO TOTAL U
= 24 x + 20+ 24 ( x − 3000 ) − 28 x
= 24 x +
20
[ 24 x − 72000] − 28x 100 1 = −4 x + ( 24 x − 72000 ) 5 Se "eseagenerar una utili"a" "e N1000. 6ntonces
11
D6#7*'762' D6 96297S S66S'*6 -01:;1
1000 = −4 x + 1000 + 4 x =
1 5
1 5
( 24 x − 72000 )
( 24 x − 72000 )
5 ( 1000 + 4 x )
= 24 x − 72000 5000 + 20 x = 24 x − 72000 5000 + 72000 = 24 x − 20 x 77000 = 4 x 77000
=x 4 19250 = x Res4$esta Se "ebe "e +en"er 1F-/0 re+istas para obtener una utili"a" "e N1000 %1.7l naliGar una obra, se sabe que 7lberto trabaó 3/ =oras más que arlos y /0 =oras más que esar. Si el suel"o por =ora "e ellos es "e N1/, N1( y N1- respecti+amente, ¿cuánto recibió 7lberto en total, si entre los tres recibieron N-F-/!
Sl$"i&#: Sea $ el nmero "e =ora trabaa"as por arlos Sea y el nmero "e =ora trabaa"as por cesar 7lberto $&3/ =oras arlos $ =oras esar y 7lberto trabaó /0 =oras más que esar es "ecir y&/0, entonces tenemos que $&3/)y&/0U$ −1/);
L$e( te#e3s: 7lberto arlos esar
<)as t)a8a=adas $&3/ 6 6!%-
S$eld 4) >)a ? %% %2
E#t)e ls t)es )e"i8ie)# ?212-
1/B$&3/C&1($&1-B$;1/C)-F-/ 1/$&1($&1-$)-F-/;1/B3/C&1-B1/C 43$)-/80 $)(0 7lberto trabaó (0&3/)F/ =oras.
Res4$esta: 7lberto recibió en total 1/BF/C)N14-/. 20.
+eloci"a" es "e 13 Vm=, siguien"o por la misma pista. ¿uánto tiempo tar"ará el segun"o corre"or en alcanGar al primero! Sl$"i&#: Sea t el nmero "e =oras que recorre el primer corre"or. omo el segun"o corre"or sale 1 12
horas
/ minutos
"espuEs que el primero, el tiempo que recorre el segun"o es
t − 1 12÷ =oras. 6sto con"uce a la siguiente tabla corre"ores Weloci"a" BVm=C #rimero 10 Segun"o
'iempo B>orasC t 1 t − 12
13
Distancia BV 10t
Luego, como en el momento en que el segun"o corre"or alcanGa al primero, ambos =an recorri"o la misma "istancia, la ecuación que mo"ela este problema es 1 10t = 13 t − ÷ 12 13
10t
= 13t −
13
= 13t − 10t
12 13 12 13 36
12
= 3t = t t
= 13 ≈ 0"36horas = 21"6 &in 36
*esol+ien"o esta ecuación lineal se obtiene que Res4$esta: 6l segun"o corre"or alcanGa al primero e -1.( min apro$ima"amente
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13
D6#7*'762' D6 96297S S66S'*6 -01:;1
13 t −
1
÷
12
