trigonometria - Propiedades de Identidades TrigonométricasDescripción completa
Identidades TrigonométricasDescripción completa
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Descripción: identidades macroeconomicas ensayo
PRINCIPALES IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Y APLICACIONES A DIVERSOS EJERCICIOS.
Cuerpo, antropología
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Descripción: Identidades Trigonometricas
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MATEMÁTICA
TRIGONOMETRÍA IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Prof. Joseph Carlos Supo Mollocondo
2013
Trigonometría IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 1.
Vamos a colocar la expresión en términos de senos y cosenos; así :
L = tanx . cos 2 x – cotx . sen2 x
Demuestra que : Tan2x . Cosx . Cscx = Tanx
senx . cos 2 x − cos x .sen 2 x cos x senx
L=
Solución : Reduciendo : En este problema, la idea es reducir el miembro dela igualdad más complicado y obtener un resultado igual al otro miembro. Uno de los criterios más utilizados, es el de colocar la expresión a reducir, en términos de senos y/o cosenos; y para ello es bueno recordar:
L = senx . cosx – cosx . senx L = 0
3. Cscx =
Tanx=
1 1 ; Secx = Senx Cosx
Senx Cosx ; Cotx= Cosx Senx
Reduce:
L = (secx - cosx) (cscx – senx) Solución : Pasando a senos y cosenos: L=
1 − cos x 1 − senx cos x senx
En el problema :
operando :
Tan2 x . Cosx . Cscx = Tanx ; nota que :
1 −cos 2 L = cos x
2
2
Tan =
sen x 2
cos
2
sen x cos
2
x
x
Reduciendo :
senx cos x = tanx
1- sen2 x = cos2 x reemplazando : L=
4. tanx = tanx
tan x
1 −sen 2 x senx ;
1- cos2 x = sen2 x
pero :
1 . Cosx . = tanx senx
x
sen 2 x . cos 2 x cos x senx
L = senx.cosx
Simplifica : L=
sec x + senx cot x csc x + cos x
Solución : 2.
Simplifica : L = tanx . cos2x - cotx . sen2x
Vamos a colocar toda la expresión términos de senos y cosenos; así :
Solución :
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Prof. Joseph Carlos Supo Mollocondo
en
Trigonometría L
=
1 + senx cos x cos x sec x + senx cot x = . + csc x cos x 1 + cos x senx senx
L = 2tanx
6. Reduce : L=
Sen 4 x − Cos 4 x Senx − Cosx
− Cosx
Solución : Operando y ordenando :
L=
En muchos problemas; el uso de los productos notables es necesario para simplificar expresiones; siendo estos casos, importante, la adaptación de las propiedades algebraicas a la expresión trigonométrica a analizar. En el problema, tenemos :
1 + senx. cos x cos x cos x . + 1 cos x . senx senx senx
L = sen x − cos x - cos x ; nota que : 4
senx − cos x
Reduciendo :
L=
1 cos x . cos x 1 sen x senx
4
L=
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
senx cos x . cos x senx
En la expresión :
(
5. Reduce :
2
L = (secx + tanx –1) (secx – tanx+1)
)
2
− cos x
(sen x + cos x )(sen x − cos x ) − cos x 2
L=
Solución : Si bien , el pasar a senos y cosenos, es un criterio muy generalizador; no siempre es necesario tales cambios; sino también al manejar las otras razones trigonométricas siempre que tengan relación. En el problema, por ejemplo :
) (
2 2 L = sen x − cos x senx − cos x
L=1
2
2
2
senx − cos x
Pero : sen2 x + cos2 x = 1
Luego : L=
L = (secx + tanx-1) (secx-tanx+1)
sen 2 x − cos 2 x - cosx senx − cos x
Note :
operando : L = sec 2 x – secx . tanx + secx + tanx . secx – tan2 x + tanx – secx + tanx – 1
sen2 x-cos2 x = (senx + cosx)(senx-cosx) L=
(senx
+ cos x )(senx − cos x ) − cos x senx − cos x
2tanx Reduciendo . reduciendo : L = sec 2 x - tan2 x + 2tanx – 1 = 1 + 2tanx – 1 1
Página 3
L = senx + cosx – cosx
L = senx
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Trigonometría RPTA.: B
7.
Simplifique:
9.
cos b + tg b sen b − sec b + tg b
( cos α − sen α ) ( sec α + Csc α ) W= tg α − ctg α A) 2
B) -2
D) 1
E) -1
C)
A) 2 sen b D) sec b
1 2
W
=
V
1 + 1 ÷ cos α sen α sen α cos α − cos α sen α
( cos α − senα )
2
∴
P A)
2
2
2
2
sec x
Q=
4
2
2
2
B)
tg x
E)
2
E)
4
C)
2
ctg x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x gcos x 2
x gcos x
sen x + cos x 6
6
=
( sen x 4
4
cos x
+
2
− 2 sen
2
2
x gcos x
) ( sen x gcsc x ) +
2
2
2
2
− ( 1 − sen x )
2
2
2
2
2
2
2
6
RPTA.: E
2
( ) ( sen = 4 ( 1) ( cos − ( 1 − cos x ) 2
2
4 1
2
−2
2
2
6
2
P 2
Página 4
2
11. Simplifique:
( 1 + sen x ) Q= ( 1 + cos x ) tg2 x
6
−2
( csc x − c tg x − cos x ) − ( sen x ) 2
−2
sen x gcos x
2
x − tg x + sen x ) − ( cos x )
+ ( tg x + ctg x)
1 1 g P = ( 1 − 2 sen x gcos x − 2sen x gcos x ) + ÷ cosx senx P = ( 1 − 4 sen x gcos x ) + ( cos x gsenx ) P = 1 − 4 sen x gcos x + sen x gcos x P = 1 − 3 sen x gcos x ∴ P = sen x + cos x
“1”
Q
6
2
RESOLUCIÓN
csc x
2
cosb
sen x gcos x
2
2
∴
2
2
RESOLUCIÓN 1 2
x − cos x )
2
C) 1 + sen
P
( sec
= ( sen
B) 1 −
( sec x + sen x − tg x ) − cos x Q= ( csc x + cos x − ctg x ) − sen x 2
senb
10. Indique el equivalente de la expresión:
2
A) 1
cosb
+
2
D) 1 + 3 sen
2
1
RPTA.: C
Simplifique:
D)
cosb
2
2
2
senb −
cos b + sen b − 1 + senb V= cosb V = tgb
RPTA.: E
8.
senb
cos b +
2
2
2
=
2
2
→
C) tg b
sen b senb 1 V = cos b + − + cos b cos b cos b
sen α + cos α − ( sen α − cos α ) ÷ cos α gsen α W= sen α − cos α sen α gcos α − ( sen α − cos α ) W= sen α − cos α W = −1
→
B) 2 cos b E) ctg b
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
→
Simplifique:
2
2
= sen θ
gtg θ
2
+ cos θ ctg θ + 2 sen θ cos θ 2
sec θ csc θ B) sec θ + csc θ tg θ − c tg θ C) tg θ + ctg θ D) 2
A)
2
E) 1
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Trigonometría RESOLUCIÓN
senxcosx a b = Si: sen x cos x
= sen θ gtg θ + cos θ ctg θ + 2 sen θ cos θ sen θ cos θ + + 2sen θ cos θ P= cos θ sen θ 2
P
14. Calcule:
2
3
3
sen θ + cos θ + 2 sen θ cos θ P= sen θ cos θ 4
P =
1
4
2
2
a −b A) ab ab C) a −b a E) a+b
− 2 sen θ gcos θ + 2 sen θ gcos θ cos θ sen θ P = sec θ csc θ P = tg θ + ctg θ 2
2
2
2
2
2
2
2
b −a B) ab ab D) a +b 2
2
2
2
2
RPTA.: C
RESOLUCIÓN
12. Reducir:
sen x cos x =
= tg α ( 1 − ctg α ) + ctg α ( 1 − tg α ) A) sen α B) cos α C) tg α D) sen 30º 2
E
2
E) sen 180º
⇒
RESOLUCIÓN
E = tg α ( 1 − ctg α ) + ctg α ( 1 − tg α ) 2
2
E)
−b
B)
b +4
D)
2
2
−
2
b
2
+ cos θ ) ( tgθ + ctg θ ) − csc θ
sen θ C) sec θ
cos θ D) csc θ
A)
B)
RESOLUCIÓN
−
4
−b
2
b −4 2
+4
H
= ( sen θ + cos θ) ( tg θ + ctg θ ) − csc θ
H = ( sen θ + cos θ ) ( sec θ gcsc θ) − csc θ H = csc θ sen θ sec θ + 1 − 1 H = csc θ gsen θ sec θ 1
tg x + ctg x = b
H = sec θ
Elevando al cuadrado:
tg x + ctg x + 2 = b 2
RPTA.: C
2
tg x + ctg x + 2 = b − 4 2
2
E) 1
RESOLUCIÓN
2
= ??
a b a = ⇒ tg x = sen x cos x b ab 1 = senxcosx = a b a +b + b a
E = ( sen θ
tg x + ctg x = b Calcule: E = tg x − ctg x
C)
tgx + ctgx
15. Reduce:
13. Si:
4
secx cscx
1
2
RPTA.: E
A)
=
RPTA.: D
E = tg α − ctg α gtg α + ctg α − tg α ctg α E = tg α − ctg α + ctg α − tg α E=0 E = sen 180º 2
1
2
2
2
16. Si:
( tg x − ctg x ) = b − 4 2
sen x + sen y = 2
2
1 8
Halle:
( tg x − ctg x ) = ± b − 4 2
A = cos x cos y − sen x sen y 2
2
2
2
RPTA.: D
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Trigonometría 1
A)
B)
8 9
D)
E)
8
5
7
C)
8
sec x − tg x − sec x = A 4
8
11
( sec
2
x + tg x) ( sec x − tg x) − sec x = A
2
8
4
2
2
2
2
RESOLUCIÓN
sen x + sen y = 2
2
sec x + tg x − sec x = A 2
1
……………..…..
∴
8
2
2
A = tg x 2
RPTA.: D
E = cos x cos y − sen x sen y 2
E=
2
2
2
2
( 1 − sen x ) ( 1 − sen y) − sen 2
2
2
E = 1 − sen x + sen y + sen x sen y − sen E = 1 − ( sen x + sen y ) 2
2
2
2
E =1−
19. Si: 12 cos
2
x sen y
2
2
Entonces “sen x” es:
2
x sen y
2
A)
1
D)
8
7
E=
5
B)
4 4
E)
5
2
C)
3
1 3
2 5
;
3 4
8
RESOLUCIÓN Donde:
RPTA.: C
( − sen x ) + 23 sen x = 22
17. Reduce:
E
x + 23 senx = 22
= 4 sen
6
x
x
+ cos
6
A) 1 D) 4
− 3 cos
2
x − sen x 2
B) 2 E) 5
2
C) 3
∴ 6
2
2
2
2
2
4
4
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
sec x − sec x = tg x + A 4
2
A)
tg x
C)
ctg x
2
4
B)
ctgx
D)
tg x
RPTA.: B
RESOLUCIÓN
sec x − sec x = tg x + A Página 6
2
4
20. Simplifique:
V = sec x − tg x − 3tg x − 3tg x 6
6
4
2
2
A) 0 D) 3
B) 1 E) 4
C) 2
RESOLUCIÓN 3
= ( 1 + tg x ) − tg x − 3 tg x − 3 tg x V = 1 + 3tg x ( 1 + tg x ) − tg x − 3 tg x − 3tg x V =1 2
V
2
2
6
4
2
6
4
2
RPTA.: B
2
E) 1
4
3
2
RPTA.: A
18. Halle el valor de “A” si:
2
2
− 12sen x cos x − 3 1 − 4 sen x cos x E = 4 − 12sen x cos x − 3 + 12sen x cos x E = 4− 3 = 1 E=
senx =
2
− 3sen x cos x − 3 cos x + sen x − 2sen x cos E = 4 − 12sen x cos x − 3 1 − 2sen x cos x − 2sen x cos 4 1
2
( 3 sen x − 2) ( 4 sen x − 5) = 0
E = 4 sen x + cos x − 3 cos x − sen x 6
sen x − 23 senx + 10 = 0
12
RESOLUCIÓN
E=
2
12 1
21. Calcule “n” para que la siguiente igualdad sea una identidad. 1
− cos x
sen x cos x
+ sen x =
1
− cos x n
+n
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Trigonometría 1 sen x sen x 1 →W = + − ÷ g sen x − cos x cos x cos x → W = ( sec x) g( csc x) →W = sec x gcsc x 2
A) tg x B) ctg x C) sen x D) cos x E) sec x
2
RESOLUCIÓN El primer miembro:
N=
1
2
− cosx
+ sen x
senxcosx
∴
N = ( 1 − cos x) ( tg x + ctg x )
+ senx N = ( 1 − cos x) tg x + (1 − cos x)ctg x + senx 1 − cosx N = tgx +
2
cos x cos x + ÷ sen x sen x ÷
2
2
W = sec x + csc x 2
2
RPTA.: D
tgx
∴
N = tg x RPTA.: A 2
22. Si: 2 ctg
x − 3 ctg y = 1 2
2
2
sen x gcsc y
Halle:
A) 1
B)
D) 2
E)
1
C)
3
2 3
1 9
RESOLUCIÓN
x − 3 ctg y = 1
2
2
2 ctg 2
( csc
2
2
2 csc
x − 1) − 3 ( csc y − 1) = 1 2
x = 3 csc y 2
sen xcsc y = 2
2
2 3
RPTA.: C
23. Indique el equivalente de : 2
cos x sen x 1 − W= ÷ g 1 + cos x + − 1 sen x ctg x A) sec x + cos x 2
2
2
sen x gcos x
C)
sen x + csc x
D)
sec x + csc x 2
2
B)
2
2
÷ tg x 1
2
2
E) 1 RESOLUCIÓN 2
2
1 + sen x 1 − cos x →W = − tgx ÷ + ctgx ÷ cos x sen x Página 7
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Trigonometría csc x − ctg x = 3;Halle : " tg x "
24. Si:
3
A)
B)
4
−
D)
4 3
E)
−
3
C)
4
A) 0 D) -1
4
B) 1 E) -2
RESOLUCIÓN
3
*
1
cos x + cos x − 1 = 0 → cos x = 1 − cos x → cos x = sen x 2
2
2
3
cos x senx 1 = senx → = → tgx = csc x sen x cos x senx → tg x = csc x → sec x − 1 =
→
RESOLUCIÓN Piden: tg x =?
2
Dato:
2
csc 9
= 3 → csc x = 3 + ctgx x = ( 3 + ctgx ) → 1 + ctg x = 2
2
2
2
2
2
RPTA.: C
+ 6 ctg x + ctg x 2
− 8 = 6 ctgx →
→
2
+ ctg x → sec x − ctg x = 2
1
csc x − ctgx →
C) 2
1
ctgx
27. Si:
=
6
−8
⇒ tg x = −
de la ecuación:
3
x + p x + q = 0 ; luego se cumple la 2
4
relación:
RPTA.: B
25. Si: 2 +
"2
" sec θ " y " csc θ " son las “raíces”
sen θ + cos θ = x; halle: sen θ cos θ "
+ 2) ( x − 2) B) ( x + 3) ( x − 1) C) ( x + 3) ( x + 1) D) ( x − 3) ( x + 1) E) ( x − 3) ( x − 1)
A) ( x
A)
q + 2q = p
B)
p + 2p = q
C)
q − 2q = p
D)
p − 2p = q
E)
p
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+q =1 2
RESOLUCIÓN
x = sec θ 1
x + px + q = 0 2
x = csc θ 2
RESOLUCIÒN Piden: 2 sen θ
cos θ = ? Dato: 2 + sen θ + cos θ = x sen θ + cos θ = x − 2 2
( senx − cos x + 1) ( senx + cos x + 1) ( senx + cos x − 1) ( senx + cos x + 1)
=
K 29. Simplifique:
( 1 − cov x ) ( 1 − vers x + cov x ) E= ( 1 −vers x − cov x )
2
K
=
( senx + 1) − cos
2
x
2 senxcosx 2
A) vers x C) 2 -vers x E) 2 + cov x
B) cov x D)2-cov x
RESOLUCIÓN
( 1 − cov x ) ( 1 − vers x + cov x ) ( 1 − vers x − cov x ) 1 − ( 1 − senx ) 1 − ( 1 − cos x) + ( 1 − senx) E= 1 − ( 1 − cos x) − ( 1 − senx ) sen x ( 1 − sen x + cos x ) sen x + cos x + 1 E
E=
E=
=
cos x + senx − 1 senx + cos x + 1 sen x ( 1 + cos x )
2
− sen x
E= E= E= E=
=
K
=
K
=
2 senxcosx
( 1 + sen x ) ( 1 + sen x − 1 + senx ) 2 senxcosx
( 1 + sen x ) ( 2 sen x ) 2 sen x cos x
→k=
1
+ senx cos x
RPTA.: B
31. Eliminar “x” si: 2
− sec x = a tg x
2
− csc
2
2
x
= ctg x
2
a =b C) a − b = 0 E) a = 2b
A)
2 senxcosx 2
E=
K
( 1 + sen x ) − ( 1 + sen x ) ( 1 − sen x )
( 1 + cos x ) − ( 1 + cos x ) ( 1 − cos x ) 2 cosx
−b = 0 D) a + b = 0
2
B) a2
2
RESOLUCIÓN
( 1 + cos x ) ( 1 + cos x − 1 + cos x )
− ( 1 + tg x) = a tg x → 1 − tg x = a tg x ………(*)
2
2 cosx
− sec
2
x = a tgx →
2
2
2
+ cos x 1 + 1 − vers x 2 − vers x 1
2−
csc x = b ctg x → 2
(
2− 1+
ctg x ) 2
RPTA.: C
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Trigonometría = b ctg x → 1 − ctg x = b ctg x 2
H ( 1 + tg x ) = 2
tg x − 1 b = tg x tg x 2
1
→ H sec x = 1 2
H = cos x 2
2
RPTA.: B
tg x − 1 = b tgx …………….…(*)(*) 2
34. Si:
(*) + (*) (*) 0
RPTA.: D
tg x − sen x = A t gB x 32. Si: ctg x − cos x 2
2
C) 7
D)
59
E)
61
− sen x 2
C)
− cos
2
x
2
cos x ( csc x − 1) 2
3
2
2
2
=7
2
3
3
6
6
6
6
6
6
6
3
3
= 51 + 2 2
( sen x + csc x) = 53 ⇒ 3
2
=
2
3
sen x + csc x 3
3
53
2
6
1 tg
RPTA.: B
x ≡ A tg B x
A = 1 A + B =7
49
sen x + csc x + 2 sen x csc x
2
6
⇒
57
= sen x + csc x − 2 51 = sen x + csc x
sen x ( sec x − 1) 2
=
2
x − csc x ) 6
sen x 1 + tg x − 1 t g x gt g x = = tg x ⇒ cos x 1 + ctg x − 1 1 tg x 2
53
49
2
2
B)
→ sen x − 2 sen x csc x + csc x =
2
sen x
3
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
cos x
3
51
3
B) 6 E) 10
2
sen x + csc x
A)
( sen
A) 3 D) 8
cos x
3
2
Halle: (A + B)
sen x
3
Calcule:
= (a + b) tg x ⇒ a + b = 0 2
sen x − csc x = 7
35. Si:
B=6
csc θ − csc θ = 1 2
Halle:
H = ctg θ ( 1 + ctg θ ) ( ctg θ − 1) 2
RPTA.: C
A) 1 D) 4
33. Reducir:
H=
1
− tg x + tg x − tg x + tg x − …………… ∞ 2
4
6
8
B) 2 E) 0
C) 3
RESOLUCIÓN 2
A)
sen x
D)
ctg x
B)
2
2
cos x
C)
csc θ − csc θ = 1 2
2
tg x
E) 1 1
RESOLUCIÓN 1
2
2
4
6
2
4
8
6
“H”
H = 1 − tg x gH 2
H + H tg x = 1 2
Página 10
2
2
2
− tg x + tg x − tgx + tgx − …………… ∞ H = 1 − tg x 1 − tg x + tg x − tg x + .............∞ H=
