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En matemáticas, las identidades trigonométricas verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones). Estas identidades, son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicacin importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no!trigonométricas" se suele usar una regla de sustitucin con una funcin trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas. Notación: se define cos#$, sen#$, otros% tales que sen#$ es (sen $)#.
Relaciones básicas
Relación pitagórica
Identidad de la razón
&e estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. 'in embargo, ntese que estas ecuaciones de conversin pueden devolver el signo incorrecto ( ). *or e+emplo, si , la conversin propuesta en la tabla indica que , aunque es posible que . *ara obtener la única respuesta respues ta correcta se necesitará saber en qué qu é cuadrante está . -unciones trigonométricas trigonométricas en funcin de las otras cinco.
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se n
co s
ta n
co t
se c
cs c
De las definiciones de las funciones trigonométricas
'on más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a )"
#
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/ veces es importante saber que cualquier combinacin lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo per0odo pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo per0odo pero con un despla1amiento de fase diferente. &ic2o de otro modo"
Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas #3 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).
*or e+emplo, si se divide ambos miembros por cos4, se tiene"
5alculando la rec0proca de la expresin anterior"
Entonces puede expresarse la funcin seno según alguna otra conocida"
y análogamente con las restantes funciones . 66 7eoremas de la *ueden demostrarse según la -rmula de Euler o mediante la proyeccin de ángulos consecutivos. 8a identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la rec0proca correspondiente.
9
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&e lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios"
*ara ángulos complementarios"
*ara ángulos opuestos"
[editar Identidades del ángulo m!ltiple 'i T n es el n!simo *olinomio de 52ebys2ev entonces
-rmula de &e :oivre" 3
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[editar ] Identidades del ángulo doble, triple y medio
*ueden obtenerse rempla1ándolo y por x (o sea ) en las identidades anteriores, y usando *itágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la -rmula de &e :oivre cuando n 6 #. "órmula del ángulo doble
"órmula el ángulo triple
"órmula del ángulo medio
;
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[editar ] Producto infinito de Euler
[editar Identidades para la reducción de e#ponentes
$eno
%ose no
&tro s
[editar 'aso de producto a suma *uede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.
[editar ] Deducción de la identidad:
=
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'abemos por el teorema de la suma y la resta que"
'i separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos" )" #)" 'i tomamos la ecuacin ) y despe+amos cos(x)cos(y) nos queda que" 9)" > si sumamos el miembro de la derec2a de la ecuacin #) al miembro i1quierdo de la ecuacin 9), y para mantener la igualdad se suma el lado i1quierdo de la ecuacin #) en el lado derec2o de la ecuacin 9). (
'implificando el elemento sin(x)sin(y) y sumando cos(x)cos(y) quedar0a" #cos( x)cos( y) 6 cos( x y) cos( x y) > por último multiplicando ambos lados de la ecuacin por ? queda"
@ota " este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores. @ota #" Asando 9) y el resultado anterior se obtiene también"
@otar el cambio de signo.
[editar 'aso de $uma a 'roducto
D
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[editar 'aso de diferencia de cuadrados a producto
[editar ] ¿De donde se origina?
) recordando"
multiplicando
'abemos que"
el la primera ecuacion transponemos
y en la segunda
&e tal manera que obtendremos"
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aplicando esto en la ecuacion inicial
multiplicando
&e una manera analga se 2alla el segundo teorema.
[editar (liminar seno ) coseno / veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.
[editar "unciones trigonométricas in*ersas
[editar ] omposición de funciones trigonom!tricas
F
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[editar "órmula de productos infinitos $eno
%oseno
[editar "órmula de (uler
[editar istoria Los Elementos de Euclides, que datan del siglo GGG a. 5., contienen ya una aproximacin
geométrica de la generali1acin del teorema de *itágoras" las proposiciones # y 9 del libro GG, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. 8a formulacin de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra oblig a ra1onar en términos de diferencias de áreas. *or eso, la proposicin # utili1a estos términos" HEn los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, 2asta el ángulo obtuso.I Euclides, Elementos.#
'iendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C , y BH la altura respecto del vértice B (cf. -ig. # contigua), la notacin moderna permite formular el enunciado as0"
-ig. # ! 7riángulo ABC con altura BH . J
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-altaba esperar la trigonometr0a árabe!musulmana de la Edad :edia para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance" el astrnomo y matemático al!Kattani 9 generali1 el resultado de Euclides en la geometr0a esférica a principios del siglo L, lo que permiti efectuar los cálculos de la distancia angular entre el 'ol y la 7ierra.3 ; -ue durante el mismo per0odo cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funcionesseno y coseno. Eso permiti a M2iyat2 al!Nas2i,= matemático de la escuela de 'amarcanda, de poner el teorema ba+o una forma utili1able para la triangulacin durante el siglo L. 8a propiedad fue populari1ada en occidente por -ranPois iQte quien, al parecer, lo redescubri independientemente.D -ue a finales del siglo LGG cuando la notacin algebraica moderna, aunada a la notacin moderna de las funciones trigonométricas introducida por Euler en su libro ntroductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema ba+o su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno.
[editar ,eorema del seno En todo triángulo se da la siguiente relacin entre la longitud de sus lados a, b y c y el seno de sus respectivos ángulos opuestos /, K y 5
[editar Demostración
El teorema de los senos establece que a!sin(A) es constante.
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&ado el triángulo ABC , denotamos por " su circuncentro y dibu+amos su circunferencia circunscrita. *rolongando el segmento B" 2asta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro B# . /2ora, el triángulo #BC es recto, puesto que B# es un diámetro, y además los ángulos A y # son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (éase definicin de arco capa1). *or definicin de la funcin trigonométrica seno, se tiene
donde $ es el radio de la circunferencia. &espe+ando %$ obtenemos"
*uede enunciarse el teorema de una forma alternativa" En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita. b 6 &a c #abcosb
[editar Aplicación El teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del triángulo y dos ángulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados.
[editar Definiciones e#ponenciales
"unción
"unción in*ersa
#
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9
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Identidades tr-gonométricas fundamentales Relación seno coseno
cos. / + sen. / 0 1
Relación secante tangente
sec. / 0 1 + tg. /
Relación cosecante cotangente
cosec. / 0 1 + cotg. /
'abiendo que tg $ 6 #, y que JR S $ S#DJT. 5alcular las restantes ra1ones trigonométricas del ángulo $.
3
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'abiendo que sen $ 6 9B;, y que FJR S$ SJT. 5alcular las restantes ra1ones trigonométricas del ángulo $.
Razones trigonométricas de la suma ) diferencia de ángulos
;
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Razones trigonométricas del ángulo doble
=
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Razones trigonométricas del ángulo mitad
, ra n s f o r m a c i o n e s d e s u m a s e n p r o d u c t o s
D
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, ra n s f o r m a c i o n e s d e p r o d u c t o s e n s u m a s
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sen(t2eta) 6 a B c
csc(t2eta) 6 B sen(t2eta) 6 c B a
cos(t2eta) 6 b B c
sec(t2eta) 6 B cos(t2eta) 6 c B b
tan(t2eta) 6 sen(t2eta) B cos(t2eta) 6 a B b cot(t2eta) 6 B tan(t2eta) 6 b B a sen(!x) 6 !sen(x) csc(!x) 6 !csc(x) cos(!x) 6 cos(x) sec(!x) 6 sec(x) tan(!x) 6 !tan(x) cot(!x) 6 !cot(x) senU#(x) cosU#(x) 6
tanU#(x) 6 secU#(x) cotU#(x) 6 cscU#(x)
sen(x y) 6 sen x cos y cos x sen y cos(x y) 6 cos x cosy sen x sen y tan(x y) 6 (tan x tan y) B ( tan x tan y) sen(#x) 6 # sen x cos x cos(#x) 6 cosU#(x) ! senU#(x) 6 # cosU#(x) ! 6 ! # senU#(x) tan(#x) 6 # tan(x) B ( ! tanU#(x))
F
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senU#(x) 6 B# ! B# cos(#x) cosU#(x) 6 B# B# cos(#x) sen x ! sen y 6 # sen( (x ! y)B# ) cos( (x y)B# ) cos x ! cos y 6 !# sen( (x!y)B# ) sen( (x y)B# ) 7abla 7rig de Vngulos Ordinarios ángulo
2
32
45
62
72
JB3 B3 #B3 9B3 3B3 cos89a; 3B3 9B3 #B3 B3 JB3 tan89a; JB3 B9 #B# 9B 4<2 sen89a;
Dado un triángulo abc= con ángulos A=>=%? a está opuesto a A? b opuesto a >? c opuesto a %=
aBsen(/) 6 bBsen(K) 6 cBsen(5) @a @e) del $eno; cU# 6 aU# bU# ! #ab cos(5) bU# 6 aU# cU# ! #ac cos(K) @a @e) del %oseno; aU# 6 bU# cU# ! #bc cos(/) (a ! b)B(a b) 6 tan B#(/!K) B tan B#(/K) @a @e) de la ,angente;
#J
