Maest Maestrí rí a en E nse nseñanz ñanza a de las las Cie Ci encias ncias E xact xacta as y Natura Naturale less T er cer cer Semestre str e Pensamiento Matemático Matemático y Resolución Resolución de de Problemas Asigna Asi gnattura: ura: Pensamiento A. Figueroa Flórez D ocente ocente:: Magister Jaider A. Tema: Pensamiento Pensamiento Espacial Espacial y Métrico, Métrico, Resolución Resolución de Problemas Trabajo No. 04
E s tudiant udiante: e: Wuilkins on C arlos Dávila Dávila Orozco
C ódig o: 84160 8416038 38
1. Diseñe una actividad actividad de aprendizaje aprendizaje de tal modo modo que se incite al estudiante a recorrer recorrer los niveles niveles de Van Hiele, hasta formalizar el concepto de Simet Simetrí a puntua untual, l, cent central ral o radial radial.
rotaciones. Describe Describe las 2. Construye el siguiente mosaico usando GeoGebra o Cabri Geometre y sólo rotaciones. competencias y procesos de pensamiento asociados al pensamiento métrico y espacial, los niveles de visualización que se pueden generar y los estándares de competencias que se alcanzan con esta actividad. Realiza esta misma construcción construcción a lápiz y papel en hoja milimetrada milimetrada y en blanco. Compara las dificultades y ventajas en usar cada ambiente.
3.Reto 3. Reto: Diseña uno de los siguientes mosaicos usando transformaciones geométricas.
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Solución punto uno 1. Teniendo en cuenta la propuesta que hacen los lineamientos curriculares en el
sentido de retomar el carácter activo de la geometría, permitiendo que el estudiante actúe, analice y conceptualice, y de igual forma, que sugieren el usar diversas formas de representación para desarrollar, comunicar y completar la información espacial percibida en los objetos; estamos planteando para este primer punto del taller diseñar y desarrollar tres actividades manual, gráfica y virtual que materialicen la idea de llevar al estudiante por un recorrido a través de los niveles de comprensión geométrica en el modelo teórico propuesto por Pierre Van Hiele. Por otro lado, según los lineamientos curriculares, una transformación no puede definirse y mucho menos simbolizarse, sin que los estudiantes no hayan hecho algunas transformaciones externas moviendo objetos, de manera que puedan imaginarlos después, por lo tanto pretendemos poder suscitar la comprensión relacional en el estudiante sobre el tema tratado, atravesando por los niveles cero al uno de Van Hiele, para finalizar en el segundo nivel mediante una comparación de las tres actividades realizadas. a. Actividad manual o concreta:
Nivel 0 de Van Hiele: El paso a paso a seguir por parte del estudiante es el siguiente. Tenga en cuenta que podría requerir de uno o dos ayudantes:
Dibuje y recorte un polígono modelo en cartón paja o cartulina, con un número igual o inferior a 6 lados
Nombre uno de sus vértices con la letra A, por ejemplo
Corte y fije una hebra no menor de 50 cms de lana a dicho vértice del polígono (puede ser con pegante, con grapas, etc.)
Clave una puntilla acerada en el piso, de aproximadamente una pulgada, que denominaremos punto O
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Apoye el polígono en el piso y tense suavemente la lana desde el vértice A hasta la puntilla. Si considera pertinente, haga un amarre sencillo en la puntilla a ras de piso
Dibuje el polígono en el piso, bordeando su contorno con una tiza. Haga lo mismo con el segmento que va desde el vértice A del polígono hasta la puntilla (punto O). Guíese con la lana y si es necesario use una regla de madera para trazar el segmento
̅ , extendiendo el restante de lana y realice en el piso Prolongue este trazo el trazo de dicha prolongación, usando tiza y regla si lo desea
Rote el polígono en sentido horario hasta ubicar el vértice A sobre el rayo prolongado y marque en el piso con tiza, su intersección. Este punto lo llamaremos A’
Asegúrese que la lana esté sobre el rayo prolongado y vuelva a dibujar con tiza el polígono en el piso, en su nueva posición
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Retire el montaje y observe la construcción del piso.
Conteste: ¿Qué apariencia tienen los polígonos dibujados en el piso? ¿Cuántos lados tienen cada polígono? Nivel 1 de Van Hiele:
Nomine los vértices restantes en el polígono original
Trace los rayos que unen los vértices del primer polígono con el punto O y prolónguelos hasta coincidir con los vértices homólogos del polígono reflejado
Mida la distancia del segmento formado entre cada vértice del polígono original con el punto O. Tome nota de ello. A continuación mida el segmento formado entre el punto O y cada vértice homólogo en el polígono reflejado. ̅ (segmento original) y mida ̅ ′ (segmento homólogo). Por ejemplo, mida Tome otra vez nota. Compare la medida de cada segmento original y su homólogo. Conteste: ¿Qué puede concluir? ¿Se encuentra el polígono reflejado en la misma posición que el polígono original? ¿Qué características o propiedades puede expresar de ambos polígonos? Ahora, tome un transportador en madera para docente y mida cualquiera de los ángulos en el polígono original. A continuación, mida el ángulo homólogo en el polígono reflejado. Conteste: ¿Cuál es el valor en ambos casos? ¿Qué otra propiedad puede expresar?
b. Actividad gráfica:
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Nivel 2 de Van Hiele: El paso a paso a seguir por parte del estudiante es el siguiente: Tome una hoja cuadriculada y trace los ejes de un plano cartesiano Dibuje el mismo polígono del primer ejercicio realizado en el piso, con proximidad al borde izquierdo de la hoja (polígono original) Nombre cada uno de sus vértices Trace los rayos que unen cada vértice del polígono con el origen del plano cartesiano (punto O) Prolongue cada uno de los rayos anteriores, desde el punto O, en orientación diestra Ubique la punta acerada de un compás en el punto O y abra su otro extremo donde se encuentra la mina de lápiz, hasta posicionar esta última en cualquiera de los vértices del polígono ubicado a su izquierda Levante ligeramente y con cuidado la punta del lápiz, manteniendo la punta acerada en el punto O, gire el extremo levantado hasta que esta punta coincida con el rayo prolongado desde el vértice donde se hallaba la punta de lápiz inicialmente. Realice una pequeña marca en dicha intersección Repita el procedimiento anterior con cada uno de los vértices del polígono de la izquierda y el rayo prolongado, correspondiente al vértice tomado Finalmente, una en el mismo orden alfabético usado en el polígono de la izquierda, cada marca de intersección del ítem anterior, para obtener el segundo polígono ubicado a la derecha del punto O (polígono reflejado) Escriba las coordenadas de cada vértice, tanto del polígono original como del polígono reflejado
Conteste: ¿Qué otro tipo de movimiento en el plano puede generar el polígono reflejado? ¿Qué particularidad encuentra en las coordenadas de los vértices homólogos? ¿Qué observamos al trazar un segmento entre cada vértice del polígono original y su vértice homólogo? ¿Qué tipo de rectas son aquellas que contienen los segmentos homólogos de los polígonos trazados? ¿Se conserva el sentido de los polígonos? ¿Qué sucedería si el punto O está superpuesto en cualquiera de los vértices del polígono original? ¿Dónde ubicaríamos la imagen reflejada de un cuadrado cuyo punto O es la intersección de sus diagonales? c. Actividad virtual 1: En este caso se emplea el software educativo GeoGebra
para la construcción dinámica del ejercicio modelo (Ver archivo de GeoGebra adjunto llamado 9 A-Simetría Central_I ) “
”
Nivel 2 de Van Hiele: El paso a paso a seguir por parte del estudiante es el siguiente. Trate de mantener habilitada la opción [Elige y Mueve], después de cada instrucción:
En la barra de estilo de la Vista Algebraica seleccione la opción [Ordenar por] y luego la opción [Orden de construcción] Si se desea en la barra de estilo de la Vista Gráfica, deshabilite la opción de ejes y de cuadrícula Ubique en la barra de herramienta la opción de punto y dé clic para graficar cada vértice del polígono del ejercicio 1, realizado en el piso En la barra de herramienta elija la opción segmento y dé clic por cada punto graficado antes, de manera secuencial hasta terminar en el mismo punto (vértice) que se inició Página 5 de 11
Para la construcción del polígono dibujado en los dos procedimientos anteriores, también se puede usar en la barra de herramienta la opción polígono Nuevamente seleccione la opción punto y haga clic en cualquier parte del plano de GeoGebra, preferiblemente a la derecha de la figura, para construir el centro de simetría Elija en la barra de herramienta la opción simetría central. Dé clic al polígono construido y luego al punto centro de simetría. Aparecerá graficado el polígono reflejo de dicha simetría central Elija la opción segmento en la barra de herramientas y haga clic en cualquier vértice de la figura original, seguidamente dé otro clic en el punto centro de simetría. Repita esta operación con cada vértice del polígono Reproduzca el punto anterior, pero esta vez con clic en cada vértice del polígono reflejado, seguido de un nuevo clic en el punto centro de simetría Seleccione la opción [Elige y Mueve] y dé clic con el botón derecho del mouse sobre cada segmento de los dos puntos anteriores; seguidamente elija la opción [Propiedades] y en la pestaña [Básico] seleccione el campo desplegable “Nombre y valor ” de la opción [Etiqueta visible]
Conteste: ¿Qué ocurre con la medida de los segmentos y sus homólogos si se mueve uno o varios vértices del polígono original? ¿Qué sucede si lo que se mueve es el punto centro de simetría? Seleccione en la barra de herramientas la opción [Punto en objeto] y dé clic sobre cualquiera de los lados del polígono original Escoja en la misma barra la opción [Simetría central] y dé clic al punto graficado en el ítem anterior, seguidamente dé clic al punto centro de simetría Trace un segmento entre el punto en objeto del polígono original y el punto centro de simetría. Trace otro segmento entre el punto centro de simetría y el punto en objeto del polígono reflejado. Preferiblemente colóquele un color y un grosor llamativo a dichos segmentos, a través de la opción [Propiedades], usada antes Elija la opción [Distancia o Longitud], dé clic al punto en objeto del polígono original y luego al punto centro de simetría. Repita este procedimiento, pero esta vez entre el punto centro de simetría y el punto en objeto del polígono reflejado Habilite la opción [Elige y Mueve] de la barra de herramientas y mueva el punto en objeto ubicado en el polígono original, de tal manera que recorra el perímetro de la figura original
Conteste: ¿Qué ocurre con la medida de los segmentos entre el punto centro de simetría y cualquier punto del perímetro de las figuras, al hacer el recorrido bordeando la figura original?
Actividad virtual 2: En remplazo del ejercicio virtual anterior y nuevamente empleando el software educativo GeoGebra, se puede realizar otra construcción dinámica referente a la simetría central, que permite al estudiante hacer un recorrido por los niveles de visualización de Van Hiele (Ver archivo de GeoGebra adjunto llamado 9 B-Simetría Central_II ) “
”
Nivel 2 de Van Hiele: El paso a paso a seguir por parte del estudiante es el siguiente, sugiriendo mantener habilitada la opción [Elige y Mueve] después de cada instrucción:
Con la opción [Polígono] de la barra de herramientas trace una figura, en lo posible de 6 o menos lados Ubique con la opción [Punto] este elemento, en cualquier lugar del plano de Página 6 de 11
GeoGebra, preferiblemente a la derecha de la figura anterior y no a mucha distancia Realice la reflexión de dicho polígono a través de la opción [Simetría central], con respecto al punto graficado como centro de simetría, en el ítem anterior Trace una recta con la respectiva opción en la barra de herramientas, entre cada vértice del polígono original y su correspondiente homólogo en el polígono reflejado Con la opción [Distancia o Longitud] determine la distancia entre cada vértice del polígono original y el punto centro de simetría. Repita la operación entre el punto centro de simetría y cada vértice del polígono reflejado
Conteste: ¿Qué sucede con las medidas de longitud del último ítem? ¿Qué ocurre con dichas distancias si se mueven los vértices de la figura original? ¿Qué observa con tales medidas si lo que se mueve es el punto centro de simetría? Seleccione en la barra de herramientas la opción [Punto en objeto] y dé clic sobre cualquiera de los lados del polígono original Escoja en la misma barra la opción [Simetría central] y dé clic al punto graficado en el ítem anterior, seguidamente dé clic al punto centro de simetría Trace un segmento entre el punto en objeto del polígono original y el punto centro de simetría. Trace otro segmento entre el punto centro de simetría y el punto en objeto del polígono reflejado. Preferiblemente colóquele un color y un grosor llamativo a dichos segmentos, a través de la opción [Propiedades], usada antes Elija la opción [Distancia o Longitud], dé clic al punto en objeto del polígono original y luego al punto centro de simetría. Repita este procedimiento, pero esta vez entre el punto centro de simetría y el punto en objeto del polígono reflejado Habilite la opción [Elige y Mueve] de la barra de herramientas y mueva el punto en objeto ubicado en el polígono original, de tal manera que recorra el perímetro de la figura original
Conteste: ¿Qué ocurre con la medida de los segmentos entre el punto centro de simetría y cualquier punto del perímetro de las figuras, al hacer el recorrido bordeando la figura original?
Elija la opción [Ángulo] y determine la medida del ángulo en cada vértice tanto de la figura original como de la figura reflejada. Esto se logra dándole clic a cada lado que forma el ángulo. Tenga en cuenta que según el orden usado para señalar dicho lados, el programa le muestra la medida del ángulo interno o externo a la figura
Conteste: ¿Qué observa al comparar la medida de los ángulos con su homólogo respectivo en la figura reflejada? ¿Qué ocurre con la medida de dichos ángulos, si se mueve la figura original a través de sus vértices? ¿Qué sucede con los ángulos si se mueve el punto centro de simetría?
Seleccione la opción [Pendiente] y determine la misma para cado lado del polígono original y su homólogo
Conteste: ¿Qué observa al comparar la medida de la pendiente de los lados del polígono original con su lado homólogo en el polígono reflejado? ¿Qué concluye cuando dos segmentos tienen la misma pendiente y ningún punto en común? ¿Qué sucede con las pendientes si se mueven los vértices de la figura original? Página 7 de 11
¿Qué ocurre con las pendientes si se mueve el punto centro de simetría? ¿Qué observa si se mueve el punto centro de simetría hasta superponerse en cualquiera de los vértices de la figura original? ¿Qué sucede si alineamos algunos vértices de la figura original de tal manera que sean colineales y se posibilite formar un cuadrado, y que adicionalmente movamos el punto centro de simetría hacia la intersección de las diagonales del cuadrado formado? Use como ayuda, si considera necesario, para esta transformación, las cuadrículas en la Vista Gráfica.
Actividad Final: Realice un cuadro resumen acerca de lo que usted pudo apreciar durante el desarrollo de los ejercicios anteriores, acerca de los siguientes elementos y sus homólogos en ambos polígonos (el original y el reflejado) Lados
Ángulos
Segmento vértice-punto O
Pendiente
Coordenadas cuando el punto O está en el origen
Conteste: ¿Qué nombre colocaría a la simetría observada en los ejercicios anteriores? ¿Conoce un concepto semejante en geometría? ¿Qué ejemplos conoce en la naturaleza sobre este fenómeno de simetría? CONCLUSIÓN: Se espera que con la realización de estos ejercicios, los estudiantes puedan acercarse a respuestas que correspondan a la definición de la simetría central y sus características, que son a su vez:
La simetría central de una figura se da respecto a un punto llamado centro de simetría o centro de rotación y consiste en una rotación de 180º de sus vértices. Al ubicar las figuras obtenidas por simetría central tomando como centro de simetría el punto O en el origen de un plano cartesiano, se observa que las coordenadas del segundo polígono corresponden a los valores opuestos de las coordenadas del primer polígono Los segmentos que unen un vértice con su homólogo, pasan por el centro de simetría, haciendo de estos tres elementos unos puntos colineales Las figuras que han sido transformadas por simetría central conservan la misma longitud en los segmentos trazados desde un vértice hasta su homólogo, es decir que el punto centro de simetría es a su vez el punto medio de los rayos de proyección de los vértices iniciales y sus homólogos La distancia entre los vértices de la figura original y el punto O es equivalente a la distancia entre los vértices homólogos y el punto O
EVALUACIÓN: Con el ánimo de verificar si el estudiante ha logrado alguna aproximación a la compresión del concepto y sus características, se plantean algunos interrogantes a través de las siguientes situaciones problema: Página 8 de 11
1. A la figura se le aplicó una simetría obteniéndose la figura sombreada con respecto al punto: A- L B- M C- N D- Ñ E- O
2. Mediante una reflexión con respeto a O, la figura sombreada se reflejó en la figura punteada. Esto se verifica en:
3. A todos los puntos del plano cartesiano (Ver fig.) se les aplica una simetría (reflexión) con respecto al punto E de coordenadas (2,3). ¿Cuáles son las coordenadas del punto homólogo de B? A- (1, -1) B- (1, 0) C- (1, 3) D- (2, -1) E- (0, 1)
Solución punto dos 2. La construcción del mosaico solicitado en este punto del trabajo, se encuentra en el archivo de GeoGebra llamado “ Teselación_II”.
Con respecto a la descripción, apoyados en la normatividad correspondiente al área de matemáticas y los recursos vistos en clase, opinamos que los elementos participantes en el ejercicio, son: a. Grado de escolaridad en el que puede emplearse: Séptimo grado de básica secundaria Página 9 de 11
b. Estándares de Competencia a intencionar:
“Predigo y comparo los resultados de aplicar transformaciones rígidas
(traslaciones, rotaciones, reflexiones) y homotecias (ampliaciones y reducciones) sobre figuras bidimensionales en situaciones matemáticas y en el arte” (pensamiento geométrico ciclo sexto a séptimo) .
“Utilizo técnicas y herramientas para la construcción de figuras planas y cuerpos con medidas dadas” (pensamiento métrico ciclo sexto a séptimo)
c. Procesos Espacial:
generales de pensamiento asociados a Pensamiento métrico y
Razonamiento: evidente al armar el mosaico Resolución y planteamiento de problemas: requeridos al emplear las herramientas necesarias para permitir la expansión y la contracción de la figura en sí misma y en conjunto dentro del mosaico Comunicación: indispensable en el ejercicio de explicar la técnica y el concepto empleados para la construcción del mosaico como una representación plana Modelación: presente en la construcción de la figura inicial Elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos: tras ensayo y error se logró encontrar el patrón de rotación de la figura inicial para encajar en el mosaico
En términos generales y según lo planteado por los lineamientos curriculares, con el ejercicio se pudieron poner en práctica aspectos relevantes de la geometría tales como:
La exploración del espacio La formulación y discusión de conjeturas El juego con los diseños en el plano y un grupo de transformaciones
En lo relacionado al pensamiento métrico, el ejercicio propone inicialmente al estudiante el uso de unas unidades de medida específica para la elaboración del modelo inicial y en segunda instancia lo invita a que recurra a la búsqueda de coincidencia de magnitudes o tamaños para logra construir el mosaico, por lo cual se concluye que enfatiza en la comprensión de la conservación de la magnitud a pesar de su rotación con relación a su ubicación inicial . d. Procesos de percepción visual alcanzados por el ejercicio:
Global de percepción visual Percepción de elementos constitutivos Operativo de percepción visual
En cuanto a la construcción del mosaico a lápiz y papel, se anexan los siguientes archivos como evidencia del trabajo realizado:
Teselación_II en papel milimetrado (escaneado) Teselación_II plantilla para en papel en blanco (escaneado) Teselación_II en papel en blanco (escaneado) Análisis Teselación_II para papel en blanco (en GeoGebra)
Con base a ello, las dificultades y ventajas en usar cada ambiente, consisten en: El trabajo en papel en blanco se dificulta por la falta de ejes iniciales de referencia para ubicar la figura inicial, lo cual reduce la precisión de los Página 10 de 11
trazos en líneas y ángulos. De otro lado el trabajo manual es más dispendioso y demorado si no existe la posibilidad de replicar la figura con la ayuda de una plantilla tal vez. La falta de ejes de referencia a su vez dificulta la visualización de las partes de la figura, que deben ser encajadas con precisión, unas en otras. En el papel milimetrado el trabajo se torna más sencillo al contar con líneas y puntos fijos para ubicar los vértices de la figura, lo cual permite dimensionar su tamaño, realizar giros más exactos con ayuda del compás y el transportador y visualizar posibles defectos en su forma y posición. En los dos casos anteriores, el tener que replicar la figura manualmente una y otra vez, hace que el trabajo sea más demorado y desgastante al corregir los errores por falta de precisión en el uso de instrumentos o de percepción visual en su lectura. En el caso del ejercicio realizado con GeoGebra, es evidente la agilidad con la que puede realizarse la composición, dado que se cuenta con la posibilidad de replicarla, trasladarla y girarla de forma automática y correcta, siendo viable inclusive darle color. Una dificultad en este ambiente es tal vez el desconocimiento del manejo del software a cabalidad. De otro lado, contar con el historial de acciones realizadas permite al ejecutante revisar de manera ágil el procedimiento realizado y detectar las causas de posibles errores en el procedimiento. Finalmente, en tanto que en los ejercicios manuales el dibujante se ciñe a su propia lógica, en el ejercicio virtual, el operador debe ajustar su lógica a la del programa para obtener el resultado esperado.
Solución punto tres 3. Se lograron realizar los dos retos, luego de varios esfuerzos e intentos, por su mayor
grado de dificultad. Los archivos que se han anexado son:
Teselación_III_Reto 1
Teselación_IV_Reto 2
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