REVISÕES MATEMÁTICA BÁSICA CÁLCULO NUMÉRICO. 1) Calcul Calculee o valo valorr das das expres expressõe sões: s: a) 71 – (25 – 3x3) + √49 : 1 6 =
b) 5 1 2 . 62 : 4 3 8 = 3
2
2
1 1 2 d)
2 2 : 3 9 1 = c) 1 3 1
3 4
4
1 43 8 35 5 e) 2 = 2 4 1 5 RESP: a) 55 b) 89 c)3
2) Qual Qual o valor valor das express expressões ões:: 0,2 x0,3 a) = b) 1-4,8:24 = 3,2 2,0
3 (0,6) 2 c) = 1 0,1 RESP: a) 0, 0,05
32
=
d) 16/3
b) 0, 0,8
e)1
c) 3, 3,733...
3) Calcule o valor das expressões: a) 20 20 -(-45) -(-45) :(-3) :(-3)2 + (-2)x(-1)5 = b) 14 +(-2)4 –(-2)3+07 +320 +8x22 = c) –(-3)3 –(22)3 = d) –(1)0 +23 = e) –[-32 –(-2)3] = RESP: a) 27 b) 58 c) -37
d) 7
e)1
4) Associe (V) ou (F) a cada afirmação, conforme seja verdadeira ou falsa: a)-26 =(-2)6 b) -25 = (-2)5 c) -20 = (-2)0 RESP: a) F 5) Calcule: a) A soma dos quadrados, quadrados, mais o quadrado da da soma dos números 5 e 3. b) A soma dos quadrados, menos o quadrado da soma dos números 3 e 2.
b) V
c) F
(98) (-12)
6) Calcule Calcule o valor das expressõe expressões: s: 2
(2) 2 3 27 b) = 3 5 0 2
3 2 a) [-2. (-2)2 = + 2 ] : (-2) 2
RESP: a) – 1/8
b) 7
7) Escreva na forma de radical: 2 3
1 2
a) 10 =
b) 5 =
3 4
c) 2 = RESP: a) 3 102
d) 6 3 = b) 2 5 c)
8) Escreva na forma de potência com expoente fracionário: f racionário: a) 3 20 = b) 10 = c) 3 22 = d) 5 120 = 1
RESP:: a) 20 3 RESP 9) Calcule o valor de: 3
b) 1 =
a) 64 = 1
b) 1 0
6
c) 64 =
d)
1 2
4
81
1 1 3 a) 1 1 3 . 1 1 5 =
3
d) 120
l) (-27) = f) 4 g) 2 1 4
2
6
2
5
f) 64 =
e) 3 1 3
g) 8 =
5 6
h)
1
3
m) (-1) 5 = h) 5 i) -2 j) 2
1 3
b) - 8 16 (2) 27 = 3
e)
1 5
3
1
= i) (-32) = j) 4 = RESP: a) 8 b) -1 c) 2 d) 3 e) -2 10) Calcule o valor das expressões: 25
5
2
2 3
e) 32 = 5
=
4
e) 2 = d) 3 6
e) 6 35 = c) 2
1 2
1
2
5 6
1
l) -3
m) -1
RESP: a) -3 b) -1
11) Associe (V) ou (F) a cada afirmação, conforme seja verdadeira ou falsa: a) 10 10
1 2
[email protected]
b) 22 32 5
c)
3
5
6
5
RESP: a) V
b) F
c) V 1
12) 12) Simp Simpli lifi fiqu quee o radi radica cal: l: 2352 2352 =
RESP: 28 3
13) Simplifique as expressões: a)
5
31 10 83 4 6
3 b)
=
6
9
4
6 2 x
14) Calcule Calcule as somas: somas: a) √80 + √20 =
3
9
4
2 =
RESP: a) 2
b) 3 √5 + √45 - 2 √20 =
15) Se x = (2 √3- 3) e y = ( 2 + √3), calcule x.y
RESP: a) 6 √5
b) 2 √5
RESP: √3
16) Sabendo que A = 15 + 152 180 e B = 15 15 - 152 180 , calcule: a) A +B = b) A – B = c) AxB = RESP: a) 30 b) 6 √5 17) Calcule: a) ( √2 √2 + 2)2 =
b) 16
c) 180
b) (2√3 – 1)2 = c) ( √3 √3 + √5)x(√3 - √5) = RESP: RES P: a) a) 6 + 4 √2 b) 13 - 4 √3 4 8 x 4 8 =
18) Qual é o valor do número real:
c) 18 1800 RESP: 2 √2
19) Simplifique a expressão: ( √3 √3 + √2)x(√3 - √2) + (√3 - √2)2 =
RESP: 6 - 2 √6
20) Racionalize o denominador das expressões fracionárias: 1 2 5 1 1 2 a) b) c) d ) 3 e) f ) 3 10 2 5 10 52 3 2 3 3 10 5 102 RESP: a) b) c) d ) e) 5 2 f ) 6 2 3 5 2 10
g)
2 2 2 2
g )3 2
2
3 5 3 5 73 5 h) 2
h)
CALCULO ALGÉBRICO. 1) Calcule o valor numérico das expressões: a) x2 – 3x +1 para x = -4 b) a3 + b3 – 2 a 2 + 3 b 2 – 4ab +1, +1, para para a=2 e b = -3 c) e)
a 2 b2 ab xy x 2 y
para a = -3 e b = 3
d) (a + b + c)x(a + b – c)x(a –b –c), para para a = b = 10 e c = -1
, quando x = - 1/10 e y = 1/100
f)
x 2 y 2
1 x
RESP: a) 29
b) 25
, quando x = 2 e y = 3/2
y
c) -3
d) 399
e) - 11/100
2) Sabendo que a = 5, b = 4, c = 3 e p = (a + b + c)/2 Calcule o valor numérico de p(p – a)x(p – b)x(p – c). 3) Reduza Reduza a expressão expressão mais simples: simples: a) 2x + 3(3-2x) – 2(1 –x) c) x(x2 – xy + y2) + y(x2 – xy + y2) RESP: a) -2x +7
2
3 2
3
[email protected]
f) (x +½)2
5 2 4
RESP RE SP:: 36
b) 3(a2 + a +1) + 2(a2 + 2 a -2) -2) – (a2 + 3 a -3) -3) d) a(a +b –c) + b(b +c –a) + c(a –b +c) 2 b) 2(2 a +2 a +1) c) x3 + y3
4) Desenvolva os seguintes produtos notáveis: a) (2x + 3)2 b) (5 a -1) -1)2 c) (2 a2 + 3)2 k 2 k 2 e) .
f)
d) a2 +b2 +c2
d) (3b (3b +7)(3b +7)(3b -7)
g) (2 a2 – 3b)(2 a2 + 3b) 2
12) 12) Simp Simpli lifi fiqu quee o radi radica cal: l: 2352 2352 =
RESP: 28 3
13) Simplifique as expressões: a)
5
31 10 83 4 6
3 b)
=
6
9
4
6 2 x
14) Calcule Calcule as somas: somas: a) √80 + √20 =
3
9
4
2 =
RESP: a) 2
b) 3 √5 + √45 - 2 √20 =
15) Se x = (2 √3- 3) e y = ( 2 + √3), calcule x.y
RESP: a) 6 √5
b) 2 √5
RESP: √3
16) Sabendo que A = 15 + 152 180 e B = 15 15 - 152 180 , calcule: a) A +B = b) A – B = c) AxB = RESP: a) 30 b) 6 √5 17) Calcule: a) ( √2 √2 + 2)2 =
b) 16
c) 180
b) (2√3 – 1)2 = c) ( √3 √3 + √5)x(√3 - √5) = RESP: RES P: a) a) 6 + 4 √2 b) 13 - 4 √3 4 8 x 4 8 =
18) Qual é o valor do número real:
c) 18 1800 RESP: 2 √2
19) Simplifique a expressão: ( √3 √3 + √2)x(√3 - √2) + (√3 - √2)2 =
RESP: 6 - 2 √6
20) Racionalize o denominador das expressões fracionárias: 1 2 5 1 1 2 a) b) c) d ) 3 e) f ) 3 10 2 5 10 52 3 2 3 3 10 5 102 RESP: a) b) c) d ) e) 5 2 f ) 6 2 3 5 2 10
g)
2 2 2 2
g )3 2
2
3 5 3 5 73 5 h) 2
h)
CALCULO ALGÉBRICO. 1) Calcule o valor numérico das expressões: a) x2 – 3x +1 para x = -4 b) a3 + b3 – 2 a 2 + 3 b 2 – 4ab +1, +1, para para a=2 e b = -3 c) e)
a 2 b2 ab xy x 2 y
para a = -3 e b = 3
d) (a + b + c)x(a + b – c)x(a –b –c), para para a = b = 10 e c = -1
, quando x = - 1/10 e y = 1/100
f)
x 2 y 2
1 x
RESP: a) 29
b) 25
, quando x = 2 e y = 3/2
y
c) -3
d) 399
e) - 11/100
2) Sabendo que a = 5, b = 4, c = 3 e p = (a + b + c)/2 Calcule o valor numérico de p(p – a)x(p – b)x(p – c). 3) Reduza Reduza a expressão expressão mais simples: simples: a) 2x + 3(3-2x) – 2(1 –x) c) x(x2 – xy + y2) + y(x2 – xy + y2) RESP: a) -2x +7
2
3 2
3
[email protected]
f) (x +½)2
5 2 4
RESP RE SP:: 36
b) 3(a2 + a +1) + 2(a2 + 2 a -2) -2) – (a2 + 3 a -3) -3) d) a(a +b –c) + b(b +c –a) + c(a –b +c) 2 b) 2(2 a +2 a +1) c) x3 + y3
4) Desenvolva os seguintes produtos notáveis: a) (2x + 3)2 b) (5 a -1) -1)2 c) (2 a2 + 3)2 k 2 k 2 e) .
f)
d) a2 +b2 +c2
d) (3b (3b +7)(3b +7)(3b -7)
g) (2 a2 – 3b)(2 a2 + 3b) 2
RESP RE SP:: a) 4x2 +12x +9
b) 25 a2 -10 a +1
c) 4 a4 +12 a2 +9
d) 9 b2 -49 e) k2 /4 – 4/9 f) x2 +x +¼ g) 4 a4 – 9 b2
5) Simplifique Simplifique as expressões expressões:: 2 2 a) (a +b) +(a –b) b) (x -2) -2)2 +x2 – 2(x –1)2
c) (m -1) -1)2 – (m +1)x( +1)x(m m -1) RESP: a) 2 a2 +2b2 6) Quanto Quanto devemos devemos somar a a2 + b2 para se obter o quadrado de a + b ?
b) 2
7) Quanto devemos somar a x 2 – 6xy para se obter o quadrado de x – 3y ?
c) 2 -2m RESP RE SP:: 2 ab ab RESP RE SP:: 9y2
8) Seja n um número natural ( n ≠ 0); calcule o valor da expressão: “o quadrado do sucessor de n, mais o RESP RE SP:: (2 n2 +2) quadrado do antecessor de n”. 9) Fatore as expressões: a) 4ax – 8ay = b) x2 -64 = c) ax –ay +2x +2x -2y -2y = d) x2 + 6x +9 = f) 81 a2 – 18 a +1 = g) 3/5 a – 3/5 b = h) x2 – mx + nx nx - mn mn = RESP: RES P: a) a) 4 a(x a(x –2y) b) (x (x +8).(x -8 -8) c) (a (a+ 2).(x –y) 2 2 2 e) (3 a b +1)x(3 a b -1) f) (9 a -1) g) 3/ 3/5( 5(aa –b)
e) 9 a4 b2 -1 = d) (x +3)2 h) (x –m).(x +n)
10) Fato atore: re: a) a4 – b4 = b) 2 a m2 – 32 a = c) 5 a2 -20 = d) 5 x2 + 20x +20 = e) x3 -10 x2 +25x = RESP RE SP:: a) (a2 +b2).(a +b).(a –b) b) 2 a (m +4).(m -4) c) 5(a +2).(a -2) d) 5(x +2)2 e) x(x -5)2 11) Simplifique as frações: x 2 xy 4ad 10ad 2 a) b) 2 y 12a 2 d
a 4 a 3b ab3 b 4
c)
d )
a 2 b2
RESP:
a)
x x y
b)
2 y
7ax ay 7bx by ax ay bx by
2 5d
c )a ab b 2
6a
2
d )
7 x y
x y
12) Reduza Reduza a express expressão ão mais mais simples: simples: ( x y ) x y 2
a)
2
a b 2 2ab b 2 b) a b2 a 2 b 2
2
x y 2 x 2 y 2
RESP: a) a) -1 -1,
b) a/2b
13) Efetue as operações indicadas: a)
x 1 x 1
x 1
x y 3
b)
x 1
x y
3
x y 3
a b a b : 1 a b a b
c)
x y 1
d )1
3
a 2b x a
a 2b x a
4bx 2a
x a 2
2
2
1 2
e) x x 1 1 y
RESP: a) (2x2 +2)/(x2 -1)
2
y
2
b) 2xy
c) 0
e) (y2(x +1))/x2
d) a/b
EQUAÇÕES – INEQUAÇÕES – SISTEMAS DO PRIMEIRO GRAU. 01)Dê o conjunto solução solução das equações do 1 o grau (em IR) : x 2 x 2 x 3 x 2 2x 8 a) b) 2 1 c) 5 x
3
2
4
5
RESP. a) {2}
x 1
2 x 5 3 x x 1 3 d) b) {-1} c) {6} d) {7/3}
02) Quando o número x na equação (k – 3)x 3)x + (2k (2k – 5)4 + 4k = 0, vale 3, qual será o valor de k? 03) Dê o conjunto solução das equações literais do 1º grau ( em IR ): a) ax + bx + c = 2a + 2b + c b) (a + x)2 = ( a + 3 + x ).( a – 2 + x )
[email protected]
k=
29 15
RESP: a) a) {2} b) {6 - a} a} 3
04) Resolva as inequações do 1º grau (em IR ): x 2 1 x a) 5x – 4 > x – 3(2 – x) b) 1 RESP: a) {x € IR / x > -2} b) {x € IR / x < 3} 10 4 05)Quais são os valores de x, no conjunto dos números naturais (IN), que satisfazem a inequação. 7x – 8 < 4x + 1 ? S = {0,1,2} 06) Quais os valores reais de x que satisfazem, simultaneamente, as inequações: a) 5x – 4 > 6 e 2x – 1 > 5 – x b) 2x – 1 < 7 e 3x + 4 > -5 RESP: a) {x € IR / x > 2} b) {x € IR / - 3
3 x 2 y 4 09) Se o par (x, y) é a solução do sistema , calcular o valor de x + y. x y 2 5 12
RESP: ( 36 e – l5)
10) A soma de dois números é 21 e sua diferença é 51. Calcule os dois números. 11) Sabendo-se que a fração
a b
é equivalente a
3 5
igual a 4, calcule o valor de a . b.
RESP: x + y = 0
e que o dobro do numerador menos o denominador é 2a–b =4
RESP: a/b = 3/5
240
EQUAÇÕES DO 2º GRAU 1) Resolva as seguintes equações do 2 0 grau, em IR: a) x 2 -64 = 0 b) 2x 2 -50 = 0 c) x 2 +9 = 0 d) 4x 2 -1 = 0 e) x 2 - 3x = 0 f) 3x 2 -8x = 0 g) x 2 -x = 0 h) 4x 2 + 12x = 0 1 1 RESP: a) {-8 , 8} b) {-5 , 5} c) Ø d) , e) {0,3} f) {0 , 8/3} g) {0 , 1} h) {0,-3} 2 2 2) Calcule o valor do discriminante ( = b 2 - 4ac) nas seguintes equações do 2 0 grau: a) x 2 -5x -4 =0 b) x 2 -4x +4 =0 c) x 2 +3x +5 =0 d) 6x 2 -x -1 =0 RESP: a) = 41 b) = 0 c) =-11 d) = 25 3) De acordo com o valor do discriminante obtido, diga que tipo de raízes em IR vamos obter nas equações acima. RESP: a) > 0 duas raízes reais e distintas b) = 0 duas raízes reais e iguais c) < 0 não existe raízes reais 4) Resolva em IR, as seguintes equações do 2 0 grau: a) x 2 -x -6 = 0 b) 5x 2 +6x +1 = 0 c) 4x2 +9 = 12x d) 2x2 +2x = - 1 e) (2x +1)2 -5(2x +1) +4 = 0
1
1
x
x
f) 2(x - ) -3(1 - ) = 0 1
RESP: a) {-2 , 3}
b) {-1,- } 5
3 2
c)
0
3
d) Ø
e) {0, } 2
1 f) ,1 2
5) Resolva, em IR, as equações literais do 2 grau: a) 2x2 -3ax +a2 = 0
b) abx2 –(a +b)x +1 = 0 (a . b ≠ 0)
a 1 1 , a b) , } 2 a b
RESP: a)
6) Sejam x´ e x´´ as raízes da equação x2 –px + q = 0. Calcule, em função de p e q:
[email protected]
4
a) x´ + x´´
c) (x´ + x´´)2 – (x´ . x´´)2
b) x´ . x´´
RESP: a) p
b) q
c) p2 - q2
7) Forme a equação do 2 o grau, cujas raízes são: a) os números 2 e - ¼ b) os inversos das raízes da equação x2 – 7x +6 =0 RESP: (x -2).(x +1/4) = a) x2 – (7/4)x - ½ = 0 b) x2 – (7/6)x + 1/6 = 0 8) Sabendo que a soma das raízes da equação 3x2 – mx -2 = 0 é 3, calcule o valor de m. S = x’ + x” = -b/a => m/3 = 3 => m = 9 2 9) Sabendo que o produto das raízes da equação 3x – 6x + 2k -3 = 0 é - 4, calcule o valor de k. P = x’ . x” = c/a => (2k -3)/3 = -4 => k = - 9/2 2 10) Se a equação mx – (m -1)x + 3 = 0 tem uma raiz igual a 2, calcule o valor de m. m = - 5/2 2 11) A equação x – mx + m + 1 = 0 tem raízes x´ e x´´ tais que x´+x´´ + x´.x´´= 3. Ache o valor de m. m/1 + (m +1)/1 = 3 => m = 1 12) resolva as equações biquadradas em IR: a) x4 -13x2 +12 = 0 b) x4 +x2 -2 = 0 c) 4x4 +(2x2 -3)2 = (2x2 +1)2 +12 RESP: a) {± 1; ± 2 3 } b) {± 1 ; ± √-2 } c) {± (2 + 5 )1/2; ± (2 - 5 )1/2} 13) Resolva em IR as equações irracionais: a) 2 x 2 x 6 = x +2 b) x + √(x -1) = 13 c) √(x +1) + √( 1 - x ) = 2 RESP: a) {-2, 5} b) {10 ; 17} c) 2 14) Resolva os seguintes sistemas: x y 9 x y 2 (3 x).(4 y ) 20 a) 2 b c ) ) 2 2 2 x y 2 x y 10 x y 2 x 2 y 23 RESP: a) (3, -1), (-1, 3) b) (2, 0), (1, 1) c) (5, 4), (4, 5).
POTENCIAÇÃO Definições:
Sendo a
R, a >0, m
Z temos: Se m > 1, então:
am =
a .a .a... a m fatores
o expoente é par → o resultado da pot ência é positivo; o expoente é impar → o resultado da pot ência é negativo.
OBS: Quando a base é negativa: 1) a0 = 1
Casos Especiais:
m
1 2) a = , com a ≠ 0. a -m
Propriedades: Sendo a e b números reais e positivos, com m e n números racionais, são válidas as seguintes propriedades: a) am . an = a m + n b) am : an = a m - n c) (a x b) m = am x b m d)
a b
m
a
m
m b m.n
, com b ≠ 0
e) (am)n = a
1) Efetue, observando as definições e propriedades: a) (-2)³
b) 120
i) (0,5)³
j) 15¹
[email protected]
c) 500¹
d) 0³
k) (1/2)-1
e) 0º l) (2/3)-2
f) 5-1
g) 2-3
h) (-3)4
m) (4/5)3 5
2) O valor de (0,2)3 + (0,16)2, é: (a) 0,0264
(b) 0,0336
(c) 0,1056
(d) 0,2568
(e) 0,6256
3) O valor da expressão (-2) + (-3).(-2)-1:(-3)1, é: (a) -5/6
(b) 5/6
(c) 1
(d) -5/3
(e) -5/2
21 (2)2 (2) 1 4) O valor de é 22 2 2 (a) -15/17
(b) -16/17
(c) -15/16
(d) -17/16
3 0,05 2 5) Simplificando-se a expressão , obtém-se: 1 4 5 (a) 0,16
(b) 0,24
Conclusões:
Não existe divisão por zero; 0 0
(c) 1,12
(d) 1,16
(e) 1,24
Símbolo de indeterminação 1
Problema: Como resolver 5 2 ? Quantas vezes devemos multiplicar a base 5? Esse tipo de potência, com expoente fracionário, é resolvido através da radiciação. RADICIAÇÃO. É a operação matemática oposta à potenciação (ou exponenciação). A notação matemática da radiciação é:
n
a b
Onde b é a raiz, n é o índice, a é o radicando e
é o radical.
Para facilitar as coisas, existe um meio de transformarmos uma raiz em uma potência. Assim fica muito mais fácil, pois podemos utilizar as mesmas propriedade de potenciação. 1 n
a an
Propriedades operatórias Agora vamos dar uma visão mais genérica, visto que as propriedades irão se repetir, pois são idênticas às de potenciação: b c x
b y
c
x y
a) a x a a Ao transformarmos as raízes da multiplicação em potenciação, utilizamos a propriedade de multiplicação de potências de mesma base: conserva a base e soma os expoentes.
[email protected]
6
n
n
n
x = a Se transformarmos a multiplicação de raízes em multiplicação de potências, b) a podemos utilizar a propriedade de multiplicação de dois números na mesma potência.
.
1 1 1 . y x a a a y 1
c)
n y
a
Novamente se transformarmos a raiz em potência, teremos:
n y
x
1 1 1 1 . y x x y x Agora o que devemos fazer é voltar de potência para raiz: a a a . y xy a 1
Exercícios:
1) Aplicação de propriedades:
1) 8 44 2 4 2 a) 2)
5
g)
3
c)
d)
e)
10.11 5 10.5 11
f)
3)
b)
3 33 4 34
3 4) 4 6 4 63
h)
i)
j)
l)
m)
n)
4.1)
o)
p)
5) 3 2 64 6 64 6 26 2 6) 3 2.4 3 3 4 2 4 .3 = 12 2 4 .3
q)
r)
s)
t)
u)
v)
x)
z)
2
7) 2 3 3 2 2
a`) 41/2
b`) 104/5
8) i) e`)
[email protected]
c`) (1/2)3/2
d`)
ii) f`)
g`)
h`)
i`)
7
FATORAÇÃO Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores. Ex: ax + ay = a.(x+y) Existem vários casos de fatoração como:
1º Caso:
Fator comum a todos os termos (ou evidência) Ex.: 4x2y + 6xy2 – 2xy =
ax + bx – mx = x(a +b –m)
2xy(2x + 3y -1)
2º Caso: Fator comum a grupos de termos ( ou agrupamento) ax + bx + ay + by = = x(a + b) + y(a +b) = (a +b) . (x +y).
3º Caso:
Ex.: 3x +5y + 5z +5x +4y +4z = (5 +4).(y +z) + 8x =
4º Caso:
a2 – b2 = (a +b).(a –b).
Diferença entre dois quadrados. Ex.: 9x2 -4 = (3x)2 – 22 =
9 (y +z) +8x
(3x -2).(3x +2)
Trinômio do 20 grau ( a ≠ 0 ) Sejam x1 e x2 raízes das equações ax2 + bx +c = 0, então ax2 + bx +c = a(x – x1).(x – x2). Ex.: 2x2 – 4x – 6 = 0, x1 = 3 e x2 = -1, logo:
5º Caso:
2x2 – 4x – 6 = 2(x -3).(x +1)
Trinômio quadrado perfeito: a 2 + 2ab +b2 = (a +b).(a +b) = (a +b)2 a2 - 2ab +b2 = (a -b).(a -b) = (a -b)2
Exemplo: 4x2 – 12xy + 9y2 |
|
| | 2x 3y |__________| | 2.2x.3y = 12xy
note que é igual ao segundo termo de 4x 2 – 12xy + 9y2
Portanto trata-se de um trinômio quadrado perfeito. 4x2 – 12xy + 9y2= (2x – 3y)2» forma fatorada |_______________| Sinal Logo: 4x2 – 12xy + 9y2 = (2x – 3y)2» forma fatorada |_______________| Sinal Ex.:
a) ax+2a =
b) a²-b² =
e) x2 -10xy +25y2 =
[email protected]
c) a² - 4ab + 4b² =
d) 2x²-2 = 2(x²-1) =
f) 36a 4 + 12 a 2 +1 = 8
RESP: a) a(x+2)
b) (a+b)(a-b) c) (a-2b)²
e) (x -5y)2
d) 2(x+1)(x-1)
f) ( 6 a 2 +1)2
1) Fatore, colocando os fatores comuns em evidência: a) 3ax-7ay
b) x³ -x² + x
c) x³y² + x²y² + xy²
d) a²b² - ab³
e) a² + ab + ac + bc
f) x² - b²
g) x²-25
h) (x²/9 - y²/16)
i) x² + 4x + 4
j) a² + 6ab + 9b²
l) 144x²-1
m) ab + ac + 10b + 10c
n) 4a² - 4
o) x³y - xy³
p) x² + 16x + 64
q) 2x² + 4x + 2
r) ax³ + 2a²x² + a³x
Produtos Notáveis: Por serem usuais, algumas multiplicações de expressões algébricas podem ser efetuadas observando-se os seguintes modelos:
Produto da Soma pela Diferença. (a +b).(a –b) = a2 – b2
ex.: (x3 +5).(x3 -5) =
Resp: x6 -25
ex.: (3x +5)2 =
R: 9x2 +30x +25
ex.: (5x -2)2 =
R: 25x2 -20x +4
Quadrado da Soma. (a +b)2 = a2 +2ab +b2
Quadrado da Diferença. (a -b)2 = a2 -2ab +b2 Existem muitas outras fórmulas: ( a + b ) ³ = a³ + 3 a ²b + 3ab² + b³ (a – b )³ = a³ - 3 a²b + 3ab² - b³
Não freqüentemente usadas:
1) Calcule os produtos notáveis: 2 x 3 y 2 x 3 y d) 2 5 2 5
[email protected]
a) (a+2)(a-2) e) (x+3)²
b) (xy+3z)(xy-3z) f) (2a-5)²
g) (2xy+4)²
c) (x²-4y)(x²+4y) x y h) 2 4
2
9
i) (x+4)³
j) (2a+b)³
l) (a-1)³
Exercício:
Calcule 41.39 usando um produto notável.
(40+1)(40-1) = 40² -1² = 1.599
2) Calcule 101.99 usando um produto notável.
RACIONALIZAÇÃO Existem frações cujo denominador é irracional. Como:
1 , 2
1 , 2 1
2 2 3
Para facilitar os cálculos, é conveniente transformá-las em uma outra, equivalente, de denominador racional.
1º Caso:
O denominador é da forma a.
denominador por
b.
b . Neste caso, basta multiplicar o numerador e o
Ex: a)
b)
2º caso: O denominador é da forma a.n b m onde n > 2. Neste caso, devemos multiplicar o numerador e o denominador por um fator, de modo a tornar no denominador, o expoente do radicando igual ao índice do radical.
2
Ex:
3
2
2 2 3 22 3 4 . 32 32 3 2 2
Fator racionalizante = 3 2 2
3º Caso:
O denominador possui uma destas formas:
,
ou
Neste caso, basta multiplicar o numerador e o denominador pelo *conjugado de denominador. Assim, obteremos o produto pela diferença, que resulta na diferença de dois quadrados. *Conjugado:
Expressão
\
Conjugado
\ \
Ex.:
1)
2) 1) Racionalize o denominador de cada fração:
[email protected]
10
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
a’)
b’)
c’)
d’)
z)
2) Racionalize
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
CÁLCULO ALGÉBRICO Expressões Algébricas são aquelas que contêm números e letras.
Ex: 2ax²+bx
Variáveis são as letras das expressões algébricas que representam um número real e que de princípio não possuem um valor definido. Valor numérico de uma expressão algébrica é o número que obtemos substituindo as variáveis por números e efetuamos suas operações. Ex: Sendo x =1 e y = 2, calcule o valor numérico (VN) da expressão: x² + y = 1² + 2 =3 Portando o valor numérico da expressão é 3.
Monômio: os números e letras estão ligados apenas por produtos. Polinômio: é a soma ou subtração de monômios
Ex : 4x
Ex: 4x+2y
Termos semelhantes: são aqueles que possuem partes literais iguais (variáveis) Ex: 2 x³ y² z e 3 x³ y² z
são termos semelhantes pois possuem a mesma parte literal.
FRAÇÕES ALGÉBRICAS O cálculo de frações algébricas utiliza o mesmo processo do cálculo das frações numéricas, admitindo-se sempre que o denominador não seja nulo, ou seja, diferente de zero.
Simplificação de frações algébricas:
[email protected]
11
Simplificar uma fração algébrica é obter uma fração mais simples equivalente. Para simplificar uma fração, fatoramos o numerador e o denominador.
i)
, ii)
, iii)
Adição e subtração de frações algébrica: Quando as frações possuem o mesmo denominador, basta somar ou subtrair os numeradores. Ex: Quando as frações possuem denominadores diferentes, basta reduzi-las ao mesmo denominador e em seguida, somar ou subtrair os numeradores. Ex:
Multiplicação e divisão de frações algébricas Para multiplicar ou dividir frações algébricas, usamos o mesmo processo das frações numéricas. Fatorando os termos da fração e simplificar os fatores comuns.
Exs: a)
b)
c)
Potenciação de frações algébricas Utilizamos o mesmo processo das frações numéricas.
Exs: a)
b)
c)
Exercícios: 1) Ache o mínimo múltiplo comum (mmc) de: a) (x²-9) e (x²+6x+9)
b) (x²+x), (x²-x) e (x³-x)
c) (x²-4), (x²-4x+4) e (x²+4x+4)
2) Simplifique:
a)
b)
3) Efetue:
a)
[email protected]
c)
d)
b)
12
4) Efetue as multiplicações:
a)
b)
d)
e)
c)
5) Efetue as divisões:
a)
b)
c)
d)
Sistemas de duas equações do 10 grau com duas incógnitas. Noções:
A soma de dois números é 12 e a diferença entre eles é 4. Quais são estes números?
Para a resolução de problemas como este que apresenta duas incógnitas desconhecidas, utilizamos um sistema de equações. Chamamos de x o primeiro número (o maior) e de y o segundo número. Pelo enunciado:
A soma de dois números é 12, ou seja: a diferença entre eles é 4, isto é :
x +y = 12 ...I x -y = 4 .....II
A solução de um sistema de equações com duas variáveis é um par ordenado (x, y) de números reais que satisfaz as duas equações ( I e II ). Verificando o par ordenado (8, 4), notamos que satisfaz as duas equações: 8+4=12 e 8-4=4 , logo a solução do sistema é (8,4) Vejamos agora os métodos para a resolução de sistema de equações:
Método da adição: Basta eliminar uma das variáveis, através de termos opostos, recaindo numa equação do 1º grau com uma variável. Ex: x + y = 12 x – y = 4 Notamos que as duas equações possuem termos opostos (y e -y). x y 12
Com isso, basta somar as duas equações:
x y 4
x=8
2 x 16 A seguir, basta substituir o valor encontrado para x em uma das equações. 8 + y = 12 ou 8 – y = 4 y = 12 - 8 -y = 4 – 8 y = 4 y = 4 O par ordenado (x,y) = (8,4) é a solução do sistema. Outro exemplo:
[email protected]
... I
.. II
13
Note que as equações não possuem coeficientes opostos, logo se somarmos membro a membro, não eliminaremos nenhuma variável. Para a resolução deste sistema, devemos escolher uma variável para ser eliminada. 4 x 6 y 6 I 4 x 6 y 12 II 0 x 0 y 6 III
Para isso, multiplicamos a equação I por -2:
Observe que a equação III não possui solução, logo a solução do sistema seria vazio.
S= {}
Método da substituição: Consiste em eliminarmos uma das variáveis isolando seu valor numa das equações do sistema, para em seguida substituí-la na outra. Ex:
x + y = 12 ... I
x – y = 4 .... II
Escolhemos uma das variáveis na primeira equação, para determinarmos o seu valor: x=12 – y
Substituímos na outra equação:
(12 - y) - y = 4
Substituindo o valor encontrado em uma das equações: Logo a solução do sistema seria:
x + y = 12
y= 4
x + 4 = 12
x=8
S = {(8,4)}
Método da comparação: Consiste em comparamos as duas equações do sistema, após termos isolado a mesma variável (x ou y) nas duas equações: x + 2y = 2 x = 2 - 2y x + y= 3 x=3–y Comparando as duas equações:
2 - 2y = 3 – y
Substituindo o valor de y encontrado:
y = -1
x = 2 - 2.(-1)
x=2+2=4
Portando S = {(4,-1)} Exercícios:
1) Resolva os seguintes sistemas:
a)
b)
c)
d)
2) Problemas com sistemas já montados: a) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 23 animais e 82 pés. Quantas são as galinhas e os coelhos? x + y = 23 2x +4y = 82 b) A soma das idades de duas pessoas é 25 anos e a diferença entre essas idades é de 13 anos. Qual a idade de cada uma? x +y = 25 x – y = 13 c) A soma de dois números é 50 e o maior deles é igual ao dobro do menor, menos 1. Quais são os números? x +y = 50 x = 2y -1
[email protected]
14
d) Duas pessoas ganharam juntas, 50 reais por um trabalho e uma delas ganhou 25% do que a outra. Quanto ganhou cada pessoa? x +y = 50 x = 1/4y e) O preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira e duas canetas juntas custam 30. Qual o preço da caneta e da lapiseira? x = 2y x +y = 30 3) (Fuvest) Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso cai para 180g. O peso do copo vazio é? (A) 20g
(B) 25g
(C) 35g
(D) 40g
(E) 45g
4) (F.C.CHAGAS) Somando-se os 2/3 de um número x como os 3/5 do número y, obtém-se 84. Se o número x é metade do número y, então a diferença y-x é igual a:
(A) 18
(B) 25
(C) 30
(D) 45
3 2 x y 84 3 5 y x 2
(E) 60
EQUAÇÃO DO 2º GRAU Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo a x ² + b x + c, com coeficientes numéricos a, b e c com a ≠ 0.
Equação x²+2x+1 5x-2x²-1
a 1 -2
b 2 5
c 1 -1
Classificação: - Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta. 1º caso: b = 0.
Considere a equação do 2º grau incompleta: x² -9 = 0 => x² = 9 => x = ± 3
2º caso: c = 0
Considere a equação do 2º grau incompleta:
x²- 9x = 0
Basta fatorar o fator comum x, x(x - 9) = 0 => x’ = 0
3º caso: b = c = 0
e x” =9
2x² = 0 => x = 0
Resolução de equações do 2º grau: A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero. - Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara.
Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau? Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara: Multiplicamos os dois membros por 4a:
[email protected]
4a²x²+4abx+4ac=0
4a²x²+4abx=-4ac 15
Somamos b² aos dois membros:
4a²x²+4abx+b²=b²-4ac
Fatoramos o lado esquerdo e chamamos de (2ax + b)²= ∆
Logo:
(delta) = b²- 4ac:
2ax + b= ± √∆
2 a x = - b ± √∆
ou
Fórmula de Bháskara:
Propriedades: Duas raízes reais e diferentes Duas raízes reais e iguais Nenhuma raiz real
Relações entre coeficientes e raízes Soma = -
b
Produto =
a
c a
Vamos provar as relações descritas acima: Dado a equação ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0 e ∆ ≥ 0, suas raízes são:
e
A soma das raízes será:
S=-
b a
O produto das raízes será:
P=
c a
Podemos através da equação ax² + bx + c = 0, dividir por a.
[email protected]
16
Obtendo:
, Substituindo por S = -
b a
eP=
c a
:
Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau :
x² - Sx + P = 0
Ex.:
x² - 4x + 3=0
Determine a soma e o produto da seguinte equação: Sendo a = 1, b = -4 e c = 3: S = -
b a
=4
P=
c a
=3
Resolução de equações fracionárias do 2º grau: Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias. Ex.:
e
m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2)
Então: Eliminando os denominadores:
»
»
»
* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, logo a solução da equação será somente: x = -1 » S = {-1}
Resolução de equações literais do 2º grau: Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita. Equação a b c x² - (m+n)x + p = 01 -(m+n)p Exemplo: Determine o valor da incógnita x.
x² - 3ax + 2a² = 0
Aplicando a fórmula de Bháskara: a = 1, b = -3a, c = 2a²
.
Logo: x = 2a e x = a » S={a, 2a}
Resolução de equações biquadradas Equação biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é: ax4 + bx2 +c = 0 onde a ≠ 0 Exemplo resolvido: x4 -5x2 +4 = 0
Fazendo x² = y , temos x 4 = y2
Substituindo os valores na equação, temos: y² - 5y + 4 = 0
[email protected]
17
Aplicando Bháskara: Logo, y = 4 e y`= 1 Voltando a variável x: Como y = x², temos: x² = 4 => x = ± 2
e
x² = 1 => x = ± 1
Então a solução será: S = {-2, -1, 1, 2} ou simplesmente S = {±2, ±1}
Exercícios 1) Determine as raízes das seguintes equações: a) x²-3x+2=0
b) 2y²-14y+12=0
c) -x²+7x-10=0
d) 5x²-x+7=0
e) y²-25=0
f) x²-1/4=0
g) 5x²-10x=0
h) 5+x²=9
i) 7x²-3x=4x+x²
j) z²-8z+12 = 0
2) Determine o valor de k nas equações, de modo que: a) x² - 12x + k = 0 , tenha duas raízes reais e iguais b) 2x² - 6x +3k = 0, não tenha raízes reais. c) x² + kx + 4 = 0, tenha raízes reais e iguais. d) kx² - 2(k+1)x + (k+5) = 0, tenha duas raízes reais e diferentes. 3) Complete o quadro:
Lembre-se: Soma das raízes de uma equação do 2º grau = -b/a Produto das raízes de uma equação do 2º grau = c/a Equação Soma das raízesProduto das raízes x² - 6x + 9 = 0 6 9 x² - 2x + 3 = 0 2x² + 5x - 8 = 0 x² + 5x -24=0 -5 24 5 -6 -6 -3 4) Dê o conjunto solução das seguintes equações fracionárias: a)
d)
b)
c)
e)
f)
5) Dê o conjunto solução das seguintes equações literais:
[email protected]
18
a) x² - (a+1) + x = 0
b) x² - (a+m) + am = 0
d) ax² - (a²+1) + a = 0
e) x² - 3rx + 2r² = 0
c) y² - by - 2b³ = 0
6) Dê o conjunto solução das seguintes equações biquadradas: a)
b)
d)
e)
c)
7) Resolução de equações irracionais: Primeiramente devemos eliminar o radical Eleve ambos os membros ao quadrado para eliminar o radical Ex.:
x - 1 = x² - 6x + 9
x² - 7x +10 = 0
Aplicando a fórmula de Bháskara, encontramos as raízes x = 5, x` = 2 Verificacão: Substitua os valores das raízes em ambos os membros e verifiquem se a igualdade é satisfeita Para x=5 1º membro:
2º membro: x - 3 = 5 - 3 = 2
Como o 1º membro é igual ao 2º membro, x = 5 é solução da equação 1º membro:
Para x` = 2
2º membro: x - 3 = 2 -3 = -1
Como o 1º membro é diferente do 2º membro, x`=2 não é solução da equação
Portanto, V={5}
Resolva:
c)
a)
b)
d)
e)
8) (UFSC) A soma das raízes da equação x²-28/6 = 7x/2 - x/2 é?
R: -3
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE POLINÔMIOS Na multiplicação e divisão de expressões algébricas, devemos usar a propriedade distributiva. 1) a ( x+y ) = ax + ay 2) (a+b)(x+y) = ax + ay + bx + by 3) x ( x ² + y ) = x³ + xy Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. Na divisão de potências devemos conservar a base e subtrair os expoentes
[email protected]
19
1) 4x² : 2 x = 2 x 2) ( 6 x³ - 8 x ) : 2 x = 3 x² - 4 3)
=
O processo é idêntico ao empregado na multiplicação e divisão na aritmética. Exemplos 1) (x2 -2xy +y2).(x –y) = x3 -3x2y +3xy2 –y3 2) (x3 -x 2 y –x.y2 +y3 ) / (x2 -2xy +y2) = (x – y) Para aprendermos matemática, não devemos ficar "mergulhados" em teorias e explicações. Devemos expor nossos conhecimentos na prática, ou seja, na resolução de muitos exercícios. Ex.: 1) Multiplicar: a) x2.(x2.y) = b) –x.y.(x2.y2) = c) (a –b).(a2 -2ab +b2) = d) (2x +y).(3x –y) = 4 3 3 3 2 RESP.: a) x . y b) -x .y c) a -3a .b +3ª.b2 –b3 d) 6x2 +xy –y2 2) Dividir: a) 4m3 -8m por 4m = b) (c2 –c +1) : (-1) = c) (6x3 -12x2 -30x) : (-3x) = d) (a2 -13a +12) : (a -1) RESP.: a) m2 -2 b) -c2 +c -1 c) -2x2 +4x +10 d) a -12
Problemas: Exercício resolvido: O problema clássico das torneiras Uma torneira A enche sozinha um tanque em 10h, uma torneira B, enche o mesmo tanque sozinha em 15h. Em quantas horas as duas torneiras juntas encherão o tanque? Sendo V a capacidade do tanque em 1 hora: A e B enchem juntas: V/10 + V/15 = V/6 ou
A V
10
B 3V 2V V = 5V 30 30
A enche V/10 do tanque; B enche V/15 do tanque Portanto t = 6horas t = 6 horas
15
1) (Fuvest) O dobro de um número, mais a sua terça parte, mais a sua quarta parte somam 31. Determine o número. R: 12 2) (Vunesp) Uma certa importância deve ser dividida entre 10 pessoas em partes iguais. Se a partilha fosse feita somente entre 8 dessas pessoas, cada uma destas receberia R$5.000,00 a mais. Calcule a importância. R: 50.000,
[email protected]
20
3) (Unicamp) Roberto disse a Valéria: "pense um número, dobre esse número, some 12 ao resultado, divida o novo resultado por 2. Quanto deu?". Valéria disse "15", ao Roberto que imediatamente revelou o 2 x 12
número original que Valéria havia pensado. Calcule esse número. 4) Obter dois números consecutivos inteiros cuja soma seja igual a 57.
2
15
R: 9
x + (x + 1) = 57
R: 28
5) (F.C.CHAGAS) Por 2/3 de um lote de peças iguais, um comerciante pagou R$8.000,00 a mais do que pagaria pelos 2/5 do mesmo lote. Qual o preço do lote todo? 2/3x = 8 + 2/5x R: 30.000, 6) Uma torneira gasta sozinha 20 min para encher um tanque. Outra torneira sozinha gasta 5min para encher o mesmo tanque. Em quanto tempo, as duas torneiras juntas enchem esse tanque? V 20
V 5
V 4V 20
1 5V 20
R: 4min
7) A diferença entre o quadrado de um número e o seu dobro é 35. Qual é o número?
x 2 -2x = 5 2
8) Qual é o número que, adicionado ao triplo do seu quadrado, vale 14?
x x + = 14 3
9) A metade do quadrado de um número menos o dobro desse número é igual a 30. Determine esse número.
x 2
2
-2x = 30
10) Se do quadrado de um número subtrairmos 6, o resto será 30. Qual é esse número?
x 2 -6 = 30
11) O produto de um número positivo pela sua terça parte é igual a 12. Qual é esse número?
x. =12
12) Determine dois números consecutivos ímpares cujo produto seja 195.
x 3
x.(2x +1) = 195
13) A diferença entre as idades de dois irmãos é 3 anos e o produto de suas idades é 270. Qual é a idade de cada um? A–B=3 A.B = 270 14) Qual é o número inteiro positivo cuja metade acrescida de sua terça parte é igual ao seu quadrado diminuído 134?
x x 2 + = x - 134 2 3
15) Calcule as dimensões de um retângulo de 16cm de perímetro e 15cm² de área. 2 a + 2b = 16 a.b = 15 R: a= 1 e b = 7 16) A diferença de um número e o seu inverso é 8/3. Qual é esse número? 1 8 x- x 3
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RAZÃO e PROPORÇÃO. Razão
Antecedent e , Consequent e
a b
a
Proporção
b
c
é a igualdade de duas razões, onde a e d são os extremos e b e c são aos meios.
d
Propriedade Fundamental. a.d = b.c “Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, e vice-versa.” Primeira Propriedade. Em toda proporção a soma ou diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou segundo), assim como a soma ou diferença dos dois últimos termos está para o terceiro ou quarto. a
b
c
ab
d
c d
a
c
ou
ab
b
c d d
Segunda Propriedade. Em toda proporção, a soma (ou diferença) dos antecedentes esta para a soma ( ou diferença) dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para seu conseqüente. a
b
c
d
ac b d
a
b
ou
ac b d
c d
Terceira Propriedade. Em toda proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes, assim como o quadrado de um antecedente está para o quadrado de seu conseqüente. a b
c d
axc
bxd
a
2
b
2
ou
axc
bxd
c
2
d
2
Exercícios: 1 - Calcule X e Y na proporção x/5 = y/2, sabendo-se que x + y = 84
R: 60 + 24
2 - Calcule A e B na proporção a/7 = b/3, sabendo-se que a - b = 48.
R: 84 - 36
3 - Calcule X e Y na proporção x/y = 8/3, sabendo-se que x +y = 132.
R: 96 + 36
4 - Calcule A e B na proporção a/b = 5/1, sabendo-se que a +b = 60
a = 10, b = 40
5 - Calcule X e Y na proporção x/y = 10/4, sabendo-se que x –y = 2 0
x = 100/3
6) - Verifique se os pares de razões formam uma proporção: a) 2 e 6 = b) 3 e 9 = 5 15 7 21 d) 2 e 5 = e) 1 e 5 = 3 4 2 6
Resp: V, V, V, F, F, V.
7) - Calcule o valor de X nas expressões: a) 5 = x b) x = 18 7 35 4 24 e) x - 4 = 3 f) x + 2 = 15 10 5 3 9 i) x + 2 = x - 1 j) 2x = x - 6 6 2 9 5
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c) 1 e 5 = 4 20 f) 5 e 10 = 6 12
y = 40/3
c) 3 = 12 d) x = 20 x 20 7 28 g) 2x = 5 h) 4 = 5 3 6 3x 6 l) 3x - 2 = x + 8 m) 5x - 1 = 6 4 2 x+2 8 Resp: 25, 3, 5, 5, 10, 3, 5/4, 8/5, 5/2, -54, 18, 10/17.
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8) - Determine a quarta proporção dos números : a) 9, 6 e 18 = b) 7, 5 e 21 = c) 9, 4 e 2 = d) 2, 5 e 3/4= e) 3/4 , ½ e 2/5 = 9) – Calcule o valor de X e Y, sabendo-se que: x y 72 x y 35 x y 40 a) x y b) x y c) x y 3 6 5 2 7 2 x y 45 f) x 4 y 1
x y 28 g) x 8 y 6
x y 18 h) x 3 y 2
f) 5, 5/2 e 5/3 = Resp.: 12, 15, 8/9, 15/8, 4/15, 5/6.
x y 36 d) x y 8 5 x y z 72 i) x y z 4 3 4
x y 56 e) x y 8 5 x y z 96 j) x y z 2 3 5
Resp.: x= 24 e y= 48, 25 e 10, 56 e 16, 96 e 60, 16 e 40, 60 e 15, 16 e 12, 54 e 36, 26,18 e 19,63 e 26,18, 19,2 e 28,8 e 48. 10 - Resolva os problemas: a) - A soma de dois números é 45, e a razão entre eles é 4/5 . Determine esses números. b) – A diferença entre dois números é 36, e a razão entre eles é 7/4. Determine esses números. c) – A razão entre a idade de dois irmãos é 2/3. Determine essas idades, sabendo-se que sua soma é 20 anos. d) – Ache a razão equivalente a 3/7, sabendo-se que a soma de seus termos é 50. e) – Ache a razão equivalente a 9/4 , sabendo-se que a diferença de seus termos é 35.
20 e 25 84 e 48 8 e 12 15/35
63/28 f) – As áreas de dois terrenos estão uma para a outra assim como 2 esta para 3. Determine a área de cada terreno, sabendo-se que elas somam 360 m2 . 144 e 216 g)- A diferença entre idades entre Vera e Ângela é de 12 anos. Sabendo-se que suas idades estão uma para a outra assim como 5/2. Determine a idade de cada uma ? 20 e 8 h) -Divida R$ 7.200,00 entre duas pessoas de modo que a primeira e a segunda recebam quantias proporcionais a 3 e 5. 2700 e 4500 i) - Um segmento de 78 cm de comprimento é dividido em duas partes na razão de 4/9. Determine o comprimento de cada uma das partes. 24 e 54
DIVISÃO PROPORCIONAL ou REGRA DE SOCIEDADE Dividir um número em partes proporcionais significa dividir esse número em relação a outros determinados números de modo que as partes obtidas sejam proporcionais a esses outros números dados. Casos Especiais de Divisão Proporcional
1o Direta x Direta 2 o Inversa x inversa 3 o Direta x Inversa
* “Multiplicam-se as partes entre si e opera-se com os produtos obtidos.” * Invertem-se os números e multiplicam-se as frações. * Reduzem-se as frações obtidas ao mesmo denominador. * “Multiplicam-se as partes entre si, as direitas e as inversas.”
EXERCÍCIOS 1 – Dividir R$ 60,00 em partes proporcionais a 5 e 7.
x/5 = y/7 = 60/12 = 5 => x = 25 e y = 35 2 - Dividir o número 660 em três partes, proporcionais aos números 4, 7 e 11. x/4 = y/7 = z /11 = 660/22 = 30 => x = 120, y = 210 e z = 330 3 - Dividir o número 40 em três partes, proporcionais aos números 2, 3 e 4. x/2 = y/3 = z /4 = 40/9 => x = 80/9, y = 120/9 e z = 160/9 4 - Decompor o número 76 em três partes proporcionais aos números 1,2; 3,5; e 4,8. x/1,2 = y/3,5 = z /4,8 = 760/95 => x = 912/95, y = 2660/95 e z = 3648/95
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5 - Decompor o número 141 em três partes proporcionais aos números 1/3, ¼ e 1/5. x/1/3 = y/1/4 = z /1/5 = 141/47 = 3 => x = 60, y = 45 e z = 36 6 – Uma pessoa dividiu sua fortuna de R$ 55.000,00 proporcionalmente a 2, 5 e 4. 10.000, 25.000, 20.000. 7 – Uma pessoa dividiu sua fortuna entre três outras, recebendo a primeira proporcional a 5, a segunda a 8 e a terceira a 10. Quanto recebeu cada uma se a primeira recebeu menos que a segunda R$ 9000,00 ? A/5 = B/8 =C/10 => B = A +9 => A/5 = (A +9) /8 => A = 15, B = 24, C = 30 15.000, 24.000, 30.000. 8 – O senhor A, ao morrer, deixou a fortuna de R$ 99.000,00 para se repartir entre seus herdeiros, proporcionalmente aos seus graus de parentesco, que são: o segundo, o quarto e o quinto. Quanto recebeu cada ? 18.000, 36.000, 45.000, 9 - Uma fortuna foi repartida entre três pessoas proporcionalmente a 2/3, 1/5 e 3/4. Quanto recebeu cada uma, se o total da fortuna era igual a R$ 194.000,00 ? x/40 = y/12 = z /45 = 194/97 = 2 => x = 80, y = 24 e z = 90 10 - Uma fortuna foi distribuída em partes proporcionais a 3/5, 2/4 e 3/9. Sabendo-se que a primeira ficou maior que a segunda R$ 30.000,00. Qual o valor de cada parte ? A/108 = B/90 = C/60 => A = B + 30 => A = 180, B = 150 e C = 100 => A + B + C = 430 11 - Três pessoas receberam a importância de R$ 23.500,00 que lhes foi repartida em partes proporcionais a 0,5; 3,4 e 0,8. Quanto toca a cada uma? 2.500, 17.000, 4.000 12 - Dividir R$ 288,00 entre três meninas, proporcionalmente às suas idades que são 4, 6 e 8 anos. 64, 96, 128 13 - Decompor o número 284 em três partes inversamente proporcionais aos números 3, 5 e 7. x/35 = y/21 = z /15 => 284/71 = 4 140, 84, 60 14 – Dividir o número 770 em quatro partes inversamente proporcionais aos números 6, 9, 12 e 15. 300, 200, 150 e 120 15 – Dividir o número 60 em três partes inversamente proporcionais aos números ½ , 1/3 e 1/5. 12, 18 e 30 16 – Dividir o número 344 em duas partes inversamente proporcionais ao número 4/7 e 6/11. 168 e 176 17 – Decompor o número 4102 em três partes inversamente proporcionais a 4.1/2 5.1/3 e 6.1/4. 1600, 1350 e 1152 18 - Alguém dividiu sua fortuna em três partes inversamente proporcionais a 2/3, 1/5 e 5/5. Quais são as partes e qual a fortuna se a primeira recebeu menos que a segunda R$ 140.000,00 ? x/3 = y/10 = z /2 => x/3 – b/10 = 140.000/7 = 2.000 60, 200 e 40 19 - A fortuna de R$ 2.805.000,00 foi repartida entre três herdeiros em partes inversamente proporcionais a 04; ¾ e 3. 1683.000, 897.600 e 224.400 20 – Reparta R$ 235.300,00 em partes inversamente proporcionais a 0,2; 0,3 e 3,5. Qual o valor de cada parte ? 136.500, 91.000 e 7.800 21 – Três pessoas receberam R$ 980.000,00, que lhes foi repartida em partes inversamente proporcionais a 0,4; 0,5 e 2,5. Quanto recebeu cada ? 500, 400 e 80 22 – Dividir R$ 26.058,00 em partes inversamente proporcionais a 3, 21/5 e 0,4. 2828, 2020 e 21210 23 - Dividir o número 2780 em três partes simultaneamente proporcionais a 3, 4 e 5, e a 8, 10 e 15. x/24 = y/40 = z /75 = 2780/139 480, 800, 1500 24 – Dividir 600 em três partes que sejam ao mesmo tempo diretamente proporcionais aos números 6, 15 e 28, inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4. 120, 200 e 280 25 – Dividir R$ 39.500,00 em três partes que sejam ao mesmo tempo, diretamente proporcionais a 3, 5 e 6 e inversamente a 2, 4 e 5. 15.000, 12.500 e 12.000 26 – Uma pessoa morreu e deixou uma fortuna de R$ 326.000,00 para ser repartida em três partes que sejam ao mesmo tempo inversamente proporcionais a 3/3, 3/5, e 2/6 e diretamente a 3, 5 e 6/8. Quanto cabe a cada pessoa ? 72.000, 200.000 e 54.000 27 – A quantia de R$ 450.000,00 foi repartida em partes diretamente proporcionais a 2, 5 e 4 e diretamente proporcionais a 5, 4 e 5. 90.000, 180.000 e 180.000 28 – Repartir a fortuna de R$ 201.000,00 em três partes diretamente proporcionais a 3, 5 e 8 e inversamente proporcionais a 5, 4 e 5.
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27.000, 30.000 e 144.000 29- Três operários receberam juntos R$ 2.250,00 Sabendo que o primeiro trabalhou 12 dias, e o segundo 16 dias e o terceiro 17 dias, quanto recebeu cada um ? 600, 800 e 850 30 - Dois amigos jogaram na loteria e ganharam R$ 6.000.000,00. Como o primeiro entrou com R$ 1.200,00 e o segundo com R$ 1.800,00 combinaram que o prêmio seria proporcional. Quanto recebeu cada ? 2400.000 e 3600.000
8 o REGRA DE TRÊS
Grandezas Diretamente Proporcionais. ( -) (+)
Kg 1 10
custo R$ 100, 1000
(-) (+)
Grandezas Inversamente Proporcionalmente.
Velocidade (Km/h) (-) 50 (+) 100
Tempo ( h ) 20 (+) 10 ( - )
EXERCÍCIOS 1 - Se 20 operários fazem certa obra em 18 dias, em quantos dias 30 operários poderão fazer o mesmo trabalhos ? 12 2 - Em 5 dias, 8 operários fazem um determinado trabalho. Para fazê-lo em 4 dias, quantos operários serão necessários 10 3 - Um corte de 2,80 metros de tecido custa R$ 840,00. Quanto deve pagar por 20,5 metros desse tecido ? 6150 4 - Empregaram-se 36 Kg de fio para tecer 126 metros de fazenda. Quantos quilos serão necessários para tecer 140 metros ? 40 5 - Um empregado é despedido depois de trabalhar 20 dias no mês de novembro. Se o salário mensal deste empregado era de R$ 1.500,00, Quanto ele recebeu ? 1000 6 - Em 10 dias, 8 operários fizeram ½ do trabalho de que foram incumbidos. Depois disso 2 operários abandonaram o serviço. Quantos dias devem os restantes trabalhar para concluir a obra ? 13d8h 7 - Oito trabalhadores fazem um serviço com dificuldade 5. Qual será a dificuldade para 12 trabalhadores ? 3,33... 8 - Vinte trabalhadores fazem um trabalho com a dificuldade 8. 12 trabalhadores que dificuldade terão ? 13.1/3 9 - Dez operários fazem certo serviço em 06 dias. Quantos operários serão necessários para fazer o mesmo serviço em 4 dias ? 15 10 - Para fabricar um determinado número de peças, uma indústria utiliza 8 máquinas durante 15 dias. A fim de atender um pedido urgente, foram empregadas 12 máquinas iguais às primeiras. Em quantos dias foi fabricado o mesmo números de peças ? 10 dias 11 - Duas rodas dentadas que estão engrenadas uma na outra, tem respectivamente, 12 e 54 dentes. Quantas voltas dará a menor enquanto a maior dá 8 ? 36 12 - Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia fazem 40 cadeiras. Quantas horas por dia devem trabalhar 30 operários para construírem, 15 cadeiras no mesmo número de dias ? 2h 13 - Um circo é armado por 15 homens que trabalham 10 horas por dia durante 3 dias. Em quanto tempo armariam esse mesmo circo, 25 homens se trabalhassem 9 horas por dia ? 2d 3 14 - Uma turma de 28 operários, trabalhando 7 horas por dia gasta 15 dias para construir 150 m de uma muralha. Quantos dias de 8 horas, 12 operários gastarão, para construir 200 m da mesma muralha ? ↑ ↑ ↓ ↓ 40d20h
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25
15 - Se US$ 50,00 valem R$ 400,00 quanto devo desprender para custear uma viagem cujo preço é de US$ 1.670,00 ?
13.360
Exercícios: Regra de Três 16 - Num intervalo, 35 alunos gastam R$ 15.400,00 pelas refeições de 22 dias. Quanto gastariam 100 alunos pelas refeições de 83 dias nesse internato ? 166.000 17 - 12 operários fazem 15 metros de um trabalho em 15 dias de 08 horas. Quantas horas devem trabalhar, por dia, 15 operários, durante 30 dias, para fazerem 50 metros de mesmo trabalho ? ↑ ↓ ↑ ↓ 10h40min 18 - Quinze trabalhadores fazem 15 metros de um trabalho em 8 dias de 6 horas. Quantos dias de 8 horas, 20 trabalhadores poderão fazer 25 metros do mesmo trabalho ? ↑ ↓ ↓ ↑ 7d4h 19 - Dez operários fazem 200 metros de um trabalho em 15 dias de 8 horas. Quantas horas devem trabalhar, por dia, 15 operários em cuja capacidade de trabalho é de duas vezes a dos primeiros, para fazerem, em 8 dias, 900 metros de outro trabalho cuja dificuldade seja 2/5 do primeiro ? 9h ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ 20 - Transportam-se 8 toneladas de mercadorias à distância de 9 Km, por R$ 5.000,00. Determine co custo do transporte de 6.000 quilos de outra mercadoria, à distância de 15 quilômetros, sabendo-se que as facilidades dos dois transportes estão na razão de 3/5, respectivamente. ↓ ↓ ↓ ↑ 3750 21 - Um homem dá 2 passos de ¾ metros em 1/3 de minuto. Quantos passos de 2/5 do metro dará em 8 minutos, a fim de que ande a mesma distância ? 90 passos
22 - Um trem vai da cidade X à cidade Z em 120 minutos, à velocidade de 60 quilômetros por hora. Na volta, desejando-se fazer o percurso em 90 minutos, qual seria a velocidade do trem ? 80km/h
23 - A dificuldade na tradução do francês está para a dificuldade na tradução do latim assim como 0,5 para 0,72. Um estudante que traduza, 3 x 2/5 páginas de um texto em francês, em 4 horas e 10 minutos, quanto tempo demorará para traduzir duas páginas e ¼ de um texto de latim ?
3h58min
24 - Cinco digitadores, que trabalham 6 horas por dia, fazem um total de 6.000 gravações. Quantas gravações serão feitas se colocarmos mais 3 digitadores e aumentar a jornada diária para 8 horas.
12.800
25 - Resolva o seguinte problema, já montado: 30 funcionários, 6 horas, 20 dias, 12.000 fichas, dificuldade 2; 45 funcionários, 8 horas, 25 dias, x fichas, dificuldade 3. 20.000 ↓ ↓ ↓ ↓ ↑ 26 -Certo automóvel demora 5 min para percorrer 8 km. Conservado essa velocidade, em que tempo percorrerá 96km ? 1h
27 - Um avião percorre 900 Km em 2h24min. Com a mesma velocidade, que distância percorrerá em 3 horas e 12 minutos ? 1200km
28 - A velocidade do som no ar é de 341 km/s e na água 4 vezes maior. A tripulação de um navio ouviu o estampido proveniente da explosão de uma bomba a 5 segundos depois de produzida. A que distância da mina se encontrava o navio? 3
6820km
29 - O transporte de 54 m de terra a certa distância custa R$ 270,00. Quanto se deve pagar a remoção, à mesma distância de 180m3 desse material ?
900
30 - Uma torneira, despejando 6 litros de água por segundo, enche um tanque em 15 minutos. Se a mesma despeja-se 9 litros por segundo, em que tempo poderia encher esse tanque ? 31 - Um andarilho, viajando 8 horas por dia, vence a distância entre duas cidades em 20 dias; se caminhasse diariamente 10 horas, em quantos dias teria vencido o percurso ?
10min 16d
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32 - Correndo com a velocidade de 56 km/h, uma locomotiva demora 3h36min para percorrer 64 km, em que tempo faria esse percurso ? 3h9min
33 - Uma caldeira é alimentada por dois condutores de água que podem abastecê-la respectivamente, em 12 min. e 18 min. Funcionando conjuntamente, em que tempo poderão os condutores se enchê-la ? V = ∆S / ∆t => ∆S = V. ∆t => Vel.= V/12 + V/18 = (3V + 2V)/36 = 5V/36 V ou ∆S = (5V/36). ∆t => ∆t = 36/5 = 7 min12s 34 - Trabalhando 8 horas por dia, certo operário, ganha em 15 dias R$ 144.00. Se trabalhasse diariamente, 9 horas, qual seria sua remuneração em 21 dias ? 226,80
35 - Com 12 lâmpadas de igual intensidade, acesas durante 5 horas por dia, o consumo de energia elétrica de certa residência particular, em 39 dias atinge 26 quilowatts. Conservando-se acesas 9 lâmpadas, durante 4 horas por dia, quanto se consumirá em 30 dias ? ↓ ↓ ↓ ↓ 12kw 36 - Com 30 operários trabalhando 8 horas por dia, certo engenheiro, poderá concluir a construção de uma casa em 45 dias. Desejando, porém, termina-la 15 dias antes contrata mais 6 operários. Quantas horas por dia deverão todos trabalhar para que a obra fique terminada nesse prazo ?
10h
37 - Custou-me R$ 2.400,00 o frete de 600Kg de mercadoria a 400Km de distância. Quanto me custará o de 300 Kg, em 20 Km se a empresa cobra 4/15 a mais em virtude do pequeno percurso ? ↓ ↓ ↓ ↓ 76,00 38 - Em 18 dias de 10 horas de trabalho, 7 operários abriram uma vala de 30m de comprimento. Trabalhando 11 horas por dia, quantos dias gastarão 15 operários, para abrir uma outra vala de 55m de comprimento, se a habilidade da primeira turma está para a segunda como 3 para 4, e a dificuldade dos serviços como 7 para 4. 6 ↓ ↑ ↑ ↓ ↑ ↓
9 o PORCENTAGEM PORCENTAGEM é a denominação que se dá a toda razão cujo conseqüente é 100.
1 - Num exame de seleção, no qual se apresentam 2.500 candidatos, 20 % são aprovados. Qual é o número destes ? R: 500 2 - Na cidade “A”, de 45.000 habit antes, 8% são analfabetos. Qual o número destes ? R: 3600 3 - Certo comerciante ganha 3% das quantias que recebe. Tendo cobrado R$ 17.500,00, quanto recebeu ? R: 525 4 – Calcule quantos por cento. a) R$ 121,00 são de R$ 484,00 b) 936 g são de 15.660 g c) 912.5g são de 73 kg d)451m 3 são de 180 m 3 5 – Calcule a quantia da qual: a) R$ 42,00 represente 5% c) R$ 33,00 represente 5,5%
b) R$ 280,00 represente 8% d) R$ 320,00 representa 1,25%
6 – Meio representa quantos por cento de 5/8 ? 7 – Qual o número que cujos 7% valem 28 ? 8 – Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 750,00 para obter um lucro de 30 % ? 9 – Uma nota promissória, cujo valor era de 50.000,00, foi paga com um desconto de R$ 2.500,00. Qual a taxa de desconto ?
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5% 10 – Em São Paulo colhem-se 1.268.000 sacas de café. Se 25% desta produção destinam-se ao consumo interno, qual a quantidade de sacas para este consumo ? 317.000 11 – Um jornal recebia por dia R$ 420.000,00 d anúncios. Os preços dos anúncios foram aumentado em 6%. Qual será a nova receita diária do jornal ? 445.200 12 – De quanto por cento aumentou a população de uma cidade que era de 67.200 habitantes e agora é de 92.400 habitantes ? 13 – Um terreno foi vendido por R$ 96.000,00, recebendo o intermediário 3% de comissão. Calcule a comissão. 14 – Em uma escola, 40% dos alunos são meninas. O total dos alunos é 750. Quantos são meninos ? 15 – Em uma cidade, 35% da população é constituída de homens e 40% de mulheres. Qual a população da cidade se o número de crianças é de 8.000 ? 16 – Vendi uma mercadoria recebendo 25% de entrada e o restante em três prestações de R$ 1.600,00 e uma de R$ 1.800,00. Qual era o preço da mercadoria ? 17 – Um vendedor recebe 3% de comissão sobre as vendas que efetue. Qual a quantia a receber pelas vendas que efetua. Qual a quantia a receber pelas vendas de R$ 8.000,00, R$ 3.700,00 e R$ 9.500,00 ? 18 – Em um dos grandes prêmios de Fórmula 1, largaram 24 carros e terminaram a competição 10 carros. De quantos por cento foi o número de carros que não terminaram a corrida ? 19 – Um comerciante comprou 120 bonés a R$ 880,00 cada um. Vendeu a metade a R$ 1.050,00 e o restante a R$ 1.232,00. De quanto por cento foi o lucro ? 20 – Um comerciante pagou 20% de uma dívida. Determine a dívida inicial, sabendo que com R$ 436.800,00 ele pagou 35% do restante ? 21 – Uma pessoa entregou a um banco a quantia de R$ 56.300,00 para pagamento de uma ordem a ser expedida por telegrama. O custo do telegrama foi de R$ 50,00 e a comissão, de 1/8%. Qual o valor da ordem ? 22 – Têm-se duas misturas de álcool com água, uma contém 24 litros de álcool e 120 litros de água e a outra, 21 litros de álcool e 112 de água. Qual é a mais forte e de quanto por cento ? 23 – Comprei 6 pecas de tecidos de 50 metros a R$ 380,00 o metro. Quero vendê-las com um lucro de 30%. Vendo a Terça parte à razão de R$ 430,00 o metro. Por quanto devo vender o metro de tecido restante ? 24 – Em uma partida de futebol, um dos times obteve os seguintes resultados quanto aos chutes a gol: *bolas chutadas foram: 10; *bolas defendidas pelo goleiro adversário; * bolas na trave: 2; *gols;2. a) Qual a percentagem de gols em relação às bolas chutadas a gol ? b) Qual a percentagem das bolas chutadas fora ? c) Qual a percentagem das bolas defendidas pelo goleiro adversário ? 25 – Um relojoeiro adquire um lote de 120 relógios à razão de 8.000,00 cada um. Vende 2/3 a R$ 9.550,00 cada um e o restante a R$ 10.240,00 cada um. De quanto por cento foi o lucro ? 26 – Uma dona de casa compra um pedaço de carne com osso e paga R$ 192,00. Ao desossá-lo, percebe que os ossos correspondem a 12% do peso total. Sabendo-se que o preço do quilo desta carne é de R$
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128,00 e que, durante o cozimento, a carne perde 15% de seu peso . Qual o peso do pedaço de carne cozida ? 27 – Em concurso prestado por um certo número de candidatos houve 18% de aproveitamento, ou seja, 117 aprovados: num outro, a que concorrem 350 candidatos, houve 225 de aproveitamento. Determine quantos candidatos se submetem ao primeiro concurso e quantos foram reprovados no segundo ? 28 – Uma pessoa deseja adquirir uma televisão catalogada por R$ 46.400,00. Se o pagamento for à vista, a loja oferecerá um desconto de 5%. Como a pessoa não pode fazê-lo, para 2/5 à vista e o restante em 3 prestações, sofrendo um aumento de 38% sobre a parte relativa às prestações. a) Qual o preço à vista da televisão ? b) Qual o valor de cada prestação ?
Exercícios: Porcentagens 1 - Sabendo-se que certo comerciante recebeu R$ 3.515,00, por mercadorias vendidas com desconto de R$ 185,00, determinar a taxa do referido desconto. 5% 2 - Qual é o valor da duplicata resgatada por certo comerciante por R$ 15.600,00, com desconto de 2,5%? 16.000 3 - Em determinada fábrica de meias, cuja a produção foi de 14.500,00 pares, 290 deles fora, refugados na expedição. Qual foi a porcentagem do refugo ? 2% 4 - Um cobrador, tendo arrecadado certa quantia recebeu a sua comissão de R$ 76,50 e entregou o restante de R$ 773,50. Qual a taxa devida ? 9% 5 - Num concurso foi certo número de candidatos houve 18% de aproveitamento, ou seja, 117 aproveitados; noutro, feito por 350 candidatos houve 22 % de aproveitamento. Determinar quantos candidatos se submeteram ao primeiro concurso e quantos foram os aprovados no segundo ? 650 e 77 6 - Fez-se a mistura de 40 litros de álcool com 80 litros de água. Quanto por cento há de álcool na mistura ? 10 - Em uma turma de alunos comprometidos a um exame, o número de reprovações, que atingiu a 15%, foi de 12 concorrentes. Quantos compareceram ao exame ? 33,33... % 7 - O peso total de uma caixa e seu conteúdo é de 60 Kg. Pesando 48 Kg a mercadoria contida nessa caixa, qual é a taxa de porcentagem correspondente ao invólucro ? 20% 8 - Uma garrafa de refrigerante teve um aumento de R$ 5,00 o que representou 20% do preço anterior. Qual era o preço anterior e qual o novo preço desse refrigerante ? 25 e 30 9 - Certo comerciante vende um aparelho por R$ 15.525,00 obtendo um lucro correspondente a 15%. Qual foi o custo desse aparelho ? 13.500 10 - Percebendo a comissão de 5% sobre as vendas que realiza, certo representante comercial ganhou R$ 720,00 em um mês. Quanto vendeu nesse tempo ? 14.400 11 - Um comerciante comprou 200 sacas de café por R$ 600.000,00. Ganhou na venda 15%, por quanto vendeu cada saca de café ? 3.450 12 - Uma geladeira vendida por R$ 10.400,00 dá o lucro de 30% sobre o custo. Qual é o lucro ? 2.400 13 - Calcule 12% de R$ 725,00. 87
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14 - Calcule 6,5% de R$ 385,00. 25,025 15 - Se R$60,00 é a comissão de 10% recebida por um corretor pela venda de determinada mercadoria, qual é o valor dessa mercadoria ? 600 16 - Qual é o número cujos 15% valem 105 ? 700 17 - Qual é o número que aumentado seus 10% dá 407 ? 370 18 - Para assistir a decisão do campeonato Carioca de Futebol de 1982, entre FLAMENGO e Vasco, compareceram ao Maracanã 170.000 pessoas. Ao final do jogo 40% dos torcedores saíram tristes do estágio. Os restantes festejaram a conquista do campeonato pelo Flamengo. Quantos assistentes eram torcedores do Vasco ?E do Flamengo ? 68.000 e 102.000 19 - Dos 125 alunos de um colégio, 36% são maiores. Quantos alunos menores há ? 80 20 - A lotação do estádio do Maracanã é de 350.000 pessoas. Qual a porcentagem de lugares vagos, em relação a lotação, no jogo citado no problema 22 ? 20% 21 - A comissão de um viajante é de 4% das vendas que realiza. Em um mês recebeu a comissão de R$ 580,00. Quanto vendeu neste mês ? 14.500 22 - Um comerciante compra 310 Kg de açúcar a R$120,00 o quilo. Vende 1/5 com lucro de 20%; 2/5 com 15% e o resto com 10%. Qual o lucro total ? 5.208 23 - Na época do “BOOM” da bolsa de valores comprei R$ 54.000,00 em ações de diversas companhias e as revendi por R$ 97.200,00. Qual foi a porcentagem do lucro ? 80% 24 - O bairro de maior densidade demográfica da América do Sul é o de Copacabana no Rio de Janeiro. A razão do número de mulheres para, o de homens é de 6 para 4. Em relação ao número de homens, quanto por cento a mais, há de mulheres. 33,33... % 25 - Achar 1/8% de 96. 0,12% 26 - Achar 33x1/3 de 3x1/3. 10/9 27 - Achar 1% de ½ . 0,005 28 - De que número 3/7 corresponde a 5/7% ? 60 29 - Qual o número que subtraindo seus 25%, dá 375 ? 500 30 - Qual o número cujos 3/4% são iguais a 15 ? 2000 31 - Calcular a comissão de 3,3% sobre R$ 5.000,00 . 165 32 - Uma pessoa vai ao banco pede uma ordem de pagamento telegráfico sobre a cidade de Livramento, ocasião em que entregou ao banco R$ 20.070,00, para pagamento da ordem mais as despesas que são: Comissão ¼ %mais telegrama de R$ 20,00. Quanto recebeu o beneficiário ? 20.000 33 -Uma duplicata sofreu um desconto de 3,4% e ficou reduzida a R$ 2.898,. Qual o seu valor nominal ? 3.000 34 - Num colégio 15% dos alunos foram reprovados. Sabendo-se que 340 foram aprovados, pergunta-se quantos alunos haviam no colégio e quantos foram reprovados ? 400 e 60
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